广州高中数学复习资料：导数及其应用 36页

高二小班寒假讲义（1）-选修2-2第1章导数及其应用导数（一）一、知识梳理1、导数的定义：函数在处的瞬时变化率称为函数在处的导数，记作或，即2、导数的几何意义：函数在处的导数是曲线上点()处的切线的斜率。因此，如果存在，则曲线在点（）处的切线方程为：()3、常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：（C为常数）；；；法则（1）：法则（2）：法则（3）：二、典型例题例1、已知，用导数的定义求。变式训练1、（1）已知函数的图像上一点（1，-2）及邻近一点，36/36\n则=____________。（2）已知，从3秒到3.1秒的平均速度是__________________。（3）设函数可导，则等于（）A．B．C．D．以上都不对方法总结：利用导数的定义求函数的导数的一般方法是：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数＝。例2、求下列函数的导数：（1）（2）（3）　　　　　　（4）方法总结：（1）公式的特例：①_________；②_________，③_________。（2）法则：①_______________；36/36\n②若，则=_______________。变式训练2：求下列函数的导数（复合函数有求导法则）（1）（2）例3、已知函数=的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式。变式训练3、（1）经过原点且与曲线y=lnx相切的直线的方程是___________________。（2）直线是曲线的一条切线，则实数b＝_____________。例4、求抛物线上的点到直线xy2=0的最短距离36/36\n例5、已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且。（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积。变式训练5：曲线y=在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　）36/36\nA．B．C．D．三、巩固练习1、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=2秒时的瞬时速度为（　　）A．6B．8C．16D．242、曲线在点处的切线的倾斜角为（　）A．30°B．45°C．60°D．120°3、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）A．B．C．D．4、在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．05、曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为，则a=36/36\n6、设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。7、曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________。四、考考你求下列函数的导数1、2、36/36\n导数（一）参考答案二、典型例题例1、解：，，所以。变式训练1、（1）　　（2）29.89　　（3）C例2、解：（1）（2）∴（3）（4）变式训练2、（1）（2）例3、d=2∴b=c=3∴变式训练3、（1）；（2）ln21例4解：平移直线xy2=0与抛物线相切，设切点为∴∴到直线xy2=0的距离为最短距离，=例5、解：（1）y′=2x+1。直线l1的方程为y=3x3。设直线l2过曲线y=x2+x2上的点B（b，b2+b2），则l2的方程为：y=（2b+1）xb22因为l1⊥l2，则有2b+1=。所以直线l2的方程为。（2）解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为。l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、。36/36\n所以所求三角形的面积。变式训练5、A；三、巩固练习1、D；2、B；3、D；4、D；5、；6、解：（1）方程可化为。当时，。又，于是，解得。故。（2）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即。令得，从而得切线与直线的交点坐标为。令得，从而得切线与直线的交点坐标为。所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为。故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为6。7、解析：两曲线方程联立得，解得，∴交点坐标为（1，1）∵对于函数∴切线方程为∵对于函数∴切线方程为∴36/36\n四、考考你1、2、导数（二）一、知识梳理1、设函数在某个区间（a，b）内有导数，如果在这个区间内____________，则36/36\n在这个区间内单调递增；如果在这个区间内____________，则在这个区间内单调递减。2、求函数的单调区间的方法：（1）求导数；（2）解方程；（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间。3、求函数的极值的方法：（1）求导数；（2）求方程________________的根（临界点）；（3）如果在根附近的左侧____0，右侧____0，那么是的极大值；如果在根附近的左侧____0，右侧____0，那么是的极小值。4、在区间上求函数的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的导数；（2）求函数在内的极值；（3）将函数在内的各极值与端点处的函数值作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。5、有关最值的几个结论：（1）闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值；（2）若函数单调递增，则最小值是________，最大值是_______。二、典例导析例1、设函数。若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（1）a的值；（2）函数f(x)的单调区间。36/36\n变式训练1、（1）函数的单调递增区间是（2）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．例2、已知函数且（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m例3、已知函数在点x=1处有极小值-1。试确定a、b的值。并求出f（x）的单调区间。36/36\n变式训练2、设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的x，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围。36/36\n例4、已知a为实数，（1）求导数；（2）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（3）若在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。变式训练3、已知函数，（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。36/36\n例5、已知函数f（x）=，其中a>0。（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.三、课堂练习1、设，若函数，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．2、如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（　　）ABCD3、函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（）36/36\nA．B．（，2）　C．　D．（2，3）4、函数f（x）=xlnx（x>0）的单调递增区间是。5、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　　　。6、已知函数，且是奇函数。（1）求a，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间。7、若函数f（x）=在上单调递增，求a的取值范围。36/36\n四、考考你设为实数，函数。1、求的极值；2、当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点。五、课后作业1、函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）。A．B．C．D．2、函数的单调递增区间是。36/36\n3、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围。36/36\n导数（二）参考答案二、典例导析例1、解：（1）a=3（2）由（1）知变式训练1、（1）（2）B例2、解：（1）依题意，得（2）由（1）得故令，则或①当时，当变化时，与的变化情况如下表：++单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为36/36\n；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为(1.12a)例3、解：由已知，可得，①又，∴。②解得在区间和上，函数f（x））为增函数；在区间内，函数f（x）为减函数。变式训练2、解：（1），解得，。（2）由（1）可知，，。当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为。例4、解：（1）由原式得，∴。（2）f（x）在[-2，2]上的最大值为，最小值为。（3）解法一：的图象为开口向上且过点（0，-36/36\n4）的抛物线，由条件得，即。∴-2a2。所以a的取值范围为[-2，2]。解法二：令即，由求根公式得：所以。在和上非负。由题意可知，当或时，，从而，，即。解不等式组得：2a2∴a的取值范围是[2，2]。变式训练3、解：（1），令，解得或，所以函数的单调递减区间为。（2）函数在区间上的最小值为。例5、（1）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’'(x)=，f’(2)=6。所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y3=6（x2），即y=6x9。（2）解：f’'(x)=。令f’'(x)=0，解得x=0或x=。以下分两种情况讨论：①若0＜a2，则，当x变化时，f''(x)，f（x）的变化情况如下表：x0f’'(x)+0f(x)极大值当时，f’'(x)＞0等价于即解不等式组得-50等价于即解不等式组得或。因此20，从而将问题转化为一元二次不等式问题求=因为f（x）在R上单调递增，所以>0即>0在R上恒成立即，即，所以又因为当时，f（x）在R上也是递增的，所以四、考考你解：1、，若，则当变化时，，变化情况如下表：1+00+极大值极小值所以的极大值是，极小值是。2、函数。由此可知取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点.结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上；当的极小值时，即上时，它的极大值也小于0，与轴仅有一个交点，它在上。所以，当时，曲线与轴仅有一个交点。五、课后作业1、B36/36\n2、3、（1）的递增区间为的递减区间为（2）或。导数（三）一、知识梳理1、若函数f（x）在区间A上有唯一一个极值点，且是这个函数的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f（x）在区间A上的最大（小）值。2、定积分的几何意义：当f(x)>0时表示由直线__________，__________，__________和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积。3、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：如果是区间[a，b]上的连续函数，并且，那么。常常把记作。36/36\n二、典例导析例1、用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？变式训练1、（1）要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为（）A．cmB．cmC．cmD．（2）从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形的边长几分之几时，箱子容积最大？36/36\n例2、计算下列定积分：（1）；（2）；变式训练2、计算下列定积分：（1）（2）例3、求由曲线与，，所围成的平面图形的面积（画出图形）。36/36\n变式训练3、由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积是（）A．B．C．D．例4、在曲线y=x（x0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为。试求：（1）切点A的坐标（2）切点A的切线方程变式训练4、已知是二次函数，方程有两相等实根，且（1）求的解析式（2）求函数与函数所围成的图形的面积36/36\n例5、抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切。此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。求使S达到最大值的a、b值，并求Smax。36/36\n三、课堂练习1、（）A．B．C．D．2、将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积等于3、曲线与坐标轴围成的面积是（）A．4B．C．3D．24、计算下列定积分。（1）（2）36/36\nyoy=2xy=3－x2（1，2）（-3，-6）x5、由三条曲线围成的封闭图形的面积是______。6、右图中阴影部分的面积是（　）A．B．C．D．7、由定积分的几何意义可知dx=____________。8、设函数f（x）=ax2+c（a≠0）。若，0x01，则x0的值为。四、考考你9、求下列定积分：（1）（2）36/36\n（3）（4）；10、请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？OO136/36\n五、课后作业1、将8分为两数之和，使其立方之和最小，则分法为（）A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对2、内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为（）A．和RB．R和RC．R和RD．以上都不对3、下列命题不正确的是（）A．若f（x）是连续的奇函数，则=0B．若f（x）是连续的偶函数，则=2C．若f（x）在[a，b]上连续且恒正，则D．若f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在（a，b）上恒正4、已知f（x）是一次函数，其图像过点（3，4），且，求f（x）的解析式。36/36\n5、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）导数（三）参考答案36/36\n二、典例导析例1、解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为故长方体的体积为。从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1。当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12－6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m。答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。变式训练1、（1）D（2）解：设箱子的高为xcm，则箱子的边长为（a－2x）cmV（x）=x（a－2x）2=4x3－4ax2+a2x∴V¢（x）=12x2－8ax+a2=（2x－a）（6x－a）∴x=，x=（舍去）∵在0＜x＜上只有一个极值点，这个极值点就是它的最值点∴箱子的高是边长的时，容积最大。例2、解：（1）=++===（2）=2=2（cosx）=73e+2变式训练2、（1）设y=，则+y=25（y0）36/36\n因为dx表示曲线y=与直线x=2，x=3及x轴所围成曲边梯形的面积（如图所示的阴影部分）所以（2）+==2例3、解：（图略）变式练习3、D例4、解：如右图，设切点A（x，y），由，过点A的切线方程为yy=2x（xx），xyABC11O即y=2xxx，令y=0，得x=，即C，0设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，S曲边△AOB=x==S△ABC=即：所以x0=1，从而切点A（1，1），切线方程y=2x1变式训练4、解：（1）设。得：∴（2）由题＝9例5、解析：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以（1）又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，36/36\n由方程组得ax2+(b+1)x4=0，(b+1)2＋16a=0。于是，代入（1）式得：，；　令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0。故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且。三、课堂练习1、D　2、（图略）　3、C4、（1）==+=（2）原式===15、1　6、C；　7、2π　8、四、考考你9、解：（1）（2）（3）（4）10、解：设OO1为xm，底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=2（不合题意，舍去），x=2当1＜x＜2时，，V（x）为增函数；36/36\n当2＜x＜4时，，V（x）为减函数。所以当x=2时，V（x）最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。五、课后作业1、B2、B3、D4、解：设一次函数为y=kx+b（b¹0），因为函数的图像过（3，4）点，所以3x+b=4①又===+b所以+b=1②由①②得，k=，b=，所以f（x）=x+5、解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得则，令，即，解得当时，；当时，，因此，当时，取得最小值，元.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。36/36