高中数学高一上册复习资料 13页

第一章集合与简易逻辑一、集合：1.集合的定义：集合的表示方法：数集：N,N*,Z,Q,R,C(复数集)集合的特性：2.元素与集合的关系：集合与集合的关系：空集是任何集合的__________，是任何非空集合的_______________。任何一个集合都是他自身的____________。集合{a1,a2,a3,L,an}的子集个数有____个，真子集有____个，非空真子集有____个。当AB时，一般要分A与A两种情况。3.交集是指A与B中公共元素构成的集合，A∩B={x|}并集是指所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，A∪B={x|}一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。有关系式：①若A∩B=A，则____________；②若A∪B=A，则_____________；③(CUA)∩(CUB)__________、(CUA)∪(CUB)____________。二、不等式解法：1.绝对值不等式解法：a>0a=0a<0|x|a的解集①|axb|m(m0)maxbm②|axb|m(m0)axbm或axbm③n|axb|m|axb|n|axb|m2.二次不等式：ax2bxc0(ax2bxc0)与二次函数yax2bxc以a0为例b24ac000yax2bxc的图象高一上期知识要点-1-\n方程ax2bxc0的根ax2bxc0的解ax2bxc0的解3.分式不等式：axb0(axb)(cxd)0axb(axb)(cxd)0cxdcxd0d0cx形如xac类型的可移项xac0化简来解。xbxb4.简单高次不等式：利用数轴标根法求解集。5.指数不等式：af(x)ag(x)①0a时②1,__________a时,___________16.对数不等式：logaf(x)logag(x)可转化为不等式组___________；当a___________①当0a1时，1时，。______________________解指数不等式，对数不等式时，必须考察函数的单调性问题，特别注意不能忽视了对数的真数必须大于0，不等式的解集必须用集合或区间表示出来。三、逻辑联结词：或（并集）、且（交集）、非（补集）1.命题可分为真命题、假命题，也可以分为简单命题、复合命题。复合命题形式有“p或q”，“p且q”，“非p”三种形式。2.复合命题的真值表。Pqp或qp且q非p真真真假假真假假3.四种命题的关系：互逆逆命题，若q则p原命题，若p则q互互为逆否互否否互逆q则p否命题，若p则q逆否命题，若①原命题为真，则其逆命题与否命题不一定为真，而其逆否命题一定为真。②互为逆否命题的真假相同，逆命题与否命题的真假相同。高一上期知识要点-2-\n4.充要条件：①若AB但BA，则A是B的___________条件。②若AB但BA，则A是B的___________条件。③若AB，则A是B的___________条件。④若AB且BA，则A是B的___________条件。四、恒成立问题：1.ax2bxc0恒成立，可令f(x)ax2bxc，函数图象恒在x轴上方。a0②a0等价于：①b0c00a0②a02.ax2bxc0恒成立，等价于：①b0c00例：已知不等式(a21)x22(a1)x30恒成立（或解集为R），求a的取值范围。第二章函数一、函数yf(x)及有关性质。1.函数定义：yf(x)中，自变量x的取值范围为函数的定义域。当xa时，yf(a)叫函数值。所有函数值的集合叫做函数的值域。2.映射的定义：f:AB两个允许：两个不允许：3.同一函数：①_______相同。②_________相同。③值域相同。（可由①②得③）4.函数定义域求法：使函数有意义的条件。①整式函数（一次函数、二次函数）定义域为R。②分式函数的分母不为0。③偶次根式函数，被开放数大于或等于0。（f(x)的f(x)0）④对数函数的底数大于0且不等于1，真数大于0。有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。5.函数的单调性：①定义：高一上期知识要点-3-\n②逆运用：(x)g(x)当yf(x)在区间[m，n]上为增函数时，若f[(x)]f[g(x)]则有：(x)ng(x)m(x)g(x)当yf(x)在区间[m，n]上为减函数时，若f[(x)]f[g(x)]则有：(x)mg(x)n③常用函数的单调性：Ⅰ.一次函数ykxb，当k0时为增函数；当k0时为减函数。Ⅱ.二次函数yax2bxc，当a0时在(,b]为减函数；在[b,)为增函数。2a2a当a0时在(,b]为增函数；在[b,)为减函数。与开口方向和对称轴有关。2a2aⅢ.反比例函数y1,0与0，上均为减函数；y1在在xx,0与0，上均为增函数。Ⅳ.yaxa0且a1，当0a1时为减函数；当a1时为增函数。Ⅴ.ylogaxa0且a1，0a1时，在0,上为减函数；当a1时，在0,上为增函数。6.反函数：求函数yf(x)的反函数的方法：（1）先根据原函数的定义域求出其值域（2）由yf(x)解出x(y)（3）将x(y)中的x,y互换，即得反函数yf1(x)标明定义域有关性质：（1）原函数yf(x)与反函数yf1(x)的定义域和值域正好互换，原函数过点a,b，则反函数过点b,a。（2）互为反函数的图象关于yx成轴对称图形。（3）原函数与反函数的单调性相同。7.函数得奇偶性：存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内，将x换成x后（1）若f(x)f(x)，则yf(x)为偶函数。（2）若f(x)f(x)，高一上期知识要点-4-\n则yf(x)为奇函数。有关性质：（1）偶函数得图象关于y轴对称，在对称区间上的单调性相反。（2）奇函数得图象关于原点对称，在对称区间上的单调性相同。8.求函数值域的基本方法（1）利用函数的单调性求值域：若yf(x)在m,n上为增函数则其值域为f(m),f(n)若yf(x)在m,n上为减函数则其值域为f(n),f(m)。（2）配方法：二次函数yax2bxca(xb)24acb2xR2a4a当a0时，有最小值4acb2，值域为4acb2，；4a4a当a0时，有最大值4acb2，,4acb2。4a4a（3）反表示法：即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如：求y2x1的值域。2x1（4）换原法：还原注意新元素的范围。例如：求yx1x的值域。（5）判别式法：形如：ya1x2b1xc1类型，可转化为关于x的一元二次方程有解，ax2bxc0求值域。（6）图象法。9.周期性：若函数yf(x)对于最小正周期T，使f(xT)f(x)，则称T为函数yf(x)的最小正周期。10.对称性：若f(tx)f(tx)则称xt为yf(x)的对称轴二、指数函数与对数函数（一）指数\n高一上期知识要点-5-\np1根式与分数指数幂：nanamap=1a运算法则：amanamamnmabanma(na)nnanb2指数函数的图象和性质：yaxa0且a1yaxa1yax0a1图象定义域性值域定点质单调性增函数减函数3指数方程：（1）af(x)ag(x)f(x)g(x)（化成底数相等）（2）(ax)2maxn0可换元后求解，令tax(t0)4指数复合函数的单调性：yau(x)（1）0a1时，yau(x)与u(x)的单调性相反（2）a1时，yau(x)与u(x)的单调性相同（一致）（二）对数函数1对数式与指数式互化：abNlogaNb；loga1logaalogaan2对数的运算法则：logaMlogaNlogaMlogaNlogaMnloganm对数恒等式：alogaN高一上期知识要点-6-\nlogcblogabmlog11换底公式：logabblgaa1logab3对数函数ylogaxa0且a1的图象和性质ylogaxa1ylogax0a1图象定义域性值域定点质单调性增函数减函数（1）当a与b都大于1或都小于1时，logab0（2）当a与b一个大于1另一个小于1时，logab0f(x)g(x)4对数方程：logaf(x)logag(x)f(x)0g(x)05对数函数复合形式的单调性：ylogau(x)在u(x)0的定义域内（1）0a1时，ylogau(x)与u(x)的单调性相反，（2）a1时，ylogau(x)与u(x)的单调性相同。三二次函数yax2bxca0，判别式b24ac高一上期知识要点-7-\n1yax2bxc10，有2）0，有个与x轴的交点个数：（）个交点（交点，（3）0，无交点。当0时，方程ax2bxc0有两个实根：x1,x2。则由韦达定理（根与系数的关系）知：x1x2，x1x22一元二次方程ax2bxc0实根问题（以a0为例）x1x200y（1）有两正根x1x20或f(0)>0ox0-bo0x2ax1x200（2）有两个负根x1x20或f(0)>00b0-2a（3）有一正一负的根x1x20(或f(0)0)03ax2bxc0(a0)区间根问题x1,x2(m,n)x1mnx2x1,x2仅一个根在(m,n)x1mx2mx1x2内图mmnmnmnm象高一上期知识要点-8-\n充f(m)0f(m)0f(m)f(n)0f(m)0f(m)0要f(n)0f(n)0b条bm件mn2a02a04二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间m,n内的最值问题:(1)当bm时,函数在m,n上为增函数。yminf(m),ymaxf(n);2abmn时。yminb),ymax(2)当mf(f(n);2a22a(3)当mnbn时。yminf(b),ymaxf(m);22a2a(4)当bn时,函数在m,n上为减函数。yminf(n)，ymaxf(m)。2a例:已知f(x)3x22(a1)xa2在x1,1上的最小值为13,求a的值.解:Qf(x)22(a1)x23xa的对称轴为x1a1a4(1)332a2a2f(1)131311a12a43(2)221a(1a)2(a1)f(3)13331a1a2(3)332a2213f(1)13a1a3a42a4a2a802a42a422a200a4或a5a13aa2a2a113a2a131或12a12013综上所述:满足条件的a4或a113。四图象变换，设a0,b01.平移：yf(x)向右平移a个单位yf(xa),yf(x)向左平移a个单位yf(xa)高一上期知识要点-9-\n2.yf(x)向上平移b个单位yf(x)b,yf(x)向下平移b个单位yf(x)b3.对称：yf(x)关于x轴对称yf(x),yf(x)关于y轴对称yf(x)yf(x)关于原点对称yf(x)4.yf(x)保留x轴上方的图象，把下方图象对称到上方yf(x)yf(x)关于y轴对称，保留y轴右边的图象yf(x)五复合函数：1若函数yf(t),t(x)，则称yf(x)为关于x的复合函数。（1）t(x)为内函数，yf(t)为外函数。（2）t(x)的值域，既为yf(x)的定义域。2已知yf(x)的表达式，求yf(x)的表达式，可采用换元或凑项的方法。例：已知函数f(x1)x2x，求f(x)(法一)：令tx1，则xt1，xt12f(t)t22t1t21,既f(x)=x2112（法二）：Qf(x1)x2xx11，整体替换，将x1换成xf(x)x213已知yf(x)的定义域，求yf(x)的定义域例已知yf(x22)的定义域为x1,3，求yf(x)的定义域解：Qyf(x22)的定义域为x1,3，令tx22,则值域为t-1,7将t换成x，yf(x)的定义域为-1，7。4复合函数的单调性规律yf(t)增增减减t(x)增减增减yf(x)增减减增高一上期知识要点-10-\n第三章数列一、数列的基本知识：1.数列的定义：2.数列的基本表示方法：a1,a2,a3⋯an⋯3.通项公式：anf(n)，用含有n的代数式表示an。4.数列{an}的前n项和Sna1a2a3⋯an(n1)，Sn1a1a2a3⋯an1(n2)，S1a1已知数列{an}的前n项和Sn，求an的方法：①n=1时，a1S1；②n2时，anSnSn1验证，a1S1是否适合an，若适合，则anSnSn1；若不适合，则anS1(n1)SnSn1(n2)也可以判断S0是否等于0，若S00则anSnSn1；若S00，anS1(n1)SnSn1(n2)二、等差数列{an}1.定义：即：anan1d(n2)，首项为a1，公差d。2.通项公式：an==（关于n的一次函数）前n项和公式：Sn==（关于n的二次函数，不含常数项）可化为Snan2bn。3.等差数列的性质：①anam(nm)d②若m+n=p+q，则：若m+n=2k，则：ankankan2③Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等差数列④若a10,d0，则数列{an}为_______________数列。前n项和有_______值。满足:，找分界项。（也可以用二次函数特点求）若a10,d0，则数列{an}为_______________数列。前n项和有_______值。高一上期知识要点-11-\n满足:，找分界项。（也可以用二次函数特点求）例：已知等差数列{an}的首项为31，公差为-4，求Sn的最大值。⑤若等差数列{an}共有2n+1项，则S奇(n1)(a1a2n1)，2____an1n(a2a2n)____an1，S奇S偶______S偶2(2n1)(a1a2n1)。S2n+12____an1三、等比数列{an}。1.定义：an即：q，首项a1，公比为q（q≠0）。an12.通项公式：an=前n项和公式：Sn=；当q=1时，Snna1。3.等差数列的性质：①anamqnm②若m+n=p+q，则：若m+n=2k，则：③Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等比数列四、数列求和方法：1.特殊数列求和：①等差数列求和；②等比数列求和；③常数数列求和；2.分组求和法：一般可转化为等差数列，等比数列求和。通项结构cnanbn11311例：求12Lnn的和。24823.裂项求和法：111L1例：求2334的和。12n(n1)4.错位相减法：（q倍求和法）通项结构cnanbn123Ln例：求223n的和。222高一上期知识要点-12-