最新初中数学解题模型精品课件 56页

《初中数学(shùxué)解题模型》第一页，共56页。\n第二页，共56页。\n初中数学通关(tōnɡɡuān)口诀代数抓精髓；代入是关键。代数一般式；两得全搞定。算功过三关；解功四门槛。方程辨两类；函数识三型。函数三姐妹；勾股三用途。系数不为零；指数要相吻。非负三兄弟；蜕皮(tuìpí)两魔鬼。统计要通关；两查走在前。几何要通透；精髓是特殊。四图加一表；数据整理好。重点特殊图；识图定性判。数据分析透；三差加三数。两图谈感情；特殊关系联。概率也不难；频率能估算。全等加相似；对称与旋转。列表和树型；搞清总和分。平移与投影；位似也要算。鱼池鱼几多；应用记概型。考点说举做；做题改变找。动点巧分类；最短牛喝水。条件挖隐含；分类不漏点。找准临界点；相似巧破题。思路技巧精；反思记模型。代数两特殊；首先特殊数。应用均同宗；关系是根本。数数拉关系；方不与函数。元量同回代；运算有六种。关系大小等；再加倍比分。每每有热点；负元巧应用。算功：有理数、无理数、代数式的三种计算(jìsuàn)功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式（组）的四种功力。勾股三用途：指勾股定理的计算(jìsuàn)；列方程；证明垂直的三项功能。第三页，共56页。\n初中数学(shùxué)精髓几何：两个字概括——特殊：特殊图形；特殊关系（全等、相似）。代数：两个字概括——代入：字母的含义代入代数式、方程、不等式或者函数。几何三大方法：全等、相似、勾股定理。辅助线的认识对内分割对外补形压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。第四页，共56页。\n戏说数学(shùxué)之——代数分式方程（可化为一元(yīyuán)一次方程）死数（实数）活数（含有字母的数）代数式（定义）有理式无理式整式分式单项式多项式特殊数数与数之间的特殊关系相等关系：等式及方程不等关系：不等式（组）全部关系：函数与图象整式方程一元（一次；二次）二元（一次方程组）代数学什么？数以及(yǐjí)数与数的关系！第五页，共56页。\n按照(ànzhào)数的性质为代数式分类代数式死数（实数(shìshù)）活数（含字母(zìmǔ)的数）永正数：非负数+正数非负数：平；绝；根永负数：－（非负数+正数）条件活数（川剧变脸）第六页，共56页。\n戏说数学(shùxué)之——几何基本图形（点、线、面、空）特殊图形（三、四、多、圆）特殊图形三角形性质（直角等腰）（平矩菱正）特殊图图与图之间的特殊关系全等关系相似关系变换关系定义四边形判定定义性质判定对称—兴致—平移—位似—投影—视图多边形与圆（正、圆）普通图形（丑）特殊图形（美）（整容）几何学什么(shénme)：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！第七页，共56页。\n学习(xuéxí)几何要过四关画图关：按照题意画图形。语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换(zhuǎnhuàn)和翻译。推理关：证明，推理的能力和步骤。模型关：掌握常用的几何模型。第八页，共56页。\n诀曰：等角套，套等角，顺藤摸瓜找相似。备注：等角套也叫共点等角、旋转等角。分为“内套和外套。OABCDOABCD如图：若∠AOB＝∠COD（等角套：内套；外套）则立得：∠AOC＝∠BOD（理由：）等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之——拨开(bōkāi)云雾见天日！1第九页，共56页。\n诀曰：歪八套，和歪A，形影不离似孪生。特殊的三对相似（和四点共圆结合理解(lǐjiě)更加妙趣横生）ABCDO若∠D＝∠C，这个(zhège)图形为“歪8”，显然△AOD∽△BOC，添油加醋—ABCDO若∠D＝∠C，这个(zhège)图形为“歪8”，显然△AOD∽△BOC，添油加醋—连接AB、DC，△AOB∽△DOC相似吗？为什么？八字倒角（共边等角，一等三等）：如图：如果∠BAC与∠BDC；∠DAC与∠DBC；∠ABD与∠ACD∠BDA与∠ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。思考：为什么叫“共边等角”？（学了圆，理解、记忆更容易）第十页，共56页。\n母题(mǔtí)一ABCDEF1.如图：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接(liánjiē)BD、CE（手拉手），延长BD交CE于F，连接(liánjiē)AF。求证：⑴△ABD≌△ACE⑵∠BFC=60°⑶AF平分∠DFE2.若把上题已知条件中的等边三角形改为等腰直角三角形，∠BAC和∠DAE为直角，请判断：上述结论(jiélùn)有什么变化？试证明你的判断。3.若把“1”题已知条件中的等边三角形改为顶角相等的两个等腰三角形，∠BAC和∠DAE顶角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。4.若把“1”中的条件改为：△ABC中，DE∥BC，把△ABC旋转到如图所示的位置。其他条件不变。请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。ABCDEFDE口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。第十一页，共56页。\n母题二ABCEDFGM1.如图：点B、C、D在一条直线上，△ABC与△ECD都是等边三角形，其中的点及对应的字母如图所示。证明：⑴△BCE≌△ACD（BE=AD本质：等角套+旋转全等）⑵△CDF≌△CEG△CBG≌△CAF（旋转全等）⑶△CGF是等边三角形。⑷MC是∠GMF的平分线。（以点M为顶点的角有六个60°角，请你找出来并说明理由）。ABCDEMEG2.如图：把题“1”中的两个等边三角形绕C点反向旋转（左逆右顺），就形成了一对新的“双等边三角形”。已知：△ABC为任意三角形，AB＜AC，∠BAC＜120°，分别以AB、AC为边向三角形外侧作两个等边三角形：△ABD与△ACE。其中中的点及对应的字母如图所示。证明：⑴BE=DC⑵MA是∠GME的平分线。（以点M为顶点的角有六个60°角，请你找出来并说明理由）。⑶△AEG是等边三角形吗？为什么？AE=AE吗？说明理由。注意：2中的点M为△ABC的费马点：三角形中到三个顶点距离的和最小的点！且这个(zhège)最小距离就是DC或BE（为什么？）双等边模型(móxíng)第十二页，共56页。\n母题(mǔtí)三双正方形模型(móxíng)ABCDEFGH1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证：⑴BG=DE⑵BG⊥DE（内含：歪八套歪A+四点共圆，与圆结合(jiéhé)：宝藏也）ABCDEFGH2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，BG交DE于H。求证：⑴BG=DE⑵BG⊥DE（对照“1”，类比推理）第十三页，共56页。\n母题(mǔtí)四ABC1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上的中点，E、F分别(fēnbié)在AB、AC上，且ED⊥EF，求证：⑴BE=AF⑵△EDF为等腰直角三角形⑶BE2+CF2=EF2⑷S△ABC=2S四边形AEDFEF2.在“1”中，若EF与AD相交(xiāngjiāo)于G，其他条件不变，求证：⑴ED2=EG·EA⑵GE·GF=GA·GDABCEFG第十四页，共56页。\n母题(mǔtí)五第十五页，共56页。\n母题(mǔtí)六第十六页，共56页。\n2诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。简释 ：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过角的顶点的线段（所谓的鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与α相同的角度，构造“等角套”，此时(cǐshí)必然会产生一对全等三角形。利用全等的性质去解决问题，事半功倍。ABCDABDCE如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段——怎么做辅助线？作AE=AD，且∠EAD=∠BAC（或：把线段AD绕A点旋转一个与∠BAC相等的度数(dùshu)），可以达到柳暗花明又一村的奇效。鸡爪图第十七页，共56页。\n母题(mǔtí)七ABCD如图：等腰直角△BAC中，∠BAC=90°，D为BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量关系(guānxì)并证明。第十八页，共56页。\n母题(mǔtí)八四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转(xuánzhuǎn)解题策略1.如图：正方形ABCD内有一点(yīdiǎn)E，且EA=1，EB=2EC=3，求∠AEB的度数。ABCDE鸡爪—旋转（图中几个鸡爪？选择哪个？为什么？）口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。2.如图：∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：AB2+BC2=BD2ABCD如果AB=4，BC=3，求BD=？第十九页，共56页。\nABCD┓图解(tújiě)：图中直角=360-（360-30-60）=90第二十页，共56页。\n母题(mǔtí)九ABCE如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5求∠AEB的度数(dùshu)。第二十一页，共56页。\n母题(mǔtí)十“邻补四边形模型”口诀(kǒujué)：对角补，邻边等，知二推一角平分。ABCD邻补四边形：对角互补(hùbǔ)，邻边相等的四边形！如图：四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，且AB=AC，求证：⑴BD平分∠ADC=90⑵DA+DC=BD⑶S四边形ABCD=1/2BD2特别提示：类似题目可以用“旋转大法”和“截长补短”法以及“角平分线双垂直模型”解决，建议对比提升解题能力。第二十二页，共56页。\n母题(mǔtí)十一ABCD1.如图：四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=120°且AB=AC，求证：⑴BD平分(píngfēn)∠ADC⑵DA+DC=BD⑶S四边形ABCD=BD2特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了什么变化？2.如图：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°且AB=AC，求证：BD平分(píngfēn)∠ADC问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？第二十三页，共56页。\n小结，拓展：上面(shàngmiɑn)是所谓的共点等线构成的“鸡爪图”，旋转后构成一对全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图”呢？可以如法炮制吗？ABCDABDCE如图：若已知AB≠AC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条(yītiáo)线段——怎么做辅助线？作AD：AC=m，且∠DAE=∠BAC（或：把线段AC绕A点旋转一个与∠BAC相等的度数，并使AD：AE=m），会发生什么？有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似——神气的一转成双！鸡爪图第二十四页，共56页。\n第二十五页，共56页。\n母题(mǔtí)十二第二十六页，共56页。\n方法(fāngfǎ)第二十七页，共56页。\n3旋转+截长补短：破解半角模型——诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。鸡爪图，三线(sānxiàn)段，抓住定角也旋转。线段和，要得证，截长补短是正本。正方形，等直三，内含半角转一转。第二十八页，共56页。\n母题(mǔtí)十三1.如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，⑴证明：EF=BE+DF⑵证明△ECF的周长等于(děngyú)正方形ABCD周长的一半。⑶过A作AH⊥EF于H，证明：AH=BC备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于M，连接EM、GF。GF与EM相交于O点。⑴证明：BG2+MD2=GM2⑵证明：△AGF与△AME是等腰直角三角形⑶证明：AE平分∠BEF；AF平分∠DFE⑷证明：△EAB∽△EFG；△ADF∽△EMF⑸图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似(xiānɡsì)三角形可以自己去找。GMO更多结论参考下页——正方形内含半角第二十九页，共56页。\n第三十页，共56页。\n母题(mǔtí)十四邻补四边形内含(nèihán)半角（邻边相等，对角互补的四边形）ABCDEFABCDEFABCEF1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，∠ABC=∠ADC=90°且∠EBF=45°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注(bèizhù)：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，∠ABC+∠ADC=180°且∠EBF=1/2∠ABC°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，E、F都是AC上的点，且∠EBF=45°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题其实就是母题十二“2”中的第一问！第三十一页，共56页。\n自造半角模型解体(jiětǐ)策略：三角形作高翻折！第三十二页，共56页。\n4将军饮马(yǐnmǎ)：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。口诀：和与差，求最值，将军饮马(yǐnmǎ)七模型！··ABP两村一路(yīlù)（异侧）和最小两村一路(yīlù)（同侧）和最小一村两路和最小两村两路和最小两村一路（线段）和最小两村一路（同侧）差最大两村一路（异侧）差最大第三十三页，共56页。\n母题(mǔtí)十五AB函数(hánshù)中的将军饮马（四大模型）★如图：平面直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系中有A、B两点A（1，3）；B（4，2）。⑴若x轴上有一动点P，当PA+PB最短时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。⑵若x轴上有一动点P，y轴上有一动点Q，当△APQ的周长最短时，求出P、Q两点的坐标，并求出此时△APQ的周长的最小值。⑶若x轴上有一动点P，y轴上有一动点Q，当四边形AQPB的周长最短时，求出P、Q两点的坐标。⑷若x轴上有一线段EF，且EF=1，当四边形AEFB的周长最短时，求出E、F两点的坐标。ABOO备用图第三十四页，共56页。\n母题(mǔtí)十六“变态(biàntài)的将军饮马”——造桥选址问题第三十五页，共56页。\n第三十六页，共56页。\n母题(mǔtí)十七两村一路(yīlù)第三十七页，共56页。\n第三十八页，共56页。\n母题(mǔtí)十八ABCDMN两村一路(yīlù)第三十九页，共56页。\n母题(mǔtí)十九两村一路(yīlù)第四十页，共56页。\n母题(mǔtí)二十“变态(biàntài)的”两村一路：固定变量法—第四十一页，共56页。\n答案：先设E点不变，画出P点后在确定E的位置(wèizhi)！固定变量法第四十二页，共56页。\n母题(mǔtí)二十一第四十三页，共56页。\nEF由面积关系得：EF与BC的距离为2，所以(suǒyǐ)，B点的对称点是A，连接AC，AC=5=PB+PC第四十四页，共56页。\n一村两路母题(mǔtí)二十二第四十五页，共56页。\n第四十六页，共56页。\n母题(mǔtí)二十三AOBP·1.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内部一点(yīdiǎn)，且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，当△AMN的周长最短时，求周长的最小值。1.如图，点P为∠AOB内部一点且OP=15，OA、OB上分别有两个(liǎnɡɡè)动点M、N，当△AMN的周长最短为15时，求∠AOB的度数。AOBP·一村两路第四十七页，共56页。\n母题(mǔtí)二十四两村两路····ABCDMNPQ如图：矩形ABCD中，AC=6，DC=4，DM=1BN=2，P、Q分别为AB、AC上的两个(liǎnɡɡè)动点，当四边形MNPQ的周长最小时，求周长的最小值。第四十八页，共56页。\n母题(mǔtí)二十五两村一路(yīlù)差最大Oxy··A（2，2）B（8，-6）如图：平面直角坐标(zuòbiāo)系中，A、B两点的坐标(zuòbiāo)已知，在x轴上有一动点P。当|PA-PB|最大时，求P点的坐标(zuòbiāo)，并求出|PA-PB|的最大值。第四十九页，共56页。\n5十字架模型(móxíng)：诀曰：三角形，四边形，十字架中有乾坤又改斜，又改正，横平竖直有矩形。第五十页，共56页。\n【正方形内的十字架结构(jiégòu)】1、在正方形ABCD中，BN⊥AM，则常见的结论(jiélùn)有哪些？垂等图2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上(biānshànɡ)的点，⑴若EF⊥GH，证明：EF=GH⑵若EF=GH，证明：EF⊥GH以上结论，称之为“垂等图”！以上方法：改斜归正，横平竖直。方法思路学习数学精髓母题二十六第五十一页，共56页。\n如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得(shǐde)点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边，求折痕FG的长；母题(mǔtí)二十七第五十二页，共56页。\n【解析】连接AE，由轴对称的性质可知，AE⊥FG（应该是FG垂直平分AE）这样就可以直接(zhíjiē)用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以FG=AE=（）感悟(gǎnwù)：慧眼发现十字架！解析(jiěxī)第五十三页，共56页。\n【十字(shízì)结构在矩形中】【思考】既然正方形内可出现垂直，那么(nàme)矩形内出现垂直会有什么结论呢？1、如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则CE和BD之间有什么数量(shùliàng)关系？证明请。2、如图1，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EF⊥GH时，证明：⑴△FME∽GNH⑵EF:GH=AB:BC注意：红色的字很关键否则，上述结论不成立母题二十八第五十四页，共56页。\n例题(lìtí)2如图，已知直线与x轴、y轴分别(fēnbié)交于B、A两点，将△AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数(hánshù)经过点D时，求k的值.母题二十九第五十五页，共56页。\n【解析】求出点D的坐标就好啦！这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）发现(fāxiàn)连接OD后，有OD⊥AB（发现(fāxiàn)没有，矩形内部垂直模型出来了！）解析(jiěxī)第五十六页，共56页。