高中数学必修5第二章复习资料 20页

必修五　第二章§5-5数列的概念及表示一、基础知识梳理：1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1__>__an其中n∈N*递减数列an＋1__<__an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知Sn，则an＝.二、典型例题讲解:题型一　由数列的前几项求数列的通项【例1】　写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)，，，，，…；(3)－1，，－，，－，，…；(4)3,33,333,3333，….思维启迪：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．20\n解　(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.也可写为an＝(4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．探究提高　(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．【变式训练1】根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)，，－，，－，，…；(2)，1，，，…；(3)0,1,0,1，….解　(1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…，因此an＝(－1)n·.(2)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，20\n因此可得它的一个通项公式为an＝.(3)an＝或an＝或an＝.题型二　由数列的递推关系求通项公式【例2】　(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.思维启迪：(1)可构造等比数列求解；(2)可使用累加法．解　(1)∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋a＝2(an＋a)，与an＋1＝2an＋1比较可知a＝1，又a1＝1，∴a1＋a＝2.故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.(2)当n取1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式．即an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，将其两边分别相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，∴an＝a1＋＝2＋.探究提高　已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．【变式训练2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.解　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.20\n(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.题型三　由数列的前n项和求通项公式【例3】　已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.思维启迪：当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．解　(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝探究提高　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝20\n1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．【变式训练3】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．答案　an＝解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝三、随堂练习：1．已知数列1，，，，…，，则3是它的(　　)A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项答案　B解析　观察知已知数列的通项公式是an＝，令an＝＝3＝，得n＝23.2．在数列中，等于（）A．11B．12C．13D．143.(2011·四川)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于(　　)A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1答案　A解析　当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.4．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是(　　)A．an＝2(n2＋n＋1)B．an＝3·2nC．an＝3n＋1D．an＝2·3n答案　D解析　由已知可得：a1＝6，a2＝18，由此可排除A、B、C.5．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)20\nA．15B．16C．49D．64答案　A解析　∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.6．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为__________．答案　an＝2n－1(n∈N*)解析　∵1,3,7,15分别加上1，则为2,4,8,16，易知an＝2n－1.7．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝________.答案　n(n－1)解析　由已知，得an＋1－an＝2n，故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)．8．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴{Sn－3n}是等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*①(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9，又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．§5-6　等差数列及其前n项和一、基础知识梳理：20\n1．等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项：如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．5．等差数列的前n项和公式：设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．8．等差数列的判断方法：(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.9．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(3)S2n－1＝(2n－1)an.10．等差数列与函数：在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.二、典型例题讲解：题型一　等差数列基本量的计算【例1】　(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．思维启迪：等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.20\n由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.探究提高　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【变式1】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解　(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一　∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－2或d≥2.方法二　∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.题型二　等差数列的前n项和及综合应用【例2】　(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．思维启迪：(1)由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．解　(1)方法一　∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋×＝130.方法二　同方法一求得d＝－.∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.20\n方法三　同方法一求得d＝－.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值．且最大值为S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，则Tn＝＝探究提高　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．【变式2】(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.当n＝2时，满足此式．综上，Sn＝题型三　等差数列性质的应用【例3】　设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n>6)，求数列的项数n.思维启迪：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，在涉及数列前n项和及某些项和的问题中常用到此性质．解　由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216.20\n∴a1＋an＝36.又Sn＝＝324，∴18n＝324.∴n＝18.探究提高　本题的解题关键是将等差数列性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq与前n项和公式Sn＝结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．【变式3】(1)设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.(2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．答案　(1)153　(2)180解析　(1)∵an＋1－an＝2，∴{an}为等差数列．∴an＝－7＋(n－1)·2，∴a17＝－7＋16×2＝25，S17＝＝＝153.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18⇒S20＝×20＝×20＝180.三、随堂练习：1．(2012·江西)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝____.答案　35解析　两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.2．已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且x≠y，则的值为________．答案　解析　∵a2－a1＝(y－x)，b2－b1＝(y－x)，∴＝.3．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.答案　15解析　∵{an}为等差数列，∴a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.4．(2011·江西)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于(　　)A．18B．20C．22D．24答案　B解析　因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.20\n5．(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(　　)A．58B．88C．143D．176答案　B解析　S11＝＝＝88.6．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　方法一　设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴d＝2.方法二　∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.7．数列{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于(　　)A．40B．200C．400D．20答案　C解析　S20－2S10＝－2×＝10(a20－a10)＝100d，又a10＝a2＋8d，∴33＝1＋8d，∴d＝4，∴S20－2S10＝400.8．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a99＝0D．a51＝51答案　C解析　由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101＝×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.9．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.答案　13解析　设等差数列{an}的公差为d，则由已知，得解得所以a6＝a1＋5d＝13.10．(2011·辽宁)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.答案　－1解析　由题意知解得　∴a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.11．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________.答案　2n－1解析　∵an＋1－an＝2(n≥1)，∴{an}为等差数列，20\n∴an＝1＋(n－1)×2，即an＝2n－1.12．(10分)已知等差数列{an}的公差是正数，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求它的通项公式．解　设等差数列{an}的公差为d.因为a3＋a7＝a4＋a6＝－4，a3a7＝－12，所以a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．因为d>0，所以a30，根据已知条件得2＝5，解得q＝2.所以aq8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n.2．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.答案　解析　由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a，a3a5＝a，得a＋a＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a＋2a4a8＋a＝41＋2×5＝51.又an>0，所以a4＋a8＝.3．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.答案　2解析　令a＝1，b＝3，c＝9，则由题意，有x＝2，y＝6.此时＋＝＋＝2.4．(2011·广东)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.答案　2解析　由a2＝2，a4－a3＝4，得方程组⇒q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.又{an}是递增等比数列，故q＝2.5．(2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　)A．7B．5C．－5D．－7答案　D解析　方法一　由题意得∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.方法二　由解得或∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.6．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)20\nA．1B．－C．1或－D．－1或答案　C解析　根据已知条件得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.7．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.答案　240解析　∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.8．(10分)已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得.∴a1＝0，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.∴{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.§5-8数列求和一、基础知识梳理：1．等差数列前n项和Sn＝＝na1＋d，推导方法：倒序相加法；等比数列前n项和Sn＝推导方法：错位相减法．2．数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.3．常见的拆项公式：(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.二、典型例题讲解：题型一　分组转化求和例1　已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解　(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.20\n(2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋.探究提高　某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【变式】求和Sn＝1＋＋＋…＋.解　和式中第k项为ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.∴Sn＝2＝2[(1＋1＋…＋1－(＋＋…＋)]＝2＝＋2n－2.题型二　错位相减法求和例2　设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.思维启迪：(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减．(2)bn＝n·3n的特点是数列{n}与{3n}之积，可用错位相减法．解　(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②①－②得3n－1an＝，∴an＝.在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，∴an＝.(2)∵bn＝，∴bn＝n·3n.∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n·3n＋1－，∴Sn＝＋.探究提高　解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n－1an}的前n项和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n－1an，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．【变式2】(2011·辽宁)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，①故S1＝1，＝＋＋…＋.②20\n所以，当n＞1时，①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－(＋＋…＋)－＝1－(1－)－＝.所以Sn＝.当n＝1时也成立．综上，数列的前n项和Sn＝.题型三　裂项相消法求和例3　在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.思维启迪：第(1)问利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)后，再同除Sn－1·Sn转化为的等差数列即可求Sn.第(2)问求出{bn}的通项公式，用裂项相消求和．解　(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.(2)又bn＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝.探究提高　使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．【变式3】已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.(1)证明　∵Sn＝，n∈N*，∴当n＝1时，a1＝S1＝(an>0)，∴a1＝1.当n≥2时，由得2an＝a＋an－a－an－1.即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2)．所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)解　由(1)可得an＝n，Sn＝，bn＝＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.三、随堂练习：1．在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________.答案　54解析　由等差数列的性质，a2＋a8＝18－a5，即2a5＝18－a5，∴a5＝6，∴S9＝＝9a5＝54.2．等比数列{an}的公比q＝，a8＝1，则S8＝________.20\n答案　255解析　由a8＝1，q＝得a1＝27，∴S8＝＝＝28－1＝255.3．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝________.答案　－25解析　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.4．(2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)A．－110B．－90C．90D．110答案　D解析　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.5．(2012·大纲全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　利用裂项相消法求和．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.6．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为(　　)A．120B．70C．75D．100答案　C解析　∵＝n＋2，∴的前10项和为10×3＋＝75.7．已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于(　　)A．20B．17C．19D．21答案　C解析　由a9＋3a11<0，得2a10＋2a11<0，即a10＋a11<0，又a10·a11<0，则a10与a11异号，因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是一个递减数列，则a10>0，a11<0，所以S19＝＝19a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0.8．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2答案　C解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.20\n9．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)A．200B．－200C．400D．－400答案　B解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.10．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.答案　2600解析　由an＋2－an＝1＋(－1)n知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2600.11．数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.答案　66解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.∴an＝.令2n－5≤0，得n≤，∴当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝66.12．(2012·课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．答案　1830解析　利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.13．(10分)求和：(1)Sn＝＋＋＋＋…＋；(2)Sn＝2＋2＋…＋2.解　(1)由于an＝＝n＋，∴Sn＝＋＋＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝－＋1.(2)当x＝±1时，Sn＝4n.当x≠±1时，Sn＝2＋2＋…＋2＝＋＋…＋＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋＝＋＋2n＝＋2n.∴Sn＝20\n14．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列的前n项和Tn＝.(1)解　由已知得(n≥2)，得到an＋1＝an(n≥2)．∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，∴an＝a2×n－2＝n－2(n≥2)．∴an＝(2)证明　bn＝log(3an＋1)＝log＝n.∴＝＝－.∴Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.20