高中数学必修一概念和例题分析复习资料 22页

必修1第一章集合与函数概念K1.12集合[1.1.1]集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，/?表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象d与集合M的关系是awM,或者两者必居其一.(4)集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{兀丨兀具有的性质},其中兀为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图來表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(0).【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)山方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于7的整数.解：(1)用描述法表示为:{xeR\x(x2-2x-3)=0},用列举法表示为{0,-1,3}.(2)用描述法表示为：[xeZ\2-4}.(3){x|y=-}={x|x^0}.[y=—2x+6x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4},也注意对比(2)与(3)中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.水【例4】已知集合A={d|罕3=1有唯一实数解},试用列举法表示集合JT一2解：化方程罕工=1为：兀2_x_(d+2)=o.应分以下三种情况：x-2⑴方程有等根R不是土血：由△=(),得a=--,此时的解为兀=丄，合.42⑵方程有一解为血，而另一解不是-血：将X=代入得a=-y/2,此时另一解X=l-V2,合.⑶方程有一解为-血，而另一解不是血：将x=-42代入得a=此时另一解为x=V2+l,合.\n综上可知，A={—\/2,-\/2).4点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.[1.1.2]集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集AcB(或BnA)A中的任一元素都属于B(l)ACA⑵0CA(3)若AqB且ByC，则AcC(4)若AcB且BeA,则A=B(5◎或真子集AUB丰(或BZ)A)Ac5,且B中至少有一元素不属于A(1)0uA(A为非空子集)(2)若AuB且丰BuC,则AuC◎集合相等A=BA中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A⑴AUB(2)BOA(7)己知集合A有>1)个元素，则它有2"个子集，它有2〃-1个真子集，它有2"-1个非空子集，它有2"-2非空真子集.【例1]用适当的符号填空：{等腰三角形}—{等边三角形}•0—{0}；0{0}；N{0}.(1){菱形}{平行四边形}；(2)0{XG7?|%2+2=0)；解：(1)皐，W；(2)=,e,【例2】设集合A={x\x=-,neZ},B={x\x=n+-,neZ},则下列图形能表示人与B关系的是().2A・B・C・D.31133113解：简单列举两个集合的一些元素，A={..,—-1,-10,^,1,^,•••},22222222易知B呈A,故答案选A.另解：由B={x\x=^n^,neZ],易知B呈A,故答案选A.【例3】若集合M={x|x2+x-6=0},A^={x|ax-l=0},且N,求实数a的值.解：山兀2+x-6=0=>x=2ng-3,因此，M={2,-3}.(/)若a=0时，得N=0,此时，NuM；(//)若(7工0时，，得N—{—}.若N匸M,满足丄=2或丄二一3,解得a=丄或a=—丄.aaa23\n故所求实数d的值为0或丄或-丄.23点评：在考察“A^B”这一关系时，不要忘记"0”，因为A=0时存在A^B.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A={ata+b,a+2b}fB={a,ax,ax2}.若A二B,求实数x的值.亠[a+b=ax°~。、解：若彳=>a+ax2-2ax=0,所以a(x-l)2=O,B|Ja=0或x二：L[a+2b=ax当a=0时，集合B中的元素均为0,故舍去；当*1时，集合B中的元素均相同，故舍去.若\a+b=ax~2ax2-ax-a=Q.a+2b=ax因为aHO,所以2x2-x-1=0,即(x-l)(2x+l)=0.又xHl,所以只有兀=一丄.2经检验，此时店B成立.综上所述兀=-丄.2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.[1.1.3]集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集{x\xeA,且xeB](1)AC\A=A(2)AH0=0(3)AHBqAAQB^B并集A\JB[x\xeA,或xeB}(1)AUA=A(2)A\J0=A(3)A\JB^AAUgB补集{x\xeU,且A}⑴AH(^A)=0(2)A\J(^A)=U(3)釈人介3)=(皿山(?丿)(4)^(AUB)=(t,A)n(?^)【例1]设集合=/?,A={x|-lA.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集U=兀<10,且“N"},4={2,4,5,8},3={1,3,5,8}，求Cb.(A\jB),,(Q4)n(Cb,B),(QA)u(QB),并比较它们的关系.解：由AUB={1,2,3,4,5,8},则q(AUB)={6,7,9}.由AQB={5,8},则Q(AAB)={1,2,3,4,6,7,9}由CM={1,367,9},QB={2,4,6,7,9},则(C〃)"(QB)={6,7,9},(Q,A)U(QB)二{1,2,3,4,6,7,9}.由计算结果可以知道，(GA)U(Cc.B)=Ca(AnB),(CUA)D(CUB)=CU(A[JB).另解：作出l/em?图，如右图所示，山图形可以直接观察出来结果.点评：可用吃加图研究(C异)UCMrGX/inB)与(Q>4)n(Q,.^)=C(7(/lU^),在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.例5.设集合A={x|(x-4)(x-a)=0,awR],={x|(x-l)(x-4)=0}.(1)求AUB，ACIB;(2)若AuB,求实数a的值；(3)若。=5,则AUB的真子集共有个，集合P满足条件(A"B)呈P呈(AUB),写出所有可能的集合P.解：(1)5={1,4).当a=4时，A={4),则AUB={1,4},A"B={4}；当a=l时,A={1,4},则AUB={1,4},A"B={1,4}；当aHl且恥4时，A={4,。},则AUB={l,4,d},AflB二{4}.(1)若AuB,由上易知d=4或d=l.(2)当a=5时，A={1,5),4UB={1,4,5}，其真子集有7个.二{4},则满足{4}刎P{1,4,5}的集合P有：{1,4},{4,5}.【例1】设集合A={-4,2G-l,a2},B={9,a-5,l-a},若AC\B={9],求实数a的值.解：由于人={-4,2°-1,/},3={9卫一5,1-可，fLAnB={9},则有：当2a-1=9时,解得a=5,此时A二{一4,9,25},B={9,0,—4},不合题意,故舍去；当亍=9时，解得a=3或一3.°=3时,A={—4,5,9},B二{9,一2,—2},不合题意,故舍去；a=—3,A={—4,—7,9},B={9,—&4},合题意.所以，ci=―3.【例2】设集合A={兀|(x—3)(x—d)=0,awR},B={x|(x-4)(x-l)=0},求AUB,ADB.(教材切B组题2)解：5={1,4}.当d=3时，A二{3},则4UB={1,3,4},4门3二0；当a=l时,A={1,3},则AUB={1,3,4},Af]B={l}；当a=4时，A={3,4},则AUB={1,3,4},Ap|B={4}；当q丰3.且aHl且X4时,A={3,a},则AUB={l,3,4,a},AC\B=0.点评：集合A含有参数a,需要对参数°进行分情况讨论.罗列参数。的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A={x\x2+4x=0},B={x|x2+2(t7+l)x+6Z2-l=0,aeR},若二B,求实数a的值.解：先化简集合&={-4,0}.由AC\B=Bt则BqA,可知集合B可为0,或为{0},或{一4},或{-4,0}.(/)若8=0,MA=4(^+l)2-4(a2-l)<0,解得a<-\；(“)若0wB,代入得/一1二0=>或a=-l,当时，B二A,符合题意；当d=-l时，B二{0}匸&,也符合题意.\n(〃7)若一4wB,代入得夕-8tz+7=0=>a=7或a=lf当a"时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B={—12,—4},不符合题意.综上可得，或aW-1.点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用•通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法.解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了&二B和3二0的情形，从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合人与3,若定义A-B={x\xgA,Hx^B},当集合A={x\x0){x\-aa(a>0)x\x<-a^x>a]\ax+b\c(c>0)把ax+b看成一个整体，化成\x\a(a>0)型不等式來求解(2)一元二次不等式的解法的解集ax1+bx+c<0(a>0)的解集{x\x{a,x>a,x0,从而确定函数的值域或最值.④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的冃的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【例1】求下列函数的定义域：(1))=~;(2)|x+2|—1解：(1)山|x+2|—1工0,解得XH—1且兀3,所以原函数定义域为(―°°,—3)U(-3,-1)U(―1,+°°)•fx-3>0y/X—3尸帀2(2)由R-2H0'解得且"9'所以原函数定义域为［3,9)U(9,+oo).3兀+2(2)y=-x2+x+2.【例2】求下列函数的定义域与值域：(1))，=仝土5-4x解：(1)要使函数有意义，则5-4心0,解得心丄.所以原函数的定义域是443兀+2112x+813(4x—5)+233233八3门-|、1/+冲亠£.3y==-x=-x—=__+H__+0=__,肪以值域为{y\y^__}•5-4x45-4x45-4x45-4x4441QQ(2)y=-x2+x+2=-(x--)2+所以原函数的定义域是R,值域是(一°°,一］・2441—Y【例3】己知函数/(——)=x.求：(1)/(2)的值；(2)/(X)的表达式1+兀解：(1)由—=2,解得x=-丄，所以f(2)=--.l+x331—x1—t1—t1—X(2)设—=r,=—,所以/(0=—,即/(%)=—•\nl+x1+/1+/l+x点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.\n兀2【例4】已知函数/(x)=yxeR./(I)+/⑵+/(3)+/(4)+/(£)+/(|)+班).1+十(1)求/(%)+/(-)的值；(2)计算:1丄+工1+X2T1L'2Xx211+x211==1.[丄1+x21+x21+X212JT(2)原式二/(1)+(/(2)+/(|))+(/⑶+/(|))+(/(4)+/(》)=*+3二f点评：对规律的发现，能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.例5.已知函数f(x),g(x)同时满足:gO-y)=g(x)gO)+；/(-I)=-1,/(0)=0,/(I)=1,求g(0),g(D,g(2)的值.解：令兀=)，得/2(x)+g2(y)=g(o).再令x=0,即得g(O)=O,l・若g(0)=0,令兀=)ul时，得/(1)=0不合题懑，故g(0)=l；g(0)=g(l—l)=g(l)g⑴+/(1)/(1),即l=g2(l)+l,所以g⑴=0；那么g(—l)=g(0-1)=g(0)g(l)+/(0)/(l)=0,g(2)=g[l—(一1)]=g(l)g(—1)+/(!)/(-!)=-l.[1.2.21函数的表示法(1)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格來表示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(2)映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则/)叫做集合A到B的映射，记作f:ATB.②给定一个集合A到集合B的映射，S.aeA,beB.如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素d的彖，元素G叫做元素方的原象.【例1】如图，有一块边长为。的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为无的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以X为自变量的函数式是,这个函数的定义域为.解：盒子的高为兀，长、宽为d—2兀，所以体积为x(a-2x)2.又由a—2x>0,解得心纟.2【例2】已知几v)』"兀％+2代(-00,1)XG(l,+oo)求加0)]的值.所以，体积V以兀为自变量的函数式是V=x(a~2x)2,定义域为{x|01,\n・・・/(V2)=(V2)3+(V2)-3=2+l=|,即朋0)]二|.【例3】画出下列函数的图象：(1)—2|；(教材P26练习题3)\n(1)y=|兀一l|+|2x+4|.解：(1)山绝对值的概念，有y=|x-2|=r~'"二2-x.x<2所以，函数y=\x-2\的图象如右图所示.3x+3,x>1(2)y二|兀一11+12兀+41二<兀+5,-2<^<1,—3兀一3,x<—2所以，函数)，=|兀-1|+|2兀+4|的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2,当兀w(—2.5,3]时,.2I•o•—o-idYi•；.YY对应函数式.写Hi/(x)的解析式，并作出函数的图象.—3,—2.5f(X2)，••那么就说f(x)在这个区间上是减函数.•••Jy=f(x)(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4)利用复合函数0X)X,x②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.①对于复合函数y=f[gM],令u=g(x),若y=f(u)为增,u=g(x)为增,则y=f[g(x)]为增;若y=f(u)为减，u=g(x)为减,则y=f[g(x)]为增；若y=f(u)为增，u=g(x)为减,则\ny=为减；若y=fM为减,w=g(x)为增,则y=f[g(x)]为减.(2)打“J”函数/(x)=x+-(a>0)的图象与性质(0,、历］上为减函数.①一般地，设函数y=/(兀)的定义域为/,如果存在实数M满足：(1)对于任意的xg/,都有/(X)m；(2)存在x()G/,使得/(x0)=tn.那么，我们称加是函数/(兀)的最小值，记作2兀【例1】试用函数单调性的定义判断函数fM=—在区间(0,1)上的单调性.x-1解：任取召，无丘(0,1),且Xj<•则/(xl)-/(xJ=^j--^-=・■・尢I一1吃_］3_1)(兀2_1)由于0v^v^vl，召一1<0,x2-1<0,x2-x{>0,故/(召)一/(兀2)>°，W/(x,)>/(x2).2兀所以，函数/(%)=—在(0,1)上是减函数.x-1【例2］求二次函数/(x)=ax1+bx+c(tz<0)的单调区间及单调性.解：设任R9Hx{0,从而/(占)一/(兀2)<0,2a〜「a即/3)1兀+5,-2<兀W1,其图象如右.—3x—3,山图可知，函数在［-2,+8)上是增函数，—对+2x+3，——2x+3,解：(1)y=\x-]\+\2x+4\=^x<-2在(-00,-2］上是减函数.其图象如右.x<0小题也由图象由图可知,函数在(-00,-1］［0,1］±是增函数,在［-1,0］、［l,+oo)上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到f(\x\)的图象.研究单调性，【例4】解：•••关键在于正确作出函数图象.已知/(兀)=”，指出/(x)的单调区间.x+2心)」(兀+2)-5=3+丄，x+2x+2・・・把g(x)=—的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，x得到/(X)的图象，如图所示.由图象得/(X)在(-00,-2)单调递增，在(-2,2)上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知f(x+a)+b平移变换规律.例5.己知函数/(兀)的定义域为R,对任意实数加、7?均有+n)=f(m)+f(n)-1,且/(^)=2,乂当兀〉-丄时，有/(%)>0.(1)求/(--)的值；(2)求证：/(兀)是单调递增函数.22解：⑴令心"0,则/(0)=/(0)+/(0)-1,・•・/(0)=1.又/(2-5=卅+(丄)]=/(5+/(-5-1'・•・/(0)=2+/(-I)-1,f(~)=/(0)-1=0.(1)设X]vx,,则x,—X]>0,x,—X]—>—•乂兀>—时冇f(0)>0,f(x,—召—)>0.2222又/(兀2)-/(召)=/[(x2-x1)4-x1]-/(xi)=/(x2-xi)+/(x1)-1-/(xi)=/(x2=f(x2~^)+/(-|)-1=/(x2-|)>o,A/(X2)>/(%,),A/(x)在R上为增函数.【例"函数尸為的最大值.解：配方为y=61Q7由(x+-)2+->-,得0V244<8.(X+-)2+-24所以函数的最大值为8.【例2］某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为X元，则提高了(—10)元，减少了100-10)件，所赚得的利润为｝；=(x-8)1100-10Ix-10)］.即y=-1Ox2+280x-1600=-10(x-14)2+360.当x=14时,ymax=360.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大，最大利润为360元.【例3】求函数y=2兀+厶-1的最小值.解：此函数的定义域为［l,+oo),且函数在定义域上是增函数，所以当兀=1时，ymin=2+VT?l=2,函数的最小值为2.点评：形如y=ax+b+>Jcx+d的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.\n【另解】令=r,则r>0,x=t2+lf所以y=2尸+r+2=2(r+丄尸+匕,48在fhO时是增函数，当/=0时，=2,故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：53(1)y=3—2x—9xg［—、—］；(2)y=|x+l|—|x—2|.22解：⑴二次函数y=3-2x-x2的对称轴为x=_仝,BPx=-l.19画出函数的图象，由图可知，当X=-］时，ymax=4；当x=|时，ymin=—.,539所以函数y=3-2兀—f,xg［—，—］的最大值为4,最小值为—・2243(x>2)(2)=|x+11—|x—21=•2兀—1(—11,即a22时，ymax=/(1)=-1+«--+丄=2,解得a=—.24*23综上所述，实数«=-6或巴.3［1.3.2］奇偶性(4)函数的奇偶性①宦义及判左方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有f(—x)=—f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.•••y一a(a.f(a))厂(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)jy(-a.f(-a))oax如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有f(—x)=f(X),那么函数y(-a.f(-a))(a.f(a))(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)\n••••••••••f(x)叫做偶函数.•••(1)利用图象(图象关于y轴对称)-aoax\n②若函数/(x)为奇函数，且在兀=0处有定义，则/(0)=0.①奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.②在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.【例1]判别下列函数的奇偶性：(1)/(%)=%3-—；(2)/(x)=|x-114-1x+11；(3)/(%)=%2-%3.解：(1)原函数定义域为klxHO},对于定义域的每一个兀，都有/(-兀)=(―X)3=—(X3—)=—f(X),所以为奇函数.-XX(2)原函数定义域为R,对于定义域的每一个兀，都有/*(一兀)=|一兀一1|+|一兀+1冃兀一1|+|兀+1|=f(x),所以为偶函数.(3)由于/(-兀)=F+兀3工±/(朗，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知用)是奇函数,g⑴是偶函数，且蚀-的=占，求/⑴、g⑴.兀+1■-x+1解：J/(兀)是奇函数，g(兀)是偶函数,/(一兀)=一/(兀)，g(-兀)=g(兀)./(x)-^(x)=—!—兀+1，即<一X+1r1两式相减，解得/(/)=「「；两式相加，解得g(X)=^^・X-1JT_]【例3】已知/(兀)是偶函数,兀时,/(x)=-2x2+4x,求xv0时/(x)的解析式.解：作出函数y=-2x2+4x=-2(x-l)2+2,x>0的图象，其顶点为(1,2).•//(x)是偶函数，・・・其图象关于y轴对称.作出兀V0时的图象，其顶点为(-1,2),且与右侧形状一致，/.兀<0时",f(x)=-2(x+1)2+2=一2兀2-4x.点评：此题中的函数实质就是y=-2x2+4\x\.注意两抛物线形状一致，则二次项系数a的绝对值相同.此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定狡来求，过程如下.【另解】当兀V0时，一兀>0,又由于/(x)是偶函数，则/(%)=/(-%),所以，当兀v0时，/(x)=f(一兀)=-2(-x)2+4(-兀)=-2x2一4x.【例4】设函数/(兀)是定义在R上的奇函数，FL在区间(—,0)上是减函数，实数a满足不等式/(3a2+a-3)v/(3a2-2a),求实数a的取值范围.解：•・・/(兀)在区间(—,0)上是减函数，・•・/(兀)的图象在y轴左侧递减.又I/(x)是奇函数，A/(x)的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减.又/(-0)=_/(0),解得/(0)=0,所以于⑴的图象在R上递减.•・・f(3a2+a-3)vf(3a2-2a),・•・3/+a—3>3/—2d,解得a>\.点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.9.若对于一切实数兀,y,都有/(x+y)=/(x)+/(y)：(1)求/(0),并证明/(劝为奇函数；(2)若/⑴=3,求/(-3).解:(1)由于对一切实数x9y,都有于(兀+刃=/(%)+f(y),故在上式中可令x=y=O,则有：/(0+0)=/(0)+/(0),所以/(0)=0.再令y=-x,则有：f[x+(-x)J=f(x)+f(rx),\n所以：/(x)+/(-x)=/(O)=O,即f(-x)=-/(x),/(兀)为奇函数.(2)由于/(x)为奇函数，且f(x+y)=f(x)+f(y),/(-3)=/[(-D+(-1)4-(-1)]=/(-I)+/(-I)+/(-1)=3/(-1)=-3/(1)=-3x3=-9※探究创新2r9.已知几兀)二上y(氏尺)，讨论函数/(劝的性质，并作出图象.1+2解：函数定义域为R,J==-/(%),・・・/(x)是奇函数，图象关于对称.1+JT当XG(0,+oo)时，f(Q>0.设Ov兀|<兀2，则于(兀J_/(兀2)二7^4_=2*记1_貨),1+打l+x2-(1+兀「)(1+兀2~)当()0，则、f(x)在[1,2)上是减函数.当兀=1时，/(兀)的最大值是1.结合奇函数的性质和函数的单调性，可作出f(x)图象如下.+11q1p2-]11I111-5-2-5【例1](05年江苏卷.17)己知a,b为常数，若/(X)=x2+4x+3,/(or+b)=X+10x+24,则5a-b=.解：山/(x)=X+4x+3,则/(o¥+b)=(o¥+b)2+4(d；v+b)+3=X+10x+24,整理得a2x2+labx+Z?2+4ax+4Z?+3=x2+1Ox+24,亍=]比较系数得：《2g/?+4g=10,/?2+4Z?+3=24£解得：a=-1,b=-7:或g=1,b=3.贝ij-Z?=2.【例2](02京、皖春.18)已知/(x)是偶函数，而且在(0,+-)上是减函数，判断/⑴在(—,0)±是增函数还是减函数，并加以证明.解：设X1—X2>0,因为/(X)在(0,+OO)上是减函数，则/(-坷)V/(-勺)•因为/(X)为偶函数，所以/(兀Jv/g),由此可得/(X)在(-00,0)上是增函数.【例3】集合A={x\-l3m+\,解得加<丄.4当BH0时，如右图数轴所示，则2一m<3m+11|卜-12-m3m+l«2-沁-1，MW-—£，则函数/(兀)在［0，+°°)上单调递增，从而，函数/(兀)在［a,+°°)上的最小值为/(a)=a2+l.13综上，当时，函数f(x)的最小值是|-a.当—£时，函数f(X)的最小值是a2+l.点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如呆平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为xGR,/(O)=k/|+l*O,由此排除f(x)是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，/(x)是偶函数，此题还需运用分类讨论思想，研究二次函数在给定区间上的值域.9.已知函数/(x)=-%2+8%,求/(x)在区间+上的最大值h⑴.解：/(兀)=-F+8x=—(x—4)2+16.当/+1v4,即rv3时，/(x)在［m+1］上单调递增，最大值h⑴=f\t+1)=-(r+1)2+8(r+1)=-t2+6r+7;当r<44时，/(兀)在［z+1］上单调递减，最大值h⑴=f(t)=-r+8r.—1~+6r+7,rv3综上，％⑴彳16,3<^<4.J+&,/>4※探究创新10.已知定义在实数集上的函数肘(x)满足条件：对于任意的x、yWR,f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：/(0)=0；(2)求证f(x)是奇函数，并举出两个这样的函数；(3)若当心0时，/(x)<0.(/)试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明之；(〃)判断方程|/(x)|二a所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围.证明：(1)令x=y=0,贝IJ/(0)=/(0)+/(0),解得f(0)=0.(2)令y=・x,则/(0)=/(-x)+/M»即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.例如：y--2x,y=3x.(3)(/)任取X10,f(x2)—f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(X2-x1)<0,则该函数有/(X2)0时，有两解；当a=0时，有一解；当a<0时，无解.K补充知识H函数的图象(1)作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性)；④画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基木初等函数的图彖.①平移变换y=/（兀）力>0,左移力个单位力<0,右移|川个单位=/（兀+力）y=/（兀）②伸缩变换\ny=fMQ>1,缩OvAvl,缩^y=Af（x）①对称变换\ny=f(x)te，，A>y=-f(-x)y=f(x)^y=x>y=f~\x)/(|X|)去掉y轴左边图象、„保留），轴右边图彖，并作其关丁丁轴对.称图彖化小，伴留期些呷象，小_|nni〉_八刃将苗由下方图象翻折上去'>_|八心1（2）识图对于给定函数的图象，要能从图彖的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.