高中一年级数学暑假复习资料20讲 114页

...课题1函数及其表示一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：．(3)函数的表示法：．(4)两个函数只有当都分别相同时，这两个函数才相同．2．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．三、经典例题题型一函数与映射的概念【例1】下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？1①A＝N，B＝Q，f：a→b＝；a＋1*1*1②A＝{x|x＝n，n∈N}，B＝{y|y＝，n∈N}，f：x→y＝；na2③A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝R，f：x→y，y＝x；④A＝{平面M内的矩形}，B＝{平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．【探究1】(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元word格式资料\n...素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A、B为非空数集时，即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时【变式1】(1)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是()11A．f：x→y＝xB．f：x→y＝x232C．f：x→y＝xD．f：x→y＝x3a(2)设a在映射f下的象为2＋a，则20在映射f下的原象为________【例2】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？x(1)f1：y＝；f2：y＝1.xx，x>0，(2)f1：y＝|x|；f2：y＝－x，x<0.1，x≤1，(3)f1：y＝2，14，8________.题型四抽象函数【例5】已知偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈R恒有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2x1x2＋1，则函数f(x)的解析式为________．【探究5】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题．(2)利用特殊值代入寻求规律和解法．【变式5】设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，对任意x，y∈R恒有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．四、本课总结1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！2．函数问题定义域优先！3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．五、课堂作业11．已知f(lgx)＝，则f(1)＝________.x2．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3min收费0.2元；超过3min以后，每增加1min收费0.1元，不足1min按1min计费，则通话收费s(元)与通话时间t(min)的函数图像可表示为图中()word格式资料\n...x3，x≤1，3．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x等于()－x，x>1，A．log32B．－2C．log32或－2D．224．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y＝x，②y＝x＋1，x③y＝2，④y＝log2|x|，其中能构成从M到N的函数的是________．1215．已知f(x－)＝x＋，则f(3)＝______.2xx6．如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________.课题2函数的定义域与值域一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数的定义域(1)求定义域的步骤：word格式资料\n...①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)(2)基本初等函数的定义域：①整式函数的定义域为.②分式函数中分母.③偶次根式函数被开方式.④一次函数、二次函数的定义域均为.0⑤函数f(x)＝x的定义域为．⑥指数函数的定义域为.对数函数的定义域为．2．函数的值域基本初等函数的值域：(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.2(2)y＝ax＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．k(3)y＝(k≠0)的值域是．xx(4)y＝a(a>0且a≠1)的值域是．(5)y＝logx(a>0且a≠1)的值域是.a三、经典例题题型一函数的定义域1【例1】(1)函数y＝的定义域为________．log0.5x－11(2)函数y＝(a>0且a≠1)的定义域为________．logax－12x＋2x(3)函数f(x)＝的定义域为________．lg|x|－x【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式word格式资料\n...的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．2【变式1】求函数y＝25－x＋lgcosx的定义域．【例2】(1)已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域．(2)已知y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域．【探究2】(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．(2)若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．【变式2】(1)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．x(2)若函数f(2)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．题型二函数的值域【例3】求下列函数的值域：word格式资料\n...21－x21(1)y＝；(2)y＝－2x＋x＋3；(3)y＝x＋＋1；21＋xx2(4)y＝x－1－2x；(5)y＝x＋4－x；(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.【探究3】求函数值域的一般方法有：①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法．【变式3】(1)函数的值域为()11A．(－∞，]B．[，1]2211C．[，1)D．[，＋∞)222－sinx(2)函数y＝的值域是________．2＋sinx2x＋x＋1(3)函数y＝的值域为________．x＋1题型三函数定义域与值域的应用22【例4】已知函数f(x)＝lg[(a－1)x＋(a＋1)x＋1]．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．word格式资料\n...【探究4】已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目．2【变式4】已知函数f(x)＝x－4ax＋2a＋6，x∈R.(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：221．二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)及二次型函数y＝a[f(x)]＋b[f(x)]＋c(a≠0)可用换元法．2a1x＋b1x＋c122．形如y＝2(其中a1，a2不全为0且a2x＋b2x＋c2≠0)的函数可用判别式法．a2x＋b2x＋c23．形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d为常数，ac≠0)的函数，可用换元法或配方法．xax＋b2－1sinx－14．形如y＝(c≠0)或y＝或y＝的函数，可用反函数法或分离常数法．xcx＋d2＋1sinx＋2k5．形如y＝x＋(k>0，x>0)的函数可用图像法或均值不等式法．x6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y＝|x－1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．五、课堂作业word格式资料\n...1．函数的定义域是()A．(－3，＋∞)B．[－2，＋∞)C．(－3，－2)D．(－∞，－2]x12．(2013·山东)函数f(x)＝1－2＋的定义域为()x＋3A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]23．对函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)作x＝h(t)的代换，则总不改变函数f(x)的值域的代换是()t2A．h(t)＝10B．h(t)＝tC．h(t)＝sintD．h(t)＝log2t423x－3x－44．函数y＝的定义域为________．|x＋1|－2x－x10＋105．函数y＝的值域为________．x－x10－10课题3函数的单调性和最值一、课时目标1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．二、主要知识点1．单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数．单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且，b.计算并判断符号，c.结论．②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x)0，则f(x)为增函数，若f′(x)0，word格式资料\n...则f(x)为减函数．2．与单调性有关的结论(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的函数．(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是．(4)奇函数在对称区间上的单调性，偶函数在对称区间上的单调性．(5)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为，最小值为，值域为．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有，②存在x0∈I，使得，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．三、经典例题题型一单调性的判断与证明ax【例1】判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．2x－1【探究1】(1)判断函数的单调性有三种方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法．x－x【变式1】设函数f(x)＝2＋a·2－1(a为实数)．若a<0，用函数单调性定义证明：yword格式资料\n...＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．题型二求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间．212(1)f(x)＝－x＋2|x|＋3；(2)f(x)＝log(－x－2x＋3)；22（4）y＝3x－6lnx.【探究2】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．word格式资料\n...4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．(6)求函数单调区间，定义域优先．【变式1】求下列函数的单调区间．112(1)f(x)＝；(2)f(x)＝log(－x＋4x＋5)；(3)y＝x－ln(x－1)．23－2x－x2题型三利用单调性求最值1【例3】求函数f(x)＝x－在[1,3]上的最值．x【探究3】(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；word格式资料\n...若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．2x＋2x＋a【变式3】已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．x1(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；2(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．题型四单调性的应用2【例4】(1)已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x＋2x＋3)0)，单调增区间：(－∞，－a]，[a，＋∞)；单调减区间：x[－a，0)，(0，a]．4．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”符号连接．5．若f(x)具有对称轴x＝a，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性；若f(x)具有对称中心(a，b)，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性．6．函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．自助专题求函数最值的常用方法1．配方法2配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．x2－x2【例1】已知函数y＝(e－a)＋(e－a)(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．2.换元法【例2】(1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．word格式资料\n...2(2)求函数y＝x－4－x的值域．3.不等式法2y【例3】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．xz4.单调性法1【例4】设a>1，函数f(x)＝logx在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝a2________.5.平方法m【例5】已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则的值为()M11A.B.4223C.D.226.数形结合法a，a≥b，【例7】对a，b∈R，记max|a，b|＝函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(xb，a－3D．a≥－33．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b>0，则有()A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)0且a≠1)为函数；x－x2xa＋aa＋11－x(3)函数f(x)＝log为函数；a1＋x2(4)函数f(x)＝log(x＋x＋1)为函数．a5．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．6．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．三、经典例题题型一：判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性，并证明．33(1)f(x)＝x＋x；(2)f(x)＝x＋x＋1；2(3)f(x)＝x－|x|＋1x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；word格式资料\n...21－x1＋x(5)f(x)＝；(6)f(x)＝(x－1)x∈(－1,1)．|x＋2|－21－x【探究1】判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)【变式】1判断下列函数的奇偶性．2－x(1)f(x)＝ln；2＋x11(2)f(x)＝＋(a>0，且a≠1)；xa－12word格式资料\n...2x－2xx≥0，(3)f(x)＝2x＋2xx＜0.题型二奇偶性的应用【例2】(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为__________________________．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋1f(x－)＜0的解集为__________．2(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．【探究2】奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．(2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．【变式2】(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于()A．－x(1－x)B．x(1－x)C．－x(1＋x)D．x(1＋x)4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数35．(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝()A．－5B．－1C．3D．426．若函数f(x)＝x－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.word格式资料\n...课题5二次函数一、课时目标1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．二、主要知识点1．二次函数的解析式的三种形式2(1)一般式：y＝ax＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是；顶点为．(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为．2(3)顶点式：y＝a(x－k)＋h；对称轴方程是；顶点为．2．二次函数的单调性当a>0时，上为增函数；在上为减函数；当a<0时，与之相反．3．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系2(1)f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根．(2)若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝.(3)当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.24．设f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况word格式资料\n...bb(1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{fm，fn}，f(x)min＝f(－)．2a2ab(2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．2a25．二次方程ax＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是.(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是.(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是.(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是.(5)方程有两个不等实根x1f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝0223．二次函数y＝x－2(a＋b)x＋c＋2ab的图像的顶点在x轴上，且a，b，c为△ABC的三边长，则△ABC为________．24．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的图像可能是()5．已知二次函数f(x)图像的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则()word格式资料\n...A．x0≥bB．x0≤aC．x0∈(a，b)D．x0∉(a，b)426．对一切实数x，若不等式x＋(a－1)x＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1B．a≥0C．a≤3D．a≤1课题6指数函数一、课时目标1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．二、主要知识点1．有理数幂的运算性质ss(1)a·a＝.ss(2)(a)＝.r(3)(ab)＝(其中a>0，b>0，r、s∈Q)．2．根式的运算性质nnnn(1)当n为奇数时，有a＝；当n为偶数时，有a＝.(2)负数的偶次方根．(3)零的任何次方根．3．指数函数的概念、图像和性质(1)形如(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数．(2)定义域为R，值域为．xx(3)当01时，y＝a在定义域内是(单x调性)；y＝a的图像恒过定点．x(4)当00，则a∈；x若x<0，则a∈；x当a>1时，若x>0，则a∈；word格式资料\n...x若x<0，则a∈．三、经典例题题型一指数式的运算例1计算：【探究1】化简或计算指数式，要注意以下几点：(1)化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要注意运算顺序问题．(2)计算结果的形式：若题目以根式形式给出，则结果用根式的形式表示；若题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂的形式给出．(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(4)在条件求值问题中，一般先化简变形，创造条件简化运算而后再代入求值．word格式资料\n...【变式1】题型二指数函数的图像及应用1|x＋1|【例2】(1)已知函数y＝().3①作出图像；②由图像指出其单调区间；③由图像指出当x取什么值时有最值．、【探究2】利用指数函数的图像判断单调性、求最值、判断方程的解的个数等问题是学生应熟练掌握的基本功．x【变式2】(1)(2012·四川)函数y＝a－a(a>0，且a≠1)的图像可能是()word格式资料\n...x(2)k为何值时，方程|3－1|＝k无解？有一解？有两解？题型三指数函数的性质及运用【探究3】(1)研究函数的值域、单调区间应先求定义域．(2)求复合函数y＝f[g(x)]的值域应先求内层u＝g(x)的取值范围，再根据u的取值范围去求y＝f(u)的取值范围，即为所求．(3)求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得．【变式3】求下列函数的定义域与值域．word格式资料\n...11【例4】已知函数f(x)＝(＋)x.x2－12(1)求函数的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)>0.xx1＋2＋4a【变式4】函数f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．3四、本课总结word格式资料\n...1．在进行指数运算时要遵守运算法则，防止“跟着感觉走”．2．合理运用图像解决单调、方程、不等式问题．x3．对f(x)＝a的单调性要注意a>1和00且a≠1，N>0)．②loga＝(a>0且a≠1，b∈R)．a(3)对数运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0)Mn①log(M·N)＝.②log＝.③logM＝.aaaN(4)换底公式logaNlogN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0)．blogab推论：①logb·loga＝.②logb·logc＝.abab③＝.④＝.2．对数函数(1)对数函数的概念word格式资料\n...函数y＝logx(a>0且a≠1)叫做对数函数．a(2)对数函数的图像(3)对数函数的性质①定义域为，值域为.②恒过定点(1,0)．③a>1时，y＝logx在(0，＋∞)上为；a01，x>1时，logx0；a当a>1,01时，llogx0.a三、经典例题题型一对数式的运算2【例1】(1)lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)；word格式资料\n...【探究1】在对数运算中，要注意以下几个问题：(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并．blog(2)a＝N⇔b＝N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中a要注意互化．【变式1】(1)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.题型二对数大小的比较例2比较下列各组数的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log67，log76；5.10.9(3)m＝0.9，n＝5.1，p＝log0.95.1；11(4)若0a>1B．ab>1D．b0且a≠1)，如果对于任意x∈[3，＋∞)都有|f(x)|≥1a成立，试求a的取值范围．【探究4】关于形如logf(x)的函数的单调性，有以下结论：a函数y＝logf(x)的单调性与函数u＝f(x)[f(x)>0]的单调性，当a>1时相同，当00且a≠1，下列结论正确的是()①若M＝N，则logM＝logN；aa②若logM＝logN，则M＝N；aa22③若logaM＝logaN，则M＝N；22④若M＝N，则logaM＝logaN.A．①③B．②④C．②D．①②④2．(1)若loga30，那么幂函数的图像过原点，并且在区间[0，＋∞)上为．(3)如果α<0，那么幂函数图像在区间(0，＋∞)上是．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴．(4)当α为奇数时，幂函数为，当α为偶数时，幂函数为．三、经典例题a【例1】如图，为幂函数y＝x在第一象限的图像，则C1，C2，C3，C4的大小关系为()A．C1>C2>C3>C4B．C2>C1>C4>C3C．C1>C2>C4>C3D．C1>C4>C3>C2【探究1】幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否在第二、三象限内出现，要看奇偶性；在(0,1)上幂函数中指数愈大，函数图像愈靠近x轴(简记“指word格式资料\n...大图低”)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．aa【变式1】如图是幂函数y＝x和y＝x在第一象限内的图像，则()A．－11D．n<－1，m>1题型二幂函数的性质【例2】比较下列各组数的大小．【探究2】利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几点：(1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式．(2)构造的幂函数，要分析其单调性．(3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到．(4)若直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较其大小．【变式2】比较下列各组数的大小．word格式资料\n...【变式3】已知幂函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.题型三对数指数幂函数的应用121131π【例4】将下列各数按从大到小的顺序排列：log89，log79，log3，log9，()，().2222【变式4】(1)下列大小关系正确的是()30.430.4A．0.4<3b>1D．b>a>1四、本课总结a幂函数y＝x的性质和图像，由于α的取值不同而比较复杂，一般可以从三方面考查：(1)α的正负：α>0时图像经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图像不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”．五、课堂作业1．当00)个单位，得到的图像；y＝f(x－b)(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像而得到；y＝f(x)的图像向下平移b(b>0)个单位，得到的图像；y＝f(x)＋b(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．(2)对称变换y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分，其余部分不变而得到；y＝f(|x|)的图像可先作出y＝f(x)当x≥0时的图像，再作关于y轴的对称．（3)伸缩变换y＝f(ax)(a>0)的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的坐标变为原来的倍，坐标而得到．y＝af（x）的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的坐标不变，坐标变为原来的倍．2．几个重要结论(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线对称．(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图像关于直线对称．a＋b(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图像关于x＝对称．2b－a(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图像关于x＝对称．2word格式资料\n...三、经典例题题型一利用变换作图【例1】作出下列函数的图像．x(1)f(x)＝；(2)f(x)＝|lg|x－1||.1＋|x|【探究1】(1)一些函数的图像可由基本初等函数的图像通过变换而得，常见图像变换有平移变换，对称变换，伸缩变换，用x＋m替换x，图像发生左、右平移．用y＋n替换y，图像发生上、下平移，用kx替换x，图像发生伸缩变化，用－x，－y替换x，y图像分别关于y轴、x轴对称．x(2)作函数图像时应结合函数的性质，如f(x)＝为奇函数，f(x)＝lg|x|为偶函1＋|x|数等．(3)多步变换时，应确定好变换顺序．【变式1】作出下列函数的图像．x＋2x＋21|x|(1)y＝2；(2)y＝；y＝()；(4)y＝|log2x－1|.x－12题型二知图选图或知图选式问题3x【例2】(1)(2013·四川)函数y＝的图像大致是()x3－1word格式资料\n...(2)函数f(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式是（）cosxA．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝xπ3πC．f(x)＝xcosxD.f(x)＝x·(x－)·(x－)22【探究2】对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．【变式2】函数y＝x＋cosx的大致图像是()题型三函数图像的对称性【例3】(1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于()A．直线y＝0对称B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称D．直线x＝1对称word格式资料\n...(2)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为______．【探究3】(1)求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程．一般运用相关点求轨迹的方法．(2)下列结论需记住：①y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；②y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称；－1④y＝f(x)与y＝f(x)的图像关于y＝x对称；⑤y＝f(x)与y＝f(2m－x)的图像关于直线x＝m对称．【变式3】(1)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图像关于下列哪个点成中心对称．()11A．(1,0)B．(－1,0)C．(，0)D．(－，0)22(2)求证：函数f(x)满足对任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．题型四函数图像的应用2【例4】(1)若直线y＝x＋m和曲线y＝1－x有两个不同的交点，则m的取值范围是________．(2)不等式log2(－x)＜x＋1的解集为__________．【探究4】函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，它们之间的相互转化有时能使问题迎刃而解，本题利用函数的图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题．2【变式4】直线y＝1与曲线y＝x－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．四、本课总结1．作图的基本方法是描点法，某些函数的图像也可通过已知图像进行变换而得．2．识图问题的关键是通过函数的性质进行排除确定．word格式资料\n...3．函数图像能直观反映函数的性质，通过图像可以解决许多问题，如不等式问题、方程问题、函数的值域等．五、课堂作业11．函数f(x)＝的图像是()1＋|x|2．函数y＝ln(1－x)的大致图像为()x3．函数y＝－2sinx的图像大致是()21|1－x|4．若函数y＝()＋m的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是________．2x5．已知lgalgb＝0，函数f(x)＝a与函数g(x)＝－logx的图像可能是()b6．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数f(|x|)的图像大致是()word格式资料\n...课题10函数与方程一、课时目标1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方word格式资料\n...程根的联系．2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．二、主要知识点1．函数零点的概念零点不是点！(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与有交点⇔函数y＝f(x)有．3．函数零点的判断如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有.那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．4．二分法的定义对于在[a，b]上连续不断，且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的所在的区间，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．5．用二分法求函数f(x)零点近似值(1)确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若，则x1就是函数的零点；②若，则令b＝x1，(此时零点x0∈(a，x1))；③若，则令a＝x1，(此时零点x0∈(x1，b))．（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)－(4)．三、经典例题题型一零点的个数及求法例1(1)求下列函数的零点．word格式资料\n...23x＋2x＋1①f(x)＝x＋1；②f(x)＝.x－1(2)判断下列函数在给定区间是否存在零点．2①f(x)＝x－3x－18，x∈[1,8]；②f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【探究1】函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．xx－2【变式1】(1)已知函数f(x)＝a＋，(a>1)则函数f(x)零点的个数为________．x＋1x(2)已知函数f(x)＝2＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则()word格式资料\n...A．a0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．四、本课总结1．函数零点的性质：(1)若函数f(x)的图像在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；word格式资料\n...(2)若函数f(x)的图像在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．函数零点的求法：求函数y＝f(x)的零点：(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)二分法(主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点)．3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不断的函数图像通过一重零点时(不是二重零点)，函数值变号；通过二重零点时，函数值可能不变号.五、课堂作业21．(2014·衡水调研)若函数f(x)＝2ax－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是()A．(－1,1)B．[1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)x2．(2013·天津)函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．42lnx－x＋2xx>0，3．函数f(x)＝的零点个数为()2x＋1x≤0A．0B．1C．2D．31x4．已知函数f(x)＝()－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且00，ω≠0)(1)五点作图法作y＝Asin(x＋φ)的图像时，五点坐标为，，，，.(2)变换作图word格式资料\n...函y＝sinxy＝cosxy＝tanx数π对x＝＋kπx＝k无对称轴2称性πkπ对称中心(k，0)(＋k，0)(，0)222π2.y＝Asin(x＋φ)的最小正周期T＝.|ω|πy＝Asin(x＋φ)的最小正周期T＝.|ω|3．(1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式．(2)形如y＝Asin(x＋φ)形式的函数单调性，应利用复合函数单调性研究．(3)注意各性质应从图像上去认识，充分利用数形结合解决问题．经典例题题型一三角函数的图形变换1π【例1】(1)如何由y＝sinx的图像得y＝2cos(－x＋)的图像．24word格式资料\n...1π(2)如何由y＝sin(2x＋)的图像得y＝sinx的图像．34【变式1】如何由函数y＝sinx的图像得到下列函数的图像．2π(1)y＝sin(2x－π)－2；(2)y＝cos(2x－)；33π(3)y＝|2sinx|；(4)y＝sin(|x|＋)．3题型二已知函数图像求解析式【例2】已知函数y＝Asin(x＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的图像在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．word格式资料\n...π【变式2】已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图像与x2π2π轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M(，－2)．23(1)求f(x)的解析式；ππ(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．122题型三三角函数的周期性【例3】求下列函数的周期．π2(1)y＝2|sin(4x－)|；(2)y＝(asinx＋cosx)(a∈R)；3π2(3)y＝2cosxsin(x＋)－3sinx＋sincosx3word格式资料\n...【变式3】(1)f(x)＝|sinx－cosx|的最小正周期为________．(2)若f(x)＝sinx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是________．题型四三角函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性．π(1)f(x)＝cos(＋2x)cos(π＋x)；(2)f(x)＝xsin(5π－x)．2【探究4】三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图像的性质，对y＝Asin(x＋φ)，代入x＝0，若y＝0为奇函数，若y为最大或最小则为偶函数．【变式4】(1)判断下列函数的奇偶性．cosx1－sinx①f(x)＝sin(2x－3)＋sin(2x＋3)；②f(x)＝；1－sinxπ③y＝sin(2x＋)；④y＝tan(x－3π)．2word格式资料\n...π(2)(2013·山东)将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个8偶函数的图像，则φ的一个可能取值为()3πππA.B.C．0D．－444题型五三角函数的对称性π【例5】(1)求函数f(x)＝sin(2x－)的对称中心和对称轴方程．6π(2)设函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－对称，求a的值．6xπ(3)函数y＝tan(＋)的图像的对称中心为__________．23【探究5】求函数y＝Asin(x＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．(1)∵y＝sinx的对称中心是(k，0)，∴y＝Asin(x＋φ)的中心，由方程x＋φ＝k解出x即可．π(2)∵y＝sinx的对称轴是x＝k＋，k∈Z，2π∴x＋φ＝k＋解出x，即为函数y＝Asin（x＋φ)的对称轴．21(3)注意y＝tanx的对称中心为(k，0)，(k∈Z)．2π【变式5】(1)函数y＝sin(2x＋)的图像的对称轴方程可能是()3ππππA．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝612612(2)函数y＝2cosx(sinx＋cosx)的图像的一个对称中心的坐标是()3π3πA．(，0)B．(，1)88ππC．(，1)D．(－，－1)88题型六三角函数的单调性π【例6】（1）求函数y＝cos(－2x＋)的单调递减区间；3word格式资料\n...π(2)求函数y＝sin(－2x)的单调递减区间；3πx(3)求y＝3tan(－)的最小正周期及单调递减区间；64π(4)求函数y＝－|sin(x＋)|的单调递减区间．42【变式6】(1)求函数f(x)＝2sinxcosx－2cosx＋2的单调区间．ππ(2)(2012·课标全国)已知ω>0，函数f(x)＝sin(x＋)在(，π)上单调递减，则42ω的取值范围是()1513A．[，]B．[，]2424word格式资料\n...1C．(0，]D．(0,2]2五、课堂作业1．函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为()3πA．2πB.2πC．πD.2x＋φ2．若函数y＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()3π2A.B.π2335C.πD.π23ππ3．设f(x)＝xsinx，若x1、x2∈[－，]，且f(x1)>f(x2)，则下列结论中，必成立的是()22A．x1>x2B．x1＋x2>022C．x1x24．函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(x＋φ)在[a，b]上()A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值MD．可以取得最小值－Mππ5．设函数y＝2sin(2x＋)的图像关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－，0]，则x0＝32______.课题14正余玄定理一、课时目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．二、主要知识点1．正弦定理a＝＝＝2RsinA其中2R为△ABC外接圆直径．word格式资料\n...变式：a＝，b＝，c＝.a∶b∶c＝∶∶.2．余弦定理222a＝；b＝；c＝.变式：cosA＝；cosB＝；cosC＝.222sinA＝sinB＋sinC－2sinBsinCcosA.3．解三角形(1)已知三边a、b、c.运用余弦定理可求三角A、B、C.(2)已知两边a、b及夹角C.运用余弦定理可求第三边c.bsinA(3)已知两边a、b及一边对角A.先用正弦定理，求sinB：sinB＝.a①A为锐角时，若ab，．3．已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．4．三角形常用面积公式1111abc(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.22224R1(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．2三、经典例题题型一利用正余弦定理解斜三角形【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，A＝45°，求B，C及边c.(2)已知sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．word格式资料\n...【探究1】(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首b先必须判明是否有解，(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sinB＝sinA＝3>1，a问题就无解)，如果有解，是一解，还是二解．(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．【变式1】(1)(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC1＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝________.2(2)(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.①求A；②若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.题型二面积问题ππ【例2】(2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin(44π＋C)－csin(＋B)＝a.4π(1)求证：B－C＝；(2)若a＝2，求△ABC的面积．2word格式资料\n...【探究2】(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．(3)在求三角形面积时，通过正、余弦定理求一个角，两边乘积，是一常见思路．探究2(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．(3)在求三角形面积时，通过正、余弦定理求一个角，两边乘积，是一常见思路．题型三判断三角形形状22【例3】在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a＋b)sin(A－B)22＝(a－b)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．word格式资料\n...【探究3】三角形形状的判定方法：222(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a＋b－c＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内π角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等．2222ab＋c－a(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA＝，cosA＝等，通过代数2R2bc恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．【变式3】(1)(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形(3)在△ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边，已知222b＋c＝a＋bc.①求角A的大小；3②若sinBsinC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．4题型四解三角形的应用【例4】(2012·山东文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanAword格式资料\n...＋tanC)＝tanAtanC(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.【变式4】(2013·江西)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．四、本课总结1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角，②化角为边；并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2．用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等．3．在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如：(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.五、课堂作业1．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2b·sinA，则B等于（）word格式资料\n...A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°2．已知△ABC，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c＝()A．25B.5C．25或5D．均不正确3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝6＋2且∠A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D.6－24442224．△ABC中，若a＋b＋c＝2c(a＋b)，则角C的度数是（）A．60°B．45°或135°C．120°D．30°5．在△ABC中，若sinA·sinB0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1>0，d<0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d＝0时，{an}为常数列．五、课堂作业1．由下列各表达式给出的数列{an}：22①Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n；②Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n－1；2*③an＋1＝an·an＋2；④2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)．其中表示等差数列的是()A．①④B．②④C．①②④D．①③④2．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为()A．12B．18C．22D．443．设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋a7＝50，那么a6＋a9＋a12＝()A．40B．30C．20D．104．(2014·高考调研原创题)已知函数f(x)＝cosx，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝()1133A.B．－C.D．－22225．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．66．在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的三边成等差数列，则sinA＋sinB＝________.7．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sm，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．8．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33333所在的页和行．word格式资料\n...课题16等差数列一、课时目标1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．二、主要知识点1．基础知识(1)等比数列的定义：若数列{an}满足，则称数列{an}为等比数列．(2)通项公式an＝＝am·.na1(1－q)(3)前n项和公式Sn＝，成立的条件是，另一形式为．1－q(4)M、N同号时它们的等比中项为.2．性质*(1)等比数列{an}中，m、n、p、q∈N，若m＋n＝p＋q，则am·an＝.word格式资料\n...(2)等比数列{an}中，Sn为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S奇·.(3)等比数列{an}中，公比为q，依次k项和为Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成(Sk≠0)数列，新公比q′＝.3．常用技巧*(1)若{an}是等比数列，且an>0(n∈N)，则{logaan}(a>0且a≠1)成数列，反之亦然．(2)三个数成等比数列可设三数为，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为.三、经典例题题型一:等比数列的基本量【例1】{an}为等比数列，求下列各值．1(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；2(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q；(3)已知q＝－2，S8＝15(1－2)，求a1.word格式资料\n...【变式1】(1)设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()A．63B．64C．127D．12811(2)在等比数列{an}中，a3＝1，S3＝4，求a1和q.22题型二:等比数列的性质【例2】12(1)(2012·广东)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1a3a5＝________.2(2)在等比数列{an}中，若a3＝4，a9＝1，则a6＝________，若a3＝4，a11＝1，则a7＝________.*(3)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N)．【变式2】(1)(2012·安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()A．4B．5C．6D．7(2)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.题型三:等比数列的判定与论证【例3】*数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N)．(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；word格式资料\n...an(2)设c＝，求证：{c}是等比数列．nn3n－1【变式3】*已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N有an＋Sn＝n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．四、本课总结1．通过例1复习等比数列求基本量的问题．2．通过例2复习等比数列的性质．“巧用性质、减少运算量\”在等差、等比数列的计算中非常重要但有时产生增解．3．应用等比数列前n项和公式时，需注意是否对q＝1和q≠1进行讨论．4．解答数列综合题，要重视审题、精心联想、沟通联系．如数列{an}中的a3，a9是方22程x－6x＋2＝0的两根，求a6，由根与系数可知a3·a9＝2再由等比数列性质知a6＝2，∴a6＝±2，若将a3，a9改为a2，a10其他条件不变，a6为什么只等于2，而a6≠－2，你知word格式资料\n...道吗？五、课堂作业1．等比数列{an}中，公比q＝2，S4＝1，则S8的值为()A．15B．17C．19D．212．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于()A．3B．－3C．－1D．1n*3．数列{an}的前n项和为Sn＝4＋b(b是常数，n∈N)，若这个数列是等比数列，则b等于()A．－1B．0C．1D．44．(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.5．(2012·课标全国)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.6．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．课题17等差数列一、课时目标1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、主要知识点1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有又有的量叫做向量．(2)向量的长度：表示的的长度，即的大小叫做的长度或称为的模，的向量叫做零向量，记作0，的向量，叫做单位向量．(3)平行向量：方向或的向量叫做平行向量．规定：0与任何向量平行，平行向量也叫做．(4)相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.(5)相反向量：．word格式资料\n...2．向量运算(1)加减法法则：(2)运算律：a＋b＝，(a＋b)＋c＝．(3)①,，＝，ABBCACABBAABAC②....A1A2A2A3An1AnAnA1③||a|－|b||≤|a±b|≤.(4)实数与向量的积(数乘)①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作a，a与a平行．规定：|a|＝，当λ0时，a的方向与a的方向；当λ0时，a的方向与a的方向；当λ＝0时，a＝0.②运算律：λ(a)＝，(λ＋μ)a＝，λ(a＋b)＝.3．向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是.三、经典例题题型一向来的基本概念【例1】判断下列各命题是否正确：(1)单位向量都相等；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)若A、B、C、D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；(5)两向量a、b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.【变式1】给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；word格式资料\n...②若|a|＝|b|，则a＝b；③若，则ABCD为平行四边形；ABDC④在▱ABCD中，一定有；ABDC⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是()A．2B．3C．4D．5题型二向量的线性运算【例2】(高考题改编)如图所示，下列结论不正确的是________．3333①＝a＋b；②＝－a－b；2222313③＝a－b；④＝a＋b.222word格式资料\n...【变式2】(1)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()34433443A．(，－)B．(，－)C．(－，)D．(－，)55555555(2)(2014·东莞期末)如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，用和来表示向量，则等于________．【例3】ABAC若＝()(λ>0)，则点P的轨迹经过△ABC的()OPOAABACA．重心B．垂心C．外心D．内心【变式3】D，E，F分别是△ABC边BC，AC，AB的中点．求证：0ADBECF题型四向量共线问题【例4】设、不共线，求证点P，A，B共线的充要条件是：OPOAOB且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.word格式资料\n...1【变式4】(1)如图所示，在△ABC中，，P是BN上的一点，若ANAC32m，则实数m的值为()APABAC119532A.B.C.D.111111111(2)在ABC中，2,,则（）ADDBCDCACB3(3)已知向量a，b，且a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一ABBCCD定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D四、本课总结1．正确区别向量与数量．确定向量需要同时确定其“大小”和“方向”，向量可以用有向线段表示．数量的一些运算性质规律对于向量并不一定成立．2．注意0与数0的区别，0≠0，零向量是有方向的，它的方向是任意的.0＋a＝a,0·a＝0，λ·0＝0，a－a＝0，注意数量积0·a＝0，不能写成0·a＝0.3．正确区别向量的加减法及其几何意义．在中，的终ABBCACAB点与的起点相同；在中，与共始点；首BCABACCBABAC尾相连的封闭向量链，各向量之和为零向量，如0ABBCCDDA4．证明三点A、B、C共线，借助向量，只需证明由这三点A、B、C所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ，使a＝b(b≠0)即可．五、课堂作业1．若a＋b＋c＝0，则a、b、c()A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B．一定不可能构成三角形C．都是非零向量时能构成三角形D．一定可构成三角形2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是()word格式资料\n...aA．e＝B．a＝|a|e|a|C．a＝－|a|eD．a＝±|a|e4．已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝nj＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－15.如图所示，在△ABC中，E是线段AC的中点，2BD＝DC，BE与AD相交于点F，求证：F是线段BE的中点．课题18平面向量的数量积word格式资料\n...一、课时目标1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角．5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．二、主要知识点1．数量积的有关概念(1)两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则，叫做向量a与b的夹角；范围是.(2)a与b的夹角为度时，叫a⊥b.(3)若a与b的夹角为θ，则a·b＝.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.(5)a在b的方向上的投影为.(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝，cosθ＝.a⊥b⇔.a∥b⇔.2．数量积满足的运算律已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b＝；(2)(a)·b＝λ(a·b)＝；(3)(a＋b)·c＝.3．注意(1)两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.(2)数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)．(3)a·b中的“·”不能省略．三、经典例题word格式资料\n...题型一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则ACBD.＝________.ADAC2π【变式1】(2011·江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.3若a·b＝0，则实数k的值为________．题型二、向量的夹角【例2】(1)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()881616A.B．－C.D．－6565656511(2)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：22①a与b的夹角；②a－b与a＋b的夹角的余弦值．【变式2】(1)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．(2)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝________.word格式资料\n...题型三、向量的模【例3】(1)已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|和|a－3b|.(2)(2012·重庆)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10【变式3】(1)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的1面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．2(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B.1C.2D．2题型四：平行与垂直【例4】已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O为原点．(1)若∥，求tan的值；OCAB(2)若⊥，求sin2α的值；ACBC(3)若||＝13且α∈(0，π)，求与与的夹角．OAOCOBOC【变式4】在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.四、本课总结word格式资料\n...1．记忆向量的数量积公式应从两个方面：①定义，②向量积的坐标公式．2．向量的数量积应用广泛，可用于求角、求长度、证垂直等问题．3．注意数形结合思想的应用，如加、减运算的几何意义，数量积的几何意义——投影．五、自助专题有关数量积的最值问题1．已知向量a＝(3sin，1)，b＝(1，cos)，则a·b的最大值为________．2．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B.2－2C．－1D．1－23．(2013·湖南)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[2－1，2＋1]B．[2－1，2＋2]C．[1，2＋1]D．[1，2＋2]π4．(2013·浙江)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，6|x|则的最大值等于________．|b|5．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为()A．－4＋2B．－3＋2C．－4＋22D．－3＋22六、课堂作业π1．(2014·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，则a在b方向上的投影为()3A.3B.223C.D.222．(2012·浙江)设a，b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝aword格式资料\n...D．若存在实数λ，使得b＝a，则|a＋b|＝|a|－|b|3．(2014·黄冈一模)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则.ABCD＝________.4．(2012·湖南)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则.＝________.APAC5．(2013·山东)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若ABAC，且⊥，则实数λ的值为________．APABACAPBC课题19求数列的通项公式一、课时目标word格式资料\n...二、主要知识点1.直接利用通项公式求解；2.已知数列{a}前n项和S，则aS（n1）或SS（n2）nnn1nn13.已知aaf（n）（n2），可用叠加或迭代法求通项公式.nn1an4.已知f（n）（n2），用叠乘法或迭代法求通项公式.an1Tn5.已知数列{a}前n项之积为T，则aT（n1）或（n2）nnn1Tn1nn16.形如aAaf（n）或aAaBq，可两边同时除以A后再辅助数列进行n1nn1n叠加法或通过待定系数法转化为等比数列.an17.形如a的递推数列可以两边同时除以倒数后求通项.nkan1三、经典例题【例1】根据下列条件，求通项公式？n1（1）.已知数列{a}满足a1，aa（n2），求an1nn1n.n（2）已知数列{a}满足aa3n2，且a2，求a.nn1n1n【变式1】3n-1（1）已知数列{a}满足a3，aa，求a；n1n1nn3n211（2）已知数列{a}满足a，aa，求a.n1n1n2n2nnword格式资料\n...【例2】在数列{a}中，已知a1，a（2aa...aa）（n2，nN*），求这n1nn1n221个数列的通项公式。【变式2】12（1）已知数列{a}满足a，Sna，求a.n1nnn2word格式资料\n...22（2）已知数列{a}的前n项之积为T，且T（）n，求a.nnnn3【例3】已知数列{a}满足a1，a3a2，求a.n1n1nn【变式3】n已知数列{a}满足a1，a32a（n2），求a.n1nn-1nword格式资料\n...【例4】2已知数列{a}满足a3a，a3，求a.nn1n1n【变式】.word格式资料\n...an已知数列{a}满足a1，a，求a.n1n1n2a1n【例5】（1）已知数列{a}满足a2，a4a3n1，求a.n1n1nn（2）在数列{a}中，a8，a2，且满足a4a3a0，求a.n12n2n1nn【变式5】word格式资料\n...（1）已知数列{a}满足a1，a3，且a2aa4，求a.n12n2n1nn（2）已知数列{a}满足a3,2aSS（n2），求a.n1nnn1n课题2数列求和word格式资料\n...一、课时目标二、主要知识点数列求和常用方法1.公式法：直接利用等差等比前n项和的公式求和.n（aa）n（n1）1n（1）等差：Snnad122Snna（q1）1（2）等比：naaqa（1q）1n1Sn（q1）1q1q2.倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项额和相等或等于同一个常数，那么就用此法求前n项的和.3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么就用此法求前n项的和.4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和.5.分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时用分组求和法，分别求和而后相加减.6.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则成为并项求和法.形如na（1）f（n）类型，可采用此法求解.n111（1）;n(n1)nn111117.几个公式：（2）（）（2n1）（2n1）22n12n11（3）n1n.nn1三、经典例题word格式资料\n...【例1】求和n392565n21（1）Sn...n24816212212n12（2）Sn（x）（x）...（x）2nxxx111111【变式1】求和Sn1（1）（1）...（1...）n12242422n1n*【例2】设数列{a}满足a3a3a...3a，nNn123n3（1）求数列的通项；word格式资料\n...n（2）设b，求数列{b}的前n项和S.nnnan【变式2】已知数列{a}满足a0，aa10.n268（1）.求数列{a}的通项公式；nan（2）求数列{}的前n项和.n-1221在数列{a}中，a1，当n2时，其前n项S满足Sa（S）.n1nnnn2【例3】（1）.求S的表达式；nSn（2）.设b，求{b}的前n项和T.nnn2n1word格式资料\n...【变式3】a（nan1）*已知数列{a}的各项均为正数，前n项和为S，且S，nN.nnn2（1）求证：数列{a}是等差数列；n1（2）设b，Tbb...b，求T.nn12nn2Sn【例4】已知数列{a}的首项nnx3，通项x2pnq（nN*，p，q为常数），且x，x，x成等差数列.1n145（1）p，q的值；（2）数列{x}前n项和S的公式.nnword格式资料\n...22n1【变式4】求数列1，1a，1aa，...，1aa...a的前n项和S.n.【例5】在等比数列{a}中，a（0nN*），公比q（0,1），且nnaa2aaaa100，又4是a与a的等比中项.35463946（1）求数列{a}的通项公式；n（2）设bloga,求数列{b}的前n项和S.n2nnn欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。word格式资料