高中数学必修一复习资料 知识点及习题及答案 33页

高中数学专题提升专题一集合与函数第一章集合（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A=B.如果.②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N；A=，则CsA={0}）③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：CAB=）.3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是.（例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=）4.①n个元素的子集有个.②n个元素的真子集有个.③n个元素的非空子集有个.③n个元素的非空真子集有个.5.集合运算：交、并、补.6.主要性质和运算律（1）包含关系：33\n高中数学专题提升（1）等价关系：（2）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.0-1律：等幂律：补：拓展：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card(φ)=0.基本公式：【例题精练】1.（15年安徽文科）设全集，，，则()（A）（B）（C）（D）【答案】B2.(15年广东理科)若集合，，则A．B．C．D．【答案】．3.(15年天津理科)已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）【答案】A4.集合用列举法表示33\n高中数学专题提升．5.设集合，，则．6.设全集，集合，，则实数a的值为8或27.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a，b的值0、1或1/4、1/2．8．设集合，，，则=__{1,2,3,4}___．9.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是___8_个．10．设集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，求实数a的值.解：（1）由题意知：，，.①当时，得，解得．②当时，得，解得．综上，．（2）①当时，得，解得；②当时，得，解得．综上，．（3）由，则．11.【易错点】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？33\n高中数学专题提升【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。第二章函数高考题概览（检阅基础）1.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】B2.（15年北京理科）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】C3.（15年北京理科）设函数（画图法）①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．【答案】(1)1，(2)或.33\n高中数学专题提升4.(15年北京文科)，，三个数中最大数的是．【答案】【解析】（找到中间数来比0、1/2、1）试题分析：，，，所以最大.考点：比较大小.5.（15年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．B．C．D．【答案】．6.（15年新课标2理科）设函数,()（A）3（B）6（C）9（D）12【答案】C一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。（2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。2、函数（1）函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。②近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。（2）构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域3、函数的表示方法①解析法②列表法③图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。33\n高中数学专题提升4、补充：同一函数的判定5、求解析式方法例题，自编例3，例4类型的题典型例题讲解：【例1】设X=｛x|0≤x≤2｝，Y=｛y|0≤y≤1｝，则从X到Y可建立映射的对应法则是C（A）（B）（C）（D）【例2】下列各组函数中表示同一函数的是 D（A）与（B）与（C）与（D）与【例3】已知，则等于（令）（A）（B）（C）（D）【例4】函数满足条件，求的解析式＿＿＿＿＿．（代换法）二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。（注意分段函数）补充知识2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。3。复合函数定义域：已知f(x)的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。已知复合函数的定义域，则f(x)的定义域为在[a，b]内值域。典型例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）y=（2）33\n高中数学专题提升【例2】已知函数f(x)的定义域为[a,b]，且a+b>0，求f(x2)的定义域；【例3】设（1）求函数的定义域；（2）f(x)是否存在最大值和最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由。【例4】若函数的定义域是R，求实数m的取值范围。M>1【例5】设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为___(1,e)__________。【例6】若函数，则函数的定义域为___f（x）不为-1___即x不为-2________。随堂练习：1、已知函数的定义域为，求的定义域．2、已知函数的定义域为，求函数的定义域．33\n高中数学专题提升1、若的定义域为，求的定义域．4、若函数的定义域为，则的定义域为______________。三、函数的值域1．函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。补充：2．确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。补充：3．求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用不等式的性质求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。典型例题讲解：【例1】下列函数的值域：①②③【例2】若，则的值域是＿代入消元＿＿＿＿．33\n高中数学专题提升推出的范围，原式=【例3】求函数的值域（单调性法）【例4】求函数的值域　（图像法或分析法）　【例5】求（换元法）【例6】已知定义在(-∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2-2x+2，求函数f(x)的解析式。　　【例7】已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2)随堂训练：　1.函数y=|x-3|-|x+1|的值域是(　　)分段讨论画图像法　　(A)　　(B)[-4，4]　　(C)　　(D)R　2.函数y=x2-4x+2(1≤x≤4)的值域是(　　)（图像法）　　(A)[-1,2]　　(B)[-2,2]　　(C)[-3,2]　　(D)[-1,3]　3、函数的值域是_______（单调性法）33\n高中数学专题提升　4、若函数f(x)=ax3+bx+7，且f(5)=3，则f(-5)=四．函数的奇偶性1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。（商的判定方法）2.性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和⑥奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系补充：4.求对称区间解析式例题讲解：【例3】确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数:（1）.()；（2）.；（3）.33\n高中数学专题提升【例4】判定函数的奇偶性。【例5】设（其中a,b,c为常数），且，试求f（2）的值。随堂训练：1、判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、判断下列函数的奇偶性：（1）3、已知函数若，求的值。五、函数的单调性1、函数单调性的定义；33\n高中数学专题提升2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手，（2）从图象入手，（3）从函数运算入手，（4）从熟悉的函数入手（5）从复合函数的单调性规律入手注：函数的定义域优先3、函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。4、一般规律（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（4）设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。典型例题讲解：【例1】在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数【例2】已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A.B.C.D.【例3】已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（）A.B.C.D.【例4】设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：　　①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，f(x)-g(x)单调递增；　　②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，f(x)-g(x)单调递增；　　③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，f(x)-g(x)单调递减；　　④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，f(x)-g(x)单调递减；　　其中真命题的序号是：（）33\n高中数学专题提升　　（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④【例5】如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（）　　（A）增函数且最小值为-5　　（B）增函数且最大值为-5　　（C）减函数且最小值为-5　　（D）减函数且最大值为-5【例6】定义在区间（-∞，+∞）上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，+∞）上的图象与f(x)图象重合，设a>b>0，给出下列不等式：其中成立的是（）①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)　　②f(b)-f(-a)　②　③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)　　④f(a)-f(-b)　　（A）①与④（B）②与③（C）①与③（D）②与④【例7】已知奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且有最小值5，那么f(x)在[-7,-3]上一定是A.增函数，且有最小值-5B.增函数，且有最大值-5C.减函数，且有最小值-5D.减函数，且有最大值-5【例8】若函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4的图象位于x轴的下方，则实数a的取值范围是A.(-¥,2)B.[-2,2]C.(-2,2)D.(-¥,-2)【例9】函数y=x2-2ax+a2-1在(-¥,1)上是减函数，则实数a的取值范围是.【例10】若f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，+¥]上是减函数，则的大小关系是____________________.【例11】求的单调区间和值域.随堂练习：1．下列函数中，在上为减函数的是（）A．B．C．D．2．下列函数中，为偶函数的是（）33\n高中数学专题提升A．B．C．D．3．函数当时为增函数，当是减函数，则等于（）A．1B．9C．D．134．函数的递增区间为（）A．B．C．D．5．已知，且，则的值为（）A．B．C．D．6．已知函数在R上为奇函数，且当时，，则在R上的解析式为（）A．B．C．D．7．设为上的奇函数且不恒为零，那么时，函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数8．已知函数，则下列说法中，正确的是（）A．是偶函数，且在上是增函数B．是偶函数，且在上是减函数C．是非奇非偶函数，且在上是增函数D．是非奇非偶函数，且在上是减函数六、反函数1、反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出，若对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么叫以y为自变量的函数，这个函数叫函数y=f(x)的反函数，记作，通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作。注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；33\n高中数学专题提升2、求反函数的步骤（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（5）f-1[f(x)]=x;（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；4、反函数与原函数的关系：　　①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。　　②反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域。　　③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面４点：　　④偶函数必无反函数。　　⑤单调函数必有反函数。　　⑥奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。　　⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。　　⑧互为反函数的图象间的关系。　　函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：　　　i）函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，这个结论是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的；　　ii）（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；　　iii）若y＝f(x)存在反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的充分必要条件为f(x)＝f-1(x)，即原、反函数的解析式相同。例题讲解：【例1】函数＝20≤≤的反函数是．【例2】求下列函数的反函数：（1）＝，∈6，＋∞（2）＝－3，∈－5，－1【例3】关于y＝x对称，求g(2)的值．33\n高中数学专题提升【例4】已知函数y＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域内也是增函数．随堂训练：(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y＝f-1(x)的图像上一点，求函数y＝f(x)的值域．3．函数y＝－x2(x≤0)的反函数是[]4．函数y＝－x(2＋x)(x≥0)的反函数的定义域是[]A．[0，＋∞)　　　　B．[－∞，1]C．(0，1)　　D．(－∞，0)5．下列各组函数中互为反函数的是[]33\n高中数学专题提升七．二次函数1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，其中a是开口方向与大小，c是Y轴上的截距，而是对称轴。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，方程f(x)-x=0的两根为，则可设f(x)-x=或。2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时，3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)4．二次函数与一元二次方程关系33\n高中数学专题提升方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式的解集为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值范围。二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c(a>0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a>0)ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)图象与解△>0△=0△<0方程无解R典型例题讲解：【例1】已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.【例2】已知二次函数，如果(其中)，则33\n高中数学专题提升A．B．C．D．【例3】已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．【例4】若函数是偶函数，则在区间上是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数【例5】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030…y（件）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？随堂训练：1.一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本.据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y,写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。解：（1）y=xw=x(10x+90)=10x2+90x,10x2+90x=700,解得x=5答：前5个月的利润和等于700万元（2）10x2+90x=120x,解得，x=3答：当x为3时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等.（3）12（10×12+90）+12（10×12+90）=5040（万元）2.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图（15）所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：33\n高中数学专题提升（1）求该抛物线对应的二次函数解析式（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。八．指数式与对数式1．幂的有关概念(1)正整数指数幂，(2)零指数幂(3)负整数指数幂(4)正分数指数幂；(5)负分数指数幂(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2．有理数指数幂的性质3．根式（1）根式的定义:一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。(2)根式的性质:①当是奇数，则；当是偶数，则②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零4．对数(1)对数的概念如果,那么b叫做以a为底N的对数,记(2)对数的性质：①零与负数没有对数②③(3)对数的运算性质其中a>0,a≠0,M>0,N>0(4)对数换底公式：33\n高中数学专题提升（5）对数的降幂公式：九．指数函数与对数函数1、指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系名称指数函数对数函数一般形式Y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)过定点（０，1）（1，０）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)图象关于y=x对称单调性a>1,在(-∞,+∞)上为增函数０＜a<1,在(-∞,+∞)上为减函数a>1,在(0,+∞)上为增函数０＜a<1,在(0,+∞)上为减函数值分布y>1?y<1?y>0?y<0?比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同2、，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：　　　　　3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。十幂函数例题讲解：33\n高中数学专题提升【例1】函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数=___．【例2】已知函数．①判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性；　②当时，求的最大值，最小值及相应的值．【例3】设，求函数的最大值。【例4】函数（）图象的对称轴方程为，求的值．【例5】设、、为正数，且满足（1）求证：；（2）若，，求、、的值。【例6】计算：（1）；（2）.33\n高中数学专题提升【例7】已知，那么用表示是（）.A.B.C.D.【例8】比较下列各组数的大小.（1）；（2）；（3）.十．函数的图象　1、作函数图象的基本方法有两种：（1）描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性）2、列表（注意特殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点）　3、描点，连线　如：作出函数的图象．（2）图象变换法：利用基本初等函数变换作图①平移变换：（左加右减，上加下减）即②对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）33\n高中数学专题提升伸缩变换：基础热身训练：1、研究函数的图像与性质，可得该图像是由抛物线沿轴向______平移______个单位，再沿轴向______平移______个单位而得；因此图像关于直线____________对称，顶点坐标为____________；由图像可得函数在区间_________________上为增函数，在区间__________________上为减函数；图像交轴于______、______两点，交轴于______点。2、若函数的图像向左、下各平移2个单位，即得的图像，则的表达式为______。3、函数的图像经过点，那么函数的图像经过点_____________。【例1】作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）；（4）【例2】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）A.B.C.D.【例3】函数的图象和函数的图象的交点个数是（）A.4B.3C.2D.1【例4】图中的图象所表示的函数的解析式为(A)(0≤x≤2)(B)(0≤x≤2)(C)(0≤x≤2)33\n高中数学专题提升(D)(0≤x≤2)【例5】利用函数图像判别：方程的实根有___________个【例6】若函数是偶函数,则函数的图像关于直线对称。随堂训练：1、方程的实根的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、1个或2个或3个2、不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、3、若函数为偶函数，在上是减函数，又，则的解集是（）A、B、C、D、4、作出下列各个函数图象的示意图：（1）（2）（3）（4）5、将函数的图象沿轴向右平移1个单位，得到图象，图象与关于原点对称，图象与图象关于直线对称，求图象对应的函数。抽象函数相关问题由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：补充；常用变换：33\n高中数学专题提升①.证：②证：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知,求.解：设,则∴∴2.凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知，求解：∵又∵∴，(||≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知二次实函数，且+2+4,求.解:设=，则=比较系数得∴4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当>0时,,求33\n高中数学专题提升解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。∵->0,∴,∵为奇函数，∴∴当<0时∴例5．一已知为偶函数，为奇函数，且有+，求,.解：∵为偶函数，为奇函数，∴,,不妨用-代换+=………①中的,∴即－……②显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求解：∵的定义域为N，取=1,则有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利用函数性质，解的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：令=0,则已知等式变为……①在①中令=0则2=2∵≠0∴=1∴∴∴为偶函数。2.确定参数的取值范围例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。33\n高中数学专题提升解：由得，∵为函数，∴又∵在（-1，1）内递减，∴3.解不定式的有关题目例9：如果=对任意的有,比较的大小解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五类抽象函数解法　　1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设，∵当，∴，则33\n高中数学专题提升，即，∴f（x）为单调增函数。∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不等式的解为－10时，0