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- 2022-07-28 发布
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2009届高考复习资料—高中数学不等式部分易错题精选一、选择题：1．设若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A(a-1)(c-1)>0Bac>1Cac=1Dac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数的图象,由图可得出选D.2．设成立的充分不必要条件是ABCDx<-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D。3．不等式的解集是ABCD错解：选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则ABCD错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B。5．已知，则2a+3b的取值范围是ABCD错解：对条件“”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。6．若不等式ax+x+a＜0的解集为Φ，则实数a的取值范围（）Aa≤-或a≥Ba＜C-≤a≤Da≥正确答案：D错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。7．已知函数y=㏒(3x在[-1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围（）Aa≤-6B-＜a＜-6C-8＜a≤-6D－8≤a≤-6正确答案：C错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。8．已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz＞0记T=＋＋,则（）\nAT＞0BT=0CT＜0D以上都非正确答案：C错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T的符号改为判定xyz(＋＋)的符号。9．下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（）A．甲a＞b，乙＜B甲ab＜0，乙∣a+b∣＜∣a－b∣C甲a=b，乙a＋b=2D甲，乙正确答案：D错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。10．若f(x)=︱2—1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（）Aa＜0,b＜0,c＜0Ba＜0,b＞0,c＞0C2＜2D2＜2正确答案：D错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。11．已知a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（）A.a2>b2B.()a<()bC.lg(a－b)>0D.>1正确答案：B。错误原因：容易忽视不等式成立的条件。12．x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（）A.m>2B.m<2C.m>－2D.m<－2正确答案：D。错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。13．已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)()A.有最小值，也有最大值1B.有最小值，也有最大值1C.有最小值，但无最大值D.有最大值1，但无最小值正确答案：B。错误原因：容易忽视x、y本身的范围。14．若a>b>0，且>，则m的取值范围是（）A.mRB.m>0C.m<0D.–b0）的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的值等于（）A．1B．2C．3D．4正确答案：B19．若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（）A、B、C、D、答案：B点评：易误选A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。20．数列{an}的通项式，则数列{an}中的最大项是（）A、第9项B、第8项和第9项C、第10项D、第9项和第10项答案：D点评：易误选A，运用基本不等式，求，忽略定义域N*。21．.若不等式＞在上有解,则的取值范围是（）A．B.C．D．错解：D错因：选D恒成立。正解：C\n22．已知是方程的两个实根，则的最大值为（）A、18B、19C、D、不存在答案：A错选：B错因：化简后是关于k的二次函数，它的最值依赖于所得的k的范围。23．实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=a,则mx+ny的最大值是 。A、B、C、D、答案：B错解：A错因：忽视基本不等式使用的条件，而用得出错解。24．如果方程（x-1）(x2-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、＜m≤1C、≤m≤1D、m≥正确答案：（B）错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。二填空题：1．设，则的最大值为错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由得：，且，原式=，求出最大值为1。2．若恒成立，则a的最小值是错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由，即，故a的最小值是。\n3．已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为。错解一、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。错解二、，所以z的最小值是。错解分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。正解：z===，令t=xy,则，由在上单调递减,故当t=时有最小值,所以当时z有最小值。4．若对于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围是。正确答案：(－2,2)。错误原因：容易忽视m＝2。5．不等式ax+bx+c＞0，解集区间（-，2），对于系数a、b、c，则有如下结论：①a＞0②b＞0③c＞0④a+b+c＞0⑤a–b+c＞0，其中正确的结论的序号是________________________________.正确答案2、3、4错因：一元二次函数的理解6．不等式(x－2)≥0的解集是．正确答案：7．不等式的解集为（-∞，0），则实数a的取值范围是_____________________。正确答案：{-1，1}8．若α，β，γ为奇函数f(x)的自变量，又f(x)是在（-∞，0）上的减函数，且有α+β>0，α\n+γ>0，β+γ>0，则f(α)+f(β)与f(-γ)的大小关系是：f(α)+f(β)______________f(-γ)。正确答案：<9．不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________答案：点评：误填而忽略x=－1。10．设x>1，则y=x+的最小值为___________答案：点评：误填：4，错因：≥，当且仅当即x=2时等号成立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。11．设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3,则ax+by的取值范围为_______________.错解：错因：，当且仅当时等号成立，而此时与已知条件矛盾。正解：[－]12．－4＜k＜o是函数y=kx2－kx－1恒为负值的___________条件错解：充要条件错因：忽视时符合题意。正解：充分非必要条件13．函数y=的最小值为_______________错解：2错因：可化得，而些时等号不能成立。正解：14．已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________.错解：错因：由得，，\n等号成立的条件是与已知矛盾。正解：15．设函数的定义域为R，则k的取值范围是。A、B、C、D、答案：B错解：C错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用。16．不等式(x-2)2(3-x)(x-4)3(x-1)的解集为。答案：错解：错因：忽视x=2时不等式成立。17．已知实数x,y满足，则x的取值范围是 。答案：错解：错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条件“”。18．若，且2x+8y-xy=0则x+y的范围是。答案：由原方程可得错解：设代入原方程使用判别式。错因：忽视隐含条件，原方程可得y(x-8)=2x，则x>8则x+y>819．已知实数。正确答案：错误原因：找不到解题思路，另外变形为时易忽视这一条件。20．已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是。\n正确答案：错误原因：条件x+y＝4不知如何使用。21．已知函数①②③④，其中以4为最小值的函数个数是。正确答案：0错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。22．已知是定义在的等调递增函数，且，则不等式的解集为。正确答案：错误原因：不能正确转化为不等式组。23．已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的最大值为正确答案：3错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成5。应使用如下做法：9a2+x2≥6ax,9b2+y2≥6by，9c2+z2≥6cz，6(ax+by+cz)≤9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2)=18,ax+by+cz≤3三、解答题：1．是否存在常数c，使得不等式对任意正数x,y恒成立？错解：证明不等式恒成立，故说明c存在。正解：令x=y得，故猜想c=,下证不等式恒成立。要证不等式，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2x+y）(x+2y),也即证,即2xy≤\n，而此不等式恒成立，同理不等式也成立，故存在c=使原不等式恒成立。2．已知适合不等式的x的最大值为3，求p的值。错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x的最大值为3”的含义。正解：因为x的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于，即，则，设（1）（2）的根分别为，则若，则9-15+p-2=0，p=8若，则9-9+p+2=0,p=-2当a=-2时，原方程组无解，则p=83．设，且，求的取值范围。解：令则比较系数有即说明：此题极易由已知二不等式求出的范围，然后再求即的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。4．若，解关于的不等式：。\n解：令则的判别式恒成立原不等式的解为说明：此题容易由得出的错误结论。解有关不等式的问题，一定要注意含参数的表达式的符号，否则易出错误。5．求函数的极大值或极小值。解：当时，当且仅当即时，当时，当且仅当即时，说明：此题容易漏掉对的讨论。不等式成立的前提是。6．求函数的最大值。解：\n当且仅当即时，说明：此题容易这样做：。但此时等号应满足条件，这样的是不存在的，错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。7．解不等式：。解：当时，原不等式为当时，原不等式为又原不等式的解为说明：此题易在时处出错，忽略了的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。7．若且，解不等式：\n解：若，两边取以为底的对数若，同样有，又当时不等式的解为当时不等式的解为说明：此题易在时的解中出错，容易忽略这个条件。解决对数问题要注意真数大于0的条件。8．）方程的两根都大于2，求实数的取值范围。解：设方程的两根为，则必有说明：此题易犯这样的错误：且和判别式联立即得的范围原因是只是的充分条件\n即不能保证同时成立9.设函数f(x)=logb(b>0且b≠1)，（1）求f(x)的定义域；（2）当b>1时，求使f(x)>0的所有x的值。解（1）∵x2－2x+2恒正，∴f(x)的定义域是1+2ax>0，即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。当a>0时，f(x)的定义域是（－，+∞）当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，－）（2）当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0>1x2－2x+2>1+2axx2－2(1+a)x+1>0其判别式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2)(i)当Δ<0时，即－20∴f(x)>0x<－(ii)当Δ=0时，即a=－2或0时若a=0,f(x)＞0(x－1)2>0x∈R且x≠1若a=－2,f(x)＞0(x+1)2＞0x＜且x≠－1(iii)当△＞0时，即a＞0或a＜－2时方程x2－2(1+a)x+1=0的两根为x1=1+a－,x2=1+a+若a＞0，则x2＞x1＞0＞－∴或\n若a<－2，则∴f(x)＞0x＜1+a－或1+a+＜x＜－综上所述：当－2＜a＜0时，x的取值集合为x|x＜－当a=0时，x∈R且x≠1，x∈R，当a=－2时：x|x＜－1或－1＜x＜当a＞0时，x∈x|x＞1+a+或－＜x＜1+a－当a＜－2时，x∈x|x＜1+a－或1+a+＜x＜－错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。10．设集合M＝[－1，1]，N=[－，]，f(x)=2x2+mx－1，若x∈N,m∈M,求证|f(x)|≤证明：|f(x)|=|2x2+mx－1|=|(2x2－1)+mx|≤|(2x2－1)|+|mx|=(2x2－1)+|mx|≤(2x2－1)+|x|=－2（|x|－）2＋≤错因：不知何时使用绝对值不等式。11．在边长为a的正三角形中，点P、Q、R分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。解设ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面积为s1、、s2、s3，则S=SΔABC－S1－S2－S3=a2－[a2－（xy+xz+yz）]＝（xy+xz+yz）由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤,∴Smav=a2，此时，x=y=z=错因：不知如何使用基本不等式。12．设a、b∈R，求证：≤证明：当|a+b|=0时，不等式已成立当|a+b|≠0时，∵|a+b|≤|a|+|b|∴=≤==+≤\n点评：错证：∵|a+b|≤|a|+|b|∴≤≤①错因：①的推理无根据。
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