高中数学知识点总结大全(最新版复习资料)(二) 112页

高中数学知识点总结\n引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。第-2-页共107页\n选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算第-3-页共107页\n高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a（4）集合的表示法表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.M，或者aM，两者必居其一.①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图AB（或子集BA)AB真子集（或BA）集合AB相等A中的任一元素都属于BAB，且B中至少有一元素不属于AA中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AA(2)AA(B)BA(3)若AB且BC，则AC或(4)若AB且BA，则AB（1）A（A为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBA(1)ABA(B)(2)BA（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义{x|x（1）AIA,且交集B（2）（3）xB}性质示意图AIAAAIAIBAABAIBB第-4-页共107页\n{x|x（1）AUAAA,或AAUB（2）AU并集（3）AUBAxB}BAUBAB{x|xU,且xA}痧U(AIB)(UA)U(?UB)1AI(eUA)补集eAU痧(AUB)(UUUA)I(?B)2AU(eA)UU【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0)|x|a(a0)|axb|c,|axb|c(c0)（2）一元二次不等式的解法判别式b24ac0二次函数{x|axa}x|xa或xa}把axb看成一个整体，化成|x|a，|x|a(a0)型不等式来求解00yax2bxc(a0)的图象O一元二次方程bb24acax2bxc0(a0)x1,22ax1x2b无实根2a（其中x1x2)的根ax2bxc0(a0){x|xx1或xx2}{x|xb}R的解集2aax2bxc0(a0){x|x1xx2}的解集〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到第-5-页共107页\nB的一个函数，记作f:AB．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|axb}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ytanx中，xk(kZ)．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ag(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．第-6-页共107页\n④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:AB．②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值121f(x2)，．．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（1）利用定义yy=f(X)f(x2)（2）利用已知函数的单调性f(x1)（3）利用函数图象（在某个区间图ox1x2x象上升为增）（4）利用复合函数（1）利用定义yy=f(X)（2）利用已知函数f(x1)的单调性（3）利用函数图象f(x)2（在某个区间图ox1x2x象下降为减）（4）利用复合函数两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，③对于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则yf[g(x)]为第-7-页共107页\n减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yf[g(x)]为减．（2）打“√”函数f(x)xa(a0)的图象与性质xf(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；yox（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)M．②一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于函数f(x)定义（1）利用定义（要域内任意一个x，都有先判断定义域是否f(－x)=－f(x),那么函数关于原点对称）．．．．．．．．．．（2）利用图象（图f(x)叫做奇函数．．．．象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义（1）利用定义（要域内任意一个x，都有先判断定义域是否f(－x)=f(x),那么函数关于原点对称）．．．．．．．．．．（2）利用图象（图f(x)叫做偶函数．．．．象关于y轴对称）②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；第-8-页共107页\n③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换yf(x)②伸缩变换h0,左移h个单位yf(xh)yf(x)k0,上移k个单位yf(x)kh0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位yf(x)01,伸1,缩yf(x)0A1,缩A1,伸③对称变换yf(x)yAf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)（2）识图x轴f(x)yf(x)y轴f(x)yy原点f(x)yf(x)直线yxyf1(x)y去掉y轴左边图象yf(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．③根式的性质：(na)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|aa(a0)．(a0)（2）分数指数幂的概念mnm①正数的正分数指数幂的意义是：n(0,,,且n1)．的正分数指数幂等于．aaaN0mn0\n第-9-页共107页\nm1m1)m(a0,m,nN,且n②正数的负分数指数幂的意义是：an()nn(1)．0的负分数指数幂aa没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)③(ab)rrbr(a0,b0,r)aR【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数yax(a0且a1)叫做指数函数a10a1yyaxyaxy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当x0时，y1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数ax1(x0)ax1(x0)函数值的ax1(x0)ax1(x0)变化情况axax1(x0)1(x0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．第-10-页共107页\n（2）几个重要的对数恒等式loga10，logaa1，logabb．a（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828⋯）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNN⑤logbMnnlogaM(b0,n)⑥换底公式：logaNlogbN0,且b1)abR(blogba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数对数函数名称定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况a变化对图象的影响(6)反函数的概念a10a1x1ylogaxx1yyylogax(1,0)O(1,0)xOx(0,)R图象过定点(1,0)，即当x时，y0．1非奇非偶在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)logax0(x1)logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(0x1)在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．第-11-页共107页\n设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(x)中反解出xf1(y)；③将xf1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．④一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象第-12-页共107页\n（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q（其中p,q互质，ppqq和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yxp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxp是偶函数，若p为q偶数q为奇数时，则yxp是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当10x1yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．时，若，其图象在直线〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,顶点坐标是2a第-13-页共107页\n(b,4acb2)．2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,b]上递减，在[b,)上递增，当xb时，2a2a2afmin(x)4acb2；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,b]上递增，在[b,)上递减，当xb4a2a2a2a4acb2时，fmax(x)．4a③二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|．|a|（4）一元二次方程ax2bxc0(a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：xb③判别式：④端点函数值符号．2a①k＜x1≤x2yybf(k)0a0x2a?OkOx2kx1x2xx1xb?0xf(k)02aa②x1≤x2＜kyybf(k)0a0x?2aOx2Ox2kx1kxx1xba0?xf(k)02a③x＜k＜xaf(k)＜012第-14-页共107页\nyya0f(k)0?Okx1x2xx1Okx2xf(k)0?a0④k1＜x1≤x2＜k2y?f(k1)x1Ok1⑤有且仅有一个根这两种情况是否也符合y?f(k1)a0yxb0f(k2)02a?x2k1k2k2xOx1x2x??bf(k1)0)0f(k2xa02ax（1或x2）满足k1＜x（1或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0a0y0f(k1)0?x1k2x1k2Ok1x2xOk1x2x?)0?f(k2a0f(k2)0⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x01(pq)．（Ⅰ）当a0时（开口向上）2①若bp，则mf(p)②若pbq，则mf(b)③若bq，则mf(q)2a2a2a2affff(q)(p)(p)(q)OxfOxOxf((p)bb)ff(b))f(2a2a(q)2a第-15-页共107页\nbx0，则Mf(q)b，则Mf(p)①若2a②x02aff(p)x(q)x00gOxOgxb)fff(b)(q)2af((p)(Ⅱ)当a2a0时(开口向下)①若bp，则Mf(p)②若pbq，则Mf(b)③若bq，则Mf(q)2a2a2a2ab)b)bf(f(ff(2a)2aff2a(q)(p)(p)OxOxOxfff(q)(q)(p)①若bx0，则mf(q)②bx0，则mf(p)．2a2af(bb)ff(2a)f2a(q)(p)x0x0gOgxOxff(q)(p)第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：○1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数yax2bxc(a0)．１）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个第-16-页共107页\n零点．２）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．高中数学必修2知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEA'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥PA'B'C'D'E'几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台PA'B'C'D'E'几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图第-17-页共107页\n1.3空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积S2rl2r23圆锥的表面积4圆台的表面积Srlr2RlR25球的表面积Srlr2S4R2（二）空间几何体的体积1柱体的体积VS底h2锥体的体积V1S底h13VSSSS)h4球体的体积3台体的体积（上上下下3V4R33第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为DCA∈LAαB∈L=>Lαα·ABA∈αLB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，α·C··使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。\n第-18-页共107页\n（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈Lβ公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b=>a∥cc∥bαPL·强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；2③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aαbβ=>a∥αa∥b2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：第-19-页共107页\naβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβ第-20-页共107页\nBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x13.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它第-21-页共107页\nPP1222x2x2y2y1们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线lP(x,y)kyyk(xx)经过点000，且斜率为002、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)ykxb3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b03.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程AxByC0（A，B不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=03x4y20解：解方程组2y202x得x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）3.3.2两点间距离第-22-页共107页\n两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1．点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:AxByAx0By0CC0的距离为：dB2A22、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2AxByC2C1C20，则l1与l2的距离为dB2A2第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程1、圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2、点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：（1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上（3）(xa)2(y0b)2=n0,且nN)结论都成立。考点三证明1.反证法:2、分析法:3、综合法:数系的扩充和复数的概念复数的概念(1)复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.(2)分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数;b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则（1）z1z2(ac)(bd)i（2）z1?z2(acbd)(adbc)i（3）z1(acbd)(adbc)i0)z2c2d2(z22,几个重要的结论(1)|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)(2)z?z|z|2|z|2(3)若z为虚数,则|z|2z23.运算律(1)zm?znzmn;(2)(zm)nzmn;(3)(z1?z2)nz1n?z2n(m,nR)4.关于虚数单位i的一些固定结论：（1）i21（2）i3i（3）i41（2）inin2in3in40数学选修2－3第一章计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，⋯⋯，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+⋯⋯+MN种不同的方法。2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，⋯⋯，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有N=M1M2...MN种不同的方法。3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．4、排列数：Amn(n1)(nm1)n!(mn,n,mN)(nm)!5、组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。第-71-页共107页\nmAmnmn(n1)(nm1)mn!n!6、组合数：CnCnAnn(n1)(nm1)CCnnmmAmmAmmm!m!(mn!(nm)!m)!mCnm;Cm1mmCnnnCnCn17、二项式定理：(an0n1n12n22rnrrnnb)CnaCnabCnab⋯Cnab⋯Cnb8、二项式通项公式rnrbr(r0，1⋯⋯n)展开式的通项公式：Tr1Cna第二章随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xnX取每一个值xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列4、分布列性质①pi≥0,i=1，2，⋯；②p1+p2+⋯+pn=1．5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：其中03.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关回归分析回归直线方程y?abx第-73-页共107页\nxy1xy(xx)(yy),SPaybx其中nb1(x2)2SSxx2(xx)n高中数学选修4-1知识点总结平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。第-74-页共107页\n圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。选修4-4数学知识点一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：xx,(0),1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:yy,(0).的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。第-75-页共107页\n如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：2x2y2,xcos,ysin,tany0)(xx6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；在极坐标系中，以C(a,0)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2acos；在极坐标系中，以C(a,2)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin；7.在极坐标系中，(0)表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cosa.xf(t),8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数yg(t),并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。xarcos,为参数)9．圆(xa)2b)2r2((y的参数方程可表示为ybrsin..x2y21(axacos,(为参数)ybsin.椭圆a2b2b0)的参数方程可表示为.x2px2,抛物线y2(t为参数)2px的参数方程可表示为y2pt..xxotcos,经过点MO(xo,yo)，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为yyotsin.（t为参数）.10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.高中数学选修4--5知识点1、不等式的基本性质第-76-页共107页\n①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac③（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbcab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbdab0,0cdab（异向正数可除性）cd⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1)ab011;ab011⑧（倒数法则）abab2、几个重要不等式①a2b22aba，bR,（当且仅当ab时取""号）.aba2b2.变形公式：2ababa，bR②（基本不等式）2,（当且仅当ab时取到等号）.ab2ab.ab2ab2变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.abc3abcR)（当且仅当abc时取到等号）.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3(a、b、c④a2b2c2abbccaa，bR（当且仅当abc时取到等号）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)（当且仅当abc时取到等号）.第-77-页共107页\n若ab0,则ba2⑥ab（当仅当a=b时取等号）若ab0,则ba2ab（当仅当a=b时取等号）bbm1ana⑦aambnb，（其中ab0，m0，n0)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a0时，xax2a2xa或xa;xax2a2axa.⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式ababab.2ababa2b2①平均不等式：a1b122（a,bR，当且仅当ab时取""号）.，（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：2a2b2;(ab)2.abab2a2b222②幂平均不等式：a2a2...a21(aa...a)2.12nn12n③二维形式的三角不等式：x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).④二维形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.⑦向量形式的柯西不等式：urururururur,ururur设,是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则第-78-页共107页\na1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和），当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有f(x1x2)f(x1)f(x2)或f(x1x2)f(x1)f(x2).2222则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：(a1)23(a1)2;①舍去或加上一些项，如242②将分子或分母放大（缩小），1111,2212如k2,2,k(k1)kk(k1)2kkkkkk112(kN*,k1)kkk1等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)f(x)g(x)00g(x)f(x)f(x)g(x)00g(x)0g(x)（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f(x)a(a0)f(x)0f(x)a2⑴第-79-页共107页\nf(x)a(a0)f(x)0f(x)a2⑵f(x)0或f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2g(x)0⑶f(x)0f(x)g(x)g(x)0⑷f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0⑸f(x)g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)⑵当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0⑴当a1时,f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.⑵当0a1时,f(x)g(x)规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：a(a0)a(a.a0)f(x)g(x)f2(x)g2(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①②xaaxa(a0);xaxa或xa(a0);③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)第-80-页共107页\n④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;a0②当a0时0.⑵不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;a0②当a0时0.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;⑷f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)mina.15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)第-81-页共107页\n表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数zAxBy（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法：yAxzz利用z的几何意义：BB,B为直线的纵截距.①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：②“斜率”型：③“距离”型：zAxBy;zyzyb;x或xazx2y2或zx2y2;z(xa)2(yb)2或z(xa)2(yb)2.在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.附：高中数学常用公式及常用结论1.元素与集合的关系xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式CU(AIB)CUAUCUB;CU(AUB)CUAICUB.3.包含关系AIBAAUBBABCUBCUAAICUBCUAUBR第-82-页共107页\n4.容斥原理card(AUB)cardAcardBcard(AIB)card(AUBUC)cardAcardBcardCcard(AIB)card(AIB)card(BIC)card(CIA)card(AIBIC).5．集合{a1,a2,L,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0|f(x)MNMNf(x)N|2M02f(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)充分条件.特别地,方程ax2bxc0(a0)有且只有一个实根在f(k1)0且k1bk1k2,或f(k2)0且k1k2b2a222a9.闭区间上的二次函数的最值0不等价,前者是后者的一个必要而不是(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或k2.二次函数体如下：f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在xb处及区间的两端点处取得，具2abp,q，则f(x)minb),f(x)maxmaxf(p),f(q)(1)当a>0时，若xf(；b2a2axp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2abb(2)当a<0时，若xf(x)minminf(p),f(q)，若xp,q，则p,q，则2a2af(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).10.一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根.设f(x)x2pxq，则（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p24q0pm；2f(m)0f(n)0f(m)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0或或paf(n)0mn2f(n)0af(m)；0第-83-页共107页\np24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或pm.211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).a00(3)f(x)ax4bx2c0恒成立的充要条件是ba.0或4accb20012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n1）个小于不小于至多有n个至少有（n1）个对所有x，存在某x，成立不成立p或qp且q对任何x，存在某x，不成立成立p且qp或q14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若（2）必要条件：若（3）充要条件：若pq，则p是q充分条件.qp，则p是q必要条件.pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.第-84-页共107页\n16.函数的单调性(1)设x1x2a,b,x1x2那么(xx)f(x)f(x)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；1212x1x2(xx)f(x)f(x)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.1212x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xab;两ab2个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x2对称.21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(a,0)2yf(x)为周期为2a的周期函数.22．多项式函数P(x)anxnan1xn1La0的奇偶性对称;若f(x)f(xa),则函数多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).(2)函数yf(x)的图象关于直线xabf(amx)f(bmx)对称f(abmx)f(mx).224.两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线abx对称.函数yf(x)和yf1(x)的图象关于直线2m(3)y=x对称.25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.26．互为反函数的两个函数的关系f(a)bf1(b)a.27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1[f1(x)b],并不是y[f1(kxb),而函数1[f(x)ky[f1(kxb)是yb]的反函数.k28.几个常见的函数方程(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.第-85-页共107页\n(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f'(1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，f(0)1,limg(x)1.x0x29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，或f(xa)1(f(x)0)，f(x)或f(xa)1(f(x)0),f(x)或1f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；2(3)f(x)11(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；f(xa)(4)f(x1x2)f(x1)f(x2)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则f(x)的周期T=4a；1且f(a)f(x1)f(x2)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.30.分数指数幂m1(1)an0,m,nN，且n1）.（anamm1(2)an0,m,nN，且n1）.m（aan31．根式的性质（1）(na)na.（2）当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a,a0.a,a032．有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).34.对数的换底公式logaNlogmN0,且m1,N0).(a0,且a1,mlogma第-86-页共107页\n推论logambnnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).m35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)logaMlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).36.设函数f(x)logm(ax2bxc)(a0),记b24ac.若f(x)的定义域为R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若a0,b0,x0,x1logax(bx),则函数ya(1)当ab时,在(0,1)和(1,)上ylogax(bx)为增函数.aa，(2)当ab时,在(0,1)和(1,)上ylogax(bx)为减函数.aa推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.238.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p)x.39.数列的同项公式与前n项的和的关系ans1,n1snsn1,n(数列{an}的前n项的和为sna1a2Lan).240.等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN*)；其前n项和公式为snn(a1an)na1n(n1)d22dn2(a11d)n.2241.等比数列的通项公式ana1qn1a1qn(nN*)；q其前n项的和公式为sna1(1qn),q11qna1,q1第-87-页共107页\n或sna1anq,q11q.na1,q142.等比差数列an:an1b(n1)d,q1anbqn(db)qn1q1其前n项和公式为qand,a1b(q0)的通项公式为d；,q1nbn(n1)d,(q1)sn(bd1qndn,(q.)q11q1)1q43.分期付款(按揭贷款)每次还款xab(1b)n元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).(1b)n144．常见三角不等式（1）若x(0,)，则sinxxtanx.2(2)若x(0,)，则1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.45.同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan=sin，tancot1.cos46.正弦、余弦的诱导公式nsin(n)(1)2sin,(n为偶数)n12(1)2cos,(n为奇数)n(n为偶数)cos(n(1)2cos,)n1(n为奇数)2(1)2sin,47.和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tan()tantan.1mtantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanb).a48.二倍角公式sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.tan22tan.1tan2第-88-页共107页\n49.三倍角公式sin33sin4sin34sinsin()sin().33cos34cos33cos4coscos()cos().33tan33tantan3tantan()tan().213tan3350.三角函数的周期公式函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函数ytan(x)，xk,kZ(A,ω,为常数，且≠，ω＞0)的周期T.2A051.正弦定理abcsinAsinB2R.sinC52.余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.53.面积定理（1）S（2）S1aha1bhb1chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.2221absinC1bcsinA1casinB.222(3)SOAB1uuuruuur2uuuruuur2.2(|OA||OB|)(OAOB)54.三角形内角和定理在△ABC中，有ABCC(AB)CAB2(AB).222C2255.简单的三角方程的通解sinxaxkcosxax2ktanxaxk特别地,有(1)karcsina(kZ,|a|1).arccosa(kZ,|a|1).arctana(kZ,aR).sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ).56.最简单的三角不等式及其解集sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ.2第-89-页共107页\ntanxa(aR)x(k,karctana),kZ.257.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：(1)a·b=b·a（交换律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理如果e、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ12，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．1260．向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则aPb(b0)x1y2x2y10.53.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).uuuruuuruuur(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x,y2y).11(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).63.两向量的夹角公式cosx1x2y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).y12x22x12y2264.平面两点间的距离公式uuuruuuruuurdA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).65.向量的平行与垂直设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.66.线段的定比分公式是线段P1P2的分点,uuuruuur设1，P2(x2,y2)，P(x,y)是实数，且PPPP，则P(x1,y1)12xx1x2uuuruuuruuur1OP1OP2OPy1y21y1uuuruuuruuur1OPtOP1(1t)OP2（t1）.67.三角形的重心坐标公式第-90-页共107页\n△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3,y1y2y3).3368.点的平移公式x'xhxx'huuuruuuruuurOP'OPPP'.y'ykyy'kuuur注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F'上的对应点为P'(x',y')，且PP'的坐标为(h,k).69.“按向量平移”的几个结论（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(xh,yk).(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的函数解析式为yf(xh)k.(3)图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C'的函数解析式为yf(xh)k.(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的方程为f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则（1）O为ABC的外心uuur2uuur2uuur2OAOBOC.（2）O为ABC的重心uuuruuuruuurrOAOBOC0.uuuruuur（3）O为ABC的垂心uuuruuuruuuruuurOAOBOBOCOCOA.（4）O为ABC的内心uuuruuuruuurraOAbOBcOC0.（5）O为ABC的A的旁心uuuruuuruuuraOAbOBcOC.71.常用不等式：（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）a,bRabab(当且仅当a＝b时取“=”号)．2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.（5）ababab.72.极值定理已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值1s2.y)2y)24推广已知x,yR，则有(x(x2xy（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时,|xy|最大.73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).74.含有绝对值的不等式第-91-页共107页\n当a>0时，有xax22axa.axax2a2xa或xa.75.无理不等式（1）（2）（3）f(x)0f(x)g(x)g(x)0.f(x)g(x)f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或.f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0.f(x)[g(x)]276.指数不等式与对数不等式(1)当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)(2)当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)77.斜率公式ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2x178.直线的五种方程（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).y2y1x2x1(4)截距式xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2A1B1C1；A2B2C2②l1l2A1A2B1B20；第-92-页共107页\n80.夹角公式(1)tan|k2k1|.1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tan|A1B2A2B1|.A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是.281.l1到l2的角公式(1)tank2k1.1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tanA1B2A2B1.A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1到l2的角是.82．四种常用直线系方程2(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,λ是参变量．83.点到直线的距离|Ax0By0C|dA2B2(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).0或0所表示的平面区域84.AxByC设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.86.圆的四种方程a)2b)2r2（1）圆的标准方程(x(y.（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).ll第-93-页共107页\nxarcos（3）圆的参数方程.ybrsin（4）圆的直径式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).87.圆系方程(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．(3)过圆C1:x2y2D1xE1yF10与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程是x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种若d(ax)2(by)2，则00dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.89.直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:dr相离0;dr相切0;dr相交0.AaBbC其中d.A2B290.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，O1O2d1212dr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线;0dr1r2内含无公切线.91.圆的切线方程(1)已知圆x2y2DxEyF0．①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是x0xy0yD(x0x)E(y0y)F0.22D(x0x)E(y0y)当(x0,y0)圆外时,x0xy0y0表示过两个切点的切点弦方程．22F②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆x2y2r2．①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr2;第-94-页共107页\n②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2.92.椭圆x2y21(ab0)的参数方程是xacos.a2b2ybsin93.椭圆x2y21(ab0)焦半径公式a2b2PF1e(xa2)，PF2e(a2x).cc94．椭圆的的内外部（x2y21(ab0)的内部x02y021.1）点P(x0,y0)在椭圆2b2a2b2a（x2y21(ab0)的外部x02y021.2）点P(x0,y0)在椭圆2b2a2b2a95.椭圆的切线方程(1)椭圆x2y21(abx0xy0y1.a2b20)上一点P(x0,y0)处的切线方程是b2a2（2）过椭圆x2y21(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是x0xy0ya2b21.a2b2（3）椭圆x2y21(ab0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.a2b2x2y21(a0,b0)的焦半径公式96.双曲线2b2aPF1|e(xa2)|，PF2|e(a2x)|.cc97.双曲线的内外部(1)x2y21(a0,b0)的内部x02y021.点P(x0,y0)在双曲线2b2a2b2a(2)x2y21(a0,b0)的外部x02y021.点P(x0,y0)在双曲线2b2a2b2a98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为x2y21x2y20ba2b2渐近线方程：a2b2yax.(2)若渐近线方程为ybxxy0双曲线可设为x2y2.aaba2b2(3)若双曲线与x2y21有公共渐近线，可设为x2y2（0，焦点在x轴上，0，焦点在a2b2a2b2y轴上）.99.双曲线的切线方程(1)双曲线x2y21(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是x0xy0y1.a2b2a2b2（2）过双曲线x2y21(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是x0xy0ya2b21.a2b2第-95-页共107页\n（3）双曲线x2y21(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.a2b2100.抛物线y22px的焦半径公式抛物线y22px(p0)焦半径CFx0p.pp2过焦点弦长CDx1x2x1x2p.22P(y2101.抛物线y22px上的动点可设为,y)或P(2pt2,2pt)或P(xo,yo)，其中yo22pxo.2p102.二次函数yax2bxca(xb)24acb2(a0)的图象是抛物线：（1）顶点坐标为2a4a(b,4acb2)；（2）焦点的坐标为(b,4acb21)；（3）准线方程是y4acb21.2a4a2a4a4a103.抛物线的内外部(1)点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的内部y22px(p0).点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的外部y22px(p0).(2)点P(x022px(p0)的内部22px(p0).,y0)在抛物线yy点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的外部y22px(p0).(3)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0).点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的外部x22py(p0).(4)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0).点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的外部x22py(p0).104.抛物线的切线方程(1)抛物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).（2）过抛物线y22px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(x（3）抛物线y22px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB22AC.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程x2y21,其中kmax{a2,b2}.当ka2kb2k圆;当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.x0).min{a2,b2}时,表示椭106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1x2)2(y1y2)2或AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ykxb消去y得到ax2bxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.F(x,y)0107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是F(x2A(AxByC),y2B(AxByC))0.A2B2A2B2108.“四线”一方程第-96-页共107页\n对于一般的二次曲线Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x2，用y0y代y2，用x0yxy0代xy，用x0x代x，用y0y代y即得方程222AxxBx0yxy0CyyDx0xEy0yF0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是02022此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．uuurP、A、B三点共线AP||ABuuuruuuruuuruuurAPtABOP(1t)OAtOB.AB||CDuuuruuuruuuruuurAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby．uuuruuuruuur推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB，uuuruuuuruuuruuur或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.uuur119.对空间任一点O和不共线的三点uuuruuuruuurk），则当k1A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyz第-97-页共107页\n时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．A、B、C、D四点共面uuuruuuruuuruuurAD与AB、AC共面uuuruuuruuurOD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量yb＋zc．k1时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；uuuruuuruuurADxAByACp，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋uuur推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使uuuruuuruuurOPxOAyOBzOC.121.射影公式uuur.作A点在l上的射影A'，作B点在l上的射影B'，已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量则uuurA'B'|AB|cos〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐标运算设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；(4)a·b＝a1b1a2b2a3b3；123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则uuuruuuruuurABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).124．空间的线线平行或垂直rr设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则rrrrrrx1x2aPbab(b0)y1y2；rrrrz1z2abab0x1x2y1y2z1z20.125.夹角公式设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3.a12a22a32b12b22b32推论(a1b1a2b2a3b3)2(a12a22a32)(b12b22b32)，此即三维柯西不等式.126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则cos|(AB2CD2)(BC2DA2)|.2ACBD127．异面直线所成角cos|cosrr|a,brr=|rabr||x1x2y1y2z1z2||a||b|x12y12z12x22y22z22（0o90o）为异面直线rra,b的方向向量）（其中a,b所成角，a,b分别表示异面直线128.直线AB与平面所成角第-98-页共107页\nuuurururABm的法向量).arcsinuuurur(m为平面|AB||m|129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.特别地,当ACB90o时,有sin21sin22sin2.130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A'、B'为ABO的两个内角，则tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2.特别地,当AOB90o时,有sin21sin22sin2.131.二面角l的平面角urrurrurrmn或mn，的法向量）.arccosurrarccosurr（m，n为平面|m||n||m||n|132.三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2.133.三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos;|12|180o(12)(当且仅当90o时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则uuuruuuruuur(y2y1)2(z2z1)2.dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2135.点Q到直线l距离h1(|a||b|)2(auuuruuurb)2(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).|a|136.异面直线间的距离uuuruurrd|CDn|r(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).|n|137.点B到平面的距离uuuruurrd|ABn|的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.r（n为平面|n|138.异面直线上两点距离公式dh2m2n2m2mncos.dh2m2n2uuuruuur2mncosEA',AF.dh2m2n22mncos（EAA'F）.(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，A'Em,AFn,EFd).139.三个向量和的平方公式第-99-页共107页\nrrr2r2r2r2rrrrrr(abc)abc2ab2bc2carrrrrrr2r2r2rrrrrrabc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理S'S.cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则①S斜棱柱侧c1l.②V斜棱柱S1l.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E1nF；21（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：EmV.146.球的半径是R，则2其体积V4R3,3其表面积S4R2．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a,外接球的半径为6a.148．柱体、锥体的体积124V柱体1h是柱体的高）.Sh（S是柱体的底面积、3V锥体1Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.3149.分类计数原理（加法原理）\n第-100-页共107页\nNm1m2Lmn.150.分步计数原理（乘法原理）Nm1m2Lmn.151.排列数公式m=n(n1)(nm1)=n！*，且mn)．An.(n，m∈N(nm)！注:规定0!1.152.排列恒等式(1）Anm(nm1)Anm1;（2）AnmnAnm1;nm（3）AnmnAnm11;（4）nAnnAnn11Ann;（5）Anm1AnmmAnm1.(6)1!22!33!Lnn!(n1)!1.153.组合数公式mAnmn(n1)(nm1)n！*，mN，且mn).Cn==m=(n∈NAmm12m！(nm)！154.组合数的两个性质(1)Cnm=Cnnm;(2)Cnm+Cnm1=Cnm1.注:规定Cn01.155.组合恒等式mnm1m1（1）CnCn;（2）CnmnnCnm1;m（3）CnmnCnm11;nmCnr=2n;（4）r0（5）CrrCrr1Crr2(6)Cn0Cn1Cn2(7)C1nCn3Cn5(8)C1n2Cn23Cn3CnrCnr11.CnrCnn2n.Cn0Cn2Cn42n1.nCnnn2n1.(9)CmrCn0Cmr1Cn1Cm0rCnrCmrn.(10)(Cn0)2(Cn1)2(Cn2)2(Cnn)2C2nn.156.排列数与组合数的关系Anmm！Cnm.157．单条件排列第-101-页共107页\n以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有Anm11种；②某（特）元不在某位有AnmAnm11（补集思想）An11Anm11（着眼位置）Anm1Am11Anm11（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkkAnmkk种.②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Annkk11Akk种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（kh1k个的一组互不能挨近的所有），把它们合在一起来作全排列，排列数有AhhAhk1种.（3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当nm1时，无解；当nm1时，有Amn1Cmn1种排法.Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmnn.158．分配问题m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有（1）(平均分组有归属问题)将相异的Nnnnnn(mn)!CmnCmnnCmn2nC2nCn(n!)m.（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有NCmnnCmnnnCmnn2n...C2nnCnn(mn)!m!m!(n!)m.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+L+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，⋯，nm件，且n1，n2，⋯，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有NCpn1Cpn2n1...Cnnmmm!p!m!.n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+L+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，⋯，nm件，且n1，n2，⋯，nm这m个数中分别有a、b、c、⋯个相等，则其分配方法数有Cpn1Cpn2n1...Cnnmmm!p!m!N.a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+L+nm)个物体分为任意的n1，n2，⋯，nm件无记号的m堆，且n1，n2，⋯，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有p!.Nn1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+L+nm)个物体分为任意的n1，n2，⋯，nm件无记号的m堆，且n1，n2，⋯，nm这m个数中分别有a、b、c、⋯个相等，则其分配方法数有Np!.n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2+L+nm）个物体分给甲、乙、丙，⋯⋯等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，⋯时，则无论n1，n2，⋯，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有NCpn1Cpn2n1...Cnnmmp!.n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为第-102-页共107页\nf(n)n![111L(1)n1].2!3!4!n!推广:n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为f(n,m)n!Cm1(n1)!Cm2(n2)!Cm3(n3)!Cm4(n4)!L(1)pCmp(np)!L(1)mCmm(nm)!n![1Cm1Cm2Cm3Cm4L(1)pCmpL(mCmm1224p1)m].AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2+L+xnm的解的个数(1)方程x1+x2+L+xnm（n,mN）的正整数解有Cn1个.m1(2)方程x1+x2++m（n,mN）的非负整数解有Cn1个.Lxnnm1(3)方程x1+x2+L+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)的非负整数解有Cmn11(n2)(k1)个.(4)方程x1+x2+L+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)的正整数解有Cn1C1Cn1C2Cn1L(1)n2Cn2Cn1个.nm1n2mnk2n2mn2k3n2m1(n2)k161.二项式定理(ab)nCn0anCn1an1bCn2an2b2CnranrbrCnnbn;二项展开式的通项公式Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n).162.等可能性事件的概率mP(A).n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．164.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋⋯＋An)=P(A1)＋P(A2)＋⋯＋P(An)．165.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).166.n个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·⋯·An)=P(A1)·P(A2)·⋯·P(An)．167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnkPk(1P)nk.168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）Pi0(i1,2,L);（2）P1P2L1.169.数学期望ExPxPLxPL1122nn170.数学期望的性质（1）E(ab)aE()b.（2）若～B(n,p),则Enp.(3)若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，则E1.p171.方差D2p1x2E22x1Ep2LxnEpnL172.标准差第-103-页共107页\n=D.173.方差的性质(1)Daba2D；(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).(3)且P(k)g(k,p)qk1p，则Dq若服从几何分布,p2.174.方差与期望的关系DE22E.175.正态分布密度函数x212fxe26,x,，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标26准差.176.标准正态分布密度函数1x2e2,x,.fx622)，取值小于x的概率177.对于N(,Fxx.Px1x0x2Pxx2Pxx1Fx2Fx1x2x1.178.回归直线方程nnxixyiyxiyinxy$bi1i1nn22.yabx，其中2xnxxxiii1i1aybx179.相关系数nnxixyiyxixyiyri1i1.nnnn(xx)2(yiy)2(x2nx2)(y2ny2)iiii1i1i1i1|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.180.特殊数列的极限0|q|1（1）limqn1q1.n不存在|q|1或q10(kt)（2）limaknkak1nk1La0at(kt).tt1nbtnbt1nLb0bk不存在(kt)第-104-页共107页\n（3）Slima11qn（S无穷等比数列a1qn1(|q|1)的和）.a1n1q1q181.函数的极限定理limf(x)alimf(x)limf(x)a.xx0xx0xx0182.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点（1）g(x)f(x)h(x);（2）limg(x)a,limh(x)xx0xx0x0的附近满足：a（常数）,则limf(x)a.xx0本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.183.几个常用极限（1）lim10，liman0（|a|1）；nnn，lim11（2）limxx0.xx0xx0xx0184.两个重要的极限（1）limsinx1；x0xx1e(e=2.718281845⋯).（2）lim1xx185.函数极限的四则运算法则若limf(x)a，limg(x)b，则xx0xx0(1)limfxgxab；xx0(2)limfxgxab;xx0(3)limfxab0.gxbxx0186.数列极限的四则运算法则若limana,limbnb，则nn(1)limanbnab；n(2)limanbnab；n(3)limanab0bnbn(4)limcanlimclimanca(c是常数).nnn187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）f(x0)yxx0lim0ylimf(x0x)f(x0).188.xxx0x瞬时速度s(t)limslims(tt)s(t).t0tt0t189.瞬时加速度第-105-页共107页\nav(t)limvlimv(tt)v(t).t0tt0t190.f(x)在(a,b)的导数f(x)ydydflimylimf(xx)f(x).dxdxx0xx0x191.函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).192.几种常见函数的导数(1)C0（C为常数）.(2)(xn)'nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)1；(logax)1logaxx(6)(ex)ex;(ax)axlna.193.导数的运算法则e.（1）(uv)'u'v'.（2）(uv)'u'vuv'.（3）(u)'u'vuv'(v0).vv2194.复合函数的求导法则设函数u(x)在点x处有导数ux''(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数yu'f'(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yx'yu'ux'，或写作fx'((x))f'(u)'(x).195.常用的近似计算公式（当x充小时）(1)1x11x;n1x11x；2n(2)(1x)1x(R)；11x；1x(3)ex1x；(4)ln(1x)x；(5)sinxx（x为弧度）；(6)tanxx（x为弧度）；(7)arctanxx（x为弧度）196.判别f(x0)是极大（小）值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，（1）如果在x0附近的左侧f(x)0（2）如果在x0附近的左侧f(x)0197.复数的相等，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值；，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值.abicdiac,bd.（a,b,c,dR）198.复数zabi的模（或绝对值）|z|=|abi|=a2b2.199.复数的四则运算法则(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;第-106-页共107页\n(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;(4)(abi)(cdi)acbdbcadi(cdi0).c2d2c2d2200.复数的乘法的运算律对于任何z1,z2,z3C，有交换律:z1z2z2z1.结合律:(z1z2)z3z1(z2z3).分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3.201.复平面上的两点间的距离公式d|zz|(x2x)2(y2y)2（z1x1y1i，z2x2y2i）.1211202.向量的垂直uuuuruuuur非零复数z1abi，z2cdi对应的向量分别是OZ，OZ，则uuuuruuuur12z2z2|2|z1|2|z2|2OZ1OZ2z1z2的实部为零为纯虚数|z1z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ为非零实数).203.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程ax2bxc0，①若b24ac0,则x1,2bb24ac;2a②若b24ac0,则x1x2b;b22a③若4ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根xb(b24ac)i(b24ac0).2a第-107-页共107页