高中数学数学复习资料汇编-知识梳理归类、易做易错题、典型例题 69页

高中数学知识梳理归类一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{x|yx=lg}—函数的定义域；{y|yx=lg}—函数的值域；{(x,y)|yx=lg}—函数图象上的点集.2.集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集,记为AAÍ.在讨论的时候不要遗忘了A=Æ的情况2+如：A={x|ax-2x-1=0},如果ARI=Æ,求a的取值.(答：a£0)ABU元素的个数：card(AUIB)=cardA+-cardBcard()ABnn含n个元素的集合的子集个数为2；真子集(非空子集)个数为21-；非空真子集个数为n22-3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.22如：已知函数f(x)=4x-2(p-2)x-2p-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数3c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.(答：(-3,))24.原命题:pqÞ；逆命题:qpÞ；否命题:ØpqÞØ；逆否命题:ØqpÞØ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“sina¹sinb”是“a¹b”的条件.(答：充分非必要条件)5.若pqÞ且qp¹>,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).6.注意命题pqÞ的否定与它的否命题的区别:命题pqÞ的否定是pqÞØ；否命题是ØpqÞØ.命题“p或q”的否定是“Øp且Øq”；“p且q”的否定是“Øp或Øq”.如：“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则a+b是奇数”；否定是“若a和b都是偶数,则a+b是奇数”.二.函数7.①映射f:AB®是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集ÍB).②一一映射f:AB®：⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.8.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.9.求值域常用方法:①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).10.函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若fx()是偶函数,那么f(x)=f(-=x)fx(||)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0)0=)；fx()-⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±fx(-=)0或=±¹1(fx()0)；fx()⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.2如：函数y=log1(-+xx2)的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))211.函数图象的几种常见变换\n⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对fx()而言).⑵翻折变换：f(x)®|fx()|；f(x)®fx(||).⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上；②证明图像C与C的对称性,即证C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C上,1212反之亦然；③函数y=fx()与y=-fx()的图像关于直线x=0(y轴)对称；函数y=fx()与函数y=-fx()的图像关于直线y=0(x轴)对称；④若函数y=fx()对xRÎ时，f(a+x)=-f()ax或f(x)=-f(2)ax恒成立,则y=fx()图像关于直线xa=对称；⑤若y=fx()对xRÎ时,f(a+x)=-f()bx恒成立,则y=fx()图像关于直线ab+x=对称；2ba-⑥函数y=+f()ax,y=-f()bx的图像关于直线x=对称(由a+x=-bx确定)；2ab+⑦函数y=-f()xa与y=-f()bx的图像关于直线x=对称；2Af(x)+-Afx()⑧函数y=fx(),y=-Afx()的图像关于直线y=对称(由y=确定)；22⑨函数y=fx()与y=--fx()的图像关于原点成中心对称；函数mny=fx(),y=n--f()mx的图像关于点(,)对称；22-1⑩函数y=fx()与函数y=fx()的图像关于直线yx=对称；曲线C：f(xy,)0=,1关于y=+xa,y=-+xa的对称曲线C的方程为f(y-a,xa+=)0(或2f(-y+a,-xa+=)0；曲线C：f(xy,)0=关于点(ab,)的对称曲线C方程为：12f(2a-x,2by-=)0.12.函数的周期性：⑴若y=fx()对xRÎ时f(x+a)=-f()xa恒成立,则fx()的周期为2||a；⑵若y=fx()是偶函数,其图像又关于直线xa=对称,则fx()的周期为2||a；⑶若y=fx()奇函数,其图像又关于直线xa=对称,则fx()的周期为4||a；⑷若y=fx()关于点(a,0),(b,0)对称,则fx()的周期为2||ab-；⑸y=fx()的图象关于直线xa=,x=¹b()ab对称,则函数y=fx()的周期为2||ab-；1⑹y=fx()对xRÎ时,f(x+a)=-fx()或f()xa+=-,则y=fx()的周期为fx()2||a；13.方程k=fx()有解ÛÎkD(D为fx()的值域)；a³fx()恒成立Û³a[fx()]；最大值a£fx()恒成立Û£a[fx()].最小值14.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；15.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；16.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；-1⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹y=fx()与y=fx()互为\n-1-1反函数,设fx()的定义域为A,值域为B,则有f[f(x)]=Îx()xB,f[f(x)]=Îx()xA.17.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：b18.熟悉y=ax+(ab>>0,0)的图像和性质x三.数列ìïSn(=1)119.由S求a,a=í注意验证a是否包含在后面a的公式中,若不nnn*1nïîS-S(n³Î2,)nNnn-154(n=1)符合要单独列出.如：数列{}an满足a1=4,Sn+=Sann++11，求an(答：an={3׳4n-1(n2)).；3aa-mn20.等差数列的性质：①a=a+-()nmd,d=；nmmn-②m+n=l+kÞa+a=+aa(反之不一定成立)；特别地,当m+=np2时,有mnlka+=aa2；mnp③等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即S,S--S,,SSLL仍是等m2mm32mm差数列；④首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解ìa³0ìa£0nn2不等式í(或í).也可用Sn=+AnBn的二次函数关系来分析.îa£0îa³0n+1n+121.等比数列的性质nm-①a=aqnm②m+n=l+kÞ=aaaa(反之不一定成mnlkmn立)；S=S+qS=+SqS.③等比数列中S,S--S,,SSLL(注：各项m+nmnnmm2mm32mm均不为0)仍是等比数列.22.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.ìfn(1),(=1)ï⑶已知a×a×L×=afn()求a用作商法：a=ífn().12nnn,(n³2)ïîfn(-1)⑷已知数列递推式求a,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如nna=+kab,a=+kab,a=ka+a×+nb(kb,为常数)的递推数列都可以用待定系nn-1nn-1nn-1an-1数法转化为公比为k的等比数列后,再求a.②形如a=的递推数列都可以用“取nnkab+n-1倒数法”求通项.23.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；111④错位相减；⑤分裂通项法常见裂项公式=-；n(n++1)1nn11111111n11=-()；=-[]；=-.n()n++kknnkn(n-1)(n+1)2n(n+1)(nn++1)(2)(n++1)!nn!(1)!⑥常见自然数数列列公式：1222211+2+3+L+n=+nn(1)；1+2++3L+n=n(nn++1)(21)；2633332nn(+1)21+2++3L+=n[]；1+35++L+=nn；2212⑦常见放缩公式：2(n+-11-n)=<<=-2()nn.n+11+nnnn+-24.复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元,采用分期\n等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：nnn--12p(1+r)=x(1+r)+x(1+r)+L+x(1)++rx(等比数列问题).四.三角函数25.弧长公式：lr=||q；扇形面积公式：112；1弧度(1rad)≈57.3°.S==lrr||q扇形2226.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视a为锐角)．．．．．．．．27.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.ab+如：a=()a+-bb；2a=+(ab)+-()ab；2a=(b+a)--()ba；ab+=×2；2a+bba22=(ab-)--()等；“1”的变换：1=sinx+cosx=tanxx×cot=2sin30°=°tan45；22222b28.重要结论：asinx+bcosxx=+ab+sin()j其中tanj=）；重要公式：a21-cos2a21+cos2aa1--cosasinaa1cossina=；cosa=；tan=±==；2221++cosa1cosaasinqq2qq1±sinq=(cos±sin)=±|cossin|.222222tana1-tana2tana万能公式：sin2a=；cos2a=；tan2a=.2221+tana1+tana1-tana29.熟知正、余弦定理22正弦平方差公式：sinA-sinB=sin(A+-B)sin()AB；2SDABC三角形的内切圆半径r=；abc++1abc面积公式：S==abCsin；射影定理：a=+bcosCcBcos.D24R30.DABC中,a>bÛA>BÛ>sinABsinp222④锐角DABC中,AB+>,sinA>bc,类比得钝角DABC2结论.⑤tanA+tanB+=tanCtanABCtantan.31.会求三角形中线长和内角平分线长pp32.角的范围：异面直线所成角(0,]；直线与平面所成角[0,]；二面角和两向量的夹角22p[0,]p；直线的倾斜角[0,)p；l到l的角[0,)p；l与l的夹角(0,].注意术语:坡度、仰角、12122俯角、方位角等.五.平面向量rr33.设a=(xy,),b=(xy,).1122rrrrrr(1)a//0bÛxy-=xy；(2)a^bÛa×b=00Ûxx+=yy.12211212uruur34.平面向量基本定理：如果e和e是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的12rruruur任一向量a,有且只有一对实数l、l,使a=+llee.12112235.注意:rrrrrrrrrrrráñab,为锐角Ûab×>0,ab,不同向；áñab,为直角Ûab×=0；áñab,为钝角\nrrrrÛab×<0,ab,不反向.rrrr36.平面向量数量积的坐标表示：⑴若a=(xy,),b=(xy,),则a×b=+xxyy；11221212uuuruuuruuuurP,P,P三点共线Û存在实数l、m使得OP=+lmOPOP且lm+=1.1212uuuruuuruuruuruuruur37.三角形中向量性质：①AB+AC过BC边的中点：ABACABAC(uur+uur)^-()uuruur；|AB||AC||AB|||ACuuur1uuuruuuruuuruuuruuuruuurr②PG=(PA+PB+PC)0ÛGA+GB+GCG=Û为DABC的重心；3uuuruuuruuuruuuruuuruuur③PA×PB=PB×PC=PA×ÛPCP为DABC的垂心；uuruuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrABAC④|BC|PA+|CA|PB+|AB|0PCP=Û为DABC的内心；ll(uur+¹uur)(0)所在直|AB|||AC线过DABC内心.1⑤设A(x,y),B(xy,),S=-xyxy.1122DAOBABBA21uuuruuur1uuur2uuur22uuuruuurS=|AB||AC|sinA=|AB||AC|-×()ABAC.DABC22uuuruuuruuurr⑥O为DABC内一点,则SOA+SOB+=SOC0.DBOCDDAOCAOBrìx¢=+xhuuurr按a=(hk,)平移38.P(x,y)¾¾¾¾¾®P¢(xy¢¢,),有í(PPa¢=)；îy¢=+ykr按a=(hk,)平移y=f(x)¾¾¾¾¾®y-k=-f()xh.六.不等式39.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.2240.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若a,b>0,则a++b³ab³³ab2(当且仅当2211+aba=b时取等号)使用条件：“一正二定三相等”常用的方法为：拆、凑、平方等；222(2)a,,bcRÎ，a+b+c³ab++bcca(当且仅当abc==时,取等号)；41.绝对值不等式：42.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…；⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.2放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：a+1>||a；nn(+1)>n.②将分子或分母放nn++(1)0大(或缩小)③利用基本不等式,如：nn(+1)<.④利用常用结论：1211011111110kk+1-=<；2-=<<=-(程度大)；32kk++12kkk+1(k+1)kk(k--1)1kkk11111<=-()(程度小)；22kk-12kk-+11⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有22222三角换元，代数换元.如：知x+=ya,可设x==acosqq,yasin；知xy+£1,可设22xyxr=cosq,yr=sinq(01££r)；知+=1,可设x==acosqq,ybsin；已知22ab22xy-=1,可设x==asecqq,ybtan.22ab⑺最值法,如：a>fx(),则a>fx()恒成立.a2pxp(0)上任意一点,F为焦点,则00p2p||PFx=+；y=->2pxp(0)上任意一点,F为焦点，则||PFx=-+.002222bxy54.共渐近线yx=±的双曲线标准方程为-=l(l为参数,l¹0).22aab55.直线与圆锥曲线相交的弦长公式2256.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax+=By1(对于椭圆AB>>0,0)；257.抛物线y=>2pxp(0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB,A(xy,)、B(xy,),则有如1122下结论：2p2112⑴||AB=x++xp；⑵xx=,yyp=-；⑶uur+=uur.1212124|AF|||BFp22y058.对于y=¹2pxp(0)抛物线上的点的坐标可设为(,)y,以简化计算.02p59.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.但要注意回头检验.\n60.解析几何与向量综合的有关结论：rrn⑴给出直线的方向向量uk=(1,)或u=(mn,).等于已知直线的斜率k或；muuuruuur⑵给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数l,使AB=lAC；③若存在实数uuuruuuruuurab,,且ab+=1；使OC=+abOAOB,等于已知A,B,C三点共线.uuruuruuurOA+lOB⑶给出OP=,等于已知P是AB的定比分点,l为定比,即AP=lPB1+l⑷给出MA×MB=0,等于已知MA^MB,即ÐAMB是直角,给出MA×MB=m<0,等于已知ÐAMB是钝角或反向共线,给出MA×MB=m>0,等于已知ÐAMB是锐角或同向共线.uuruuurMAMBuuur⑸给出l()uur+=uuurMP,等于已知MP是ÐAMB的平分线.|MA|||MB⑹在DABC中,给出OA+OB+OC=0，等于已知O是DABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点).⑺在DABC中,给出OA×OB=OB×OC=OC×OA，等于已知O是DABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点).uuruurABAC+⑻在DABC中,给出OP=OA+l()uur+uur(lÎR)等于已知AP通过DABC的内|AB|||AC心.⑼在DABC中,给出a×OA+b×OB+c×OC=0,等于已知O是DABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).uuur1uuuruuur⑽在DABC中,给出AD=+()ABAC,等于已知AD是DABC中BC边的中线.2222⑾在DABC中,给出OA=OB=OC，等于已知O是DABC的外心(三角形的外心是外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).九.直线、平面、简单几何体61.空间距离的求法：注意转化到相关点或利用体积法求解62.用向量方法求空间角和距离：略63.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为q,则SScosq=.侧底64.正四面体(设棱长为a)的性质：2232①全面积Sa=3；②体积Va=；③对棱间的距离da=；④相邻面所成二面角122166a=arccos；⑤外接球半径Ra=；⑥内切球半径ra=；⑦正四面体内任一点到各面34126距离之和为定值ha=.365.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为a,,bg因此有222222cosab+cos+=cos1g或sina+sinbg+=sin2；若长方体的体对角线与过同222一顶点的三侧面所成的角分别为a,,bg,则有sina+sinbg+=sin1或222cosa+cosbg+=cos2.十.排列组合和概率mnm-rrr-166.组合数性质：CC=；C+=CC.nnnnn+1\n67.排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)；③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n!.rn-rr68.二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：T==Cab(rn0,1,2,...,)；rn+1⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.69.二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明n70.等可能事件的概率公式：⑴PA()=；⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：mP()AB+=P(A)+PB()；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)=P(A)()PB；⑷kknk-独立重复试验概率公式P(k)=-Cpp(1)；⑸如果事件A与B互斥，那么事件A与B、nnA与B及事件A与B也都是互斥事件；⑹如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1-P(AB)=-1P(A)PB()；（6）如果事件A与B相互独立，那么事件A与B至少有一个发生的概率是1-P(A×B)=-1P(A)PB().十一.概率与统计kknk-71.二项分布记作x~B(np,)(,np为参数),P()x==kCpq,.n72.记住以下重要公式和结论：⑴期望值Ex=xp+xp+LL++xp.1122nn222⑵方差Dx=(x-Ex)p+(x-Exx)p+×××+()x-Ep+×××.1122nn2⑶标准差dx=Dx；E(ax+b)=aEx+b;D()axx+=baD.⑷若x~B(np,)(二项分布),则Ex=np,Dx=npq(qp=-1).1q⑸若x~g(kp,)(几何分布),则Ex=,Dx=.2pp73.总体分布的估计：要求能画出频率分布表和频率分布直方图；2()x-m1-274.正态总体的概率密度函数：f(x),=Îe2sxR,式中ms,是参数,分别表示总体2ps的平均数与标准差；75.正态曲线的性质：⑴曲线在x=m时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定,s越大,曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦.⑶曲线在x轴上方，并且关于直线x=m对称；276.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布N(ms,)的概率P()xx<||1成立的一个充分不必要条件是(B)22A.|ab+³|1B.ab+>1C.a<1或b<1D.a£1或b£11a2.“a=”是“对任意的正数x,21x+³”的(A)8xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件rrrr3.已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),mÎR},Q={b|b=(1,1)+n(-Î1,1),}nR是两个向量集合,则PQI＝(A)A.{(1,1)}B.{(-1,1)}C.{(1,0)}D.{(0,1)}4.“ab=4”是“直线2x+ay-=10与直线bxy+2-=20平行”的(C)A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题p：函数y=+log(axa2)(a>0,且a≠1)的图象必过定点(-1,1),命题q：函数ay=+fx(1)的图象关于原点对称,则y=fx()的图象关于点(-1,0)对称,则(D)A.“p且q”为真B.“p或q”为假C.p假q真D.p真q假6.已知直线a和平面a,则a//a的一个充分条件是(C)A.存在一条直线,a//b,bÌaB.存在一条直线b,a⊥b,b⊥aC.存在一个平面b,aÌb,a//bD.存在一个平面b,a⊥b,a⊥ba1bc1127.命题P：若函数fx()有反函数,则fx()单调,命题Q：==是ax+bxc+>0和111abc2222ax+bxc+>0同解的充要条件,则以下是真命题的为(D)222A.P或QB.P且QC.7P且QD.7P或Q2222xyxy8.已知双曲线-=1的准线过椭圆+=1的焦点,则直线y=+kx2与椭圆至多有一2224b个交点的充要条件是(A)1111A.kÎ-[,]B.kÎ（-¥,-]U[,)+¥22222222C.kÎ-[,]D.kÎ(-¥,-]U[,)+¥2222\n2x9.设全集为实数集R,若集合M={x|y=2x-x},N={y|yx=>2,0},则集合MNI()ð＝R[0,1]x10.若A={x|x|<3,xÎR},B={x|2>Î1,}xR,则ABI＝(0,3)ppp11.命题p：函数f(xx)=sin(2-+)1满足f(+x)=-fx().633命题q：函数g(xx)=sin(2++q)1可能是奇函数(q为常数),则复合命题“p或q”“p且q”“非q”中真命题的个数为2.12.对于两个非空集合M、P,定义运算：MÄP={x|xÎM,xÎÏP,}且xMPI,已知集合22A={x|x-3x+2=0},B={y|y=x-2x+Î3,}xA,则ABÄ＝{1,3}2.集合与函数、复数x1.设全集U=R,集合A={x||x|(1-2x)>0},B={y|y=2+Î1,}xR,则ABIð等于(B)V11A.{xx|}D.{x|-1123.函数y=log(xx-+56)的单调递增区间为(D)1255A.(,)+¥B.(3,)+¥C.(-¥,)D.(-¥,2)22logmi+4.若2是纯虚数,则实数m的值为(A)1-i2A.2B.2C.1D.2225.若实数a,,bc满足a+a+bi<+2ci(其中i＝－1)集合A={x|x=a},B={x|}x=+bc,则ABIð等于(D)RA.jB.{0}C.{xx|-2<<1}D.{x|-2=0(in1,2,L,),若a==b,ab,则nni111111(B)A.ab=B.ab>C.abf(cosb)B.f(sina)>f(sinb)C.f(sina)f(cosb)pp6.w是正实数,函数f(x)=2sinwx在[-,]上是增函数,那么(A)34324A．00)为奇函数,A={x|f(x)=0},AI[-1,1]中有2009个元素,则正数w取值范围为[1004p,1005p)\npp35.若<0,4p从而得2kp4B.ab<45221C.a+b+³abD.ab+³4223.命题p:|4x-3|£1;q:x-(2a+1)x+aa(+£1)0,若p是q的充分非必要条件,则实数a的取值范围是(A)111A．[0,]B.(0,)C.ÆD.(-¥,)U[1,)+¥2224．不等式2x<+xa的解集为{x|}xm>,则a的最大值为(C)11A.-B.-C.0D.124f(x)--fx()5．设奇函数fx()在(0,)+¥上为增函数,且f(1)0=,则不等式<0的解集为x(D)A.(-1,0)U(1,)+¥B.(-¥-,1)U(0,1)C.(-¥,-1)(1,)+¥D.(-1,0)U(0,1)111+6．设M=(-1)(--1)(1),且a++bc=Î1(ab,,)cR,则M的取值范围是(D)abc111A.[0,]B.(,1)C.[,1]D.[8,)+¥888\n7.不等式|x-2|-|xa+³2|有解,则实数a的取值范围是(C)A.a³-4B.a£-4C.a£4D.a³4||ab+8．不等式£1成立的一个充要条件是(B)|ab|+||22A.ab¹0B.ab+¹0C.ab,Î(0,)+¥D.ab,Î(-¥,0)x49．已知函数f(xM)=lg(5)++的值域为R,则M的取值范围是(D)x5A.(-4,)+¥B.[-4,)+¥C.(-¥-,4)D.(-¥-,4]2231．不等式x(x-1)(x-2)(xx-1)(->1)0的解集是{x|-1¹12}222222．若x+xyy+=1,且x,yRÎ,则n=+xy的取值范围是[,2]3xx--113．不等式||>的解集是(-¥,0)U(1,)+¥xx4．使log(-xx)1<+成立的x的取值范围是-10<>bc,且+³恒成立,则M的取值范围是m£4a-bb--cac7.直线与圆.1．下列说法中正确的是(C)A．直线的倾斜角为a,则其斜率为tanaB．直线的斜率为tana,则其倾斜角为aC．任何一条直线都有倾斜角,但斜率不一定存在D．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等2222222．方程x(xy+-=3)0与x+(xy+-=3)0所表示的曲线是(D)A．表示一条直线和一个圆B．都表示两个点C．前者是两个点,后者是一条直线和一个圆D．前者是一条直线和一个圆,后者是两个点223．过点A(11,2)作圆x+y+2xy-4-=1640的弦,其中弦长为整数的共有(C)A．16条B．17条C．32条D．34条\n224．已知圆x+y+xy-6+=30上的两点P、Q关于直线kxy-+=40对称,且OP⊥OQ,则直线PQ的方程为(B)1311A．yx=-+B．yx=-+222413151115C．yx=-+或yx=-+D．yx=-+或yx=-+22242224225．如果直线x+ym+=0与圆xy+=2相交于相异两点A、B,O是坐标原点uuuvuuuvuuuvuuuv|OA+OB|>-||OAOB,则实数m的范围是(C)A．(-2,2)B．(2,2)C．(--2,2)U(2,2)D．(-2,2)6．等腰三角形两腰所在直线方程分别为xy+-=20与xy-7-=40,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为(A)11A．3B．2C．-D．-32227．已知集合A={x,y|x+y=1},B={(x,y)|kxy-£2},其中x,yRÎ,若ABÍ,则实数k的范围是(C)A．[0,3]B．[-3,0]C．[-3,3]D．[-3,)+¥、8．已知点P(x,y),Q(xy,),满足(2x-3y)(2xy->3)0且|2x-3y|>-|2xy3|,则112211221122(B)A．直线2xy-=30与线段PQ相交B．直线2xy-=30与线段PQ的延长线相交C．直线2xy-=30与线段QP的延长线相交D．直线2xy-=30与直线PQ不相交22229．若⊙O1方程为：(xy+1)+(+1)-=40,O⊙2方程为：(xy-3)+(-2)-=10,则方程2222(x+1)+(y+1)-4=(xy-3)+(--2)1表示的轨迹方程是(D)A．线段O1O2的中垂线B．过两圆内公切线交点且垂直线O1O2的直线C．两圆公共弦所在的直线D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相交\n10．直线ax+3my+2am=¹0(0)过点(1,－1),则斜率k等于(D)11A．－3B．3C．D．-33.22211．过点(1,2)总可作直线与圆x+y+kx+2yk+-=150相切,则实数k的范围是8383[2,)U(--,3]3312211312．以点A(－3,1)与点B(2,0)为直径的圆的方程是(xy+)+()-=,过点(－3,1)的圆222的切线方程是5xy-+=160；过点P(4,0)引圆的两条切线PM,PN,则直线MN的方程是9xy--=802213．已知A、B分别是半圆x+yy=³1(0)与x轴的左、右两个交点,直线l过B且与x轴垂直,S为l上异于B的点,直线AS交线C于T,若T为AB的三等分点,则S点的坐标23为(1,)或(1,23)322y14．已知实数xy,满足x+yx-4+=10,则的最大值为；yx-的最小值为x22(xy+1)++(1)的最值为3;--62;13-230,3+23015．已知△ABC的顶点为(0,5),AB边上的中线所在直线方程为4xy+11-=270,∠B的平分线所在直线方程为xy-2+=50,则BC边所在直线的方程为y=18.圆锥曲线22xy1、双曲线-=1被点P(2,1)平分的弦所在直线方程为(C).94A、8xy-=97B、4xy-=96C、不存在D、8xy+=92512、椭圆以y轴为准线,离心率为且过点M(3,2),则其长轴长的取值范围为(A).333355A、[,3]B、[,]C、[1,]D、[2,]2424223、已知曲线y=ax与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点.如果过这两个交点的p直线的倾斜角为,则实数a的取值范围为(A).411A、2B、4C、D、24\n224、x,,ymRÎ,集合M={(x,y)|y=x-1},N={(x,y)|y=2x-2mm+-2},则在集合MNI中含有的元素个数为(D).A、0或1或2B、0或1C、0D、1或222xyxy5、直线+=1与椭圆+=1相交于AB,两点,若椭圆上有点P使得DPAB的面积43169为3,则这样的点P有(B).A、1B、2C、3D、46、过抛物线的焦点任作一直线交抛物线于AB,两点,其顶点为O,则ÐAOB的最大值为(B).p43A、B、p-arctanC、p-arctanD、视抛物线的234具体情况而定27、已知P为抛物线yx=4上一点,记P到抛物线准线的距离为d,到直线1xy+2-=120的距离为d,则dd+的最小值为(A).212115125A、B、+1C、25D、不存在5528、抛物线xy=2上离点Aa(0,)最近的点恰好是顶点,则实数a的取值范围为(C).1A、(-¥,0]B、(-¥,]C、(-¥,1]D(-¥,2]22222xyxy9、已知双曲线-=1的准线过椭圆+=1的焦点,则直线y=+kx2与椭圆至多2224b有一个交点的充要条件是(A).éù11æ11ùéöA.KÎ-êú,B.KÎç÷-¥,,-úêU+¥ëû22è22ûëøéù22æ22ùéöC.KÎ-êú,D.KÎç÷-¥,,-úêU+¥22ç÷22ëûèûëø22xy10、已知双曲线C：-=>>1(ab0,0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C22ab于AB、两点,若AF=4FB,则C的离心率为(A).6759mA．B.C.D.5585\n22211、设A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|x+(ym-=)1},若ABI¹f,则实数m的取5值范围为[-1,]42112、抛物线yx=4的焦点坐标为(0,)16213、若直线l过定点M(1,2),且与抛物线yx=2有且仅有一个公共点,则直线l的方程为x=1或4xy--=202214、双曲线xy-=1的左焦点为F,点P(xy,)在左支上且y£0,则PF的倾斜角的取值p范围为{0}U(,)p42222bxy15、定长为mm()>的线段AB的两个端点AB,在双曲线-=>1(ab,0)的右支22aab2ama上移动,则线段AB的中点M的横坐标的最小值为(用a,,bm表示).+cc29.立体几何易错题21.一凸多边形的面积为S,则该凸多边形的直观图的面积为S.4p2.地球半径为R,A、B两点在北纬45°,A、B的球面距离为R,A在东经20°,则B点在3北纬45°东经110°或北纬45°西经70°2223.长方体AC1中,体对角线AC1与AD、AB、AA1所成角为a,,bg,则sina++sinbgsin＝2p223已知a,bÎ(0,)且cosa+cosb=,则tanatanb的取值范围是2426[,+¥)3A1C1D1C1D1C1B1BA1A11B1DCCDACABABB第3题图第4题图第5题图4.长方体AC1中,①A在平面A1BD上的射影为△A1BD的；②AC1与平面A1BD交公共点为△A1BD的垂心,重心5.斜三棱柱ABC－A1B1C1中,底面是为边长4的正△,且∠A1AB＝∠A1AC=60°,AA1＝8,求\n它的全面积.1.S全＝2´(´4´4sin60°)+2´(8´4sin60°)+´48=+324032直截面周长＝4´4sin60°+4´sin60°=+4431S全＝(4+43)´8+(´4+4sin60°´)2＝32+40326.空间四边形ABCD中,E、F分别为AB、CD中点,AC=10,BD=8,AC、BD成60°角,则EF＝61或217.给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱,其中正确命题的个数是(A)A．0B．1C．2D．38.已知二面角al--b的大小为50°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面a和平面b所成的角都是25°的直线的条数为(B)A．2B．3C．4D．52579.二面角ab--l为60°,P到ab,的距离分别为2,3,求P到l的距离310.已知平面a^平面b,abI=l,点AÎÏa,Al,直线AB//l,直线AC⊥l,直线mm//ab,//,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(D)A.ABm//B.ACm^C.AB//bD.AC^b11.不共面的四个定点到平面a的距离相等,这样的平面a共有(D)A.3个B.4个C.6个D.7个12.如图,O是半径为1的球心,点A、B、C在球面上,OA、OB、OC两两垂直,E、F分别是大圆弧AB与AC的中点,则点E、F在该球面上的球面距离是(B)ppA.B.43p2pC.D.2413.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则(B)A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l,m异面14.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三\n角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.(写出所有正确结论的编号)①③④⑤15.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示,盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半,设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是(A)A.h>>hhB.h>>hhC.h>>hhD.hhh>>21412332424110.排列组合与二项式定理1．用1,2,3这三个数字组成四位数,规定这三个数字必须都使用,但相同的数字不能相邻,则这样的方式组成的四位数有(B)个.A．9B．18C．12D．362．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取三个元素作为直线ax+by+c=0中a,b,c的值,且a>c>b,那么不同的直线条线是(A)A．109B．110C．111D．1203．在8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求只有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有(B)种.A．1344B．1248C．1056D．9604．在∠AOB的OA边上取m个点,在OB边上取n个点(均除O点外),连O点共m+n+1个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有(C)个.12121212A．CC+CCB．CC+CCm++11nnmmnnm1212111221C．CC++CCCCD．CC+CCmnnmmnmn++11mn+5．方程a+b+c+d=7,(aÎÎN,b,c,)dN的解共有几组(B)A．48B．84C．96D．722310112116．设1-x+x-x+LL+xx-=a0+a1y+a2y++ay11,其中y=x+1,则a2为(D)\nA．－66B．66C．165D．2207．将正方体ABCD－A1B1C1D1的各面涂色,任何相邻两面不同色,现在有4种不同的颜色,可供选择要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有（D）种.A．256B．144C．120D．96342n+238．在(1+x)+(1+xx)+L++(1)的展开式中,含x项的系数C-1n+29．有4个相同的红球和4个相同的蓝球,将8个球排成一排,并依次标注序号,1,2,…8,则红球的序号之和小于蓝球的序号之和的排法种数.3121n+10．已知(1+x++xx)()的展开式中没有常数项,nNÎ,且2≤n≤8,则n=.53x33n31511．已知()-a的展开式中各项系数之和等于(4)b-的展开式中的常数项,则a5b33n－1()-a展开式中含a的项的二项式系数.35a12．用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点做四棱锥的5个顶点,求可得到四棱锥的个数.170+mn13．设m,nNÎ,函数f(x)=(xx+1)++(1)中x的一次项系数为10,f(x)中的x的二次项系数的最小值是.2014．已知y=f(x)是定义域为A{x|1≤x≤7,x∈N*},值域为B＝{0,1}的函数,问：这样的函数f(x)共有个.12615．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本；(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本；(3)平均分成三份,每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本；(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本；(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.（1）60（2）360（3）15（4）90（5）15（6）90（7）3011.概率与统计\n11.对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的概率为,则N的4值为(A)A.120B.200C.150D.1002.某学校有老教师28名,中年教师54名,青年教师81名,为了调查他们的身体状况,学校决定从他们中抽取容量为36的样本进行健康调查,最合适的抽取样本的方法是(D)A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.先从老教师中剔除一人,然后进行分层抽样3.某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是(A)A.甲科总体的标准差最小C.丙科总体的平均数最小B.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同4.某人射击5枪,命中3枪,3枪中恰有2枪连中的概率为(A)3311A.B.C.D.510102015．随机变量x服从二项分布xB(6,),则使Pk()x=取得最大值的k为(A)2A．3B．4C．5D．66．下面表中列出的是某随机变量的分布列的有(A)x135①P0.50.30.2x12345②P0.70.10.10.2—0.1x012…n…③11111211n…P()()…()2232323x123…n④112131nP()()…()2222A．1个B．2个C．3个D．4个7．一批零件有5个合格品和2个次品,安装机器时,从这批零件中任意取出一个,若每次取出的次品不再放回,且取得合格品之前取出的次品数为x,则Ex等于(D)2551A．B．C．D．2172138．2008年北京奥运会的第一批志愿者将在7月初正式上岗,现随机安排该批志愿者到三个比赛场地服务,则其中来自四川的3名志愿者恰好被安排在两个不同场地服务的概率是(A)\n2482A．B．C．D．392799．从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为(D)9101920A．B．C．D．2929292910．口袋中放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,数列{an}满足：ì-1,第n次摸到红球an=í,如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7＝3的概率为(B)î1,,第n次摸到白球31225221255112551225A．C()()B．C()()C．C()()D．C()()77773333333311．一个口袋中装有大小相同的4个白球,2个黑球,每次从口袋中取1个球.(1)不放回地取3次球,取出2个白球1个黑球的概率是；(2)不放回地取3次球,恰好在第2次取出白球的概率是；(3)有放回地取3次球,取出2个白球1个黑球的概率是；(4)有放回地取3次球,恰好在第2次取出白球的概率是.12．10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,则恰好在第4次将次品完全取出的概率是.13.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率34是0.9×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)14.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率是.15.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用7步走完,则上楼梯的方法有35种；其中恰有连着两步走两级的概率是.3242171811.(1)(2)(3)(4)12．13①、③14.15.5393401203512.极限与数学归纳法11111．(1)求极限lim[(1+)(1+)(1+)×××(1)+=]2.242nn®¥22221+x-1(2)求极限lim=2.x®04+x-2222．下列极限存在吗？(1)lim(x+1--xx1)的值是不存在x®¥\nxx(-2)(2)lim的值不存在；x®2x-2ìp1,(0)£fx()，则当a>0时，fa()与ef(0)之间的大小关系为（B）aaA.f(a)ef(0)aC.f(a)=ef(0)D.与fx()或a有关，不能确定3.若对可导函数f(x),gx()，当xÎ[0,1]时，恒有f'(x)×g(x)<×f(x)gx'()，若已知ab,是一个fx()锐角三角形的两个内角，且ab¹，记F(x)=¹(gx()0)，则下列不等式正确的是（A）gx()A.FF(sinab)<(cos)B.FF(sinab)>(sin)C.FF(cosab)>(cos)D.FF(cosab)<(cos)1324.若函数f(x)=x-f'(1)5xx++，则f'(1)的值为（D）322A.－2B.-C.2D.332325.若函数f(x)=x-2x++ax10在区间[-1,4]上具有单调性，则a的取值范围是（D）3A.(-¥,-16]U[0,)+¥B.[2,)+¥C.(-16,2)D.(-¥,-16]U[2,)+¥236.函数f(xx)=(-+1)2的极值点是（D）A.x=1B.x=-1C.x=1或x=-1或0D.x=022[f(x)]-[fx()]7.已知0fx()在xx=处可导，则lim＝（D）0xx®0xx-0A.fx'()B.fx()C.f(x)fx'()D.00002f(x)fx'()00\n8.已知函数y==f(x),ygx()的导函数的图象如图，那么y==f(x),ygx()的图象可能是（D）439.若不等式x-42xa>-对任意实数x都成立，那么a的取值范围是（B）A.a<2B.a>29C.a为一切实数D.这样的a不存在x10．已知fx()、gx()都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)=ag(x)(aa>¹0,1)；ff(1)(-1)5②gx()0¹；③f(x)g'(x)>f'(x)gx()。若+=，则a等于（B）gg(1)(-1)2511A.B.C.2D.2或422p11.已知函数f(x)=3x++cos2xxsin2，且a=f'(),fx'()是fx()的导函数，则过曲线43yx=上一点P(ab,)的切线方程为3xy--=20或3xy-4+=10212.已知f(x)=2x+(4-m)x+4-=m,g()xmx，若存在一个实数x，使fx()与gx()均不是正数，则实数m的取值范围是m≥4213.已知函数fx()在R上满足f(x)=2f(2-x)-xx+-88，则曲线y=fx()在点(1,f(1))处的切线方程为yx=-214x-3fx()14.已知函数fx()满足f(3)==4,fa'(3)，若lim1=，则a＝1x®3x-3432424215.若函数f(x)2=x-axx+-，有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是[-,]3311326316.函数f(x)=ax+ax-2axa++21的图象经过四个象限的充要条件是-0,0,由(1)得1bc=--ab2,代入abc<<,再由a<0,得-<<1(3)3a22将c=--ab2代入(2)得am+2bmb-=20,即方程ax+2bxb-=20有实根．故其判2bb别式D=+4b80ab≥得≤-2或≥0(4)aab由(3),(4)得01≤40ac,2知方程f¢(x)=ax+2bxc+=*0()有两个不等实根,设为xx,,12又由f¢(1)=a+20bc+=知,x=1为方程(*)的一个实根,122bb则由根与系数的关系得x+x=-,xx=--10<<,1221aa当xx<或xx>时,fx¢()0<,当x<,2121故函数fx()的递增区间为[xx,],由题设知[x,x]=[st,],21212bb因此|s-t|=|xx-|2=+,由()Ⅰ知01≤<得||st-的取值范围为[2,4)；12aa22()Ⅲ由f¢(xa)0+<,即ax+20bx+ac+<,即ax+2bxb-<20,2bbb2因为a<0,则xx+2×-20×>,整理得(2xx-2)0+>,aaabb2bb设g()=(2xx-+2),可以看作是关于的一次函数,由题意知g()0>对于aaaa\n2bìg(-1)≥0,ìïxx+2-2≥0,01≤<恒成立,故í即í得x≤--31或x≥31-,aîg(0)>0,2ïîx>0,由题意,[k,+¥)Í(-¥,-3-1]U[3-1,)+¥,故k≥31-,因此k的最小值为31-1-x2、已知函数f(x)=lnx+,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+¥)内调ax递增,求a的取值范围；(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.(3)求证：对于任意的*111nÎN,且nn>1时,都有ln>+++L成立.23nax-1解：f¢(x)=(x>0).2ax1(1)由已知,得f¢(x)³0在[1,+¥)上恒成立,即a³在[1,+¥)上恒成立又Q当x1xÎ[1,+¥)时,£1,\a³1.即a的取值范围为[1,+¥)x(2)当a³1时Qf¢(x)>0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为增函数1\f(x)=f(1)=0当0(,2]时有fx¢()0,aa111\f(x)=f()=ln+1-.minaaa111综上,f(x)在[1,2]上的最小值①当01时,Q>1.\f()>f(1),n-1n-11*即lnn-ln(n-1)>,1对于且nÎ>Nn恒成立nlnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+L+[ln3-ln2]+[ln2-ln1]\n1111*111>++L++\对于nÎN,且n>1时,lnn>++L+恒成立nn-13223n1223、已知函数f(x)=x+2ax,g(x)=3alnx+b,(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有2公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b关于a的函数关系式,并求b的最大值；(2)若b=0,h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围.解：(1)设y=f(x)与y=>g(xx)(0)在公共点(x,y)处的切线相同.0023af'(x)=x+2a,g'(x)=.xì122x+2ax=3alnx+bï000由题意知f(x)==g(x),f'(x)gx'()即ï20000í23aïx+2a=0ïxî0522解得x=a或x=-3a(舍去,)b=a-3alna(a>0).002b'(a)=5a-6alna-3a=2a(1-3lna).11ììaa>>00b'(a)>0ÛííÛ0aeîî1-3lnaa>01-<3ln0133可见{b(a)}=b(e3)=e2max221322a(2)h(x)=x+3alnx-6x,h'(xx)6=+-要使h(x)在(0,4)上单调,2x223a3a要h'(x)=x+-6£0,或h'(x)=x+-6³0在(0,4)上恒成立xx23a22h'(x)=x+-6£0在(0,4)上恒成立Û3a£-x+6x在(0,4)上恒成立.x22而-x+6x>0,且-x+6x可为足够小的正数,必有a=023a22h'(x)=x+-6³0在(0,4)上恒成立Û3a³(-x+6x)=933Ûaa³或£-maxx综上,所求a的取值范围为a³3,或a£-3,或a=01++ln(x1)4、已知函数f(xx)=>(0).(1)试判断函数fx()在(0,)+¥上单调性并证明你xk的结论；(2)若fx()>恒成立,求整数k的最大值；(3)求证：x+1\n23n-(1+1´2)(1+2´3)L[1+n(ne+>1)].1x11解：(1)f¢(x)=[-1-ln(xx+1)][=-++ln(1)]22xx++11xx21Qx>0,\x>0,>0,ln(x+1)>0,\恒成立,即恒h()xk=>成立xx+1xx-1-+ln(1)即h(x)的最小值大于k.h¢(x)=,设g(x)=x-1-ln(xx+>1)(0)xx则g¢(x)=>0,\gx()在(0,)+¥上单调递增,x+1又gg(2)=1-ln3<0,(3)=2->2ln20\=gx()0存在唯一实根a,且满足aÎ(2,3),aa=1++ln(1)当x>a时，，g(x)>0,h¢¢(x)>0当0>(x0)∴ln(x+1)>-1=22->-xx+1x++11xx3令x=n(n+Î1)(nN*),则ln[1+nn(+1)]2>-nn(+1)∴ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]333131>(2-)+(2-)+LL+[2-]=2n-3[]+++1´21´3n(n+1)1´22´+3nn(1)13=2n-3(1-)=2nn-3+>-23nn++1123n-∴(1+1´2)(1+2´3)L[1+n(ne+>1)]5、已知函数f(x)=x-+ln()xa在x=1处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程21f(x)2+x=+xb在[,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围；(3)证明：22n13n－n－2∑＞(n∈N,n≥2).参考数据：ln2≈0.6931.k＝2k－f(k)n(n＋1)1解：(1)f'(x)＝1＋,由题意,得f'(1)＝0Þa＝0x＋a222(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x＋bóx－lnx＋2x＝x＋bóx－3x＋lnx＋b＝0\n2设g(x)＝x－3x＋lnx＋b(x＞0)212x－3x＋1(2x－1)(x－1)则g'(x)＝2x－3＋＝＝xxx当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表111x(0,)(,1)1(1,2)2222g'(x)＋0－0＋b－2＋G(x)↗极大值↘极小值↗ln215当x＝1时,g(x)最小值＝g(1)＝b－2,g()＝b－－ln2,g(2)＝b－2＋ln22421∵方程f(x)2+x=+xb在[,2]上恰有两个不相等的实数根215ìg()≥0ìb－4－ln2≥025由íÞíb－2＜0Þ4＋ln2≤b≤2g(1)＜0îg(2)≥0îb－2＋ln2≥022n13n－n－211113n－n－2(3)∵k－f(k)＝lnk∴∑＞ó＋＋＋…＋＞(n∈N,n≥2)k＝2k－f(k)n(n＋1)ln2ln3ln4lnnn(n＋1)2121x2－x(x＋2)(x－2)设Φ(x)＝lnx－(x－1)则Φ'(x)＝－＝＝－4x22x2x当x≥2时,Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2,＋∞)上是减函数,312∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x－1)4414411∴当x≥2时,＞2＝＝2(－)lnxx－1(x＋1)(x－1)x－1x＋11111111111111∴＋＋＋…＋＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋…+(－)]ln2ln3ln4lnn3243546n－1n＋121113n－n－2＝2(1＋－－)＝.∴原不等式成立.2nn＋1n(n＋1)2.数列、数学归纳法、不等式1、已知函数f(x)=-xxsin,数列{a}满足：0cos0,所以fx()在(0,1)上是增函数.又fx()在[0,1]上连续.从\n而f(0)<-20()+=,所以gx()在(0,1)上是增函数.22222又gx()在[0,1]上连续,且g(0)0=.所以当01<成立,∴ga()0>,n1313即sina-aa+>0,故aa+³1(2).33ccc3bn212n解：(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则ì2+d=4b1ï2í6+15d=2(b1+b1q)+33Þ4q-120q+59=0ïb=2(1-q)î111n-1Qq<1\q=,b=1,d=2故a=2n-1,b=()1nn22nn(-1)(2){cn}的前n-1项中共有{an}中的1+2+L+(n-=1)个项2n(n-1)22且{an}的第+1项为n-n+1,故{cn}是首项为n-n+1,公差为2,项数为n22n(n-1)3的等差数列的和\C=n(n-n+1)+×2=nn2111(3)f(n)=1+++L+23n\n21111111111f()=1++(+)+(+++)+LL+()+++n--12nnb23456782++1222n111n-11n>1++2´+4´+L+2´=1+(n³2)n24822本题第(3)问还可用数学归纳法做.212Sn3、已知数列{a}中,a=,当n³2时,其前n项和S满足a=,n1nn321S-nan（1）求S的表达式及lim的值；（2）求数列{a}的通项公式；（3）设n2nn®¥Snb=-11,求证：当nNÎ且n³2时,ab<.nnn33(2nn+-1)(21)22S11解：(1)a=S-S=nÞS-S=2SSnÞ-=³2(2)nnn-1n--11nnn21S-SSnnn-1ìü11a22n所以íý是等差数列.则Sn=.lim2=lim2==-.S21n+nn®¥S®¥2SS--12lim1îþnnnnn®¥ì1112-ïï(n=1)3(2)当n³2时,a=SS-=-=,综上,a=í.nnn-12n2n+12nn--141ï2(n³2)ïî-214n111(3)令ab==,,当n³2时,有0-.2nn-+1(2nn-+1)3321(21)11231当n³2时,0,<£令f()x=x-xx,0,<£2n-13323313f¢()x=2x-3x=2x(1-x)³2xx(1-´)=->2(1)0,22231111则fx()在(0,]递增.又0<<£,32nn+-121311所以gg()<(),即ab<.33nn2nn+-121\n法(2)a-b=1-1-(11-)=b2-a2--()ba33nn2nn+-121(2nn+-1)33(21)22=(a-b)()ab++ab--ab(2)22ababba=(a-b)[(a+-a)+(bb+-)]=(a-b)[a(a+-1)+bb(+-1)](3)2222aba333因ba+-1<+-1<-1<-1=-<10,222223ba所以a(a+-1)+bb(+-<1)0由(1)(3)(4)知ab<.nn22221-a法3：令g(b)=ab++ab--ab,则g¢()b=2b+ab-10=Þ=222所以g(b)£max{g(0),g(a)}=max{a--a,32aa}122214因0,<£a则a-a=aa(-<10),3a-2a=3a(aa-)£3(-<)0333922所以g(b)=a+b+abab--<0(5)由(1)(2)(5)知abb成立．n+1n*解：（1）由已知，(S-S)-(SS-=)1（n³2，nÎN），n+-11nnn*即aa-=1（n³2，nÎN），且aa-=1．nn+121∴数列{a}是以a=2为首项，公差为1的等差数．∴an=+1．n1nnnn-+11（2）∵an=+1，∴b=4+(-×1)2l，要使b>b恒成立，nnn+1nn+1nnnnn++21-1∴bb-=4-4+(-1)ll×2-(-1)×>20恒成立nn+1nnn-1+1n-1n-1∴3×4-3l×(->1)20恒成立，∴(-<12)l恒成立．n-1n-1（ⅰ）当n为奇数时，即l<2恒成立，当且仅当n=1时，2有最小值为1，n-1n-1∴l<1．（ⅱ）当n为偶数时，即l>-2恒成立，当且仅当n=2时，-2有最大值-2，∴l>-2．即-21<nn+16、设f(x)=x3，等差数列{a}中a=7，a+a+a=12，记S=f(3a)，令n3123nn+111b=aS，数列{}的前n项和为T（.Ⅰ）求{a}的通项公式和S；（Ⅱ）求证：T<；nnnnnnnb3n（Ⅲ）是否存在正整数m,n，且10，则<1，而=3+>3，2mnn所以，此时不存在正整数m,n,且1=uuur==-．\二面角A--A1DB的大小为arccos．nAB222441uuuruuuruuur()Ⅲ由(Ⅱ),AB为平面ABD法向量,QBC=(-20，，0)，AB=-(1，，23)．111uuuruuurBCAB1-22\点C到平面A1BD的距离d=uuur==AB2221p2、如图,在三棱柱ABC-ABC中,AB^侧面BBCC,已知BC=1,Ð=BCC.1111113(1)求证：CB^平面ABC；1(2)试在棱CC(不包含端点C、C)上确定一点E的位置,使得EA^EB；111(3)在(2)的条件下,求二面角A--EBA的平面角的正切值.AA111证明:(1)因为AB^侧面BBCC,故AB^BC111BB1p在DBCC中,BC=1,CC=BB=2,Ð=BCC11113CEC1由余弦定理有22pBC=BC+CC-2×BC×CC×cosÐBCC=1+4-2´2´=cos311113222故有BC+BC=CC\^CBBC而BCIABB=111z且AB,BCÌ平面ABC\CB^平面ABC.1AA1(2)由EA^EB,AB^EB,ABIAE=ÌA,,ABAE平面ABE11y从而BE^平面ABE且BEÌ平面ABE故BE^BEB11B122不妨设CEx=,则CEx=-2,则BE=1+-xxC1EC1x222又QÐ=BCCp则BE=1++xx111322在RtDBEB中有x+x+1+xx-+=14从而x=±1(舍负)1\n故E为CC的中点时,EA^EB.11uuuruuuuruuur法二：以B为原点BC,,BCBA为x,,yz轴,设CEx=,11则B(0,0,0),E(1--x),BA(1,3,0),(0,0,2)12uuuruuur由EA^EB得EA×=EB0即111313(x-1,-x,2)(xx-2,3-=,0)022221133æö(x-1)(x-2)-xxç÷30-=2222ç÷èø2化简整理得xx-3+=20x=1或x=2当x=2时E与C重合不满足题意1当x=1时E为CC的中点,故E为CC的中点使EA^EB.111(3)取EB的中点D,AE的中点F,BB的中点N,AB的中点M1111连DF则DF//AB,连DN则DN//BE,连MN则MN//AB1111连MF则MF//BE,且MNDF为矩形,MD//AE又QAB^^EB,BEEB故ÐMDF为所求二面角的平面角.1111AA112在RtDDFM中,DF=A11B=D(QBCE为正三角形）M22111MF=BE==CEBF222NB1122D\tanÐMDF==22CEC12uuuruuuruuuuruuur法二：由已知EA^^EB,BAEB,所以二面角A--EBA的平面角q的大小为向量111111uuuuruuurBA与EA的夹角11uuuuruuuruuur31因为BA==BA(0,0,2)EA=(--,,2)1122\nuuuruuuurEA×BA2211故cosqq=uuuruuuur=Þ=tan.EA×BA32113、如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,SD^平面ABCD,SD=2a,ADa=2点E是SD上的点,且DEa=ll(0<£2)()Ⅰ求证：对任意的lÎ(0,2],都有AC^BE()Ⅱ设二面角C—AE—D的大小为q,直线BE与平面ABCD所成的角为j,若tanqjgtan1=,求l的值()Ⅰ证法1：如图1,连接BE、BD,由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD.QSD⊥平面ABCD,\BD是BE在平面ABCD上的射影,\AC⊥BE()Ⅱ解法1：如图1,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE=j,QSD⊥平面ABCD,CDÌ平面ABCD,\SD⊥CD.又底面ABCD是正方形,\CD⊥AD,而SDÇAD=D,CD⊥平面SAD.连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F,连接CF,则CF⊥AE,故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角,即∠CDF=q.DEl在Rt△BDE中,QBD=2a,DE=la\tanj==BD22在Rt△ADE中,QAD=2a,DE=lla,2\AEa=+AD×DEa2l从而DF==AEl2+22CDl+2在RtDCDF中,tanq==.DFl2ll+222由tanqj×=tan1,得.=1Ûll+2=22Û=.l2\n由lÎ(0,2],解得l=2,即为所求.uuuruuuruuur(1)证法2：以D为原点,DA,,DCDS的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),E(0,0la),uuuruuur\AC=(-2aa,2,0),BE=(--2a,2aa,)luuuruuur22\AC×BE=2a-2aa+00×=l,即AC^BE.uuuruuuruuur(2)解法2：由(I)得EA=(2a,0,-la),EC=(0,2a,-lla),BE=(--2a,2aa,).uuuruuur设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则由n^^EA，nEC得uuurìïïn×EA=0,ì2x-=lz0,ííuuur即取z=2，得n(ll,,2).ïîn×=EC0,ïî2y-=lz0,uuuruuur易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为DSa==(0,0,2)与（DCa0，2,0）.uuuruuuruuurDS×BElDCn×l\sinjq=uuuruuur=,cos==uuur.22DS××BEll++4DCn22pQ0,0,2\tanq×tanjÛq+j=pÛsinj=cos2qlÛll=Û=2由于lÎ(0,2],解得2ll22++422l=2,即为所求.o4、如图所示,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ÐADC=Ð=DCB90,AD=1,BC=3,PC==CD2,PC^底面ABCD,E为AB的中点.P()Ⅰ求证：平面PDE^平面PAC；()Ⅱ求直线PC与平面PDE所成的角；()Ⅲ求点B到平面PDE的距离.解法一：()Ⅰ设AC与DE交点为G,延长DE交CB的延长线于点F,C则DDAE@DFBE,∴BF==AD1,DC1∴CF=4,∴tanÐF==,DCF2AD1AEB又∵tanÐACD==,∴ÐF=ÐACD,DC2oo又∵ÐACD+Ð=ACF90,∴ÐF+Ð=ACF90,\no∴Ð=CGF90,∴AC^DE又∵PC^底面ABCD,∴PC^DE,∴DE^平面PAC,P∵DEÌ平面PDE,∴平面PDE^平面PAC()Ⅱ连结PG,过点C作CH^PG于H点,则由()Ⅰ知平面PDE^平面PAC,HC且PG是交线,根据面面垂直的性质,得CH^平面PDE,从而ÐCPH即DÐCPG为直线PC与平面PDE所成的角.BAE22CD245F在RtDDCA中,CG===,AC2122+545CG52525在RtDPCG中,tanÐCPG===.所以有Ð=CPGarctan,PC25525即直线PC与平面PDE所成的角为arctan51()Ⅲ由于BF=CF,所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的4452´11PC×CG54,即CH.在RtDPCG中,CH===,44PC22+CG453222+()51从而点B到平面PDE的距离等于3解法二：如图所示,以点C为坐标原点,直线CD,,CBCP分别为x,,yz轴,建立空间直角坐标系C-xyz,则相关点的坐标为CA(0,0,0),(2,1,0)B(0,3,0),P(0,0,2),D(2,0,0),zE(1,2,0).Puuuruuuruuur()Ⅰ由于DE=-(1,2,0),CA=(2,1,0),CP=(0,0,2),uuuruuurC所以DE×CA=(-1,2,0)×=(2,1,0)0,uuuruuurDDE×CP=(-1,2,0)×=(0,0,2)0,所以DE^^CA,DECP,xBAE而CPICAC=,所以DE^平面PAC,∵DEÌ平面PDE,y∴平面PDE^平面PACrruuurruuuruuur()Ⅱ设n=(x,yz,)是平面PDE的一个法向量,则n×DE=n×=PE0,由于DE=-(1,2,0),\nruuuruuurìïn×DE=(x,y,z)×(-1,2,0)=-xy+=20PE=-(1,2,2),所以有íruuur,ïîn×PE=(x,y,z)×(1,2,-2)=x+2yz-=20r令x=2,则yz==1,2,即n=(2,1,2),再设直线PC与平面PDE所成的角为a,而uuurruuurruuurPC=-(0,0,2)n×PC|(2,1,2)×-(0,0,2)|2,所以sina=|cos=ruuur==,|n|×||PC|(2,1,2)|×-|(0,0,2)|322∴a=arcsin,因此直线PC与平面PDE所成的角为arcsin33ruuur()Ⅲ由()Ⅱ知n=(2,1,2)是平面PDE的一个法向量,而BE=-(1,1,0),所以点B到平面ruuur|n×BE||(2,1,2)×-(1,1,0)|1PDE的距离为d=r==n|(2,1,2)|35、如图所示,在三棱锥P-ABC中,AB^BC,AB==BCkPA,点O、D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.(1)求证：OD//平面PAB；1(2)当k=时,求直线PA与平面PBC所成角的大小；2(3)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？解：(1)证明：∵点O、D分别是AC、PC的中点,∴OD//PA,又ODË平面PAB,∴OD//平面PAB.(2)解法一：取BC中点E,连结OE.由PO⊥BC,OE⊥BC知平面POE⊥平面PBC,作OG⊥PE,则OG⊥平面PBC,连结DG,则∠ODG为PA为平面PBC所成的角.1设PA=2,由k=知AB==BC1,21122214∴OD=1,OE=,,AO=AC=PO=PA-=AO.2222OPOE14在Rt△POE中,OG==.71215+24OG210在Rt△OGD中,sin,ÐODG==OD30210∴Ð=ODGarcsin,30(3)连结OB,由OB⊥PC,则DG⊥PC,∴BD为△PBC的中线和高线,则PC=BC,因此k=1解法二：如图,建立空间直角坐标系O-xyz设PA=1,则AB==BCk,\n22k22则A(0,--k,0),P(0,0,1),B(k,0,0),Ck(0,,0)22221uuur27uuur27uuur27当k=时,AP=(0,,),PB=(,0,-),PC=-(0,,).2484848设平面PBC的法向量为n=(1,y,z)ì27uuurï-=z0ìy=1ìïnPB=0ïï48由íuuur,得íí解得1ïînPC=0ïï27z=,yz-=07îïî48221uuur44+210∴n=(1,1,).cos,=,715301´7uuur210p210∴=arccos,即直线AP与平面PBC所成角为-arccos.302302k1-222uuur2k2(3)△PBC的重心坐标为G(kk,,),PBk=(,0,--1),663222kuuuruuur11-222由OG⊥平面PBC得OG^PB,∴k-=0,则k=1,则k=1.63AECFCP16、在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足===(如EBFAPB2图1).将△AEF沿EF折起到DA1EF的位置,使二面角A1－EF－B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)AA1EFＥＤＦBPCＢＰＣ图1图2()Ⅰ求证：A1E⊥平面BEP；()Ⅱ求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；()Ⅲ求二面角B－A1P－F的大小.解：不妨设正三角形ABC的边长为3,则(1)在图1中,取BE中点D,连结DF,则∵AECFCP10===,∴AF==AD2而Ð=A60,即△ADF是正三角形又EBFAPB2∵AE==ED1,∴EF^AD∴在图2中有AE^EF,BE^EF,1\n∴ÐAEB为二面角A--EFB的平面角11∵二面角A--EFB为直二面角,∴AE^BE又∵BEIEFE=,11∴AE⊥平面BEF,即AE⊥平面BEP.11(2)由(1)问可知A1E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如图的坐标系,则Ｅ(0,0,0),A1(0,0,1),B(2,0,0),F(0,0,3).在图１中,不难得到ＥF//ＤP且ＥF＝ＤP；ＤＥ//FP且ＤＥ＝FPuuuuruuuruuuur故点Ｐ的坐标Ｐ(1,3,0)∴AB=-(2,0,1),BP=-(1,3,0),EA=(0,0,1)11uuuuruuruurìïA11B×n=20xz-=不妨设平面A1BP的法向量n1=(x,yz,),则íuuuruurïBP×n=xy-=30î1uuruuuuruuruuruuuurn×EA63令y=3得n=(3,3,6)∴111cos,=uuruuuuur==|n|×|EA|1´43211p故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为.3uuruuuuruuur(3)由(2)问可知平面A1BP的法向量n1=(3,3,6),AF1=-(0,3,1),FP=(1,0,0)设平uuuuruuruurìAF×n=30yz-=ï12面AEP的法向量n2=(x,yz,),则íuuuruur令y=3ïBP×nx==0î1uuruuruuruuruurnn×217得n=(0,3,3)故cos,=uur12uur==212|nn|×||43´238127显然二面角B－A1P－F为钝角,故二面角B－A1P－F为p-arccos85.解析几何22xy31、已知椭圆C:+=1(ab>>0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于ab2232A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为(I)求a,b的值；(II)C上是2uuuruuuruuur否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OP=+OAOB成立？若存在,求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在,说明理由.解:(I)设Fc(,0),直线l:0x-yc-=,\n2|0--0c|2由坐标原点O到l的距离为则=,222c3解得c=1.又e==,\ab==3,2.a322xy(II)由(I)知椭圆的方程为C:1+=.设A(xy,)、B(xy,)由题意知l的斜率一112232定不为0,故不妨设l:1x=+my22代入椭圆的方程中整理得(2m+3)y+4my-=40,显然D>0.4m4由韦达定理有：yy+=-,yy=-,．．．．．．．．①12212223m+23m+uuuruuuruuur.假设存在点P,使OP=+OAOB成立,则其充要条件为：22(x++x)()yy1212点P的坐标为(x++x,)yy,点P在椭圆上,即+=1.1212322222整理得2x+3y++2x3y+4xx+=66yy.112212122222又AB、在椭圆上,即2x+3y=6,2xy+=36.1122故2xx+3yy+=30．．．．．．．．．．．．．②12122将xx=(my+1)(my+1)=myy+m(yy++)1及①代入②121212122212243m32解得m=\yy+=-或,xx+=-+=2,即P(,)±.121222222m+322223222322当m=时,P(,-),l:1xy=+;当m=-时,P(,),l:1xy=-+.222222222、DABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,已知B(-2,0),C(2,0),内切圆圆心I(1,t),t¹0,设点A的轨迹为L.1)求L的方程；(2)过点C的动直线m交曲线L于不同的两点M、N,问在x轴上是否存在一定点Q(Q不与C重合),使QM×QCQN×QC=恒成立,若存在,试求出Q点的坐标,若不存在,说明理由.|QM||QN|\n解：(1)设点A(x,y),由题知AB-AC=BE-CE=CE+22OE-=CE根据双曲线定义知,点A的轨迹是以B、C为焦点,实轴长为2的双曲线的右支除去点E(1,0),22故L的方程为x-y=1(x>1)(2)设点Q(x,0),M(x,y),N(x,y)由(I)可知C(2,0)01122uuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuurQM×QCQN×QC|QM|×|QCcos||QN||QC|cos,<>QNQCQuuuur=uuurÞ=uuuuruuur|QM||QN||QM|||QN\cosÐMQC=cosÐNQC\ÐMQC=ÐNQC①当直线MN^x轴时点Q(x,0)在x轴上任何一点处都能使得ÐMQC=ÐNQC成立0②当直线MN不与x轴垂直时,设直线MN:y=k(x-2)22ìïx-y=12222由í得(1-k)x+22kx-(2k+1)=0ïîy=k(x-2)222-22k22k2k+1\x+x==xx=1221221-kk-1k-122k\y+y=k(x-2)+k(x-2)=k(x+x)-22k=1212122k-1yy12QtanÐMAC==ktanÐNQC=-k=-QMQNx-xx-x1020要使ÐMQC=ÐNQC,只需tanÐMQC=tanÐNQC成立yy12即=-即xy-xy+xy-xy=021011202x-xx-x1020\(y+y)x=x×k(x-2)+x×k(x-2)=2kxx-+2x()xx1202112121222k2k即x=202k-1k-1uuuuruuuruuuruuur22QM××QCQNQC故x0=故所求的点Q的坐标为(,0)时使uuuur=uuur成立.22|QM|||QN\n22yx3、已知FF,分别为椭圆C:+=1(ab>>0)的上、下焦点,其中F也是抛物线121221ab25C:4xy=的焦点,点M是C与C在第二象限的交点,且MF=,21213222⑴求椭圆C的方程.⑵已知点P(1,3)和圆O:xyb+=,过点P的动直线l与圆O相交1uuuruuuruuuruuur于不同的两点AB,,在线段AB上取一点Q,满足AP=-=llPB,AQQB(l¹0且l¹1).求证：点Q总在某定直线上.2解：(I)方法一、由C:4xy=知F(0,1),设M()xy(x<0)210002因M在抛物线C上,故xy=4①20055262又MF=,则y+=1②由①②解得xy=-=,10003333椭圆C的两个焦点FF(0,1),(0,-1),点M椭圆上,11226222226由椭圆定义得2a=|MF12|+|MF|=(--0)+(-1)+(--=0)433322222yx\=a2.又c=1,\b=ac-=3,\椭圆C的方程为+=11432方法二、由C:4xy=知F(0,1),设M()xy(x<0),因M在抛物线C上,故2100022xy=4①0055262又MF=,则y+=1②由①②解得xy=-=,而点M椭圆上,故有1000333322226()()4833+=1即+=1③又c=1,则ba22=-1④2293ab22ab2222yx由③④可解得ab==4,3\椭圆C的方程为+=1143()Ⅱ设A(x,y),B(x,y),Q(xy,),1122\nìxx-ll=-1⑤uuuruuur12由AP=-lPB可得：(1-x,3-y)=-l(xy--1,3),即í1122îyy-ll=-3(1)⑥12ìx+llxx=+(1)⑦uuuruuur12由由AQ=lQB可得：(x-x,y-y)=l(x--x,)yy,即í1122îy+llyy=+(1)⑧1222222222⑤⑦×得：x-llxx=-(1)⑥⑧×：y-llyy=-3(1)1212222222两式相加得(x+y)-ll(x+y)=(1-+)(xy3)1122222222又点AB,在圆xy+=3上,且l¹±1,所以x1+y1=3,3xy22+=即xy+=33,\Q总在定直线xy+=33上.22xy4、如图,已知直线L:x=my+1过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆22ab2C于A,B两点,点A,F,B在直线G:x=a上的射影依次为点D,K,E.2(1)若抛物线x=43y的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程；(2)连接AE,BD,证明：当m变化时,直线AE、BD相交于一定点.2解：(1)易知b=3\b=3,又F(1,0)22222xy\c=1a=b+c=4\椭圆C的方程为+=1432(2)QF(1,0),k=(a,0),当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED为矩形,由对称性知,2a+1AE与BD相交FK中点N,且N(,0)22a+1猜想：当m变化时,AE与BD相交于定点N(,0)222证明：设A(x,y),B(x,y),E(a,y),D(a,y)112221当m变化时首先AE过定点Nìx=my+12222222Qí即(a+bm)y+2mby+b(1-a)=0222222îbx+ay-ab=022222D=4ab(a+mb-1)>0(Qa>1)-y-y12又K=,K=AN2EN2a-11-a-my1222a-1(y+y)-myy12122而K-K=ANEN221-aa-1(-my)122\n22222a-1a-12mbb(1-a)(Q(y+y)-myy=×(-)-m×121222222222a+mba+mb222(a-1)×(mb-mb)==0)222a+mb\K=K\A、N、E三点共线,同理可得B、N、D三点共线ANEN2a+1∴AE与BD相交于定点N(,0)2225、抛物线D以双曲线C:8yx-=81的焦点F(0,cc)(>0)为焦点．(1)求抛物线D的标准方程；(2)过直线l:y=x-1上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为A,B．求证：直线AB过定点Q,并求出Q的坐标；(3)在(2)的条件下,若直线PQ交抛物线D于M,N两点,求证：PMQN=QMPN2111112解：(1)由题意,c=+=,c=.所以F(0,),抛物线D的标准方程为x=2y.88422(2)设A(x,y),B(x,y),P(x,x-1),1122002由x=2y,得y'=x.因此y'|=x抛物线D在点A处的切线方程为x=x11y-y=x(x-x),即y=xx-y.11111而A点处的切线过点P(x,x-1),所以x-1=xx-y,即(x-1)x+1-y=0.000101101同理得(x-1)x+1-y=0.202可见,点A,B在直线(x-1)x+1-y=0上．0令x-1=0,1-y=0,解得x=y=1,所以,直线AB过定点Q(1,1)(3)设P(x,x-1),M(x,y),N(x,y),003344(x--1)1直线PQ的方程为yx=0(-+1)1,x-10x-210即yx=+.xx--1100ìx0-21ïy=x+由íx0-1x0-1,消去y,ï2îx=2y,\n2(x-2)220得x-x-=0.x-1x-1002(x-2)20由韦达定理,x+x=,xx=-.3434x-1x-100|PM||QM|而|PM|×|QN|=|QM|×|PN|Û=|PN||QN|x--xx1303Û=Û(x-x)(x-1)=(x--xx)(1)304403x4--xx041Û2xx-(x+x)-x(x+xx)+2=*0()343403402(x-2)20将x+x=,xx=-代入方程(*)的左边,得3434x-1x-10042(x-2)2x(x-2)000(*)的左边=---+2x0x-1x-1x-100022-4-2x+4-2x+4x+2x-2x00000==0．x-10因而有PMQN=QMPN22xy6、已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,曲线C是以坐标原点为顶点,以F243为焦点的抛物线,自点F1引直线交曲线C于P、Q两个不同的点,点P关于x轴对称的点记为M,设F1P=lF1Q.(1)写出曲线C的方程；(2)若F2M=uF2Q,试用λ表示u；(3)若λ∈[2,3],求|PQ|的取值范围.2解：(1)抛物线C的方程是y＝4x(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,－y1)ìx1+1=l(x2+1)L①∵F1P=lF1Q,∴íîy1=ly2LLLL②2222222∴y1＝λy2,又y1＝4x1,y2＝4x2,∴x1＝λx2代入①得λx2＋1＝λx2＋λì1ïx2=L③∴λx2(λ－1)＝λ－1,∵∴λ≠1ílïîx1=lL④\n1则F2M＝(x1―1,―y1)＝(λ―1,―λy2)＝―λ(―1,y2)＝―λ(x2―1,y2)＝－λF2Ql即F2M=-lF2Q,故u＝－λ22(3)由③、④知x1x2＝1,∴y1y2＝16x1x2＝16,又y1y2＞0,∴y1y2＝42222222∴|PQ|＝(x1－x2)＋(y1－y2)＝x1＋x2＋y1＋y2－2(x1x2＋y1y2)211121＝λ＋＋4(λ＋)－10＝(λ＋)＋4(λ＋)－12l2lll125110＝(λ＋＋2)－16又2≤λ≤3,∴≤λ＋≤l2l31727´161747∴≤|PQ|≤所以≤|PQ|≤492327、已知抛物线W:y=ax经过点A(2,1),过A作倾斜角互补的两条不同直线ll,.()Ⅰ求抛物12线W的方程及准线方程；()Ⅱ当直线l与抛物线W相切时,求直线l的方程；()Ⅲ设直线ll,1212分别交抛物线W于B,C两点(均不与A重合),若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切,求直线BC的方程.21解：()Ⅰ由于A(2,1)在抛物线y=ax上,所以14=a,即a=.412故所求抛物线的方程为yx=,其准线方程为y=-1.4()Ⅱ当直线l与抛物线相切时,由y¢=1,可知直线l的斜率为1,其倾斜角为45°,所以1x=21直线l的倾斜角为135°,故直线l的斜率为-1,所以l的方程为yx=-+3222()Ⅲ不妨设直线AB的方程为y-1=k(xk->2)(0),ìy-1=-kx(2)yï2由í12得x-4kxk+8-=40,ïyx=Cî4易知该方程有一个根为2,所以另一个根为42k-,2所以点B的坐标为(4k-2,4kk-+41),AOBxy=-12同理可得C点坐标为(-4k-2,4kk++41),2222所以|BC|=[(4k-2)-(-4k-2)]+[(4k-4k+1)-(4kk++41)]22=(8kk)+-(8)=82k,2线段BC的中点为(-+2,4k1),因为以BC为直径的圆与准线y=-1相切,22所以4kk+1-(-=1)42,由于k>0,解得k=.2\n此时,点B的坐标为(22--2,322),点C的坐标为(-22-+2,322),(3+22)--(322)直线BC的斜率为=-1,(-22-2)--(222)所以,BC的方程为yx-(3-22)=-[--(222)],即xy+-=10.08、直角三角形ABC中,Ð=C90,B,C在x轴上且关于原点对称,D在边BC上,BD=3DC,三角形ABC的周长为12.若一双曲线E以B、C为焦点,且经过A,D两点.(1)求双曲线E的方程；(2)若一过点P(3,0)的直线l与双曲线E相交于不同与双曲线顶点的两点M、N,且uuuruuuruuuruuuuruuurMP=lPN,问在x轴上是否存在定点G使得BC^-()GMlGN？若存在,求出点G的坐标；若不存在,请说明理由.22xy(1)解：设双曲线E的方程为-=1(ab>>0，0),则B(－c,0),D(a,0),C(c,0)．22ab由BD=3DC,得c+a=-3()ca,即ca=2222ì|AB|-=|ACa|16,ï∴í|AB|+|ACa|=-124,ï|AB|-=|ACa|2.î22y解之得a=1,∴cb==2,3双曲线E的方程为x-=1．3uuuruuuuruuur(2)解：设在x轴上存在定点G(t,0),使BC^-()GMlGN．uuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuruuur当l⊥x轴时,由MP=lPN,得l=1,这时GM-lGN=GM-=GNMN,显然BC^BC当l与x轴不垂直时,设直线l的方程为,M(x1,y1),N(x2,y2)uuuruuur3-xy由MP=lPN,得：11(3-x，，-y)=ll(3)xy-Þ==-1122xy-322uuuruuuuruuur∵BC=(4，0),GM-lGN=()x-t-lx+-llt，yy,1212uuuruuuuruuurx--tx311∴BC^-()GMlGNÛx-t=-l()xt,故=12x--tx322即2xx-(t+3)(x+xt)-=60①121222ì33xy-=2222由í得：(3-k)x+6kxk-9-=30îy=-kx(3)22222-6kk--93其中k-¹30且D>0,即k¹3且8k+>30，x+x==，xx12221233--kk22--186k6(tk+3)1代入①,得：++=60t,化简得：t=．2233--kk31uuuruuuuruuur因此,在x轴上存在定点G(，0),使BC^-()GMlGN3\n6.概率统计1、如图所示,为某市1000户居民月平均用电量的频率分布直方图.(1)如果当地政府希望85%以上的居民每月的用电量不超出标准,这个标准为多少时比较适当？(2)计算这1000户居民月用电量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)有关部门为了制定居民月用电量标准,采用分层抽样的方法从1000户居民中抽取50户参加听证会,并且要在这已经确定的50户中随机确定两户做发言,求这两户分别来自用电量区间[60,80)和[80,100)的概率.解：(1)月用电量在100以上的居民所占的比例为(0.003+0.002+0.002)´20==0.1414%,86%的居民月用电量在100以下,因此,居民月用电量标准定为100比较适当.(2)居民月用电量的平均值为0.06´30+0.1´50+0.3´70+0.4´90+0.06´110+0.04´130+0.041´=5081.611CC×121520(3)PA()==2C49502、中国篮球职业联赛(CBA)某赛季总决赛在两队之间进行,比赛采用七局四胜制,即若有一队先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束,因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一,据以往资料统计,第一场比赛组织者可获得门票收入40万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.(1)若组织者在此次决赛中获得的门票收入恰好为300万元,问此次决赛共比赛了多少场？(2)求组织者在此次决赛中获得的门票收入不少于390万元的概率为多少？解：(1)依题意,每场比赛获得的门票收入数组成首项为40,公差为10的等差数列,设此数n(a++a)nn(1070)列为12{}a,则易知a=40,a=10nS+30,\===300,解得n=-12(舍去)n1nn22或n=5,\此次决赛共比赛了5场.2(2)由S³390得n+7nn³78,6\³,\若要获得的门票收入不少于390万元,则至少要比n赛6场.①若比赛进行了6场,则前5场比赛的比分必为2:3,且第6场比赛为领先一场的球队3515获胜,其概率PC(6)=´=()；52163615②若比赛共进行了7场,则前6场比分为3:3,则概率PC(7)=´=(),6216105\门票收入不少于390万元的概率为P=PP(6)+(7)===0.6251683、教室内有6个学生,分别佩戴1号到6号的校徽,任选3个学生记录他们的校徽号码.(1)求最小号码为4的概率；(2)求3个号码中至多有一个偶数的概率.解：用数组表示所选3人的校徽号码,任选3人记录他们的校徽号码的所有可能的结果为：\n(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),共20种(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)1(1)设“最小号码为4”为事件A,则A中只有结果(4,5,6),共1种,所以PA()=,即最小201号码为4的概率为.20(2)设“3个号码中至多有一个偶数”为事件B,则B中含有的结果为：(1,2,3),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,5,6),(2,3,5),(3,4,5),(3,5,6),共10种,所以1011PB()==,即3个号码中至多有一个偶数的概率为.2022(3)设“3个号码之和不超过8”为事件C,则C中含有的结果为：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),411共4种,所以PC()==,即3个号码之和不超过8的概率为.20554、甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个(其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”),现以投掷一个骰子的方式进行游戏,规则如下：当出现向上的点数是奇数时,甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃,规定掷骰子的次数达9次时,或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止.记游戏终止时投掷骰子的次数为x.(1)求掷骰子的次数为7的概率；(2)求x的分布列及数学期望Ex.解：(1)当x=7时,甲赢意味着“第七次甲赢,前6次赢5次,但根据规则,前5次中必输1次”,11114115由规则,每次甲赢或乙赢的概率均为,因此P(x=7)=2C()×()××=52222264(2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m,向上的点数是偶数出现的次ì|m-n|=5ï数为n,则由ím+n=x,可得：当m=5,n=0或m=0,n=5时，x=5；当m=6ïî1£x£9n=1或m=1,n=6时,x=7当m=7,n=2或m=2,n=7时,x=9.因此x的可能取值是5、7、931每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同,其概率都是=.6215151555P(x=5)=2´()=,P(x=7)=,P(x=9)=1--=21664166464所以x的分布列是：579xP15551664641555275Ex=5´+7´+9´=16646432\n5、随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为x．⑴求x的分布列；⑵求1件产品的平均利润(即x的数学期望)；⑶经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？解(１)x的可能取值有６,２,１,—２;12650P(x=6)==0.63,P(x=2)==0.25200200204P(x=1)==0.1,P(x=-2)==0.02200200故x的分布列为x111-2P0.630.250.10.02(2)Ex=6´0.63+2´0.25+1´0.1+(-2)´=0.024.34(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时１件产品的平均利润E(x)=6´0.7+2´(1-0.7-0.01-x)+1´x+(-2)´0.01=4.76-xx(0££0.29)6、某项选拔共有两轮考核.第一轮笔试,设有五道选择题,每题答对得20分,答错或不答得0分,总分达到60分者进入第二轮考核,否则即被淘汰；第二轮面试,面试成绩服从正态分2布N(60,10),两轮总分达到150分及以上者即被录用.已知某选手能正确回答第一轮的每1一道题的概率都是,且两轮中的各题能否正确回答互不影响,求该选手：2(I)笔试成绩ξ的分布列与数学期望；2149(II)被录用的概率(参考数据：在标准正态分布中f(1)=,f(2)=,f(3)=1)2550k15解(I)P(x=20k)=C()(k=0,1,2,3,4,5),分布列为：52x02040608010015101051P32323232323215101051数学期望为Ex=0´+20´+40´+60´+80´+100´=503232323232322(II)∵面试成绩η服从正态分布N(60,10),两轮总分达到150分者即被录用.\n∴被录用的概率为1051P(ξ=60)·P(η≥90)+(ξ=80)·P(η≥70)+P(ξ=100)·P(η≥50)=[1-φ(3)]+[1-φ(1)]+[1-φ(-1)]323232=41被录用的概率为41800800