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第二单元　方程(组)与不等式(组)第5讲　一次方程(组)考纲要求命题趋势1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.　　一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.知识梳理一、等式及方程的有关概念1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．二、一元一次方程1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x＝______.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．五、列方程(组)解应用题的一般步骤\n审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．列：根据题意寻找等量关系列方程(组)．解：解方程(组)．验：检验方程(组)的解是否符合题意．答：写出答案(包括单位)．六、常见的几种方程类型及等量关系1．行程问题中的基本量之间的关系路程＝速度×时间；相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．2．工程问题中的基本量之间的关系工作效率＝.(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．(2)通常把工作总量看作“1”．自主测试1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是(　　)A．B．C．D．2．方程组的解是(　　)A．B．C．D．3．若x＝2是关于x的方程2x＋3m－1＝0的解，则m的值为__________．4．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元，其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？考点一、一元一次方程的解法【例1】解方程：－＝1..方法总结解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．考点二、二元一次方程组的有关概念【例2】已知是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根为(　　)A．4B．2C．D．±2方法总结方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．触类旁通1已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．考点三、二元一次方程组的解法【例3】解方程组触类旁通2解方程组：考点四、列方程(组)解决实际问题【例4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决．方法总结对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．\n1．(2012重庆)关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为(　　)A．2B．3C．4D．52．(2012山东临沂)关于x，y的方程组的解是则|m－n|的值是(　　)A．5B．3C．2D．13．(2012浙江杭州)已知关于x，y的方程组其中－3≤a≤1.给出下列结论：①是方程组的解；②当a＝－2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解；④若x≤1，则1≤y≤4.其中正确的是(　　)A．①②B．②③C．②③④D．①③④4．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为(　　)A．x(x－10)＝200B．2x＋2(x－10)＝200C．2x＋2(x＋10)＝200D．x(x＋10)＝2005．(2012广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是6．(2012湖南长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．1．已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是(　　)A．－5B．5C．7D．22．方程组的解是(　　)A．B．C．D．3．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则列方程正确的是(　　)A．B．C．D．4．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为(　　)A．－B.C．D．－5．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________．6．方程|4x－8|＋＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．7．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为__________．8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是__________．9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．参考答案导学必备知识自主测试1．B　把A项代入方程左边＝0－2×＝右边，把B项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D项代入方程左边＝－1－2×(－1)＝右边．2．D　解方程组①＋②得3x＝6，故x＝2，把x＝2代入①得y＝－1，故3．－1　因为把x＝2代入方程，得4＋3m－1＝0，解得m＝－1.4．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x，y亩，依题意，得解得答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．\n探究考点方法触类旁通1．解：把x＝2，y＝代入方程得2＝＋a，解得a＝.∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝a2＋6＝()2＋6＝9.触类旁通2．解：②×2得4x＋2y＝26，③③－①得5y＝15，解得y＝3，把y＝3代入②得2x＋3＝13，解得x＝5.所以原方程组的解为品鉴经典考题1．D　∵方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，∴2×2＋a－9＝0，解得a＝5.故选D.2．D　把代入原方程组得∴则|m－n|＝1.3．C　解方程组得∵－3≤a≤1，∴－5≤x≤3,0≤y≤4，①不符合－5≤x≤3,0≤y≤4，结论错误；②当a＝－2时，x＝1＋2a＝－3，y＝1－a＝3，x，y的值互为相反数，结论正确；③当a＝1时，x＋y＝2＋a＝3,4－a＝3，方程x＋y＝4－a两边相等，结论正确；④当x≤1时，1＋2a≤1，解得a≤0，y＝1－a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确．故选C.4．D　设宽为x米，则长为(x＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x(x＋10)＝200.5．(答案不唯一)6．(1)解法一：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，则湖南省签订的省外境内投资合作项目有(348－x)个，由题意得2x－(348－x)＝51，解得x＝133，∴348－x＝348－133＝215.答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．解法二：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，省外境内投资合作项目有y个，由题意得解得答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．(2)解：133×6＋215×7.5＝798＋1612.5＝2410.5(亿元)．答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2410.5亿元．研习预测试题1．B　把x＝3代入方程，得6－a＝1，所以a＝5.2．D　两方程相加，得3x＝6，x＝2，把x＝2代入x－y＝2，得y＝0，所以3．B　购买甲种奖品x件，每件16元，共花了16x元，购买乙种奖品y件，每件12元，共花了12y元．相等关系为：甲奖品件数＋乙奖品件数＝30件，甲花的钱＋乙花的钱＝400元．4．B　解方程组得代入2x＋3y＝6，得到14k－6k＝6，所以k＝.5．8x＋38＝50　相等关系为8个莲蓬的价格＋找回的38元＝50元．6．m＜2　由题意，得解得y＝2－m，∵y＞0，∴2－m＞0，∴m＜2.7．－1　因为把代入方程组得解得所以a－b＝－1.8．k＞29．解：(1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元．依题意得解得答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．(2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－a)本．依题意得解得20≤a≤24.所以，一共有5种方案，即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.