考研复习资料 19页

第_讲函数、一、理论要求1.函数概念与性质2.极限连续与极限函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）儿类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限Z间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断二、题型与解法A.极限的求法理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变蜃替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）\n"「arctanx-x“arctanx-x1/卄“■曰—八4Llim=lim——=——J等价小量与洛必达)一>0ln(l+2x3)->o2x362•已知lim空畔空=0,求lim上理x->0兀'x->0sin6x+xf(x)_|6cos6x+/(x)4-xy'解：—〉()x3―>()3x2-36sin6x+2y,+xy'*_-216cos6x+3y*'+x>?,1'x->°6x—6-216+3”(0)6（洛必达）讪叫iun農臥「竺=36—>0对x->o2x223.1im(x->l2xx+12.v〈重要极限）XILxJ4.已知a、b为正常数，求lim(—尸x->o2解：令f二(”+夕)；,lnr=-[ln(6zx+/2v)-In2]2x33limln/=lim(axInd+hxIn/?)=—ln(ab)52〈变量替换、:.t=(6Z/?)3/25.1im(cosx),n(1+x2)x->()解：令f=(cosx),n(1+r),In/=~—ln(cosx)ln(l+x2)limInf=lim—=/.t=e~U2J变量替换)—〉()x->()2x2f26•设广(兀)连续，/(0)=0,广(0)工0,求lim=1r打(M(洛必达与微积分性质)t一、|ln(cosx)x'2,x07“7.已知.f⑴={在x=0连续，求a\a,x=0解：令<7=limln(cosx)/x2=-1/2〈连续性的概念)\nx->0\n三、补充习题（作业）l.lim-==-3(洛必达、v~>0V1-x-cosVx2.limcfg班x->01sinx（洛必达或Taylor）xre~rdt呵七L（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1•导数与微分导数为微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面Illi线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll>Lagrange>Cauchy>Tayloi•定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基木公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导3"）由｛2肚启咒5决定,求字2.y=）；⑴由ln（x2+y）=+sinx决定，求—lA=0=1dx解:两边微分得x=0时y'=ycosx=y,将x=0代入等式得y=lB.曲线切法线问题3.y=丁(兀)由2卩=x+y决定,则dylv=0=(ln2-V)dx4.求对数螺线p=ee在（°,&）=（护",龙/2）处切线的点角处标方程。解:x=e°cos&y=e°sin&，（兀，刃爲/2(0,严J,刃一2=-1）,_严5.f（x）为周期为5的连续函数，它在x=l町导，在x=0的某邻域内满足f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+o（x）©求f（x）在（6,f（6））处的切线方程。\n/(I+sinx)一3/(1-sinx)x->0sinx=t解：需求/（6）,广（6）軌1），广⑴,等式取x・>0的极限有：f（l）=Osinxlin/(Z7(l)+3/(i7(l)]z->0ttC.导数应用问题4广(1)=8.••广(l)=2・・.y=2(—6)2.己知y=/（兀）对一切x满足旷©）+2兀[广（兀）]?=1一厂，若广（兀（））=。（兀（）H0）,求（x0,y0）点的性质。八、、ex°~l（>0,xn>0解：令x=x0代入，广'（兀。）=—=\八八，故为极小值点。宀°[>0,x0<0兀33.y=—,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。U-D2解：定义域X€(-00,1)U(1,+00)）」=0亠驻点兀=0及兀=3y"=0=>拐点兀=0；x=1：铅垂；y=x+2：斜4.求函数〉，=（兀-1）严d+znx的单调性与极值、渐进线。2解：）,,=「二严2曾沁亠驻点兀=o与兀=_]1+对渐1y=(x-2)^y=x-2D.幕级数展开问题sin(x-r)2Jr=sinx2\n1(工_]严7sina_/)2=Cr_/)2_s_/)6+.・.+(_i)”J+…3!⑵2+1)!fsin(x-t)2dt=--(x-t)3+-(x-r)7+•••4-(-l)n+1(")J33!7(4〃-l)⑵2+1)!fsinU-r)2=-x3x7+•••+(-l)w+…」)33!7(4〃-1)(2〃+1)!(1声12(2-1)——Ism(x-1)2dt=x2——兀§+•••+(_])〃+•…=sin兀2dx^3!(2h+1)!\nE.不等式的证明10.求/(x)=x2ln(l+x)在x=0处的川阶导数/(")(0)丫2V-3“-2解：X2ln(l+x)=x2(x-—+-+(-l)w_,-—+o(xn'2)23n-2•••/(w)(o)=(-i)rt-1-^-n-211.兀3_兰+£1_...+(_])-】JEL+o(兀“)3n_2xe(0,1)求证(l+x)ln2(l+x)<^—证：1)令g(x)=(1+x)ln2(l+x)-x2,^(0)=0g©),g'©),g“a)=—21n(l+x)(l+x)2<0^*(0)=gM(0)=0・・・xe(0,1)时g"(兀)单调F降,g'M<0,g'(x)单调F降g'(兀)v0,g(x)单调下降，g(x)<0；得证。2)令h(x)=—,xg(0,1),A1(x)<0,单调下降，得证。F.中值定理问题ln(l+x)x12.设函数/⑴在[一1,1]具有三阶连续导数，且/(-I)=0,/(I)=1,广(0)=0,求证：在(-1,1)上存在一点$使厂@)=3证：.f(x)=/(0)+广(0)兀+刃厂(0)/+耳广气77)疋其中〃w(0,x),xw[—l,l]0=/(_1)=/(0)+”(0)_将x=l,x=・l代入有i=.f(i)=/(0)+打'(0)+2广5)26两式相减：广气77J+广气〃2)=6北曰如厂切)+广气〃2)1=3\n]3.e(p{e)•••—>飞tV§£\n2b-\n2a>-^(h-a)(关键：构造函数)三、补充习题（作业）!./(%)=InM,x=esin2r,小u2.曲线在(0,1)处切线为y+2x-1二0y=e1cos2r3.y=xln(e+丄)(兀>0)的渐进线方程为y=x+-x•e4.证明x>0时(x2-l)lnx>(x-l)22证：令咖=（亠皿-（一心'（沪容g(l)=g'(l)=0,gn(l)=2>0口。,1),严0用>2]斗口0叽VO.xe(l,+s),gw〉0,g'\2J[xe(l,a),g'>0第三讲不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2淀积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求儿何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值\n二、题型与解法A.积分计算rax.x-2•.z、-arcsin+C」Jx(4-x)打4_(jc_2『2dxdxe2xsec2xdx+2p2vtanxdx=e2xtanx+C2.p2v(tanx+1)2J^=jdx3.设/(Inx)=,求解:厂ln(l+ex)+f(l一一-—)dx=x-(1+厂)ln(l+/)+CJ1+『B•积分性质>arctanx71,|00Kdx=——arctanxI)+lim(——乂一Xb_>oo15.f(x)连续，0(兀)=［f(xf)dt，且1叫/⑴=A,求0(兀)并讨论0(x)在兀=0的连续性。4.J^-)dx=-+丄ln2x1+x242x解:/(0)=0(0)=O,y=xt=>(p(x)=*7小化0(0)詁弋肿0)i/2+(0)*>07JCtf(x2-t2)dt=-斗［/(x2-t2)d(t2-x2)2dx丿)2川心心曲)C•积分的应用3qo7.设/(x)在［0,1］连续，在(0,1)上/(%)>0,且矿(兀)=/(x)4-——x22又/(%)与x=l,y=o所围面积S=2o求f(x),且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：—(=—=>f(x)=—x2+ex•/ff(x)dx=2c=4-adxx22Jr/./(x)=—X2+(4-l)x・・•V'=(龙(y2dxy=0a=-58.111J线J7二i,过原点作ill］线的切线，求曲线、切线与X轴所围图形绕X轴旋转的表血积。\n2.°dxx-6x+133.arcsinVxfax曲线y=J7二［绕X轴旋转的表面积为f2砂Is=-(575-1)46总表而积为1V5-1)6三、补充习题(作业)1.--cotxlnsin2x-cotx-x+C」sin~xrx+5第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1•向量代数理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的儿何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数为隐函数求导法3.多元微分应用4.空间解析儿何理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值掌握Illi线的切线与法平面、Illi面的切平面与法线的求法会求平面、宜线方程与点线距离、点面距离二、题型少解法A.求偏导、全微分1./(x)有二阶连续偏导，z=f(exsiny)满足+z'n.=e2xz,求/W解：/'-/=0=>/(«)=c{eu+c2e~u2."协劝+恥+刃，求卷3.y=y(x),z=z(x)由z=xf(x+y),F(x,y,z)=0决定,求dz/dx\nB.空间几何问题C.极值问题dxdy一、理论要求1•重积分熟悉二、三重积分的计算方法（肓角、极、柱、球）1.求JI+J7+血二石上任意点的切平而与三个处标轴的截距之和。解：xly[x^+yl^y^+zl^=4a^>d=a2.曲而/+2）,+3才二21在点（1-2,2）处的法线方程。3.设z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数,求z=z（x,y）的极值点与极值。三、补充习题（作业）l・z2.z=/(xy,—+g(—)),求孚yxex3.Z=2严，厶1=\n^]x2+y29(p=arctan—,求dz第五讲多元函数的积分£d3L兀"仏00(2必r2(02(z)|t2(z。)dz[dO[MS)皿i•bi(z)J・i(z4)『2(0)Jl(&)dep『切(p)r2sin(pdr会用重积分解决简单儿何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）2•曲线积分=.f(x,y)=>A=ttv1理解两类Illi线积分的概念、性质、关系，掌握两类Illi线积分的计算方法\ny=y(x)=>(/(x,y(x))Jl+y：dx；：；；；=f/w)，w))7右％L\r-r(&)nf/(厂cos&,rsinO^r2+r'1dO3.曲面积分熟悉Green公式，会用平面曲线积分•路径无关的条件理解两类曲血积分的概念（质量、通量）、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类|11|面积分•Lg八"）dS=叮（兀"（兀，刃）JGauss:E•^5=jjjV•EclV（通量，散度）Stokes：^FJF=JJ（VxF）•亦（旋度）二、题型与解法A.重积分计算+y2）dV,O为平面曲线j2=2Z绕z轴旋转一周与z=8x=0的围域。解：rm+）5砂=加『力广Prdr=字2./=[*[/』兀~+)dxdy,D为y=-a+^a2-x2(a>0)与儿祁/—兀2一),2jry=-xH^(/=，(---)兀2x(49/20)B』l|线、|H|面积分4./=『(护siny_b(兀+y))d兀+(肘cosy一ax)dyL厶从A(2q,0)沿尸J2ox—X至0(0,0)解：令厶1从。沿y=0至4-a)dxdy-J(-bx)dx=(-+2)a2b-—crL+LIL\D22\n2./=c[x"皿,厶为以(1,0)为屮心，/?(>1)为半径的圆周正向。比4%^+)厂解：取包含(0,0)的正向厶1:2x=rcosOy=rsin0i=i-£=0/-l=1=/rL-L\3.对空间x>0内任意光滑有向闭llll面S,曲xf(x)dydz一xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0,K/(x)在x>0冇连续一阶导数,limf(x)=1，求f(x)oX—>0+解：0=曲戶・d4jjjv•FdV=(/(%)+xf\x)-xfM-e2x)dV11Xy'+(l)y=—e2x=>y=—(ex-1)xxx一、理论要求1.—•阶方程2.髙阶方程3.二阶线性常系数第六讲常微分方程熟练掌握可分离变量、齐次、-•阶线性、们努利方程求法会求y(")=/(%),yM=/(x』)()上卩⑴),”=/()』)()—“(y))y11+py'+q=0=>A2+pA+q=0(林2]H=c}eA]X+=>=(Cj+c2x)e^2=q±,0ty,=eaxcos/3x+c2sin0r)gRt”=09)严fM=Pn(x)e(xx=>?2=Qn(x)兀严(非齐次)a—A}ancH2T)\=Qn(x)xe0^为/(x)=e(xx(必(x)cos(3x+[打(兀)sinpx)>『2=e(XX(Cln(%)C0SPX+rn(%)S^nPX(非齐a±i/3=A,^y2=xe^(g“(x)cos你+乙(x)sin0x(n=maxgJ)二、题型与解法\nA.微分方程求解求(3x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0通解CO2(xy-xy-r=c)2.利用代换y=——化简y1'cosx-2yfsinx+3ycos%=/并求通解。COSX(u1f+4w=ex.y=c〕cos2兀r.ex+2c2sinxHcosx5cosx3.设y=y(x)是上凸连续曲线,(X,y)处曲率为且过(0,1)处切线方程为y=x+l,求y=y(x)及其极值。jr11解:y^+y,2+i=0=>y=InIcos(--x)I+1+-In2,yniax=l+-ln21.已知函数y=y（x）在任意点处的增量△）；=yAx1+x2+o（Ax）,y（0）=兀,求＞‘（1）。（亦°）三、补充习题（作业）2.求y'-4y=e2x的通解。(y=+^xe2x)3.求(y+J兀2+『2-xdy=0(x>0),y(l)=0的通解。()'=*(/-1))4.求厂—2卩—0=0,y(0)=y(0)=1的特解。(y=-+-(3+2x)e2x'44第七讲无穷级数一、理论要求1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、儿何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2.幕级数幕级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幕级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开3.Fourier级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求［-/,/］的Fourier级数与［0,/］正余弦级数\n第八讲线性代数一、理论要求1彳亍列式2.矩阵会用按行（列）展开计算行列式几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幕、方阵乘积的行列式矩阵nJ逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对用矩阵的方法掌握实対称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程纽有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其炬阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化一次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空问）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变罐的概率密度掌握0-1、二项、超儿何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4•数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征,会求随机变量的数学期望5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理\n6.数理统计概念7.参数估计8.假设检验第十讲总结1.极限求解了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林徳伯格定理理解总体、简单随机样木、统计量、样木均值、样木方差及样本矩了解力2分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布掌握矩佔计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计最的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方爰的假设检验变量替换（1®作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）1.lim丄［（x+—）+（x+—）+...+（兀+—~）=x+—（几何级"-沖nnnn2数）22.1im（—arccosx）l/v=e~n!1（对数替换）\n3.1im(2-x)x->lurn竺o.x-lz3+x—4.lim()-6+x5.limx->a—cin)—ncin1(x—6f)(x-tz)2l-cos2x门;—以<06.f(x)=s4,x=0,求lim/(x)x->02.导数与微分fcostdt丿(x>0)x复合函数、隐函数、参数方程求导1.［白气纣（与7bxax->0ji\n3•—元函数积分4•多元函数微分2.—4-arctanx一sin(x-y)=0,求dy/dx\x=e!costf亠*lx3.<决定函数y=y(x),求dy[y=elsinr4•已知2x2y-lny=l,验证4xy2+(2x2y-l)/=0a］aa5.y=e=—Inv,v=%■sinbx,求y'x1.求函数心）=fj；：］力在区间〔°」］上的最小值。（°）2.3』(1」严dx4.f—dxJVx(l+X)6.l.z*(匚/),求y771.z=z(x,y)由F(x+—,y+—)=0给出,求证:xz\+yz'v=z-xyyx2.求w(x,y)=x2-y2+2与在O(0,0),A(l,l),B(4,2)的梯度。3.«=sin兀In(兀+y),求。"dxdy6.证明乙=)满足=nzX5•多元函数积分7.求/(兀,)，)=4兀一4)，一兀2—)2在£)：兀2+『2s]8内的最值。1•求证：div(ax/?)=hrota-arotb2.1=j£(4-x-y)dxdy,D:x24-y2<2y\n3.1=Jj(%+y^dxdy.D:x2+y2<2y2.改变积分次序~/(x,y)dy6.常微分方程5.1=(—Yclxcly,D:x=2,y=2x,xy=1围域。1.求Jl+y2Inxclx+dy+Jl+)』dx=0通解。2.求”+2y'+5y=通解。3.求yu-2yl-5y=6e2x通解。4.求{x2y-y)dx+{xy1+x)dy=0通解。5.求y'*+4y=—(x-cos2x),y'(0)=y(0)=0特解。6.求y'-y=4xex,y(0)=0,,y'(0)=1特解。《高等数学考研题型分析》填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：屮值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用