函数复习资料 6页

6.2.函数6.2.1.函数及其相关概念在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.注意：变最和常量往往是相对的，相对于某个变化过程.在不同研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的.一般的，在某一变化过程中冇两个变量兀与y,如果对于兀的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是口变量，y是x的函数.用来表示函数关系的数学式了叫做函数解析式或函数关系式.例如，代数式w,2x-l,x2+x-2,丄，V^3等等都是函数解析式.其中用数学式表示函数的方法叫做解析法.使函数冇意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围.对于口变量在取值范围内的一个确定的值，如当x=a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x=a时的函数值，简称函数值.注意：（1）当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值.（2）当己知函数解析式，乂给出函数值，欲求相应的白变量的值时，实质就是解方程.（3）当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式.6.2.2.函数的三种表示法及具优缺点1、解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种衣示法叫做解析法.解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来.2、列表法把自变量兀的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.如平方表、平方根表等.列表法一1=1了然，表格屮已有自变量的每一个值，不需计算就可以肓接杳出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格屮也不容易看出白变量与两数之间的对应规律.3、图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法.图彖法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示岀來，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值（或最小值）？最大（小）值是多少？函数值是随口变量增大而增大，述是随口变量的增大而减小等等，函数图彖是研究函数性质的有力工具.但是，由图彖观察只能得到近似的数量关系.6.3.函数的图象函数图象的概念：対于一个函数，如果把自变量兀和函数y的每対对应值分别作为点的横处标与纵处标，在朋标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象.由函数解析式画其图象的一般步骤：1、列表：列表给出自变量与函数的一•些对应值；2、描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；3、连线：按照自变量由小到人的顺序，把所描各点用平滑的1111线连结起来.函数图象上的点的坐标与其解析式Z间的关系：由函数图象的定义可知图象上任意一点P（x,y）中的兀，y是解析方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上.通常，判定点是否在函数图彖上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上.反之亦然.注意：两个函数图象的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解.即求交点坐标，就是解方程组.6.4.一次函数6.4.1.正比例函数和一次函数的概念一般的，如果y=kx+b（k,b是常数，比工0）,那么y叫做x的一次函数.这吋，y叫做x的正比例函数.特別的，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx{k为常数，k主一般情况下，一次函数和正比例函数中口变量的取值范围是全体实数.\n注意：若k=0.则y=b（b为常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数.正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数.用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示：6.42正比例函数和一次函数的图象和性质一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线.一次函数y=kx^b的图象，也称作总线y=kx+h.一次函数、正比例函数图象的主要特征：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,/?)的直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的直线.注意：点(0,b)是直线y=kx+b与y轴的交点.当方〉0时，此交点在y轴的正半轴上；当时，此交点在y轴的负半轴上；当b=O时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数.因为一次函数解析式y=kx+b中的b决定直线y=kx+b与y轴交点的位置，所以通常把b叫做总线y=kx+b在y轴上的截距.正比例函数的性质：-•般的，正比例函数y^kx^V列性质：(1)当R〉0时，图象经过第一、三象限，y随x的增人而增人；(2)当£〈0时，图彖经过第二、四彖限，y随兀的增大而减小.一次函数的性质：-•般的，一次函数y=kx±b有下列性质：(1)当比＞0吋，y随兀的增大而增大；(2)当RvO时，y随兀的增人而减小.6.4.3.两条直线的位置关系设肓线厶和乙的解析式为y=£“+也和y=k2x+b2,则它们的位置关系可由其系数确定：心工込O厶与厶相交；{打严冋平行;,O4与重合.[bl=b26.4.4.正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=/a(kH0)中的常数确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b)中的常数£和b•解这类问题的一般方法是待定系数法.先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程(组)求出耒知系数，从阳写出这个式子的方法叫做待定系数法.其中的耒知数系数也称为待定系数.如疋比例函数y=kx中的一次函数y=kx+b中的£和b,都是待确定的系数.用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①设岀含有待定系数的函数解析式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式.6.2.二次函数6.5.1.二次函数的概念一般的，如果y=+bx+c(a,b,c是常数,ghO),那么，y叫做兀的二次函数.注意：(1)任何一个二次函数的解析式,都可以化成y=ax顶点式：y=a(x-h)2+k(dHO),其中〃=--,k=―.2a4a两根式：)uq(x—西)(兀一兀2)(。工0),其屮坷宀是抛物线与兀轴交点的横坐标.如果没有交点，贝怀能这么表示.-\-bx+c{a,b,c是常数,。工0)的形式，因此,把y=ax2+bx+c(a,b,c是常数卫主0)叫做二次函数的一般式.(2)二次函数y二ax2+hx+c(aH0)与一元二次方程ax2+加+c=0(。H0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了.\n(1)二次函数y=加+c的结构特征是：等号右边是关于白变量兀的二次多项式.二次函数常用的表达式为：(1)一般式：y=ax2+bx+c(dH0).6.5.1.二次函数的性质和图象二次函数的图象是一条关于x=~—对称的Illi线，这条Illi线叫抛物线.2a抛物线的几个主耍特征：①冇开口方向；②冇对称轴；③冇顶点.画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴；(2)求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点；当抛物线与兀轴有两个交点时，描岀这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的対称点D.将这五个点按从左到右的顺序连接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图彖.当抛物线与兀轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D.由C、M、D三点町粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图象.二次函数y二处？+/zx+c的性质：函数二次函数y=ax2+bx+c（d",c是常数,aH0）a>0a<0iI7图象\11;/厂\\/L1pr(1)当d>0时：抛物线开口向上，并向上无限(1)当d〈o吋：抛物线开口向下，并向下无限延伸延仲(2)对称轴是兀—匕,顶点处标是(2)刘称轴疋X—,顶点处标是2a2azb4ac-b2、zb4ac-b2、2a4a2a4a⑶在对称轴的左侧，即当琢b时，y随兀(3)在对称轴的左侧，即当x〈b时，y随x2a2a性质hh的增大而减小;在对称轴的右侧，即当X>-的增大而增大；在对称轴的右侧，即当X>-2a2a时，y随x的增人而增人，简记左减右增时，y随x的增人而减小，简记左增右减(4)抛物线有最低点，当x-b时，y有最(4)抛物线有最高点，当兀-"时，y有最2a2a•亠4ac-b2■亠4ac—b，■nr*4rr、t—'Jg,皿小值—4a八s/大值—牝6.5.2.二次函数解析式的确定二次函数的解析式有三种形式：⑴一•般式：y=ax1+/?x+c(a,b,c是常数丰0)；(2)顶点式：y=a(jc-掰+k(a,fi,/c是常数,qhO)；(3)当抛物线y=ax2+hx+c与兀轴有交点吋，即对应二次方程+hx+c=O有实数根x,和吃存在吋,根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x,)(x-x2),二次函数y=ax2^bx+c可转化为两根式y=a(x-Xj)(x-x2).\n要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含冇三个待定系数,所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.当已知抛物线上任意三点吋，通常设函数解析式为•般式y=+bx+c,然后列出三元诙方程组求解.当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2^k求解.■'］已知抛物线1j%轴有交点丨L知道交点的横朋标吋，通常设函数解析式为两根式y=a(x-%))(x-兀?)求解•注意：求函数解析式的问题，如果是采用顶点式或两根式求解，那么求得的解析式，最后要化为一般式.6.5.1.二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当x=-—时，4ac-b2b如果自变量的取值范囤是那么，首先要看是否在自变量取值范用2ah4ac—b，0k<0图象i$VJJ■A0厂\n性质①兀的取值范围是xH0,y的取值范围是yH0②当R>0时，函数图彖的两个分支分别在第一、第三象限.在每个象限内，y随兀的增大而减小①X的取值范围是XH0,y的取值范围是y工0②当时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限.在每个象限内，y随兀的增大而增大\n注意:（1）描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”，也就是说，研究反比例函数的增减性，只能在每个分支所在的象限内讨论，尽管这两个分支的增减情况一样，但笼统的合在一起说就会出现矛盾，就会导致错误.（2）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数£的符号决定的.反过来，由双曲线所在位置或函数的增减性，也可以推断出R的符号.如，已知双曲线y=-在第二、四象限，则可知R〈o.6.6.1.反比例两数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法.由于在反比例函数y=-中，只冇一个待定系数，因此只需要一对对应无值或图象上-个点的处标，即可求出k的值，从而确定其解析式.6.64反比例函数屮比例系数的几何意义如图，过反比例函数y=-伙#0）图象上任一点P作兀轴、y轴的垂线PM、PN,则所得的矩形PMON的面积s=PM•PN=卜|•卜|=|xy|.k%/•xy=k.AS=\k\.即过双曲线上任意一点作X轴、矩形面积为|刈.7.统计初步（分类）7.1.平均数7.1.1.平均数的概念及计算方法平均数的概念：①平均数：一般的，如果有"个数坷，£元读作“X拔”・兀2出现氏次,…，耳出现£次（这里②加权平均数：如果〃个数中，禹出现/］次,/1+厶+…+九=〃），那么，根据平均数的定义,这料个数的平均数可以表示为兀=山办+心/2+•••+"/,这样求得的平均数元叫做加权平均数，其中…久叫做权.n平均数的计算方法：①定义法：当所给数据西，兀2,…兀比较分散时，一般选用定义公式：x=—（X,+x2+••・£）.n一②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：兀二丄（兀J+X2/2+•••+"£）,其中久+厶+…+几二".n③新数据法：当所给数据都在某一常数d的上下波动时，一般选用简化公式：x=x9+a.其中，常数。通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数，*严州-—心=兀2-。，…，心-—7二丄（兀［+门+・.・+兀；）是新数据的平均数（通常把州，兀2,•••£叫做原数据，Q，A，…心叫做新数据）.n