数列复习资料 12页

1数列知识网络：数列与正整数集关系等差数列等比数列特殊数列求和方法公式法倒序相加法错位相减法裂项相消法递推公式通项公式数列12\n等差数列及其性质一、基本概念：1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的，那么这个数列叫做等差数列。其中叫做公差，通常用表示。等差数列的定义表达式或。2、等差中项：任意两个数、有且只有一个等差中项，即。3、等差数列的通项公式：，。4、等差数列的前项和的公式：，。二、等差数列的性质：1、增减性：。2、通项特性：⑴、；概括为：。⑵、若、、、，且，则。⑶、项的序号成等差数列，相应的项也构成等差数列，即：。3、前项的特性：设是等差数列的前项和，则、、、构成的数列是数列；4、等差数列的判断与证明方法：*⑴、利用定义：（常数）；⑵、利用性质：⑶、利用通项公式：（、为常数）⑷、利用前项和的公式：（、为常数）考点一：等差数列中基本量的计算：例1、在等差数列中，为其前项和。⑴、已知，求.⑵、若，，求和⑶、已知，求.⑷、若，求⑸、若且，求⑹、若，求12\n考点二：等差数列的判断与证明：例2、已知数列的前项和，试判断所给数列是不是等差数列；（1）（2）考点三：等差数列性质的应用：例3、有两个数列和满足，求。针对练习：1.已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）A．138B．135C．95D．232.若等差数列的前5项和，且，则（A）12　　　　（B）13　　　　　（C）14　　　　（D）153.记等差数列的前项和为，若，，则（）A．16B．24C．36D．484.已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64B．100C．110D．1205.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）A．1BC.-2D36.已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差d＝（A）－2（B）－（C）（D）27.等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.1908.设数列的前n项和，则的值为（A）15(B)16(C)49（D）649.设等差数列的前项和为，若则.10.等差数列的前项和为，且则11.设等差数列的前n项和为,若,则.12\n三、计算题：12、已知等差数列{}中，求{}前n项和.w.w.w.k.s.5.u13、设是等差数列，，。⑴、求数列的通项公式；⑵、设的前项和，求的值。等比数列及其性质一、基本概念：1、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的都等于，那么这个数列叫做等差数列。其中叫做公比，通常用表示。等比数列的定义表达式或。2、等比中项：任意两个数、有两个等差中项，即和。3、等比数列的通项公式：，。4、：或变形为二、等比数列的性质：1、增减性：⑴、当或时，数列为递增数列；⑵、当或时，数列为递减数列；⑶、当时，数列为常数数列；⑷、当时，数列为摆动数列。2、通项特性：⑴、；概括为：。⑵、若、、、，且，则。特别地，当时，有。⑶、项的序号成等差数列，相应的项也构成等比数列，即：。3、前项的特性：设是等差数列的前项和，则、、、构成的数列是数列；4、等差数列的判断与证明方法：⑴、利用定义：（常数）；⑵、利用性质：经典例题：考点一：等比数列中基本量的计算：12\n例1、在等比数列中，为其前项和。（1）若，，则，；（2）、若，则（3）、若，，则；（4）、若，，则考点二：等比数列的判断与证明：例2、已知数列的前项和为，。⑴求；（2）求证数列是等比数列。习题课：等差数列与等比数列综合1、在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．3、等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列，（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求4、已知数列满足，.令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。12\n5、等比数列中，已知（I）求数列的通项公式；（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。数列的通项公式与求和的常用方法1、已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；2、已知数列满足，且。（1）求；（2）求数列的通项公式。3、已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an4、设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：5、已知，，求。12\n6、已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项7、已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；8、求数列前n项的和.9、已知数列{}的前项和为，且满足。（1）求数列{}的通项公式；（2）若，且，数列{}的前项和为，求；10、已知数列：①求证数列为等差数列，并求它的公差②设，求的和。11、已知点列在直线l：y=2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列{an}的公差为.（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：（C2+C3+…+Cn）；12\n重难点归纳1数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2数列{an}前n项和Sn与通项an的关系式an=3求通项常用方法①作新数列法作等差数列与等比数列②累差叠加法最基本形式是an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1③归纳、猜想法4数列前n项和常用求法①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)，12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)，13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn③裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项④错项相消法⑤并项求和法（数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法）经典例题：例1、已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有=an+1成立，求例2、设An为数列{an}的前n项和，An=(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式；(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和；Dn为数列{dn}的前n12\n项和，Tn=Br－Dn，求例3、设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项(1)写出数列{an}的前3项(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)(3)令bn=(n∈N*)，求(b1+b2+b3+…+bn－n)例4、数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由例5、设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)－man对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1(1)求证{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*)试问当m为何值时，成立？例6、已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145(1)求数列{bn}的通项bn；(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论例7、设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…)(1)求证数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn；(3)求和b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1等差数列、等比数列性质的灵活运用常规提型：12\n例1已知函数f(x)=(x<－2)(1)求f(x)的反函数f-－1(x);(2)设a1=1,=－f－-1(an)(n∈N*),求an;(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由例2设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=03,lg3=04)例3、设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由数列经典综合题分析的如下考试内容：⑴等差数列与等比数列综合题；⑵点列综合题；⑶数列与向量交汇的综合题；⑷数列与函数交汇的综合题；⑸数列与不等式交汇的综合题；⑹数列与概率统计的综合题；⑺分段数列综合题；⑻信息迁移题.一、等差数列与等比数列综合题例1、设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，….(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；(Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.二、点列综合题例2、已知点满足：，且已知（1）求过点的直线的方程；12\n（2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；（3）求点的极限位置。二、数列与向量交汇的综合题例3、=,=,（1）求证：为等差数列；(2)若,问是否存在,对于任意（），不等式成立.四、数列与函数交汇的综合题例4、已知函数（）。（Ⅰ）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；（II）在数列中，，（），求数列的通项公式。五、数列与不等式交汇的综合题例5、已知数列满足.(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;(2)若,求证：对任意都成立；(3)若,求证：对任意都成立.12\n六、数列与概率统计交汇的综合题例6、从原点出发的某质点M,按向量=(0,1)移动的概率为,按向量=(0,2)移动的概率为,设可达到点(0,n)的概率为Pn,求：(1).求P1和P2的值(2).求证:Pn+2=Pn+Pn+1.(3).求Pn的表达式.七、分段数列综合题例7、数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛｝的前n项和.12