精编高中数学总复习资料全书---空间向量在立体几何中的应用 64页

空间向量在立体几何中的应用目录一.空间直角坐标系31・单位正交基底32・空间直角坐标系33・点的坐标34・常见空间直角坐标系的建立3二、向量的直角坐标坯算4三、直线的方向向量5四、平面法向量5五、证明平行问题61・证明线线平行62・证明线面平行7\n3・证明面面平行8六、证明垂直问题91.证明线线垂直92・证明线面垂直103・证明面面垂直11七、夹角121・求线线夹角122.求线面夹角163・求面面夹角18八、距离241・求点点距离242・求点线距离253・求点面距离264・求线线距离285・求线面距离316・求面面距离32九、面积与体积321・面积322・体积33\n十.立体几何高考试题总汇33\n一、空间直角坐标系1.单位正交基底如果三个向量方，b,2不共面，那么所有空间向量所组成的的集合就是{p\p=xa+yb-^-zc,x,y,zg/?}，这个集合可以看作是由a,b,c生成的，从而把{a.b.c}称为空问的一个基底，a,b.2叫做基向量.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且模为1,则这个基底叫做单位正交基底,通常用［ij^k］表示.2.空间直角坐标系在空I'可选一点o和一个单位正交基底用,以点o为原点，分别以7,Z的方向为正方向建立三条数轴兀轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz,点0叫做原点，7,Z叫做坐标向塑，通过两条坐标轴的平而叫作坐标平而.如图，通常使用的是右手直角坐标系•兀轴、y轴、z轴又称为横轴、纵轴、竖轴.3.点的坐标在空间直角坐标系屮，对空间任一点A对应一个向ftOA,于是存在唯一的有序实数组,0A=xi+yj+zk,则有序实数组(兀,y,z)叫做点4在此空间直角坐标系中的坐标,其中X、八z分别叫做点A的横坐标、纵坐标、竖坐标.4.常见空间直角坐标系的建立①正方体如图所示，正方体ABCD-A'BCD的棱长为一般选择点D为原点，DA.DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则各点坐标为A(a,0,0),B(a,ci,0),C(0,a,0),\n£)(0,0,0),A‘(a,0,a),B\a,a,a),C‘(0,d,d),£)*(0,0,tz).亦iij选A点为原点.\n在长方体中建立空间直角坐标系与Z类似.①正四面体如图所示，正四面体A-BCD的棱长为—般选择4在口BCD上的射影为原点，OC、0D（或0B）、04所在直线分别为无轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则各点坐标为A（0,0,—tz）,362C（―—67,0,0）,Z）（———a,-a,0）.362②正四棱锥如图所示，正四棱锥P-ABCD的棱长为一般选择点P在平面ABCD的射影为原点，04（或OC）、OB（或OD）、OP所在直线分别为兀轴、y轴、z轴建立空I'可直角坐标系O-xyz,则各点坐标为,0,0），3（0,令,0）C（—务0,0）,D（0,--^,0）,P（0,0，¥d）.③正三棱柱如图所示，正三棱柱ABC-A'B'C'的底而边长为a,高为力，一般选择AC中点为原点，OC（或04）、OB、OE（E为O在AC’上的射影）所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则各点坐标为4（一丄a,0,0）,5（0,73,0）,C（丄a,0,0）,22A〔一丄a,0,h）,C〔丄a,0,/i）.22二、向量的直角坐标运算y设0=（4卫2卫3）‘b=（b“bjbJ,则d+/?=（d|+也卫2+仇，。3+〃3）；\na_b=（a、_a?_by込_bj；\n加=（加［，加2,加3）（久WR）axb=a•b=a血+砂2+。診3=|a|・|b|・cos；kd=(aR-a/Ji+(ab-a/Jj+(a®-jbjk；2Iaxb\=^(ayb:-azby)2+(azbx-axbz)2+{axby-aybx)2=\a\-\b\-sin；—―。—*2—*2—*—*0(AXB)?*B-(AB)2；a!ll)0ci、="[,o,=怂(久丘7?)或a//b<^—=—二鱼或axb=O；Sb2b3a±boab=a血+a2b2+a3b3=0.设A(兀]，x，Z])‘B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x^y],zi)=(x2-x].y2-y],z2-z]).这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.若片（西，开）出（兀2，为），人（兀3』3）三点共线则兀2力1=0-三、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图，在空间直角坐标系中，由A（兀|，x，zJ与B（x2,y2,z2）确定直线AB的方向向量是AB=(x2-xi,y2-yl,z2-zi).四、平面法向量如果d丄G,那么向量d叫做平面G的法向量.下面介绍法向量的求法.例1：已知正方体ABCD—A'B'C'D,点E、F、G分别是AB、BC、/LJ的中点.求平面EFG的法向量.\n设平而EFG法向量为«=(x,”z),ciHbub\b2b3(nlGE^nGE=^y-^z=O爲丄FE^.FE=lx--y=O22-令x=1取平面的一个法向量为71=(1,1,1)・一一-—-111※亦可以使用n=GExFE=(一一,一一,一一).444注意，一个平面的法向量有无数多条，而且均互相平行.五、证明平行问题1.证明线线平行证明两直线平行可用6z//S<=>cZj=Ab^a2=Ab2,a3=A/?3(/IgR)或F分别为AX'和CC‘的中点.求证:・・・ED'=\BF,例2：己知正方体ABCD-A'B'C'D1fE、BF//ED'.证明：不妨设正方体的边长为1,建立空间直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为3(1,1,0),F(0,l,»E(l,0,y),£>*(0,0,1).BF=(0丄1)-(1,1,0)=(-1,0丄)，22丽=(0,0,1)—(1,0丄)=(—1,0丄).22:.ED'HBF即BF//ED1.例3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.已知：直线04丄平面直线3D丄平面G,0、B为垂足.求证：OA//BD.Z为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设BD=(x,y,z).・・•BD丄a,\n:.BD丄二丽丄•:BD•i=(%,y,z)•(1,0,0)=x=0,丽J+)，,z).(0丄0)=y=0,.••丽=(0,0,z)二zZ,TO、B为不同两点,:.BD//OA,2.证明线血平行例4：如图已知四边形ABCD和ABEF是两个正方形，MN分别在其对角线FB、AC上，且FM=A7V.求证：MN//平面EBC.证明：在正方形ABCD和ABEF中，•:FM=AN,FB=AC,；・MN=MF+FA+AN=ABF+EB-^-AAC・••存在实数久使FM=AFB,AN=AACf=/l(BE+BA+AB+A5)+EB=2(fiE+XD)+EB=2(BE+BC)-BE=(/l-l)B£+/lBC,:.MN.BE.荒共面.・・・M电平面EBC,:.MN〃平面EBC.向量p与两个不共线的向量g、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题.本题用的就是向量法.★直线/的方向向量为a,平面Q的法向量为〃，Il/C'法向量为§=(x2,j2,z2),Z)B=(1,1,0),DC'=(0丄1),1兀丄丽应丄万歹n.•DB=x2+y2=0令为=1取平而BDC'的一个法向量为/?2=(―1丄—1)•\nTq=1•佝，・・・平面AB'D7/平面BDC'.六、证明垂直问题1•证明线线垂直证明两直线垂直可用d丄乙o°•乙=务耳+a2b2+a3b3=0.例7：已知在空间四边形OABC中，0A丄BC,丄4C.求证：0C丄证明：・・・0A丄BC,0B丄AC,・・・Q4BC=(),OBAC=0,OA(OC-OB)=0,OB(dC-O4)=0,：.OAOC=OAOB,OBOC=OBOA,：.OAOC-OBOC=0,.-.(04-08)OC=0,:.BAOC=0即OC丄AB.例8：已知在空间以边形OABC中，OB=OC,ZAOB=ZAOC二&.求证:0A丄BC.实际上，正方体的体对角线与任意一条与之异面的面对角线所成角均为直角.例10：己知正方体ABCD-A'ByC'D\M、N分别为BD和CC冲点.求证：MN是3D’和CC'的公垂线段.证明：不妨设正方体的边长为1,建立空间直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为\nN(0,l,*),B(1丄0),D(OQl)，C(0丄0),CXOJJ).厨=(-1,-1,1),CC‘=(0,0,1).•：MN~BD'=0,MN-CC'=0,:.MN丄BD,MN丄CC1即MN丄BD',MN丄CC\:.MN是它们的公垂线段.例11：在三棱柱ABC—A’B'C’屮，底面是正三角形，AA'丄底面ABC,4C丄求证：BC’丄AB'.证明：设底面边长为2,高为力，建立空间直角坐标系O-xyz,则相关各点坐标为A(V3,0,0),B(O,1,O),C(0,—1,0),4(希,0/),B'(0,l,〃)，C'(0,—l,〃)・^=(-73,1,A),A7C=(-V3,-1,-A),A^,-X7C=3-1-Zi2=0,h2=2.BC'=(0,—2,/0，丽=(一希AB*-FC=0+2-/?2=0.AAB'丄B'C即BC‘丄AB1.2.证明线血垂直例12：已知正方体ABCD—A'BCD,E、F分别为CC'和屮点.求证：A'F丄平面BDE.证明：不妨设正方体的边长为2,建立空I'可直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为ziX5(2,2,0),0(0,0,0),E(0,2,l),A*(2,0,2)\nA'F=(_1丄一2),DB=(2,2,0),£>£=(0,2,1).VA!F・DB=0,A^F・DE=0,又丽丄丽，丽丄旋，DBC\DE=D,：.AyF丄平面BDE.★直线l的方向向量为a,平面a的法向量为兀，口/Qa,若alln即a=加则。丄a.解法二:不妨设正方体的边长为2,建立空间直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为B⑵2,0),£>(0,0,0),£(0,2,1),A'(2,0,2),F(1丄0).设平而BDE法向量为«=（兀又z）,DB=(220),DE=(021)，齐丄丽71LDE=>n・DB=2x+2y=0n-DE=2y-}-z=0令y=1取平•面的一个法向量为n=（-1丄—2）••••心=(一1丄一2)=1":.A^F丄平面BDE.3.证明面面垂直平而G的法向量为耳，平而0的法向量为〃2,若厲丄比2即47=0则©丄0・例13：如图，底WiABCD是正方形，S4丄底面ABCD,且SA=AB,E是SC中点•求证：平面BDE丄平而ABCD.解：不妨设AB=BC=CD=DA=SA=\,建立空间直角坐标系A-xyz,则相关各点坐标为B(l,0,0),£)(0,1,0),A(0,0,0),S(0,0,I),硝鼎).设平面BDE法向量为q=（X,z）,BD=(—1丄0)，\n\nn-BD=-x^-y=0nVBEn・BE=——x+—y+_z=022"2令x=l取平面的一个法向量为q=（1丄0）.VSA丄底面ABCD,,45=(0,0,1),•••平WiABCD的一个法向量为a?2=(0,0,1).二平面BDE丄平面ABCD.七、夹角1.求线线夹角设0=（4，。2，。3），厶=（%“2，仇），0E（0°,90°］为一面直线所成角，则:—♦—♦—♦—♦—♦—♦a・b=|a|・|b|・cos:Ia丨•丨引Ja；+a；+a；Jb；例14：已知正方体ABCD—AECQ,A'B'E』DF'=——，则BO和DF所成角的余弦值是多少？解：不妨设正方体的边长为1,建立空间直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为3(1,1,0),0(1,2,1),叫,。），牛」）•\n・・・BE'和DF'所成角的余弦值是一.17例15：如图直三棱柱ABC-A^B'C'的底面UABC和口人'8'0是全等等腰直角三角形，ZAC〃二Z/VC'/r=90。，侧棱AA'垂直底面且AA'=BB'=CC\A47/BB7/CO,AC=BC=1,AAf=2,求BA'与CF所成角的余弦值.解：如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz,则相关各点坐标为*(0,1,2),C(0,0,0),B'(1,0,2).・・•BA'=(—1,1,2),CB'=(l,0,2),・••丽|=亦，|CB*|=V5,而丽=3,cos=V30lo"••忌与3所成角的余弦值是帶例16：正四面体A-BCD边长均为1,E、F分别为AD和BC中点，求异面直线4F和CE所成角.解：i§：AB=hfAC=c,AD=d,则XF=-0+c),CE=CA+AE=-d-c.22乔•圧=丄仏+2)•(丄=丄(丄乙・7—/2+丄22—才)=一丄222222\af\I7*"*o11-♦-♦-*2—(/?+c)~=J~(^+2b・c+c)=——AFCE2cosvAF，CE〉=~~=——\AF\-\CE\31/1^*2—•—•—2(—d-cY=J—J-d•c+c2异面直线4F和CE所成角是arccos—.3通过本题可以知道，选择基底多半选择既知道模乂知道夹角的•本题还可以运用公式法,现介绍如下.★异面直线AB和CD所成角公式：\ncos=|(|4C|2+|BD|2)—(|AD|2+|BC|2)|2\AB\^\CD\证明：将CD平移力单位到平面G内与AB交于0点，夹角为&,则有AD,2=OA2+OD,2-2OA-OD*•cos0①BC,2=OB2+0C,2-20B-0C*•cos6②AC'2=OA2+OC,2+20AOC-cos^③BD,2=OB2+OD,2+20B-ODf-cos&④（③+④）一（①+②）得,八(AC,2+B£>,2)-(A£>,2+BC,2)cos0=2ABCDcos=2\AB\^\CD\解法二：A连结FE、FD,有AF=FD=—,可得FE丄AD,2••.FE=¥，AC=\,AE=FC冷,AFYE电co"己丨（1）—（*）I9244_2一2•旦晅一亍222・••异面直线AF和CE所成角是arccos—.3解法三：c（¥，o,o）,A(0,0,-^-),B(—一二,0),\n362\n•••E、F分别为AD和BC中点,®罷％嚼却)•金皓宀爭7冷cos=AFCE_2\AF\-\CE\~32•:界血直线AF和CE所成角是arccos—.3需要注意，E、F坐标求法满足线段的定比分点公式.★设M[(X],y】,Z]),M2(x2,y2,z2),在MXM2上求一点M(兀,y,z)使它分M^M2所成的比为2,即些殳=2，从而兀=西+2勺，尸风+小,z=zi+/tz2当2=1时，MM1+21+21+2点M是线段M.M,的中点，则兀=乞竺，y=z=H^.|_2-22由中点公式，可得以您口儿可),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)为顶点的三角形重心G(X]+尢2+兀3)'1+>2+>3可+Z?+Z3333)•例17：如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M、7V分别是AB和SC的中点,SA=SB=SC,且ZASB=ZBSC=ZCSA=90°.求异面直线SM与BN所成角.解：不妨设SA=SB=SC=\,建立空间直角坐标系S-^z,则相关各点坐标为A(l，0,0),3(0丄0),C(OOl),5(0,0,0),“(0,0*.V5M=(-,丄,0),丽=(0,—1丄),222•:|SM|=BN=亦<丽，丽>=列匹3|SM|・|BN|5・••异面直线SM与BN所成角为arccos—.\n\n・・•丽二(_伉纟，0),丽=(0,—g"),/\BD\=yla2+b2,FMBDcos=■t1+牛如+/?2整理得,例1&已知矩形ABCD与ABEF全等，D-AB-E为直二面角，M为4B中点，FM与BD所成角为&，且cos&=”•求AB与BC的边长之比.9解：设AB=a,BC=b,，建立如图所示的空间直角坐标系A-小z,贝U相关各点坐标为F(b,0,0),M(0,-,0),2B(0,o,0),£>(0,0,b)・.AB_a■■———BCb21.求线面夹角如图，已知PA为平面Q的一条斜线，兀为平面Q的一个法向量，过P作平面。的垂线P0,连结04则ZP4O为斜线PA和平面Q所成的角，记为&易得冗'•‘•sin&=|sin(——)|2=|cos<0P,AP>\=|cos|=|cos|\n\n-PA\\n\\PA\例19：正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为a,高为求AC'与侧面ABB'A'所成的角.解:如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为A（-,0,0）,m—«,o）,A\-,0,y/2a）fC*（--,0,V2cz）.2o2?设平面ABBA1法向量为n=(x,y,z),_RAB=（--,—tz,O）,荷=（0,0,血）,22n.AB=-^+^-ay=0n•AA'=yflaz—0令y=l取平面的一个法向量为n=(能丄0)・/n=（希丄0）,AC'=（一a,0,yfla）,.*•\n\=2,|AC'\=y[3a,n-AC'=-羽a设0为AC'与侧面ABB'A'所成的角则,一I^AC'I1sin&=—―=—,川心2・・・AC'与侧面ABB'A1所成的角是30。.例20：正四面体A-BCD棱长为1,E为AD的中点.求CE与底面BCD所成角.解：以A点在DBCD上的射影为原点建立空间直角坐标系O-xyz,则相关各点坐标A（0,0，¥）,8（一¥冷,0）,C（¥，0,0）,D（-职,0），E（—臂,?设平面BCD法向量为n=(x,y,z),~BC=（—丄,0）,丽=（0,1,0）,22\n方丄丽n.BC=^x+ly=0n•BD=y=0令z=1取平面的一个法向量为n=(0,0,1)・・・・/；=（0,0,1）,隹=（—晋*乎）,设&为CE与底面BCD所成角则,SM外墮1=返，MIICEI3•e.CE与底面BCD所成角是arcsin——.3同样本题也可以选择基底来做.解法二：作AA'丄底面BCD于设AB=b,AC=c,AD=dfAA'与CE所成的角为&,TT则CE与底面BCD所成角为0=守一&.VAA'=—0+c+6?）,CE=CA+AE=—d—c.32・・・i丽匸莎市=半ICEl=ll（d-c）2=^-.（详见例16）sin0=sin（彳一&）二cos&二.二CE与底面BCD所成角是arcsin——.31.求面面夹角设斤、石分别是二面角两个半平面0、0的法向量,当法向量斤、石同时指向二面角内或二面角外时，二面角&的大小为龙-V斤,石〉;\n当法向量q、$一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角&的大小为例21：已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,P是AD的屮点.求二面角A-BD'-P的大小.证明：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为4(1,0,0),5(1,1,0),0*(0,0,1),P(丄,0,0).2设平面4BD法向量为q=(兀1，廿,可),q丄AB斤丄丽5AB=(0X0),BDf=(-l,-lJ),q•AB=y{=0nx•BD'=—x}—yx+z】=0令西=1取平面ABD1的一个法向量为平面BDP法向量为n2=(x29y2,z2),石丄两石丄丽1n2•PB=—x2+『2=0•BD'=—吃—旳+=0令％=1取平面BD'P的一个法向量为禺=(一2丄_1).・.・q=(1,0,1),n2=(-2,1,-1),|n}|=V2,In21=V6,n}-n2=—3—一■一A?cos=上色=,且二面角A一BD-P为锐角,-1叩血2丨2・・・二面角A-BD-P的大小为30。.例22：底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD,ZABC=90°,?SA丄底面他6=求平面S\nSCD与平面SAB所成的二面角的正切值.解:如图所示，建立空间直角坐标系A-^z,则相关各点坐标为5(0,0,1),A(0,0,0),8(0,1,0),C(l,l,0),D(-,0,0)2设平面SAB法向量为q=(占，x，Z]),VAD丄$4,AD丄AB且SA^BA=A,・・・取平面SAB的一个法向量斤二丽=(1,0,0)・设平面SCD法向量为n2=(x2.y2,z2),辰G，°t，m，n2丄SDn2丄SCn2SD=^x2-z2=0・SC=x2-^-y2-z2=0令z2=l取平面SCD的一个法向量为可=(2,-1,1)・*.*n}=(1,0,0),n2=(2,—1,1),••I|—19||=yj6、q•=2,cosv兀，可＞=F2=—,且平面SCD与平面SAB所成的二面角为锐角,|q|•|吗|3平面SCD与平面S0斤成的二面角的余弦值为孕:.平面SCD与平面SAB所成的二面角的正切值为—2例23：过正方形ABCD的顶点A引SA丄平面ABCD,并使平面SBC、SCD与平面ABCD成45。角•求二面角B—SC—D的大小.解：不妨设AB=BC=CD=DA=\fSA=hf建立空间直角坐标系A-xyz，则相关各点坐标为A(0,0,0),3(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),S(O,O,/z)设平面ABCD法向量为n}=(占，刃，Z]),AB=(1,0,0),2=(0丄0),\n叫丄ABn}丄ADn}-AB=x,=0n}-AD=)[=0令Z|=1取平面ABCD的一个法向量为q=(0,0,1).设平面SCD法向量为n2=(x2,y2,z2),SC=(l,l,-/i),CD=(-1,0,0),丄SCJ-SCn2丄CD：2-SC=x2+y2一hz2=0n2-CD=x2=0令z2=l取平而SCD的一个法向量为n2=(0,/?,l).*.*n,=(0,0,1),n2=(0,/?,l),/?=1,5(0,0,1),岛=(0,1,1).设平面BSC法向量为®=(x3,y3,z3),丽=(—1,0,1),SC=(1,1,-1),叶BS=—x3+Z3=0鸟・SC=禺+『3_Z3=0令Z3=1取平面BSC的一个法向量为n.=(1,0,1).Tn2=(0,1,1),n3=(1,0,1),••I7^2|="^2,IPI3|—■^2,AZ?"禺—1»n-y-n,1cos==7^―=—,"IgIT佝丨2•・•二而角B-SC-D的为钝角，・・・二而角B-SC-D的大小为120°.例24：已知正方体ABCD-A'B'C'D',E是CC'中点.求平面AB'E和底面ABCD\n所成角的余弦值.解：不妨设正方体的边长为1,建立空间直角坐标系D-xyz，则相关各点坐标为4(1,0,0),B'(1,1,1),£(0,1,-),B(l,l,0)・2设平面AB'E法向量为q=(x{,,Z[),丽=(0丄1),丽=(1,0,丄)，2斤丄丽r\-AB'=y^zx=0V一=>11，q丄EB'q•EB'二旺+_=02令召=2取平面AB'E的一个法向量为叫=(-1,-2,2).设平面ABCD法向量为n2=(x2,y2,z2),•；BB'丄BC,丄AB且ABC\BC=B,:.BB'丄底面ABCD,又丽=(0,0,1),・・・平面ABCD的一个法向量为石二(0,0,1).*.*Hj=(-1,-2,2),n2=(0,0,1),「・丨q1=3,|/?21=1,q•“2=2,cos=H且平面AB'E和底面ABCD所成角为锐角,Iql•启丨32・・・平面AB'E和底面ABCD所成角的余弦值为一.3★公式法求解二面角：射影面积公式cos^=—.S解法二：解：连结AC.BB'丄底面ABCD,EC丄底面ABCD,・・・□ABC是口AB'E在底面ABCD上的射影.设平面AB'E和底面ABCD所成的角为&，则cos0=山：.S”\n不妨设正方体的边长为1,建立空间直角坐标系D-xyz，则相关各点坐标为\nA(1,O,O),B'(l,l,l),E(O,1,-)・VIF=(0,1,1),丽=(1,0丄)，2・・・l丽l=VL|丽|=£,丽•丽斗SAfi.P=-J(AB'xEB^=-JAB'2~EB'2-(AB1-EB')2=-,224"弓BC|・|AB|・sinZACB斗1・11斗V2•••cos0=山匚=月•平面AB1E和底面ABCD所成角为锐角,V37ABE丿2•••平面AB1和底面ABCD所成角的余弦值为一•3★三角形而积用向量表示就是上题屮的S=-\vxu\=-7v2w2-(v-w)2.证明过程如下：设三角形两边向暈为―U,・・・cosv阳〉=亠「Iv|-|w|v|-|w|-sin=•同Jl-(上G1卜2-2-A/vu2v-(v-w)2C★三面角余眩公式设O—ABC为一个三面角，ZAOB=丫,ZAOC=a,ZBOC=[3,二面角A-OC-B的平面角为&,则有cosy=coscos0+sincrsin0cos0.当0、0中有一个为钝角(或直角)时，公式也照样成立。例25：匕知正三棱锥的侧面与底面所成角为任两侧面夹角为〃，求证：3cos?q+2cos0=1.证明：如图所示，设正三棱锥O—ABC,O-AC-B的平面角为a,A-OB-C的平面角为0,ZOCA=ZOBA=ZOBC=6.\n由公式得：\ncos0=cos6cos60°+sin0sin60°cosa:cos60°=cos&cos0+sin&sin&cos0.整理得3cos?q+2cos0=1.八、距离1.求点点距离设A（兀］,x，Z］）‘B（x2,y2,z2）,则IAB|=VAB-AB=J（兀2—石）？+（『2一必）2+（%—Z|）2'即c!a,b=J（X2-曲）2+（力一）2+G—Z$,英中〃几3表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式.例26：已知正方体ABCD-A'BT^D'.M、N分别为BD'和CC'中点且MN是BZT和CC1的公垂线段•求直线BD与CC'间的距离.角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为叫，呆）’叫）.imni=j（o-y+（i-y+（i-1）2证明：不妨设正方体的边长为1,建立空间直&:.直线BD与CC‘间的距离是—.2例27：已知平行六而体ABCD—AEC'D,AB=49AD=3,44=5,ZBAD=90°,ZBAA1=ZDAA'=60°,求体对角线AC'长.\n解:・・•疋=而+而+斎,|AC'\=J（殛+丽+莎2=742+32+52+2（0+10+7.5）=V85B・••体对角线AC'长为届.\n例28：己知正方形ABCD的边长是13,平面ABCD外的一点P到正方形各顶点的距离都为13,M、W分别是PA、BD1.的点，且=BN:ND=5:8.求线段MW的长.C标系O-xyz,则相关各点坐标为1313A（厉,0,0）,B（0厉0）,叫易0）,P（0,0字.解：如图所示，以DB中点0为原点建立空I'可直角坐•••PM:MA=BN:ND=5:S,_513N（0,血'血,0）,1+-8淀呼+。・・・M（—,（）,2「）,1+-8即M（咅,0,4血），N（0,令,0）,W=（--^,A9_4V2）.——/259•••|MN|=J—+-+16-2=7,V22・•・线段MN的长为7.★异面直线上两点距离公式EF=\ld2+nr+zi2±2mncos0其中，d是异面直线Q和b的距离，。为。和b所成的角，加、料分别是异而直线Q、b上的点£、F到公垂线曲‘与a、b的交点A、A'的距离。如果点F（或E）在点A（或A’）的另一侧时，则公式中取“+”号.例29：如图，在直二面角a-l-/3，点A、Bel,ACua且AC丄/,BDu0且BD丄I,若AC=6fAB=8,BD=24,求线段CD的长.解：CD=JaB2+CA2+BD2+2CA-BD-cos90°,36+576+64+0=26.:.CD=26.\n1.求点线距离已知一条直线上两点兀］（0|,。2，口3），兀2（"1'勺，勺），直线外一点为XO（C|,C2,C3）,则有\n点如与直线兀內的距离〃=1（吃—壬）＞＜（壬一兀）|,其屮向量积有公式—•—*°—*2—*2—―=(AxB)2=AB-(AB)2.此公式亦可记为〃=|西一兀oFl兀2—XlI2一［（西一兀0）•（兀2一斗）F例30：HROABC的直角顶点C作线段CD垂直于这个三角形所在平面G,已知CA=3,CB=4,CD=1,求点D到A3的距离.解：如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz,则相关各点处标为0(0,0,1),4(3,0,0),B(0,4,0).2.6,d=1(-3,4,0)x(3,0,-1)1=136~1(-3,4,0)|~1・••点D到AB的距离是2.6.例31：如图，PA垂直矩形ABCD所在平面，且AB=3,AD=4,PA=-^•求P点到BD的距离及0PBD的面积5解：如图所示，建立空I'可直角坐标系A-xyz,则相关各点坐标为P(0,0,-x/2T),3(0,3,0),£>(4,0,0).5丽=(4,—3,0),p5=(4,0,--V21)，,\BDxPD\30/d==—=6,\BD\5・・・P点到3D的距离为6.Sprd=^\BDxPD\=15（平方单位）,・・・□PBD的面积为15平方单位.1.求点面距离如图，A为平面Q任一点，已知PA为平面Q的一条斜线，〃为平面Q的一个法向量,过P作平面G的垂线P0,连结Q4则ZPAO为斜线PA和平面G所成的角，记为&易得|PO|=|pX|-sin0=\~PA\-\cos<~PA,n>\\n\PA-n\\PA\-\n\\PA-n\即点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.例32：已知正方体ABCD-A'B'C'D'.求点B到平面ACB'的距离.解：不妨设正方体的边长为1,建立空间直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为A(1,O,O),夕(1,1,1),C(O,1,O),B(1,1,O).设平面ACB'法向量为n=(x,y,z),AC=(—1,1,0),AB'=(0,l,l),t?丄ACnlAB'=>AC=-x+y=0n-AB'二y+z=0令z=l取平面的一个法向量为斤=(_1厂1,1)•/•|n|=V3,BA-n=\,丨/?|・••点B到平面ACB'的距离为—.3例33：如图，已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、的屮点，GC丄平面ABCD，且GC=2,求点B到平面EFG的距离.解：如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz,则相关各点坐标为B(4,0,0),£(4,2,0),F(2,4,0),G(0,0,2).zGc设平面EFG法向量为n=(x,y,z),EF=(—2,2,0),EG=(-4,-2,2),\n\nm丄丽厉丄而/?•EF-一2兀+2y=0“•EG=-4x-2y+2z=0令x=l取平血的一个法向量为n=(1丄3).VBE=(0,2,0),：=(1,1,3),|n\=VTT,BE•n=2,,\~BESi\2VHCl=—-—=,Ml11•••点B到平面EFG的距离为晋.1.求线线距离和两条异而直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线•公垂线和两条异面直线都相交，公垂线上两个交点间的部分叫做异面直线的公垂线段.例34：已知正方体ABCD-A'B'C'D'f棱长为1•求直线AB'与AC'的距离.解：如图所示，建立空间直角坐标系D-xy^z,则相关各点坐标为4(1,0,0),B'(1,1,1),A〔1,0,1),C'(0,1,1).设点MeAB\点、NwAC,且有OM=OA^-AAB\则顾二丽-丽二页+-刃一2丽,A'C'=(—1,1,0),AB'=(0,l,l),顾=(1,0,1)-(1,0,0)+0)-(0,入2)=入1-2)‘rMNLAB'JMN・AB'=“一2+1—2=0I3MNLAT'lw-AvCr,=x/+//-A=0113\n・・•此时MN就是AB'与A'C*公垂线段,・・・直线AB'与A'C'的距离为a/33★求异面直线间的距离也可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点，则向量在〃上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异而直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.b直线b的距离而⑷.1^11^1解法二如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz,则相关各点坐标为4（1,0,0）,歹（1丄1）,A'（1,0,1）,0（0丄1）.设异面直线4C'与人歹的公垂线的方向向量n=（兀”z）,AC=（—1丄0）,AB'=（0丄1）,〃丄AB1J〃・AB'=y+z=0:丄取兀=1则界血直线A'C与AB'的公垂线的方向向量〃=（1丄—1）・VA4f=（0,0,1）,〃=（1丄一1）,1^1=73,：.d•••直线阿与化'的距离为*\n★两条异面直线间的距离公式（实质与解法二相同）:已知两条异面直线，其中一条上有两点召、x2,另外一条直线上有另外两点兀3、吗则有乙=|(x3-xI)-[(x2-x1)x(x4-^)]||（兀2—兀］）X（兀4一兀3）1解法三:如图所示，建立空I'可直角坐标系D-xyz，则相关各点坐标为4(1,0,0),B*(1,1,1),A*(1,0,1),C*(0,1,1).AC=(_l,l,0),個=(0,1,1),〃_|顽(X^x丽)|_6-\A7U'xAB,\~3•・・・直线AB’与的距离为＜3.3★极值法求异面直线间的距离已知a、b为异面直线，那么在a上取一点P，作PQ垂直相交b于点Q,设一变量x,把PQ表示为关于兀的函数，PQ的最小值即为异面直线间的距离.解法四：収AB'任一点P作PQ垂直相交于点Q,作PF垂直相交川歹于点F,连结FQ,所以FQ丄A'C\设PF二兀，则FQ=1-x・••叭当x=-时，PQ有最小值为晅，33所以直线AB’与4C的距离为＜33例35：正四面体A-BCD边长均为1.求异而直线AB与CD的距离.\n\nA(0,0，¥),B(半冷,0)斤丄AB7丄05«=(1,V3,-V2),解:以4在UBCD上的射影为原点建立空间直角坐标系0-xyz,则相关各点坐标为C(-^-,0,0),£>(-^^,£,0)•设异面直线A'C'与AB'的公垂线的方向向量n=(x,y,z),-=<444-孔(-纠皿-—>/31V6_斤•AB=x——yz=0623n-CD=—y=022取兀=1则异面直线4C'与AB'的公垂线的方向向量«=(1,V3,-a/2).17?|=Vb,ACh=V3,.._|XC-h|_>/2••Cl=—-—=—,Ml2&:.异面直线AB与CD的距离为—.21.求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.例36：如图，四棱锥P-ABCD的底而ABCD是菱形，AB=4,ZABC=60°,PA丄平面ABCD,且PA=4,£是PA的中点.求PC与平面BED间的距离.间直角坐标系，则F为CQ中点，则相关各点坐标为\n设平面BED法向量为n=（x,y,z）,B(4,0,0),D(-2,2^3,0),E(0,0,2),P(0,0,4),C(2,2^3,0).E丄旋[nlDEBE=(-4,0,2),DE=(2,-2^3,2),n•BE=-4x+2z=0n-DE-2x-2\/3y4-2z=0令z=2取平面的一个法向量为n=（1,巧,2）・VPC=(2,2>/3,-4)Mn-PC=2+6-8=0,・•・PC//平面BED,:.PC到平面BED的距离就是P到平面BED的距离.VEP=(0,0,2),n=(l,V3,2),|n\=2V2,EP/i=4,\EP^n\_4Ml_Jl+3+4・・・PC与平面BED间的距离为血.1.求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的氏度叫做两个平行平面间的距离.平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.九、面积与体积1.面积①三角形在DABC+设莊二方，AC=b,则UABC面积为押・|肝_（方.初2=当张引.22②平行四边形在UABCD中设AB=a,AC=bf则0ABCD面积为Ji押・|肝—（方・初2二|方><引.③棱柱直棱柱侧而积：S=ch（c：底面周长；h：高）斜棱柱侧面积：S=c'l（c‘：直截面［垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截而］周长;/：侧棱长）\n④棱锥正棱锥的侧面积：S二丄ch'=-^-（c为底面周长；〃为斜高；&为侧面与底面所2cos&成的二面角）2.体积①棱柱直棱柱体积：V=Sh（S：底面积；力：高）斜棱柱体积：V=S'l（S：直截面面积；侧棱长）平行六面体的体积：三个向量的混合积是一个数量，其大小等于这三个向量组成平行六面体的体积,即V=|AB\ACxAD)\.②棱锥四面体的体积冷平行六面体体积冷SIC底面税从高）.十、2005年立体几何高考试题总汇1.全国卷I己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABHDC,ZDAB=90°,PA丄底面ABCD,且PA=AD=DC=-AB=1,M是PB的中点.2（I）证明面PAD丄面PCD；（II）求AC与PB所成的角；（III）求而4MC与面BMC所成的二面角的大小.因为P4丄AD,P4丄AB,AD丄A3,以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角处标系，则相关各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1丄0),0(1,0,0),P(0,0,l),M(0,l丄).2(I)证明：证法一：设平面PAD的法向量为q=(西，必，召)，=(0,0,1),"=(1,0,—1),Jq丄APq•AP=z(=0x,=0[斤丄而[n^~PD=xx-zx=0[z|=0，\n令才=1取平面PAD的一个法向量为斤=(0丄0).\n设平面PCD的法向量为$=（兀2，丿2，勺），CP=(—1,—1,1),"=(1,0,—1),石丄而n2-CP=-x2一y2+z2=0z?2•PD=x2-z2=0令兀2=1取平面PCD的一个法向量为n2=（1,0,1）・・••面PAD丄面PCD.证法二：・・・4P=(0,0,1),DC=(0,1,0),:.APDC=0,AP丄DC.由题设可知AD丄DC,且AP与AD是平fflPAD内两条相交直线，由此得DC丄面PAD.又DC在面PCD上,故面PAD丄面PCD.(II)解：VAC=(1,1,0),丙=(0,2,—1),|AC|=V2,|PB|=V5,AC~PB=2,hi此得AC与PB所成的角为arccos(III)解:设平面AMC的法向量为斤3=（兀3丿3忆3），AM=(0,1-),MC=(-hO,-)22y3=~~z3令Z3二2取平面AMC的一个法向量为n3=（1,一1，2）.设平面BMC的法向量为q=（竝,儿，Zq），\n丽=（0,-1丄），MC=（-1,O,-）221n.LBMn4BM=-y4+-z4=0一一詔1=宓丄MCI^.mc=-X4+1Z4=o令z4=2取平面BMC的一个法向量为石=(1,1,2)・*.*|/?31=V6,|n41=V6,佝•/?4=4,・・・COSV石，石〉=上化=2肓，乂有面W与而就C所成的二面角为钝角,・・・面AMC与面BMC所成的二面角的大小为PDarccos(——).32.全国卷II如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，PD丄底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的屮点.(I)求证：EF丄平面PAB；(II)设AB=41BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.不妨设DA=\tDE=ci,以D点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则相关各点坐标为4(0丄0),B(2a,l,0),C(2a,0,0),D(0,0,0),E(a,0,0),F(a,丄丄),P(0,0,l).22(I)证明：设平面PAB的法向量为q=(占」日)，yAP=（0，一1,1），PB=（2q丄一1）,Iq丄AP斤丄丙q-AP=-y}+Z]=0[/?!-PB-2axx+x—可=0令y1=l取平面PAB的一个法向量为q=(0丄1)•（II）解:\n由AB=yf2BCna=—2设平面AEF的法向量为①=(兀2必，％)，心拿5g舅)'弘丄AE石丄丽V2n2•AE=—x2-y2=02n11彼•EF=—y7H—z7=0-2-2-=―•\/2z7力=-Z2\n令z2=l取平面AEF的一个法向量为兀=(―1,1)・石=(_Q_1,1),AC=(V2,-l,0),||=2,|AC\=>/3,Z72•AC——1.设AC与平面AEF所成的角为&,且，则sin妇魯＜云疋*册詰冲由此得AC与平面AEF所成的角的大小为arcsin—.63.全国卷III如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形,侧面M4D是正三角形，平面丄底面ABCD.(I)证明AB丄平面VAD；(II)求面与面所成的二面角大小.不妨设DA=1,以D点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则相关各点坐标为c1RA(lO0),B(1丄0),C(0丄0),D(0,0,0),V(-,0?—).22(I)证明:设平面的法向量为q=O]，x，Z]),DA=(1,0,0),DB\n斤丄而斤丄丽q・DA=x,=0令X=1取平面VAD的一个法向量为H,=(0,1,0).TAB=(0」,0)=l・q・・・AB丄平面M4D.(II)解：设平面”B的法向量为石=(吃,y2，z2)，5v=（-,o,—）,丽=（i,i,o）,>2=一兀222n.n2丄DB2丄DV一n2•AE=—x2+—z2=022%•EF=4-=0令兀2=1取平面VDB的一个法向量为石=(1,-1,-—).-3\n_•一/yr・・cosV斤＞=|亦.忆|=一厂’又有而VAD-与面VDB所成的一面角为锐角，Ml・・・fflVAD与面VDB所成的二面角大小为arccos^—.74.北京卷如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=3,BC=4,AB=5,AA'=4,点£)是AB的中点.(I)求证AC丄BC\(II)求证AC7/平面CDB'；(III)求异而直线AC'与XC所成角的余弦值.・・•直三棱柱ABC-A'B'C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,・・・AC、BC、CC‘两两垂直.如图，以C为坐标原点，直线C4、CB、CC'分别为兀轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为\nA(3,0,0),3(040),C(0,0,0),B(0,4,4),C'(0,0,4),D(-,2,0).2(I)证明：VC4=(3,0,0),处=(0,-4,4),CABC^O,:.AC丄BC‘.(II)证明：设平面CDB'的法向量为n=(x,j,z),市=(0,4,4),CD=(-,2,0),2nlCB1方丄CDn•CB1=4y+4z=0=^>\3n/?•CD=—x+2y=04x=——3z=-y令y=3取平而CDB1的一个法向量为n=(―4,3,-3)•(-3,0,4),:.AC,-n=Q.:.AC7/平面CDB'.(Ill)解：VAC*1=(-3,0,4),南=(0,4,4),・・・|疋|=5,\CB'\=4a/2,AC^CB':.cos=_—二|ACIICB'I2>/2■5•••异面直线所成角的余弦值为琴5.上海卷已知长方体ABCD-A'BCD屮，M、N分别是和BC的中点，AB=4,AD=2,B'D与平面ABCD所成角的大小为60°•求异面直线B'D与MTV所成角的大小.B解：设BB'=h,以D点为原点，建立如图所示的空间直角\n坐标系，则相关各点坐标为\nB(2,4,0),B'(2,4,h),D(0,0,0),M(2,4,-),N(l,4,0).2显然丽是平面ABCD一个法向量.・・•丽=(0,0,/z),而=(2,4,/z),:.\BB'\=hf|而|二丁20+/『,丽•而=胪,sin60°=|cos<~BB\~DB'>\=旦'\BB'\\DB'\_h2_V3加20+胪2・・・/?=2715・VW=(l,0,V15),^=(2,4,2715),.\|W|=4,\DB'\=4^5,丽•而=32,/•cos=NM・DB^\NM\-\DB'\2^5"T~2•••异而直线B'D与MN所成角的大小为arccos亠.56.湖南卷如图1,已知ABCD是上、下底分别为2和6,高为、疗的等腰梯形.将它沿对称轴00’折成直二而角，如图2.(I)证明AC丄B0'；(II)求二面角0—AC—O'的大小.由题设知0A丄00',03丄00',所以ZAOB是所折成的直二而角的平面角，即04丄0B.故可以0为原点，0A.0B、00’所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空\n\n间直角坐标系，则相关各点坐标为A(3,0,0),3(0,3,0),C(0,M),0(0,0“).(I)证明：AC=(-3,1,73),B0=(O,-3,Q,•：ACBO'=0,:.AC丄BOl(II)解：•：OCBO'=0,:.OC丄BO'.又VAC丄30',且OCAAC=C,・・・BO'丄平面OAC,・・・而;=(0,-3,能)是平面OAC的一个法向量.设平面O'AC的法向量为n=(x,y,z),AC=(-3,1,73),0^=(0,1,0),nA.AC_A—〃丄O'Crt-AC=-3x+y+V5z=0nO'C=y=0令z=3取平面O'AC的一个法向量为n=(V3,0,3).・.・：=(希,0,3),丽=(0,—3,希)，|n\=2>/3,|^|=2>/3,方•丽=3的,cos=V34,又有面O'AC与面OAC所成的二面角为锐角,C・・・二面角0—AC—O的大小为arccos—.47.湖北卷(理)如图，在四棱锥P-ABCD^t底面ABCD为矩形，侧棱P4丄底面ABCD,AB=羽,BC=1,PA=2,E为PD中点.(I)求直线AC与PB所成角的余弦值；(II)在侧面内找一点N,使WE丄面PAC.并求出N点到AB和AP的距离.\n因为阳丄底面ABCD且底面ABCD为矩形故可建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点坐标为A(0,0,0),C(V3,1,O),mO,2),3(巧,0,0),E(O,-,1).2(I)解：VAC=(>/3,1,O),PB=(V3,0,-2),|AC|=2,|PB|=V7,ACPB=3,cos=ACPBlACI-l^l3a/7IT•••直线心PB所成角的余弦值为潜(II)解:由于"点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),C则NE=(-x9-,l-z),由NE丄面PAC可得,2NEA.AP旋•乔=2(l-z)=0'<—.—NEIACNE・AC=—体+*=0丽=(0,0,2),AC=(>/3丄0),兀=——6，Z=1即N点坐标为(—,0,1),从而N点到AB和AP的距离分别为1,6V368.湖北卷(文)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC'F所截而得到的，其中AB=4,BC=2,CC*=3,BE=1.(I)求BF的长；(II)求点C到平面AEC'F的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点坐标为4(2,0,0),E(2,4,l),C'(0,4,3),5(2,4,0),C(0,4,0)・设F(0,0,z)・(I)解：•・・AEC'F为平行四边形，AF=EC\(-2,0,z)=(-2,0,2),\n\nAz=2,F(0,0,2),BF=(-2,-4,2),•••I丽|=2拆，即BF的长为2^6.(II)解：设平面AEC'F的法向量为n=(x,y,z),AF=(-2,0,2),£F=(-2,-4J),mIAF—nlEFJn•AF=-2x+2z=0n•EF=-2x_4y+z=0x=z1=——z4一1令z=l取平面AEC'F的一个法向量为h=(1，一一,1).4VC4=(2,-4,0),n=(l,--,l),4・・・|和=上33,C4-/?=3.4设C点在平面AECT±的射影为0,则心丽颐卯㈤•詈脊晋洛乐・・・点C到平面AEC'F的距离为—V33・118.山东卷如图，已知长方体ABCD—AECD,AB=2AA'=1,直线BD与平面AA'B'B所成的角为30°,AE垂直BD于E,F为4B'屮点.(I)求异面直线AE与BF所成的角；(II)求证平面BDF与平面AA'B所成二面角(锐角)的大小；(III)求点A到平面BDF的距离.在长方体ABCD—ARC'D中，以AB所在直线为无轴，AD所在直线为y轴，人4‘所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则相关各点坐标为A(0,0,0),5(2,0,0),F(1,O,1),C又AD丄平面AA'B'B,从而3D与平面AA'B'B所成的角即为ZDBA=30°,\nWAE丄BD,AEi,4丁从而易得E(-,—,0),D(0,NI,0).223(I)解：*•*AE—(—,——,0),BF—(-1,0,1),22.••应|=1,|BF|=V2,AEBF=-i,・3TFor、一AE・BF_>/2••cosvAE^BF>=.—.=\AE\-\BF\4・・・异面直线AE与BF所成的角为arccos^(II)解：设平面AA'B的法向量为q=(兀］,牙,可),VAD丄平面AA'B'B,A5=(0,^,0),3=—-AD=(0,l,0)2BF=(-1,0,1),y2=V3^2Z2=^2令禺=1収平面BDF的一个法向量为石=(1,73,1).n2丄BF设平面BDF的法向量为n2=(x2,y2,z2),丽(一2,芈0),、:q=(0,1,0),n2=(1,V3,l),・；Iq|=1,In21=V5,q•n2=V3,g吠,4品誓，且平面町与平面恥所成二面角为锐角,\n，.证平面BDF与平面M'B所成二面角（锐角）的大小为arccos半(Ill)解:•・•而=(2,0,0),^=(1,73,1),/•I®|=Vs,AB•心=2•设A点在平面BDF上的射影为0,则|丽石I\AB^l2y/5d=|AO1=1ABI•Icos|=|AB\-一一■|AB|.|/?2|2R:.点A到平面BDF的距离为亠.59.浙江卷（理）如图，在三棱锥P-ABC中，AB丄BC,AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP丄底面ABC.（I）求证：0£＞〃平面PAB；（II）当&=丄时，求直线PA与平面P3C所成角的大2（III）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为QPBC的重心？设PA=\f以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，0P所在直线为z轴建立空间直角处标系如图，则相关各点能标为pypypyA(—£,0,0)B(0,—ky0),C(0)9222D(—#k,0,4\--k2-y—)，0(0,0,0).\n21CP(0,0,卜护),(I)解:设平面PAB的法向量为q=（占」日），轧（些,o,*P）,乔（一学¥，0）,\n丄PAq丄AB=0=>=_/nr.2Iq>2令z,=1取平面PAB的一个法向量为斤=c,7—,1).•••0£>〃平面PAB.(II)解：由k丄相关各点坐标为2人梓,0,0),B(O,go),C(—芈,0,0),P(0,0,R)・444V8设平面PBC的法向量为斤2=（兀2』2，兮），f),就=(_当，_丰,0),844可丄丙%PB=¥y2_£z2=04141n^BC=-—x1-—yo=0-4-4儿=>x2=-V7z2y2=V722令z2=l取平面PBC的一个法向量为兀=（-V7,a/7,1）・—)»〃2=(-|PA|=1,|n21=V15,PA•n2=•••smgc°s＜云顾半芒搞厂导.•••直线〃与平面咖所成角的大小为如警.(III)解:\n设F为DPBC的重心，则由重心公式知F（-—k,—k,66JPB=(0,当）且丽.西=0,・・・£=1（负值舍去）.