高中数学寒假专题复习资料第二讲平面向量新人教A版必修4 10页

第二讲、平面向量知识回顾理淸教材I要点梳理一、向量的基本概念1,向量的定义：既有大小又有方向的量，叫做向量。2,向量的表示：1）字母表示：a,AB}2）儿何表示：可以用有向线段表示向量，但有向线段不是向量。3,向量的基本概念1）模：向量的大小，也就是向量的长度，也称为模，记作R2）零向量：长度为0的向量3）单位向量：长度为1的向量共线向量：方向相同或相反的非零向量为共线向量，也称平行向量，记作方〃为。相等向量：反度相等且方向相同的向量称为相等向量。相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量。二、平面的线性运算向量的加法1）加法法则（2）三角形法则：首尾相连（1）平行四边形法则：共起点AB+BC=ACBAB-^-AC=AD2)相关结论(1)a-bb=Aa（2为唯一确定的实数）4）三点共线问题：若A、B、C三点共线o而〃疋（或AB//BC）推论：若OA=n{OB+nOC,则A、B、C三点共线om4-7?=1三、平面向量基本定理及坐标表示1，平血向量基本定理1）平面向量基本定理：如果石，&是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量方，有且只有一对实数入"，使方=久玄+“瓦2）基底：不共线的两个向量石，&叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。两个向量成为基底的唯一限制是不共线。任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。3）向量共线定理的推论：若方=人石+乙=入石+“2瓦,贝吃/厉0人（交叉相乘,积相等）4）向量的夹角：作OA=a,OB=bf则ZAOB=0叫做向量方与厶的夹角。显然&g[0°,180°],当&=0°吋，N,乙同向；当^=180°时，7,厶反向，当&=90°吋，称方,\n方垂直,记作方丄乩5)三点共线的充要条件：P,A,B三点共线oOP=xOA+yOB(且x+y=1)2,平面向量的正交分解及坐标表示1）正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量，叫做平面向量的正交分解。2）坐标表示：取分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量7、j作为基底，对于平面内的一个向量g,则a=xi+jjo我们将有序数对（x,y）叫做向量g的坐标，记作d=（x,y）。四、平面向量的数量积1，数量积的定义:两个非零向量N2我们把数量方厶cos&叫做向量方与乙的数量积，记作方易,其中&是向量2,乙的夹角。特别地,我们把:cos&叫做方在乙方向上的投影。2,数量积的几何意义：数量积成&等于G的长度a与b在G的方向上的投影bcosO的乘积。3,运算律:1)3)(d+b)・c=d・c+b・c4,相关结论:1)0-^=02)a丄b0a・/?=()3)a-a4)”壬卜”1_|冃5)(a^h)(a-b)=a-b25,数量积的坐标表示:若0=(兀1?1)，5=(兀2*2)，则6/11?=x(x2+3\y26,坐标运算的相关结论1)若Q=(x,y),则G=屈2)若d=（X],yJ，5=（兀2丿2），则a丄50石兀2+）卩2=0|砸|后+W卮+》2-I2五.向量与三角形的“四心”已知点P是三角形所在平面内的一点,1）若PA+P3+PC=0,则点P是三角形ABC的重心;\n2)若用•而二两•陀=況•用，则点P是三角形ABC的垂心;3)若PA=~PB2=PC2,则点P是三角形ABC的外心；;4)令AB=c,BC=a,CA=b,若°用+方丙+c况=6则点P是三角形ABC的内心。题型分类・深度剖析考向4判断三角形形状【例4】已知△力％中，~AB=a,AC=b,当日・力满足下列条件时，能确定△血疋的形状吗?⑴&•Z?<0；(2)a・力=0；(3)a•b>0.\n变式1：0是MBC所在的平面内的一点，且满足（丙一况）•（况一刃）=0,则MBC一定为A.正三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.斜三角形变式2.在zMBC中，已知|AB|=|AC|=4,且乔二&则这个三角形的形状是.考向5平面向量的数量积运算【例5］已知|自|=6,丨引=4且曰与b的夹角为60°,求（自+2b）・（自一3方）变式1：己知|日|=3,|引=4且日与力不共线，斤为何实数时，向量b+kb与a-kb互相垂直？变式2：已知戲是两个非零不共线的向量，a=2e\—s,b=ke\+ei,若曰与方是共线向量，求实数斤的值.考向6投影—>—>―>—>―>―>【例6】已知|a|=3,\h\=5,且ah=\2,则向量a在向量b上的投影为考向7平面向暈数暈积的运算：【例7】已知P|=3,\b\=4,且a与b不共线,R为何值时，向+kb与a—kb的夹角为钝角。变式］已知云=（6,2）,方=（一3,加）,当加为何值时,（1）a与方的夹角为钝角？（2）a与5的夹角为锐角？考向8三角形的四心【例8】已知/、B、C三点不共线，0是内的一点，若OA+OB+OC=Of则。是△力臆的（）A.重心B.垂心C.内心D.外心变式1.P是MBC所在平面内一点，若石•两=西•陀=元•顾，则P是MBC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心考向9定比分点【例9】如图，设点只0是线段初的三等分点，若OA=a,OB=b,则帀=°。=（用a、b表示）\nQA考向19凄角公式'Q【例W】sii_辑••恥舜考向20公式吏形便用【例20】MBC■tanA^tanB+>j3=4^tanAtanB•变式1.tan17°*tan28°*tan17°tan28=丫>吕心‘妙"A脫跖I<.f~（.5七企心3）:«M珅9第二讲、平面向联J4+4詣cos『｝弓巒沪$求COM"的債.--氏车一aI…6諾洱和5存内二¥学覽匚丿讥畀叨三切j扛代）qc/#丿：.严F-纭松m“曲%94」sinAcosA=—I要点梳理-,向童的星本櫃念1-向童的定义：既有大小又有方向的粗，叫做向抵.2.向At的农示：■七«•<■»知识网哝材丄）字母表示：a,AB,2〉儿何衷示：可以用有向拔段表示向極，但有向线段不是向量.3.向宜的基本槪念1）模：向fit的大小，也就是向■的长度，也称为模，记作冋2）零向抿：长度为0的向最3）单位向域：长度为1的向廉1）共线向鱼方向郴同或相反的非零向最为共线向笊，也称平行向世，记作allb.2）相等向量：长度相等且方向相同的向但称为郴等向罐.3）相反向粗：长度相等且方向相反的向it称为相反向债.二，平面的戏性运算M1»向*的加法1）加法法则<1）平行四边形法则：共起点DB•Aab^ac^ad•说AB+BC=AC2）相关结论⑴FH可平+弘问训(2)a^b-b+a(3)(a+可+c=a+(5+c)\n\n區型分类・深度剖析-向量的定义与性质［例］】■下列命题中正确的是(cv/A.a与D共线，〃与c共线，则。与c也共线B.任倉两个相竽的非零向般的始点与终点北•个曲四C.向jfa与0不共线，则。与说癖槪叫嘶怜0有相同超点的两个非零向敗不平行变式1・设向址。=(1，一3),0=(-妙，若农示向就4—相接能构成三角形，则向星c=(g|2)'"；；、。的冇向线段首尾A.(4,6)B.(一4,一6)C.(4,D.(一仙则"予'的坐标形式为变式2.向毎⑺T)・将乔按向站=(3,6)平移删向知，为(恥A.(10,1)B.(4.-11)C.(7,-5)D・(3,6)考向2向童的加越法【例2】若Q二0,bHSR.|a|=|5|=|a-^f则Q与a+b所在宜线的夹角是”考向3平面向虽基本定理【例3】如图所力、，在厶ABC»t*.点M为川〃的中点，liAN=；NC・BN与CM相交亍点£・设祐==a,AC=b.试以gb为基底表示庞：躲垮斤十霍考向4判斷三角形形状【例4】已知△/(FC中.AB^a.AC=b.当a・b滿足F列条件时.△43C的形状吗？(10X0；笛T(206=0；負直(3040.叙希不龜刘昭論玳砒代变式1：O是QbC所在的平面内的•点，且满足(笏-况)•(况-刃卜0,则A/TBC-定为C.A・正三角形8.等腰直角三角形C.直角三角形D.斜三如形彳丸•变式乙在4ABC中，已知两二两=4,且霜•疋®&则这个三角形的形状是」L鮭仙0.平面向■的数*积运算已知|a|=6,|列=4且a与b的夹角为60。，«(a+2引・(a-3b)渕-ab尢诉八卜为何实数时•向曲a皿与a-kbQ相乗直？已知“勺是两个非不不共线的向如a=2e》F若a与力是共线向乩求拜7厶恥7?“专已知21=3,|b|=4fla与0不共线.k讥入V―・\n实的QL考向6投彰【例62知|咔3,必|=5,口°几12,则向址；在向品上的投越为孚_^考向7平面向2数童积的运算：【0匕已呷=3比：•敦与2不共线.竽何卿向■沢订与一&的央角为钝角.解・・@十"丿"・妙丿“・k]>fx・、約门"A.Ks'HeT变式1已知。=（6,2）・6=（-3,加）.肖加为何值时.加勺且爪*・[.胪症若3C5+ob4-oc=o.<1）a与6的夹角为饨角？Q）a与5的夹角为锐角？考向8三角形的四心U,严号*#”".（?/&、R【例8】已知力、8、C三点不共线，o是^ABC内的一点，则0是ZUSC的（R>）4・A.富心B.垂心C.内心D.外心变式1.P&MBC所在平面内-•点，若PAPB^'PB'PC^PC-'PA.则P是A4BC的（治A.外心B.内心C.更心D.垂心B考向9定比分点【例9】如图.设点几Q是线段&8的三等分点.若OA=a,OB=b.RiJOP13辻（用a、b我示）为十入火J二一—•/十入$題力朿13氏丼13贡2-2pr2=a+2ab+b6)考向1向量的定义与性质【例1]»下列命题屮正确的是()•\nA.日与Z?共线，方与Q共线，则日与Q也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C.向量臼与方不共线，则臼与方都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行变式1・设向量a=(1,—3),b=(—2,4),若表示向量4日、3b—2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c=().A.(4,6)B.(—4,—6)C.(4,—6)D.(—4,6)变式2.向量元=(7,—5),将元按向量曰=(3,6)平移后得向量才卫，则小的坐标形式为()A.(10,1)B.(4,-11)C.(7,-5)D.(3,6)考向2向量的加减法【例2】若自HO,Ml<