高中数学寒假专题复习资料第二讲解析几何新人教A版必修2 20页

I要点梳理第二讲解析几何知识回顾理清教材一.直线与圆1.直线的倾斜角(1)定义：当直线/与X轴相交时，収X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.当直线，与X轴平行或重合吋,规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线/倾斜角的取值范围是[0,兀)・2.斜率公式(1)直线/的倾斜角为。工90。,则斜率A=tanQ.—Ki⑵*(/，□),Rg,比)在直线1±,且匿工应，则/的斜率斤=.X-i~X\3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y—y^—k{x—Ab)不含直线X=Xo斜截式y=kx+b不含垂直于/轴的直线两点式y—y\X—X\不含直线X=X\y-i—y\xi—x\和直线y=y\(戸工乃)截距式竹不含垂直于坐标轴和过原点的直线般式Ax+By+C=^,才+2?H0平面内所有直线都适用4.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线Z,72,若其斜率分别为人，h,则有1林\=也②当直线厶，厶不重合且斜率都不存在时，U/12.(2)两条直线乖直：①如果两条直线厶的斜率存在，设为怡，k・2,则有厶丄Wk\・k2=-\.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，人丄,2.5.距离\nA(X],戸),£(屁，必)两点之间的距离丨朋I=yjX2—X\2+72—712点几（心，为）到直线厶Ax+By~\~C=0的距离\Ax()+By()+C\vra平行线Ax~\~Z?k+65=O与Ax~\~By~\~C>=0间距离.1C\—Cz\d1.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.2.中心对称问题的2个类型及求解方法（1）点关于点对称：若点口）及八心，y）关于尸（日，方）对称，则由中点坐标公式得一：’进而求解.{y=2b—y^（2）直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.3.轴对称问题的2个类型及求解方法（1）点关于直线的对称：若两点P\（X\,戸）与£（出，乃）关于直线厶Ax+By+C=0对称，由方程组17屮+』屮+H,可得到点岀关于/对称的点尺的坐标（血尸2）（其中狞0,山工曲）.（2）直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称來解决，有两种情况：一是己知直线与对称轴相交；二是己知直线与对称轴平行.4.圆的方程:标准方程(x_d)2+(y_b)2=/?2；一般式方程x2+y2+Dx-vEy+F=O（D2+E2-4F>0）；参数方程{；二鶯需（&为参数）;\n直径式方程（兀_壬）（兀_兀2）+0_开）（y-?2）=0-\n注：解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面儿何性质（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理等等）的作用！”二、轨迹方程的求法：（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含兀，的等式就得到曲线的轨迹方程.（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基木轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程.（3）儿何法：若所求的轨迹满足某些儿何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单.（4）相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程•常与参数法并用.三、圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定点尸和定直线厶点定义丨朋丨+|朋|=2日（2日＞|虫用|）1|/^|-|/^||=25(2X|^|)尸不在直线/上，户到Z距离为d,\PF\=d标准焦点在X轴上焦点在X轴上焦点在X轴正半轴上方程a2+b2-l(a>b>0)x2y2z、y2=2px(p>0)杪图彖y/o7导范围\y\胡*yWR心0,yWR儿何性质顶点(±$0),(0,土b)(±70)(0,0)\n对称关于/轴、y轴和原点对称关于/轴对称\n性隹占八、、八、、(土G0)侈0轴长轴长2臼，短轴长2方实轴长2白，虚轴长2方几何性质离心率e-a-\jla2(01)准线■T通径.21d血r\AB\=2p渐近线y=±~x・a2.圆锥曲线统一定义：若平面内一个动点M到一个定点F和一条定直线/的距离之比等于一个常数e（e>0）,则动点的轨迹为圆锥曲线.其中定点F为焦点，定直线/为准线，e为离心率.当0时，轨迹为椭圆；当幺=1时，轨迹为抛物线；当w〉l时，轨迹为双曲线.3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.特别是：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式M0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式20”.②直线与抛物线（相交不一定交于两点）、双曲线位置关系的特殊性，应谨慎处理.®③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点眩”问题关键是“韦达定理”或“点差法”、“长度（眩长）”问题关键屋长度（孩长）公式IlAB|=7^|-^2)2+G|->2)2'|AB|=Jl+疋I无一无|=J1+/itI总结归纳专题突破1.设日WR,则“日=一1”是“直线站+y—1=0与直线;H■日y+5=0平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.\n已知点水2,3）,Bl—3,-2）,若直线kx~y+\~k=0与线段初相交，则&的取值范围是（）\n33A.2]B.（—8,-]u[2,+°°）C.（一8,1]U[2,+oo）D.[1,2]1.已知y）是直线滋+y+4=0（Q0）上一动点，PA,丹是圆C：x+y~2y=0的两条切线，J,B是切点,若四边形/%彷的最小面积是2,则斤的值为（）A.3C.2^2D.22.已知圆6—2）2+（y-3）「I,圆©（x-3）2+（y-4）2=9,MN分别是圆G,G上的动点，"为x轴上的动点，贝I」|副+|刖的最小值为（）A.5^2-4B.-717-1C.6-2迈D.^/173.己知在平面直角坐标系中，点A（2型,0）,〃（0,1）到直线Z的距离分别为1,2,则这样的直线/共有条.A.2B.3C.4D.1224.已知双曲线予一+=1@＞0,〃＞0）与抛物线y=8%有一个共同的焦点尸，两曲线的一个交点为只若I加=5,则点尸到双曲线的渐近线的距离为（）A.^3B.2C.^/6D.3225.（2016•课标全国甲）已知凡&是双曲线忌予一纟=1的左，右焦点，点财在E上，MF\与x轴)C.^3D.2垂直，sinZ^=|,则〃的离心率为（A.迈B.寸226.已知双曲畴的左、右焦点分别为凡弘卄作圆,+yj的切线分别交双曲线的左、右两支于点从C,且\BC\=\CF2\,则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±3xB.y=±2y[2xC.y=±（书+l）xD.y=±（羽—l）x22XV7.点厂为椭圆飞+方=1（日＞方＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点力使△/〃为正三角形，那么椭圆的ab离心率为（）A.平B.乎C.Dp—1XX8.（2016•浙江）已知椭圆G：飞+#=1（仍＞0）与双曲线G：——y2=l（/?＞0）的焦点重合，曰，e2mn\n分别为g,g的离心率，贝g（）A./?/>/?j=LBe/〃>/?且ei&2lD-ni0)的焦点为尸，点肘为抛物线F上一点，|处|的最小值为3,若点"为抛物线£上任意一点,水4,1),贝i\PA\+\PF\的最小值为()A.4+半B.7C.4+2百D.1012.【2014全国1高考理第10题】己知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为/,P是/上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若再=4而，则\QF\=()75A.-B.3C.D.222二、填空题13.已知两点水3,2)和〃(一1,4)到直线财+y+3=0的距离相等，则/〃的值为.14.一动圆与已知圆0：(jr+3)2+y=1外切，与圆仏：(^―3)2+y2=81内切，则动圆圆心的轨迹方程为.15.设椭圆G-+y=1关于原点对称A,力2两点，若点户在椭圆C上，且直线％的斜率的取值范围是[—2,-1],那么直线/舛斜率的取值范围是.16.直线3^—4y+4=0与抛物线x=\y和圆/+(y—1)2=1从左到右的交点依次为/I、B、C、D,则■的值为.三、简答题17.已知一个椭圆与双曲线/—丄=1的焦点相同，且过点P(—希,1).(1)求椭圆的标准方程；(2)求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.1&在平面直角坐标系xoy屮，已知圆"在兀轴上截得的线段长为2逅，在y轴上截得的线段长为\n2侖.(1)求圆心P的轨迹方程；⑵若"点到直线y二x的距离为出，求圆"的方程.2V厶1Q19.己知椭圆G合+*=OZ?>0)的离心率为㊁，且点(1,㊁)在该椭圆上•⑴求椭圆C的方程；⑵过椭圆c的左焦点出的直线/与椭圆c相交于$两点，若△应矽的面积为羊，求圆心在原点0且与直线/相切的圆的方程.20.(2016•课标全国乙)设圆/+/+2%-15=0的圆心为直线/过点处，0)且与/轴不重合,/交圆力于C,〃两点，过〃作/"的平行线交/〃于点E(1)证明\EA\+\EB\为定值，并写出点〃的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线G,直线/交G于必艸两点，过〃且与，垂直的直线与圆力交于P,0两点,\n求四边形沏创0面积的取值范围.2219.已知抛物线：y=2px^p>G)的焦点尸在双曲线：专一彳=1的右准线上，抛物线与直线厶y=k(x一2)(&>0)交于〃两点，AF,〃尸的延长线与抛物线交于G〃两点.(1)求抛物线的方程；(2)若△/!皿的面积等于3,求&的值；(3)记直线①的斜率为局，证明：今为定值，并求出该定值.X20.(2015•新课标全国I,20)在直角坐标系玖少中，曲线C：尸斤与直线/：y=£x+日(日>0)交于必艸两点,⑴当k=0时，分别求C在点〃和"处的切线方程；(2)y轴上是否存在点只使得当&变动时，总有乙OPM=ZOPf说明理由.\n立体几何参考答案1-5CCCAB&芈7.2+半8.②③④1.⑴证明因为四边形〃彩是长方形，所以力〃初，因为他平面吻，初u平面朋4,所以宛〃平面PDA.(2)证明因为四边形肋C0是长方形，所以BCLCD,因为平面/为C丄平面ABCD,平面/仇D平面ABCD=CD,BCU平而MCD,所以〃C丄平面因为皿u平面/%匕所以BCIPD.⑶解如图，取皿的中点龙连接価和处因为加=%所以％丄69,在Rt△朋9中，PE=p_D应=寸毕—£=寸因为平面/饥、丄平面弭〃C0,平面/%EQ平面PEU平面PDC,所以PEL平面ABCD.由(2)知：BCX.平而PDC,由(1)知：BC//AD.所以初丄平面勿C,因为刃u平面/所以ADLPD.设点C到平面的距离为力，因为V三梭锥V三P—ACDfPE,Pn,,,S"PE"Z3⑴即2所以点Q到平面胁的距离2.⑴证明•・•在等腰梯形昇彩中，AB//CD,AD=DC=a,Z〃况=60°,:、'ADC是等腰三角形，且ZBCD=乙ADC=\20°,：.ZDCA=ZDAC=30Q,AZz46^=90°,即BCLAC.又•・•平面ACEFI平面/仇"平而ACEFC平面肋〃=川7,BCu平而MCD,:・BCl平而ACEF.⑵解当FM=^a时，仙〃平面BDE.证明如下：设ACCBD=N,连接创，如图.\nTZ伽=90。，Z宓=60°，BC=a,:.AC=^ia,AB=2a,:.CN:NA=\:2,•・•四边形川^是平行四边形，:・EF=AC=y^a.•?AM//平面BDE、仙U平面ACEF,平面ACEFC平面BDE=NE、:.AM//NE,:.四边形加E”为平行四边形,JFM:ME=1:2,・・・当咋电臼时，仙〃平血BDE.1.⑴证明•••点伐F分别是边GA处的中点,:.BD//EF.•••菱形初仞的对角线互相垂直，:.BDLAC.:.EFLAC.:.EFLAO.EFLPO.TMU平面/伽，POU平面P0/1,AOQPO=a:.EEL平面/匕4，••-BDV平面他£又MU平jMPOA.:.BDVPA.⑵解设AOQBD=〃连接〃0,•••ZZM〃=6(T,：./\ABD为等边三角形，:・BD=4,BH=2,〃A=2晶HO=PO=书,在Rt△彩中，BO=J+丽=£,在△测中，丽+加=10=加，POL80.•:POLEF,EFCBO=0,EFU平荀BFED,BOU平西BFED,:.POL平面BFED.梯形如力的而积S=^EF+BD)•HO=3品・・・四棱锥宀翊9的体积书=3.D2.(1)证明由己知可得〃丄"，AF1FE,所以〃LL平面刃沈：又〃u平面/I妙,故平面弭砒'丄平面EFDC.⑵解过点、D作DG1EF,垂足为G由⑴知％丄平面加必以点G为坐标原点，矗的方向为/轴正方向，I乔I为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxjz由⑴知为二面角D-AF-E的平面角，故上DFE=W,\n则DF=2,DG=£,可得J(l,4,0),〃(一3,4,0),E(—3,0,0),0(0,0,£)・rfl已知，AB//EK所以/〃〃平面EFDC,又平而ABCDC平面EFDC=CD,敕AB〃CD,CD//EKFtlBE//AE可得加丄平面丽DC,所以乙CEF为二面角C-BE-F的平面角，ZCZF=60°,从而可得C(—2,0,羽).所以茲=(1,0,、/§),菇(0,4,0),花=(一3,-4,、信)，乔=(一4,0,0)・即｛才°’所以可取“。,n•EC=Q,设n=(x,y,z)是平面删、的法向量，贝片_ji•EB=Q,设刃是平面ABCD的法向量,同理可取m=(0,4),m•AC=09则_[/n•站=0.则込5曲=餡"警•故二面角小一的余弦值为-警.1.(1)证明由已知，平面ABCD1平面初朋，且BCLAB,则力丄平面ABPE,所以丽，BP,BC两两垂直，故以点〃为原点，嬴~BP,貶分别为/轴，y轴，2轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则P(O,2,O),〃(2,0,1),』(1,1,別2,1,0),00,0,1),所以菇(_],0,|易知平面昇财的一个法向量〃=(0,1,0),所以丽・〃=(一1,0,£)(0,1,0)=0,所以劝丄〃，又琢Z平面ABCD,所以旳/〃平面ABCD.9(2)当点艸与点〃重合时，直线7W与平面戶仞所成角的正弦值为三5理由如下：励=(2,-2,1),~CD=(2,0,0),设平面戶仞的法向量为m=a,yi,zi),[z7i•PD=S[2x]—2/+刀=0,由]得仁A取y】=l，得平面PG?的一个法向量等于771=(0」2),2^i=0,U?i•6)9=0,2假设线段加上存在一点托使得直线与平面初所成的角。的正眩值等于亍\n设鬲-久场（0W人W1）,则A（2,一2,1）=（2人，一2人，人），赢-丽+鬲-（242—2人，人）.所以sino=|cos{BN,a)I丽・ml22|丽|/71|—頓Xyj(2〃+(2—2久尸+久厂书X、/9久2—8zl+42所以9人2—8人一1=0,解得久=1或A=—1（舍去）.2因此，线段刃上存在一点用当N点与〃点重合时，直线与平面初所成角的正弦值等于亍圆锥曲线参考答案1-5.ABDAB6-10.AACDA11-12.BB1亠殳.y3一一3113.刃=空或刃=—6.14.—+—=115・瓦冬心刍冬才16・花17.解：椭圆的焦点，7^(2,0)由定义|戶片|+|戶坊|=24所以a2=6,b2=2.X2y2椭圆的标准方程为—+^-=1.62⑵设平行线的方程为y=2兀+m联立直线和椭圆，得13兀$+I2mx+3m2-6=0.由△＞（）,解得一V26＜m＜V26.设直线与椭圆交于两点找心yj,Bg,力），中点M（x,刃则x==13因为点必在直线y=2x+加上，联立解得x-6y=0（二＜m＜l^H）所以点〃的轨迹方程为x-6y=0（土逐＜m＜空逐）.6618.解：⑴设”（x,y）,圆"的半径为7,,由题可得y2+2=r2fx2+3=r2y故圆心P的轨迹方程为y2-x2=l.\n19解⑴由题意可得e=£(2)rh(1)知幷(一1,0),设直线/的方程为x=ty-i,rhSx=ty—1,22兰+艺=14〒3消去x,得(4+3r)y2—61显然4>0fli成立，设畀(加，yj,B(x・2,乃)，则y】+匕=4+3严対咒=—4+3#'36~12心+]36r所以1/1—j^l=y)5+乃)？一4必刃=6*#+]_晋,化简得18?-?-17=0,17即(18产+17)(#—1)=0,解得#=1,^=--(舍去)，所以・丨尸1。|•171-/2!=(4+3?72+4+3?-^+3?4+3#|Q-^X0+l|1屮+?=7TTT所以尸乎，故圆0的方程为乂圆0的半径厂=20解⑴因为|初|=M4，EB//AQ故乙EBD=乙ACD=ZADC,所以|EB\=\ED\,故|用|+丨肪|=丨用|+丨肋|=|初|.又圆/的标准方程为U+l)2+y=16,从而\AD\=4,所以丨胡|+|肪1=4.22由题设得水一1,0),駅1,0),|肋1=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：扌+f=l(yH0)・⑵当/与x轴不垂直时，设/的方程为y=&(/—1)(&H0),〃(/,yi),Nd,yi).由]1),22兰+J43得(4护+3)8&。+4斥一12=0.ml_8/<则X1+x2=4?+3,4护—12-射2=以：+；'所以I^'1=71+艮|X\—X2,12(#+1)U4#+3•⑵设P(x(p)'o)，由已知~=~~~,又点P在双曲线上歹0~—斗)~=1.a/22A"=00-，对应的f=V3o圆戶的方程为F+(y+l)2=3或兀2+(y—1)2=3卜0=1133占=亍又所以〃=衬・因为椭圆Q经过点(1，丁)，914xv\n所以尹厂1,解得8=2,所以方2=3,故椭圆C的方程为匚+寸=1.\n点昇到刃的距离为过点〃（1,0）且与/垂直的直线nixy=—£（X—1）,所以I砌F+1°故四边形必网的面积罔侧两=12、/1+晶.可得当/与x轴不垂直时，四边形』仍冈面积的収值范围为（12,8^3）.当/与/轴垂直吋，其方程为尸1,“绷=3,|阳=8,四边形必冈的血积为12.综上，四边形协列“面积的取值范围为［12,8萌）.2221.解⑴双曲线：y-|=1的右准线方程为：尸1,所以尸（1,0）,则抛物线的方程为：/=4x2⑵设妬,y-2）,由，y=\x,y=A（x—2）得Ay-4y-8A=0,/=16+32#〉0,口+必=£,/1/2=—8.Smfb=*1X1/1—y2|=*7（y】+必）2—4戸力=2,卡+2=3,解得&=2.⑶设c（#,乃），则筋=（#—1，门），屁=（#一1，必），因为儿F,「共线，所以（#—1）^3—口右2—1）=0,即遊+（土一门）乃一4=0.解得：^3=71（舍）或『3=—土,44口y\所以CM--），同理〃（2,畑=/「=_^g-=2乩故牛=2（定值）.y\y\727244y\-vy2k~22Zi乃22.【解析】⑴由题设可得机2士,日），川（一2込，日）.设在点於处的切线方程y-4^=R（x—2需）联立直线与抛物线得：%2一4kx+8k程-4a=0由△=0解得£=丽，即切线方程J/—y—臼=0同理可得"处的切线方程为&x+y+臼=0.故所求切线方程为y—日=0和诵卄y+臼=0.（2）存在符合题意的点，证明如下：设户（0,力）为符合题意的点，掰5,yj,AS,比），直线刖，別的斜率分别为乩k2.将y=kx+a代入C的方程得,一4滋一4臼=0.故x\+x2=^k,x\x2=—Aa.从而k]+k=y\~by-z—b2kx\x2+Ca~b）十=X\X2X\X2（石+出）斤（臼+方）a当b=—a时，有Ai+A2=0,则直线的倾斜角与直线/W的倾斜角互补，故乙OPM=ZOPN,\n所以点p（0,—臼）符合题意.