高中数学寒假专题复习资料第二讲函数与方程新人教A版必修1 18页

第二讲、函数与方程知识回顾理淸教材I要点梳理1.函数的基木概念(1)函数的定义设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯•确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A->B为从集合A到集合B的一个函数，记作工=f(x),xWA.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定乂域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|xEA｝叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.(4)函数的表示法常用方法有解析法、图象法和列表法.3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)—次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a“(a>0且aHl),y=sinx,y=cosx,定义域均为R.(5)y=tanx的定义域为x|xeR且xHkn+*,kez•.(6)函数f(x)=x°的定义域为｛x|x£R且xHO｝.5.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个白变量的值XI,X2当X1f(X2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数\n(1)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意xe1,都有f(x)WM；(2)存在xoei,使得f(xo)=M・(3)对于任意xeI,都有f(x)MM:(4)存在x()ei,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值4.函数的奇偶性奇偶性，定义，图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(—x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数,关于泡对称；奇函数，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(—x)=—f(x),那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称5.周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在-个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.6.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)=ax2+bx+c(aH0).②顶点式:f(x)=a(x—m)'+n(aHO).③零点式：f(x)=a(x—xi)(x—X2)(aHO).(2)二次函数的图彖和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)\n图象\h/定义域(—8,+OO)(—8,+8)值域_4ac—b2,、L4a，+00丿(4ac—b2!II4aJ单调性在xw(8,2J上单调递减；在XW—£，+8)上单调递增在xW—吉，+°°］上单调递减在xw(——舟上单调递增对称性函数的图象关于x=—£对称3.幕函数⑴定义：形如y=x°(aWR)的函数称为帚函数，其中x是自变量，a是常数.(1)幕函数的图象比较(3)幕函数的性质比较特征\、数性y=xy=x2y=x31y=x2y=x-J定义域RRR[0,+°°){x|xeRMxHO}值域R[0,+°°)R[0,+°°){y|ywR旦yHO}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性壇xW[0,+°°)壇壇xe(o,+°°)时，减；xw(―时，增；xG(—\n8,0］时，减8,0)时，减3.分数指数帚(1)规定：正数的正分数指数幕的意义是3中=^p(a>0,m,nEN\且n>l)；正数的负分数指数幕的意义是a--=—(a>0,in,neN*,Hn>l)；0的正分数指数幕等于0；0的负分数指数幕没有意义.n_(2)有理指数幕的运算性质：ah=芒，Q)s=丈,(ab)'=aV，其中a>0,b>0,r,sGQ.4.指数函数的图象与性质qA1OR值域(KO.+g〉性质(3〉过定点(O,1)(4)当_z：>O日寸，v>1；当“VO日寸,O<3><1(5)当;r;>O日寸・OVV<1;当"：VO日寸・\>>1(6)在(—)上是土曾函数(7〉在(一g.+«〉上是減函数13.对数的概念如果ax=N(a>0且aHl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log“N,其中q叫做对数的底数，N叫做真数.14.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且aHl,M>0,N>0,那么M©loga(MN)=log；lM+logaN；②1ogar^log.M—logaN；③logM=nlog』I(neR)；④log』"=31og“M.m⑵对数的性质①alognN=_N_；②logila''=__N_(a>0且aHl).(3)对数的重要公式①换底公式：10訥=普汙(a,b均大于零且不等于1)；②lognb=—,推广-logab•loghC・logcd=logad.1ogba\n14.对数函数的图彖与性质图象2y=iy=^\WWHIWOHVo1主定义域值域(3〉过定点(O・l)性质(4)当：/：>O日寸,y>1当上VO日寸.OVyV](5〉当上AO日寸,OA(6)在(一B号+S)上是增函数(7〉在(一^.+x)上是减函数16•反函数指数函数y=a'与对数两数y=log；’x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.17.描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象.18.图象变换(1)平移变换(2)对称变换①『=心)关无缠称y=_f(x);②y=f(x)关无鯉称『=上心①y=f(x)关丁聲対称9=一彳(一x)；@y=a*(a〉0且aHl)关于口对称y=io/x(a>0且aMl).-“、保留x轴上方图象”“介“、保留y轴右边图象，并作其⑤y—f(x)将x轴下方图蒙翻折上去y—且血丄⑥y—f(x)关于y轴对称的图象『一"凶)・(3)伸缩变换«>1-横坐标缩短为原来的：■倍•纵坐标不变®y=f(x)**0<«<1.横坐标伸长为原来的丄倍•纵坐标不变\nay=f(ax),—冲、a>l,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变①y_Hx?O0)的图象与零点的关系厶：>(>厶(>厶<>=ClCt：-1-I》工~1-CTCaX>>白勺ra钦y心/i\y八▲\丿xXt=X-2.XOX月工辛由白勺立.眾(H1•<)>•CK1•(>>弯点个数2丄(219.二分法(1)定义：对于在区间b］上连续不断且f(a)・f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间-分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度£,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间［a,b］,验证f(a)•f(b)<0,给定精确度£；②求区间(a,b)的中点c；②计算f(c)；(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点；(ii)若f(a)•f(c)<0,贝!j令b=c(此时零点xoG(a,c))；(iii)若f(c)•f(b)<0,则令a=c(此时零点xoe(c,b)).③判断是否达到精确度e:即若|a—b|〈£,则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.\n22•儿类函数模型及其增长差异(1)儿类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a^b为常数，aHO)反比例函数模型|zf(x)=_+b(k,b为常数且kHO)X二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，aHO)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,bHO,a>0且aHl)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，bHO,a>0且aHl)幕函数模型f(x)=ax"+b(a,b为常数，aHO)(2)三种函数模型的性质性质y=ax(a>l)y=logitx(a>l)y=x"(n>0)在(0,+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越來越慢相对平稳图象的变化随X的增大逐渐表现为与y轴平行随X的增大逐渐表现为与X轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个xo,当x>xo时，有logax0,【例4】⑴己知函数f(x)=|"八若f(a)+f(l)=0,则实数a的值等于()x+1,xWO,A.-3B.-1C.1D・3题型五利用函数的单调性求参数【例5］如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(一->,4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.a>-|B.a—C.一詁〈°D.—#0总题型六函数的单调性和最值【例6】已知定义在区间(0,+8)上的函数f(x)满足fQ=f(X1)-f(x2),且当x>l吋，f(x)<0.求f(l)的值；(1)证明：f(x)为单调递减函数；(2)若f⑶=一1,求彳6)在［2,9］上的最小题型七判断函数的奇偶性【例7】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=yj9—x2+-\/x2—9；(2)f(x)=(x+1)寸(3)f(x)题型八函数周期性的应用\n【例8】定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当一3Wx<—1时,f(x)=—(x+2)2；当一lWx〈3时，f(x)=x.则f(l)+f(2)+f(3)+・・・+f(2015)等于()A.335B.336C.1678D.2012题型九函数性质的综合应用【例9】设f(x)是(—8,+8)上的奇函数,f(x+2)=—f(x),当0WxWl时,f(x)=x.⑴求f3)的值；(2)当一4WxW4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(1)写出(一8,+8)内函数f(x)的单调区间.题型十二次函数的图象和性质【例10]已知函数f(x)=x2+2ax+3,xE[—4,6].(1)当2时，求f(x)的最值；(2)求实数8的取值范围，使y=f(x)在区间[—4,6]上是单调函数；(1)当a=l时，求f(|x|)的单调区间.题型十一幕函数的图象和性质丄丄【例11】若(2m+l)>(m2+m-l)6则实数m的取值范围是()A.(—8‘+8)c.(—1,2)D.[^\2)题型十二指数幕的运算27L【例12】化简：(一瓦)3+(0.002)_2-10(^5-2)■*+(V2-V3)°.题型十三指数函数的图彖、性质【例13】⑴函数f(x)=a"的图象如图所示，其中a,b为常数，则下列结论正确的是()A-a>bb<0B.a>l,b>0C.00D.00对于tw[l,2]恒成立，求m的取值范围.题型丁五对数式的运算\n【例15】⑴若x=log.3,则(2X-2'X)2等于C.log2x,x>0,1⑵已知函数f(x)=仁“-一八则f(f(l))+f(10g3-)的值是()3十1,xWO,乙7A.5B.3C.-1D.-题型十六对数函数的图象和性质【例16】(1)函数y=21ogi(l—x)的图象大致是()⑵己知f(x)是定义在(一8,+8)上的偶函数，且在(―oo,0］上是增函数，设^=f(logi7),b=f(logj3),c=f(0.2一°"),则曰，b,c的大小关系是()2A.c1.\nAT口_]岂仆蚀•剛"乩“ftI彷勺也如1”梢“扛_3曲伽-斗小*5"鸽，購鲨0・咖值砂足"£zSX-**（&▽C,（J.WA,丄町"沖妣林叭砒他他3c呱戈伽阳①卄⑴吹鮭血Oh心血汕怙力"戒心B,林讥:;叭ferfv—Rog內谀砒：卩乙池,3八叩i九>x^期%>»P刍夕”•fzw聶“张盼口肪酬〃'佝“皿的硼性，mIfi-x>5"上“曲定剧7、J-ZhH->M>t时.ZQjyI『轻叶1冬）彳g.f叫.fm“和，'・仇）沪硕'石j•:血衣事EiMn上足年诉业牡.・，・/4a>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