高中数学 寒假专题复习资料 第二讲 平面向量 新人教a版必修4 8页

第二讲、平面向量一、向量的基本概念1，向量的定义：既有大小又有方向的量，叫做向量。2，向量的表示：1）字母表示：，,2）几何表示：可以用有向线段表示向量，但有向线段不是向量。3，向量的基本概念1)模：向量的大小，也就是向量的长度，也称为模，记作2)零向量：长度为0的向量3)单位向量：长度为1的向量共线向量：方向相同或相反的非零向量为共线向量，也称平行向量，记作。相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量。相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量。二、平面的线性运算向量的加法1）加法法则（1）平行四边形法则：共起点（2）三角形法则：首尾相连2）相关结论（1）（2）（3）2，向量的减法减法法则三角形法则：共起点。\n3，数乘运算1）定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记做。长度与方向规定如下：（1）（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反2）相关结论：（1）（2）（3）（4）3）向量共线定理：为非零向量，则（为唯一确定的实数）4）三点共线问题：若A、B、C三点共线推论：若，则A、B、C三点共线三、平面向量基本定理及坐标表示1，平面向量基本定理1）平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使2）基底：不共线的两个向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。两个向量成为基底的唯一限制是不共线。任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。3）向量共线定理的推论：若，，则（交叉相乘，积相等）4）向量的夹角：作，则叫做向量与的夹角。显然，当时，，同向；当时，，反向，当时，称，垂直，记作。\n5）三点共线的充要条件：三点共线2，平面向量的正交分解及坐标表示1）正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量，叫做平面向量的正交分解。2）坐标表示：取分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，则。我们将有序数对叫做向量的坐标，记作＝。四、平面向量的数量积1，数量积的定义：两个非零向量，，我们把数量叫做向量与的数量积，记作，其中是向量，的夹角。特别地，我们把叫做在方向上的投影。2，数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。3，运算律：1）＝2）＝＝3）＝4，相关结论：1）2）3）4）5）6）5，数量积的坐标表示：若＝，＝，则6，坐标运算的相关结论1）若＝，则2）若＝，＝，则3）五、向量与三角形的“四心”已知点P是三角形所在平面内的一点，1）若，则点P是三角形ABC的重心；2）若，则点P是三角形ABC的垂心；3）若，则点P是三角形ABC的外心；；\n4）令若，则点P是三角形ABC的内心。考向1向量的定义与性质【例1】►下列命题中正确的是(　　)．A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行变式1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝(　　)．A．(4,6)B．(－4，－6)C．(4，－6)D．(－4,6)变式2．向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3,6)平移后得向量，则的坐标形式为(　　)A．(10,1)B．(4，－11)C．(7，－5)D．(3,6)考向2向量的加减法【例2】若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．考向3平面向量基本定理【例3】如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且AN＝NC，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.考向4判断三角形形状【例4】已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列条件时，能确定△ABC的形状吗？(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.变式1：是所在的平面内的一点，且满足，则一定为A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．斜三角形\n变式2.在△ABC中，已知且则这个三角形的形状是.考向5平面向量的数量积运算【例5】已知|a|＝6，|b|＝4且a与b的夹角为，求(a+2b)·(ab)变式1：已知|a|＝3，|b|＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a+kb与ab互相垂直？变式2：已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．考向6投影【例6】已知，，且，则向量在向量上的投影为______考向7平面向量数量积的运算：【例7】已知，，且与不共线，为何值时，向量与—的夹角为钝角。变式1已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？考向8三角形的四心【例8】已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心变式1．P是所在平面内一点，若，则P是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心考向9定比分点【例9】如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝　　　，＝　　(用a、b表示)\n\n\n