高中数学 寒假专题复习资料 第二讲 解析几何 新人教a版必修2 14页

第二讲解析几何一．直线与圆1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用4．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.5．距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝\n点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离d＝6.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.7．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．9.圆的方程：标准方程；一般式方程；参数方程为参数)；直径式方程.注：解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理等等)的作用!”二、轨迹方程的求法:\n(1)直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程.(3)几何法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单.(4)相关点法(代人法):有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的;如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.(5)交轨法:在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程.常与参数法并用.三、圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上＋＝1(a>b>0)焦点在x轴上－＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b\n几何性质离心率e＝＝(01)e＝1准线x＝－通径|AB|＝|AB|＝2p渐近线y＝±x2.圆锥曲线统一定义：若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线.其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率.当时，轨迹为椭圆;当时，轨迹为抛物线;当时，轨迹为双曲线.3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.特别是：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系的特殊性，应谨慎处理.L③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式(，,1．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)A．[，2]B．(－∞，]∪[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞)D．[1,2]3.已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)\nA．3B.C．2D．24．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)A．5－4B.－1C．6－2D.5.已知在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0,1)到直线l的距离分别为1,2，则这样的直线l共有_______条．A.2B.C.4D.16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则点F到双曲线的渐近线的距离为(　　)A.B．2C.D．37．(2016·课标全国甲)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)A.B.C.D．28.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±3xB．y＝±2xC．y＝±(＋1)xD．y＝±(－1)x9．点F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.－110．(2016·浙江)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞0)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜111．设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A(4,1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)A．4＋B．7C．4＋2D．1012.【2014全国1高考理第10题】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是\n上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A.B.C.D.二、填空题13.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为.14．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．15.设椭圆C：＋＝1关于原点对称A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．16．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为________．三、简答题17.已知一个椭圆与双曲线的焦点相同，且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.18.在平面直角坐标系中,已知圆P在轴上截得的线段长为,在轴上截得的线段长为.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线的距离为,求圆P的方程.\n19．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．20．(2016·课标全国乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．\n21.已知抛物线：y2＝2px(p>0)的焦点F在双曲线：－＝1的右准线上，抛物线与直线l：y＝k(x－2)(k>0)交于A，B两点，AF，BF的延长线与抛物线交于C，D两点．(1)求抛物线的方程；(2)若△AFB的面积等于3，求k的值；(3)记直线CD的斜率为kCD，证明：为定值，并求出该定值．22.(2015·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．立体几何参考答案1-5CCCAB6.7.2＋8.②③④9.10.(1)证明　因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)证明　因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.\n(3)解　如图，取CD的中点E，连接AE和PE.因为PD＝PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE＝＝＝.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.由(2)知：BC⊥平面PDC，由(1)知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥C—PDA＝V三棱锥P—ACD，所以S△PDA·h＝S△ACD·PE，即h＝＝＝，所以点C到平面PDA的距离是.11.(1)证明　∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF.(2)解　当FM＝a时，AM∥平面BDE.证明如下：设AC∩BD＝N，连接EN，如图．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝a，∴AC＝a，AB＝2a，∴CN∶NA＝1∶2，∵四边形ACEF是平行四边形，∴EF＝AC＝a.∵AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝NE，∴AM∥NE，∴四边形ANEM为平行四边形，∴FM∶ME＝1∶2，∴FM＝FE＝AC＝.∴当FM＝a时，AM∥平面BDE.12.(1)证明　∵点E，F分别是边CD，CE的中点，∴BD∥EF.∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC.∴EF⊥AC.∴EF⊥AO，EF⊥PO，\n∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA，又PA⊂平面POA，∴BD⊥PA.(2)解　设AO∩BD＝H.连接BO，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝，在Rt△BHO中，BO＝＝，在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO.∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，梯形BFED的面积S＝(EF＋BD)·HO＝3，∴四棱锥P—BFED的体积V＝S·PO＝×3×＝3.13.(1)证明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解　过点D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以点G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2,0，)．所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n＝(3,0，－)．设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m＝(0，，4)，则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角E－BC－A的余弦值为－.\n14.(1)证明　由已知，平面ABCD⊥平面ABPE，且BC⊥AB，则BC⊥平面ABPE，所以BA，BP，BC两两垂直，故以点B为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以＝.易知平面ABCD的一个法向量n＝(0,1,0)，所以·n＝(－1,0，)(0,1,0)＝0，所以⊥n，又EM⊄平面ABCD，所以EM∥平面ABCD.(2)当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.理由如下：＝(2，－2,1)，＝(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得取y1＝1，得平面PCD的一个法向量等于n1＝(0,1,2)，假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成的角α的正弦值等于.设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ)，＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)．所以sinα＝|cos〈，n1〉|＝＝＝＝.所以9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.圆锥曲线参考答案1-5.ABDAB6-10.AACDA11-12.BB\n13.m＝或m＝－6.14.　＋＝115.≤≤.16.17.解:椭圆的焦点,由定义,所以.椭圆的标准方程为.(2)设平行线的方程为联立直线和椭圆,得.由,解得.设直线与椭圆交于两点,中点则因为点M在直线上,联立解得所以点M的轨迹方程为.18.解:(1)设P,圆P的半径为，由题可得,,故圆心P的轨迹方程为.(2)设P,由已知,又点P在双曲线上.联立解得或,对应的。圆P的方程为或19解　(1)由题意可得e＝＝，又a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.因为椭圆C经过点(1，)，所以＋＝1，解得a＝2，所以b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|y1－y2|＝＝＝，所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝，化简得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0，解得t＝1，t＝－(舍去)，\n又圆O的半径r＝＝，所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.20解　(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到m的距离为，所以|PQ|＝2＝4.故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．21.解　(1)双曲线：－＝1的右准线方程为：x＝1，所以F(1,0)，则抛物线的方程为：y2＝4x.(2)设A(，y1)，B(，y2)，由得ky2－4y－8k＝0，Δ＝16＋32k2>0，y1＋y2＝，y1y2＝－8.S△AFB＝×1×|y1－y2|＝＝2＝3，解得k＝2.(3)设C(，y3)，则＝(－1，y1)，＝(－1，y3)，因为A，F，C共线，所以(－1)y3－y1(－1)＝0，即y＋(－y1)y3－4＝0.解得：y3＝y1(舍)或y3＝－，所以C(，－)，同理D(，－)，kCD＝＝－＝2k，故＝2(定值)．\n22.【解析】(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a).设在点M处的切线方程联立直线与抛物线得:由解得,即切线方程x－y－a＝0同理可得N处的切线方程为x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点p(0，－a)符合题意.