高中数学寒假专题复习资料第三讲不等式新人教A版必修5 12页

第三讲、不等式知识回顾理淸教材I要点梳理3.1不等关系与不等式1.比较实数日，方大小的文字叙述(1)如果a~b是正数，那么臼/；;(2)如果a~b等于零，那么白方；(3)如果a_b是负数,那么仪b,反之也成立.2.比较实数日，方大小的符号表示(1)a—b；(2)a—b=OO曰b；(3)a—Z?<00<3b.3.常用的不等式的基本性质(1)曰>轴方自(对称性)；(2)Qb,b>c^>ac(传递性)；⑶a>b^a+cb+c(可加性)；(4)a>b,6*>0=>日be；a>b,c<0=>acbe；(5)a>b,c>d=^a+c方+〃；(6)臼>Z?>0,c>d>0=>acbd；(7)Qb〉0,/?eN,堆(8)曰〉方>0,/?GN,2=>3.2一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的概念(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式.(2)—元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式或(其屮日H0).2.一元二次不等式的解集设方程ax+bx+c=0(57^0)有两个不等的实数根匕、加，且x\0(a>0)的解集为;ax+bx+0(臼>0)的解集为3.分式不等式的同解变形法则：fY⑴厂厂>00心)•心)0；WO,gx\gxHO⑶X一婆X90.gX4.一元二次不等式恒成立问题\n（1）转化为一元二次不等式解集为R的情况，即[a>099[c?<0>ax+bx+c〉0（日HO）恒成立；ax+bx+c<0（日HO）恒成立o].〔4〈0.〔4〈0・（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：心f（X）恒成立f（X）max；kWf（X）恒成立O&Wf（X）min.1.一元二次不等式恒成立问题,中>0,（1）转化为一元二次不等式解集为R的情况，即/+滋+q〉0（日H0）恒成立台一〔4〈0・ax+bx+c<0（^7^0）1H成立0丿4〈0.（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：心/*（%）恒成立QA2f（X）max；ZWf（劝恒成立OWWf（X）min.3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域1.二元一次不等式（组）的概念含有未知数，并且未知数的次数是的不等式叫做二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为2.二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C^0表示的平面区域包括边界，把边界画成3.二元一次不等式（组）表示平面区域的确定⑴直线Ax+By+C=0同一侧的所有点的坐标匕，y）代入Ax+By+C所得的符号都⑵在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点（血必），由的符号可以断定Ax+By+6>0表示的是直线Ax+By+C=^哪一侧的平面区域.3.3.2简单的线性规划问题1.线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量乳y的不等式（组）线性约束条件关于x,y的一次不等式（组）目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x,y的函数解析式线性目标函数关于壮y的一次解析式可行解满足的解匕，y)町行域由所有组成的集合最优解使目标函数取得的可行解\n线性规划问题在条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1.目标函数的最值线性目标函数z=ax+by(^0)对应的斜截式直线方程是尸_器+令在y轴上的截距是彳，当z变化时，方程表示一组的直线.当方＞0,截距最大时，2取得最值，截距最小时，？取得最值；当N0,截距最大时，z取得最值，截距最小时，z取得最值.2.用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.3.在线性规划的实际问题川的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.3.4基本不等式1.重要不等式如果曰，方WR,那么a+lf2M(当且仅当a=b时取“=”)・2.基本不等式寸亦W冷卫(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.3.算术平均数与几何平均数(1)设日＞0,方＞0,则日，力的算术平均数为,几何平均数为;(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数它们的几何平均数.4.基本不等式的常用推论⑴"WW兰工^臼，gR)；(2)-+t^(臼，b同号)；2ab⑶当cib＞0时，@+号2；当ab＜0时，；abab(4)a+/f+cab+bc+ca(a,b,qGR).5.用基本不等式求最值的结论⑴设x,y为正实数，若x+y=s｛和s为定值），则当/=y时,积刃有最值为.\n（2）设”，y为正实数，若xy=p｛积p为定值）,则当尸y时,和x+y有最值为.1.基本不等式求最值的条件（1）x,y必须是；（2）求积刃的最大值时，应看和x+y是否为；求和x+y的最小值时，应看积xy是否为（3）等号成立的条件是否满足.探题型•提能力题型一“三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与;v轴的交点,②相应的一元二次方程的实根；反Z,对于二次函数（二次方程）的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根（相应的二次函数的图彖及与”轴的交点）.例1设不等式,一2站+臼+200的解集为必如果圧［1,4］,求实数臼的収值范围.跟踪训练1若关于x的不等式6卄晶0的解集是（1,血,则/〃=・题型二恒成立问题对于恒成立不等式求参数范］韦I问题常见类型及解法有以下儿种（1）变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般把知道取值范围的变量看作主元.（2）分离参数法：若f（a）g（x）恒成立，则f（a）max.数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图彖直观化.例2设不等式2%-l>p（y-1）对满足|p|W2的一切实数P的取值都成立，求X的取值范围.跟踪训练2f\x）=ax+ax—1在R上满足f（/）〈0,则$的取值范围是.题型三简单的线性规划问题关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常111现，①“可行域”由不等式和方程共同确定（为线段或射线），②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供,③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，女口：三（斜率），冷X—&牛y—b"距离）等.求目标函数ax+by+c的最大值或最小值吋，只需把直线ax+by=0向上（或向下）平行移动，所对应的刁随之增大（或减少）（方>0）,找出最优解即可.在线性约束条件下，求目标函数z=ax+by+c\n的最小值或最大值的求解步骤为：①作出可行域；②作出直线厶：ax+by=0；③确定厶的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值.%—4y^—3,例3已知变量丸，y满足<3/+5j<25,求z=2x+y的最大值和最小值..妙1,跟踪训练3某人承揽一项业务，盅做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张？才能使得总用料面积最小.题型四利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能収到最值，可以考虑用函数的单调性求解.斤0r例4设f(x)=号.(1)求fCv)在［0,+8)上的最大值；(2)求f(x)在［2,+8)上的最大值;12跟踪训练4设x,y都是正数，且-+-=3,求2x+y的最小值.xy［呈重点、现规律］1.不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质.2.一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式a^+bx+c>Q｛或20,<0,W0)(其中日H0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y=ax+bx+Q与x轴的交点；方程ax+bx+c=0的根.按照4>0,4=0,4〈0分三种情况讨论对应的一元二次不等式^x+bx+c>0(或30,<0,W0)Q〉0)的解集.3.二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点Cr,y),实数Ax+By+C的符号相同，取一个特殊点(血必)，根据实数Ax.+By.+C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当CH0时，常取原点作为特殊点.\n1.求目标函数最优解的两种方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题屮关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.\n“和”或“积”运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”一一各项为正数;②“二定”为定值；③“三相等”一一等号一定能取到.这三个条件缺一不可•I娶点梳理一—3.1不尊关系与不第式I.比牧实数a,b人小的文字叙述(1)如果址止数，那么q、(2)如果"一6零T$,那么幺〜二(3)如果a-b堆负数，那么:2.比较实数a，&人小的符打孑(山一"；“__>・(2归_吐0»_(30—Zz(3T»+c・―b+c(可加性)；(2人込叫―>—心%<*(5M"・OdW+c_A——b*3沁(l)a>b>09nGN.心ln『>胪.(8M"X>，”WN,心2斗眾_3.2—元二次不等式及其解法1.一元二次不零式的概念(I)我们把只會仃-个木知数，并且未知故滋*玖卷箱勺不等式・称为元二次不筲式•⑵一元】次不等式经过变形，町以化成卜列两种标准形式曲也匹空或曲"血凸其中"H®2.一元二次不等式的解集•设方程/+加+c=0(“H0)有两个不等的实数根小冷且代“则d+b+>0(a>0)的的、为工&“x・附!/曲叮少+加十皿网)的解集为a6%3.分式不等式的同解隻形法则^(I爲严5)曲)0：金)•期W0,曲)工0(3爲纹存毗4-元一次不等式恒成立问购w不呼式解像为R的情况■即⑴转化为1兀一外E回，凹’；《?+hr+e<0(aH0)fi成站心.°/+卄曲吨屈成四血.将個沁磋转化为求側刚即：⑵分离期利但心询成立片刃匕畑成立^“刃“也讥、专n艸納g典共w典\n<—•i兀一次不莎式恒成立何縣井沁3.W*(1)确(4)利4・4龙嬰物力3.4（I）转化为-元二次不零式解集为R的情况，即£+加+00（时0旳成立心+&+70工0血成立彳爲，I（2）分离卷数，榜恒成立树起转化为求蝕（ft问題，即，•必建^Ax）tti成立屮汝xj；AW/UH0成立8*WAxI・I3・31二元一次不等式（级）与平血区域L二元一次不暂式（纽）的槪念_1含仃―三彳柚酌.并且木知数的次数於一的不專式叫做一兀-次不等式.由儿个二元一次不霁式组成的不第式组称为二抚起11，且・2-二元一次不等式表示的平面区域在平面JS角坐标累中，二元一次不弊式心+取十（>0人川线血過垃艺儻所3*2.平面区域，把玄线画成區念以表示区域不包抿边界•(1不零式/Cr+&+CMO农示的平面区域包括边界，把边界血成一1.二元-次不零式（组）农示平面区域的确定：:促闿（1）貝线，4x+》+C=0同一侧的所有点的坐标（x,刃代入Ax+By-^C所得的符巧都扭（2）在门线/Lr+Qy+C'=O的一侧取某个特姝点（x°,为），由A%十乎化丄勺符号可以斯定4r+8y+C>Q丧示的是玄线Jx+》+C=0哪一侧的平面区域.3・3.2简单的线性规划问题I.线性规划中的基本概念名称1意义约束条件|关丁•变fctx,y的不等式（组）线性约束条件|关于x,y的一次不零式（组）目标函数1欲求最人值或绘小值的关丁•变童X,〉，的函数解析式线性目标函数关于壮y的一次解析式可行解J满足了写的解（x,y）可行域由所有豆勾鑼_一细成的集合最优解使目标函数取得糜4直的可行解线性规划问题1在财Z*進）卜求线性目标函数的区人値或最小值问'&线性目标函如=亦+如@H0）对应的斜截式“线方程是丁=-*+¥紬轴上的嵌距是*当：变专題㈣第10贝共14臾\n值.饥9诃方“"i'Ff仆W*时*仙:，勺g・如城人时，取脳肿帕"线件规划问題的步r■«曲定曲约来条件：（2）确定馥性■加用践性叽敛（宜z阪优解毗J4-化找样址匕旳实叼'问超中的題乜JLI环柑两种类怡-址给定-皐丄輕'耐收g矶二楚给定-项豎力;物力阪毗叭这叽时成时幼嘗工任―叶讪七隔岫薦需豐3.4畢金个等式I•巫婪不:亨式如果么yaSG屁R,那么齐护,2.墓本不答式倔w辿〜当且仅肖E时取“=”）.（1）区本不等式成立的条件：二｛边』|第（2）等号成立的条件，当且仅当.*,以i—3b_时戢丁；PJ・外术平均数打儿啊平均数「⑴设“X），“甌伽•均数为台一儿何平晰为并⑵W、'EJ叙述为两个止数的算术叫迪―它们的儿时均数1.基本不等式的常用推论（MJ理2_冬宁（6底R）：（2彳+詩.炷％〃同号）；（3）耳亦＞0时,彳+詩2:S＜0时.。+吉7.（4“,+Zr+©・JLub+hc+cga.A.cWR）・••2.用基本不养八求厳值的结论.、（I丿役v.I■：■•■ir、（，、！「」：••-.仃坟上L值为尸电巧亡・?V心.「；：；・＞：八山厂八值）・KTig：时，利x+.）仃绘丄也_值为工±尸瘩^逅3.基本不等式求廉值的条件y必须址卫4工—―：）求枳卩的星人值时，应石利卄」良值_；小和卄尸的最小值时，⑹亦卩是否为良怎（3於？兮成立的条件矩否満起•探题型•提能力■沖…个；、J的关*对;兀次不筲式的水解，耍書『嗾姐两个方面的问遜，①相应的二次函数用彖及打X轴的交点,MWK11K“戒\n—相应的一元二次方程的实根；反之，对丁•二次函敎（二次方程）的何題的求解，也耍善于联哄例;-次小尊式的解与相应的_元_次方程的实根（相应的二次函敷的图母及与X轴的交点）鹫"‘话,'于£-纭+卄200的解集为M，A/en,4],求实散a的取值范用•J孵2題壬碣：EW八。"d?f茫3'厲•衿e"口（s今皿巻-/旳壮问3托旳・rf彷2疗J,T\2矢跟踪训练I甘关T.轴》举古•"伉&cy71'的不奪式/-"+/＜（）的解樂徒（I.m）.则題型二恒成立问題对丁恒成立不竽式求步数范桐问題常见类熨及解法有以卜九种_（1）变更主元法：根据实际悄况的需耍确定合适的主元，-般把知道取值范盹变站作」尢（2）分离参数法：若张）＜或0恒成立.若yfopg⑴恒成立，则加）＞烘5"・（2）数形结合法：利川不等式与曲数的关系将恒成立问吆通过曲数图彖」'〔观化•例2不咎式乙一1＞/心2—I）对满足妬W2的一切实数p的取值都成必，求x的取值范悯.解/护2今-2Wp《2.A?跟踪训练2金）=拧+血一1任R上满足Xx）＜0,则“的取值范隔是上勺*.2s-Q,行Q題甲二简单的线性规划何题关注“线性规划”问题的齐种“变式”：诸如求面枳、距离、参数取值的问題经常岀现，①“可打域“由不雪式和方程共同确定（为线段或射线），②“约农条件”由二次方科的“区间根”间接提供，\n护约束条件”恤性.④目标悔数非线性，如；詡斜睾），好石W丙他离炸求口侮数zp+b+f的址人值或散小值时，只需把自线仪+协=0向上（或向卜）平行移动，侨专曲PU第12贝共14贡\n屮M9:晞'增人（或敍少X6>o）>約M小位读如人值的求解步藝/缈5吨畑昭④解相关方酗—403.3x+»W25・心1.、钮3己知变故，满足,2s跟隊训练3某人承揽一项业务，規格毎张3m',可做文字标牌标牌丨个貰学种规格的原料齐用”0升0匕二冰专门・213-1:定、二相需”缺一不町，可以通过拼凑、换元零手段进疔，何4屈佶Y做了卩+彳=3・求"+丿的址小值.也人値刀•丫yr=扌找出最优解即可5山可行蛾②作炳::条件卞，求盼函紅P+切+C」'求呱心心③編定％的平移力向・“，尹両得出口标險散的处小值或绘大T>T求F+皿辱砂小值：需做文字标牌4个，g“入f绘嘶机个,乙;I：：：/伽耿碱蹄・叶多少张厂皿皿张川'可做文字朋2个，绘・益才乎使得总用料面枳最小.甲规枪川2欷矗1叭I必”g弓峠題型四利用基本不等式求最值利用基本不等式求堰值耍满足“变形.如不能取到最值，可以考虑用曲数的单调性求解.例4设用）=菲^.⑴求金）在［0.+8）上的醱人值；（2）求冗丫）在［2,+8）上的绒人值；Q穴解：“丿多倉r羽・lfTn•:旳”丙'二孫->r与且巾龙先亠寸/外"丿陽“二八Ai吋&）花口肝皿彙共w畝严北衣汞门，跟踪迪护越^耘/'條妇严毎亍IYI.不孤的恳本性质.幺独才点不年丸的社质是不杠这=*擁的脈基y比是不等式的证明和解不等式的主要依摒•因此’要魁练掌握和逵用不等氏的八条性质.•2,一元二次不等式釣求解方法对于一元二次不手式公几址+少0（或NO,vo・W0X其中aHO）的求解，要联想两个方面的问題：二