高中数学 寒假专题复习资料 第三讲 不等式 新人教a版必修5 10页

第三讲、不等式3.1不等关系与不等式1．比较实数a，b大小的文字叙述(1)如果a－b是正数，那么ab；(2)如果a－b等于零，那么ab；(3)如果a－b是负数，那么ab，反之也成立．2．比较实数a，b大小的符号表示(1)a－b>0⇔ab；(2)a－b＝0⇔ab；(3)a－b<0⇔ab.3．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔ba(对称性)；(2)a>b，b>c⇒ac(传递性)；(3)a>b⇒a＋cb＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒acbc；a>b，c<0⇒acbc；(5)a>b，c>d⇒a＋cb＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒acbd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒anbn；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒.3.2一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的概念(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式．(2)一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式或(其中a≠0)．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x10(a>0)的解集为；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为3．分式不等式的同解变形法则：(1)>0⇔f(x)·g(x)0；(2)≤0⇔；(3)≥a⇔≥0.4．一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即\nax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔；ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.5．一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.3．3.1　二元一次不等式(组)与平面区域1．二元一次不等式(组)的概念含有未知数，并且未知数的次数是的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．3．3.2　简单的线性规划问题1．线性规划中的基本概念名　称意　义约束条件关于变量x，y的不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足的解(x，y)可行域由所有组成的集合最优解使目标函数取得的可行解\n线性规划问题在条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2.目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组的直线．当b>0，截距最大时，z取得最值，截距最小时，z取得最值；当b<0，截距最大时，z取得最值，截距最小时，z取得最值．3.用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解．4．在线性规划的实际问题中的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．3.4基本不等式1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b22ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．3．算术平均数与几何平均数(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数它们的几何平均数．4．基本不等式的常用推论(1)ab≤≤(a，b∈R)；(2)＋≥(a，b同号)；(3)当ab>0时，＋≥；当ab<0时，＋≤；(4)a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．5．用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最值为.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最值为.6．基本不等式求最值的条件\n(1)x，y必须是；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为(3)等号成立的条件是否满足．题型一　“三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．例1　设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．跟踪训练1　若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.题型二　恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下几种(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般把知道取值范围的变量看作主元．(2)分离参数法：若f(a)g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．例2　设不等式2x－1>p(x2－1)对满足|p|≤2的一切实数p的取值都成立，求x的取值范围．跟踪训练2　f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，则a的取值范围是________．题型三　简单的线性规划问题关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：(斜率)，(距离)等．求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减少)(b>0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为：①作出可行域；②作出直线l0：ax＋by＝0；③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．例3　已知变量x，y满足求z＝2x＋y的最大值和最小值．跟踪训练3　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2\n，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张？才能使得总用料面积最小．题型四　利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．例4　设f(x)＝.(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；跟踪训练4　设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．[呈重点、现规律]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的两种方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．\n\n\n\n\n