线代复习资料 15页

第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识\n一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。二．矩阵　1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；　2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④\n|kA|=k^n|A|　3．矩阵的秩（1）定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法　　一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。　4．逆矩阵　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；　（2）性质：　(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(AB的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）　（3）可逆的条件：　①　|A|≠0；　②r(A)=n;③A->I;（4）逆的求解伴随矩阵法　A^-1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）　5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1)r(A,b)≠r(A)无解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)=3）行列式的计算：降阶法　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ\n　奇数阶的反对称行列式。二．矩阵　1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；　2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|　3．矩阵的秩（1）定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法　　一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。　4．逆矩阵　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；　（2）性质：　(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(AB的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）　（3）可逆的条件：　①　|A|≠0；　②r(A)=n;③A->I;（4）逆的求解伴随矩阵法　A^-1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）　\n5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1)r(A,b)≠r(A)无解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)