数学复习资料(1) 10页

10-11学年第一学期“微积分”期末复习指导-10-第一章函数一．本章重点二．复习要求1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中⑴.对于对数函数不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、知道分段函数，隐函数的概念。.三．例题选解例1.试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？⑴.⑵.分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。解：⑴.⑵.例2.的定义域、值域各是什么？＝？答：是的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知的定义域是，值域为.四．练习题及参考答案1.则f(x)定义域为，值域为f(1)=；.2.则f(x)定义域为，值域为f(1)=；.3.分解下列函数为简单函数的复合：⑴.⑵.答案：1.（-∞+∞）,,-10-\n2..3.⑴.⑵.自我复习：习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶；习题一.（B）.11.第二章极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。二．复习要求1．了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当à0时,有：～；～～;～;～～.…….（参见教材P79）4.掌握两个重要极限:(Ⅰ).(Ⅱ).记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限：5.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即：当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是：.6.掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数在点间断，必至少有下列三种情况之一发生：⑴、在点无定义；⑵、不存在；⑶、存在，但.若为的间断点，当及都存在时，称为的第一类间断点，特别＝时（即-10-\n存在时），称为的可去间断点；时称为的跳跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。三.例题选解例1.单项选择题⑴下列极限中正确的是（）A.B.C.D.⑵当时，是的（）A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D.等价无穷小；分析与解：⑴．A与C显然都不对，对于D,记，则∴即D也不对，剩下的B就是正确答案。⑵．由于∴应选择D.例3.求极限：⑴⑵解:⑴此极限为型∵当时，有～,～∴⑵此极限为型，可用重要极限。＝.例2．判断函数的间断点，并判断其类型。-10-\n解：由于∴是函数y无定义的点，因而是函数y的间断点。∵∴为函数y的可去间断点；∵∴为函数y的第二类（无穷型）间断。例3．函数在点处连续，求常数k.分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此在连续的充要条件是∵∴四.练习题及参考答案1.填空⑴.当时，与相比，是__________________无穷小；⑵.__________________；⑶.______________.2.单项选择题⑴．设，下面说法正确的是________；A.点都是可去间断点；B.点是跳跃间断点，点是无穷间断点；C.点是可去间断点，点是无穷间断点；D.点是可去间断点，点是跳跃间断点；⑵．下面正确的是______________.A.；B.；C.不存在；D..答案:1.⑴.同阶而不等价的；⑵.；⑶..2.⑴.C;⑵.B.自我复习.习题二(A)11.(4).24.⑴,(4),⑺.27.⑴.(4).28.⑴,⑵.30.⑵.37．⑴,⑶.习题二(B).14.第三章导数与微分一.本章重点.导数的概念，导数及微分的计算.二.复习要求1.掌握函数在处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。-10-\n导数是一个逐点概念，在处的导数的定义式常用的有如下三种形式：.2.知道导数的几何意义，会求在处的切线方程。3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；⑵复合函数求导法；⑶隐函数求导法；⑷取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。三.例题选解例1.求下列函数的导数：⑴．，求⑵．=,求.⑶．设=，求⑷.,求解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：.⑵本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：上式两边对求导，视为中间变量:=注：本题除此方法外，也可以：⑴．∵.∴⑷.例2.设在处可导,且.求分析:将在处的导数的定义式理解为结构式:-10-\n=其中为或的函数.且当时,即可.解:例3．求曲线在点处的切线方程。解：显然，点在曲线上，现求切线的斜率，即曲线方程两边对x求导：解得∴＝1切线方程为：即例4、设试讨论在处的连续性及可导性。分析与解：由已知，；（1）讨论在处的连续性。∵∴在处连续。（2）讨论在处的可导性。分段函数在分段点的导数必须用定义求：即存在四.练习题及参考答案1.单项选择题.设下面说法正确的是（）.A.在不连续；B..在连续，但不可导；C.在可导，且；D.在可导，且.2.填空题在处可导，且,则（1）3.求函数的导数或微分：⑴,求-10-\n⑵,求⑶．，求.4.设确定是的函数，求，并求出函数在点的切线方程。5、证明：（1）若是偶函数且可导，那么是奇函数，（2）若是奇函数且可导，那么是偶函数，答案：1.D.2.3.⑴.(2).；⑶..4.；切线方程：.自我复习:习题三(A)13；21,⑹，⑼；24.⑴，⑵；25；26.⑴,⑺;27.⑸；29.⑵，⑹，⑺；47.⑴，⑵．54.习题三(B)1；3；11.第四章中值定理与导数的应用一.本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；二.复习要求1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“”型或“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“”型或“”型未定式才能使用法则。⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.三.例题选解例1.求下列极限(1).(2).(3).解：(1)-10-\n.(2)原式为幂指型不定式（型），利用代数变换：，得：其中（代换）（）.∴原式＝(3)==（代换）（洛必达）＝.例2.求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。解：函数的定义域为，。令，得驻点，；无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：x0极小极大令得，无不存在的点。曲线的凹向及拐点列表讨论如下：x0-0+0-0+拐点拐点拐点由上面的讨论看出：函数的单减区间为；-10-\n单增区间为。极小值是，极大值是。曲线的凸区间是凹区间是。曲线的拐点有三个：，，。例3.证明不等式分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令则问题转化为证即证在时，单减。∵∴时，单减，有∴也单减，有，证毕。例4.证明：对任意，有分析：本题为恒等式的证明。我们设由拉格朗日定理的推论，若能证明则，再确定即可。证：当时，∴∵∴，证毕！例5求出函数在区间上的最大、最小值。解：显然函数在闭区间上连续，因而必存在最大、最小值。由，解得区间内的可疑点为：-10-\n.比较以下函数值，得.例6.某食品加工厂生产单位的总成本为，得到的总收益是，求出生产该商品单位的边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。解：⑴.利润函数边际利润函数.⑵.当时，⑶.令解得：，∴产量单位时，可获最大利润。注：设函数可导，导函数也称为边际函数。四.练习题与参考答案1.求极限(1)⑵⑶2.证明.当时，有:.3证明：4.求单调区间和极值，凹凸区间和拐点。5.证明当时，有：，并求出常数C.参考答案：1.(1).；⑵.；⑶..4.单增区间；单减区间；极大值，极小值；上凹区间（1＋∞）；下凹（凸）区间（-∞1）；拐点（1,－2）.5..自我复习：习题四（A）8,9.⑸,⑻,⑼，⑾，⑿；14.⑴,⑶,⑸；18.⑴，⑵；19.⑴；20.⑴,⑶；32.⑵，⑷；37；41。习题四（B）10；12.-10-