《复习资料》word版 34页

第八章空间解析几何与向量代数内容提要一、向量代数1.向量的概念⑴定义.具有大小和方向的量称为向量(或矢量),记作或,其中为起点,是终点.大小相等,方向相同的两向量称为相等.⑵向量的模：向量的大小称为向量的模,记作或.①零向量:模为零的向量,记作0(或).零向量方向不定.②单位向量:模等于1的向量.③负向量:与的大小相等,方向相反的向量,称为的负向量,记作.⑶向量的坐标表示将向量的起点与坐标系原点重合,其终点的坐标称为向量的坐标,记作,或,于是.的方向余弦为,,,且.设有两点,,则.2.向量的运算⑴加法.平行四边形法则、三角形法则．设,,则.⑵数乘.,为实数．⑶数量积（或点乘、点积、无向积）①定义　　.②坐标表示.设,,则.③基本性质.1)；2)；3)；4)或.⑷向量在向量上的投影,常称为向量在向量上的投影.记为.⑸向量积(叉乘).34\n①定义.与的向量积是一个向量,其模为,方向垂直于与,且,与成右手系.模等于以,为邻边的平行四边形的面积.②坐标表示.设,,则.③基本性质.1)；2)；3)；4)或.⑹混合积.①定义称为向量,,的混合积,其中.②坐标表示　　③基本性质.1)轮换对称:2)3),,共面④几何意义:等于以,,为棱的平行六面体的体积.二、空间的平面与直线1.平面方程⑴点法式方程,其中为平面上已知点,为平面的法向量.⑵一般式方程..若其中有一个或两个为零,则法向量垂直于相对应的一个或两个坐标轴.⑶三点式方程.过平面上三点的方程为⑷截距式方程,其中分别为平面在轴上的截距.2.两平面之间的位置关系两平面,,则34\n⑴⑵⑶夹角⑷点到平面的距离为3.直线的方程设直线的方向向量为,为直线上一点.⑴参数方程,⑵标准方程⑶一般方程⑷两点式方程已知直线上两点与,则4.两直线间的位置关系设两直线,,⑴异面:⑵相交:且⑶⑷夹角,其中,,.⑸平行:⑹重合:⑺两条异面直线的距离已知和是异面直线,其中为参数,,34\n分别为直线与的方向向量,与分别为与上的点,则与之间的距离为.5.平面束方程过直线的平面束方程为当所求平面过用一般方程表示的直线时,用平面束方程处理很有效.三﹑曲面和空间曲线1.曲面方程⑴一般方程.⑵参数方程,其中为平面上某一区域.2.空间曲线的方程⑴一般方程⑵参数方程,3.常见二次曲面的标准方程⑴球面,其中点为球心,是球的半径.⑵椭球面⑶单叶双曲面⑷双叶双曲面⑸椭圆抛物面⑹双曲抛物面⑺二次锥面(时为圆锥面)⑻二次柱面椭圆柱面(为圆柱面)双曲柱面:抛物柱面.34\n典型例题解析例1已知两直线方程和,求过且平行于的平面方程.解直线、的方向向量分别为,.因为平面过且平行于,所以平面的法向量为,由于平面过,所以点在平面上,故平面方程为,即.例2求与平面平行,而使点与这两平面的距离相等的平面方程.解平面的法向量为,故所求平面的方程可设为又点到该平面距离为而点到平面的距离为由或,从而所求平面的方程为或.例3直线与平面是否平行?若不平行,求交点；若平行,求直线和平面间的距离.方法一因为直线是两平面的交线,所以直线的方向向量应与两平面的法向量,都垂直,从而.方法二在直线上任取两点,比如说令和,由直线的方程即得到两点,,从而得到直线的方向向量.34\n方法三求出直线的标准式方程,根据此题中直线的特点,两平面方程都缺少一变量,很容易导出因此即为直线的标准式方程,从而得到直线的方向向量.平面的法向量是,因为,也就是,根据直线和平面的关系知直线与平面平行.在直线上任取一点,这一点到平面的距离即为直线到平面的距离,令,代入直线的方程解得,从而直线到平面的距离为.例4求直线绕轴旋转而成的旋转曲面方程.解此直线的参数方程为我们暂且选定一个,则平面与所求的旋转曲面的交线应为一圆周,圆心在,因为点在此圆周上,所以圆周的半径.再利用圆周的参数方程可得到此圆周参数方程为当把上述方程中的作为参数时,且取值在上,则上式即是所求的旋转曲面的参数方程.将参数和消去,即得到这个旋转曲面的一般方程为.注一般的空间曲线,绕轴旋转而成的旋转曲面方程为,消去参数34\n就可得到旋转曲面的一般方程.例5求曲线分别绕轴和轴旋转所产生的旋转曲面方程.解曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面方程为；绕轴旋转所产生的旋转曲面方程为.总习题八选解2.在轴上求与点和点等距离的点.解设所求点为,由题意,有,即,解得,即为所求点.3.已知的顶点为、和,求从顶点所引中线的长度.解中点的坐标为,中线的长度为.6.设,,,求.解,,因为,所以解得.7.设,,,求向量与的夹角.解,,设为所求夹角,则有,34\n所以所求夹角为.8.设,,求.解见“典型例题解析”例6.9.设,,问为何值时,最小?并求此最小值.解记,则,为了简化问题,考虑到是严格单调下降的函数,故问题可转化为求的最大值.,令,得唯一驻点,且由附近导数的符号变化可知,为极大值点,也是最大值点,所以当时取到最小值,最小值为.10.设,,,求以和为边的平行四边形的面积.解.11.设,,,向量满足,,,求.解见“典型例题解析”例3.12.设,,.试证,,共面,并用,表示.解见“典型例题解析”例4.13.已知动点到平面的距离与点到点的距离相等,求点的轨迹方程.解由题意,有,即得所求方程为.15.求通过点和且与面成角的平面的方程.分析过,两点的平面可用通过直线34\n的平面束方程表示；两平面的两个法向量所成之角即为它们所成之角.解过两点的直线方程为,即,故过的平面束方程为,即.设为所求平面的法向量,而面的法向量为,所以,而,即.故所求的平面方程为或.16.设一平面垂直于平面,并通过从点到直线的垂线,求此平面的方程.分析考虑几何作图程序:①过点作直线:的垂面；②得垂足点；③过作平面的垂面,即为所求.再考虑解析表示:①过点,以直线的方向向量为法向量的平面方程,即为平面的方程；②将直线的参数方程代入平面的方程,定出参数后,即可得垂足的坐标；③因为所求的平面过两点且垂直于平面,即平行于轴,若为此平面上任一点,则,,共面,由共面式即可得所求平面的方程.解直线:的方向向量为,所以过点且垂直于直线的平面的方程为,即,解方程组,得,即得在平面上的垂足的坐标.34\n设为所求平面上任一点,因为均在所求平面上,平行于所求平面,所以,,共面,,而,所以,化简整理得,即为所求的平面方程.17.求过点且平行于平面,又与直线相交的直线的方程.分析(一)先考虑几何作图的步骤,再将每个步骤用向量代数表示出来:①过点作平面平行于平面,平面的方程由点法式可得；②求已知的直线与平面的交点,将的参数方程代入平面的方程定出后即可求得的坐标；③连接两点的方程即为所求,的方程可由两点式求得.解法一过点,以为法向量的平面的方程为(*)直线的参数方程为,,.代入方程(*)后得,即得直线与平面的交点的坐标为,则过,两点的直线的方向向量为,方程为此即所求的直线方程.分析(二)所求的直线过点与已知平面平行,且与过点的已知直线相交于.若能求出直线的一组方向数,则易得的方程.解法二设为的方向向量,因为直线,和向量共面,故有即(1)34\n又因为,所以,即(2)联列(1)、(2)式,得,故所求的直线的方程为.解法三设所求直线与已知直线相交于,则,或,因为直线平行于平面,所以,于是有,得,可知.故所求的直线的方程为.解法四过点平行于已知平面的平面方程(解法一中已求)为；又过点和已知直线的平面方程为,即故所求的直线的方程为.18.已知点及点,试在轴上求一点,使的面积最小.解设为轴上任一点,由矢量积的几何意义知,的面积,设,则,令,得唯一驻点.根据此问题的实际意义知,的最小面积一定存在,所以在点处34\n的面积最小,其值为.19.求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程.解为求此曲线在坐标面上的投影曲线方程,从此曲线的方程中消去得整理化简得,故此曲线在坐标面上的投影曲线方程为.类似地,消去可得它在坐标面上的投影曲线方程为.消去可得它在坐标面上的投影曲线方程为.20.求锥面与柱面所围立体在三个坐标面上的投影.解由方程组消去,可得,所以该立体在坐标面上的投影为.类似地,消去可得该立体在坐标面上的投影为.至于该立体在坐标面上的投影,是由该坐标面上的直线与抛物线围成,所以其投影为.21.画出下列各曲面所围立体的图形:34\n(1)抛物柱面,平面及；(2)抛物柱面,平面及；(3)圆锥面及旋转抛物面；(4)旋转抛物面,柱面平面及.分析为了作出这些立体图形,若按斜二测图的要求[①正照面上长度同实长；②水平面上向右轴顺时针旋转后与轴成且使轴方向上的长度为实长之半或使轴与轴成,轴方向上的长度为实长之半]建立坐标系之后,可按下列步骤作图:①先作出立体的各界面与坐标面的交线；②再作各界面的交线.为此,应先考虑各界面的公共点的位置,然后便易作出过这些公共点的交线.解(1)如图6,①平面的图形为所在的平面,它与三坐标面的交线分别为及；②抛物柱面与坐标面的交线为；③三点既在抛物柱面上,又在平面上,因此曲线就是这两个面的交线.图6图7即为所求的立体图形.(2)如图7,①抛物面(即)与坐标面的交线为；与坐标面的交线为；与坐标面的交线之一是直线.平面与坐标面的交线为；②三点既在抛物面上,又在平面上,因此曲线就是这两个面的交线.即为所求的立体图形.(3)如图8,①由方程及消去得题中两个曲面的交线方程：,34\n②分别画出以为底,为顶及以为底,为顶的两立体图形,组合后即为所求图形.图8图9(4)如图9,①旋转抛物面与坐标面的交线为；与坐标面的交线为；抛物柱面与坐标面的交线为；平面与坐标面的交线为.②抛物柱面与旋转抛物面的交线为；与平面的交线为；旋转抛物面与平面的交线为.即为所求的立体图形.第九章多元函数微分法及其应用内容提要一、二元函数的定义设有三个变量,,如果对于变量,的变化范围内每一对数值,按照一定的法则,变量总有一个确定的数值与之对应,则称变量是变量,的二元函数,记为和一元函数一样,二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关,而与用什么字母表示自变量与因变量无关。二、二元函数的极限与连续性1.二元函数的极限:,,当时,恒有.二元函数的极限要求点以任何方式,任何方向,任何路径趋向时有,34\n倘若沿两条不同的路径,趋于不同的值,则可断定不存在,这是证明二元函数极限不存在的有效方法.2.二元函数连续性的定义定义1设函数在的某邻域内有定义,分别给自变量,在处以增量,,得全增量如果极限,则称在处连续.定义2如果二元函数满足条件:(1)在点的某邻域内有定义,(2)存在,(3),则称函数在处连续.多元连续函数的性质:(1)多元初等函数在其定义域上连续.(2)有界闭区域上连续函数的性质:若函数在有界闭区域上连续,则函数在上有最(大)小值、有界、必取到介于上函数的两个任意值之间的一切值.三、偏导数、全导数及全微分1.偏导数的定义设函数在的某邻域内有定义,给自变量以增量,而保持不变(即),相应地得到函数关于的偏增量.如果极限存在,则该极限值就称为在处对变量的偏导数,记为,,,,或即同样可定义.注在分界点处的偏导数,要用偏导数定义求.2.全导数的定义34\n设,其中,,且,,,均可导,则是关于的一元函数,也可导,且有称为对的全导数.3.全微分的定义设函数在的某邻域内有定义,给,在处分别以增量,,相应地得到函数的全增量,若其可表示为其中,与,无关,,为,时的高阶无穷小,则称函数在处可微；称为在处的全微分,记为当在可微时,,,于是,一般地,.四、基本定理定理1(可微与偏导数存在的关系定理)若在处可微,则在该点处及必存在,且有.定理2(偏导数存在与可微的关系定理)若的两个偏导数,在点的某邻域内存在,并且在点处连续,则在处可微.定理3(求偏导数与次序无关的定理)若的两个混合偏导数及在区域内连续,则有.定理4若在处可微,则在点处连续.五、多元函数微分法1.简单显函数的微分法求偏导数的方法很简单,在求时,将,当作常数,利用一元函数的求导方法即可求得,求,类似.符号表示先对求偏导(,暂时当常数),然后再对求偏导(此时当常数),符号34\n,,,类似.2.复合函数微分法(1)链式法则.设,在点处有连续偏导数,而在相应点有连续偏导数,则复合函数在点处有连续偏导数,且,.(2)设,在点处可导,在相应点处有连续偏导数,则复合函数在点处可导,且.(3)设,在点处有连续偏导数,而在相应点有连续偏导数,则,.3.隐函数微分法(1)由方程确定隐函数,则,(2)由方程确定隐函数,则,.(3)由三个变量二个方程所构成的方程组,一般是其中两个变量确定为第三个变量的一元函数.例如方程组确定隐函数,.,的求法可通过解关于,的线性方程组来完成:将,当作未知量用克莱姆方法求解.34\n(4)由四个变量两个方程所构成的方程组,一般是其中两个变量确定为另两个变量的二元函数.例如方程组确定隐函数,,,,,的求法可通过解关于,,,的线性方程组来完成:用克莱姆方法求解.同理可求出,.六、方向导数与梯度1.方向导数定义设函数在的某邻域内有定义,是过的任一确定的方向,在上任取一点,使在该邻域内.记,在处沿方向的平均变化率为当沿趋于时,若上式的极限存在,则称此极限值为在处沿的方向导数,记作.定理若在处可微,则在处沿任意方向的方向导数存在,且,其中,为的方向余弦.特别地,当与正轴一致时,,.若,则在点处沿的方向导数为,这里,,为的方向余弦.2.梯度定义函数在点处的梯度是这样一个向量,其方向是使函数增加最快的方向,其大小是函数的最大增长率.在处的梯度记为34\n.方向导数与梯度密切相关,有如下关系:当为锐角时,；当为钝角时,；当时,与的方向一致,是函数增加最快的方向；当时,与的方向相反,是函数减少最快的方向(把称为负梯度).七、多元函数微分学在几何上的应用1.空间曲线在某点处的切线和法平面方程(1)设空间曲线的参数方程为,曲线上一点,则曲线在该点的切线和法平面方程分别为,.(2)设空间曲线的一般式方程为,则曲线在处切线和法平面方程分别为,.其中,,为雅可比行列式.2．空间曲线在其上某点处的切线和法平面方程(1)若曲面为显式方程,则过上一点的切平面与法线方程分别为34\n,.其中为与对应的平面上的一点.(2)若曲面为隐式方程,则过上一点的切平面与法线方程分别为,.八、多元函数的极值1．概念、定理与公式定义1设函数在点的某区域内有定义,如果对于该邻域内异于点的任一点,恒有(或),则称为的极小值(或极大值),极大值与极小值统称极值.使函数取极值的自变量的值,称为的极值点.定义2方程组的解,称为函数的驻点.注:为函数的驻点不能导出为的极值点,为的极值点也不能导出为驻点.定理1(取极值的必要条件)设在点的一阶偏导数存在,且是的极值点,则定理2(函数取极值的充分条件)设在点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且,,,则是的一个极值点.①若或则为极小点.②若或则为极大点.2.条件极值与无条件极值34\n无条件极值问题:函数中的自变量只受定义域约束的极值问题.条件极值问题:函数中的自变量除受定义域约束外,还受其他条件限制的极值问题.(1)无条件极值的解法.①利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型,见定理2.②利用全微分来判断,即假设有一函数在点处,如果,,则为极大值,,则为极小值注:.③配方法.适用于多项式或类似于多项式的函数类型,常用来解决方法①无法解决的问题.(2)条件极值的解法.①化为无条件极值问题求解.②更一般的是利用拉格朗日乘数法求解.注:“乘数法”所得到的点只是“可能”的极值点,到底是不是极值点及类型要依据拉格朗日函数的二阶微分的符号来判断.（3）最值的求法.设函数在闭域上连续,则在上必有最大值与最小值,求最值步骤为：(1)求出在内“可疑”的极值点的函数值；(2)求出在的边界上的最值；(3)将上边所得之函数值进行比较,最大(小)者为最大(小)值.如果是实际问题,知道在内只有一个驻点,则函数在该点的值就是所求的最大(小)值,不必再求在的边界上的最值,也无需判别函数值是极大(或极小)值.典型例题解析例1求下列极限:(1)；(2)；(3).解(1)因为,又,,34\n所以.(2)因为,不妨设,则,由夹逼准则得.(3).例2设,求,.解,..例3设,求.解,故例4设,证明:在点处连续且可偏导,并求出和的值.证当时,由于34\n.故由夹逼准则得,故在点(0,0)处连续..由表示式中的对称性可知,.可见在点(0,0)处可偏导.例5是否存在一个函数,使得,？分析若存在这样的,则由题设知它们均为连续函数.由混合偏导数性质,此时应有,矛盾.所以这样的函数不存在.例6设,求.解若,则；若,则.故同理.例7设，讨论在处的可微性.解,,34\n.令,由于,故在处不可微.例8设,,求.有人这样解:,再求导,得.试问此解法的错误在那里?分析上述解法的错误在于:(1)在中,括号里的偏导数是对复合前的函数中的变量,即中间变量的偏导(此时变量看作为常数),而括号外的中的是指复合后的函数中的自变量,所以把写成是不妥的；同样把写成也是不妥的.在求导的最终结果中,诸如这样的记号中的和都是指处在同一层次上的变量.例如和都是处在同一层次上的中间变量或都是自变量.(2)在求二阶偏导数时,把,仅仅看成是或的函数是错误的.事实上,它们仍然是以,为中间变量,以,为自变量的函数:；()与的复合结构一样.正确的解法应为:,再根据复合函数求导法则,得34\n,即(其中设及连续).例9设,其中具有二阶连续偏导数,具有二阶连续导数,求.解,其中,分别表示对的一阶、二阶导数.例10设,,求,.解把两个等式两边对求偏导数,得,即,由此解得,.例11设,而是由方程所确定的的函数,求.解把方程和两边对求导,得34\n,即解得.例12求函数在点沿指向点方向的方向导数.解函数在点处可微且而的单位化向量为,故在沿的方向导数为.例13求曲面上平行于平面的切平面方程.解记所求切平面在切点处的法向量为,而题设平面的法向量,由得,令比值为,得,又点在曲面上,所以,解得从而得到两切点的坐标为和,于是所求切平面的方程为34\n即.例14证明:曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为常值.证先求切平面的截距式方程.记,则曲面及切平面在曲面上任一点处的法向量为,于是处的切平面方程为:即化为截距式,则为于是截距之和为(为常值).例15求函数的极值.解,,,令,得到驻点,,记,,.在处,,,,故,所以点是极小值点,极小值.在处,,,,故,所以点也是极小值点,极小值.在点处,,故无法断定,只能用别的方法做出判断.若,则,在附近,；若,则,故点不是极值点.注当时,通常用定义的方法判断是否是极值点.例16求由方程确定的函数34\n的极值.解将方程的两边分别对求偏导,得(1)由极值的必要条件(2)将(2)代入(1)得到驻点.将(1)的两个方程的两边分别对求偏导,得(3)，因为,所以为极值点.将代入原方程得.将代入(3)得,,故为极小值；将代入(3)得,,故为极大值.例17求函数在约束条件下的极值解构造拉格朗日函数为.令以下仅就解此方程组的方法进行讨论,不具体求出极值.方法一注意到前三个方程的第一项是三个变量中两个的乘积,所以各方程分别乘以,分别得到34\n,,(5)再相加,得到把(4)代入(6),得,再把它代入(5)便得.方法二把(1)和(2)式分别改写为,,因都不等于0,两式相除,立即消去及,得到同理对(2)与(3)作类似处理,得到从而,再代入(4),便得.例18求二元函数在闭区域上的最大值和最小值.解先求在开区域内的取得极值的可疑点,,令,,得驻点(点在圆域内部).下面用两种方法求函数在边界上的极值.方法一将边界曲线用椭圆参数方程表示为代入函数中,得,,令,即,可见在第二、四象限,得或,所以边界上的驻点为,.各驻点的函数值为,,.所以,所求的最大值为,最小值为.方法二函数在边界上的极值,即为函数在条件下的条件极值,所以,由拉格朗日乘数法,设34\n,令,解得驻点,.以下解法同方法一.总习题九选解3.求函数的定义域,并求.解由定义域为.又函数在点连续,所以.7.求函数当时的全增量和全微分.解,故当时,.34\n8.设,证明:在点处连续且偏导数存在,但不可微分.证明先证连续性,即要证.因为,所以,,从而,又因为,故由两边夹法则可得连续性得证.；同理可得,即在点处偏导数存在.因为,所以考虑动点沿着直线趋于,那么,,此时即,故在点处不可微.9.设,而,都是可微函数,求.解.34\n10.设具有连续偏导数,而,,,求,,.解,,.12.设,,.试求.分析是关于,的函数,,分别是关于,的函数,是由前两个式子确定的函数的反函数.解(1)(2)令,,由隐含数存在定理知,；；；；由(1)(2)式知:,.注对,分别关于求偏导,再解方程组,可得到关于的各个偏导数.34\n14.在曲面上求一点,使这一点处的法线垂直于平面,写出这法线的方程.解,,,由题设要求知,故,从而,所求点为,所求法线的方程为.16.求函数在椭圆球面上点处沿外法线方向的方向导数.解令,则在椭球面上的点处的法向量.从而.18.在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积.解设为椭球面上的一点,则椭球面在该点处的法向量为,切平面方程为,整理得,因为在椭球面上,所以上面方程可写为34\n即.可见,切平面在三个坐标轴上的截距分别为,,,则切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为,因为,所以,即,则.当且仅当时,等号成立.所以在点处取得最大值,为.34