整式分式复习资料 13页

整式乘除与因式分解一、重点难点：重点是整式的乘法运算，因式分解运算．难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。二、知识要点【知识点一】幂的运算（1）同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即(,都是正整数)（2）幂的乘方:幂的乘方:底数不变,指数相乘.即(,都是正整数)（3）积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.即(是正整数)（4）同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.（这个也可以看做分式的运算）即(≠0,,都是正整数，且＞)①零指数幂:不等于零的数的零次幂等于1.即1(≠0).推导过程：（这里面注意：a≠0，因为分母中有a）②负整数指数幂:不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即(≠0,是正整数).例1.计算解:=点评:在整式运算中同样应遵循有括号先算括号（先小括号，再中括号，后大括号，），然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则.例2：0.252009×42009－8100×0.5300．解：0.252009×42009－8100×0.5300＝（0.25×4）2009－（23）100×0.5300＝12009－（2×0.5）300＝1－1300＝0【知识点二】整式乘法(1)单项式乘单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因数.即：3a2b4c×2x3bc6=(3×2)(b4×b)(c×c6)×a2×x3=6a2x3b5c713\n(2)单项式乘多项式单项式与多项式相乘,就是根据乘法对加法的分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即：a(m+n)=am+an（单项式计算部分与上面原理相同）(3)多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.（就是反复多用几次乘法分配律）。即：（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn。（单项式计算部分与上面原理相同）例3.计算：(1)；(2)（2a3-3a+5）（3-a2）；解:(1)==(2)（2a3-3a+5）（3-a2）==点评：为防止“漏项”，应注意将一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项；要正确确定积中每项的符号；如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果；通常情况下，最后结果应按某一字母的降幂排列.【知识点三】：乘法公式(1)平方差公式:两个数的和与这两个数的积,等于这两个数的平方差.即.(2)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.即:,例4.利用乘法公式计算:解:====点评:巧妙的将看作一个整体是解决本题的关键.【知识点四】：整式除法（了解即可，这几年几乎不从这部分里出题）13\n(1)单项式除以单项式:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.【知识点五】因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.（前三个较常考，第四个较难理解，而且大纲里不作要求，近几年不常考，但是用好了会简化许多计算）一、提公因式法.am+an=a(m+n)二、运用公式法.a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2；三、分组分解法.把需要分解的式子改变顺序，对其中某部分提公因式或运用公式，然后再进行下一步的因式分解（一）分组后能直接提公因式例5、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式==每组之间还有公因式！=【注】分组的选择是不唯一的，这道题还可以选择其他的分组方式，试试看。（二）分组后能直接运用公式例6、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就不能继续分解，所以只能另外分组。解：原式===例7、分解因式：解：原式===四、十字相乘法.（这是因式分解的最精华部分，但是大纲里不做要求，是课本中的思考题部分，所以了解即可，但是如果学会了，解题会快很多）（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例8、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。1213\n解：=13=例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）=-7（二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）分解结果：=例7、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=【典型题】例1.设m2＋m－2＝0，求m3＋3m2＋2000的值．分析：由m2＋m－2＝0无法求m，所以要把m3＋3m2＋2000及m2＋m－2＝0变形．解：由m2＋m－2＝0，得m2＝2－m，m2＋m＝2，原式＝m2·m＋3m2＋2000＝（2－m）·m＋3m2＋2000＝2m－m2＋3m2＋2000＝2（m2＋m）＋2000＝2×2＋2000＝2004评析：要多探索方法，寻求新颖简捷的方法．例2.化简求值：5（m＋n）（m－n）－2（m＋n）2－3（m－n）2，其中m＝－2，n＝．分析：先应用乘法公式化简，再代入求值．解：5（m＋n）（m－n）－2（m＋n）2－3（m－n）2＝5（m2－n2）－2（m2＋2mn＋n2）－3（m2－2mn＋n2）＝5m2－5n2－2m2－4mn－2n2－3m2＋6mn－3n213\n＝－10n2＋2mn当m＝－2，n＝时，原式＝－10n2＋2mn＝2n（－5n＋m）＝2××（－5×－2）＝×（－3）＝－评析：本题用到平方差及完全平方公式，注意应用公式要准确．【注】这类习题一定要先化简，在代数求值，以后的分式部分也要这样做例3.已知（a＋b）2＝11，（a－b）2＝5，求（1）a2＋b2；（2）ab．分析：利用完全平方公式变形即可．解：由（a＋b）2＝11，得a2＋2ab＋b2＝11．①由（a－b）2＝5，得a2－2ab＋b2＝5．②①＋②，得2a2＋2b2＝16．故a2＋b2＝8．①－②，得4ab＝6．故ab＝．例4△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解（还有些题是对某部分因式分解）。证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，即a＝c，△abc为等腰三角形。例5简便计算2001×19992001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1（用平方差公式也可以直接得到这一步）=4000000-1=3999999．例6．计算am+5bn+1·a-m+6bn-1　　解：am+5bn+1·a-m+6bn-1　　　　　　分析：无论指数多繁杂同底数幂结合是关键。　　　　=(am+5·a-m+6)(bn+1·bn-1)　　　　　　　　　　=am+5-m+6bn+1+n-1　　　　=a11b2n　例7．计算(-1)2k+1·(-)2k　　解：(-1)2k+1·(-)2k　　　　　　　分析：①(-1)的奇次幂是-1　　　　=(-1)·[(-)2]k　　　　　　　　（-1）的偶次幂是+1　　　　=-1·()k　　　　　　　　　　　　②利用amn(am)n将(-)2k13\n　　　　=-()k=　　　　　　　　　　变形(-)2k=[(-)2]k=()k例8．用简便方法计算：(1)(-9)3·(-)3·()3　　　　分析：本题逆用积的乘方公式，即同指数的若干个幂的积等于它们底数乘积之幂。ambmcm=(abc)m　　解：(1)(-9)3·(-)3·()3　　　　　　=[(-9)(-)()]3　　　　　　=(9××)3=23=8例9如果2·8n·16n=222,求n的值分析：依据相等的2个幂，如其底数相同，则其指数相等的原理解方程。　　解：∵2·8n·16n=222　　又∵左边=2·8n·16n=2·(23)n·(24)n=2·23n·24n=21+3n+4n=21+7n　　∴21+7n=222,　∴1+7n=22　　∴n=3例10已知求的值解：（）2=x2-2x·+()2=x2-2+()2=4=4+2=6例11如果a＋b－2a＋4b＋5＝0，求a、b的值解：a＋b－2a＋4b＋5＝（a-1）2+（b+2）2=0所以a-1=0b+2=0所以a=1b=-2例12两个连续整数的平方差必是奇数解：设这两个连续整数是n和n+1则这两个数的平方差是（n+1）2-n2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1因为n是整数所以2n+1是奇数则结论成立。分式一、重点难点：重点是提高分式部分化简求值的运算能力，注意分式什么时候无意义，什么时候值为0；会解分式方程，会用分式方程解决实际问题。难点是计算要快速准确，解方程记得检验是否是增根。二、知识要点【知识点一】分式的基础知识13\n1.分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．若B≠0，则有意义；若B=0，则无意义；若A=0，B≠0，则＝0.2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为,(C≠0).3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.【注】通分的关键是确定n个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．例1下列各式，哪些是整式，哪些是分式？例2分别求出使下列式子有意义的x的值。解:分式有意义，只要分母不为0就可以第一个：x-3≠0x≠3第二个：-3≠0x≠3第三个：x2≠0x≠0例3如果分式的值为零，那么等于解：依题意得3x-9≠0x≠3-3=0x=3综合起来，x=-3（x=3的时候分式分母为0，无意义）13\n例4例5不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。    【知识点二】分式的运算【注：这部分中考必有一道题，计算一定要大量练习，要保证准的基础上，提高速度。】   （1）分式乘除法：概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。经观察、类比不难发现例6解：原式== 例7.先化简，再求值。【中考题型，一定要先化简，再代数，切记。】   13\n（2）分时加减法同分母的分式加减法与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式加减法与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。例8例9【知识点三】分式方程概念：含有分式的等式（方程）叫分式方程。【注】对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。（验跟是只有分式方程中才特有的，但是必须的）验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知数的值代入分式的分母，看分母的值只否为零，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。例1013\n解：方程两边同时乘以得整理，得解这个方程，得经检验，是原方程的增根，应舍去.所以原方程的根是例11年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。主要的等量关系是：小丽家今年7月份的用水量—小丽家去年12月份的用水量=5m3所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。解：设该市去年居民用水的价格x元/m3，则今年的水价为（1+1/3）x元/m3，根据题意，得        解这个方程，得x=1.5经检验，x=1.5是所列方程的根。1.5×（1+1/3）=2（元）所以，该市今年居民用水的价格2元/m3。例12解：原方程变为（）2+（）-2=0所以=-2x1=x2=-1或=1这个方程无解经检验，x1=x2=-1是这个方程的跟。例13如果方程有增根,则k=__________解：解这种题，不要先带x的值，因为带进去分母为0，分式无意义，所以，先通分，在通分时，等式两边乘以0，对等式是没有影响的，所以，原方程可化为：（x+k）-x(x+1)=2(x2-1)整理3x2-k-2=0此时，带入x=1，求k的值，k=1例14若，求的值.解：因为所以y-x=3xy=13\n【巩固练习】【整式部分】1、计算：（1）（－3a）·（－2a）；（2）－3xyz·（xy）．（3）－21ab÷7ab；（4）7a5bc÷（－3ab）；（5）÷x（6）（）（）2、若5n＝2，4n＝3，则20n的值是；若2n+1＝16，则x＝________.3、已知求m、n的值4、（提示：用平方差公式）5、已知，，求的值6、在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为．7、若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状。8、已知，，求：（1）（2）（3）的值。9、利用因式分解说明：能被140整除10、因式分解（1）（2）（3）；（4）（5）（6）（7）（8）(9)2x2-7x＋3；(10)6x2-7x-5；(11)-3x2－7x-2；(12)5x2＋6xy-8y2．【注】后四个是用十字相乘法因式分解，尽量做13\n11、已知，求的值。12、已知：a、b、c为的三边，并且满足求证：是等腰三角形。【分式部分】1、已知：3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,求的值.2、化简：3、计算：1－4、先化简，再求值：[]÷2x，其中x=3,y=-1.55、解方程：6、先化简，再求值：，其中a2+2a-1=07、方程的解是________。8、先化简，再求值：，其中.9、已知x2－4x＋1=0,求的值.10、已知：，求的值。13\n11、已知，求的值。12、已知,求.13已知a、b、c为实数，且，则14、甲做180个机器零件与乙做240个机器零件所用的时间相同，已知两人每小时共做70个机器零件，两人每小时各做多少个？15、一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。16、轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度17、华联超市用50000元从外地采购一批T恤衫，南于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购比上一次多2倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完。求商场在这笔生意上盈利多少元？18、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．13