整个初中教案加试卷 211页

第七章　平面图形的认识(二)7．1　探索直线平行的条件知识点一　同位角、内错角、同旁内角如图所示，两条直线a、b被第三条直线c所截成的8个角中，如∠1与∠2分别在直线a、b的相同一侧，并且都在截线c的同旁，那么这两个角叫做同位角；如∠4与∠5，都在直线a、b之间，并且分别在截线c的两旁，那么这一对角叫做内错角；如∠2与∠5都在直线a、b之间，并且都在截线c的同旁，这样的一对角叫做同旁内角．常见的图形如图．,∠1与∠2是同位角　　　,∠3与∠4是内错角　　　,∠5与∠6是同旁内角为了便于记忆，我们把同位角、内错角、同旁内角的基本图形形象地记作“F型”、“Z型”、“C型”．例1　如图，∠1与∠2、∠2与∠C、∠2与∠3分别是哪两条直线被哪一条直线截成的什么角？解析　∠1的两边是DA、DE，∠2的两边是ED、EA，它们有一条边在同一条直线上，则∠1与∠2是AB、AC被DE截成的同旁内角．用以上方法判别另外两组角．解　∠1与∠2是AB、AC被DE截成的同旁内角，∠2与∠C是DE、BC被AC截成的同位角，∠2与∠3是AB、AC被DE截成的内错角．友情提醒　要善于从复杂的图形中分解出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，最简单的方法是：先在图中找到这两个角，两个角公共边所在的直线是截线，其余两边就是被截的两条直线．知识点二　两直线平行的判定方法同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．例2　如图．(1)如果∠A＝________，那么根据________________，可得AC∥ED；(2)如果∠2＝________，那么根据________________，可得AC∥ED；(3)如果∠A＋________＝180°，那么根据________________，可得AB∥FD.解析　根据两直线平行的判定方法，寻找符合条件的角．答案　(1)∠BED　同位角相等，两直线平行　(2)∠DFC　内错角相等，两直线平行　(3)∠AFD　同旁内角互补，两直线平行友情提醒　本题应从结论入手，追溯到能使结论成立的原因，即“若结论成立，则需要什么条件”．———————————————第七章　平面图形的认识(二)教材中的“？”解答想一想(P7)思路点拨：∠1与∠2这两个角相对于直线a、b、c的位置是相同的，领会“同位角”的含义．解答：∠5与∠6、∠3与∠4、∠7与∠8都是同位角．议一议(P7)思路点拨：由∠2＝∠3去说明∠1＝∠2；由∠2＋∠3＝180°去说明∠1＝∠2.解答：1.因为∠1＝∠3，又∠2＝∠3，所以∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可得a∥b.2．因为∠1＋∠3＝180°，又∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可得a∥b.一、判断两条直线平行例1　如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，且∠AGE＝46°，∠EHD＝134°，那么AB\n∥CD吗？试说明理由．解析　利用已知条件去说明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，从而判定AB∥CD.解　AB∥CD.因为∠AGE＝46°，且∠BGF＝∠AGE，所以∠BGF＝46°.又∠DHG＝134°，所以∠BGH＋∠GHD＝46°＋134°＝180°.根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AB∥CD.点评　要将已知条件与判定两条直线平行的条件联系起来，学会互相转化．例2　如图，已知∠2＝3∠1，且∠3＋∠1＝90°，你能判定AB∥CD吗？说明理由．解析　要判定AB与CD是否平行，只要设法找出与AB、CD有关的一对同位角(或内错角)，看它们是否相等即可，或找一对同旁内角，看它们是否互补．图中∠1与∠3是一对同位角，根据已知条件判断∠1＝∠3即可．解　AB∥CD.因为∠1＋∠2＝180°，∠2＝3∠1，所以∠1＋3∠1＝180°.所以∠1＝45°.又因为∠3＋∠1＝90°，所以∠3＝45°.所以∠3＝∠1.根据“同位角相等，两直线平行”，可得AB∥CD.点评　利用已知条件确定有关角的大小，然后判定是否满足两条直线平行的条件．例3　如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠DBE＝∠A，你能判断BE与AC的位置关系吗？请说明理由．解析　利用已知条件去说明内错角相等，从而判定BE∥AC.解　BE∥AC.因为BE平分∠ABD，所以∠DBE＝∠EBA.又∠DBE＝∠A，所以∠EBA＝∠A.根据“内错角相等，两直线平行”，可得BE∥AC.点评　综合运用所学知识，判断两条直线平行．二、开放探索型问题例4　如图，AB、CD、EF、MN构成的角中，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有平行线吗？如果有，把互相平行的直线找出来，并说明理由．解析　将已知条件“∠1＝∠2＝∠3”与所讨论的“同位角、内错角、同旁内角”联系起来，看是否有新的发现．解　AB∥CD，EF∥MN.因为∠1＝∠4，且∠1＝∠2，所以∠2＝∠4.根据“同位角相等，两直线平行”，可得AB∥CD.因为∠1＝∠4，且∠1＝∠3，所以∠3＝∠4.根据“同位角相等，两直线平行”，可得EF∥MN.点评　本题是结论开放型问题，要结合图形提出合理猜想，然后逐一验证．例5　如图，根据“同位角相等，两直线平行”，图中哪两个同位角相等，可得DE∥BC？根据“内错角相等，两直线平行”，哪两个内错角相等，可得EF∥BD？根据“\n同旁内角互补，两直线平行”，哪两个同旁内角互补，可得EF∥BD?解析　观察图形可知，DE、BC可以被AB所截，也可以被AC或BD所截，将平行线放到三角形中．解　∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”，可得DE∥BC.∠FED＝∠BDE，根据“内错角相等，两直线平行”，可得EF∥BD.∠FEB与∠EBD互补或∠EFD与∠FDB互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得EF∥BD.点评　如果要我们添加一个条件，使得EF∥BD，显然这个条件不是唯一的，这样本题就是一个开放型问题．三、实际应用型问题例6　一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是(　　)A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向左拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°解析　根据题意，以上四个选项的示意图分别如图①②③④所示．答案　C点评　先画出示意图，再利用两直线平行的条件加以判断．四、操作与解释例7　如图，小明用三个相同的三角尺在桌面上拼接成一个图形，你能在图①中找出三组平行线吗？并说明你的理由．,①　　　　,②解析　将图①的实物图转化为图②，可知∠B＝∠AEC＝∠DCE＝30°，∠BAC＝∠ACE＝∠DEC＝90°，∠BCA＝∠CAE＝∠EDC＝60°.解　BC∥AE或CD∥AE，AB∥CE，AC∥ED.根据题意，知∠B＝30°，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠B＋∠BAE＝180°.所以BC∥AE.因为∠DCE＝∠CEA＝30°，所以CD∥AE.因为∠BAC＝∠ACE＝90°，所以AB∥CE.因为∠ACE＝∠CED＝90°，所以AC∥ED.点评　要善于从实践操作中引发数学思考，挖掘操作中的条件，探索操作后的结论．1．如图，下列各组判断错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．∠2与∠3是同位角B．∠1与∠3是内错角C．∠2与∠4是同旁内角D．∠1与∠2是内错角,(第1题)　　　,(第2题)　　　,(第3题)2．如图，可以确定AB∥CE的条件是(　　)A．∠2＝∠BB．∠1＝∠AC．∠3＝∠BD．∠3＝∠A3．如图，能判定AB∥CD的条件是(　　)A．∠1＝∠2B．∠1＋∠2＝180°C．∠3＋∠4＝180°D．∠3＋∠4＝90°4．如图，如果∠1＝∠2，那么根据________________，可得________∥________；如果∠B＋∠BDE＝180°，那么根据____________，可得________∥________.\n,(第4题)　　　　,(第5题)5．如图，∠1＝48°，∠3＝56°，当∠C＝________时，MN∥BC.6.如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C，请找出图中互相平行的直线，并说明理由．7.如图，已知直线AB、CD被GH所截，交点分别为点E、F，∠AEF＝∠EFD.(1)写出AB∥CD的根据；(2)若ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，则EM与FN平行吗？请说明理由．\n8.如图，∠1与∠D互余，CE⊥DE，直线AB与CD平行吗？为什么？,9.如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC.(1)∠DAB与∠B互补吗？为什么？(2)AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？10.如图，直线EF过点A，D是BA延长线上的点，当具备什么条件时，可以判定EF∥BC？为什么？\n11.如图，有两块平面镜A与B，光线由水平方向射来，传播路线为a→b→c，a⊥b，b⊥c，∠1＝∠3＝45°，你知道平面镜A与B之间的位置关系吗？1.D2.C3.B4.内错角相等，两直线平行　AD　EF　同旁内角互补，两直线平行　DE　BC5．76°6.由∠2＝∠C，知BD∥AC.又∠1＝∠2，所以∠1＝∠C，所以AB∥CD.7.(1)内错角相等，两直线平行．(2)因为ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，所以∠MEF＝1,2∠AEF，∠EFN＝1,2∠EFD.又∠AEF＝∠EFD，所以∠MEF＝∠EFN.所以EM∥FN.8．由CE⊥DE可知∠1＋∠BED＝90°，又∠1＋∠D＝90°，所以∠BED＝∠D，所以AB∥CD.9.(1)由AB⊥AC，知∠BAC＝90°，又∠1＝30°，∠B＝60°，得∠DAB＋∠B＝180°.(2)由(1)知∠DAB＋∠B＝180°，得AD∥BC，但无法判断AB与CD是否平行．10.答案不唯一．如∠DAF＝∠B或∠EAB＝∠B或∠FAC＝∠C或∠FAB＋∠B＝180°等．11.平面镜A与平面镜B互相平行．\n隔山修路如图，有一座山，要在山的两边分别修两条平行的公路与公路AB相接，工程师测出∠1＝138°，∠2＝42°，就可以判断两条公路互相平行，为什么？因为∠1＝138°，所以∠3＝42°.又因为∠2＝42°，所以∠2＝∠3.根据“同位角相等，两直线平行”，可以判断两条公路互相平行．这是“直线平行的条件”在实际生活中的应用，像这样运用数学知识来解决实际问题的例子很多，解决这类实际问题，一般可以按照下列步骤进行：(1)将实际问题转化成数学问题；(2)解这个数学问题；(3)回到实际问题中，检验问题的答案．练一练(P7)1.∠1与∠C是DE、BC被AC截成的同位角；∠2与∠B是DE、BC被AB截成的同位角；∠3与∠C是DF、AC被BC截成的同位角．2.直线a与直线b平行．因为∠1＝∠3，∠2与∠3是对顶角，∠2＝∠3，所以∠1＝∠2.所以a∥b.练一练(P9)1.∠1与∠B是AC、BD被EB截成的角，它们是同位角；∠3与∠4是EB、CD被AD截成的角，它们是内错角；∠2与∠4是AC、DC被AD截成的角，它们是同旁内角．2.(1)AB　CE　(2)∠E　(3)AD　BE　(4)ADE3.AB与CD平行．因为∠AOD＝∠BOE＝130°，∠EDC＝50°，所以∠AOD＋∠EDC＝180°.所以AB∥CD.习题7.1(P9)1.本题具有开放性，如：当∠1＝∠2时，a∥b，同位角相等，两直线平行；当∠2＝∠7时，a∥b，内错角相等，两直线平行；当∠2＋∠5＝180°时，a∥b，同旁内角互补，两直线平行．2.当∠B＝90°时，DB∥AO；当∠C＝58°时，DO∥AC.3.(1)这两条垂线平行．由已知条件，可得∠1＝90°，∠2＝90°.所以∠1＝∠2.所以a∥b.　(2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行．4.(1)如图．,(2)所作的∠EBC有两种情况：当∠EBC与∠DAC在BC的同旁时，根据“同位角相等，两直线平行”，可以判断BE∥AD；当∠EBC与∠DAC在BC的两旁时，BE与AD不平行．5.根据“内错角相等，两直线平行”，可以判断AB∥DC.根据“同位角相等，两直线平行”，可以判断AD∥BC.6.由∠ABC＝120°，∠BCD＝120°，得∠ABC＝∠BCD.根据“内错角相等，两直线平行”，可以判断AB∥CD.7.(1)因为AB⊥AD，所以∠BAD＝90°，∠BAC＝∠BAD＋∠1＝115°.又因为∠B＝65°，所以∠BAC＋∠B＝180°.所以AC∥BD.(2)根据题中的条件还不能判断AB∥CD.要判断AB∥CD，需添加条件：∠C＝65°或∠ADC＝90°或∠BDC＝115°.8.AC与DE平行．由∠B与∠BCD互为余角，得∠B＋∠BCD＝90°.因为∠B＝∠ACD，所以∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°.又由DE⊥BC，得∠DEB＝90°.因为∠ACB＝∠DEB＝90°，所以AC∥DE.\n7．2　探索平行线的性质知识点一　平行线的性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．例1　如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b，∠1＝118°，求∠2的度数．解析　由a∥b知∠2＝∠3，∠2＝∠4，∠2＋∠5＝180°，所以要求∠2的度数，就要求∠3或∠4或∠5的度数．解　因为a∥b，所以∠3＝∠2.由∠1＝118°，得∠3＝180°－∠1＝62°，所以∠2＝62°.友情提醒　除以上方法外，还可以这样求解：解法一：因为a∥b，所以∠2＝∠4.由∠1＝118°，得∠4＝180°－∠1＝62°，故∠2＝62°.解法二：因为a∥b，所以∠2＋∠5＝180°，由∠1＝118°，得∠5＝∠1＝118°，故∠2＝180°－∠5＝62°.知识点二　平行线的判定与平行线的性质的区别平行线的判定是通过探求角之间的关系，来判定两条直线是否平行，而平行线的性质是通过已知两直线平行，去探求角之间的关系．例2　如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4的度数．解析　由已知先判定直线AB与CD平行，从而发现∠3与∠4之间的关系．解　由于∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可得AB∥CD.根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠3＝∠4，又∠3＝110°，所以∠4＝110°.友情提醒　由“平行”就应想到有关角的相等，由有关角的相等就应考虑是否能得到直线间的平行关系．教材中的“？”解答议一议(P12)思路点拨：根据“两直线平行，同位角相等”，将同旁内角之和进行转化．解答：如图，因为a∥b，所以∠1＝∠2.又因为∠1＋∠3＝180°，所以∠2＋∠3＝180°.一、平行线的性质例1　如图，已知a∥b，c∥d，∠1＝100°，求∠2、∠3的度数．解析　因为a∥b，所以∠2＝∠1.又因为c∥d，所以∠2＋∠3＝180°.解　因为a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠1＝∠2.又因为∠1＝100°，所以∠2＝100°.因为c∥d，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知∠2＋∠3＝180°.所以∠3＝180°－100°＝80°.点评　本题利用平行线的性质弄清各角之间的数量关系．二、平行线的判定与平行线的性质的综合应用例2　如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F吗？为什么？解析　要将此复杂图形分解为几个简单的“三线八角”的图形．\n解　∠A＝∠F.因为∠2＝∠3，且∠1＝∠2，所以∠1＝∠3.所以BD∥CE.由BD∥CE，得∠ABD＝∠C，又因为∠C＝∠D，所以∠ABD＝∠D.所以DF∥AC.所以∠A＝∠F.点评　本题既用到了平行线的性质，又用到了平行线的判定．由∠1＝∠3得BD∥CE，由∠ABD＝∠D得DF∥AC，这是平行线的判定．由BD∥CE得到∠ABD＝∠C，由DF∥AC得到∠A＝∠F，这是平行线的性质．例3　如图，已知∠ADE＝∠B，FG⊥AB，∠EDC＝∠GFB，CD与AB垂直吗？简述你的理由．解析　根据垂直的定义，要判断CD与AB是否互相垂直，就是判断∠CDB是不是直角．解　CD⊥AB.因为∠ADE＝∠B，所以DE∥BC.所以∠BCD＝∠EDC.又因为∠EDC＝∠GFB，所以∠BCD＝∠GFB.所以FG∥CD.又因为FG⊥AB，所以∠BGF＝90°.所以∠CDB＝90°.所以CD⊥AB.点评　根据已知条件判定两直线平行，然后再利用两直线平行的性质去探索新的问题，是此类综合题的解题特点．三、开放型问题例4　如图，已知下列三个条件：①AD∥CB；②AB∥CD；③∠A＝∠C.从中任选两个作为条件，另一个作为结论，编一道数学题，并说明理由．已知：　，结论：　.你的理由：　　　　.解析　不妨将①②作为条件，看能否得出③，然后改变条件，再做尝试．答案　(答案不唯一)AD∥CB，AB∥CD∠A＝∠C因为AD∥BC，所以∠A＝∠ABF.又因为AB∥CD，得∠ABF＝∠C，所以∠A＝∠C.点评　本题是开放型问题，除以上解答之外还有：如果AD∥CB，∠A＝∠C，那么AB∥CD；如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD∥CB.例5　已知AB∥CD，在直线AB和CD上分别任取一点E、F.(1)如图①，已知有一定点P在AB、CD之间，试问∠EPF＝∠AEP＋∠CFP吗？为什么？(2)如图②，如果AB、CD的外部有一定点P，试问∠EPF＝∠CFP－∠AEP吗？为什么？,①　　　　,②解析　(1)中过点P作直线AB的平行线；(2)中过点Q作PE的平行线．解　(1)如图①，过点P作PQ∥AB，把∠EPF分割成两部分∠EPQ和∠QPF，又因为AB∥CD，所以PQ∥CD.所以∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠QPF.所以∠EPF＝∠EPQ＋∠QPF＝∠AEP＋∠CFP.(2)如图②，过点Q作QG∥PE，则∠FQG＝∠EPF，∠AEP＝∠EQG.又AB∥CD，则∠CFP＝∠FQB，所以∠FQG＝∠FQB－∠EQG＝∠CFP－∠AEP，从而∠EPF＝∠CFP－∠AEP.\n,①　　　　,②点评　本题通过添加辅助线，构造出同位角和内错角，利用平行线的性质解决问题．四、实际应用题例6　如图，ABCD是一块釉面砖，居室装修时需要一块梯形的釉面砖APCD，且使∠APC＝120°.请在长方形AB边上找一点P，使∠APC＝120°.然后把多余部分割下来，试着叙述怎样选取点P及选取点P的理由．解析　由于点P在AB上的位置暂没有确定，故考虑到AB∥CD，将问题转化为确定∠DCP＝60°.解　以C为顶点，CD为一边，在∠DCB内画∠DCP＝60°，交AB于点P，则点P为所选取的点．理由：因为AB∥CD，则∠APC＋∠DCP＝180°，因为∠DCP＝60°，得∠APC＝120°.点评　本题利用平行线的性质，将问题进行了转化．1．如图，AB∥CD，则下列结论中错误的是(　　)A．∠1＝∠CB．∠2＝∠4C．∠3＝∠5D．∠B＋∠BDC＝180°,(第1题)　　　　　,(第2题)2．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的3倍，则∠2等于(　　)A．120°B．145°C．150°D．135°3．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于(　　)A．75°B．105°C．45°D．135°4．如图，∠1＝42°，∠2＋∠3＝180°，则∠4＝________.,(第4题)　　　,(第5题)　　　,(第6题)5．如图，AD是∠EAC的平分线，且AD∥BC，则图中与∠B相等的角有　　　　.6．如图，已知AB∥CD，AC∥DE，∠1＝40°，∠B＝65°，则∠E＝________.7.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，试说明∠1＋∠2＝90°.8.如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，AB与CD平行吗？为什么？9.如图，已知AB⊥MN，CD⊥MN，那么∠1与∠2相等吗？请说明理由．10.如图，∠A＝∠DCE，∠B＝∠D，那么BC与DE平行吗？为什么？11.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，∠B＝60°，你能求出哪些角的度数？为什么？你能求出∠A的度数吗？12.如图，∠1＝∠2，能判断AB∥DF吗？为什么？若不能判断AB∥DF\n，你认为还需要再添加的一个条件是什么呢？写出这个条件，并说明你的理由．13.如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠BAF＝∠AFE.那么∠DCE＋∠E＝180°吗？为什么？14.如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别是D、F，∠BEF＝∠CDG.那么∠B＋∠BDG＝180°吗？为什么？15.如图，已知AB∥CD，∠A＝30°，∠C＝60°，EF、EG三等分∠AEC.(1)求∠AEF的度数；(2)EF∥AB吗？为什么？16.按下面的方法折纸，然后解答问题：若∠1＝40°，你能求出∠2的度数吗？17.如图①，AB∥EF，BC与CF交于点C.(1)试猜想∠BCF、∠B、∠F之间的关系，你能说明理由吗？(2)变换一下图形，当点C在直线BF的右侧时(如图②)，你还能猜出∠BCF、∠B、∠F之间的关系吗？试说明理由．1．C2．D3．C4．138°5．∠EAD，∠DAC，∠C6．75°7.因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠DCB＝180°，又BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠2＝1,2∠ABC，∠1＝1,2∠BCD.所以∠1＋∠2＝90°.8.AB∥CD.因为AD∥BC，所以∠1＝∠2.又因为∠BAD＝∠BCD，所以∠3＝∠4.所以AB∥CD.9.∠1＝∠2.因为AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°.所以AB∥CD，所以∠1＝∠2.10.BC∥DE.因为∠A＝∠DCE，所以AB∥CD.所以∠B＝∠BCD.又因为∠B＝∠D，所以∠BCD＝∠D.所以BC∥DE.11.因为AB∥CD，所以∠B＋∠C＝180°.所以∠C＝180°－∠B＝120°，不能求出∠A的度数．\n12.由∠1＝∠2，不能判断AB∥DF.添加的条件不唯一．如：∠CBD＝∠BDE或BC∥DE.如：由∠CBD＝∠BDE，且∠1＝∠2，得∠ABD＝∠FDB，因此AB∥DF.13.因为AB⊥BF，CD⊥BF，所以AB∥CD.又因为∠BAF＝∠AFE，所以AB∥EF.所以CD∥EF，所以∠DCE＋∠E＝180°.14.因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠BFE＝∠BDC＝90°，所以CD∥EF.所以∠BEF＝∠BCD.又因为∠BEF＝∠CDG，所以∠BCD＝∠CDG，所以BC∥DG.所以∠B＋∠BDG＝180°.15.(1)由AB∥CD，可以求得∠AEC＝∠BAE＋∠DCE＝90°.因为EF、EG三等分∠AEC，所以∠AEF＝30°.(2)因为∠BAE＝∠AEF，所以EF∥AB.16.70°17.(1)∠BCF＝∠B＋∠F.理由：过点C作CG∥AB，因为AB∥EF，所以CG∥EF，所以∠B＝∠BCG，∠GCF＝∠F，所以∠BCF＝∠BCG＋∠GCF＝∠B＋∠F.(2)∠BCF＋∠B＋∠F＝360°.理由：过点C作CG∥AB，因为AB∥EF，所以CG∥EF，所以∠B＋∠BCG＝180°，∠GCF＋∠F＝180°，所以∠B＋∠BCG＋∠GCF＋∠F＝180°＋180°，即∠BCF＋∠B＋∠F＝360°.过直线外一点作直线的平行线我们已经学过用直尺和三角尺画平行线的方法，现在同学们应该知道这种画法的依据：同位角相等，两直线平行．在推动三角尺的过程中，就是保证了同位角相等，根据平行线的判定的第一种方法便知这两条直线平行．也就是说，如果只要使同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，就能保持两条直线平行．结合前面我们学到的用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法可以作平行线，比如过直线AB外一点P作直线AB的平行线(如图①)．画法：①过点P作直线MN，交AB于点Q(如图②)；②过点P作直线CD，使同位角∠MPD＝∠PQB.直线CD就是所求的平行线．下面请同学们练一练：(1)如图③，过点A画MN∥BC；(2)如图④，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E.,①　　,②　　,③　　,④练一练(P13)1.l3⊥l2.如图，因为l3⊥l1，所以∠1＝90°.又因为l1∥l2，所以∠2＝∠1＝90°，即l3⊥l2.2.由CD∥EF，得∠ADC＝∠AFE，∠BFE＝∠BDC，∠BEF＝∠BCD，理由是：两直线平行，同位角相等；由CD∥EF，得∠CDE＝∠FED，理由是：两直线平行，内错角相等；由DE∥AC，得∠BED＝∠BCA，∠BDE＝∠A，理由是：两直线平行，同位角相等；由DE∥AC，得∠CDE＝∠ACD，理由是：两直线平行，内错角相等．又由∠CDE＝∠FED，∠CDE＝∠ACD，得∠FED＝∠ACD.习题7.2(P13)1.∠α＝120°时，能使公路准确接通．2.在点C处作∠DCE＝30°，交AB于点E，则点E为所要找的点．因为AB∥DC，所以∠AEC＋∠DCE＝180°.又因为∠DCE＝30°，所以∠AEC＝180°－30°＝150°.符合题意．3.因为a∥b，所以∠1＋∠2＝180°，∠2＝180°－∠1＝180°－121°＝59°.又因为∠2与∠3是对顶角，∠3＝∠2，所以∠3＝59°.4.由BD平分∠ABC，得∠ABC＝2∠1＝2×25°＝50°，∠DBC＝∠1＝25°.因为ED∥BC，所以∠2＝∠DBC＝25°，∠3＝∠ABC＝50°.5.根据两直线平行的条件，由∠1＝∠2，得a∥b.根据平行线的性质，由a∥b，得∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∠2＝∠7，∠4＝∠5，∠2＋∠5＝180°，∠4＋∠7＝180°.\n7．3　图形的平移知识点一　平移在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．它由移动的方向和距离决定．平移中对应点的连线是平移的方向，连接对应点的线段的长度是平移的距离．例1　如图所示，三角形ABC平移后能得到三角形DEF的是(　　)解析　根据平移的定义，可知只有A图形通过平移才能得到．答案　A友情提醒　图形的平移是把图形上每一点沿某一方向平移相同的距离．知识点二　平移的性质平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．图形经过平移，连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等，这里连接各组对应点的线段平行指平行于平移的方向，相等指都等于平移的距离．对应线段平行且相等，对应角相等．例2　如图，三角形ABC沿射线xy的方向平移一定距离后成为三角形DEF，找出图中平行且相等的线段和相等的角．解析　观察原三角形经过平移后的位置，确定对应点、对应线段及对应角．解　点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，因为经过平移，对应点所连的线段平行且相等，所以AD∥CF，AC∥DF，BC∥EF，AD＝CF＝BE.平移不改变图形的形状和大小，所以AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE.友情提醒　平移前后图形的形状和大小不变，而且图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行(或在同一条直线上)并且相等．知识点三　平行线之间的距离如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．例3　如图，EF∥HG，∠F＝∠G，则表示EF、HG之间距离的线段是(　　)A．EFB．FGC．GHD．HE解析　去找和直线EF与HG都垂直的线段．因为EF∥HG，所以∠F＋∠G＝180°，因为∠F＝∠G，所以∠F＝∠G＝90°，所以FG既垂直于EF又垂直于HG，所以应选择B.答案　B友情提醒　不能误认为夹在两平行线间的线段的长度就是平行线间的距离．知识点四　画平移图形画平移后的新图形，首先确定方向和距离，再确定关键点平移后的位置，最后按原图形的连接方式顺次连接各点．例4　如图，经过平移，三角形ABC的边AB移到了A′B′，作出平移后的三角形A′B′C′.,解　作法一：如图①所示，分别过点A′、B′，作出与AC、BC平行且相等的线段A′C′、B′C′，两条线段相交于点C′，连接A′C′、B′C′，三角形A′B′C′即为所求．作法二：如图②所示，连接线段AA′、过点C按照射线AA′的方向作射线CC′，使AA′∥CC′并截取CC′＝AA′，则连接点A′C′、B′C′，所得的三角形A′B′C′即为所求作的三角形．友情提醒　关键是画出各特殊点的对应点，其方法是一画平行线(过该点作平行于平移方向的一条射线)，二截线段(在射线上找到一点，使它到已知点的距离等于平移距离)．\n教材中的“？”解答议一议(P15)思路点拨：由于平移是一个图形沿着某个方向移动了一定的距离，所以注意一个图形各个部分的变化在方向上是否一致．解答：1.图7－17(3)是由图7－17(1)平移后得到的．2.把三角形ABC分别沿图示的方向平移1.3cm，可以得到三角形FAE和三角形ECD.3.略议一议(P16)思路点拨：可以从分析一个对应点或一条对应线段入手，进而分析两个四边形之间的关系．解答：1.四边形A′B′C′D′是由四边形ABCD先水平向右平移8格，再向下平移1格得到的．也可以说四边形A′B′C′D′是由四边形ABCD先向下平移1格，再向右平移8格得到的．2.平移后，线段AA′、BB′、CC′、DD′互相平行并且相等．3.M′为线段A′D′的中点，线段MM′与线段AA′互相平行且相等．一、平移性质的应用例1　如图，三角形ABE沿着BC的方向平移到三角形FCD的位置，若AB＝4cm，AE＝3cm，BE＝2cm，BC＝5cm，则CF、CD、DF、EF的长分别是多少？解析　解这类题应抓住平移的基本特征：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化；平移后对应点所连的线段平行且相等．解　因为三角形FCD是由三角形ABE沿着BC方向平移得到的，所以CF＝AB＝4cm，CD＝BE＝2cm，DF＝AE＝3cm，AF＝BC＝5cm，所以EF＝AF－AE＝2cm.点评　特别要注意的是EF不是平移距离的全部．在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上(如AE与FD)．例2　如图，三角形DEF是三角形ABC经过平移得到的．(1)请你指出平移的方向，量出平移的距离；(2)如果点M、N分别是边AB、DE的中点，那么点M与点N之间的距离是多少？线段CM与FN相等吗？为什么？解析　通过观察可知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是三对对应点，因此，点C到点F的方向就是平移的方向，连接CF，线段CF的长度就是平移的距离．显然点M与点N也是一对对应点，线段CM与FN也是一对对应线段．解　(1)因为点C与点F是一对对应点，连接CF，所以点C到点F的方向就是平移的方向．平移的距离就是线段CF的长度，量得距离为2cm.(2)因为线段AB与线段DE是一对对应线段，所以它们的中点M与N就是一对对应点，线段CM与线段FN是一对对应线段，因此，点M与点N的距离就是平移的距离，为2cm，线段CM与线段FN相等．点评　(1)认真观察图形的位置，找出特殊的对应点，根据对应点的位置来确定平移的方向和平移的距离．(2)画图形平移的方向时，只需要连接一对特殊的对应点，并标明方向即可．(3)说明点M与点N的距离就是平移的距离时，一定要先说明它们是图形平移过程中的一对对应点．二、画平移图形例3　如图①，将字母M按箭头所指的方向平移3cm，作出平移后的图形．,①　　　　,②解析　在字母M中，特殊点有5个，即每条线段的端点，可先分别作出这5个点按箭头方向平移3cm的对应点，然后按原来方式连接即可．\n解　如图②所示．点评　先确定特殊点平移后的对应点，再按原图的顺序连接这些点即可．例4　如图，有一条小船，若把小船平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小船．解析　先画出几个特殊点平移后的对应点，然后按一定的顺序连接得到平移后的小船．解　平移后的小船如图所示．点评　相应顶点平移的方向和距离都是不变的．三、平行线之间距离的应用例5　如图，l1∥l2，三角形ABC的面积是8cm2，则三角形ABD的面积是多少呢？为什么？解析　由于三角形ABC与三角形ABD有同一底AB，因而只要判断它们相应的高是否相等即可．解　因为l1∥l2，所以点D与点C到l2的距离相等．因此三角形ABC的面积与三角形ABD的面积相等．所以三角形ABD的面积是8cm2.点评　平行线之间的距离处处相等．四、平移的应用例6　某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，主楼梯道的宽为2m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元？解析　本题直接计算地毯的总长度比较困难，但通过平移，可以聚分为整，使问题得以解决．由侧面图可知，将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到AC上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AB上，铺地毯的横向线段的长度之和等于横向直角边的长，纵向线段的长度之和等于纵向直角边的长．解　地毯的总长度至少为5.6＋2.8＝8.4(m)，其面积为8.4×2＝16.8(m2)，故购买地毯至少需要16.8×40＝672(元)．点评　本题通过平移，使问题化难为易，巧妙地解决了生活中的实际问题．1．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图形中可由三角形OBC平移得到的是(　　)A．三角形OCDB．三角形OABC．三角形OAFD．以上都不对2.在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②中所示，那么正确的平移方法是(　　)A．先向下移动1格，再向左移动1格B．先向下移动1格，再向左移动2格C．先向下移动2格，再向左移动1格D．先向下移动2格，再向左移动2格,(第2题)　　　　,(第3题)3．如图，三角形ABC通过平移得到三角形DEF，已知∠B＝45°，∠A＝60°，则∠D＝______，∠DEF＝________，∠EOC＝________，若BC＝3cm，EC＝3,2cm，则CF＝________cm.4.如图，阴影部分的面积是________．5.如图，G是线段AC的中点，H是线段BC的三等分点，三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的，其中H′是H的对应点，G′是G的对应点．(1)写出三对平行且相等的线段：________________________________；(2)写出两对相等的角：__________________.6.如图，将∠ABC不改变角的边长，沿射线xy平移至∠A′B′C′，且BC与A′B′交于点D，图中相等的角有哪些？\n7．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，若此长方形以2cm/s的速度沿着AB方向平移，则经过多长时间平移后的长方形与原长方形重叠部分的面积为24cm2.,8.如图，经过平移，点A移到点E，作出平移后的图形．9.如图，画出三角形ABC沿PQ方向平移1.6cm后的图形．10．如图，三角形DEF是三角形ABC沿BC方向平移后的图形，试判断四边形ABEG和四边形DFCG面积的关系，并说明理由．11．图形操作(本题四个长方形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b)：在图①中，将线段A1A2向右平移2个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)．在图②中，将折线A1A3A2向右平移2个单位到B1B3B2，得到封闭图形A1A3A2B2B3B1(即阴影部分)．(1)在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；(2)请你分别写出上述三个图形除去阴影部分后剩余部分的面积：S1＝____________，S2＝____________，S3＝____________；(3)如图④，在一块长方形的草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位)，请你猜想空白部分表示的草地面积．1.C2．C3．60°　45°　60°　3,24．255.(1)AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′，AA′、BB′、CC′、HH′与GG′(任选三对即可)(2)∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′(任选两对即可)6.∠ABC＝∠A′DC＝∠A′B′C′＝∠BDB′，∠A′DB＝∠CDB′.7．3s.8.如图所示是平移后得到的图形．9.如图所示.10.因为平移不改变图形的形状及大小，所以S三角形ABC＝S三角形DEF，所以S四边形ABEG＝S四边形DFCG.11.(1)如图①所示．(2)ab－2b　ab－2b　ab－2b(3)猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab－2b.理由：将“小路”沿着左右两个边界“剪去”，再将左侧的草地向右平移2个单位，得到一个新的长方形，如图②所示，这时在新得到的长方形中，其纵向宽度仍然是b，其水平方向的长变成了(a－2)，所以草地的面积是：b(a－2)＝ab－2b.\n　　　,①　　　　　　　　　②建筑物整体平移技术南京江南大酒店是三星级酒店，位于南京中央路与新模范马路的交汇处，共六层，建筑面积为5424m2，总质量为8000t,2001年马路拓宽，这幢楼在拓宽范围内，将这样的一个星级酒店拆掉重建既耗时又费钱，要是能将整幢大楼移到合适的位置就好了，这样既可以保持大楼的原貌，又省时、省钱，这种技术叫做“建筑物整体平移技术”．“建筑物整体平移技术”是将建筑物与地基切断，托换到一个托架上，形成一个可移动物体，然后再用牵引设备将它平移到固定的新地基上，南京江南大酒店于2001年5月20日至2001年5月27日运用建筑物整体平移技术，将整幢大楼向南平移了26m，整个工程耗资约400万元，事后，大楼业主说了这样一句话：“用不到造资1,4的钱保留了江南大酒店，并且节省了两年工程时间，划算得很．”练一练(P16)1.由基本图形分别向左、向下平移得到．2.略练一练(P18)1.如图，连接PM，作QN∥PM，QN＝PM，则线段MN即为所求．2.过点B作DC的垂线，垂足为E，线段BE的长度就是AB与DC之间的距离；过点D作BC的垂线，垂足为F，线段DF的长度就是AD与BC之间的距离．习题7.3(P18)1.(1)如图①.　(2)如图②.,①,②2.连接AA′，AA′的方向即是三角形ABC平移的方向，平移的距离为3cm.3.将平行四边形左边的三角形平移到右边补成长方形．由于平移不改变图形的形状和大小，所以所得长方形的面积与原平行四边形的面积相等．又因为长方形的面积等于ah，所以平行四边形的面积S＝ah.4.将图中的2条道路分别平移到长方形地块的上方和右侧，可以减小运算量．种植西红柿的面积为(48－1)×(30－1)＝1363(m2)．5.略\n7．4　认识三角形知识点一　三角形的概念三角形是由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形．三角形有3条边、3个内角和3个顶点．例1　如图，请将图中的三角形分别指出来，并指出它们的边和角．解析　图中三角形有一条边在同一直线上，不妨以这条直线上的线段为切入点分析：BE、BD、BC、ED、EC、DC.解　△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.△ABE边：AB、BE、AE，角：∠B、∠BAE、∠AEB.△ABD边：AB、BD、AD，角：∠B、∠BAD、∠ADB.△ABC边：AB、BC、AC，角：∠B、∠BAC、∠C.△AED边：AE、ED、AD，角：∠AED、∠EAD、∠ADE.△AEC边：AE、EC、AC，角：∠AEC、∠EAC、∠C.△ADC边：AD、CD、AC，角：∠ADC、∠DAC、∠C.友情提醒　能否完整地、有条理地指出图中的所有三角形是解此类题的难点．知识点二　三角形的分类(1)三角形按角分类三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)三角形按边分类三角形不等边三角形等腰三角形腰和底边不等的等腰三角形等边三角形例2　下列三角形分别是什么三角形．(1)已知一个三角形的三个内角分别为35°，55°和90°；(2)已知一个三角形的两边长分别是6cm和6cm；(3)已知一个三角形的三个内角分别是80°，50°和50°.解析　从角考虑要看最大角，从边考虑要看有无相等的边和角．解　(1)直角三角形．　(2)等腰三角形．　(3)是锐角三角形，也是等腰三角形．友情提醒　熟悉三角形的分类标准，应全面考虑三角形的边与角的条件，再加以判断．知识点三　三角形的三边关系根据“两点之间的所有连线中，线段最短”得出三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．例3　已知三角形的两边长分别为3cm和9cm，则第三边的长可以是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．9cmB．3cmC．12cmD．6cm解析　根据“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角形任意两边之差小于第三边”，有9－3＜a＜9＋3，即6＜a＜12.故选A.答案　A\n友情提醒　根据已知三角形的两边，由三角形的任意一边都同时满足“大于另两边之差”和“小于另两边之和”，求得第三边的取值范围．知识点四　三角形的三条重要线段在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线．三角形中，高线垂直于三角形一边，角平分线平分三角形的一个角，中线平分三角形的一边．三角形的高、角平分线、中线，在每个三角形中都各有三条，都会相交于一点(或相交于延长线上一点)．例4　如图，△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，BC＝8cm，∠BAC＝80°.(1)BF＝________＝1,2________＝________cm；(2)∠BAE＝________＝1,2________＝________.解析　根据三角形的高、三角形的角平分线、三角形的中线的定义解题．答案　(1)CF　BC　4(2)∠CAE　∠BAC　40°友情提醒　会将三角形的高、三角形的角平分线、三角形的中线的含义结合图形用符号表示．教材中的“？”解答议一议(P20)思路点拨：借助量角器量三角形的各个角，然后判断是否是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，借助刻度尺或圆规比较三角形的三边大小，判断是否是等腰三角形．解答：1.图7－26中，(3)(4)为锐角三角形；(1)(5)为直角三角形；(2)为钝角三角形．2．(3)(4)为等腰三角形．一、判断三条线段能否组成三角形例1　分别以2cm、3cm、4cm、5cm的线段为边可构成________个三角形．解析　首先进行合理分类，由于在四条线段中选3条，即有一条线段没有选，故有以下几种可能情况：2cm、3cm、4cm；2cm、3cm、5cm；2cm、4cm、5cm；3cm、4cm、5cm.但以2cm、3cm、5cm为线段的边不能构成三角形．答案　3点评　根据三角形的三边关系可知，如果较短两边之和大于最长边，则这三条线段可构成一个三角形．二、与等腰三角形相关的计算例2　已知等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，求这个等腰三角形的周长．解析　题中没有明确指出4cm长的边是腰还是底边，故应分两种情况讨论．解　当4cm长的边是腰时，则三边为4cm、4cm、6cm，它们能构成一个三角形，周长为14cm；当4cm长的边是底时，则三边长为4cm、6cm、6cm，它们也能构成一个三角形，周长为16cm.故等腰三角形的周长为14cm或16cm.点评　当等腰三角形的腰或底不确定时，就需要分类讨论，依据三角形的三边关系来判断所讨论的情况是否成立．三、实际应用型问题例3　如图，现有三角形田地ABC，BC边紧靠公路．请你把△ABC分割成面积相等的四块地，并且每块地都有一条边紧靠公路．请你简述分割原理，并与同伴交流．解析　可以先将△ABC分割成面积相等的两块地，然后分别将其中的每一块再分割成面积相等的两块地．解　根据“等底等高的两个三角形面积相等”，可利用三角形的中线将△ABC\n分割成面积相等的4个三角形，结果如下：点评　以上问题的解决，突出了三角形中线的特点．例4　如图，从A地到B地经过一条小河(两岸平行)，今要在河上建一座桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？解析　桥必须与河岸垂直，所以不论桥建在哪里，桥长这段路程是固定不变的，只需使A地到河北岸与B地到河南岸这两段路程的和最短即可，所以可以想象取消河宽，即将南岸连同点B看作一个图形向北平移一个河宽(南岸重合于北岸，B移到B′)，连接AB′，交北岸于C地，则C地即为建桥的位置．解　将点B沿垂直于河岸的方向向北平移一个河宽至点B′.连接AB′，交河北岸于点C，则点C即为建桥位置，CD即为所建的桥．根据平移的特征可知BD∥B′C，BD＝B′C，所以AB两地的路程为CD＋AC＋BD＝CD＋AC＋B′C＝CD＋AB′.若桥的位置建在C′处，则AB两地的路程为AC′＋C′D′＋BD′＝CD＋AC′＋B′C′，在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以CD＋AB′＜CD＋AC′＋B′C′.所以桥的位置选在点C处，A、B两地的路程最短．点评　本题将平移与三角形的边之间的关系放在一起考查，有一定的综合度．四、运用等积法解题例5　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，AC＝3，CD是AB边上的高，求CD的长．解析　由∠ACB＝90°，知△ABC是直角三角形，AC是BC边上的高，可以求出△ABC的面积，而CD是AB边上的高，1,2CD·AB也是△ABC的面积．解　由题意得：1,2CD×AB＝1,2×AC×BC，即1,2×CD×5＝1,2×3×4.解得CD＝2.4.点评　此类题目用等积法解较为简便．1.现有两根木棒分别长40cm和50cm，要从下列长度的木棒中选出一根，与前面两根木棒钉成一个三角架(木棒不能剩余)，则可选出(　　)①5cm；②10cm；③40cm；④45cm；⑤80cm；⑥90cm.A．3根B．4根C．5根D．6根2．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于H，下列4个判断：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．其中正确的个数是(　　)A．1B．2C．3D．43.如果一个三角形三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(　　)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定4．如图，∠BAC＝90°，AF⊥BC，则图中有______个三角形，其中有______个锐角三角形，是________；有______个直角三角形，分别是__________________；有______个钝角三角形，是________．,(第4题)　　　　　,(第5题)5．如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，BF是高，如果AC＝10，∠ABC＝70°，则EC＝________，∠ABD＝________，∠BFC＝________.6.如果一个等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长为________．7.已知五条线段长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条为边长可以构成________个不同的三角形．\n8．已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是________________．9.请画出△ABC的高AD、角平分线BE和中线CF.10.如图，CD是△ABC的中线，BC＝6cm，AC＝2cm.(1)△BCD和△ACD的周长相差多少？请说明理由；(2)△BCD和△ACD的面积有何关系？请说明理由．11.已知三角形的两边长分别为5cm和2cm.(1)如果这个三角形的周长为偶数，求它的第三边的长；(2)如果这个三角形的周长为奇数，那么它的第三边的长为多少？12.一个等腰三角形的周长为20，其中两边的差为2，求腰和底边的长．13．一个等腰三角形的周长是17cm，已知一边长是5cm，求其余两边的长．14.如图，A、B、C、D四个村庄准备合建一个自来水水池，要求由水池向四村铺设的水管费用最省．设计人员建议把水池建在AC、BD的交点P处最好，你能解释其中的道理吗？\n15.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝10，P为边BC上任意一点，PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为点M、N，求PM＋PN的值．(提示：连接AP)1．A2．B3．C4．6　1　△ACD　4　△ABC、△ABF、△ADF、△AFC　1　△ABD5．5　35°　90°6.22cm7.38.2b－2c9．如图．10.(1)△BCD的周长＝BC＋CD＋BD，△ACD的周长＝AC＋CD＋AD，因为CD为△ABC的中线，所以BD＝AD，所以△BCD的周长－△ACD的周长＝4，即△BCD与△ACD的周长相差4cm.(2)因为△BCD和△ACD是“等底等高”的两个三角形，所以△BCD与△ACD的面积相等．11.(1)根据三角形的三边关系，可知第三边的长应大于3cm且小于7cm，又由于这个三角形的周长为偶数，则第三边的长应为奇数，故第三边的长为5cm.(2)如果三角形的周长为奇数，那么它的第三边的长应为偶数，则第三边的长为4cm或6cm.12.腰和底边的长分别为6,8或22,3，16,3.13．若底边长为5cm，其余两边长为6cm,6cm；若腰长为5cm，其余两边长为5cm,7cm.14.设P′为不同于点P的任意一点，连接P′A、P′B、P′C、P′D.由三角形两边之和大于第三边知：P′A＋P′C＞AC，P′B＋P′D＞BD，所以P′A＋P′B＋P′C＋P′D＞AC＋BD，即P′A＋P′B＋P′C＋P′D＞PA＋PB＋PC＋PD.15.连接AP，由图可知S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，即1,2AB·PM＋1,2AC·PN＝1,2AC·BD.因为AB＝AC，BD＝10，所以PM＋PN＝BD＝10.费尔马点1877年，法国考古学家萨尔泽，在巴格达东南挖掘了美索不达米亚古城拉格什的遗址，他发现三座神庙之间的地下排水道是按图①所示连接的，即A、B、C三座神庙中间的点O与A、B、C连接，经测量发现：OA＋OB＋OC＜AB＋BC或BC＋CA或CA＋AB.这表明，早在四五千年前，苏美人就知道了连接平面上三点的最短路线．,①　　　,②1640年，大名鼎鼎的法国数学家费尔马曾向同样大名鼎鼎的意大利物理学家托里拆利提出一个挑战性的问题，要求他解答“在一个三角形所在的平面上找一点P，使它到三角形三个顶点的距离之和最小”．托里拆利和他的学生维维安尼经过一段时间的研究终于解决了这个难题，答案如图②所示，这个特殊点P后来被称为费尔马点．练一练(P21)1.图中共有5个三角形：△ACD、△ADE、△EDB、△ADB和△ACB.其中△ADE为锐角三角形；△ACD、△ACB为直角三角形；△EDB、△ADB为钝角三角形．2.可以搭出3种不同的三角形．分别为2cm、3cm、4cm；2cm、4cm、5cm；3cm、4cm、5cm.练一练(P23)1.三角形的角平分线共有3条，三角形的3条角平分线相交于一点．\n2.画△ABC的中线，如图①②.发现：3条中线相交于一点，且都在三角形的内部．3.画△ABC的3条高，如图①，这3条高交于一点，且在三角形的内部．直角△A1B1C1有2条边互相垂直，所以直角边A1C1、B1C1是△A1B1C1的高，C1D1是边A1B1的高，这3条高相交于一点，这点是△A1B1C1的直角顶点C1，如图②.画△A2B2C2的3条高，如图③，钝角三角形的3条高所在的直线相交于一点H.习题7.4(P23)1.图中共有3个三角形：△MNT、△TNS、△MNS.它们的边和角略．2.AC分别是△ACF、△ACE、△ACD、△ACB的一条边，∠B分别是△ABD、△BCE、△ABC的一个内角．3.一共可以画9个三角形：△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△BCE、△BCD、△ADE、△BDE、△CDE.其中，△ABE、△BCE、△CDE为直角三角形；△ACE、△ADE、△BDE为锐角三角形；△ABD、△ACD、△BCD为钝角三角形；△ACE、△CDE为等腰三角形．4.(1)和(2)不能搭成三角形，因为前2根木棒长度的和不大于第3根木棒的长度；(3)可以搭成三角形，因为其中任意2根木棒长度的和都大于第3根木棒的长度．5.AD、AF分别是△ABC、△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC、△ADC的中线．6.∠1＝∠2.由ED∥AC，得∠1＝∠CAD.同理，由FD∥AB，得∠2＝∠BAD.又由AD是△ABC的角平分线，得∠BAD＝∠CAD.所以∠1＝∠2.7．略\n7．5　三角形的内角和知识点一　三角形的内角和等于180°例1　如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求∠D的度数．解析　在△ABC中，求出∠DBC和∠DCB的度数后，就可求出∠D的度数．解　因为∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，所以∠DBC＝1,2∠ABC＝30°.因为∠ACB＝50°，CD平分∠ACB，所以∠DCB＝1,2∠ACB＝25°.在△DBC中，∠D＋∠DBC＋∠DCB＝180°，则∠D＝125°.友情提醒　根据条件，确定研究的是哪一个三角形，然后利用“三角形的内角和等于180°”求解．知识点二　直角三角形的两个锐角互余根据“三角形的内角和是180°”可以得到直角三角形的两个锐角互余．例2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.(1)图中有几个直角三角形？(2)若∠BCD＝62°，求∠A的度数；(3)∠B与∠ACD有什么关系？∠A与∠BCD呢？解析　探究(3)可得出一个结论：“同角的余角相等”．解　(1)图中有3个直角三角形，分别是△ACD、△BCD、△ABC.(2)在△BCD中，因为∠BCD＋∠B＝90°，故∠B＝28°，又在△ABC中，∠ACB＝90°，故∠A＋∠B＝90°，从而∠A＝62°.(3)在△ACD中，由于∠ADC＝90°，故∠A＋∠ACD＝90°，则∠B＝∠ACD，同理可得∠A＝∠BCD.友情提醒　本题所给的图形是常见的图形，今后的学习中还会进一步研究它，∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD，这是图中除直角外相等的角．知识点三　三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角与它相邻的内角互为补角．例3　在△ABC中，AD是角平分线，与BC交于点D，∠BAC＝100°，∠B＝60°，求∠ADC的度数．解析　∠ADC是△ADB的一个外角．利用外角的性质，可先求∠BAD，然后求得∠ADC.解　因为∠BAC＝100°，AD是角平分线，所以∠BAD＝1,2∠BAC＝50°，则∠ADC＝∠BAD＋∠B＝110°.友情提醒　如果把∠ADC确定为△ADB的外角，那么就利用外角的性质来求解；如果把∠ADC确定为△ADC的内角，那么就利用三角形的内角和等于180°来求解．知识点四　多边形的内角和n边形的内角和等于(n－2)·180°.例4　若一个多边形的内角和是1800°，试求这个多边形的边数．解析　根据多边形的内角和公式(n－2)·180°，可以直接求出多边形的边数．解　根据题意可列方程：(n－2)·180°＝1800°.解得n＝12.友情提醒　利用设未知数列方程是解决多边形内角和有关问题的常用方法．\n知识点五　多边形的外角和多边形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做多边形的外角．在多边形的每一个顶点处有两个外角，它们是对顶角．从每个顶点处分别取一个外角相加，得到的和称为多边形的外角和．根据n边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得n边形的外角和．任意多边形的外角和为360°.例5　一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？解析　多边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°，根据题意可以列出方程．解　设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.所以(n－2)·180°＝5×360°，得n＝12.所以这个多边形是十二边形．友情提醒　由于多边形的外角和总是360°，所以常常将与多边形的内角有关的问题转化为多边形的外角来解决．教材中的“？”解答做一做(P26)思路点拨：直接利用三角形的内角和等于180°求解．解答：1.(1)27°　(2)29°　(3)59°2．∠A＋∠B＝90°试一试(P26)思路点拨：借助量角器度量有关角的大小，然后再深入思考．解答：∠A＋∠C＝∠CBD.议一议(P27)思路点拨：根据已获得的结果，进行合理猜想．解答：当多边形的边数分别为6,7，n时，分成的三角形个数分别为4,5，(n－2)，多边形的内角和分别为180°×4,180°×5,180°×(n－2)．想一想(P28)思路点拨：对于方法(1)，要考虑n个三角形的内角和与n边形的内角和之间的关系；对于方法(2)，要考虑(n－1)个三角形的内角和与n边形的内角和之间的关系．解答：方法(1)，n边形的内角和等于n·180°－360°，即(n－2)·180°；方法(2)，n边形的内角和等于(n－1)·180°－180°，即(n－2)·180°.做一做(P29)思路点拨：不妨动手做一做，利用给出的几个等式进行变形，对于问题3则按以上求解思路尝试完成，对于问题4则在探求三角形、四边形、五边形的基础上进行归纳，提出猜想．解答：1.(1)∠α＋∠β＋∠γ＝360°.(2)360°2.(1)略　(2)360°3.如图，∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，∠γ＋∠3＝180°，∠δ＋∠4＝180°，∠θ＋∠5＝180°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝180°×3，则∠α＋∠β＋∠γ＋∠δ＋∠θ＝180°×5－180°×3＝360°.4．猜想：n边形的外角和等于360°，因为n边形的每一个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形的n个外角与n个内角的和等于n·180°，又因为n边形的内角和为(n－2)·180°，所以n边形的外角和为n·180°－(n－2)·180°＝360°.一、求有关角的度数例1　在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，求∠A的度数．解析　利用三角形内角和定理和该三角形三个内角之间的关系来求∠A的度数．解　因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∠C＝∠ABC＝2∠A，设∠A＝x°，由三角形内角和定理可以列出方程：2x＋2x＋x＝180，求出x＝36，即∠A＝36°.点评　本题通过列方程解决问题，方程在这里起到了重要作用，同学们要学会应用．\n例2　如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，AD与BE交于点F，若∠BAD＝40°，求∠ABF的度数．解析　要求∠ABF，只需求∠ABC，利用直角三角形两个锐角互余便可求出．解　在Rt△ABD中，∠ABD＋∠BAD＝90°，所以∠ABD＝90°－40°＝50°.所以∠ABF＝1,2∠ABD＝25°.点评　在探求直角三角形的一个锐角大小时，常常利用“直角三角形两个锐角互余”这条性质．例3　如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．解析　因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数都不确定，所以设法把所求的角转化到一个三角形中，利用三角形内角和定理加以解决．解　因为∠1、∠2分别是△CEF、△BDG的外角，所以∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D.在△AFG中，∠A＋∠1＋∠2＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.点评　在求多个角度的和时，利用整体代入思想，综合利用三角形内角和与外角和定理来求解．二、知和求边数问题例4　一个n边形去掉一个内角后，其余内角之和为1890°，求n的值．解析　多边形的任何一个内角都小于180°，而多边形的内角和是180°的倍数，余下的内角和1890°不是180°的倍数，因此1890°＜(n－2)×180°＜1890°＋180°.解　由题意得：1890°＜(n－2)×180°＜1890°＋180°，所以1890°,180°＜(n－2)＜2070°,180°，因为n为正整数，所以n＝13.点评　本题利用了多边形内角和均能被180°整除这一特点求解．三、与平行线的综合型问题例5　如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：∠P＝90°.解析　此题利用平行线的性质和三角形内角和定理求解．证明　因为AB∥CD，所以∠BEF＋∠DFE＝180°，又因为∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，所以∠PEF＋∠PFE＝1,2(∠BEF＋∠DFE)＝90°，因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，所以∠P＝90°.点评　解本题的关键是熟练应用平行线性质和内角和定理．例6　如图，AB∥CD，∠A＝38°，∠C＝80°，则∠M的度数是(　　)A．52°B．42°C．10°D．40°解析　此题考查平行线的性质与三角形外角的联合运用．因为AB∥CD，所以∠MNB＝∠C＝80°，因为∠MNB为△AMN的外角，所以∠M＝∠MNB－∠A＝80°－38°＝42°，所以应选择B.答案　B例7　如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝124°，∠E＝80°，试求∠F的度数．解析　作适当的辅助线，运用平行线的性质以及多边形的内角和解决问题．解　连接AD，因为CD∥AF，所以∠1＝∠2，在四边形ABCD中，AB⊥BC，所以∠B＝90°，所以∠BAD＋∠1＝∠BAD＋∠2＝∠BAF＝360°－90°－124°＝146°，在四边形ADEF中，∠2＋∠ADE＝∠CDE＝∠BAF＝146°，所以∠F＝360°－146°－80°＝134°.点评　把多边形化成三角形或四边形来确定是数学中常用的方法，它可以使复杂问题化为简单问题，化未知为已知．\n四、探索研究型问题例8　如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD、CD相交于点D.∠D与∠A有怎样的数量关系？并说明理由．解析　由BD平分∠ABC，可知∠1＝1,2∠ABC，由CD平分∠ACE，可知∠2＝1,2∠ACE.又因为∠ACE＝∠A＋∠ABC，从而可构建出∠A与∠D的关系式．问题就可以解决了．解　∠D＝1,2∠A.因为BD平分∠ABC，所以∠1＝1,2∠ABC.又因为CD平分∠ACE，所以∠2＝1,2∠ACE.因为∠ACE是△ABC的一个外角，所以∠ACE＝∠A＋∠ABC.而∠2＝∠1＋∠D，因而有∠2＝∠1＋∠D＝1,2∠ACE＝1,2(∠A＋∠ABC)＝1,2∠A＋1,2∠ABC＝∠1＋1,2∠A.所以∠D＝1,2∠A.点评　认清三角形的外角，借用“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和”的性质对于解决与外角有关的证明和计算尤为重要．五、实际应用型问题例9　如图，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成85°的角，因交点不在板上，不便测量．如果你是技术工人，利用你所学的知识，能否验证这块模板是否合格？请写出你的验证过程．解析　根据“三角形的三个内角和等于180°”，要确定不便测量的角是否为85°，就是确定可测的两个角的和是否是95°.解　能验证．验证方法：连接AC，先测量∠BAC、∠ACD的度数，然后验证∠BAC＋∠ACD是不是等于180°－85°＝95°.如果成立，此模板合格，否则不合格．点评　利用“三角形的内角和是180°”，将问题进行转化，使问题得以解决．1．在△ABC中，当∠A＝1,2∠B＝1,3∠C时，这个三角形是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．如图，点E、F分别在AB、CD上，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1＋∠2等于(　　)A．70°B．80°C．90°D．100°,(第2题)　　　　　　,(第3题)3．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于(　　)A．110°B．120°C．130°D．140°4.如果一个多边形的边数增加1，则它的内角和将(　　)A．增加90°　　　B．增加180°　　　C．增加360°　　　D．不变5．多边形的内角和增加360°，则它的边数(　　)A．增加1B．增加2C．增加3D．不变6．一个多边形，它的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是(　　)A．3B．4C．5D．67．如图，AB∥CD，∠A＝120°，∠1＝72°，则∠D＝________.,(第7题)　　　,(第8题)　　　,(第9题)8．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝________.9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点P，∠P＝125°，则∠A＝________.10．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，则这个多边形是________边形．\n11．一个多边形的每个外角都是72°，那么这个多边形的内角和是________．12.如图，BD和CE是△ABC的高．(1)试说明：∠1＝∠2；(2)若∠A＝65°，∠ACB＝55°，求∠3、∠4和∠5的度数．13.如图，已知△ABC中，DE∥BC，CD是∠ACB的角平分线，∠B＝80°，∠ACB＝50°.试求∠EDC与∠BDC的度数．14.如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠C＝∠BAC，AD平分∠BAC，求∠DAC和∠BDA的度数．15.如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点O，∠A＝58°，∠BOD＝70°，∠C＝30°，求∠B的度数．16.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，你能判断出∠EAD与∠C的大小关系吗？请说明理由．17.如图，△ABC中，∠A＝∠B，点F在AC上，过点F作FD⊥BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E.若∠AFD＝158°，试求∠EDF的度数．18.如图，△ABC中，∠B＞∠C，AD是高，AE是角平分线．试说明∠DAE＝1,2(∠B－∠C)．19.(1)如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.①若∠A＝40°，求∠BOC的度数；②若∠A＝60°，求∠BOC的度数；③若∠A＝n°，求∠BOC的度数；④若∠BOC＝3∠A，求∠BOC的度数；(2)如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；(3)上面(1)、(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否有这样的关系？这个结论是怎样得到的？(4)如图③，△A″B″C″的∠A″C″B″的外角平分线与∠A″B″C″的内角平分线相交于点O″，∠BOC与∠B″O″C″有怎样的数量关系？若∠A＝∠A″＝n°，∠BOC与∠B″O″C″是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？,①　　,②　　,③,\n20.如图，AM平分∠BAD，CM平分∠BCD.(1)∠B＝30°，∠D＝40°，求∠M的度数；(2)根据以上过程，你能把结论一般化吗？写出∠M、∠B、∠D之间的关系式，并说明理由．21．如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数．,22．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC.判断BE、DF是否平行，并说明理由．,23．有一机器上的工件如图，按规定AB与DC相交成30°，DA与CB相交成20°，怎样通过测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数来检查工件是否合格？,1.B　2.B　3.A　4.B　5.B　6.D　7．48°　8.95°　9.70°　10.九　11.540°12.(1)因为CE⊥AB，所以∠1＋∠A＝90°，因为BD⊥AC，所以∠A＋∠2＝90°，所以∠1＝∠2.(2)因为∠A＝65°，所以∠1＝90°－∠A＝25°.因为∠ACB＝55°，所以∠3＝30°，∠5＝90°＋∠1＝115°，∠4＝90°－∠ACB＝35°.13.因为CD是∠ACB的角平分线，∠ACB＝50°，所以∠BCD＝∠DCE＝25°.因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝25°，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝75°.14.设∠DAC＝∠BAD＝x°，则∠C＝∠BAC＝2x°.因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，即4x＝144，x＝36，所以∠DAC＝36°.∠BDA＝∠C＋∠DAC＝72°＋36°＝108°.15.因为∠BOD＝∠EOC＝70°，∠C＝30°，所以∠OEC＝80°.∠B＝∠OEC－∠A＝80°－58°＝22°.16.因为∠C＋∠D＋∠B＋∠BAD＝360°，∠B＝∠D＝90°，所以∠C＋∠BAD＝180°.又因为∠BAD＋∠EAD＝180°，所以∠C＝∠EAD.17.在四边形ABDF中，∠A＋∠B＋∠AFD＋∠FDB＝360°，FD⊥BC，所以∠FDB＝90°，又因为∠A＝∠B，∠AFD＝158°，所以∠B＝56°，因为DE⊥AB，所以∠B＋∠BDE＝90°，又因为∠EDF＋∠BDE＝90°，所以∠EDF＝∠B＝56°.18.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝1,2∠BAC，又因为∠ADB＝90°，所以∠BAD＝90°－∠B.所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝1,2∠BAC－(90°－∠B)＝1,2(180°－∠B－∠C)－(90°－∠B)＝1,2(∠B－∠C)．19.(1)①110°　②120°　③90°＋1,2n°　④108°(2)70°(3)∠BOC＋∠B′O′C′＝180°.因为∠A＝n°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－n°，所以∠1＋∠2＝1,2∠ABC＋1,2∠ACB＝90°－1,2n°，所以∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝90°＋1,2n°.因为∠A′＝n°，所以∠A′B′C′＋∠A′C′B′＝180°－n°，∠1＋∠2＝1,2(180°－∠A′B′C′)＋1,2(180°－∠A′C′B′)＝180°－1,2(∠A′B′C′＋∠A′C′B′)＝90°＋n°,2.所以∠B′O′C′＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－1,2n°.所以∠BOC＋∠B′O′C′＝180°.(4)∠BOC－∠B″O″C″＝90°.\n因为∠B″O″C″＝∠2－∠1＝1,2∠A″＝1,2n°，而∠BOC＝90°＋1,2n°，所以∠BOC－∠B″O″C″＝90°.20.(1)35°(2)因为∠BAM＋∠B＝∠BCM＋∠M，∠BAD＋∠B＝∠BCD＋∠D，所以∠BAM－∠BCM＝∠M－∠B，∠BAD－∠BCD＝∠D－∠B.又因为∠BAM－∠BCM＝1,2(∠BAD－∠BCD)，所以∠M－∠B＝1,2(∠D－∠B)．所以2∠M＝∠B＋∠D.21．360°22．BE∥DF.因为∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°，而∠A＝∠C＝90°，所以∠ADC＋∠ABC＝180°，因为∠ADF＝1,2∠ADC，∠ABE＝1,2∠ABC，所以∠ADF＋∠ABE＝90°，因为∠ADF＋∠AFD＝90°，所以∠AFD＝∠ABE，所以BE∥DF.23．如图，延长DA、CB相交于点E，延长AB、DC相交于点F，按规定∠E＝20°，∠F＝30°，在△EDC中，若∠E＝20°，只需∠D＋∠ECD＝160°，在△FAD中，若∠F＝30°，只需∠DAF＋∠D＝150°，所以通过测量，若∠D＋∠ECD＝160°，同时∠DAF＋∠D＝150°，则工件合格，否则不合格．花儿为什么呈圆形五颜六色的花儿争奇斗艳，给人们带来了无限生机，当你欣赏这美丽的大自然时，不知你是否想过，为什么花儿一般是圆形的，而不是三角形或其他形状呢？下面我们用数学知识来分析这个问题．如图，三角形、正方形、长方形的周长都是12，半径为1.9的圆的周长也接近于12，这几个图形在周长相等的情况下，它们的面积分别是：S三角形＝3×4÷2＝6；S正方形＝3×3＝9；S长方形＝4×2＝8；S圆＝3.14×1.9×1.9≈11.3.由上面的特例不难看出，在周长一定的情况下，圆的面积最大，事实上这个结论对一般情况也成立，这对于花儿来说，它可以用比较少的材料获取最大面积，这样它就能吸引更多的蜜蜂、蝴蝶为它传递花粉，也可以接受更多的阳光，以便更好的生长．同学们，你们从上面的材料中受到了什么启发了吗？我们在学习中要找到适合自己的良好的学习方法，这样才能用同样的时间获得更大的成功．练一练(P27)1.①x°＝112°－65°＝47°，即x＝47；②由直角三角形的两个锐角互余，得x°＋(x－10)°＝90°.解得x＝50.所以y＝50＋90＝140.2.(1)一个三角形最多有1个直角，因为如果有2个(或3个)直角，则3个内角的和大于180°；同样，一个三角形最多有1个钝角，因为如果有2个(或3个)钝角，则3个内角的和大于180°.(2)直角三角形的外角不可能是锐角．与直角三角形的直角相邻的外角为直角；与直角三角形其中的一个锐角相邻的外角为钝角．3.∠ADE与∠DAE相等．因为∠DAE＝∠DAC＋∠EAC.又因为∠ADE是△ABD的一个外角，所以∠ADE＝∠B＋∠BAD.因为∠BAD＝∠DAC，∠EAC＝∠B，所以∠ADE＝∠DAE.练一练(P28)1.这个四边形中最大角的度数为360°×4,10＝144°.2.由(n－2)·180°＝1080°，得n＝8.所以这个多边形是八边形．3.∠B与∠D互补．四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A与∠C互补，即∠A＋∠C＝180°，所以∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°，即∠B与∠D互补．练一练(P30)1.360°÷60°＝6，这个多边形为六边形，它的内角和为720°.\n2.这个多边形为八边形．设所求多边形为n边形，由题意，得(n－2)·180°＝360°×3，解得n＝8，即所求多边形为八边形．习题7.5(P30)1.∠C＝60°.2.(1)∠A的度数为80°.(2)∠A的度数为30°.3.因为∠ACB＝∠1＋∠BCP＝70°，∠1＝∠2，所以∠2＋∠BCP＝70°.所以∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝180°－70°＝110°.4.因为AB∥CD，所以∠ABD＋∠BDC＝180°.由题意，得∠EBD＋∠EDB＝90°.所以∠BED＝180°－90°＝90°.5.由题意，得△ACD是直角三角形．所以∠CAD＝90°－60°＝30°.在△ABC中，由∠B＝20°，∠C＝60°，得∠BAC＝180°－20°－60°＝100°.所以∠EAC＝1,2∠BAC＝50°.所以∠AEC＝180°－50°－60°＝70°.6.∠1是△ACD的外角，∠2是△BDE的外角．因为∠1是△ACD的外角，∠2是△BDE的外角，由题意，得∠1＝114°，∠DBE＝29°.7.(6－2)×180°,6＝120°，正六边形的每一个内角为120°.8.小明转过的角度为360°.小明转过的角度实际上是这个六边形的外角和，因此小明转过的角度为360°.9.由题意，得五边形每个内角的度数为108°.在△ABC中，由∠1＝∠2，∠B＝108°，得∠1＝1,2×(180°－108°)＝36°.同样，可求得∠3＝36°.所以∠CAD＝108°－(∠1＋∠3)＝108°－72°＝36°.10.∠D与∠ABE相等．在四边形ABCD中，因为∠A＋∠C＝180°，所以∠ABC＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°，即∠D＝180°－∠ABC.又因为∠ABE＋∠ABC＝180°，即∠ABE＝180°－∠ABC，所以∠D＝∠ABE.\n本章总结本章主要内容为：两直线平行的条件、两直线平行的性质、图形的平移以及三角形的有关知识．其知识间结构可以归纳如下：近几年来，对于本章知识的考查，主要有：(1)平行线的性质与判定，常以填空题、选择题、解答题的形式出现，难度中等或偏小，分值一般不高；(2)图形的平移，此类题多以解答题为主，题目难度系数小，分值不高；(3)有关三角形的一些基本概念、性质等基础知识的考查，以填空题、选择题为主，题目难度不大，分值不高；(4)三角形三边关系是中考的热点内容，题型多以选择题或填空题为主，题目难度不大，分值不高；(5)三角形中的角度计算，以及结合其他内容的说理题是中考考查的重点，题目难度中等，分值多为8～10分左右；(6)多边形的内角和与外角和常以填空题、选择题为主，难度小，分值一般不高．一、平行线的性质和判定例1　(无锡)如图，已知a∥b，∠2＝140°，则∠1＝________.解析　此类题都是运用平行线的性质、对顶角的性质及邻补角的性质求解．因为a∥b，∠2＝140°，所以∠1的对顶角＝180°－140°＝40°，所以∠1＝40°.答案　40°点评　此类题考查了最基础的平面几何知识，因此在中考中占有很大的比例．例2　(遂宁)如图，已知∠1＝∠2，∠3＝80°，则∠4＝(　　)A．80°B．70°C．60°D．50°解析　先判断a∥b，再根据平行线的性质得出∠4＝∠3＝80°.答案　A点评　平行线的性质和判定会在一道题目里反复使用，注意思路的转换．例3　(贵阳)如图，直线a∥b，则∠ACB＝________.解析　需要添加一条辅助线，即过点C作a的平行线，利用平行线的性质进行计算．过点C作CD∥a，则∠ACD＝∠EAC＝28°，因为a∥b，CD∥a，所以CD∥b，所以∠DCB＝∠CBF＝50°，所以∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝28°＋50°＝78°.答案　78°点评　此题的辅助线添加方法有多种．正确地添加辅助线是解题的关键．二、折叠问题例4　(日照)如图所示把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′处，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于(　　)A．70°B．65°C．50°D．25°解析　先运用平行线的性质求出∠DEF的度数，再由折叠的性质知道∠D′EF的度数，最后由平角定义可求出∠AED′的度数．因为AD∥BC，所以∠DEF＝∠EFB＝65°，因为∠D′EF＝∠DEF，所以∠D′EF＝65°，所以∠AED′＝180°－65°－65°＝50°，故选C.答案　C点评　解决折叠问题的关键是找到不变的角．三、三角形的综合运用例5　(新疆)如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于(　　)A．50°B．30°C．20°D．15°\n解析　先运用平行线的性质求出∠2的同位角的度数，∠2的同位角恰好是直尺上方的三角形的一个外角，由三角形外角性质可求出∠3的度数．答案　C点评　只需利用平行线性质和三角形外角的性质即可解题．例6　(邵阳)如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF，过点F作FP⊥EP，若∠PEF＝30°，则∠PFC＝________.解析　先由角平分线性质求出∠AEF的度数，再由平行线的性质求出∠CFE的度数，另外根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠PFE的度数，从而求出∠PFC的度数．因为EP平分∠AEF，所以∠AEF＝2∠PEF＝60°，因为AB∥CD，所以∠CFE＝180°－∠AEF＝120°，因为FP⊥EP，所以∠PFE＝90°－∠PEF＝60°，所以∠PFC＝120°－60°＝60°.答案　60°点评　本题综合考查了角平分线性质、平行线性质、直角三角形两锐角互余的知识．例7　(泉州)如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．解析　要求∠ACD，需先求∠ACB，而∠ACB可由“三角形内角和等于180°”求出．解　因为∠A＝70°，∠B＝50°，所以∠ACB＝180°－70°－50°＝60°.因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝1,2∠ACB＝30°.点评　根据“三角形内角和是180°”，已知其中任意两个内角，可求第三个内角．四、多边形的内外角例8　(宁波)如图∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCD的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是(　　)A．110°B．108°C．105°D．100°解析　先通过多边形的外角和为360°，求出第5个外角的度数，再根据同一顶点处内角与外角互补的性质求出∠AED的度数．第5个外角度数为360°－70°×4＝80°，180°－80°＝100°，故选D.答案　D点评　利用多边形外角和为360°和内外角关系可求解．例9　(新疆)某多边形的内角和是外角和的3倍，则此多边形的边数是(　　)A．5B．6C．7D．8解析　由多边形的内角和与多边形外角和的关系，列方程求解．设多边形边数为n，由题意可得(n－2)×180°＝360°×3.解得n＝8，故选D.答案　D点评　解决此类求多边形的边数的问题，通常根据条件列方程求解．例1　如图，由下列条件可以判定哪两条直线平行？(1)∠1＝∠4；　　　　(2)∠2＝∠3.错解　(1)由∠1＝∠4，可判定AB∥CD.(2)由∠2＝∠3，可判定AD∥BC.错因分析　∠1与∠4是AD、BC被BD所截得的内错角，若∠1＝∠4，则可判定被截两直线AD、BC平行，与AB、CD无关．同理，∠2与∠3是AB、CD被BD所截得的内错角，若∠2＝∠3，则可判定被截两直线AB、CD平行，而与AD、BC无关．正解　(1)由∠1＝∠4，可判定AD∥BC.\n(2)由∠2＝∠3，可判定AB∥CD.例2　等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15和11两部分，求这个等腰三角形的各边长．,①　　　　,②错解　如图①，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，由题意，AB＋AD＝15，BC＋CD＝11.由于AB＝AC＝2AD，所以AD＝5，AB＝10，BC＝6.即这个等腰三角形的三边长分别为10,10,6.错因分析　错解漏掉了一种情况，除了图①外，还有图②所示的情况，即可能腰比底边长，也可能底边比腰长．正解　设在△ABC中，AB＝AC，BD是中线．当AB＞BC时，如图①，AB＋AD＝15，BC＋CD＝11.又AB＝AC＝2AD，求得AD＝5，AB＝10，BC＝6.当AB＜BC时，如图②，AB＋AD＝11，BC＋CD＝15.又AB＝AC＝2AD，求得AD＝11,3，AB＝22,3，BC＝34,3.所以这个三角形的三边长分别为10,10,6或22,3，22,3，34,3.例3　一个三角形的三个外角中，最多有几个锐角？错解　一个三角形的三个外角中最多可有三个锐角．错因分析　对于三角形的内角与外角的概念未能正确理解并加以区分，从而错误地认为三角形的外角也与其内角一样，最多有三个锐角，实际上，三角形的每个外角都与其相邻的内角的和为180°，三角形的内角中至少有两个锐角，故外角最多有一个锐角．正解　一个三角形的三个外角中，最多有一个锐角．复习题(P34)1.由题意，知∠B＋∠C＝120°＋60°＝180°.所以AB∥DC.2.在B地按南偏西40°方向施工．3.答案不唯一．得出的结论如：①∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，理由：两直线平行，同位角相等；②∠EDC＝∠BCD，理由：两直线平行，内错角相等；③∠EDB＋∠B＝180°，∠DEC＋∠BCE＝180°，理由：两直线平行，同旁内角互补．4.如图，因为∠1与∠2互补，即∠1＋∠2＝180°，所以l1∥l2.所以∠5＝∠3＝117°.所以∠4＝180°－∠5＝180°－117°＝63°.5.需添加条件：CF∥BE或∠FCB＝∠EBC.由AB∥CD，可得∠ABC＝∠DCB.这样再加上条件∠FCB＝∠EBC，就可以推出∠1＝∠2.6.由题意，得∠2＝65°.因为AD∥BC，所以∠D＝∠2＝65°.要使AB∥DE，∠BAD的度数应为：180°－65°＝115°.7.DG∥BC.因为CD⊥AB，EF⊥AB，即∠CDB＝∠EFB＝90°，所以CD∥EF.所以∠1＝∠BCD.又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BCD.所以DG∥BC.8.以第(2)组线段为边可以组成三角形，因为其中任意两条线段长的和都大于第三条线段长．9.一个四边形的4个内角不可能都是锐角，因为它不满足4个内角的和为360°的条件；一个四边形的4个内角可以都是直角，因为它满足4个内角的和为360°的条件；一个四边形最多能有3个钝角．10.因为AE∥BD，所以∠BDF＝∠AEF＝128°.又因为∠BDF＝∠CBD＋∠C，所以∠C＝∠BDF－∠CBD，即x＝128－56＝72.11.由题意，得∠COE＝90°.因为∠ACB是△COE的一个外角，∠E＝30°，所以∠ACB＝90°＋30°＝120°.在△ABC中，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠A＝180°－(∠B＋∠ACB\n)＝180°－155°＝25°.12.AB∥DE，AD∥EF.由题意知：六边形ABCDEF的每一个内角的度数都为120°.因为∠2＝60°，所以∠EDA＝120°－60°＝60°.又因为∠1＝60°，所以∠EDA＝∠1.所以AB∥DE.因为∠E＝120°，∠EDA＝60°，所以∠E＋∠EDA＝180°.所以AD∥EF.13.由题意知：∠GEF＝∠DEF＝∠EFG＝50°.所以∠1＝180°－∠GEF－∠DEF＝80°.因为AD∥BC，所以∠1＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－80°＝100°.14.如图，连接AD，并延长AD到点E.因为∠EDB＝∠DAB＋∠B，∠EDC＝∠DAC＋∠C，所以∠BDC＝∠EDB＋∠EDC＝∠A＋∠B＋∠C＝90°＋29°＋21°＝140°≠141°.则零件不合格．,(第14题)　　　,(第15题)15.如图，因为AB∥CD，所以∠2＝∠3.因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4.而∠5＝180°－∠1－∠2，∠6＝∠180°－∠3－∠4，所以∠5＝∠6.所以进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的．16.连接AC、BD，相交于点H，则点H就是所要确定的蓄水池的位置．取不同于H的一点G，连接GA、GB、GC、GD，则由三角形三边之间的关系知：GA＋GC＞AC，GB＋GD＞BD.所以GA＋GB＋GC＋GD＞AC＋BD＝HA＋HB＋HC＋HD(若点G在直线AC或BD上，同样可得GA＋GB＋GC＋GD＞HA＋HB＋HC＋HD)．17.∠A′＝1,2(∠1＋∠2)，理由略．18.(1)∠BOC＝110°.(2)∠B′O′C′＝70°.(3)在图①中，∠1＋∠2＝1,2(180°－n°)，∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝90°＋1,2n°.在图②中，∠1＋∠2＝1,2(180°＋n°)，∠B′O′C′＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－1,2n°.所以∠BOC＋∠B′O′C′＝180°.\n　　第八章　幂的运算8．1　同底数幂的乘法知识点　同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加．公式表示为：am·an＝am＋n(m、n为正整数)．例　计算下列各题：(1)a3·a4；　(2)－33×35；　(3)b·b2·b3；　(4)(－c)·(－c)2·(－c)4.解析　同底数幂的运算中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数．解　(1)a3·a4＝a3＋4＝a7.(2)－33×35＝－33＋5＝－38.(3)b·b2·b3＝b1＋2＋3＝b6.(4)(－c)·(－c)2·(－c)4＝(－c)1＋2＋4＝(－c)7＝－c7.友情提醒　同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap＝am＋n＋p(m、n、p为正整数)．教材中的“？”解答做一做(P40)思路点拨：利用幂的定义，即am表示m个a相乘进行计算．解答：1.106　109　1082．10m＋n3．2m＋n　1,2m＋n一、同底数幂的乘法例1　计算下列各式：(1)－a3·(－a)2；　(2)(a－b)2(b－a)3；　(3)(a＋b－c)2(c－a－b)3.解析　在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算．解　(1)－a3·(－a)2＝－a3·a2＝－a3＋2＝－a5.(2)(a－b)2(b－a)3＝(a－b)2[－(a－b)]3＝－(a－b)2(a－b)3＝－(a－b)5.或(a－b)2(b－a)3＝(b－a)2(b－a)3＝(b－a)5.(3)(a＋b－c)2(c－a－b)3＝(a＋b－c)2[－(a＋b－c)]3＝－(a＋b－c)5.点评　(1)一般根据公式(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n＋1＝－(b－a)2n＋1(n是正整数)来转化不同底数．(2)对于同底数幂的乘法公式：am·an＝am＋n(m、n为正整数)，其中底数a既可以是一个数也可以是一个多项式，要注意整体思想的运用．————————————————————————————————第八章　幂的运算二、代数求值题例2　已知a3·am·a2m＋1＝a25，求m2＋2m－3的值．解析　可以先利用同底数幂的乘法法则求出m的值，然后代入到所要求的代数式．解　由a3·am·a2m＋1＝a25，得a3＋m＋(2m＋1)＝a25，故3＋m＋(2m＋1)＝25，解得m＝7.把m＝7代入到m2＋2m－3中，得：72＋2×7－3＝49＋14－3＝60.点评　利用同底数幂的运算法则可列出关于m的方程，求出m的值，进而求解．三、同底数幂的乘法的应用例3　一个长方体的柜子，长为2.4×103cm，宽为1.5×102cm，高为1.2×102cm，求它的体积(结果保留两位有效数字)．解析　这是一道计算题，首先应根据题意正确地列出算式，然后计算．解　V＝2.4×103×1.5×102×1.2×102＝4.32×107≈4.3×107(cm3)．\n所以它的体积约为4.3×107cm3.点评　利用同底数幂的乘法计算实际问题中的数值时，应先根据题意列出算式，再根据乘法法则计算．计算出的数据较大时，要用科学记数法表示．四、逆用同底数幂的乘法例4　已知am＝2，an＝5，求am＋n的值．解析　本题逆用同底数幂的乘法法则，将幂am＋n分成两个同底数幂的积，即am＋n＝am·an，然后把已知条件代入求值即可．解　am＋n＝am·an＝2×5＝10.例5　计算：(－2)2005＋(－2)2006.解析　本题若直接计算，会相当繁琐，若巧妙地利用同底数幂的运算，则可以化繁为简．解　(－2)2005＋(－2)2006＝(－2)2005＋(－2)2005×(－2)＝(－2)2005×(1－2)＝－(－2)2005＝22005.1.化简(－x)3·(－x)2的结果是(　　)A．x6B．－x6C．x5D．－x52.计算－a3·(－a)4的结果是(　　)A．a7B．－a12C．－a7D．a123.下列计算正确的是(　　)A．－2m2n－2n2m＝0B．3x2＋5x3＝8x5C．(－y)2·(－y)5＝－y7D．(－x)2·x3＝－x54.下列计算错误的是(　　)A．(－a)·(－a)2＝a3B．(－a)2·(－a)2＝a4C．(－a3)·(－a)2＝－a5D．(－a3)·(－a)3＝a65.计算a3·a3＋a2·a4的结果是(　　)A．2a9B．2a6C．a6＋a8D．a126．填空：(1)x·x7＝________；(2)－a3·a6＝________；(3)(－8)12×(－8)5＝________；(4)a3m·a2m－1＝________；(5)－2100×(－2)100＝________；(6)(a＋b)3(a＋b)(a＋b)4＝________.7.在括号里填上适当的数：(1)x3·x4·(　　)＝x8;　　　　　(2)(x－y)5·(　　)＝－(x－y)6；(3)x2·x·(　　)＝x8;　　　　　(4)a5·(　　)＝a3·a9；(5)(　　)·xm＝x2m;　　　　　(6)(　　)·xm－1＝xm＋2.8．计算：(1)(－2)2n·(－2n);(2)(2m＋3n)2(3n＋2m)3；(3)(x－y)2(y－x)3;(4)(x－y)(y－x)3.9.计算：(－a)3(－a)2＋(－a)4·a.\n10.计算：64·4m－1·4m＋1.11.已知4·22n·23n＝217，求n的值．12.已知2x＝3,2y＝5,2z＝15，试说明x＋y＝z.13.已知am＝3，an＝5，求am＋n的值．14.光在真空中的速度大约是3×105km/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年，一年以3×107s计算，比邻星与地球的距离为多少千米？15.一年中，在我国平均每平方千米的土地上从太阳得到的能量相当于燃烧3.5×108kg的煤所产生的能量．我国960万平方千米的土地上，一年中从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量？16.计算：(－2)101＋(－2)100.1.D2.C3.C4.A5.B6.(1)x8　(2)－a9　(3)－817　(4)a5m－1　(5)－2200　(6)(a＋b)87.(1)x　(2)y－x　(3)x5　(4)a7　(5)xm　(6)x38.(1)－23n　(2)(2m＋3n)5　(3)(y－x)5　(4)－(x－y)49.010.42m＋311.3\n12.因为2x＝3,2y＝5，所以2x＋y＝2x·2y＝3×5＝15，又因为2z＝15，所以2x＋y＝2z，所以x＋y＝z.13.1514.3.798×1013km15.3.36×1015kg16.－2100视数学为生命的陈景润在伸向数学皇冠上明珠的无数双手中，有一双手距离它最近，那就是我国著名数学家陈景润的一双勤奋的手．陈景润视数学为生命缘自他对数学的浓厚兴趣．陈景润平时少言寡语，但他自己说：“只要是谈论数学，我就滔滔不绝，不再沉默寡言了．”他曾把华罗庚教授的《堆垒素数论》拆成一页一页的，随时带着读，他坐着读，站着读，躺着读，蹲着读，直到把一页一页的书都读烂了．在逝世前的病重期间，在病床上，他还手捧着数学书进行研究……正是凭着对数学的酷爱，他克服了重重困难，在数学上取得了各项重大成就．练一练(P41)1.(1)a11　(2)x6　(3)－223　(4)－b122.(1)错误，应改为x3·x3＝x6.　(2)错误，应改为x4·x2＝x6.3.(1)2x10　(2)04．(1)5　(2)n－1习题8.1(P42)1.(1)1,1012　(2)a13　(3)－b7　(4)a2m2.(1)311　(2)a103.(1)(p－q)7　(2)－(s－t)2m＋n＋1　(3)2x2n＋14.am＋n＝am·an＝8×32＝256.5.2.2×108×1.3×106＝2.86×1014.\n8．2　幂的乘方与积的乘方知识点一　幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘．公式表示为：(am)n＝amn(m、n都是正整数)．例1　计算下列各式：(1)(z4)3；　　　　(2)(－a2)3；　　　　(3)(－a3)2.解　(1)(z4)3＝z4×3＝z12.(2)(－a2)3＝－a2×3＝－a6.(3)(－a3)2＝a3×2＝a6.友情提醒　(1)幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数．(2)法则中的结论“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开．知识点二　积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．公式表示为：(ab)n＝anbn(n为正整数)．例2　下列计算正确的是(　　)A．(ab3)2＝ab6B．(3xy)2＝6x2y2C．(－2a3)2＝－4a6D．(－x2yz)3＝－x6y3z3解析　对于A，只把因式b3二次乘方，而因式a没有乘方，故A是错误的；对于B，因式32应为9，故B是错误的；对于C，(－2)2应为4，故C是错误的．D是正确的．答案　D友情提醒　(1)运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果．(2)运用积的乘方的法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式．教材中的“？”解答做一做(P43)思路点拨：利用乘方的定义，同底数幂乘法性质及乘法的定义解题．解答：(1)26　(2)a12　(3)a5m做一做(P44)思路点拨：按照乘法、乘方的运算法则计算．解答：(1)216　216　(2)－216　－216　(3)1,216　1,216一、幂的乘方例1　计算下列各题：(1)－[(a－b)2]3；　(2)(x3)2·(x3)4；　(3)(y3)2＋(y2)3－2y·y5.解析　运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的正确把握，同时不要将幂的乘方与同底数幂乘法混淆．解　(1)－[(a－b)2]3＝－(a－b)2×3＝－(a－b)6.(2)(x3)2·(x3)4＝x6·x12＝x18.(3)(y3)2＋(y2)3－2y·y5＝y6＋y6－2y6＝2y6－2y6＝0.点评　幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．二、积的乘方例2　计算下列各题：(1)(－3xy2z)2；　　　　　(2)(－2ab2)2·(－2a2b)3；(3)(3×102)3×(－103)4；　　　(4)[3(m＋n)2]3[－2(m＋n)3]2.解析　在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时的“－”号与括号里的“－”号以及括号里的“－”号与括号外的“－”号的区别．\n解　(1)(－3xy2z)2＝(－3)2x2(y2)2z2＝9x2y4z2.(2)(－2ab2)2·(－2a2b)3＝(－2)2a2(b2)2·(－2)3(a2)3b3＝－32a8b7.(3)(3×102)3×(－103)4＝33×(102)3×(103)4＝27×1018＝2.7×1019.(4)　[3(m＋n)2]3[－2(m＋n)3]2＝33[(m＋n)2]3·22[(m＋n)3]2＝27(m＋n)6·4(m＋n)6＝108(m＋n)12.点评　注意按运算顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数幂相乘．三、有关指数的方程例3　如果22n＋1＋4n＝48，求n的值．解析　关键是将48分解为24×3，而22n＋1＋4n也想办法分解成22n×3，这样就可以得到指数方程．解　因为22n＋1＋4n＝2×22n＋(22)n＝2×22n＋22n＝22n×3，而48＝16×3＝24×3，所以22n＝24，所以2n＝4，n＝2.点评　根据幂的运算法则可得到有关指数的方程，从而求解．四、比较大小问题例4　若a＝1625，b＝833，试比较a、b的大小．解析　本题要直接比较a、b的大小很困难，但根据幂的乘方的运算法则，可将它们都化为2为底的幂，再根据底数相同，指数越大，幂越大的性质即可比较大小．解　因为a＝1625＝(24)25＝2100，b＝833＝(23)33＝299，而100＞99，所以2100＞299，即a＞b.例5　若a＝2555，b＝3444，c＝5333，试比较a、b、c的大小．解析　本题要比较a、b、c的大小，显然直接比较相当困难，由指数的特征可知它们都是111的倍数，故可运用幂的乘方运算性质把a、b、c化为底数可以比较大小而指数相同的形式．解　因为a＝2555＝(25)111＝32111，b＝3444＝(34)111＝81111，c＝5333＝(53)111＝125111，而125＞81＞32，所以125111＞81111＞32111.即c＞b＞a.点评　比较底数不同，指数不同的幂的大小，有两种方法：一种是化为底数相同的幂，比较指数的大小，指数越大，幂越大；一种是化为指数相同的幂，比较底数的大小，底数越大，幂越大．五、幂的运算法则和积的运算法则的逆向应用例6　已知a2n＝3，求a4n－a6n的值．解析　本题逆用幂的乘方法则，将a4n－a6n化为(a2n)2－(a2n)3，从而求解．解　a4n－a6n＝(a2n)2－(a2n)3＝32－33＝－18.例7　计算：(－7)5×－1,75.解析　由于两个幂的底数之积是1，可以逆用积的乘方法则求解．解　(－7)5×－1,75＝(－7)×－1,75＝15＝1.例8　计算：(0.04)2006×[(－5)2006]2.解析　观察题中特点，发现各因式经过变形可以化为有相同的指数，根据积的乘方(ab)n＝anbn的逆向运算anbn＝(ab)n即可简便地求出结果．解　(0.04)2006×[(－5)2006]2＝[(0.2)2]2006×52006×2＝0.24012×54012＝(0.2×5)4012＝1.六、整体思想的应用例9　若2x＋5y－3＝0，则4x·32y＝________.解析　已知的条件是2x＋5y－3＝0，无法求出x、y的值，因此可以先把4x·32y\n化简，把2x＋5y看作一个整体来解．因为2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3.所以4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.答案　8点评　整体思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，使问题转化为对这个整体的研究，能起到化繁为简，化难为易的作用．本题利用整体思想顺利地解决了问题．例10　若xn＝5，则(x3n)2－5(x2)2n＝________.解析　已知的条件是xn＝5，可以把xn看作一个整体，把式子变形为含xn的形式就可以了．(x3n)2－5(x2)2n＝x6n－5x4n＝(xn)6－5(xn)4＝56－5×54＝12500.答案　12500例11　已知25x＝2000,80y＝2000，则x＋y－xy＝________.解析　本题有点难度，根据条件中的两个式子，无法直接求出x、y的值．因此可以把结论中的x＋y和xy看作一个整体，想办法求出x＋y和xy的值．因为25x＝2000,80y＝2000，所以25xy＝2000y，80xy＝2000x.两式相乘得25xy·80xy＝2000y·2000x.所以(25×80)xy＝2000y＋x，即2000xy＝2000y＋x.所以x＋y＝xy，所以x＋y－xy＝0.答案　0七、实际应用题例12　某工厂要做一批正方体的油箱，其中每个油箱的一个棱长为3×104mm，求这种油箱的容积(结果用科学记数法表示)．解析　先要知道正方体体积的求法，若设棱长为a，则V＝a3.解　正方体油箱的容积＝(3×104)3＝27×1012＝2.7×1013(mm3)．点评　注意科学记数法的表示：a×10n，其中1≤a＜10.八、分类讨论型问题例13　计算：(－x)2n＋1·(－x)n＋1(n为正整数)．解析　本题的计算结果应为(－x)3n＋2，要考虑底数中所含的符号是否要去掉，为此要判断3n＋2是奇数还是偶数.事实上3n＋2的奇偶性是不确定的，应加以讨论．解　(－x)2n＋1·(－x)n＋1＝(－x)2n＋1＋n＋1＝(－x)3n＋2，当n为奇数时，原式＝－x3n＋2；当n为偶数时，原式＝x3n＋2.点评　若幂的底数含有负号，当指数是一个代数式时应进行讨论．1.下列运算中与a4·a4结果相同的是(　　)A．a2·a8B．(a2)4C．(a4)4D．(a2)4·(a2)42.结果与a3n＋1相等的是(　　)A．(an＋1)3B．a·a3·anC．a·(a3)nD．(a3)n＋13.下列运算中，正确的个数是(　　)①(ab2)3＝ab6；②(3xy)3＝9x3y3；③(－2a2)2＝－4a4；④(－a2m)3＝a6m.A．3B．2C．1D．04.下列各式中，结果是66的是(　　)①63＋63；②(2×62)×(3×63)；③(22×32)3；④(22)3×(33)2.A．①②③B．②③④C．①③D．①④5.计算：(1)(－x2)4＝________；(2)(2x2y)3＝________；(3)(a2)4·(－a)3＝________；(4)(－xk－1)2＝________.6.在括号里填上适当的数：\n(1)a4·a(　)＝a8;(2)(a4)(　)＝a8；(3)a20＝[a2·(　)]4＝a10·(　)2＝(a2)3·(　)2.7.已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是____________．8.计算：(1)(a2b3)·(ab3)2;(2)(－3a)3－(－a)·(－3a)2.9.计算：(x2)4＋x3·x5－(3x4)2.10.求下列各式中的x：(1)4x＝2x＋6;(2)4·2x·16x＝29.11.试比较244，333，422的大小．12.已知an＝4，bn＝3，求(ab)2n的值．13.已知am＝2，an＝5，求a2m＋2n的值．14.计算：(0.125)5×218.15．已知a＝78，b＝87，试用a、b表示5656.\n16．已知2m＝a,2n＝b，试用a、b表示(22m＋3n)2.17．已知ab2＝3，试求(ab)4·(a2b)2·(b5)2的值．18.已知x＋4y－3＝0，你能求出2x·16y的值吗？19.已知x3n＝2，求x6n＋x4n·x5n的值．20.若n为正整数，且x2n＝2，试求(－3x3n)2－4(－x2)2n的值．21.一个棱长为2×103的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大到原来的102倍的速度膨胀，求10s后该正方体的体积．22.先阅读小明的解题过程，再回答问题：计算：(x4)2＋(x2)4－x·(x2)2·x3－(－x)3·(－x2)2·(－x)．解：原式＝x8＋x8－x·x4·x3－(－x)3·(－x)4·(－x)　　①＝x16－x7－(－x)7②＝x16－x7＋x7　③＝x16.　　　④(1)小明的解法是否有错误？若有错误，从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？(2)给出正确解法．\n23.(1)若等式2n·xn＝22n对一切正整数n都成立，x是多少？(2)如果存在正整数n，使等式2n·xn＝22n，x一定等于2吗？1.B2.C3.D4.B5.(1)x8　(2)8x6y3　(3)－a11　(4)x2k－26.(1)4　(2)2　(3)a3　a5　a77.a＞b＞c8.(1)a4b9　(2)－18a39.－7x810.(1)x＝6　(2)x＝7,511.333＞244＝42212.14413.10014.815.5656＝(7×8)56＝756×856＝(78)7×(87)8＝a7b8.16．(22m＋3n)2＝24m＋6n＝24m·26n＝(2m)4·(2n)6＝a4b6.17．原式＝a4b4·a4b2·b10＝a8b16＝(ab2)8＝38.18．由x＋4y－3＝0可知x＋4y＝3，2x·16y＝2x·(24)y＝2x·24y＝2x＋4y＝23＝8.19．x6n＋x4n·x5n＝x6n＋x9n＝(x3n)2＋(x3n)3＝22＋23＝12.20．原式＝9x6n－4x4n＝9(x2n)3－4(x2n)2＝9×23－4×22＝56.21．V＝[2×103×(102)10]3＝8×1069.22.(1)有错，②同底数幂的乘法运算时出错．(2)原式＝x8＋x8－x·x4·x3－x3·x4·x＝x8＋x8－x8－x8＝0.23.(1)x＝2.　(2)x可能为－2.国王的重赏印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者宰相西萨·班·达依尔．这位聪明的大臣向国王请求说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我1粒麦子；在第二个小格内给2粒；第三个小格给4粒；照这样下去每一小格内都比前一小格加1倍．陛下啊，把这些摆满棋盘上所有64格的麦粒，都恩赐给您的仆人吧！”国王慷慨许诺了西萨·班·达依尔的要求．他觉得宰相的要求未免寒酸．计算工作开始了：第一格1粒；第二格2粒；第三格2×2＝22粒；第四格22×2＝23粒；第五格23×2＝24粒；第六格24×2＝25粒；…；第64格放263粒．国王很快发现自己的诺言是无法实现的，因为他需要付出的麦粒数是：1＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋…＋263＝18446744073709551615(粒)．这是一个长达20位的天文数字！这样多的麦粒，相当于全世界2000年的小麦产量！\n练一练(P44)1.(1)1016　(2)x20　(3)－a10　(4)2602.(1)错误，应改为(a3)2＝a3×2＝a6.　(2)错误，应改为(－a3)2＝a6.3.(1)2m8　(2)a194.(102)3＝106(cm3)5．4　6　9练一练(P45)1.(1)－a3b3　(2)x8y12　(3)4×106　(4)－8a9y122.(1)错误，应改为(xy2)3＝x3y6.　(2)错误，应改为(－2b2)2＝4b4.3.原式＝a8＋16a8＝17a8.4.π×202×40×103≈1.6π×107(L)；π×202×30×103≈1.2π×107(L)．习题8.2(P46)1.(1)a18　(2)－x10　(3)m10　(4)a12b8　(5)－27a6b9c3　(6)8x9y32.(1)2a8　(2)m15　(3)a22　(4)b103.(1)原式＝a6＋a6－a6＝a6　(2)原式＝4a8－25a8＝－21a84．(1)6　(2)18　215.(1)原式＝0.25100×4100×4＝(0.25×4)100×4＝1100×4＝4(2)原式＝(32)7×－1,97＝9×－1,97＝(－1)7＝－16.(1)地球体积约为4,3×π×(6.37×103)3≈3.44π×1011(km3)．(2)球体表面积公式为4πR2＝4×π×(6.37×103)2≈1.62π×108(km2)．\n8．3　同底数幂的除法知识点一　同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减．公式表示为：am÷an＝am－n(a≠0，m、n是正整数，且m＞n)．例1　下列计算错误的有(　　)①a6÷a2＝a3；　②y5÷y2＝y7；　③a3÷a＝a3；④(－c)4÷(－c)2＝－c2；　⑤x10÷(x4÷x2)＝x8.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．3个B．4个C．5个D．0个解析　①指数相除，错误；②指数相加，错误；③把a的指数当作0，错误；④底数是－c，(－c)2＝c2，符号计算错误；⑤正确．答案　B友情提醒　(1)底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了．(2)公式后面的“a≠0，m、n是正整数，且m＞n”是此法则的一部分，不要漏掉．知识点二　零指数幂的意义任何不等于0的数的0次幂都等于1.用公式表示为a0＝1(a≠0)．例2　若(4－2x)0＝1，则x________.解析　因为当4－2x≠0时，(4－2x)0＝1，所以x≠2.答案　≠2友情提醒　不要忽视零指数幂的条件：a≠0.知识点三　负整数指数幂的意义任何不等于0的数的－n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，用公式表示为a－n＝1,an(a≠0，n是正整数)．例3　用小数或分数表示下列各数：(1)4－2;(2)－3－3;(3)3.14×10－5.解　(1)4－2＝1,42＝1,16.(2)－3－3＝－1,33＝－1,27.(3)3.14×10－5＝3.14×1,105＝3.14×0.00001＝0.0000314.友情提醒　利用负整数指数幂的公式：a－n＝1,an(n是正整数，且a≠0)计算．知识点四　科学记数法对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是负整数．例4　用科学记数法表示下列各数：(1)0.00032；　　　(2)0.0000268；　　　(3)－0.000508.解　(1)0.00032＝3.2×10－4.(2)0.0000268＝2.68×10－5.(3)－0.000508＝－5.08×10－4.教材中的“？”解答做一做(P47)思路点拨：利用乘方的意义及分数的约分进行计算．解答：(1)103　(2)a3　(3)a30一、同底数幂的除法例1　计算下列各题：(1)x7÷x3；(2)(－a)3÷a；(3)(2xy)4÷(2xy)2；(4)－1,25÷－1,23.解　(1)x7÷x3＝x7－3＝x4.(2)(－a)3÷a＝－a3－1＝－a2.\n(3)(2xy)4÷(2xy)2＝(2xy)2＝4x2y2.(4)－1,25÷－1,23＝－1,25－3＝－1,22＝1,4.点评　(1)运用法则的关键是看底数是否相同．(2)单独的一个字母，其指数为1，而不是0.(3)结果应注意化简．例2　计算下列各题：(1)(a－b)9÷(b－a)4÷(a－b)3；(2)(a－b)5÷[(a－b)2]2.解析　把(a－b)看作一个整体，再化成同底数幂．解　(1)　(a－b)9÷(b－a)4÷(a－b)3＝(a－b)9÷(a－b)4÷(a－b)3＝(a－b)9－4－3＝(a－b)2.(2)　(a－b)5÷[(a－b)2]2＝(a－b)5÷(a－b)4＝a－b.点评　不是同底数的幂相除，要经过适当变形化为同底数幂相除，同时运用整体思想．二、有关零指数幂与负整数指数幂的运算例3　(1)若(3－2x)0＝1，则x________；(2)－1,2－2＝________.解析　零指数幂的条件a0＝1(a≠0)，即3－2x≠0，x≠3,2；负整数指数幂的意义：a－n＝1,an(a≠0，n为正整数)．计算时先定符号再计算．答案　(1)≠3,2　(2)4点评　注意底数的负号与指数的负号的区别．例4　计算：[(－2)－3－8－1×(－1)－2]×－1,2－2×π0.解析　此题中含有零指数幂、负整数指数幂的运算，要运用各自的法则进行正确地运算．解　原式＝－1,8－1,8×1×4×1＝－1,4×4＝－1.点评　此类运算中要注意定号，不要把运算符号混淆．三、逆用幂的运算法则例5　已知ax＝3，ay＝9，求a2x－y的值．解析　对两个已知等式均无法进行变换、化简的问题，应从分析要求的幂入手．这个幂的指数为两数差的形式．应该联想到只有同底数幂相除时才有，即所要求的代数式为a2x÷ay，这时矛盾的焦点为指数不同，而这种情况只有在幂的乘方情况下才能出现，这样就可以利用已知条件了．解　因为ax＝3，所以(ax)2＝32，即a2x＝9.因为ay＝9，所以a2x÷ay＝a2x－y＝1.点评　有关幂的指数运算问题，常用幂运算性质的逆变形，逐步“凑”出所需指数的方法．例6　已知3m＝6,9n＝2，求32m－4n＋1的值．解析　运用幂的有关性质建立已知与未知的联系，将结论中的代数式转化为含有已知条件的代数式，即可求值．解　因为3m＝6,9n＝32n＝2，所以32m－4n＋1＝32m÷34n×3＝(3m)2÷(32n)2×3＝62÷22×3＝27.点评　运用幂的法则时要注意进行恒等变形．四、有关指数的方程例7　已知a2m＋nbn÷a2b2·anb＝a4b，求m、n的值．解析　观察条件，等式的左边是整式的除法与乘法运算，所以首先应将左边化简，然后可根据等式得出方程．解　因为a2m＋nbn÷a2b2·anb＝a4b，所以a2m＋n－2＋nbn－2＋1＝a4b，即a2m＋2n－2bn－1＝a4b.\n可得2m＋2n－2＝4，n－1＝1，解得m＝1，n＝2.点评　利用幂的运算法则列方程是求有关指数未知数常用的方法．五、整式的除法的实际应用例8　在细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个．有一种分裂速度很快的细菌，它每15min分裂一次，如果现在有1000个这样的细菌，那么1h后有多少个细菌？2h后的数量是1h后的多少倍？解析　这种细菌每15min分裂一次，30min就分裂两次，1h后就会分裂4次；从1h到2h之间的1h内又分裂了4次，也就是2h共分裂了8次．解　1h后细菌的个数为：1000×24＝1.6×104(个)，2h后细菌的个数为：1000×28＝2.56×105(个)，所以2.56×105÷(1.6×104)＝16,2h后的数量是1h后的16倍．点评　整式的除法在实际生活中也有不少的应用，解决此类问题时应正确列出式子，然后根据运算法则算出正确的结果．六、幂的运算法则的综合应用例9　计算：(1)[(a3)3·(－a4)3]÷(a2)3÷(a3)2；(2)(－10)3×100－(－10)0÷－1,102.解析　(1)本题涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘除运算，对于这类混合运算，要特别注意运算顺序，注意其中括号所起的作用；(2)本题运用幂的运算法则直接计算即可．解　(1)原式＝(－a9·a12)÷a6÷a6＝－a21÷a6÷a6＝－a21－6－6＝－a9.(2)原式＝－1000×1－1÷1,100＝－1000－100＝－1100.点评　混合运算应按照运算顺序计算．例10　先化简，再求值．－1,2x3y43＋－1,6xy22×3xy2÷－1,2xy23，其中x＝－2，y＝1,2.解析　先按各自的法则和运算顺序化简，再代入求值．解　－1,2x3y43＋－1,6xy22×3xy2÷－1,2xy23＝－1,8x9y12＋1,12x3y6÷－1,8x3y6＝x6y6－2,3.当x＝－2，y＝1,2时，原式＝(xy)6－2,3＝－2×1,26－2,3＝1,3.点评　化简求值这类题，一定要先化简，再代入计算，一般不要直接代入计算．七、分类讨论问题例11　计算：(a－b)3n(b－a)2n÷(b－a)5n(a≠b)．解析　由于当n为奇数或偶数时，(b－a)5n有两种不同情况，故应对n的奇偶性进行分类讨论．解　①当n为奇数时，原式＝(a－b)3n·(a－b)2n÷[－(a－b)5n]＝(a－b)5n÷[－(a－b)5n]＝－(a－b)5n－5n＝－(a－b)0＝－1.②当n为偶数时，原式＝(a－b)3n·(a－b)2n÷(a－b)5n＝(a－b)5n÷(a－b)5n＝(a－b)0＝1.点评　在幂的有关运算中，指数的奇偶性至关重要，大多数情况下，题目会指明，如果题目中没有明确给出，则对指数的奇偶性要采用分类讨论的方法分别进行说明．1．下列运算中计算正确的是(　　)A．a3·a2＝a6B．a8÷a2＝a4C．(a2)3＝a6D．(3a)3＝9a32．已知下列各式：①(－a)6÷(－a)3＝－a3；②(－1)0＝1；③3－3＝0.003；④3a\n－2＝1,3a2.其中正确式子的个数是(　　)A．1B．2C．3D．43．把3.2×10－3用小数表示为(　　)A．0.0032B．0.00032C．3.2000D．－0.00324．天安门广场的面积约为44万平方米，请估计一下，它的百万分之一大约相当于(　　)A．一间教室地面的面积B．一块黑板面的面积C．一张课桌的面积D．一只铅笔盒盒面的面积5．在数－1,2－2，(－2)－2，－1,20，(－2)－1中，最大的数是(　　)A．－1,2－2B．(－2)－2C．－1,20D．(－2)－16．(1)2100÷297＝________；(2)t2m＋2÷t2＝________；(3)(a－b)4÷(b－a)3＝________.7.填空：(1)x9÷(　)＝x3;(2)(　)3÷(ab2)＝a2b4；(3)a2m÷(　)＝am－1(m是大于1的整数)．8.用小数或分数表示下列各数：(1)10－1＝________；(2)3－3＝________；(3)3,5－2＝________；(4)(－2)－2＝________.9.把下列小数或分数写成负整数指数幂的形式：(1)0.00001＝________；(2)－1,32＝________；(3)1,1000000＝________.10.计算：(1)(a6÷a2)3÷[(a5÷a2)·a2]；(2)(x3)2÷x4÷x＋x5÷(－x2)÷(－x)2；(3)1,32÷3－3＋4×－1,30.11.已知3x＝4,3y＝6，求92x－y＋27x－y的值．12.若(y2)m·(xn＋1)2÷xny＝x3y3，求m、n的值．13.求下列各式中的x：(1)2x＝1,32;(2)(－3)3÷(－3)2x＝(－3)x.14.\n地震的强度通常用里克特震级表示．描绘地震级数的数字表示地震的强度是10的若干次幂．例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震．加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？15.在一次火灾中，大约有2.5×105人无家可归，假如一顶帐篷占地100m2，可以放置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约占地多少？16.化简求值．[(2x2y)2·(－2xy)3－xy2(－4xy2)2]÷8x2y3，其中x＝－1，y＝－2.17.计算：(x－y)3n·(y－x)4n÷(y－x)7n.1．C2．B3．A4．C5．A6．(1)8　(2)t2m　(3)b－a7.(1)x6　(2)ab2　(3)am＋18.(1)1,10　(2)1,27　(3)25,9　(4)1,49.(1)10－5　(2)(－2)－5　(3)10－610.(1)a7　(2)0　(3)711.200,2712.由y2m－1xn＋2＝x3y3得2m－1＝3，n＋2＝3，解得m＝2，n＝1.\n13.(1)x＝－5　(2)x＝114.10015.2.5×105÷40＝6.25×103(顶),100×6.25×103＝6.25×105(m2)．16.原式＝－4x5y2－2xy3，将x＝－1，y＝－2代入后可得原式＝0.17.原式＝(x－y)7n÷(y－x)7n，当n为奇数时，原式＝－1；当n为偶数时，原式＝1.什么是纳米技术纳米是长度单位，原称“毫微米”，就是10－9m(十亿分之一米)，是一个用肉眼无法感知的微观世界，自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门以0.1nm～100nm这样的尺度为研究对象的新学科，这就是纳米技术．纳米技术通过操纵原子、分子或原子团和分子团，使其重新排列组合，形成新的物质，制造出具有新功能的机器．纳米技术包含下列四个主要方面：第一方面是纳米材料，包括制备和表征．在纳米尺度下，物质中电子的放性(量子力学性质)和原子的相互作用将受到尺度大小的影响．第二方面是纳米动力学，主要是微机械和微电机，或总称为微型电动机械系统(MEMS)，用于有传动机械的微型传感器和执行器、光纤通讯系统、特种电子设备、医疗和诊断仪器等．第三方面是纳米生物学和纳米药物学，如在云母表面用纳米微粒镀的胶体金固定DNA的粒子，在二氧化硅表面的叉指形电极做生物分子间相互作用的试验，磷脂和脂肪酸双层平面生物膜，DNA的精细结构等．第四方面是纳米电子学，包括基于量子效应的纳米电子器件、纳米结构的光电性质、纳米电子材料的表征以及原子操纵和原子组装等．总之，纳米科技以空前的分辨率为人类揭示了一个可见的原子、分子世界．随着纳米技术的广泛应用，未来的某一天，现在像“银河”那样的巨型计算机小小的设备中；通过纳米化，易碎的陶瓷可以变成富有韧性的特殊材料；世界上还会出现1μm以下的机器甚至机器人；纳米技术还能给药物传输提供新的方式和途径，等等．纳米技术是建设者的最后疆界，它的影响将是巨大的！练一练(P48)1.(1)9　(2)－64,27　(3)y12　(4)a4　(5)－x3y3　(6)a8n2.(1)错误，结果应为a4.(2)正确．(3)错误，结果应为m4.(4)错误，结果应为z4.3.16练一练(P49)1.(1)0.01　(2)1　(3)1,5　(4)0.00212.(1)10－3　(2)10－6　(3)2－6　(4)3－43.0.000005m练一练(P50)1.1.7×10－4　2.15×10－5　6.089×10－7　－1.0002×10－32.(1)7×10－7m　(2)π×10－6cm2习题8.3(P50)1.(1)a2　(2)m9　(3)s5　(4)－s5　(5)1,92．(1)23　(2)a4　(3)36　(4)a83.(1)1,16　(2)1　(3)2　(4)0.0000010274.(1)1,52÷1,23＝1,25×8＝8,25(2)原式＝1－32＝－8(3)原式＝1,25＋1＋52＝261,25(4)原式＝1,4÷(－8)×1,4＝－1,4×1,8×1,4＝－1,1285.(8×102)×103÷(2×102)＝4000(枚)\n6.(4×10－2)÷(40×12)≈8×10－5(m)7.200÷50000＝4×10－3(g)\n本章总结本章主要内容为幂的运算性质，零指数幂、负整数指数幂的意义，用科学记数法表示绝对值小于1的数．幂的运算性质是整式乘除的基础，其知识间的结构如下：幂的运算性质的运用是中考中的必考内容，在中考中有时直接考查，有时渗透在其他题目中间接考查，题型多以选择题和填空题为主，难度为中低档，分值不高．一、简单的计算问题例1　(杭州)计算(a3)2÷a4的结果是(　　)A．1B．aC．a2D．a10解析　首先确定运算顺序：先乘方后除法，然后利用幂的乘方及同底数幂的除法来计算．(a3)2÷a4＝a6÷a4＝a6－4＝a2.答案　C点评　运用幂的运算性质计算时，一定要先确定运算顺序，并且要明确每一步的依据．例2　(成都)下列运算正确的是(　　)A．4a2－(2a)2＝2a2B．(－a)3·a3＝a6C．(－2x2)3＝－8x6D．(－x)2÷x＝－x解析　分别对四个选项中的算式进行计算：4a2－(2a)2＝4a2－4a2＝0；(－a)3·a3＝－a3·a3＝－a6；(－2x2)3＝－23·x6＝－8x6；(－x)2÷x＝x2÷x＝x.答案　C点评　本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项等多个有关整式运算的性质和法则．例3　(河南)如果10a＝2,10b＝3，那么102a－b的值是(　　)A．4,3B．3,4C．100D．不能确定解析　本题逆用幂的乘方(am)n＝amn和同底数幂的除法的性质进行计算．102a－b＝102a÷10b＝(10a)2÷10b＝22÷3＝4,3.答案　A点评　根据指数的形式(如本题是2a与b的差的形式，2a又是2与a的积的形式)联想到逆用哪一个运算性质．二、科学记数法例4　(河北)生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043m，用科学记数法表示0.000043的结果为________．解析　对于一个小于1的正数可用科学记数法表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是一个负整数．答案　4.3×10－5点评　对于绝对值较大的数和较小的数都可以用科学记数法表示．三、综合计算题例5　(芜湖)计算：1,2－2－23×0.125＋20040＋|－1|.解析　要明确负整数指数幂和零指数幂的意义．a－n＝1,an(a≠0，n是正整数)，a0＝1(a≠0)．解　1,2－2－23×0.125＋20040＋|－1|＝4－8×0.125＋1＋1＝4－1＋1＋1＝5.点评　关于有理数的混合运算首先要确定运算顺序和符号，然后再进行计算．例1　计算：(1)－a3·(－a)3；　(2)(a3)2；\n(3)1,2x2y32；　(4)b8÷b4.错解　(1)－a3·(－a)3＝－a6.(2)(a3)2＝a3＋2＝a5.(3)1,2x2y32＝x4y6.(4)b8÷b4＝b8÷4＝b2.错因分析　(1)符号出错；(2)运用幂的乘方性质时出现错误；(3)运用积的乘方性质时出现错误；(4)运用同底数幂的除法性质时出现错误．正解　(1)－a3·(－a)3＝－a3·(－a3)＝a6.(2)(a3)2＝a3×2＝a6.(3)1,2x2y32＝1,4x4y6.(4)b8÷b4＝b8－4＝b4.例2　用小数或分数表示下列各数：(1)5－1；　　　(2)－(－0.1)0；　　　(3)(－2)－3.错解　(1)5－1＝－5或5－1＝－1,5.(2)－(－0.1)0＝1.(3)(－2)－3＝6.错因分析　(1)中幂的指数是负数，就误以为化简结果是一个负数，另一方面误将底数与指数相乘；(2)误以为指数是0，结果就是1；(3)误将底数与指数相乘．正解　(1)5－1＝1,5.(2)－(－0.1)0＝－1.(3)(－2)－3＝1,(－2)3＝－1,8.例3　在实施国家“863”计划中，某材料科学研究所研制出一种高分子聚合材料，且密度为9×102kg/m3，介于酒精和水之间，又知铝的密度是2.7×103kg/m3，铝的密度是这种材料的多少倍？错解　(2.7×103)÷(9×102)＝2.7÷9×103×102＝0.3×105＝30000.错因分析　计算时由于运算顺序不当，造成错误．正解　(2.7×103)÷(9×102)＝(2.7÷9)×(103÷102)＝0.3×10＝3.所以铝的密度是这种材料的密度的3倍．复习题(P52)1.(1)－3,45　(2)(a－b)6　(3)x12　(4)81x4　(5)27x6　(6)4x2y4z2(7)m10　(8)－a12　(9)2tm＋2　(10)2x2n－xn＋22.(1)原式＝42×1,24＝1(2)原式＝3,42÷1＝9,16(3)原式＝－1,9×32＝－1(4)原式＝1,4×43×1＝42＝163.3.84×1011×3600≈1.38×1015(次)4.1.293×10－3×106＝1.293×103(g)5.106÷30≈3.3×104(个)6.(1)原式＝22×22×(23)4＝22＋2＋12＝216(2)原式＝(0.2×0.4×12.5)4＝1(3)原式＝－1,3×3100×3＝3(4)原式＝2.1,710×34,0.311＝0.310,0.311×34＝81,0.3＝2707.因为a＝－0.09，b＝－1,9，c＝9，d＝1，所以b＜a＜d＜c.8.71%　1.332×109km3\n9.当b＝0时，a为任何不等于零的有理数；当b≠0时，若a＝1，则b为任何有理数；若a＝－1，则b为任何偶数．10.(1)1,32,243,1024,3125，…，2476099　(2)7　(3)2,3\n　　第九章　从面积到乘法公式9．1　单项式乘单项式知识点　单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式的乘法运算步骤：(1)把它们的系数相乘，包括符号的计算；(2)同底数幂相乘；(3)单独字母的处理．三部分的乘积作为计算的结果．例　计算：(1)(2ab3)·(－4ab)；(2)(xy)3·(－x2y)．解析　(1)单项式乘单项式，系数、同底数幂分别相乘；(2)先算积的乘方，再算单项式乘单项式．解　(1)原式＝－8a2b4.(2)原式＝x3y3·(－x2y)＝－x5y4.友情提醒　注意符号的确定．教材中的“？”解答做一做(P56)思路点拨：利用乘法的交换律、结合律、系数、同底数幂分别相乘．解答：(1)6a3b3　(2)20ab3　(3)－12x5y一、单项式乘单项式例1　计算：(1)2,3a3b·－3,5ab2c；(2)(－2x)3(－3x2y)；(3)－1,2ab2c2·－1,3a2bc3·(12a2b)；(4)(4×105)×(5×106)×(3×104)．解析　注意按照运算顺序进行计算，同时在计算时，应先进行符号运算，以防止出现符号错误．解　(1)原式＝－2,3×3,5·(a3·a)·(b·b2)·c＝－2,5a4b3c.(2)原式＝(－2)3x3·(－3x2y)＝(23×3)·(x3·x2)·y＝24x5y.(3)原式＝1,4a2b4c2·－1,27a6b3c3·(12a2b)＝－1,4×1,27×12(a2·a6·a2)(b4·b3·b)(c2·c3)＝－1,9a10b8c5.(4)原式＝(4×5×3)×(105×106×104)＝60×1015＝6×1016.——————————————————第九章　从面积到乘法公式点评　多个单项式相乘同样适用于单项式的乘法法则．例2　计算：2(x2)3·x3－(－2x3)3＋4x2·x7.解析　按照运算的顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减．解　原式＝2x6·x3－(－8x9)＋4x2＋7＝2x9＋8x9＋4x9＝14x9.点评　混合运算的顺序是先乘方再乘除后加减，注意不要用错法则．二、化简求值例3　先化简后求值．[(－2)3·a2]2·(－a)5＋a12÷a6·a3，其中a＝－1.解析　正确地化简原式后，代值计算．\n解　原式＝(－8a2)2·(－a5)＋a6·a3＝64a4·(－a5)＋a9＝－64a9＋a9＝－63a9.当a＝－1时，原式＝－63×(－1)9＝63.三、单项式乘法的应用例4　卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s，则卫星运行3×102s所走的路程约是多少？解析　路程＝速度×时间，对于较大的数写成科学记数法的形式．解　7.9×103×3×102＝23.7×105＝2.37×106(m)．所以卫星运行3×102s所走的路程约是2.37×106m.点评　科学记数法的形式为：a×10n(其中1≤a＜10，n为正整数)．四、整体思想的应用例5　计算：[－6a2b·(x－y)3]·1,3ab2·(y－x)2.解析　把x－y或y－x看作一个整体，运用单项式乘单项式的法则计算．解　原式＝[－6a2b·(x－y)3]·1,3ab2(x－y)2＝－6×1,3·(a2·a)(b·b2)[(x－y)3·(x－y)2]＝－2a3b3(x－y)5.例6　已知ab2＝8，求(ab)4·(a2b)2·(b2)5的值．解析　把ab2看作一个整体代入计算．解　原式＝a4b4·a4b2·b10＝a8b16＝(ab2)8.当ab2＝8时，原式＝88.点评　先将所求的式子化简成含有ab2的式子，再把ab2看作一个整体，代值计算．五、图形面积的计算例7　如图，计算图中阴影部分的面积．解　a·2a＋5a·4a＋a·2a＝2a2＋20a2＋2a2＝24a2.所以阴影部分的面积为24a2.点评　把阴影部分分割成3个长方形，再进行面积的计算．1．如果单项式－3x2ayb＋1与1,3xa＋2y2b－3是同类项，那么这两个单项式的积是________．2.计算：(1)(3xy2)·(－2xy);(2)－6a2b·1,2abc.3.计算：(1)(－3x2y2)2·－2,3xyz·3,4z3；(2)2m·(－2mn)·－1,2mn3；(3)(－3a2b3)2·4(－a3b2)3；(4)(1.2×103)×(2.5×1011)×(4×109)．\n4.计算：(1)(－5xy)·3x2y－12x3·－7,4y2；(2)2,5x2y·(－0.5xy)2－(－2x)3·xy3.5．先化简，后求值：3x·(－4x3y2)2－(2x2y)3·5xy，其中x＝1，y＝2.6．已知m＝54,7，n＝43,7，求代数式－7,2(m＋n)3·(m－n)·[－2(m＋n)·(m－n)]2的值．7.如图，计算图形面积．8.一套住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是a元/m2，那么购买所需地砖至少需要多少元？1.－x8y102.(1)－6x2y3　(2)－3a3b2c3.(1)－9,2x5y5z4　(2)1,2m5n4　(3)－36a13b12　(4)1.2×10244.(1)6x3y2　(2)8.1x4y35.原式＝8x7y4.代入x＝1，y＝2后可得原式＝128.6.－2.56×1077.2a(4a＋6b)＋2b2＋8b2＋2b2＝8a2＋12ab＋12b28.11xym2　11xya元数学家的幽默一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家说道：“你们不是说若X＝Y且Y＝Z，则X＝Z吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男生你也会喜欢啰？”数学家想了一下反问道：“那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里，想来也没事吧！因为它们平均不过是五十度而已！”\n练一练(P57)1.(1)a3　(2)－2,3a3b4c　(3)－3,7a3b2c　(4)－a2b3c2　(5)4x6y4　(6)2a5b52.(1)1.35×105cm2　(2)3.375×106cm3习题9.1(P57)1.(1)错误，正确答案为－6x5.(2)错误，正确答案为12a4.(3)错误，正确答案为24b6.(4)错误，正确答案为－6x2y.2.(1)－2a5b　(2)45,4a2bm3　(3)－0.1an＋1bm＋1c　(4)－1.2×107(5)－1,2x4y4＋3x4y3z3.(1)4x　(2)－3ac\n9．2　单项式乘多项式知识点　单项式乘多项式单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．例　计算：(－3ab)(2a2b＋ab－1)．解析　首先要确定多项式里含哪几项，然后将单项式乘多项式的每一项．解　(－3ab)(2a2b＋ab－1)＝(－3ab)·2a2b＋(－3ab)·ab＋(－3ab)·(－1)＝－6a3b2－3a2b2＋3ab友情提醒　单项式与多项式相乘，是用单项式乘多项式的每一项，不能漏乘．教材中的“？”解答做一做(P58)思路点拨：利用乘法对加法的分配律进行计算．解答：(1)5a2＋3ab　(2)2x2－4xy一、含单项式乘多项式的多重运算例1　计算下列各题：(1)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)；(2)2a(a2＋3a－2)－3(a3＋2a2－a＋1)．解析　先算单项式乘多项式，再算加减法．解　(1)　x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)＝x2－2x－2x2－2x－3x2＋15x＝－4x2＋11x.(2)　2a(a2＋3a－2)－3(a3＋2a2－a＋1)＝2a3＋6a2－4a－3a3－6a2＋3a－3＝－a3－a－3.点评　在计算单项式乘多项式时，可以把运算符号“－”看作性质符号负号进行分配计算．例2　化简求值：3x2(2x2－x＋1)－x(3x3－4x2＋2x)，其中x＝－1.解析　先化简，再代入计算．解　原式＝6x4－3x3＋3x2－3x4＋4x3－2x2＝3x4＋x3＋x2.当x＝－1时，原式＝3×(－1)4＋(－1)3＋(－1)2＝3－1＋1＝3.二、解方程例3　解方程：5(x2＋x－3)－4x(6＋x)＋x(－x＋4)＝0.解析　对方程左边的式子进行计算，也就是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解出x的值．解　5(x2＋x－3)－4x(6＋x)＋x(－x＋4)＝0，　　　5x2＋5x－15－24x－4x2－x2＋4x＝0，　　　　　　　　　　　　　　　－15x＝15，　　　　　　　　　　　　　　　　　x＝－1.点评　在解方程时，要熟悉单项式与多项式的乘法运算．在运算时，要注意每一项结果的符号的确定，并且不要漏乘任何一项．三、整体思想的应用例4　(1)已知ab2＝－2，求－ab(a2b5－ab3－b)的值；(2)已知a＋2b＝0，求a3＋2ab(a＋b)＋4b3的值．解析　第(1)题可先按单项式乘多项式法则去括号来解答；第(2)题用一个字母表示另一个字母代入化简．解　(1)原式＝－a3b6＋a2b4＋ab2＝－(ab2)3＋(ab2)2＋ab2.\n当ab2＝－2时，原式＝－(－2)3＋(－2)2＋(－2)＝8＋4－2＝10.(2)由a＋2b＝0得a＝－2b代入，原式＝(－2b)3＋2·(－2b)·b(－2b＋b)＋4b3＝－8b3＋4b3＋4b3＝0.点评　求值的一般方法是将字母的值用数字代替，当字母的具体数值不知道时，可考虑整体代入的思想方法．例5　已知x2＋x－1＝0，求x3－2x＋4的值．解析　求关于x的代数式的值，一般把x的值代入即可．而此题目前无法求出x的值，因此必须另辟途径．寻求已知与所求的联系发现x3可由x、x2转化而来．解　由x2＋x－1＝0得x2＝1－x代入，原式＝x·x2－2x＋4＝x(1－x)－2x＋4＝－x2－x＋4＝－(1－x)－x＋4＝－1＋x－x＋4＝3.点评　此方法称为降次法，采取逐步降次x3→x2→x.四、有关图形的计算例6　(1)根据图示尺寸计算图形的面积S(用含a、b的代数式表示，并化简)；(2)在(1)中，若a＝1，b＝3,2，求S的值．解析　(1)中图形面积的计算即把不规则的图形分割成我们学过的特殊的图形，从而计算出图形的面积．解　(1)S＝b(2b＋a)＋a·a＝2b2＋ab＋a2.(2)当a＝1，b＝3,2时，S＝2×3,22＋1×3,2＋1＝7.1.计算：(1)(－2ab)·(3a2－2ab＋b2);(2)－1,2ab·2,3ab2－ab＋3,4b.2.计算：(1)－1,2ab2·4,3ab2－ab＋3,4b；(2)－4,3ab2·9,2a2b－12ab＋3,4b2.3.计算：(1)a2(a＋1)－a(a2－2a－1)；　　　　　(2)5x(x2－2x＋1)＋x2(x－8)；(3)(－x)3·(－8x3y3)－3x2x4y3＋2,3x3y3－1；(4)ab(1－a)－2ab－1,2·(2ab2)．\n4.先化简，再求值：(1)xy(x2＋y)－y2(xy＋2x)－3xy2，其中x＝5，y＝－1；(2)4ab(a2b－ab2＋ab)－2ab2(2a2－3ab＋2a)，其中a＝3，b＝2.5.解方程：(1)3x(2x－5)－2x(3x－1)＝52；6.已知A＝－12ab，B＝a－b，C＝2a＋2,3b，求A·3,4B－A·C的值．7.已知M、N分别表示不同的单项式，且3x(M－5x)＝6x2y3＋N，求M、N的值．8.(1)计算如图所示长方体的体积．(2)计算如图所示图形的面积．9.已知xy2＝－6，求－xy(x3y7－3x2y5－5y)的值．10.已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．1.(1)－6a3b＋4a2b2－2ab3(2)－1,3a2b3＋1,2a2b2－3,8ab22.(1)1,3a3b4－1,4a3b3＋3,16a2b3\n(2)8a4b3－64,3a3b3＋4,3a2b43.(1)3a2＋a(2)6x3－18x2＋5x(3)5x6y3－2x5y3＋3x2(4)－2a3b3－2a2b3＋2a2b24.(1)原式＝x3y－xy3－4xy2，当x＝5，y＝－1时，原式＝－140.(2)原式＝2a2b3，当a＝3，b＝2时，原式＝144.5.(1)x＝－4　(2)x＝26.15a2b＋17ab27.M＝2xy3，N＝－15x28.(1)6x3－10x2　(2)6a2＋2ab＋3b29.－197410.4幂的概念的形成求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂．幂的概念的形成是相当曲折和漫长的．我国古代“幂”字至少有10种不同的写法，最简单的是“”．“幂”作名词用是用来覆盖食物的巾，作动词用就是用巾来覆盖．《说文解字》解释说：“，覆也，从一下垂也．”用一块方形的布盖东西，四角垂下来，就成了“”的形状．将这意义加以引申，凡是方形的东西也可叫做幂．再进一步推广，矩形面积或两数的积(特别是一个数自乘的结果)也叫做幂．这种推广是从刘徽开始的．刘徽在263年为《九章算术》作注，在“方田”章求矩形面积法则下面写道：“此积谓田幂”．他还说，长和宽相乘的积叫幂．这是在数学文献中第一次出现幂．300多年以后，李淳风重注《九章算术》，还不同意刘徽这样使用幂字．到了明朝，有些数学书中完全不使用幂字．1607年，利马窦和徐光启合译欧几里得《几何原本》，在译本中徐光启重新使用了幂字．他说：“自乘之数曰幂”．这是第一次给“幂”这个概念下定义．另一方面，幂的概念的形成还受到国外的影响.1591年法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中曾经用拉丁文字表达“幂”，以后译成英文后变成意义相当的“”.1935年，我国出版的《数学名词》，把“┎　┚”译成“幂”，这个术语从此才算确定下来．练一练(P59)1.(1)aq＋ar－13a　(2)－12xy2＋6x2y＋3xy　(3)－2x3y3－4x4y5(4)－6a4b2＋4a2b3－2a2b4　(5)－5x＋3y　(6)a3＋b32.3x＋(5x－2),2×4x＝16x2－4x3.(1)x　(2)x＋7习题9.2(P60)1.(1)a3b3－3,2a2b4　(2)6x　(3)a3－b3　(4)－a3＋6a2(5)36xn＋1y－48xyn＋1－9,2xn＋1yn＋3xnyn＋12.－8a3b2＋8a2b33.2a·a(4a＋5)＋2a·a(4a＋5)＝16a3＋20a24.(1)2ab＋2b2　(2)1,2b2－1,2ab5.(1)－6ab　(2)2a　(3)2ab　5b2　(4)1　4ab　8a2b26.(a＋b)·(c＋d)＝(a＋b)·c＋(a＋b)·d＝ac＋bc＋ad＋bd\n9．3　多项式乘多项式知识点　多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．公式表示为：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.例1　计算下列各题：(1)(2x＋5y)(3x－2y)；(2)(3x－y)(y＋3x)－(4x－3y)(4x＋3y)．解析　利用多项式乘多项式的法则进行计算．解　(1)　(2x＋5y)(3x－2y)＝6x2－4xy＋15yx－10y2＝6x2＋11xy－10y2.(2)　(3x－y)(y＋3x)－(4x－3y)(4x＋3y)＝3xy＋9x2－y2－3xy－(16x2＋12xy－12xy－9y2)＝9x2－y2－16x2＋9y2＝－7x2＋8y2.友情提醒　运用多项式乘法法则，必须做到不重不漏，在合并同类项之前，积的项数就是这两个多项式项数的积，同时最后的结果不能有同类项．教材中的“？”解答做一做(P61)思路点拨：把其中一个多项式看作一个整体，利用乘法分配律将多项式相乘转化为单项式与多项式相乘．解答：(1)原式＝a(a＋3)＋4(a＋3)＝a2＋3a＋4a＋12＝a2＋7a＋12.(2)原式＝3x(x－2)＋x－2＝3x2－6x＋x－2＝3x2－5x－2.一、确定多项式中项的系数例1　若多项式ax2＋bx＋1与2x2－3x＋1的积不含x3项，也不含x项，求a和b的值．解析　缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含x3项和x项，也就是x3项和x项的系数为0.解　在(ax2＋bx＋1)(2x2－3x＋1)中，x3项的系数为－3a＋2b＝0，x项的系数为b－3＝0，解方程得a＝2，b＝3.点评　解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意令某些项的系数为零，通过解方程求解．二、化简求值题例2　先化简，再求值．(2x＋5)(x2－2x－3)－2x(x2－4x－6)，其中x＝2.解析　先根据多项式的乘法法则对原代数式进行运算，再合并同类项，然后把x＝2代入求值．解　原式＝2x3－4x2－6x＋5x2－10x－15－2x3＋8x2＋12x＝9x2－4x－15.当x＝2时，原式＝9×22－4×2－15＝13.点评　在计算过程中，去括号时要注意括号前的符号．三、论证与解释例3　对于任意自然数n，代数式n(n＋7)－(n－3)(n－2)的值能被6整除吗？为什么？解析　首先应对代数式n(n＋7)－(n－3)(n－2)进行化简，从中寻找是否有约数6.解　代数式n(n＋7)－(n－3)(n－2)的值能被6整除．\nn(n＋7)－(n－3)(n－2)＝n2＋7n－(n2－5n＋6)＝12n－6＝6(2n－1)．因为n为自然数，所以2n－1也为整数．所以6(2n－1)为6的倍数．点评　本题属于多项式乘多项式的一个应用，本题的突破口就在于利用多项式乘多项式的法则将多项式化简，结合结果得以解决．四、有关图形的计算例4　一个长方形的长是2acm，宽比长少4cm，若将长方形的长和宽都扩大3cm，则面积增加了多少？若a＝2cm，则增加的面积是多少？解析　弄清题目的意思，用字母表示长方形的长与宽，根据题意列出代数式，进行运算．解　(2a＋3)(2a－4＋3)－2a(2a－4)＝(2a＋3)(2a－1)－4a2＋8a＝4a2－2a＋6a－3－4a2＋8a＝12a－3.当a＝2cm时，面积增加了12×2－3＝21(cm2)．所以面积增加了(12a－3)cm2，当a＝2cm时，增加的面积是21cm2.点评　解决此类问题的关键是根据题意找出量与量之间的关系，建立代数式再进行化简．五、规律探索型问题例5　分别计算出下列各题的结果：①(x＋2)(x＋3)＝____________；②(x－2)(x－3)＝____________；③(x－2)(x＋3)＝____________；④(x＋2)(x－3)＝____________.(1)仔细分析比较所得的结果，你能发现什么规律？把你的发现写出来．规律：(x＋a)(x＋b)＝____________；(2)运用你发现的规律计算下列各题：①(x＋2y)(x－4y);②(a－2)(a＋2)(a2＋4)．解析　利用多项式乘多项式法则进行化简，总结归纳出规律．解　①x2＋5x＋6　②x2－5x＋6　③x2＋x－6　④x2－x－6(1)规律：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab；文字叙述：两个一次项系数为1的一次二项式相乘时，其积是一个二次三项式，其中二次项系数为1，一次项系数是两个常数的和，常数项是两个常数的积．(2)①(x＋2y)(x－4y)＝x2－2xy－8y2.②(a－2)(a＋2)(a2＋4)＝a4－16.点评　依据多项式乘多项式的法则进行化简，利用从特殊到一般的思路，总结归纳出规律，再加以应用．六、整体换元巧求解例6　计算：(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an－1＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)·(a1＋a2＋…＋an)解析　若按多项式乘法法则展开很复杂，观察这四个多项式发现它们有很多共同的项，因此利用整体换元法求解，可大大简化运算过程．解　设a2＋a3＋…＋an－1＝A，原式＝(a1＋A)(an＋A)－A(a1＋A＋an)＝a1an＋a1A＋anA＋A2－a1A－A2－anA＝a1an.点评　换元法是数学解题的一种重要思法方法，能很好地简化运算过程．1.计算：(1)3(2x＋1)(x－1);(2)(3x＋2y)(2x－3y)；\n(3)m2－(m＋1)(m－5);(4)(x＋2)(x－3)－x(x－1)＋5.2.先化简，再求值：(1)3(x＋5)(x－3)－5(x－2)(x＋3)，其中x＝3,2；(2)6x2－(2x－1)(3x－2)＋(x＋2)(x－2)，其中x＝2.3.若(x2＋mx＋n)(x3＋2x－1)的乘积中不含x3项和x2项，求m、n的值．4.若(x－4)(x－b)＝x2－x＋a，求a、b的值．5.解方程：(1)4(x－2)(x＋5)－(2x－3)(2x＋1)＝－5；(2)(x－2)(x－5)－(x＋1)(x＋4)＝－6.6.小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长acm，宽bcm，厚ccm，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去mcm.小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？7.如图，工人师傅在一块长方形(边长为6a＋2b和3a＋3b)铁皮的四角上各剪去一个边长为(a＋b)的小正方形，然后用剩余的铁皮折成一个无盖的盒子．(1)求这个盒子的表面积；(2)求这个盒子的容积．\n8.有一块长am、宽bm的玻璃，长、宽各裁掉cm后恰好能覆盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)．则台面面积是多少？9.已知x＝－11,2，能否确定代数式(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值？若能确定，试求出这个值；若不能确定，试说明理由．10.(1)计算下列各式：①(x－1)(x＋1)；②(x－1)(x2＋x＋1)；③(x－1)(x3＋x2＋x＋1)；(2)观察你所得到的结果，你发现了什么规律？并根据你的结论填空：(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x＋1)＝________(n为正整数)．1.(1)6x2－3x－3　(2)6x2－5xy－6y2　(3)4m＋5　(4)－12.(1)原式＝－2x2＋x－15，当x＝3,2时，原式＝－18.　(2)原式＝x2＋7x－6，当x＝2时，原式＝12.3.m＝1,2，n＝－24.a＝－12，b＝－35.(1)x＝2　(2)x＝16.(a＋2m)(2b＋c＋2m)＝(2ab＋ac＋2ma＋4mb＋2mc＋4m2)cm27.无盖盒子的底面长为6a＋2b－2(a＋b)＝4a，宽为3a＋3b－2(a＋b)＝a＋b.(1)表面积：(6a＋2b)(3a＋3b)－4(a＋b)2＝14a2＋16ab＋2b2.(2)容积：4a(a＋b)(a＋b)＝4a3＋8a2b＋4ab2.8.(a－c)(b－c)＝(ab－ac－bc＋c2)m29.能确定式子的值．原式化简后为－4x2，当x＝－11,2时，原式＝－9.10.(1)①x2－1　②x3－1　③x4－1　(2)xn＋1－1用竖式进行多项式乘法含同一字母的两个多项式相乘，方法并不困难，但是，如果相乘的两个多项式的项数比较多时，乘起来却比较麻烦．这时，我们可以仿照小学中的两个多位数相乘的演算方法，用竖式进行演算就比较简便了．例1　计算：(x2＋4x－3)(2x＋1)．　　　　x2＋4x－3　×________2x＋1,　　x2＋4x－3　　　　　……1乘x2＋4x－3＋____2x3＋8x2－6x___　　　……2x乘x2＋4x－3,　　　2x3＋9x2－2x－3　　　……和(上面两行相加)所以(x2＋4x－3)(2x＋1)＝2x3＋9x2－2x－3.例2　计算：(－2x2＋x＋4)(3x2＋2x＋1)．　　　　　　－2x2＋x＋4　×　3x2＋2x＋1,　　－2x2＋x＋4　　　－4x3＋2x2＋8x\n__－6x4＋3x3＋12x2________　　　－6x4－x3＋12x2＋9x＋4所以(－2x2＋x＋4)(3x2＋2x＋1)＝－6x4－x3＋12x2＋9x＋4.注意：①两个多项式都按x字母的降幂排列，如果两个因式按字母的降幂排列时有缺项，就应该补零(或空位)．②中间一步中，两个乘积的同类项要上下对齐．请同学们练一练．用竖式进行多项式乘法：(5x3＋x＋3)(2x－4)．练一练(P62)1.(1)2x2－x－3　(2)21m2－4mn－12n2　(3)49－9x2　(4)2n3＋5n2＋2n2.m2＋mn＋2n23.(ab－2a－2b＋4)cm2习题9.3(P63)1.(1)2x2－x－15　(2)－2a2－5a－2　(3)4a2－4a＋1　(4)36a2＋60a＋252.(1)原式＝a2－b2－(a2－ab)＝－b2＋ab(2)原式＝5x3＋20x2＋20x－(x2－6x＋9)＝5x3＋19x2＋26x－93.(a＋4b)(b＋2a＋2b＋2a＋b)－2·2a·4b＝(a＋4b)(4a＋4b)－16ab＝4a2＋4ab＋16b24.(90＋a)(60＋a)－90×60＝(150a＋a2)cm25.(1)x2＋3x＋2　(2)x2－x－2　(3)x2－3x＋2　(4)x2＋x－26.(1)a2－b2　(2)a2＋2ab＋b2　(3)ac＋ad＋ae＋bc＋bd＋be(4)a3＋b3　(5)a3－b3\n9．4　乘法公式知识点一　完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加(或减)它们的积的2倍．用公式表示为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.例1　下列各式能组成完全平方公式的个数是(　　)①x2－1,2x＋1,8；②25x2＋1；③y2－2y＋1；④1,9x2－1,3xy＋1,4y2；⑤a2－2a＋4.A．5B．4C．3D．2解析　①中的1,8不是平方项，②中只有两项，⑤中两数积的2倍应该是4a，而③④均符合要求．答案　D友情提醒　能用完全平方公式的多项式必须有三项，其中两项是两数的平方项，一项是这两数积的2倍．例2　计算下列各题：(1)(3a＋b)2；　(2)(－2＋3a)2；　(3)(2x－y)2；　(4)(－2x－3y)2.解析　两个数和(或差)的平方的结果是一个三项式，其中首末两项分别是二项式两项的平方，都为正，中间一项是二项式两项乘积的2倍，其符号与左边的符号相同．解　(1)(3a＋b)2＝(3a)2＋2×3a×b＋b2＝9a2＋6ab＋b2.(2)(－2＋3a)2＝(－2)2＋2×(－2)×3a＋(3a)2＝4－12a＋9a2.(3)(2x－y)2＝(2x)2－2×2xy＋y2＝4x2－4xy＋y2.(4)解法一：(－2x－3y)2＝(－2x)2－2×(－2x)×3y＋(3y)2＝4x2＋12xy＋9y2.解法二：(－2x－3y)2＝[－(2x＋3y)]2＝(2x＋3y)2＝4x2＋12xy＋9y2.友情提醒　公式中的字母具有一般性，可以表示数也可以表示多项式．注意(－a－b)2＝(a＋b)2之间的转化．知识点二　平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差．用公式表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.例3　下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是(　　)A．(－a－b)(a＋b)B.(－a－b)(a－b)C.(a＋b－c)(－a－b＋c)D.(－a＋b)(a－b)解析　A、C、D都是一个数与它的相反数的乘积，不能用平方差公式，B中是－b与a这两个数的和与这两个数的差的积，符合平方差公式．答案　B友情提醒　能用平方差公式计算的两个二项式相乘必须满足：有一项完全相同，另一项互为相反数．例4　计算：(1)(2a＋3b)(2a－3b);(2)(3a＋2b)(2b－3a)；(3)(x－3y)(－x－3y);(4)(4＋a)(－4＋a)．解析　运用平方差公式的关键就是确定a、b，即识别两个数，完全相同的是a，互为相反数的是b，再代入公式运算．解　(1)(2a＋3b)(2a－3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2.(2)(3a＋2b)(2b－3a)＝(2b＋3a)(2b－3a)＝(2b)2－(3a)2＝4b2－9a2.(3)(x－3y)(－x－3y)＝(－3y＋x)(－3y－x)＝(－3y)2－x2＝9y2－x2.(4)(4＋a)(－4＋a)＝(a＋4)(a－4)＝a2－16.友情提醒\n　相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式．相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方．教材中的“？”解答想一想(P66)思路点拨：至少用两种方法求阴影部分的面积．解答：解法一：S阴影＝a2－b2.解法二：把阴影部分分别割成两个一样的梯形．S阴影＝2S梯形＝2×1,2(b＋a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)．所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2.想一想(P67)思路点拨：运用平方差公式，把x看作公式中的a，把y－3看作公式中的b.解答：原式＝x2－(y－3)2＝x2－(y2－6y＋9)＝x2－y2＋6y－9.\n一、运用完全平方公式计算较复杂的问题例1　运用乘法公式计算：(a－b＋c)2.解析　本题中的底数不是两数和(或差)的形式，但可以把其中任何两项看成一个数，然后运用两数和(或差)的完全平方公式进行计算．解　(a－b＋c)2＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋2(a－b)c＋c2＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc.点评　乘法公式是具有共同特征的某一类运算的概括总结，因此具有代表性．公式中的字母不但可以表示具体的数，还可以表示单项式或多项式．本题可以把三个数中的任何两个看成一个整体．二、完全平方公式在简便运算中的应用例2　计算：(1)1012；(2)982.解析　把1012化为(100＋1)2，982化为(100－2)2，然后用完全平方公式计算．解　(1)1012＝(100＋1)2＝1002＋2×100×1＋12＝10201.(2)982＝(100－2)2＝1002－2×100×2＋22＝9604.点评　把一些较大的数作适当变形，便能用完全平方公式快速地计算出结果．三、完全平方公式的变形求值例3　已知a＋b＝5，ab＝－6，求下列各式的值：(1)a2＋b2；　　　　　(2)a2－ab＋b2.解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab.解　(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×(－6)＝25＋12＝37.(2)a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝25＋18＝43.点评　这种已知两数的和与积，求这两数对称式代数式的值时，常把它变形为两数和与积的形式，再整体代入求值．四、由完全平方式求待定字母的值例4　如果x2＋ax＋25是一个完全平方式，那么a的值是(　　)A．10B．5C．±10D．±5解析　找出式子中的平方项，一项是x的平方，另一项是5的平方，中间一项是两数积的2倍，同时中间一项前面的符号可正可负，所以应有两个答案，即ax＝±2×x×5，所以a＝±10.答案　C点评　解决这类问题要紧紧抓住完全平方式的特征．五、运用平方差公式计算较复杂的问题例5　计算下列各题：(1)(x－1)(x2＋1)(x＋1)；(2)(x＋y－z)(x－y＋z)．解　(1)原式＝(x－1)(x＋1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1.(2)原式＝[x＋(y－z)][x－(y－z)]＝x2－(y－z)2＝x2－y2＋2yz－z2.点评　(1)相乘的两个三项式中，如果有两项相同，一项相反，或有一项相同，两项相反，那么只要把相同(或相反)的两项结合并看作一个整体，就可以变为符合平方差公式的形式．(2)在平时做题中还会涉及化简求值问题，也就是给字母一个值，代入求值即可．六、平方差公式在简便运算中的应用例6　计算：(1)99×101；(2)59.8×60.2.解析　(1)将99写成(100－1)，101写成(100＋1)，便能用平方差公式计算；(2)将59.8写成(60－0.2)，60.2写成(60＋0.2)，便可用平方差公式计算．解　(1)99×101＝(100－1)(100＋1)＝1002－1＝9999.\n(2)59.8×60.2＝(60－0.2)(60＋0.2)＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96.例7　计算：x－1,22x＋1,22·x2＋1,42.解析　显然不能直接运用完全平方公式展开，否则3项×3项×3项＝27项，计算量大，可逆用积的乘方anbncn＝(abc)n，将x＋1,2、x－1,2、x2＋1,4连乘，运用平方差公式计算再求积的乘方．解　原式＝x＋1,2x－1,2x2＋1,42＝x2－1,4x2＋1,42＝x4－1,162＝x8－1,8x4＋1,256.点评　灵活运用平方差公式可以使有关的计算简便，计算过程中有时需要把原算式进行适当的变形．七、实际应用题例8　某工厂现有一批正方形的硬纸片，其边长为a，现将其每个角截去一个边长为4的正方形做成无盖的盒子，试计算它的容积．解析　如图，这个盒子的底边是边长为(a－8)的正方形，高为4，根据正方体的体积公式来计算．解　容积为(a－8)2·4＝4(a2－16a＋64)＝4a2－64a＋256.所以此盒子的容积为4a2－64a＋256.点评　生活中的许多计算方面都会涉及这种计算．八、数形结合问题例9　如图所示的长方形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差．解析　因为小正方形的面积为4，所以它的边长为2，设正方形①的边长为a，则观察图形便知其余正方形②、③、④的边长分别为a＋2，a＋4，a＋6.可见，正方形④在长方形ABCD中最大，从而可写出最大正方形与最小正方形的面积之差的代数式(含a)，再设法列方程求a(可利用AB＝CD列方程，也可以利用AD＝BC列方程)．解　设正方形①的边长为a，因为图中最大的正方形④的边长为a＋6，最小的正方形边长为2，所以它们的面积之差为(a＋6)2－4＝a2＋12a＋36－4＝a2＋12a＋32，在长方形ABCD中，因为AB＝CD，又AB＝a＋4＋a＋6＝2a＋10，CD＝a＋2＋2a＝3a＋2，所以2a＋10＝3a＋2，解得a＝8.故面积之差为：a2＋12a＋32＝82＋12×8＋32＝192.点评　“数”与“形”是数学的两类基本元素，“数”的特点就是准确，“形”的主要作用就是直观．“数形结合”就是把数量与图形结合起来分析、研究，是解决问题的思维策略．例10　阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①或图②等图形的面积表示．(1)请写出图③所表示的代数恒等式______________；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．解　(1)(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2(2)如图④.(3)答案不唯一，只要符合要求即可．点评　利用图形面积的不同计算方法得出代数恒等式，体现了数形结合的思想．九、探索开放型问题例11　观察下面各式规律：12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；\n22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…写出第n行的式子，并说明你得出的结论的正确性．解析　观察可以发现：左边是两个连续自然数的平方与两数乘积的平方，右边是两数的乘积与1的和的平方．解　n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2因为左边＝n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝n2＋(n2＋n)2＋n2＋2n＋1＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1＝(n2＋n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2＝右边．所以所列等式正确．点评　一般地，正整数1,2,3，…用n表示，仔细观察式子即可以表示出规律．例12　如图，为杨辉三角系数表，它的作用是指导我们按规律写出形如(a＋b)n(其中n为正整数)的展开式的系数，请仔细观察表中的规律，解答下列问题：(1)写出杨辉三角系数表中系数的变化规律，并按这种规律写出(a＋b)5的展开式；(2)用你探究的规律计算1.016的值(保留四位有效数字)．11　11　2　11　3　3　11　4　6　4　11　5　10　10　5　1………(a＋b)1……(a＋b)2……(a＋b)3……(a＋b)4……(a＋b)5…解析　观察数字之间的关系，不难写出规律．解　(1)形如(a＋b)n的展开式(按a的降幂排列)的首末两项的系数都为1，其余每一项的系数为其上方左右两数之和．(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.(2)1.016＝(1＋0.01)6＝16＋6×15×0.01＋15×14×0.012＋20×13×0.013＋15×12×0.014＋6×1×0.015＋0.016＝1＋0.06＋0.0015＋0.00002＋0.00000015＋0.0000000006＋0.000000000001≈1.062.点评　解决这类问题的基本步骤是：先根据问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律解决实际问题．1.计算：(1)899×901＋1;(2)999.92；(3)1000,2522－2482;(4)1.01×0.99.2.计算：\n(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)；(2)1－1,221－1,321－1,421－1,52…1－1,20062.3．计算：19953－2×19952－1993,19953＋19952－1996.4.计算：(1)(a＋b＋c)2－(a－b－c)2；(2)(a＋b)(a－b)(a2＋b2)(a4＋b4)．5.已知(a＋b)2＝10，(a－b)2＝3，求：(1)a、b两数的平方和；(2)a、b两数的积．6.已知a2＋b2＝1，a－b＝1,2，求a2b2的值．7.已知a－b＝－2，b－c＝5，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值．\n\n8.请先观察下列等式，再填空：32－12＝8×1；52－32＝8×2；(1)72－52＝8×________；(2)92－(　　)2＝8×4；(3)(　　)2－92＝8×5；(4)132－(　　)2＝8×________；…通过观察归纳，写出反映上述规律的一般结论，并说明结论的正确性．9.已知α＋β＝1，αβ＝－1，设S1＝α＋β，S2＝α2＋β2，S3＝α3＋β3，…，Sn＝αn＋βn.(1)计算S1，S2，S3，S4；(2)试写出Sn－2，Sn－1，Sn三者之间的关系式；(3)根据以上得出的结论，计算α7＋β7.\n10.(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)；(2)如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是________(写成多项式乘积的形式)；(3)比较左右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　；(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：①(3m＋2n)(2n－3m);②10.2×9.8.11.如图，AB＝a，P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作正方形．(1)设AP＝x，求两个正方形的面积之和S；(2)当AP分别为1,3a和1,2a时，比较S的大小．\n1.(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝9002－1＋1＝810000.(2)999.92＝(1000－0.1)2＝10002－2×1000×0.1＋0.12＝999800.01.(3)原式＝1000,(252＋248)(252－248)＝1000,500×4＝1,2.(4)原式＝(1＋0.01)(1－0.01)＝12－(0.01)2＝0.9999.2.(1)　(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＝(232－1)(232＋1)＝264－1.(2)　1－1,221－1,321－1,421－1,52…1－1,20062＝1＋1,21－1,21＋1,31－1,3…1＋1,20061－1,2006＝1,2×3,2×2,3×4,3×…×2005,2006×2007,2006＝1,2×2007,2006＝2007,4012.3.原式＝19952×(1995－2)－1993,19952×(1995＋1)－1996＝19952×1993－1993,19952×1996－1996＝1993×(19952－1),1996×(19952－1)＝1993,1996.4.(1)原式＝(a＋b＋c＋a－b－c)(a＋b＋c－a＋b＋c)＝2a(2b＋2c)＝4ab＋4ac.(2)原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)＝(a4－b4)(a4＋b4)＝a8－b8.5.(1)a2＋b2＝(a＋b)2＋(a－b)2,2＝13,2.(2)ab＝(a＋b)2－(a－b)2,4＝7,4.6.因为a－b＝1,2，所以(a－b)2＝1,4，即a2－2ab＋b2＝1,4，又a2＋b2＝1，两式相减得2ab＝3,4，ab＝3,8，a2b2＝9,64.7.因为a－b＝－2，b－c＝5，所以a－c＝3.　a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝1,2(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝1,2[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝19.8.(1)3　(2)7　(3)11　(4)11　6这种规律的一般结论是：(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n(n是正整数)．(2n＋1)2－(2n－1)2＝4n2＋4n＋1－(4n2－4n＋1)＝8n.9.(1)因为α＋β＝1，αβ＝－1，所以S1＝1，S2＝α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝1－2×(－1)＝3，S3＝α3＋β3＝(α＋β)(α2－αβ＋β2)＝1×(3＋1)＝4，S4＝α4＋β4＝(α2＋β2)2－2α2β2＝7.(2)因为S1＝1，S2＝3，S3＝4，S4＝7，则有S1＋S2＝S3，S2＋S3＝S4，由此可得出Sn－1＋Sn－2＝Sn.(3)α7＋β7＝S7＝S6＋S5＝(S5＋S4)＋(S4＋S3)＝(S4＋S3＋S4)＋(S4＋S3)＝(7＋4＋7)＋(7＋4)＝29.10.(1)a2－b2　(2)a－b　a＋b　(a＋b)(a－b)　(3)a2－b2＝(a＋b)(a－b)　(4)①4n2－9m2　②99.9611.(1)S＝AP2＋BP2＝x2＋(a－x)2.(2)当AP＝x＝1,3a时，S1＝1,3a2＋a－1,3a2＝5,9a2＝10,18a2.当AP＝x＝1,2a时，S2＝1,2a2＋a－1,2a2＝1,2a2＝9,18a2，所以S1＞S2.单利与复利问题利息，是指一定资金在一定时期内的收益．所以，借款人借入资金，使用一定时间后，需支付放款人报酬，此报酬称为利息．所借入的资金，称为本金，使用本金的一段时间，称为时期；在单位时期(如年、季、月等)内单位本金(如每千元或每百元)所赚的利息，称为利率．利率常以百分率(%)或千分率(‰\n)表示．计算利息有三个基本要素：本金、利率和时期．利息的多少与这三个要素成正比关系：本金数量越大，利息越高；存放期越长，则利息越多；反之就越少．计算利息有两种方法：单利与复利．人寿保险中就是运用复利计息．单利：单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为：利息＝本金×利率×时期．以符号I代表利息，p代表本金，n代表时期，i代表利率，s代表本利和，则有I＝p·i·n，s＝p(1＋ni)．复利：复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上加利．复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的．复利的计算公式是：s＝p(1＋i)n.练一练(P65)1.(1)1＋2x＋x2　(2)y2－8y＋16　(3)9x2－12x＋4　(4)9,4x2－4xy＋16,9y22.(1)错误，正确的是x2＋2xy＋y2.　(2)错误，正确的是m2－2mn＋n2.(3)错误，正确的是x2－2xy＋y2.3.(1)原式＝(2000＋1)2＝20002＋2×2000×1＋12＝4004001(2)原式＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋1＝98014.a2－(a－6)2＝(12a－36)cm2练一练(P67)1.(1)1－x2　(2)a2－9b2　(3)9－4a2　(4)4y2－1,4x22.(1)错误，正确的是x2－4.　(2)错误，正确的是－9x2＋12x－4.3.(1)2499　(2)1－4a练一练(P68)1.(1)b2　(2)5,4b2－ab　(3)a4－2a2＋1　(4)12a　(5)81a4－18a2＋1　(6)a2＋b2－c2－2ab2.(b＋a)2－(b－a)2＝4ab3.(a2＋3a－9)m2习题9.4(P68)1.图①的面积为400－40a＋a2；图②的面积为(20－a)2.因为(20－a)2＝400－40a＋a2，所以图①与图②的面积相等．2.1,2a2－1,2b23.1,4πab＋1,4πb24.(1)4a2＋12ab＋9b2　(2)16x2－40xy＋25y2　(3)1,3a2－2ab＋3b2(4)a2＋4ab＋4b2　(5)4m2－9n2　(6)4a2－25b2　(7)4－9x2　(8)y2－1,9x25.(1)996004　(2)9999516.(1)4ab　(2)－4ab7.(1)－4xy　(2)18a2＋2b2　(3)16x4－1　(4)16m4－72m2n2＋81n4(5)10a＋82　(6)4a2－b2＋6b－98.(1)原式＝18＋24y，当y＝0.4时，原式＝27.6　(2)原式＝5ab，当a＝1,10，b＝1,5时，原式＝1,10\n9．5　单项式乘多项式法则的再认识　——因式分解(一)知识点一　因式分解的意义把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解．例1　下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是(　　)A．x2－x－2＝x(x－1)－2B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2C．x2－4＝(x＋2)(x－2)D．x－1＝x1－1,x解析　A中的结果是积与和的混合形式，B属于整式的乘法运算，C满足因式分解的定义，D中的右边不是整式的积的形式．答案　C友情提醒　因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式、多项式与多项式相乘的逆变形．知识点二　公因式的概念多项式ab＋ac＋ad各项都含有的因式a，称为这个多项式各项的公因式．例2　多项式6x3y2－3x2y2＋12x2y3的公因式为(　　)A．3xyB．－3x2yC．3xy2D．3x2y2解析　从系数来看，6,3,12的最大公约数是3；从字母来看，各项都含有的字母是x，y；从指数来看，x的最低次幂是2，y的最低次幂是2，故公因式为3x2y2.答案　D友情提醒　公因式的求法：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂．例3　多项式2(x－3)＋x(3－x)的公因式是________．解析　把多项式2(x－3)＋x(3－x)变形为2(x－3)－x(x－3)，就发现各项都含有x－3，所以公因式是x－3.答案　x－3友情提醒　(1)注意符号的变化，a－b＝－(b－a)，(a－b)2＝(b－a)2，(a－b)3＝－(b－a)3，…，奇次方下交换减数与被减数添“－”，偶次方下交换减数与被减数不需要变号．(2)一个多项式的公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积，有时多项式的公因式还可能是一个多项式．知识点三　提公因式法如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．例4　把下列各式分解因式：(1)3a2－6a；(2)6a2b3＋10ab2c－4ab3.解　(1)3a2－6a＝3a·a－3a·2＝3a(a－2)．(2)　6a2b3＋10ab2c－4ab3＝2ab2·3ab＋2ab2·5c－2ab2·2b＝2ab2(3ab＋5c－2b)．友情提醒　提公因式法分解因式的一般步骤：(1)先确定公因式；(2)把多项式的每一项都写成公因式与另一个多项式的积的形式；(3)把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和差形式．教材中的“？”解答议一议(P70)思路点拨：正确理解公因式的概念，把多项式的各项化成公因式与另一个因式积的形式，从而正确地找出公因式．解答：(1)ab　(2)3x2　(3)3ab想一想(P71)\n思路点拨：正确找出公因式(x＋y)，提出公因式．解答：原式＝(x＋y)(3a－2b)一、因式分解与整式乘法例1　若多项式x2＋ax＋b可分解为(x＋1)(x－2)，试求a、b的值．解析　由多项式的分解因式定义可得到等式，再由整式乘法将积化为和的形式，比较它们的系数即可．解　由题意，得x2＋ax＋b＝(x＋1)(x－2)，而(x＋1)(x－2)＝x2－x－2，所以x2＋ax＋b＝x2－x－2.比较两边系数得：a＝－1，b＝－2.点评　两个多项式相等，其实质是左、右两边对应项(同类项)的系数相等．二、提公因式法分解因式例2　把下列各式分解因式：(1)－4a3b2＋6a2b－2ab；(2)4x(x－y)2－12(y－x)3.解析　多项式的第一项系数是负数时，一般要提出“－”号，使括号内的第一项是正的，在提出“－”号时，多项式的各项要变号；“1”作为系数时，通常省略不写，但单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉．解　(1)　－4a3b2＋6a2b－2ab＝－2ab·2a2b＋(－2ab)·(－3a)＋(－2ab)＝－2ab(2a2b－3a＋1)．(2)解法一：　4x(x－y)2－12(y－x)3＝4x(y－x)2－12(y－x)3＝4(y－x)2[x－3(y－x)]＝4(y－x)2(4x－3y)．解法二：　4x(x－y)2－12(y－x)3＝4x(x－y)2＋12(x－y)3＝4(x－y)2[x＋3(x－y)]＝4(x－y)2(4x－3y)．点评　分解因式要彻底，要一直分解到多项式的每一个因式都不能再分解为止．三、因式分解在计算中的应用例3　计算：123×0.24－12.3×0.4－20×1.23.解析　解这类计算题，如果按一般步骤进行，计算量极大，且易出错．如果能利用因式分解的方法，先因式分解再计算，则可以简化运算过程．解　原式＝123×0.24－123×0.04－123×0.2＝123×(0.24－0.04－0.2)＝123×0＝0.点评　利用因式分解能使计算简便．例4　32002－32001－32000能否被15整除？解析　由于所给的数是三个高次幂之和，因此应运用同底数幂的乘法将其分解，如：32002＝32000＋2＝32·32000来处理即可．解　32002－32001－32000＝32×32000－3×32000－32000＝32000×(32－3－1)＝5×32000＝5×3×31999＝15×31999.故32003－32001－32000一定能被15整除．\n1.下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是(　　)A．x2＋3x－4＝x(x＋3)－4B．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3xC．x2－9＝(x＋3)(x－3)D．(x＋2)(x－2)＝x2－42．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是(　　)A．x2－yB．x2＋2xC．x2＋y2D．x2－xy＋y23．若将多项式x2＋mx－35分解因式为(x－5)(x＋7)，则m的值为(　　)A．2B．－2C．12D．－124.把多项式24a3－32a2c分解因式，应提取的公因式是________．5．如果多项式ax＋B可分解为a(x－y)，则B＝________.6.分解因式：(1)2a3－6a2;(2)1,2x2y3－2x2y＋3xy2；(3)－8a2b2＋4a2b－2ab;(4)3ab3＋9ab2－12a2b.7.分解因式：(1)－2x2－12xy2＋8xy3;(2)3x(a＋2b)2－6xy(a＋2b)；(3)m2(a－3)＋m(3－a);(4)6p(m＋n)－4p(m＋n)．8.计算：(－2)2001＋(－2)2002.9.计算：(1)65×19.8－23×19.8＋58×19.8；(2)2005＋20052－20062；(3)34×19.99＋67×19.99＋13×19.99－19.99×14；\n(4)20052005×2008－20082008×2005.10.(1)已知a＋b＝3，ab＝21,2，求代数式a2b＋2a2b2＋ab2的值；(2)已知2x＋y＝5，xy＝1,4，求代数式2xy2＋4x2y的值．11.(1)试说明：32006－4×32005＋10×32004能被7整除；(2)若n为正整数，试说明3n＋2－3n能被24整除．12.已知a2＋a＋1＝0，求a2000＋a2001＋…＋a2008的值．1.C2．B3．A4.8a25．－ay6.(1)2a2(a－3)　(2)1,2xy(xy2－4x＋6y)　(3)－2ab(4ab－2a＋1)(4)3ab(b2＋3b－4a)7.(1)－2x(x＋6y2－4y3)　(2)3x(a＋2b)(a＋2b－2y)　(3)m(a－3)(m－1)　(4)2p(m＋n)8.(－2)2001＋(－2)2002＝(－2)2001×(1－2)＝22001.9.(1)1980　(2)－2006　(3)1999　(4)010.(1)20　(2)5,211.(1)32006－4×32005＋10×32004＝32004×(32－4×3＋10)＝32004×7，因为32004×7能被7整除，所以32006－4×32005＋10×32004能被7整除．(2)3n＋2－3n＝3n(32－1)＝3n×8＝3n－1×3×8＝24×3n－1，因为n为正整数，24×3n－1能被24整除，所以3n＋2－3n能被24整除．12.0工作到最后一天的华罗庚1985年6月12日，在东京一个国际学术会议上，75岁的华罗庚(1910～1985)教授用流利的英语，作了十分精彩的报告．当他讲完最后一句话，人们还在热烈鼓掌时，他的身子歪倒了．华罗庚出生于江苏省金坛县一个小商人家庭，他从小就喜欢数学，而且非常聪明．一天老师出了一道数学题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“23！”老师的话音刚落，华罗庚的答案就脱口而出，老师连连点头称赞他的运算能力．可惜因为家庭经济困难，他不得不退学去当店员，一边工作，一边自学.18岁时，他又染上伤寒病，与死神搏斗半年，虽然活了下来，但却留下终身残疾——右腿瘸了．1930年，20岁的华罗庚写了一篇《苏家驹之代数的五次方程不成立的理由》，发表在上海《科学》杂志上．清华大学数学系主任熊庆来从文章中看到了作者的数学才华，便问周围的人，“他是哪国留学的？在哪个大学任教？”\n当他知道华罗庚原来是一个20岁的小店员时，很受感动，主动把华罗庚请到清华大学．华罗庚在清华的四年中，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习，一连发表了十几篇论文，后来又被派到英国留学，获得博士学位．他对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理．抗日战争时期，华罗庚白天在西南联大任教，晚上在昏暗的油灯下研究．在这样艰苦的环境中，华罗庚写出了20多篇论文和厚厚的一本书《堆垒素数论》，他特别注意理论联系实际，1958年以后，他走遍了20多个省市自治区，动员群众把选优法用于农业生产．记者在一次采访时问他：“你最大的愿望是什么？”他不假思索的回答：“工作到最后一天．”他的确为科学工作到最后一天，实现了自己的诺言．练一练(P71)1.(1)不是　(2)是　(3)不是2.(1)5a－3b　(2)2(a＋b)3.(1)4x2(1－3x)　(2)－y(x2－4x＋5)4.－52.5习题9.5(P71)1.(1)a(p－q＋m)　(2)2x(2x－4y＋1)　(3)3xy(4z－3x)　(4)y(3y－5x－2)(5)3ab(2a－3b＋5)　(6)－2a2(2a2＋3a－1)2.原式＝I(R1＋R2＋R3)，当R1＝25.4，R2＝39.2，R3＝35.4，I＝2.5时，原式＝250.\n9．6　乘法公式的再认识——因式分解(二)知识点一　用平方差公式进行因式分解1．两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积．2．用公式表示为：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．3.运用平方差公式的条件：(1)所给多项式是两项的形式；(2)两项符号相反；(3)这两项分别可以化为一个数(或整式)的平方的形式．例1　把下列各式分解因式：(1)a2－9b2；　　　(2)25x2y2－1；　　　(3)－16,9a2＋81,4b2.解析　运用平方差公式分解因式时，先把二项式写成a2－b2的形式，再套用平方差公式．解　(1)a2－9b2＝a2－(3b)2＝(a＋3b)(a－3b)．(2)25x2y2－1＝(5xy)2－12＝(5xy＋1)(5xy－1)．(3)－16,9a2＋81,4b2＝9,2b2－4,3a2＝9,2b＋4,3a9,2b－4,3a.友情提醒　平方差公式的特征：①左边的多项式只有两项，并且都可以写成平方的形式(包括系数)，符号相反；②右边恰是这两数的和与这两数的差的积．知识点二　用完全平方公式进行因式分解1．两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．2．用公式表示为：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.3.运用完全平方公式的条件：(1)所给多项式有三项；(2)其中有两项的符号相同，并且这两项可以化为两个数(或式)的平方；(3)另一项为这两个数(或式)的积的2倍．例2　把下列各式分解因式：(1)x2＋10x＋25;(2)4x2－12x＋9.解析　完全平方公式的结构特征：左边是三项式，首末两项的和是两个数的平方和的形式，中间的一项是这两个数的积的2倍；右边是这两个数的和的平方或差的平方．解　(1)x2＋10x＋25＝x2＋2×x×5＋52＝(x＋5)2.(2)4x2－12x＋9＝(2x)2－2×2x×3＋32＝(2x－3)2.友情提醒　当用完全平方公式分解三项时，一般先按公式的形式改写这个三项式．当第二项的符号为“＋”号时，选用和的完全平方公式；当第二项的符号为“－”号时，选用差的完全平方公式．教材中的“？”解答做一做(P72)思路点拨：熟悉平方数，如：16＝42，64＝82.解答：(1)4　4　4　(2)8　8　8做一做(P74)思路点拨：熟悉平方数，写成完全平方式的形式．解答：(1)a　3　3　a＋3　(2)a　3　3　a－3一、运用公式法因式分解例1　把下列各式分解因式：(1)(a＋b)2－1;(2)16(a－b)2－25(a＋b)2.解析　公式中的字母a、b，往往是以多项式或单项式形式出现的，应将其看作一个“整体”来替换公式中的字母a、b，从而套用公式分解因式，如16(a－b)2－25(a＋b)2先化为[4(a－b)]2－[5(a＋b)]2，这样4(a－b)和5(a＋b)分别相当于公式中的a和b.解　(1)(a＋b)2－1＝(a＋b)2－12＝(a＋b＋1)(a＋b－1)．(2)　16(a－b)2－25(a＋b)2＝[4(a－b)]2－[5(a＋b)]2＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]\n＝(9a＋b)(－a－9b)．例2　把下列各式分解因式：(1)4(m＋n)2－12(m＋n)＋9；(2)16(a＋b)2＋40(a＋b)(a－b)＋25(a－b)2.解　(1)　4(m＋n)2－12(m＋n)＋9＝[2(m＋n)]2－2×2(m＋n)×3＋32＝[2(m＋n)－3]2＝(2m＋2n－3)2.(2)　16(a＋b)2＋40(a＋b)(a－b)＋25(a－b)2＝[4(a＋b)]2＋2×4(a＋b)×5(a－b)＋[5(a－b)]2＝[4(a＋b)＋5(a－b)]2＝(9a－b)2.点评　用完全平方公式分解因式，一定要认准公式的特征，有时需对多项式进行变形后方可用完全平方公式分解，其中先提取公因式是一种常见的变形方式．二、综合运用提公因式法、公式法因式分解例3　把下列各式分解因式：(1)－1,2a2＋2b2;(2)a3b－ab3；(3)(a－1)＋b2(1－a);(4)x5－x.解析　对于不能直接用完全平方公式的多项式可先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解．解　(1)－1,2a2＋2b2＝－1,2(a2－4b2)＝－1,2(a＋2b)(a－2b)．(2)a3b－ab3＝ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)．(3)(a－1)＋b2(1－a)＝(a－1)(1－b2)＝(a－1)(1＋b)(1－b)．(4)x5－x＝x(x4－1)＝x(x2＋1)(x2－1)＝x(x2＋1)(x＋1)(x－1)．点评　如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式，同时分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止．例4　把下列各式分解因式：(1)－6a－a2－9;(2)－3ax2＋6axy－3ay2.解析　先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解．解　(1)－6a－a2－9＝－(a2＋6a＋9)＝－(a＋3)2.(2)－3ax2＋6axy－3ay2＝－3a(x2－2xy＋y2)＝－3a(x－y)2.例5　把下列各式分解因式：(1)a4－2a2b2＋b4;(2)64m2n2－(m2＋16n2)2.解析　分解因式时，要注意综合运用所学的分解方法，常用的分析思路是：①提公因式法；②运用公式法．解　(1)a4－2a2b2＋b4＝(a2－b2)2＝[(a＋b)(a－b)]2＝(a＋b)2(a－b)2.(2)　64m2n2－(m2＋16n2)2＝(8mn)2－(m2＋16n2)2＝(8mn＋m2＋16n2)(8mn－m2－16n2)＝(m＋4n)2[－(m－4n)2]＝－(m＋4n)2(m－4n)2.点评　注意有时需要反复利用公式分解因式，直至每一个因式都不能分解为止．\n三、因式分解在计算中的应用例6　计算：(1)2.992－3.992;(2)2042＋204×192＋962.解析　解这类计算题，如果按一般步骤进行，计算量较大，易出错．如果能利用因式分解的方法，先因式分解再计算，可简化运算过程．解　(1)原式＝(2.99－3.99)×(2.99＋3.99)＝(－1)×6.98＝－6.98.(2)原式＝2042＋2×204×96＋962＝(204＋96)2＝3002＝90000.点评　利用因式分解能给计算带来极大的简便．四、因式分解在实际生活中的应用例7　我市为适应经济的快速发展，现需要将一条长2300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成44%，第二个月完成26%，这两个月共完成多少米的拓宽任务？解析　总共有2300m的道路，第一个月完成了44%，即完成了(2300×44%)m，第二个月完成了26%，即完成了(2300×26%)m，两个月共完成了(2300×44%＋2300×26%)m，如果直接运算，运算量较大，如果将2300×44%＋2300×26%提取公因式，计算就简便多了．解　因为2300×44%＋2300×26%＝2300×(44%＋26%)＝2300×70%＝1610(m)，所以这两个月共完成1610m的拓宽任务．例8　学校里有一块边长为13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买130m2的草坪，够不够铺绿地？解析　原有的场地面积为13.22，四个正方形水池的面积为4×3.42，剩余部分的面积为(13.22－4×3.42)，如果先乘方，再做减法，运算量较大，如果利用平方差公式分解因式，计算较简便．解　依题意得绿地面积为：　13.22－4×3.42＝13.22－(2×3.4)2＝13.22－6.82＝(13.2＋6.8)×(13.2－6.8)＝20×6.4＝128(m2)．因为130m2＞128m2，所以购买130m2的草坪够铺绿地．例9　某公园有一块边长为51.2m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图所示，小路宽1.2m，剩余绿地的面积是多少？解析　用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积．解　51.22－(2×1.2×51.2－1.22)＝51.22－2×1.2×51.2＋1.22＝(51.2－1.2)2＝502＝2500(m2)．所以剩余绿地的面积为2500m2.点评　由实际问题列出的代数式若满足因式分解的特点，通常运用因式分解来进行简便计算．五、因式分解在三角形中的应用例10　已知a＝1,20x＋20，b＝1,20x＋19，c＝1,20x＋21，那么a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值是(　　)A．4B．3C．2D．1解析　此题很好地反映了学生运用因式分解灵活解决问题的能力．一般地，解决这类问题的方法是：把给定的多项式分解成几个和(或差)的平方和的形式，即转化为“(　)2＋…\n＋(　)2”的形式．a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝1,2(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝1,2[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]．由条件可知：a－b＝1，a－c＝－1，b－c＝－2.所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝3，所以应选B.答案　B点评　非负数的性质在代数和几何中都有一定的应用．“说明a2＋b2＋c2－ab－bc－ac是非负数”“若a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，识别以a、b、c为边的三角形形状”等都是中考命题的很好素材．例11　已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，试判断此三角形的形状．解析　将a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0变形得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，然后利用完全平方公式求解．解　因为a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0.所以(a－b)2＋(b－c)2＝0.因为(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，所以a－b＝0且b－c＝0.所以a＝b＝c.所以△ABC是等边三角形．点评　因式分解在判断三角形形状中的应用，体现了代数与几何的联系．六、阅读理解题例12　因式分解时，有时需要把一项拆成适当的两项，这种方法称为拆项法，下面是运用拆项法分解二次三项式的过程：　p2＋7p＋6＝p2＋6p＋p＋6＝(p2＋6p)＋(p＋6)＝p(p＋6)＋(p＋6)＝(p＋6)(p＋1)．你能用这种方法分解下列各式吗？请试一试．(1)a2＋5a＋4；　　　(2)y2－11y＋24.解　(1)原式＝a2＋4a＋a＋4＝a(a＋4)＋(a＋4)＝(a＋4)(a＋1)．(2)原式＝y2－8y－3y＋24＝y(y－8)－3(y－8)＝(y－8)(y－3)．点评　这是一类二次项系数为1的二次三项式的因式分解，可用公式表示为x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，即形如x2＋(p＋q)x＋pq的多项式的分解结果是两个一次项系数为1的一次二项式之积，同时两个常数项之积应等于pq，常数项之和应等于p＋q.例13　请观察以下解题过程：分解因式：(1)x2－y2＋ax＋ay；(2)a2－2ab＋b2－c2.解：(1)原式＝(x2－y2)＋(ax＋ay)＝(x＋y)(x－y)＋a(x＋y)＝(x＋y)(x－y＋a)．(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－c2＝(a－b)2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)．以上便是用分组分解法来分解因式，可以看出分组的特点：(1)分组后某些组内可直接提公因式或运用公式；(2)各组之间可进一步提公因式或运用公式．请你运用上述方法分解因式：4x2－4xy－a2＋y2.解析　本题是一种学习新概念、新知识、考查数学能力型阅读理解题，应认真观察示例解法，总结规律．解　原式＝4x2－4xy＋y2－a2＝(2x－y)2－a2＝(2x－y＋a)(2x－y－a)．点评　此类阅读理解题的解题关键是模仿示例的解法，根据示例找出解题的方法．例14　试说明：无论x、y为何值，多项式a2＋b2－2a－6b＋10的值恒为非负数．\n解析　本题是要说明a2＋b2－2a－6b＋10≥0，把式子变形，用完全平方公式便可达到目的．解　a2＋b2－2a－6b＋10＝a2－2a＋1＋b2－6b＋9＝(a－1)2＋(b－3)2.因为(a－1)2≥0，(b－3)2≥0，所以a2＋b2－2a－6b＋10≥0.即无论a、b为何值时，多项式a2＋b2－2a－6b＋10的值恒为非负数．点评　将常数10拆成9和1，恰好使多项式配成完全平方公式，同学们应好好体会．七、规律探究型题例15　观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝42－1；5×7＝62－1；…11×13＝122－1.将你猜想到的规律用含有字母n的代数式表示．解析　通过观察可以发现：等式左边是连续两个奇数的乘积，所以在左边可用一般式子表示为(2n－1)(2n＋1)(n≥2)；右边是两个奇数的和的一半的平方减1，所以可用一般式子表示为2n＋1＋2n－1,22－1，即4n2－1.解　(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1(n≥2)．点评　解答此类题目的一般方法是：从特殊情形入手，观察和分析所给等式的左右两边的特点，然后归纳和总结出一般性的结论．八、开放创新题例16　多项式9x2＋1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可能是________(填上一个你认为正确的即可)．解析　此题答案不唯一，如：9x2＋1±6x＝(3x±1)2，9x2＋1＋81,4x4＝9,2x2＋12，9x2＋1－1＝9x2＝(3x)2，9x2＋1－9x2＝12.答案　所加的单项式不唯一，可以是±6x或81,4x4或－1或－9x2.点评　条件开放型问题的特点是：问题的结论明确，问题的条件不给出或不完全，需解题者补充完整使结论成立的条件．例17　给出三个多项式：1,2x2＋2x－1，1,2x2＋4x＋1，1,2x2－2x，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把所得的结果因式分解．解析　此题答案不唯一，任意两个多项式的和都可以因式分解．解　①1,2x2＋2x－1＋1,2x2＋4x＋1＝x2＋6x＝x(x＋6)；②1,2x2＋2x－1＋1,2x2－2x＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；③1,2x2＋4x＋1＋1,2x2－2x＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.点评　本题属于结论开放题，只要认真审题，搞清题目的条件，一定能得出正确的结论．例18　在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，便于记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)·(x＋y)·(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：________(写出一个即可)．解析　本题是一道在分解因式基础上设计的和密码有关的创新题，解决此类问题，首先要理解题意，体会密码的转换方法．要得到密码，只需将4x3－xy2分解因式就可以解决问题．因为4x3－xy2＝x(4x2－y2)＝x(2x＋y)(2x－y)，x＝10，y＝10，所以2x＋y＝2×10＋10＝30,2x－y＝2×10－10＝10.因为各因式有不同的排列方法，所以产生的密码为103010或101030或301010.答案　103010或101030或301010例19　对于二次三项式x2－10x＋36，小明同学得出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11，你是否同意他的说法？说明你的理由．\n解析　可以先对式子变形，通过对变形后的式子计算得出结论．解　不同意．因为x2－10x＋36＝(x－5)2＋11，当x＝5时，x2－10x＋36＝(5－5)2＋11＝11.1．下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是(　　)A．4x2－4x－1B．x2－xy＋y2C．16x2－1D．x2－12x＋362．下列各式：①x2＋y2；②x2－y2；③－x2－y2；④－x2＋y2中能用平方差公式分解因式的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个3．分解因式b2(x－3)＋b(3－x)的结果应为(　　)A．(x－3)(b2＋b)B．b(x－3)(b＋1)C．(x－3)(b2－b)D．b(x－3)(b－1)4．分解因式：(1)1－36a2＝____________；(2)x2＋x＋1,4＝________；(3)(x－1)2－9＝____________.5.请你写出一个三项式，使它能先“提公因式”，再“运用公式”来分解．你编写的三项式是____________，分解因式的结果是____________．6.多项式4x2＋1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方式，则加上的单项式可以是________(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况)．7.如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小长方形拼接成长方形ABCD，则整个图形的面积可表示出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：____________；____________；____________.8．分解因式：(1)9(a＋b)2－4(a－b)2；(2)(x2＋3x)2－(x－1)2；(3)(x2＋4x)2＋8(x2＋4x)＋16.9．利用因式分解进行计算：(1)20062－2005×2006；\n(2)3002－600×297＋2972；(3)2005,20052－2004×2006.10.因式分解：(1)－2a4b＋16a2b3－32b5；(2)x2－y2＋y－1,4；(3)(a＋b)2＋2(a2－b2)＋(a－b)2.11.当a＝10000，b＝9999时，求代数式a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9的值．12.说明(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＋1是一个完全平方式．13.某工地修建一座供暖设施，需要一种空心混凝土管道，一节这种管道的规格是内径d＝45cm，外径D＝75cm，长L＝300cm，计算浇制一节这样的管道需要多少立方米混凝土．(π≈3.14，结果保留两位有效数字)14.如图，在一块边长为acm的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为bcm的正方形b＜a,2，再把周围四个长方形沿虚线折起，制成一个无盖的长方体盒子，当a＝150cm，b＝25cm时，制作这样的一个长方体盒子至少需要铁皮多少平方厘米？15.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，试判断△ABC的形状．\n16.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2－8b－10a＋41＝0，求△ABC中最大边c的取值范围．17.若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m,n2的值．解：因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝(m＋n)2＋(n－3)2＝0，所以(m＋n)2＝0，(n－3)2＝0.所以n＝3，m＝－3.所以m,n2＝－3,9＝－1,3.根据你的观察，探究下面的问题：(1)若x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝0，求y,x的值；(2)已知x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值．18.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题．　1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次；(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2005，则需应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．19.对于二次三项式x2－8x＋20，小明同学得出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能大于4，你是否同意他的说法？说明你的理由．20.将一条长20cm的镀金彩边剪成两段，恰好可用来镶两张大小不同的正方形壁画的边(不计接头处)．已知两张壁画的面积相差20cm2，则这条彩边应剪成多长的两段？1．D2．B3．D4．(1)(1＋6a)(1－6a)(2)x＋1,22(3)(x＋2)(x－4)\n5.答案不唯一，如三项式是a2b＋2ab2＋b3，分解因式的结果是b(a＋b)2.6.答案不唯一，如将4x2＋1视为一个完全平方式的后两项，可在前面加上4x4，则4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2.7.答案不唯一，如a2＋2ab＝a(a＋2b)；a(a＋b)＋ab＝a(a＋2b)；a(a＋2b)－a(a＋b)＝ab；a(a＋2b)－a2＝a(a＋2b－a)＝2ab.8．(1)原式＝[3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)]＝(3a＋3b＋2a－2b)(3a＋3b－2a＋2b)＝(5a＋b)(a＋5b)．(2)原式＝(x2＋3x＋x－1)(x2＋3x－x＋1)＝(x2＋4x－1)(x2＋2x＋1)＝(x2＋4x－1)(x＋1)2.(3)原式＝(x2＋4x＋4)2＝[(x＋2)2]2＝(x＋2)4.9.(1)原式＝2006(2006－2005)＝2006.(2)原式＝(300－297)2＝9.(3)原式＝2005,20052－(2005＋1)(2005－1)＝2005.10.(1)原式＝－2b(a4－8a2b2＋16b4)＝－2b(a2－4b2)2＝－2b(a＋2b)2(a－2b)2.(2)原式＝x2－y2－y＋1,4＝x2－y－1,22＝x＋y－1,2x－y＋1,2.(3)原式＝[(a＋b)＋(a－b)]2＝4a2.11.原式＝(a－b)2－6(a－b)＋9＝(a－b－3)2＝(10000－9999－3)2＝4.12.原式＝(x＋1)(x＋4)(x＋2)(x＋3)＋1＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)＋1＝(x2＋5x)2＋10(x2＋5x)＋25＝(x2＋5x＋5)2.所以(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＋1是一个完全平方式．13.需要的混凝土V＝πD,22－πd,22·L＝π,4L(D＋d)(D－d)．当d＝45cm，D＝75cm，L＝300cm时，V＝1,4×3.14×300×(75＋45)×(75－45)＝847800(cm3)≈0.85(m3)，所以浇制一节这样的管道需要0.85m3混凝土．14.S＝a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)，当a＝150cm，b＝25cm时，S＝(150＋2×25)×(150－2×25)＝20000(cm2)，所以制作这样一个长方体盒子至少需要铁皮20000cm2.15.因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac.所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．16.因为a2＋b2－8b－10a＋41＝(a－5)2＋(b－4)2＝0，所以a＝5，b＝4.所以1＜c＜9.又因为c是最大边，所以5＜c＜9.17.(1)因为x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝(x＋2)2＋(y－4)2＝0，所以x＝－2，y＝4.所以y,x＝－2.(2)因为x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝(x－y)2＋(y＋1)2＝0，所以x＝y＝－1.所以x＋2y＝－3.18.(1)提公因式法　2　(2)2005　(x＋1)2006　(3)(x＋1)n＋119.x2－8x＋20＝(x－4)2＋4≥4，所以此二次三项式的值大于或等于4，所以他的说法是错误的．20.设一段长为xcm，则另一段长为(20－x)cm，由题意得：x,42－20－x,42＝20，x,4＋20－x,4x,4－20－x,4＝20，5×2x－20,4＝20，解得x＝18,20－x＝2.所以这条彩边应剪成18cm和2cm长的两段．用配方法分解二次三项式\n对于二次三项式x2＋2ax＋a2这样的完全平方式，我们可以用公式法将它分解成(x＋a)2的形式，但是对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用完全平方公式了．比较这两个式子，就可以发现它们的区别在于第三项．如果在二次三项式x2＋2ax－3a2中添加一项a2，这项便能和原式中的前两项配成一个完全平方式，这样做可能对某些数学运算有用，然而，添项后的式子已不等于原二次三项式．怎样才能既配出完全平方式，又不改变原二次三项式的大小呢？我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其中配出完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的大小不变．于是有：　x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(先加上a2，再减去a2)＝(x＋a)2－4a2(运用完全平方公式)＝(x＋a＋2a)(x＋a－2a)(运用平方差公式)＝(x＋3a)(x－a)．像上面这样通过加减项配出完全平方公式把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．配方法的关键是先配出完全平方公式，然后再在此基础上分解因式，这种方法可以用于某些多项式的因式分解．练习分解因式：x4＋x2y2＋y4.练一练(P73)1.(1)(6＋x)(6－x)　(2)a＋1,3ba－1,3b　(3)(x＋4y)(x－4y)(4)(xy＋z)(xy－z)　(5)(x＋5)(x－1)　(6)(x＋a＋y－b)(x＋a－y＋b)2.256cm2练一练(P75)1.(1)能，(a－2)2　(2)不能　(3)不能　(4)不能2.(1)(a－6b)2　(2)(5x＋y)2　(3)(4a2＋3b2)2　(4)(x＋y－5)2练一练(P76)1.(1)3a(x＋y2)(x－y2)　(2)－(x＋y)2　(3)3a(x＋y)22.(1)(x＋3)(x－3)(x2＋9)　(2)(x＋1)(x－1)(x2－4y＋1)(3)(x＋1)2(x－1)2　(4)(x＋2y)2(x－2y)2习题9.6(P76)1.(1)(1＋4a)(1－4a)　(2)(m＋3n)(m－3n)　(3)(0.5x＋9y)(0.5x－9y)　(4)(3ax＋by)(3ax－by)2.(1)(x＋7)(x＋3)　(2)b(2a＋b)　(3)(11a－3b)(3a－11b)(4)(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)3.(1)(ab－1)2　(2)(3－2a)2　(3)x＋1,22　(4)1,2x＋y24.(1)(a＋b＋3)2　(2)(4－3x＋3y)2　(3)(a－b－c)2　(4)(2x－y＋1)25.(1)－a(1－a)2　(2)3a(x＋y)(x－y)　(3)－4a(2a－b)26.(1)(a＋1)(a－1)(a2＋1)　(2)(x＋3)2(x－3)2　(3)(xy＋2)2(xy－2)2\n本章总结整式的乘法单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2因式分解提公因式平方差公式和完全平方公式合并同类项、幂的运算、整式的乘除、乘法公式以及因式分解是中考必考的考点，主要以填空题、选择题等客观题形式出现，有些也出现在解答题中，随着课改的深入，阅读理解题、探究规律题等开放性试题的比重逐年增加，应引起同学们的注意．一、乘法运算例1　(绍兴)下列各式中，运算不正确的是(　　)A．2ab＋3ab＝5abB．2ab－3ab＝－abC．2ab·3ab＝6abD．2ab÷3ab＝2,3解析　本题考查了单项式的运算，包括单项式与单项式的加、减、乘、除四种运算，依据运算法则，可以发现C不正确，应改为2ab·3ab＝6a2b2.答案　C例2　(长春)计算：(a2＋3)(a－2)－a(a2－2a－2)．解析　本题考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算．解　(a2＋3)(a－2)－a(a2－2a－2)＝a3－2a2＋3a－6－a3＋2a2＋2a＝5a－6.点评　正确运用法则才能得到正确的答案．二、乘法公式例3　(长沙)先化简，再求值．(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－1,3.解析　本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用．解　原式＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab.当a＝3，b＝－1,3时，原式＝2×3×－1,3＝－2.点评　正确运用乘法公式对原式进行化简后，才能简便地得到正确答案．例4　(佛山)如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式：________________.解析　本题是一道数形结合题，通过图形的面积计算来验证乘法公式，从图①中的阴影部分可知其面积是这两个正方形的面积差，即a2－b2，又由于图②中的梯形的上底是2b，下底是2a，高为a－b，所以梯形的面积为1,2(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)·(a－b)，根据面积相等得乘法公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．答案　a2－b2＝(a＋b)(a－b)点评　数形结合思想是一种重要的数学思想，同学们应在解题时不断体会．三、分解因式例5　(茂名)下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为(　　)A．a(x＋y)＝ax＋ayB．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4C．10x2－5x＝5x(2x－1)D．x2－16＋3x＝(x＋4)(x－4)＋3x解析　判断一个等式变形是不是因式分解，要用因式分解的两个标准去衡量：(1)结果是整式；(2)结果必须是积的形式．答案　C例6　(攀枝花)(1)分解因式：x3y2－4x＝________；\n(陕西)(2)分解因式：a3－2a2b＋ab2＝________.解析　因式分解常用的分析思路是：(1)提公因式法；(2)运用公式法．(1)x3y2－4x＝x(x2y2－4)＝x(xy＋2)(xy－2)；(2)a3－2a2b＋ab2＝a(a2－2ab＋b2)＝a(a－b)2.答案　(1)x(xy＋2)(xy－2)　(2)a(a－b)2点评　本题综合运用提公因式法和公式法分解因式，分解时应按运用的顺序进行套用．例7　(江津)把多项式ax2－ax－2a分解因式，下列结果正确的是(　　)A．a(x－2)(x＋1)B．a(x＋2)(x－1)C．a(x－1)2D．(ax－2)(ax＋1)解析　本题如果直接把多项式ax2－ax－2a分解因式，需要用到十字相乘法，而这个知识学生没有学过．所以解决本题要从每个选项入手，求出每个选项整式乘法的结果，与题目中多项式相同的即为答案．A．a(x－2)(x＋1)＝a(x2－x－2)＝ax2－ax－2a；B．a(x＋2)(x－1)＝a(x2＋x－2)＝ax2＋ax－2a；C．a(x－1)2＝a(x2－2x＋1)＝ax2－2ax＋a；D．(ax－2)(ax＋1)＝a2x2－ax－2.故选A.答案　A点评　有时做选择题时，可尝试从选项入手，去解决问题．四、规律探究题例8　(陕西)观察下列等式：12＋2×1＝1×(1＋2)；22＋2×2＝2×(2＋2)；32＋2×3＝3×(3＋2)；…则第n个等式可以表示为______________．解析　观察可以发现：等式的左边是两项，第1项是从1开始的整数的平方，第2项是2与这个整数的乘积，所以在左边可用一般式子表示为n2＋2n(n≥1，n为整数)，每一项等式的右边是这个整数与2的和乘这个整数的积，所以可用一般式子表示为n(n＋2)，所以第n个等式为n2＋2n＝n(n＋2)．答案　n2＋2n＝n(n＋2)(n≥1，n为整数)五、整体法例9　(宁夏)已知a＋b＝3,2，ab＝1，化简(a－2)(b－2)的结果是________．解析　本题需要将代数式(a－2)(b－2)变形，创造出整体代入的条件．(a－2)(b－2)＝ab－2a－2b＋4＝ab－2(a＋b)＋4＝1－2×3,2＋4＝2.答案　2点评　本题综合运用了整式乘法和因式分解法．六、开放题例10　(吉林)在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得的整式可以因式分解，并进行因式分解．解析　答案不唯一．充分观察三个整式的特点，然后选择整式求和或求差．解　①x2＋2xy－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)；②x2＋2xy＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；③y2＋2xy＋x2＝(x＋y)2.点评　这是一道开放题，答案不唯一，但防止出现以下错误，x2＋2xy＋y2＋2xy＝(x＋2y)2.例1　分解因式：x2－9y2.错解　原式＝(x＋9y)(x－9y)．错因分析　错解的原因在于没有完全理解平方差公式，公式中的“b”是“3y”，而不是“9y”．\n正解　原式＝(x＋3y)(x－3y)．例2　分解因式：2a3＋4a2＋a.错解　原式＝a(2a2＋4a)．错因分析　a是2a3＋4a2＋a各项的公因式，(2a3＋4a2＋a)÷a的结果应为三项，其中a÷a＝1不代表没有，不能省略，而本题的解答没有意识到这一点，错误地认为把a提出来，该项就不存在了．正解　原式＝a(2a2＋4a＋1)．复习题(P79)1.(1)－10a3b4　(2)12x3y3z－28x3yz　(3)8x2＋26xy＋21y2　(4)a2＋10a＋9　(5)25－4x2　(6)9a2－4b2　(7)9,16x2－2xy＋16,9y2　(8)1,4a2＋1,3ab＋1,9b2　(9)4a4＋28a2b＋49b2　(10)64b2－4b＋1,162.(1)x9y　(2)4x　(3)53.4.8×107cm34.3,32πa25.图①的面积是x2＋6x＋9；图②的面积是m2－4.6.(1)原式＝2ab－2bc，当a＝1，b＝2，c＝－1时，原式＝8.　(2)原式＝－10x－2，当x＝1,3时，原式＝－16,3.7.原式＝5002－(500－1)(500＋1)＝5002－(5002－1)＝18.(1)4(x＋4)(x－4)　(2)(3x－1)2　(3)3(a－b)(x＋2y)(4)(a＋b＋c)2　(5)2xy(2x2y－3x－1)　(6)－b(2a－b)29.(1)1　(2)510．(1)2n(2n＋2)＋1＝(2n＋1)2(n为整数)(2)成立，2n(2n＋2)＋1＝4n2＋4n＋1＝(2n＋1)2.11.ab＋ac＋ad12.π·a＋b,22－πa,22－πb,22＝π,2ab13.11cm　9cm14.(8a2＋48a)cm315.(1)a＋b,2m　(2)x2,4m216.n(n＋1)＋(n＋1)(n＋2)＝2(n＋1)2(n为正整数)17.(1)63　64　143　144　6399　6400　(2)n2－(n－1)(n＋1)＝118.(1)如图①，阴影部分的面积为(a－b)2.它可以看作是由大正方形的面积a2减去两个长方形的面积2ab，再加上一个小正方形的面积b2而得到，因此有(a－b)2＝a2－2ab＋b2.,①　　　,②(2)将这个图形沿虚线剪开，如图②，其面积为a2－b2.可拼成一个长方形或梯形，如图③、④.由于长方形面积为(a＋b)(a－b)．梯形面积为2a＋2b,2(a－b)，即(a＋b)(a－b)．因此有(a＋b)(a－b)＝a2－b2.,③　　　,④19.如图．S＝1,2ah＋1,2bh＝1,2(a＋b)h.\n　　第十章　二元一次方程组10．1　二元一次方程知识点一　二元一次方程的概念含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．例1　下列方程是二元一次方程的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．2x＋y＝4B．2xy＝1C．x2－2y＝9D．x＋1,y＝1解析　根据二元一次方程的定义：①二元整式方程；②未知项的次数是1，故把B、C、D排除．答案　A知识点二　二元一次方程的解适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．二元一次方程的解有无数组．例2　在①x＝1，y＝6；②x＝1，y＝7中，________是方程x＋y＝7的解．(填序号)解析　把①、②中的x、y的值代入方程，看方程是否成立，若成立，则这对未知数的值就是此方程的解．答案　①知识点三　二元一次方程的解的求法列举法：通常把二元一次方程写成用仅含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，先给出一个未知数的值，求出另一个未知数的值，这一对未知数的值就是该二元一次方程的一个解．例3　把方程2x－y＝－1变形为用含x的代数式表示y的形式，并求当x＝－3时y的值．解　用含x的代数式表示y的形式为y＝2x＋1.当x＝－3时，y＝2×(－3)＋1＝－5.一、定义的灵活运用例1　已知方程2xm－2＋myn＋1＝3是二元一次方程，则m＝______，n＝______.解析　根据二元一次方程的定义：①含有两个未知数，故m≠0；②所含未知数的项的次数是1，故m－2＝1，n＋1＝1，即可求出m、n的值．答案　3　0点评　这类问题的解题方法紧扣二元一次方程的概念，在解题的过程中，尽管“m≠0”不影响答案的正确性，但我们在分析问题时不可忽视．例2　已知方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋2ky＝k＋3，当k为何值时，它为二元一次方程？当k为何值时，它为一元一次方程？解析　显然无论是一元二次方程，还是二元一次方程，都没有二次项，所以可先令k2－1＝0，再根据题目的要求，进一步求出k的值．解　k2－1＝0，k＝±1.当k＝1时，原方程变形为2x＋2y＝4，是二元一次方程．当k＝－1时，原方程变形为－2y＝2，是一元一次方程．二、解的定义的应用及其求法例3　若x＝3m＋1，y＝2m－2是方程4x－3y＝10的一个解，求m的值．解析　根据二元一次方程的解的定义，将x＝3m＋1，y＝2m－2代入方程4x－3y＝10可得到一个关于m的一元一次方程，从而求出m的值．解　由题意得，4(3m＋1)－3(2m－2)＝10，\n——————————————————————第十章　二元一次方程组即12m＋4－6m＋6＝10.得6m＝0，则m＝0.点评　这类题型属于二元一次方程解的定义的应用．本题解的正确与否我们可以检验，即当m＝0时，看x＝1，y＝－2是否是方程4x－3y＝10的解．例4　求二元一次方程3x＋2y＝12的非负整数解．解析　把二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式，在题目所给范围内对x进行取值，即可得到对应的y值．解　原方程可化为y＝12－3x,2，由于x、y都是非负整数，并且保证12－3x可以被2整除，则x必须为偶数．当x＝0时，y＝6；当x＝2时，y＝3；当x＝4时，y＝0；当x＝6时，y＝－3(不合题意)．所以原方程的非负整数解有x＝0，y＝6；　x＝2，y＝3；　x＝4，y＝0.点评　一般来说，二元一次方程的解有无数个，但非负整数解是有限个，我们可以用列举法一一求出来．三、解决生活中的问题例5　某校七年级(6)班班委会成员在校活动室开会，每人坐一张凳子，只有3条腿的圆凳和4条腿的方凳两种．有人数了一下，人腿加上他们坐的凳子腿一共是33条，你能说出是几个人在开会吗？解析　分别设出圆凳、方凳的张数，则人数是圆凳、方凳数的和，利用33条腿来建立方程，进行探究．解　设圆凳有x张，方凳有y张，则人数为(x＋y)人，由题意得：3x＋4y＋2(x＋y)＝33，变形得x＝33－6y,5.显然，x、y都是非负整数，且33－6y必须是5的倍数，则33－6y的个位数必须是0或5，也就是6y的个位数只能是3或8，这样y只能是3.当y＝3时，x＝33－6×3,5＝3，所以x＋y＝6.即有6个人在开会．点评　此类题型只有一个相等关系，只能列出一个二元一次方程，应灵活探索未知数的限定条件，从而解决问题．例6　某医院欲购进甲、乙两种医疗器械，甲器械每台2万元，乙器械每台3万元，医院打算用20万元购进这两种器械，那么该医院有哪些购买方案？解析　相等关系：甲器械费用＋乙器械费用＝20万元，根据相等关系可得二元一次方程，那么本题就是求一个二元一次方程的非负整数解的问题，实质上可以采取试探求解的方法．解　设可购买甲器械x台，乙器械y台，根据题意得：2x＋3y＝20.x＝1时，y＝6；x＝4时，y＝4；x＝7时，y＝2；x＝10时，y＝0.即原方程的非负整数解为x＝1，y＝6；x＝4，y＝4；x＝7，y＝2；x＝10，y＝0.所以购买方案如下：①购买甲器械1台，乙器械6台；②购买甲器械4台，乙器械4台；③购买甲器械7台，乙器械2台；④购买甲器械10台，不买乙器械．点评　本题是一道方案探索题，其实质是求二元一次方程的整数解，方程求解的方法还可以先限制x、y的范围，如x＝20－3y,2≥0，即y≤\n6，这样就先限制了y的范围，让探究目标更明确．1.下列方程是二元一次方程的是(　　)A．3x＋5y＝7B．xy＝4C．x2＋y＝3D．4－y＝92.下列各对数值不是二元一次方程2x＋y＝6的解的是(　　)A．x＝0，y＝6B．x＝1,2，y＝5C．x＝－2，y＝－10D．x＝3，y＝03.已知方程2xm＋3－1,2y2－4n＝5是二元一次方程，则m＝________，n＝________.4.已知x＝3，y＝2是关于x、y的二元一次方程ax＋by＝x＋y的一个解，则3a＋2b＝________.5.已知x＝2，y＝1是方程3x－ay＝3的一个解，则a＝______.当x＝1时，y＝______.6.以x＝2，y＝－3为解，写出一个二元一次方程______________．7.3辆小卡车和4辆大卡车一次能运货29t，若设每辆小卡车每次运货xt，每辆大卡车每次运货yt.(1)列出关于x、y的二元一次方程__________________；(2)当x＝3时，y＝________；(3)若每辆大卡车每次运货6t，则每辆小卡车每次运货________t.8．方程(k2－4)x2＋(k＋2)x＋(k－6)y＝k＋8是关于x、y的方程，则当k为何值时，方程为一元一次方程？当k为何值时，方程为二元一次方程？9.求二元一次方程3x＋4y＝28的正整数解．10.根据题意，列出二元一次方程．某国家级风景区门票价格：成人票每张60元，儿童票(120cm以下)每张10元．(1)如果某团体购买了70张门票，那么成人票与儿童票分别是多少张？(2)如果某团体购买门票花了750元，那么成人票与儿童票分别是多少张？11.七年级(1)班为了奖励优秀学生，花60元购买钢笔和笔记本，每枝钢笔为5元，每本笔记本为3元．设购买钢笔x枝，笔记本y本．(1)列出关于x、y的方程；(2)用列表格的方式，列出所买的钢笔枝数、笔记本数的所有可能情况．\n12.某宾馆有大、小两种客房，小房间能住4人，大房间能住7人，现有63人住宿，需大、小房间各多少间刚好使床位不多也不少？1.A2.C3.－2　1,44.55.3　06.x＋y＝－1(答案不唯一)7.(1)3x＋4y＝29　(2)5　(3)5,38．k＝－2时，原方程为一元一次方程；k＝2时，原方程为二元一次方程．9.x＝8，y＝1；　x＝4，y＝4.10.(1)设成人票为x张，儿童票为y张，根据题意，得x＋y＝70.(2)设成人票为x张，儿童票为y张，根据题意，得60x＋10y＝750.11.(1)5x＋3y＝60(2)x,3,6,9y,15,10,512.设需小、大房间分别为x、y间，由题意得4x＋7y＝63，变形得y＝63－4x,7，即y＝9－4x,7，由于x、y都是非负整数，则x必为7的倍数．当x＝0时，y＝9；当x＝7时，y＝5；当x＝14时，y＝1.故可安排小房间0间，大房间9间；或小房间7间，大房间5间；或大房间1间，小房间14间．跑马趣题意大利著名的物理学家、天文学家伽俐略平时喜欢和孩子们在一起，一天他出了一道数学题考考孩子们．我们面前的这个跑马场的周长为400m，现有A、B、C三匹马，A马1min能跑2圈，B马1min能跑3圈，C马1min能跑4圈，如果这三匹马并排在起跑线上，同时往同一个方向跑，请你们想一想，经过几分钟这三匹马才能重新并排在起跑线上？孩子们听完题目，便认真地思考起来，1min过去了，一个小孩抢先说：这三匹马永远也不可能再并排在起跑线上，因为它们的速度不同，A马每分钟跑800m，B马每分钟跑1200m，C马每分钟跑1600m.第二个小孩便急忙说道：你说得不对，我觉得这三匹马12min后能并排在起跑线上，因为这个问题，实际上就是求最小公倍数的问题．你认为上面两个小孩回答得正确吗？你的解答是什么？伽俐略的解答是：每跑完1min，三匹马又并排在起跑线上，因为每过1min，A马跑完2圈，B马跑完3圈，C马跑完4圈，三匹马正好再一次在起跑线上处于并排状态．有时数学不仅要从常规方法去考虑，而必须同时从问题的各个角度去考虑，你想到了吗？练一练(P85)1.x＝2，y＝－1和x＝1,2，y＝2是二元一次方程2x＋y＝3的解；x＝－2，y＝2和x＝2，y＝－1是二元一次方程3x＋4y＝2的解．\n2.(1)x＋5y＝40(2)如果全是1角的硬币，共有40枚；如果全是5角的硬币，共有8枚．(3)x,40,35,30,25,20,15,10,5,0y,0,1,2,3,4,5,6,7,8习题10.1(P85)1.8x＋3y＝442.有无数个解，如x＝－1，y＝－6；　x＝0，y＝－5；　x＝1，y＝－4.3.(1)y＝15－5x　(2)y＝3,4x－34.2x＋3y＝12，方程的解为x＝0，y＝4；　x＝3，y＝2；　x＝6，y＝0.\n10．2　二元一次方程组知识点一　二元一次方程组的定义含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组．友情提醒　二元一次方程组不一定是由两个二元一次方程合在一起组成的，此外，组成方程组的各个方程也不一定都同时含有两个未知数．例如：方程组x＝2，2x－2y＝0，6y＝12；2x－3＝0，x＋2y＝5等都是二元一次方程组．知识点二　二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．利用二元一次方程组的解的定义，可以检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．例　判断下列各组数是不是二元一次方程组2x－y＝5，　①3x＋y＝10　②的解．(1)x＝2，y＝－1；　　　　　　　　(2)x＝3，y＝1.解析　将每组值分别代入方程组中的方程，既满足方程①，又满足方程②的值是方程组的解，否则不是．解　(1)将x＝2，y＝－1代入方程①，左边＝2×2－(－1)＝5＝右边，所以x＝2，y＝－1是方程①的解．将x＝2，y＝－1代入方程②，左边＝3×2－1＝5≠右边，所以x＝2，y＝－1不是方程②的解．故x＝2，y＝－1不是原方程组的解．(2)将x＝3，y＝1代入方程①，左边＝2×3－1＝5＝右边，所以x＝3，y＝1是方程①的解．将x＝3，y＝1代入方程②，左边＝3×3＋1＝10＝右边，所以x＝3，y＝1是方程②的解．故x＝3，y＝1是原方程组的解．友情提醒　检验一组值是不是某个方程组的解，当发现这组值不满足其中一个方程时，无需继续检验，就可以判定它不是方程组的解．当验证这组数满足其中的一个方程时，还必须检验是否满足方程组中的其他方程，只有同时满足方程组中的所有方程的一组解才是方程组的解．教材中的“？”解答做一做(P88)思路点拨：用数据列表的方法或转化为二元一次方程的方法求解．对于此题用数据列表的方法较繁琐，应转化为二元一次方程的方法求解．解答：把第一个方程写成x＝35－y代入第二个方程得，2(35－y)＋4y＝94.解出y＝12，再求出x＝23，所以方程组x＋y＝35，2x＋4y＝94的解为x＝23，y＝12.\n一、定义的应用例1　下列方程组：①2x＋3y＝1，3a－4b＝2；②x＋y＝3，x－1＝2；③x＋y＝3，xy＝2；④x＝1，y＝2；⑤2,x＋3,y＝5，3,x－2,y＝1；⑥x＋2y＝3，2x＋4y＝6.其中是二元一次方程组的有：________(填序号)．解析　方程组①含有四个未知数，不是二元一次方程组；方程组③中“xy”项的次数是二次，故不是二元一次方程组；方程组⑤是分式方程组，故不是二元一次方程组；方程组②、④、⑥都含有两个未知数，并且未知项的次数都是1，而且都是整式方程．因此方程组②、④、⑥都是二元一次方程组．答案　②④⑥点评　对照二元一次方程组的定义，判断一个方程组是否是二元一次方程组，应从以下三个方面考虑：①整个方程组是不是恰好含有两个未知数；②整个方程组中的未知项是不是都是一次；③组成方程组的方程是否是整式方程．\n二、二元一次方程组解的应用例2　已知x＝1,2，y＝－1是关于x、y的方程组ax－3y＝5，2x－by＝1的解，求b－a的值．解析　根据二元一次方程组的解的定义，x＝1,2，y＝－1应同时满足方程组中的两个方程，将其代入，即可求得a、b的值．解　由题意得1,2a－3×(－1)＝5，2×1,2－b×(－1)＝1，解得a＝4，b＝0.所以b－a＝0－4＝－4.点评　方程组中的字母a、b通常叫做待定系数，求待定系数是基础，应熟练掌握．例3　解方程：3y－1,2＝4y＋1,3，并说出方程组3x－4y＝1，x＝3y－1,2　①②的解．解析　本题要求我们在解出方程3y－1,2＝4y＋1,3以后，说出方程组3x－4y＝1，x＝3y－1,2的解，说明这个方程与方程组之间必然存在联系，只要将方程①变形为x＝4y＋1,3即可．解　由3y－1,2＝4y＋1,3，得3(3y－1)＝2(4y＋1)，解之得y＝5.原方程组可化为x＝4y＋1,3，x＝3y－1,2，所以y＝5必然适合这个方程组．当y＝5时，x＝3×5－1,2＝7(或x＝4×5＋1,3＝7)，所以方程组的解为x＝7，y＝5.点评　通过本题可以发现二元一次方程组可以转化为一元一次方程．三、二元一次方程组的建立例4　根据题意列方程组：某班42名学生到公园划船，共租用10条船，每条大船可坐5人，每条小船可坐3人，每条船都能坐满．大船、小船各租了多少条？解析　这里有两个未知数：租的大船数和小船数．有两个相等关系：租的大船数＋租的小船数＝10，坐大船的学生人数＋坐小船的学生人数＝42.从而建立两个方程，联立起来组成方程组．解　设大船租了x条，小船租了y条．根据题意，得x＋y＝10，5x＋3y＝42.点评　列方程组的前提是弄清题意，关键是找出两个相等关系．例5　设每个网球拍的单价为x元，每个乒乓球拍的单价为y元，列出关于x、y的二元一次方程组．解析　从题目中获得两个相等关系：两个网球拍的钱＋1个乒乓球拍的钱＝200，2个乒乓球拍的钱＋1个网球拍的钱＝160.解　2x＋y＝200，x＋2y＝160.点评　通过图中提供的信息，找出两个相等关系，建立二元一次方程组．四、探究型问题例6　小华到水果市场去买香蕉和苹果，看到某家商店中香蕉标价为6元/kg，苹果标价是3.5元/kg，小华学了妈妈去市场买东西的经验，也向店主讨价还价，结果香蕉以5元/kg，苹果以3元/kg的价格成交，小华共买了香蕉和苹果9kg，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？(1)根据题意，列出二元一次方程组；(2)你能判断小华分别买了多少千克香蕉和苹果吗？\n(3)经过讨价还价，小华节约了多少钱？解析　(1)两个相等关系：①香蕉的千克数＋苹果的千克数＝9；②买香蕉的钱＋买苹果的钱＝33；(2)把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出未知数的值．解　(1)设香蕉买了xkg，苹果买了ykg.由题意得x＋y＝9，5x＋3y＝33.(2)方程x＋y＝9可写成x＝9－y的形式，方程5x＋3y＝33可写成x＝33－3y,5的形式，所以得一元一次方程：9－y＝33－3y,5，化简得2y＝12.所以x＝3，y＝6.所以小华买了3kg香蕉和6kg苹果．(3)6×3＋3.5×6－(5×3＋3×6)＝6(元)，所以经过讨价还价，小华节约了6元钱．点评　用方程组解决问题的关键是仔细审题并找出两个相等关系．五、开放型问题例7　写出一个解为x＝1，y＝－2的二元一次方程组．解析　解答此题的关键是要理解二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解的有关概念及三者之间的关系，所以可先构造两个以x＝1，y＝－2为解的二元一次方程，然后将这两个二元一次方程组成方程组即可．解　答案不唯一．因为x＝1，y＝－2，所以x＋y＝1＋(－2)＝－1，x－y＝1－(－2)＝3，所以x＋y＝－1，x－y＝3就是所求的二元一次方程组．点评　以x＝1，y＝－2为解的二元一次方程可以写出无穷多个，从中任选两个方程，但其对应系数应不成比例，联立起来即为所求．这样的方程组有无穷多个．1.在①x＝1，y＝6；　②x＝1，y＝7；　③x＝2，y＝5中，______是方程x＋y＝7的解，______是方程2x＋y＝9的解，________是方程组x＋y＝7，2x＋y＝9的解．2.若x＝2，y＝1是方程组x＋y＝m，2x－y＝6n的解，则m＝________，n＝________.3.写出一个以x＝1，y＝－3为解的二元一次方程组：______________.4.根据(2x－3y＋2)2＋|x－y－3|＝0，可得二元一次方程组：________________.5.如果|2a－3b＋4|与(3b＋2)2互为相反数，试求a、b的值．6.如果关于x、y的方程组ax－y＝－1，3bx－y＋4＝0的解中y＝0，试求a∶b的值．7.解方程：22－3x＝34－5x，并求出方程组3x＋4y＝22，\n5x＋4y＝34的解．8.为了合理利用电力资源，缓解用电紧张状况，我市电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(见下表)，已知王老师家4月份使用“峰谷电”95kW·h，缴电费43.40元，王老师家4月份“峰电”和“谷电”各用了多少度？,用电时间段,收费标准峰电,08∶00～22∶00,0.56元/kW·h谷电,22∶00～08∶00,0.28元/kW·h设出适当的未知数，列出方程组(不要求解出方程组)．9.甲铅笔每枝0.2元，乙铅笔每枝0.5元，现在某人买了x枝甲铅笔，y枝乙铅笔，共花了4.5元，已知甲铅笔数是乙铅笔数的2倍，列出关于x、y的二元一次方程组，并求解甲、乙铅笔数各为多少．1.①③　②③　③2.3　1,23.答案不唯一，如：x＋y＝－2，x－y＝44.2x－3y＋2＝0，x－y－3＝05.a＝－3，b＝－2,3.6.把y＝0代入原方程组，得ax＝－1，3bx＝－4，故a＝－1,x，b＝－4,3x，所以a∶b＝3∶4.7.由22－3x＝34－5x，得5x－3x＝34－22,2x＝12，所以x＝6.由于原方程组可变形为4y＝22－3x，4y＝34－5x，即22－3x＝4y＝34－5x，当x＝6时，y＝1.所以方程组的解为x＝6，y＝1.8.设王老师家4月份“峰电”用了xkW·h，“谷电”用了ykW·h，可得方程组x＋y＝95，0．56x＋0.28y＝43.40.9.由题意得x＝2y，0．2x＋0.5y＝4.5，解得x＝10，y＝5.即买了甲铅笔10枝，乙铅笔5枝．\n出乎意料老师对学生们说：“地球是个椭球体，但扁平不大，在一般计算中往往把它近似地看作球体．我们知道地球半径是6371km，这个数字很大．现在假设在地球赤道上缠一道箍，同时在一个球形的大西瓜上缠一道箍，西瓜半径为16cm，如果我给每道箍都加长1m，并且把它们抖均匀，那么箍同地面和西瓜之间都有了空隙．请问：地面与箍之间的空隙大，还是西瓜与箍之间的空隙大？”有个学生先站起来说：“这还用说，地球这样大，这道箍加上1m，等于不起作用，何况物体还要热胀冷缩呢．对围这样大的地球的箍来说，即使由于热胀冷缩的影响都还不止1m啊．”老师说：“你讲得有道理，不过我们现在不考虑物理、化学等因素，只从数学观点看问题．”请同学们想想看，答案是什么？解：设地球与箍之间的空隙为xm，设西瓜与箍之间的空隙为ym.由题意得2π×(6371000＋x)＝2π×6371000＋1，2π×(0.16＋y)＝2π×0.16＋1，解得x＝1,2π，y＝1,2π.所以，地面与箍之间的空隙与西瓜与箍之间的空隙一样大．两者完全相等，这不是大大出乎意料吗？如果任一个球，它的半径为a，结论同样成立吗？如果箍是缩短的呢？《西游记》是中国四大名著之一，深受同学们的喜爱．话说孙悟空惹恼了唐僧，唐僧念起紧箍咒来，痛得悟空抱头叫嚷：“疼死我也！”假如唐僧念咒语，使悟空头上的金箍缩短了1cm，并且认为金箍呈圆形，那么金箍要陷进孙悟空的头皮多少毫米？还有同样的结论吗？由此你理解孙悟空特别害怕唐僧念紧箍咒的原因了吧！练一练(P86)1.x＋y＝32，5x＝3y2.5x＋4y＝20.5，x－y＝0.53.x＋y＝8，3x＋y＝20练一练(P88)1.x＝2，y＝1和x＝1，y＝2是二元一次方程x＋y＝3的解；x＝1，y＝2和x＝1,2，y＝3,2是二元一次方程x－y＝－1的解；x＝1，y＝2是二元一次方程组x＋y＝3，x－y＝－1的解．2.x＋y＝100，x＝3y，解得x＝75，y＝25.所以白鸡有75只，黑鸡有25只．习题10.2(P88)1.设地球上海洋面积为x亿km2，陆地面积为y亿km2.根据题意，得x＋y＝5.1，x＝2.4y.2.7x＋7＝y，9(x－1)＝y3.x＝8；x＝8，\ny＝63.4.设这个长方形的长为xcm，宽为ycm.根据题意，得x－y＝10，2x＋2y＝80.解得x＝25，y＝15.所以这个长方形的长为25cm，宽为15cm.\n10．3　解二元一次方程组知识点一　解二元一次方程组的思想解二元一次方程组的主要思想是“消元”(即将“二元”转化为“一元”，化“未知”为“已知”的思想方法)．“消元”思想是解方程组的主要思想方法．知识点二　解二元一次方程组的方法1．代入消元法(简称代入法)．其一般步骤为：(1)从方程组中选定一个系数，对比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式．(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元一次方程．(3)解这个方程，求出x(或y)的值．(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中求y(或x)的值．(5)用“　”联立两个未知数的值，就是方程组的解．2．加减消元法(简称加减法)．其一般步骤为：(1)将原方程组化成有一个未知数的系数的绝对值相等的形式．(2)将变形后的两个方程相加(或减)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．(4)把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值．例1　用代入法解方程组：2x＋5y＝－3，4x－y＝5.　①②解析　用代入法解方程组必须先将①②中的一个方程转化成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的形式，选择②来变形较简便．解　由②得，y＝4x－5.　③把③代入①，得2x＋5(4x－5)＝－3，解得x＝1.把x＝1代入③，得y＝4×1－5＝－1.所以原方程组的解为x＝1，y＝－1.友情提醒　用代入法解方程组，必须先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，如果方程本身不具备这种形式，那么必须选择其中一个变形，通常选未知数系数的绝对值为1的方程变形较简便．例2　用加减法解方程组：x＋2y＝5，4x＋3y＝15.　①②解析　用加减法消元，必须满足两个方程中某一个相同的未知数的系数的绝对值相等，本题变x的系数相同较简单．解　①×4，得4x＋8y＝20.　③③－②，得5y＝5，所以y＝1.把y＝1代入①，得，x＋2×1＝5，x＝3.所以原方程组的解为x＝3，y＝1.友情提醒　本题若想变y的系数相同，应该找y的系数的最小公倍数，将两个方程的y的系数都变成最小公倍数，与上述解法相比略显麻烦．教材中的“？”解答试一试(P89)思路点拨：1.根据题意进行变形，代入消元解出方程组的解．\n2．将①变形为x＝11－3y代入②，建立关于y的一元一次方程解出y，再解出x.解答：1.略2．由①得，x＝11－3y　③，把③代入②，得3(11－3y)＋2y＝12，y＝3.把y＝3代入③，得x＝11－3×3＝2.所以原方程组的解为x＝2，y＝3.想一想(P91)思路点拨：把方程①扩大2倍，方程②扩大5倍，再相减即可消去x，求出方程组的解．解答：①×2，得10x－4y＝8，③②×5，得10x－15y＝－25.④③－④，得11y＝33，y＝3.把y＝3代入①得5x－6＝4，解得x＝2.所以原方程组的解为x＝2，y＝3.一、用适当的方法解方程组例1　解下列方程组：(1)x＋y＝7，3x－y＝2；　①②　　　　　　　(2)y＋1,4＝x＋2,3，2x－3y＝1.　①②解析　(1)y的系数互为相反数，显然用加法消元法较简便；(2)方程①的系数是分母，应先整理为4x－3y＝－5　③，观察②③，y的系数都是－3，所以用减法消元法较简便，但也可将3y看作一个整体，由②得3y＝2x－1，代入③也可消元．解　(1)①＋②，得4x＝9，x＝9,4.把x＝9,4代入①，得9,4＋y＝7，y＝19,4.所以原方程组的解为x＝9,4，y＝19,4.(2)由①，得4x－3y＝－5，　③由②，得3y＝2x－1.　④把④代入③，得4x－(2x－1)＝－5，解得x＝－3.把x＝－3代入②，得2×(－3)－3y＝1，解得y＝－7,3.所以原方程组的解为x＝－3，y＝－7,3.点评　代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法，其本质就是消元，两种方法的选择一般体现在未知数系数的特点上．当两个方程中未知数系数的绝对值相等时，首选加减法；当两个方程中某一项未知数系数是±1时，可以考虑代入法．通过一定量的练习，自然会发现一些技巧．例2　若方程组2a－3b＝13，3a＋5b＝30.9的解是a＝8.3，b＝1.2，则方程组2(x＋2)－3(y－1)＝13，3(x＋2)＋5(y－1)＝30.9的解是(　　)A．x＝6.3y＝2.2B．x＝8.3y＝1.2C．x＝10.3\ny＝2.2D．x＝10.3y＝0.2解析　如果把第二个方程组的(x＋2)和(y－1)看成一个整体，则对比这两个方程组可以看出，这两个方程组的系数都是一样的，设x＋2＝c，y－1＝d，则知a＝c，b＝d，即x＋2＝8.3，y－1＝1.2，解得x＝6.3，y＝2.2.答案　A点评　在解方程时，要注意寻找规律，如果把所求方程组先化简再算，就比较繁琐了．二、方程组的综合运用例3　已知关于x、y的方程组ax＋by＝10，　①ax－3y＝－8　②的解为x＝1，y＝3.求a、b的值．解析　根据方程组的定义，x＝1，y＝3满足方程①②，代入即可得关于a、b的二元一次方程组，再解方程组，可得a、b的值．解　由题意得a＋3b＝10，a－9＝－8，解得a＝1，b＝3.所以a、b的值分别为1、3.点评　一般求两个字母的值，都可以根据题目条件得到关于这两个字母的方程组，解方程组得出结果．三、探究型问题例4　小明解方程组ax＋by＝2，cx－7y＝8　①②时，把c看错后得到x＝－2，y＝2，而正确的解是x＝3，y＝－2，你知道正确的方程组是什么吗？解析　小明看错c后解得x＝－2，y＝2，故x＝－2，y＝2是方程①的解，所以－2a＋2b＝2.又因为x＝3，y＝－2是正确的解，故也是方程①②的解，所以3a－2b＝2且3c＋14＝8.联立关于a、b的两个方程，可解出a、b.解3c＋14＝8求得c.解　由题意，得－2a＋2b＝2，3a－2b＝2，解得a＝4，b＝5.又因为x＝3，y＝－2是cx－7y＝8的解，所以3c＋14＝8，解得c＝－2.所以正确的方程组为4x＋5y＝2，－2x－7y＝8.点评　紧扣方程组解的意义得到关于a、b、c的方程，从而求出a、b、c的值．四、开放型问题例5　把下列方程组补充完整，并求解．x－2y＝6，________(在横线上填一个你认为合适的二元一次方程即可)．解析　本题具有开放性，答案不唯一，任何一个含x、y，且和x－2y＝6不是同解方程的二元一次方程都可以，如2x－4y＝12就不可以，因为它和x－2y＝6是同解方程，这样组成的方程组的解不唯一．解　答案不唯一，如所填方程为x＋y＝12.方程组为x－2y＝6，　①\nx＋y＝12.　②②－①，得3y＝6，y＝2.把y＝2代入②，得x＝10.所以原方程组的解为x＝10，y＝2.点评　本题答案不唯一，构造方程以未知数系数简洁为宜，也便于解方程组.五、实际应用题例6　一批同学到学校礼堂观摩模拟法庭主题活动，如果每3人坐一张长条椅，则有25人没有座位；如果每4人坐一张长条椅，则刚好有4张长条椅空出，问有多少学生，多少长条椅？解析　两种座位安排的方式不同，但学生人数与长条椅数不变，题中存在这样两个等量关系：“学生人数＝3×长条椅数＋25”，“学生人数＝4×(长条椅数－4)．”解　设学生人数为x人，长条椅数为y条，根据题意，得x＝3y＋25，x＝(y－4)×4.解这个方程组，得x＝148，y＝41.即学生人数为148人，长条椅数为41张．点评　将题中的“没有座位”“座满”“空出”准确地转化成数量关系，不管座位的方式如何变化，把握住学生数、长条椅数不变是关键．1．方程组2x－3y＝1，2x＋5y＝－2中，x的系数的特点是________；方程组5x＋3y＝8，7x－3y＝4中，y的系数的特点是________，这两个方程组适合用________法解．2.已知3x＋y＝5，2x＋2y＝7，那么x－y的值是________．3.若方程x＋y＝3的解同时满足方程2x－3y＝16，则这个解是________．4．已知|x－3|＋(x＋y－2)2＝0，则x－y＝________.5．已知3x2a＋b＋2－5y3a－2b＝11是关于x、y的二元一次方程，则a＝________，b＝________.6．已知代数式ax＋by，当x＝5，y＝2时，它的值是7；当x＝8，y＝5时，它的值是4，则a＝________，b＝________.7.用代入法解下列方程组：(1)y＝2x＋1，3x＋2y＝9；　　　(2)x＋y＝5，4x＋3y＝17；　　　(3)5x－2y＝5，3x＋y＝14.8.用加减法解下列方程组：(1)2x＋5y＝7，－2x＋4y＝2；　　　(2)x－3y＝1，2x＋y＝9；　　　(3)2x＋3y＝4，3x＋5y＝13,2.9.解下列方程组：\n(1)5x＋6y＝1，2x－6y＝10；　　　(2)3x＋2y＝5，2x－y＝8；　　　(3)x,2－y,4＝－1,4，x＋y＝4.10.方程组x＝6－2y，x＋y＝10－3a的解是一对相同的数，求a的值．11.若m、n互为相反数，且5n＋2m＝－9，求m、n的值．12.已知关于x、y的方程组ax＋by＝3，bx＋ay＝7的解是x＝2，y＝1，求a＋b的值．13.关于x、y的二元一次方程组x＋y＝5k，x－y＝9k的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，求k的值．14.甲、乙两位同学同解一个关于x、y的二元一次方程组mx＋ny＝16，nx＋my＝1.　①②甲把方程①抄错，求得的解为x＝－1，y＝3，乙把方程②抄错，求得的解为x＝3，y＝2.根据上述信息，你能求出原方程组的解吗？如果能，请解出来；如果不能，请简述理由．15.已知方程组ax＋by＝3，3x－cy＝5，写出一组a、b、c的值，使方程组的解为x＝2，y＝1.\n16.方程组5x＋y＝3，ax＋5y＝4与x－2y＝5，5x＋by＝1有相同的解，求a、b的值．17．已知二元一次方程：①x＋y＝4；②2x－y＝2；③x－2y＝1.请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程组成一个方程组，并求出这个方程组的解．1.相同　互为相反数　加减消元2.－23.x＝5，y＝－24．45.－1,7　－5,76.3　－47.(1)x＝1，y＝3　(2)x＝2，y＝3　(3)x＝3，y＝58.(1)x＝1，y＝1　(2)x＝4，y＝1　(3)x＝1,2，y＝19.(1)x＝11,7，y＝－8,7　(2)x＝3，y＝－2　(3)x＝1，y＝310.a＝211.m＝3，n＝－312.把x＝2，y＝1代入方程组，得2a＋b＝3，2b＋a＝7，　①②　①＋②，得3(a＋b)＝10，所以a＋b＝10,3.13.解方程组得x＝7k，y＝－2k，代入2x＋3y＝6，得14k－6k＝6，解得k＝3,4.14.把x＝－1，y＝3代入②得－n＋3m＝1.把x＝3，\ny＝2代入①得3m＋2n＝16，联立得－n＋3m＝1，3m＋2n＝16，解得m＝2，n＝5.原方程组为2x＋5y＝16，5x＋2y＝1，解得x＝－9,7，y＝26,7.15.c＝－1，a、b答案不唯一，只要满足2a＋b＝3即可，如a＝1，b＝1等．16.a＝14，b＝217．答案不唯一，可以得到以下三个方程组：①x＋y＝4，2x－y＝2；　②x＋y＝4，x－2y＝1；　③2x－y＝2，x－2y＝1.　第①个方程组的解为x＝2，y＝2；　第②个方程组的解为x＝3，y＝1；　第③个方程组的解为x＝1，y＝0.你知道计算机是如何解方程组的吗计算机的迅速发展大大提高了运算的速度和解数学问题的能力．你知道吗？先进的计算机能快速准确地求出含有成千上万个未知数的一次方程组的解．这是个程序化的过程，它的数学原理其实与我们所学的消元法一致．下面就以二元一次方程组为例，介绍计算机的求解原理和步骤．基本原理：对于二元一次方程组a11x＋a12y＝b1，a21x＋a22y＝b2.①②若a11≠0，则－a21,a11×①＋②，得a11x＋a12y＝b1，a′22y＝b′2.③④其中a′22＝a22－a21,a11·a12，⑤b′2＝b2－a21,a11·b1.⑥若④中a′22≠0，则y＝b′2,a′22，x＝b1－a12y,a11.⑦⑧计算步骤如下表：一般计算步骤,以方程组4x＋3y＝5，2x－y＝－5为例，其中a11＝4，a12＝3，b1＝5，a21＝2，a22＝－1，b2＝－5.(1)计算m＝a21,a11；(2)计算a′22＝a22－ma12，b′2＝b2－mb1；(3)计算y＝b′2,a′22，x＝b1－a12y,a11.,(1)m＝2,4＝0.5；(2)a′22＝－1－0.5×3＝－2.5，b′2＝－5－0.5×5＝－7.5；(3)y＝－7.5,－2.5＝3，x＝5－3×3,4＝－1.所以方程组的解为x＝－1，\ny＝3.　　以上这一过程称为顺序消元法，对于三元一次方程组、四元一次方程组等多元方程组，求解原理也一样．\n练一练(P90)1.(1)x＝3，y＝3　(2)x＝2，y＝1　(3)x＝28，y＝4　(4)x＝4，y＝12.设这个长方形的长为xcm，宽为ycm.根据题意，得x＝3y，x－3＝y＋4.解得x＝10.5，y＝3.5.这个长方形的长为10.5cm，宽为3.5cm.3.设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.根据题意，得x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x.解得x＝1，y＝6.这个两位数为16.练一练(P91)1.(1)x＝8，y＝16　(2)x＝3，y＝2　(3)x＝0，z＝5　(4)s＝1，t＝12.设1kg苹果的售价为x元，1kg香蕉的售价为y元，根据题意，得3x＋2y＝13.2，2x＋5y＝19.8.解得x＝2.4，y＝3.习题10.3(P92)1.(1)x＝－1,2，y＝3,2　(2)x＝35，y＝14　(3)x＝3，z＝1　(4)u＝5，v＝52.设甲班原有x人，乙班原有y人．根据题意，得x－2,3y＝5，2(x－10)＝y＋10.解得x＝45，y＝60.3.设小丽骑车的时间是xh，小明骑车的时间是yh.根据题意，得x＋y＝1.5，15x＋12y＝20.解得x＝2,3，y＝5,6.4.设船在静水中航行的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h.根据题意，得1.6x＋1.6y＝80，2x－2y＝80.解得x＝45，y＝5.\n10．4　用方程组解决问题知识点　列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤(1)设：审清题意，设出两个适当的未知数．(2)列：根据题意，找出两个相等关系，列出相等关系中所需的代数式，从而列出二元一次方程组．(3)解：利用加减消元法或代入消元法解出所列的方程组，并检验是否合理．(4)答．例　某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲种贷款每年的利率是12%，乙种贷款的利率是13%，求这两种贷款各自的数额．解析　审题：未知数为甲、乙两种贷款的数额，两个相等关系：①甲种贷款数＋乙种贷款数＝68万元；②甲种贷款的利息＋乙种贷款的利息＝8.42万元．解　设申请了甲种贷款x万元，乙种贷款y万元．根据题意，得x＋y＝68，12%x＋13%y＝8.42.解得x＝42，y＝26.答：甲种贷款42万元，乙种贷款26万元．友情提醒　用方程组解决问题的关键是把题中的数量关系用等式即方程表达出来，通过解方程解决问题．教材中的“？”解答做一做(P95)思路点拨：1.是课本中问题4的延伸，弄清题中4m3的水费是按基本价格收费，超过6m3的水费加价收费．　2．水费交了45元，说明用水已超过6m3，并且水费由两部分组成．解答：1.6　39　2.12一、配制问题例1　某车间有56名工人，生产互相配套的螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个．每个螺栓配两个螺母，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套？解析　通过审题从文字中获取两个相等关系：①生产螺栓的人数＋生产螺母的人数＝56人；②2×螺栓的个数＝螺母的个数．解　设有x人生产螺栓，有y人生产螺母．则x＋y＝56，2×12x＝18y.解得x＝24，y＝32.答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．点评　仔细审题，从文字信息中找出两个相等关系．二、增长率问题例2　某商场购进商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销，决定甲、乙两种商品分别以七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款399元，这两种商品原售价之和为490元，这两种商品进价分别为多少元？解析　(1)本题的两个相等关系：①原甲售价＋原乙售价＝490元；②现甲售价＋现乙售价＝399元．\n(2)注意“折扣”的意义，“七折”即为原价的7,10或70%.解　设这两种商品的进价分别为x元、y元，根据题意，得x(1＋40%)＋y(1＋40%)＝490，x(1＋40%)·70%＋y(1＋40%)·90%＝399.解得x＝150，y＝200.答：甲商品进价为150元，乙商品进价为200元．点评　(1)本题也可采用间接设法，设两种商品的售价分别为x元、y元．(2)解有关增长率的方程(组)一般都是先约去“%”．例3　邮购某种期刊，不满100册，需另加书价的10%作邮费；超过100册，免收邮费，另外书价还优惠10%.已知这种期刊每册1.6元，两次共邮购200册(第二次超过100册)，总计金额304元，两次各邮购了多少册？解析　通过审题从文字中获取两个相等关系：①第一次邮购的册数＋第二次邮购的册数＝200册；②第一次邮购的钱＋第二次邮购的钱＝304元．第一次邮购的钱是期刊的钱加邮费，第二次邮购的钱是书价的90%.解　设第一次邮购x册，第二次邮购y册．根据题意，得x＋y＝200，1．6x(1＋10%)＋1.6y(1－10%)＝304.解得x＝50，y＝150.答：第一次邮购了50册，第二次邮购了150册．点评　解决问题的关键是找出两个相等关系，会用含未知数的代数式表示相等关系中的量．三、错车(会车)问题例4　一列快车长70m，慢车长80m，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间(即“会车”时间)为20s，若两车相向而行，则两车从相遇到离开的时间为4s.求两车每小时各行多少千米．解析　本题是追及问题和相遇问题的一种变式，解决这类问题的关键在于物体所行路程的确定．同向而行时，可看作是快车的车尾追慢车的车头，属于同时不同地的追及[相距为(70＋80)m]；相向而行时，可看作是两车的车尾从相距(70＋80)m的两地相向而行到相遇．　解　设快车、慢车每秒分别行驶xm、ym，根据题意，得20x－20y＝70＋80，4x＋4y＝70＋80.解得x＝22.5，y＝15，x＝22.5m/s＝81km/h，y＝15m/s＝54km/h.答：快车和慢车每小时分别行81km、54km.点评　画出示意图，反映出快慢车的行程之间的关系，从中易找出两个相等关系，从而解决问题．四、盈亏问题例5　某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住6人，则有3人住不下；若每间住8人，则有一间住3人，且空2间宿舍，则该年级有多少寄宿生？有几间宿舍？解析　本题有以下两个等量关系：①6×宿舍间数＝寄宿生数－3；②8×(宿舍间数－3)＝寄宿生数－3.解　设该年级寄宿生人数为x人，宿舍y间．根据题意，得6y＝x－3，8(y－3)＝x－3，解这个方程组，得x＝75，y＝12.\n答：该年级有寄宿生75人，宿舍有12间．点评　解这类问题的关键是从盈(过剩)、亏(不足)两个角度来把握事物的总量．五、顺逆问题例6　两地相距280km，一艘轮船在其间航行，顺流用了14h，逆流用了20h，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速．解析　本题有以下两个相等关系：①(轮船在静水中的速度＋水的流速)×14＝280；②(轮船在静水中的速度－水的流速)×20＝280.解　设船在静水中的速度为xkm/h，水的流速为ykm/h，根据题意，得(x＋y)×14＝280，(x－y)×20＝280，解得x＝17，y＝3.答：轮船在静水中的速度为17km/h，水的流速为3km/h.点评　解决此类问题的关键是把握两个基本关系式：①顺流(风)航行的速度＝静水(无风)中的速度＋水(风)速；②逆流(风)航行的速度＝静水(无风)中的速度－水(风)速.六、年龄问题例7　现在父亲的年龄是儿子年龄的5倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？解析　本题有以下两个相等关系：(1)现在父亲年龄＝儿子年龄×5；(2)现在父亲年龄＋6＝(儿子年龄＋6)×3.解　设父亲现在x岁，儿子现在y岁，根据题意，得x＝5y，x＋6＝3(y＋6)，解得x＝30，y＝6.答：现在父亲和儿子的年龄分别为30岁和6岁．点评　解这类问题的关键是抓住两个人的年龄增长数相等，两个人的年龄差是永远不会变的．七、工程问题例8　一项工程，甲、乙两人合作8天可完成任务，若甲独做6天后剩下的工程由乙独做，还需12天才能完成，甲、乙两人单独完成此工程各需多少天？解析　根据甲、乙两人工作量之和＝总工作量列方程组．解　设甲单独完成此工程需要x天，乙单独完成需y天．根据题意，得1,x＋1,y＝1,8，6,x＋12,y＝1.令1,x＝a，1,y＝b，则a＋b＝1,8，6a＋12b＝1，解得a＝1,12，b＝1,24.所以1,x＝1,12，1,y＝1,24.所以x＝12，y＝24.答：甲单独完成此工程需12天，乙单独完成此工程需24天．点评　解此类问题是根据以下相等关系列方程组．(1)工作效率×工作时间＝工作量．(2)各部分工作量之和＝总工作量．八、图表信息问题例9　根据设计好的表格填写，并列方程组解一个两位数，已知这个两位数的个位数字比十位数字大5，如果把这两个数字的位置对调，那么所得的数与原数的和是143，设原数的个位数字为x，十位数字为y.求这个两位数．,个位数字的意义,十位数字的意义原来的数字,x,10y\n调换后的数字　　解　依次填y、10x，由题意，得x－y＝5，10y＋x＋10x＋y＝143.解得x＝9，y＝4.答：这个两位数是49.点评　以列表作为建模策略，画表格时，通常可以填写已知的量，然后填写所设未知数的量，再根据两个相等关系列方程组求解．例10　一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知以前租用这两种货车的情况如下表：,第一次,第二次甲货车辆数/辆,2,5乙货车辆数/辆,3,6累计运货质量/t,15.5,35　　现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车可以一次刚好运完这批货物，如果按每吨支付30元运费计算，货主应支付运费多少元？解析　本题有两个未知数：甲、乙两种货车每辆的载重吨数．两个相等关系：①2辆甲货车载重吨数＋3辆乙货车载重吨数＝15.5t；②5辆甲货车载重吨数＋6辆乙货车载重吨数＝35t.解　设甲货车每辆运货xt，乙货车每辆运货yt.由题意，得2x＋3y＝15.5，5x＋6y＝35.解得x＝4，y＝2.5.所以30×(3×4＋5×2.5)＝735(元)．答：货主应支付运费735元．点评　要学会审读图表，从中确定问题中的两个相等关系．九、方案设计问题例11　某食品厂现有面粉90t，若在市场上直接销售，每吨可获利500元；制成方便面销售，每吨可获利1200元；制成饼干销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：制作方便面每天可加工30t；制作饼干每天可加工10t.受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受资金周转的限制，这批面粉必须在4天内全部加工或者销售完毕．为此，该厂设计了两种可行方案．方案一：尽可能多地制作饼干，其余直接销售；方案二：将一部分制作成饼干，其余的制作成方便面销售，两种恰好在4天内完成．你认为选择哪种方案获利较多？列方程组解决．解析　弄清题意，理解设计的方案，方案一：4天全部用来生产饼干，其余的面粉直接销售可算出其利润．方案二：一部分制作成饼干，其余制作成方便面，两种恰好4天内完成并且两种加工方式不能同时进行，则这里有两个未知数：加工成饼干用的天数，加工成方便面用的天数；有两个相等关系：天数之和＝4天；面粉之和＝90t.求出未知数，再算出利润．解　方案一：4×10×2000＋(90－4×10)×500＝105000(元)．方案二：设加工饼干用x天，加工方便面用y天．由题意，得x＋y＝4，10x＋30y＝90.解得x＝1.5，y＝2.5.利润为：1.5×10×2000＋2.5×30×1200＝120000(元)．答：选择第二种方案获利较多．点评　分类讨论是一种重要的数学思想方法，认真领会，运用所学知识解决问题．十、综合型问题例12　学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种型号的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A\n型毛笔不超过20枝时，按零售价销售；超过20枝时，超过部分每枝比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15枝时，按零售价销售；超过15枝时，超过部分每枝比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．(1)如果全组共有20名同学，若每人各买1枝A型毛笔和2枝B型毛笔，共支付145元；若每人各买2枝A型毛笔和1枝B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B两种型号毛笔的零售价各是多少？(2)为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少枝，一律按原零售价[即(1)中所求得的A型毛笔的零售价]的90%出售．现要购买A型毛笔a枝(a＞40)，在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？请说明理由．解析　(1)仔细分析题目，不难发现两个相等关系：①20枝A型毛笔的钱＋40枝B型毛笔的钱＝145元；②40枝A型毛笔的钱＋20枝B型毛笔的钱＝129元．弄清相等关系中各个量的表示：20枝A型毛笔的钱就是20×A型毛笔的零售单价，40枝B型毛笔的钱是15枝的零售价与25枝优惠后的价钱之和，40枝A型毛笔的钱是20枝的零售价与20枝优惠后的价钱之和，20枝B型毛笔的钱是15枝零售价与5枝优惠后的价钱之和；(2)采用作差比较法．解　(1)设A型毛笔每枝x元，B型毛笔每枝y元，根据题意，得：20x＋15y＋25(y－0.6)＝145，20x＋20(x－0.4)＋15y＋5(y－0.6)＝129.解得x＝2，y＝3.答：A型毛笔的零售价为2元，B型毛笔的零售价为3元．(2)如果按原销售方法购买a枝A型毛笔共需y1元，则y1＝20×2＋(a－20)(2－0.4)＝1.6a＋8.如果按新方法购买a枝A型毛笔共需y2元，则y2＝a×2×90%＝1.8a.y1－y2＝1.6a＋8－1.8a＝8－0.2a.因为a＞40，所以0.2a＞8，所以8－0.2a＜0，所以y1－y2＜0，所以y1＜y2.答：用原来的方法购买花钱较少．1.某木工厂有28个工人，2人一天可加工3张桌子，3人一天可加工10把椅子，现应如何安排工人生产使桌子和椅子配套？(1张桌子配4把椅子)2.某商场购进商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销活动，让顾客抽奖决定折扣．王华的妈妈为王华购买了一双旅游鞋和一个旅行包，分别抽到七折和九折，共付款109.2元，两种商品原销售价之和为140元，旅游鞋和旅行包进价各多少元？3.某工厂去年的利润(总产值－总支出)为200万元，今年的总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？\n4.中小学实施“减负”后，某市对初中毕业班的调查显示，今年人均购买复习用书和科技书刊共用了86元，比去年降低14%，其中复习用书减少60%，科技书刊是去年的5倍，去年学生购买复习用书和科技书刊各用多少元？5.一列火车长300m，某人如果和火车同向而行，经过18s整列火车从该人身旁驶过；如果该人和火车相向而行，经过15s整列火车从该人身旁驶过，求该人和火车的速度．6.一列快车长168m，一列慢车长184m，如果两车相向而行，那么两车错车需要4s；如果同向而行，两车错车需16s，求两车的速度．\n7.用若干节车皮装货物，若每节装15.5t，则有4t装不下；若每节装16.5t，则还可以多装8t.求用了多少节车皮？货物共有多少吨？8．某人在规定的时间内从甲地赶往乙地，若他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24min；若他以每小时75千米的速度行驶，则可提前24min到达乙地．求甲、乙两地间的距离．9．A、B两城市航线长1500km，一架飞机从A城顺风飞行到B城需2h，从B城返回A城需3h，求这架飞机无风时的飞行速度和风的速度．\n10.甲：“我是你现在这么大时，你过7年才出生”；乙：“我是你现在这么大时，你已经50岁了”．问甲、乙两人现在的年龄分别是多少？11．一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，如果这个两位数加上36，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数．求原两位数．12.小李骑摩托车在公路上匀速行驶，早上7：00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9.早上8：00时看到里程碑上的两位数与7：00时看到的个位数字和十位数字颠倒了.9：00时看到里程碑上的数是7：00时看到的数的8倍．小李在7：00时看到的数是多少？13.甲、乙两盒中有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒的球数就是甲盒球数的6倍；若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒的球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲、乙两盒原来的球数．14.某种植大户计划安排10个劳动力来耕作30亩地，这些土地可以种蔬菜也可以种水稻，种这些农作物所需的劳动力及预计产值如下表：,每亩所需的劳动力/个,每亩预计产值/元蔬　菜,1,2,3000水　稻,1,4,700为了使所有土地都种上农作物，全部劳动力都有工作，应分别安排种蔬菜和水稻的劳动力各多少个？这时的预计产值为多少元？\n\n15.某校七(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，求x、y的值．16.某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助．资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与被捐助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：年　级,捐款数额/元,捐助贫困中学生人数/名,捐助贫困小学生人数/名七年级,4000,2,4八年级,4200,3,3九年级,7400(1)求a、b的值；(2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生的学生费用，求九年级学生捐助的贫困中、小学生人数．\n17.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140t，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加工方式不能同时进行．受季节的条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？18.A、B两家超市同时销售同一品牌的随身听和书包，同一品牌的商品标价都一样．随身听和书包的单价之和是452元，随身听的单价是书包的单价的4倍少8元．(1)随身听和书包的单价各是多少元？(2)元旦期间商家促销，A超市所有商品打八折销售，B超市全场购物满100元返购物券30元(购物不足100元，不返券，购物券全场通用)．如果小明想购买这种品牌的随身听和书包，在哪一家超市购买更省钱？\n19.某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场上推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元，公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装的车辆每天的燃烧费占剩下来未改装车辆每天燃料费用的3,20，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的2,5.(1)公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？(2)若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？1．设安排x人加工桌子，y人加工椅子，根据题意，得：x＋y＝28，4×3,2x＝10,3y，解得x＝10，y＝18.2.设旅游鞋进价每双x元，旅行包进价每个y元，根据题意，得x(1＋40%)＋y(1＋40%)＝140，x(1＋40%)·70%＋y(1＋40%)·90%＝109.2，解得x＝60，y＝40.3.设去年的总产值为x万元，总支出为y万元．根据题意，得x－y＝200，(1＋20%)x－(1－10%)y＝780，解得x＝2000，y＝1800.4.设去年学生购买复习用书x元，科技书刊y元．根据题意，得(x＋y)(1－14%)＝86，86－x(1－60%)＝5y，解得x＝90，y＝10.5.设火车的速度为xm/s，人的速度为ym/s.根据题意，得18x－18y＝300，15x＋15y＝300，解得x＝55,3，y＝5,3.6.设快车的速度为xm/s，慢车的速度为ym/s.根据题意，得4x＋4y＝168＋184，16x－16y＝168＋184，解得x＝55，y＝33.7.设用了x节车皮，货物共有yt，根据题意，得15.5x＋4＝y，16．5x－8＝y，解得x＝12，y＝190.8．设从甲地到乙地的距离为x千米，规定时间为y小时，\n根据题意得：x＝y＋2,5×50，x＝y－2,5×75，解得x＝120，y＝2.9．设飞机在无风时的速度为xkm/h，风的速度为ykm/h，根据题意，得：2(x＋y)＝1500，3(x－y)＝1500，解得x＝625，y＝125.10．设现在甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据题意，得：y－(－7)＝x－y，50－x＝x－y，解得x＝31，y＝12.11．设原两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意，得：x＋y＝8，10x＋y＋36＝10y＋x，解得x＝2，y＝6.这个两位数为26.12.设小李在7：00看到的数的个位数字为x，十位数字为y.根据题意，得x＋y＝9，10x＋y－(10y＋x)＝8(10y＋x)－(10x＋y)，解得x＝8，y＝1.所以小李在7：00看到的数字是18.13.设甲盒中原有小球x个，乙盒中原有y个，根据题意，得y＋10＝6(x－10)，y－10＝3(x＋10)＋10，解得x＝40，y＝170.14.设x亩土地种蔬菜，y亩土地种水稻．根据题意，得x＋y＝30，1,2x＋1,4y＝10，解得x＝10，y＝20.所以种蔬菜的劳动力为：1,2×10＝5(个)，种水稻的劳动力为：1,4×20＝5(个)．预计产值为：10×3000＋20×700＝44000(元)．15.根据题意，得x＋y＝40－6－7，2x＋3y＝100－6－28，解得x＝15，y＝12.16.(1)根据题意，得2a＋4b＝4000，3a＋3b＝4200，解得a＝800，b＝600.(2)设九年级学生捐助的贫困中学生有x人，小学生有y人．根据题意，得x＋y＝23－12，800x＋600y＝7400，解得x＝4，y＝7.17.方案一：140×4500＝630000(元)．方案二：15×6×7500＋(140－15×6)×1000＝725000(元)．方案三：设精加工x天，粗加工y天．根据题意，得x＋y＝15，6x＋16y＝140，解得x＝10，\ny＝5.利润：10×6×7500＋5×16×4500＝810000(元)．所以方案三获利最多．18.(1)设书包的单价为x元，随身听的单价为y元．根据题意，得x＋y＝452，4x－y＝8，解得x＝92，y＝360.(2)在A超市购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6(元)．在B超市购买可花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元购物券，加上2元现金购买书包，总计花费现金：360＋2＝362(元)．因为362＞361.6.所以在A超市购买更省钱．19.(1)设公司第一次改装了y辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x.根据题意，得y(1－x)×80＝3,20×(100－y)×80，2y(1－x)×80＝2,5×(100－2y)×80，解得y＝20，x＝40%.(2)设一次性改装后，m天可收回成本，则100×80×40%×m＝4000×100，所以m＝125.阿基米德称皇冠公元前三世纪，叙拉古的赫农王有顶金皇冠，重12磅．他怕皇冠里被首饰匠偷掺了银子，于是他让数学家阿基米德验证这个问题．阿基米德接受了国王的请求，他先称了一块重12磅的纯金和重12磅的纯银，再称出它们在水中的重量分别为1113,32磅和117,64磅．然后他又把皇冠浸入水中称得重量为1143,128磅．有了这些数据，他算出了皇冠不是纯金的，并算出了其中纯金的量与掺进的纯银的量．你知道阿基米德是怎样计算的吗？请你试一试．练一练(P94)1.设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆．根据题意，得x＋y＝50，6x＋4y＝230，解得x＝15，y＝35.2.设精加工蔬菜xt，粗加工蔬菜yt.根据题意，得x＋y＝150，x,5＋y,15＝14，解得x＝30，y＝120.练一练(P96)1.设每节火车车皮平均装物资xt，每辆汽车平均装物资yt.根据题意，得6x＋15y＝360，8x＋10y＝440，解得x＝50，y＝4.2.因为2×100×1.8×90%＝324,324＜342，所以一次邮购杂志的册数少于100，另一次邮购杂志的册数多于100.设一次邮购杂志x册，另一次邮购杂志y册．根据题意，得1.8×(1＋10%)x＋1.8×(1－10%)y＝342，x＋y＝200.解得x＝50，y＝150.练一练(P97)1.设这个梯形的上底为xcm，下底为ycm，根据题意，得x－1,3y＝1，\n4(x＋y)÷2＝18，解得x＝3，y＝6.2.设平均每天往甲地送水x万m3，平均每天往乙地送水y万m3.根据题意，得3x＋2y＝84，5x＋2y＝120，解得x＝18，y＝15.习题10.4(P97)1.设小明的跑步速度为xm/s，小亮的跑步速度为ym/s.根据题意，得40x＋40y＝400，200x－200y＝400，解得x＝6，y＝4.2.设驴驮x口袋货物，骡驮y口袋货物．根据题意，得y＋1＝2(x－1)，y－1＝x＋1，解得x＝5，y＝7.3.设在3.2t原料中，石英砂有xt，长石粉有yt.根据题意，得x＋y＝3.2，95%x＋63%y＝3.2×70%，解得x＝0.7，y＝2.5.4.设原来这块合金中含甲种金属xkg，则这种合金中含乙种金属(10－x)kg，第一次加入的甲种金属ykg.根据题意，得x＋y＝3,5(10＋y)，x＋2y＝7,10(10＋2y),解得x＝4，y＝5.所以第一次加入的甲种金属5kg，原来这块合金中含甲种金属40%.5.设学校去自然保护区的路途中，平路为xkm，上山的坡路为ykm.根据题意，得x,60＋y,30＝6.5，x,50＋y,40＝6，解得x＝150，y＝120.所以学校距自然保护区有270km.6.设有x支篮球队参赛，有y支排球队参赛．根据题意，得x＋y＝24，10x＋12y＝260，解得x＝14，y＝10.7.设食堂里的存煤共有xkg，计划用y天．根据题意，得x＝130y－60，x＝120y＋60，解得x＝1500，y＝12.\n本章总结本章主要学习了二元一次方程(组)的意义及相关知识，二元一次方程组的两种解法，列二元一次方程组解应用题，利用二元一次方程组确定一次函数关系式，其知识间结构如下：丰富的问题情境二元一次方程组含义应用解法代入消元法加减消元法本章内容是中考的热点内容之一，大多考查二元一次方程组的解法和列方程组解应用题，主要以填空题、选择题、解答题的形式出现．一、二元一次方程的解例1　(南京)已知x＝1，y＝2是方程ax－3y＝5的一个解，则a＝________.解析　根据二元一次方程的解的定义，将x＝1，y＝2代入，可将ax－3y＝5转化为关于a的一元一次方程，解出a.答案　11点评　中考常以填空题、选择题的形式考查基本概念等基础知识，基础知识的牢固掌握也是做综合运算的前提．二、二元一次方程组的解法例2　(常州)解方程组：2x＋y＝2，　　①3x－2y＝10.　②解析　可以用代入法或消元法求解．解　解法一：把①变形为y＝2－2x，代入②，得：3x－2(2－2x)＝10，解得x＝2，把x＝2代入①，得y＝－2.故原方程的解为x＝2，y＝－2.解法二：由①×②＋②得：7x＝14，x＝2，把x＝2代入①得：y＝－2，故原方程的解为x＝2，y＝－2.点评　当有一个式子的未知数的系数为1时，常用代入法，但是当两个二元一次方程中某个未知数的系数相等或相反时，可以用消元法，这两种方法要认真体会．例3　(无锡)已知方程组4x＋y＝3，3x＋2y＝2，则x－y的值是(　　)A．1B．－1C．0D．2解析　可用两种解法求x－y的值，一是解方程组求得x、y，再求x－y，二是直接将两个二元一次方程相减得x－y＝1.答案　A点评　本题主要考查学生的观察能力，从测试的角度看，本题可测度不同思维层次的学生．三、二元一次方程组的应用例4　(济宁)请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗中读到的鸦为________只，树为________棵．解析　正确理解题目意思，题目是说：一群乌鸦栖息在树上，乌鸦和树的数目都不知道，如果一棵树上栖息三只乌鸦，那么五只乌鸦没树可以栖息；如果一棵树上栖息五只，那么有一棵树上没有乌鸦，问乌鸦有几只，树有多少棵．设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可得：\n3y＋5＝x，5(y－1)＝x，解得x＝20，y＝5.答案　20　5点评　近几年中考题中，学科间的融合越来越多，正确审题、理解题意是解决问题的关键．例5　(常州)甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：\n购买苹果数,不超过30kg,30kg以上但不超过50kg,50kg以上每千克价格,3元,2.5元,2元　　甲班分两次共购买苹果70kg(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg.(1)乙班比甲班少付出多少元？(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？解析　分清表中不同的苹果价格对购买数量的要求．(1)可以直接算出乙班购买苹果付出的钱，再与甲班作比较；(2)甲班两个相等关系是：第一次买的苹果数＋第二次买的苹果数＝70kg；第一次买的苹果钱＋第二次买的苹果钱＝189元．但要注意第一次和第二次购买苹果的数量范围对苹果价格的影响，故需分类讨论．解　(1)乙班共付出70×2＝140(元)，189－140＝49(元)．所以乙班比甲班少付出49元．(2)设甲班第一次买xkg，第二次买ykg(x＜y且x＜35)．①当x≤30时，y＞30时，有x＋y＝70，3x＋2.5y＝189或x＋y＝70，3x＋2y＝189.解得x＝28，y＝42或x＝49，y＝21；(不合题意，舍去)②当30＜x＜35时，35＜y＜40时，有x＋y＝70，2．5x＋2.5y＝189，此方程组无解．所以甲班第一次购买苹果28kg，第二次购买苹果42kg.点评　本题的背景是学生所熟悉的有关销售中量大优惠的问题，要求学生能从文字和表格中正确提取相关信息，考查学生阅读理解的能力，收集整理信息的能力，同时本题还考查了数学分类的思想，考查学生的思维的严密性．例6　(广州)为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．(1)在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？(2)若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元(结果保留两位有效数字)?解析　(1)本题中有两个未知量：销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱的台数；有两个相等关系：①启动活动前一个月两种型号的冰箱共售出960台；②启动活动后的第一个月两种型号的冰箱共售出1228台，由此可列出方程组；(2)计算出售出的1228台冰箱的总售价后乘以13%即可得出政府共补贴多少元．解　(1)设在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为x台和y台，根据题意，得：x＋y＝960，x(1＋30%)＋y(1＋25%)＝1228，解这个方程组得：x＝560，y＝400.所以在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为560台和400台．(2)[560(1＋30%)×2298＋400(1＋25%)×1999]×13%＝(728×2298＋500×1999)×13%＝2672444×13%\n＝347417.72≈3.5×105(元)．所以启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了3.5×105元．点评　列方程(组)解应用题的关键是读懂题意，找出题目中存在的等量关系，根据等量关系列方程．本题以“家电下乡”为背景，具有很强的时代意义．例7　(江苏)一辆汽车从A地驶往B地，前1,3路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.请你根据以上信息，就汽车行驶的“路程”或“时间”提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．解析　答案不唯一，不管选定“路程”还是“时间”都要找到其中的两个未知数，再紧抓住两个相等关系：①高速公路的长度是普通公路的2倍；②汽车在普通公路与高速公路上行驶的时间的和为2.2h.列出方程组求解．解　问题一：普通公路和高速公路分别为多少千米？解：设普通公路长xkm，高速公路长ykm.由题意，得：2x＝y，x,60＋y,100＝2.2，解得x＝60，y＝120.即普通公路长60km，高速公路长120km.问题二：汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少小时？解：汽车在普通公路上行驶了xh，在高速公路上行驶了yh.由题意，得：x＋y＝2.2，60x×2＝100y，解得x＝1，y＝1.2.即汽车在普通公路上行驶了1h，在高速公路上行驶了1.2h.点评　这是一道开放题，除了考查学生审题的能力，还考查了学生思维的活跃性．例1　下面满足解是x＝1，y＝2的方程组是(　　)A．3x＋y＝7，x－y＝1B．3x＋y＝5，x－y＝3C．x－y＝－1，3x＋y＝5D．x－y＝3，3x－y＝1错解　B错因分析　x＝1，y＝2满足方程3x＋y＝5.认为它就是方程组的解，应该注意要同时满足两个方程，因为x＝1，y＝2不满足x－y＝3，所以x＝1，y＝2不是3x＋y＝5，x－y＝3的解．正解　C例2　解方程组：4x＋2y＝8，x－3y＝－5.　①②错解　②×4，得4x－12y＝－20.　③①－③，得－10y＝－12，y＝6,5.将y＝6,5代入②，得x＝－5＋3×6,5＝－7,5.\n所以方程组的解为x＝－7,5，y＝6,5.错因分析　用减法消元时，减去一个负系数，总以为这个“－”系数就是减号．这样实质是做了加法，上面①－③中2y－(－12y)就错变成2y－12y,8－(－20)错变成8－20，因此答案错误．本题用代入法解，不易错．正解　②×4，得4x－12y＝－20.　③①－③，得14y＝28，y＝2.将y＝2代入②，得x＝1.所以原方程组的解为x＝1，y＝2.复习题(P100)1.y＝－2,3x＋4,3，k＝－2,3，m＝4,3.2.方程5x－3y＝4有正整数解，如x＝2，y＝2；　x＝5，y＝7；　x＝8，y＝12等等．3.(1)x＝6，y＝－3　(2)x＝2，y＝1　(3)x＝－38，y＝－31　(4)x＝－5,4，y＝－10,3　(5)x＝4,3，y＝0　(6)x＝175，y＝1254.根据题意，得21－a＝16，14＋b＝15，解得a＝5，b＝1.5.根据题意，得x＋y＝0，2x－y＝3，解得x＝1，y＝－1.6.根据题意，得y－10＝z，y＋4＝15z，解得y＝11，z＝1.7.设这个梯形的上底为xcm，下底为ycm.根据题意，得y＝2x＋2，1,2×6×(x＋y)＝42，解得x＝4，y＝10.8.设100元的人民币有x张，20元的人民币有y张．根据题意，得x＋y＝33，100x＋20y＝1620，解得x＝12，y＝21.9.设师傅每小时检修xm，徒弟每小时检修ym.根据题意，得x－y＝10，3x＋3y＝270，解得x＝50.y＝40.10.设小明每小时行xkm，小丽每小时行ykm.根据题意，得x＋y＝36，36－1.5x＝2(36－1.5y)．解得x＝16，y＝20.11.设杨树种植了x棵，松树种植了y棵．\n根据题意，得x＝1,2(x＋y)＋11，y＝1,3(x＋y)－2，解得x＝38，y＝16.12.设一共有x名学生，y本书．根据题意，得y＝4x＋4，y＝5(x－1)＋3，解得x＝6，y＝28.13.设这两件衬衫的售价分别为x元、y元．根据题意，得x＋y＝210，80%x＋90%y＝182，解得x＝70，y＝140.14.设这家商店每枝铅笔的批发价是x元，每块橡皮的批发价是y元．根据题意，得60(x＋0.05)＋30(y＋0.10)＝30，90x＋60y＝40.5，解得x＝0.25，y＝0.3.15.答案不唯一，例如x＋y＝3，x－y＝－5.16.设起初公路里程碑上的两位数的十位数字是x，个位数字是y，汽车每小时行驶的路程是s.根据题意，得10y＋x＝10x＋y＋s，100x＋y＝10x＋y＋2s，解得x＝1,45s，y＝6,45s，则y＝6x，只有当x＝1，y＝6时，符合题意，因此这块里程碑上的数分别是16、61、106.\n　　第十一章　图形的全等11．1　全等图形知识点　全等图形的概念能完全重合的图形叫做全等图形．例　举两个生活中全等图形的例子．解析　日常生活中，处处可见到全等图形，我们可根据全等图形的定义——能够完全重合来判断．解　同一底片冲洗出来的两张照片．大小相同的五星红旗．友情提醒　生活中全等图形的例子无处不在，只要我们细心观察、正确运用全等图形的定义，便可找出它们．教材中的“？”解答议一议(P105)1．图中的全等图形有：(1)与(11)，(2)与(9)，(3)与(10)，(4)与(7)．(6)与(12)虽形状相同，但大小不同；(5)与(8)大小相同(面积相同)而形状不同，它们都不是全等图形．2．(1)这种图案是将花通过平移而成的．(2)图中2个图是全等形，而每个图中的两个大的等边三角形也是全等的，12个小三角形也是全等形，还能找到全等的平行四边形、等腰梯形等．(3)图中两个交通警示标志，标志中的自行车是全等的，两个三角形也是全等形，在图中还能找出其他的全等图形．一、基本概念应用题例1　图中全等的图形是(　　)解析　由全等图形的定义不难发现，B中的两个图形经过旋转后能够完全重合．答案　B点评　全等图形的特征是形状相同、大小相等，只要牢牢抓住这两个特征，不难解决这类问题．例2　你能把如图所示的正方形分成下列图形吗？(1)两个全等的三角形；(2)四个全等的三角形；(3)两个全等的长方形；(4)四个全等的正方形．解析　根据全等图形的特征：形状相同，大小相等，结合图形的特征进行划分．————————————————————————第十一章　图形的全等解　如图①②③④分别是：划分的两个全等的三角形；四个全等的三角形；两个全等的长方形；四个全等的正方形．点评　解答这类题的要领是：要么从对称轴入手，要么从对称中心入手．二、开放题例3　如图是由正方形方格拼成的，请你沿着虚线，把这个图形划分为两个全等图形(至少找出两种方法)．解析　本题关键除了要正确应用全等的定义外，还要注意划分的两个图形经过平移、旋转、对称变换之后能完全重合．解　如图是几种可能的划分方案．点评　原图中共有12个小正方形．若要求将图形分成2个全等图形，那么每个图形都由6个小正方形组成．\n三、探索与创新题例4　现有由边长为1的正方形拼成的图形，如图①所示，请把它分割后拼接成一个新的正方形．要求：在如图①所示的图形中画出分割线(虚线)，并在如图②所示的正方形网格中(图中每个小正方形的边长均为1)用实线画出拼成的新正方形．解析　先保持4个小正方形拼成的正方形不动，其余的6个小正方形分成4个全等的三角形镶嵌在正方形四周．解　分割线(虚线)如图③所示，所拼图形如图④所示．例5　玩具店有A、B、C三种型号的拼板，如图①，其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元，小明现在想拼一个与图②6×6的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明买材料要用多少元？解析　结合图形可以知道，用12块A型板、12块B型板、9块C型板分别可以拼出与正方形全等的图案，再分别计算出价格即可．解　只选用A型材料，需花3×12＝36(元)；只选用B型材料，需花4×12＝48(元)；只选用C型材料，需花5×9＝45(元)．点评　解决这类问题，关键是从拼成图形的面积入手．本题需先考虑图形的各边长，再选择用哪一种拼板来拼．1.下列说法中，正确的是(　　)A．全等图形的面积相等B．面积相等的两个图形是全等图形C．形状相同的两个图形是全等图形D．周长相等的两个图形是全等图形2.找出下面图形中的全等图形．3.如图①，做四个全等的小“Z”型纸片，将它们拼成如图②的花盆形状．(用虚线表示拼法)4.如图，你会把它分成四个全等的图形吗？试一试．5.如图，正方形中有12棵树，请你把这个正方形划分为四小块，要求每块的形状、大小都相同，并且每块中恰好有三棵树．6.如图，用24根火柴拼成一个“回”字，请你想一想，怎样移动4根火柴，使它变成2个面积相等的正方形．7.某单位要在一块圆形空地上种4种颜色的花．为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占面积相同、形状相同．请在如图所示的圆中画出两种设计方案．8．现有由5个边长为1的正方形拼成的图形，如图①所示，请把它分割后拼接成一个新的正方形，要求在图①中画出分割线(虚线)，在图②所示的正方形网格(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼成的新正方形．\n1.A2.①与⑧，②与⑥，③与⑨，⑤与⑦，B13与B14是全等形．3.如图．,(第3题)　　　　　,(第4题)4．如图．5．如图．,(第5题)　　　　　,(第6题)6.如图．7.答案不唯一，如图．,(第7题)　　　　　,(第8题)8．如图．魔术师的地毯一个魔术师拿着一块边长为8m的正方形地毯去找一个地毯匠，要地毯匠把地毯改成长为13m、宽为5m的长方形地毯，地毯匠算了算：面积由64m2改成65m2，认为这是不可能的事情，可是魔术师却说：“你按我的办法剪裁，保证没问题．”魔术师拿出一张图给地毯匠看，按图①中粗线裁剪后，得到两个全等的直角梯形和两个全等的直角三角形，然后按照图②就可拼成一个5×13(m2)的长方形，地毯匠横看竖看，始终看不出破绽，但又不敢下剪刀，聪明的同学们，你们明白究竟是怎么回事吗？练一练(P106)如图：　习题11.1(P107)1.图中的全等图形有：2个大三角形，6个小三角形，3个平行四边形……2.(1)①②中的3个三角形分别全等，③④中的3个三角形分别全等，①③④中的圆全等．(2)四个图形中的圆，2个小三角形和2个大三角形，2个矩形和正方形都分别全等．3.分割方法如图．4.分割方法如图．\n11．2　全等三角形知识点一　全等三角形及其相关概念两个能重合的三角形是全等三角形．用“”表示，如△ABC和△DEF全等，记作：△ABC△DEF.读作：△ABC全等于△DEF.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．例1　如图，已知△ABC△ABD，且AC和AD是对应边，指出对应角和另外的两组对应边．解析　已知条件已标记好两个三角形全等，则题中隐含了字母的对应关系，因此可确定对应边、对应角．解　因为△ABC△ABD，所以对应角：∠ABC和∠ABD，∠C和∠D，∠CAB和∠DAB；对应边：BC和BD，AC和AD，AB和AB.友情提醒　在表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样就容易找出对应边、对应角．知识点二　全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等．例2　如图，△ABC△ADE，∠EAC＝50°，求∠BAD的度数．解析　由△ABC△ADE，可知∠BAC＝∠DAE.再结合图形有∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即得∠BAD＝∠EAC.解　因为△ABC△ADE，所以∠CAB＝∠EAD.所以∠CAB－∠EAB＝∠EAD－∠EAB，即∠EAC＝∠BAD.又因为∠EAC＝50°，所以∠BAD＝50°.友情提醒　利用“全等三角形的对应角相等”，并结合三角形三个内角之间的关系是探求图形中角的度数的关键．例3　如图，已知△ADE△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，求BD的长．解析　由△ADE△BCF，得BC＝AD＝6cm，那么BD＝BC－CD＝1(cm)．解　因为△ADE△BCF，所以AD＝BC，所以AD－CD＝BC－CD，即AC＝BD.又AD＝6cm，CD＝5cm，因此BD＝AD－CD＝1(cm)．友情提醒　本题关键是利用“全等三角形的对应边相等”这一性质．知识点三　全等变换如图①，把△ABC沿直线BC移动线段BC长的距离可以变到△ECD的位置；如图②，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图③，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素．以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换．例4　如图，△ABC△DEF，你能设法将△ABC经过平移或翻折或旋转后，使之与△DEF重合吗？说说你的做法．\n解　将△ABC向左平移CF长，然后将△ABC绕点C(点C与点F重合)顺时针旋转180°，就与△DEF重合．例5　如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得△ADE，已知∠C＝40°，∠B＝35°，求△ADE各内角的度数．解析　旋转前后的图形是一对全等图形，即△ABC△ADE，得∠D＝∠B，∠E＝∠C，再由三角形的内角和不难求出∠DAE的度数．解　由题意可得△ABC△ADE，所以∠D＝∠B＝35°，∠E＝∠C＝40°，所以∠DAE＝180°－∠D－∠E＝105°.友情提醒　旋转变换是一种重要的全等变换，旋转前后的图形是全等的．教材中的“？”解答说一说(P108)思路点拨：根据全等三角形的性质说出对应角、对应边．解答：对应边：AB和DE，AC和DF，BC和EF.对应角：∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F.做一做(P109)思路点拨：动手操作，认真观察两个三角形的位置变化，体会并理解平移、翻折、旋转变换的本质，活动按“操作——观察——作答”的顺序进行．解答：1.略2．△ABC△DEF　△ABC△DBC(或△DEF)　△ABC△DEC(或△DEF)3．对应角：∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F；∠A和∠D，∠ABC和∠DBC(或∠DEF)，∠ACB和∠DCB(或∠DFE)；∠A和∠D，∠B和∠E，∠ACB和∠DCE(或∠DFE)．对应边：AB和DE，BC和EF，AC和DF；AB和DB(或DE)，BC和BC(或EF)，AC和DC(或DF)；AB和DE，AC和DC(或DF)，BC和EC(或EF)．一、角度计算问题例1　如图，△ABC△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，试求∠DFB和∠DGB的度数．解析　根据“全等三角形对应角相等”的性质，并结合三角形的内角和进行计算求解．解　因为△ABC△ADE，所以∠DAE＝∠BAC.所以∠DAE＝∠BAC＝1,2×(∠EAB－∠CAD)＝1,2×(120°－10°)＝55°.所以∠DFB＝∠FAB＋∠B＝∠FAC＋∠CAB＋∠B＝10°＋55°＋25°＝90°.∠DGB＝∠DFB－∠D＝90°－25°＝65°.所以∠DFB和∠DGB的度数分别为90°和65°.点评　在求角的度数时，应当利用三角形全等、外角定理、内角和定理逐步将所求角与已知角联系起来．二、线段求值问题例2　如图，△ACF与△DBE全等，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7，求线段AB的长．解析　应用全等三角形的性质及等式性质解决问题．解　由题意可得△ACF△DBE，所以AC＝DB.所以AC－BC＝DB－BC，所以AB＝DC.又AD＝11，BC＝7，所以AB＝DC＝1,2(AD－BC)＝1,2×4＝2.三、折叠问题\n例3　如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若BC＝8cm，∠BAF＝40°，求∠DAE的度数与AF的长度．解析　因为折叠后△AFE与△ADE完全重合，所以△AFE△ADE，可以得到AF＝AD，∠FAE＝∠DAE.又因为长方形的对边相等，每个角都是直角，所以可求出角度与线段长度．解　由题意可得△AFE△ADE，所以AF＝AD，∠FAE＝∠DAE.在长方形ABCD中，AD＝BC＝8cm，∠DAF＝90°－∠BAF＝50°，所以AF＝8cm，∠DAE＝1,2∠FAD＝25°.点评　折叠问题的关键是弄清楚在折叠过程中发生了什么变化，有没有全等三角形，根据这些来进行解题．四、全等变换问题例4　如图，△ABC△DEF，B与E，C与F是对应顶点，应通过怎样的全等变换可以使它们重合？并指出它们相等的边和角．解析　使两个图形完全重合的方法有三种：一是平移，沿着某条边的方向平行移动；二是翻转，沿着某条直线翻转180°得到；三是旋转，以某个点为中心，把图形旋转一个角度．解　把△DEF沿EF翻折180°，再把翻折后的三角形沿CB方向平移，使点E与点B重合，则△DEF就与△ABC重合．相等的边有：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF.相等的角有：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.五、探究开放题例5　如图，△ABC绕着点B顺时针旋转90°到△DBE，且∠ABC＝90°.(1)△ABC和△DBE是否全等？指出对应边和对应角；(2)直线AC、直线DE有怎样的位置关系？试说明理由．解析　(1)在旋转的过程中图形形状、大小没变，所以△ABC△DBE；(2)延长AC交DE于点F，如图所示，由△ABC△DBE，可得∠A＝∠D，又因为∠ACB＝∠DCF，∠A＋∠ACB＝90°，所以∠D＋∠DCF＝90°，所以AC⊥DE.解　(1)由题意可得△ABC△DBE.AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角．(2)延长AC交DE于点F，如图所示．因为△ABC△DBE，所以∠A＝∠D.又因为∠ACB＝∠DCF，∠A＋∠ACB＝90°，所以∠D＋∠DCF＝90°，即∠AFE＝90°.所以AC垂直于DE.1．如图所示，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出(　　)A．2个B．4个C．6个D．8个,(第1题)　　　　　,(第2题)2．如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A等于(　　)A．35°B．45°C．55°D．65°3．如果△ABC△DEF，△DEF的周长是32cm，DE＝9cm，EF＝12cm，∠E＝∠B，那么AC的长为________．4．如图所示，已知△OAD△OBC，AD与BC相交于E，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB\n＝________.5.如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC△DBE，且∠BDA＝∠A，若∠A∶∠C＝5∶3，求∠DBC的度数．,6.如图，点B、M、N、C在同一直线上，且△ABM△ACN，∠B＝20°，∠CAN＝30°，求∠MAN的度数．,7.如图，△ACF与△DBE全等，∠E＝∠F，若AC＝8，AD＝12，求线段AB的长．,8.如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE△ACD，AB＝10，AD＝4，求线段CE的长．,9.如图，有一长方形纸片ABCD，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，使C点与C′重合，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和C′E重合，折痕是GE，试求∠GEF的度数．,10.你能用两个全等三角形拼成如图所示的各图形吗？说说△DEF是△ABC怎样变换得到的．,11.如图，点A、D、E三点在同一直线上，且△BAD△ACE.(1)试说明：BD＝DE＋CE；(2)当△ADB满足什么条件时，BD∥CE?,12．如图，剪一个正方形纸片ABCD，取AD的中点E，F是BA的延长线上一点，AF＝1,2AB.回答下列问题：(1)如图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪种方法，可以使△ABE变到△ADF的位置？(2)你能判定△ABE与△ADF全等吗？(3)你能利用全等三角形的性质，猜想并说明线段BE与DF之间的关系吗？1．B2．C3．11cm4．120°5.设∠A＝5x，∠C＝3x，则∠CBE＝∠A＋∠C＝5x＋3x＝8x.因为△ABC△DBE，所以∠ABC＝∠DBE.\n所以∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE＝8x.又因为∠BDA＝∠A，所以∠BDA＝5x，而∠BDA＝∠C＋∠DBC，所以∠DBC＝∠BDA－∠C＝5x－3x＝2x，所以∠ABC＝10x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，即5x＋10x＋3x＝180°，所以x＝10°，所以∠DBC＝2x＝20°.6.因为△ABM△ACN，所以∠BAM＝∠CAN＝30°，∠C＝∠B＝20°，又因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，所以∠BAC＝180°－20°－20°＝140°，所以∠MAN＝∠BAC－∠BAM－∠CAN＝80°.7.由题意可得：△ACF△DBE，所以AC＝DB，AC－BC＝DB－BC，所以AB＝DC，又AD＝12，AC＝8，所以AB＝DC＝AD－AC＝4.8.因为△ABE△ACD，所以AB＝AC＝10，AD＝AE＝4，所以CE＝AC－AE＝6.9.由题意可得：△DEG△C′EG，△CEF△C′EF，所以∠DEG＝∠C′EG，∠CEF＝∠C′EF，又∠DEG＋∠C′EG＋∠CEF＋∠C′EF＝180°，所以2(∠C′EG＋∠C′EF)＝180°，所以∠GEF＝90°.10.图①中，把△ABC沿AB向下平移就得到△DEF；图②中，先把△ABC绕点C旋转180°，再沿BC平移就得到△DEF；图③中，把△ABC绕B点顺时针旋转就得到△DEF；图④中，先把△ABC以过B点且垂直于BC的直线为轴翻折，再沿BC向右平移(或以过C点且垂直于BC的直线为轴翻折，再沿CB向左平移)就得到△DEF；图⑤中，先把△ABC沿AC翻折，再把△ABC绕A点顺时针旋转∠A的度数，就得到△DEF；图⑥中，把△ABC绕AC的中点旋转180°就得到△DEF.11.(1)因为△BAD△ACE，所以BD＝AE，AD＝CE.又因为AE＝AD＋DE＝CE＋DE，所以BD＝DE＋CE.(2)∠ADB＝90°.因为△BAD△ACE，所以∠ADB＝∠CED.若BD∥CE，则∠CED＝∠BDE，所以∠ADB＝∠BDE.又因为∠ADB＋∠BDE＝180°，所以∠ADB＝90°.12．(1)旋转(2)能判定△ABE△ADF.因为E是正方形ABCD的边AD的中点，所以AE＝1,2AD＝1,2AB，又AF＝1,2AB，所以AE＝AF.又因为∠BAE＝∠DAF＝90°，所以把△ABE绕点A逆时针旋转90°能与△ADF重合，故△ABE△ADF.(3)BE＝DF且BE⊥DF.延长BE交DF于G，因为△ABE△ADF，所以BE＝DF，∠AEB＝∠F，因为∠BAE＝90°，∠ABE＋∠AEB＝90°，所以∠ABE＋∠F＝90°，则∠BGF＝90°，所以BE⊥DF.柏　拉　图古希腊哲学家、数学家柏拉图非常重视几何学教育，他创办了“柏拉图学园”，并主持学园工作40年，几何学一直是学园内的主要课程．柏拉图提出了几何学原子说，形成了数学化的宇宙观，他设想世界的本原与两种直角三角形有关．一种是正方形的一半，一种是等边三角形的一半，这两种直角三角形正好是我们所用的一副三角尺的形状，请你看一看你的三角尺，两块三角尺每块的三个内角各是多少度？柏拉图认为这两种三角形是最完美的形式，它们可以无限地分下去，仍得到同一形状的三角形，请你试验柏拉图的想法是否正确．\n练一练(P109)1.对应边：AC和CA；对应角：∠B和∠D，∠BAC和∠DCA，∠ACB和∠CAD；相等的边：AB＝CD，AC＝CA，BC＝DA；相等的角：∠B＝∠D，∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD.2.把△ABC沿BC所在直线翻折180°，然后将所得的图形绕点O分别旋转120°、240°就得到图中相应的小三角形．用同样的方法可由△DOE得到其他相应的小三角形．习题11.2(P110)1.图①中7个小三角形都全等；图②中9个三角形都全等，4个等边三角形也都全等．2.对应边：MQ和PN，MO和PO，QO和NO；对应角：∠M和∠P，∠Q和∠N，∠MOQ和∠PON.3.相等的角：∠E＝∠D，∠EBC＝∠DCB，∠ECB＝∠DBC；相等的边：EC＝DB，BE＝CD，BC＝CB.4.∠D＝45°，∠DBC＝98°，∠BCD＝37°.\n11．3　探索三角形全等的条件知识点一　“边角边”或“SAS”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．例1　如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB.△ADF与△CBE全等吗？为什么？解析　由已知AE＝CF，根据等式性质有AF＝CE，再加上已知条件AD＝CB，只需有∠A＝∠C，而由AD∥BC即可得到．解　因为AE＝CF，所以AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE.又因为AD∥BC，所以∠A＝∠C.在△ADF与△CBE中，AD＝CB，∠A＝∠C，AF＝CE，∴△ADF△CBE(SAS)．友情提醒　(1)在用“SAS”说明两个三角形全等时，一定要把夹角相等写在中间，以突出两边及夹角对应相等．(2)说明三角形全等时，先要寻找已知条件，已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二是图中隐含的(如公共边、公共角、对顶角等)，再看差几个就说明几个．知识点二　“角边角”或“ASA”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．例2　如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于点O.AB＝AC，∠B＝∠C，那么BD与CE相等吗？为什么？解析　欲说明BD＝CE，由条件AB＝AC，可说明AD＝AE.根据已知条件很容易说明△ABE△ACD，注意∠A为公共角．解　BD＝CE.在△ABE与△ACD中，∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，∴△AEB△ADC(ASA)，所以AE＝AD.又因为AB＝AC，所以AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.友情提醒　(1)在用“ASA”说明两个三角形全等时，一定要把夹边相等写在中间，以突出边角的位置感．(2)本题分析方法是从结论出发，逆向求出使结论成立所需要的条件，再把这些“条件”看作“结论”，一步步逆求，直至归结为已知条件，这种“由未知想需知”的逆向推理，称为“分析法”．知识点三　“角角边”或“AAS”两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．友情提醒　角平分线上的点到角的两边的距离相等．例3　下列说法中正确的个数有(　　)①顶角和底边对应相等的两个三角形全等；②有三个角对应相等的两个三角形全等；③有两个角和一边对应相等的两个三角形全等；④有两个角和其中一角对边对应相等的两个三角形全等；⑤有两对角相等，一对边相等的两个三角形全等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1个B．2个C．3个D．4个\n解析　①错误，如斜边为底边的等腰直角三角形与其他顶角为直角的直角三角形不一定全等；②错误，如两个等边三角形就不一定是全等；③正确，因为它满足“AAS”或“ASA”；④正确，它满足“AAS”；⑤错误，因为“ASA”或“AAS”中的边是指两对等角的夹边或其中一对等角的对边，这里并没有指出其边是否为等角的夹边或一对等角的对边，因此满足条件的两个三角形不一定全等．答案　B友情提醒　对于本例中“正确(错误)的个数”的判断，必须对每一种说法的正确与否作出准确地判断．知识点四　“边边边”或“SSS”三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．友情提醒　从“SSS”可以得出三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．例4　如图，已知AB＝AD，CB＝CD，∠DAC与∠BAC相等吗？为什么？解析　判断两个三角形全等的关键是找够条件，如运用“边边边”说明三角形全等时，是否具备三对对应边相等的条件．解　∠DAC＝∠BAC.因为在△ABC与△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，根据“SSS”，可知△ABC△ADC.所以∠DAC＝∠BAC.友情提醒　在判断两个三角形全等时，应特别注意公共元素，如本题中的公共边AC.知识点五　三角形全等的条件的选用选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：已知条件,可选择的判定方法一边一角对应相等,SAS、AAS、ASA两角对应相等,ASA、AAS两边对应相等,SAS、SSS　　但形如“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等．例5　下列结论中正确的是(　　)A．有三个角对应相等的两个三角形全等B．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等C．有两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等D．面积相等的两个三角形全等解析　“AAA”与“SSA”都不一定全等；面积仅与底边及高有关，所以不一定全等．答案　C例6　现给出下列条件：①∠ADC＝∠AEB；②DC＝EB；③BD＝CE.请从上面的条件中选择一个，填在下列问题中的横线上，再解答．如图，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝AE，________，试说明：△ADC△AEB.解析　在△ADC和△AEB中，已有一隐一明两个条件：AD＝AE，∠A＝∠A，要使△ADC和△AEB全等，所缺的这一条件可从“边”“角”中找．解　选条件①，即∠ADC＝∠AEB.在△ADC和△AEB中，因为∠A＝∠A，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，根据“ASA”，所以△ADC△AEB.选条件③，即BD＝CE.由BD＋AD＝CE＋EA，得AB＝AC.在△ADC和△AEB中，因为AD＝AE，∠A＝∠A，AC＝AB，根据“SAS”，所以△ADC△AEB.友情提醒　本题是一道条件开放型问题，可从给出的条件中一一加以验证，找出符合要求的条件．这里关键是对三角形全等条件的透彻理解和熟练运用．若选条件②，根据“SSA”是不能判定两个三角形全等的，故不能选②.\n知识点六　直角三角形全等的判定斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．例7　如图，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF＝CE.试说明：∠B＝∠C.解　因为DF⊥AB，DE⊥AC，所以∠BFD＝∠CED＝90°.又因为点D是BC的中点，所以BD＝DC.在Rt△BDF和Rt△CDE中，BF＝CE，BD＝CD，所以Rt△BDFRt△CDE.所以∠B＝∠C.友情提醒　直角三角形全等的判定除了可以用“HL”外，其他判定两个三角形全等的方法都适用，解题时要注意选择合适的方法．教材中的“？”解答议一议(P111)1．当两个三角形只有1组边或角相等时，它们不全等．2．当两个三角形只有2组边或角相等时，它们不一定全等．3．当两个三角形有3组边或角相等时，有以下几种情形．两边一角两边和它的夹角两边和一边的对角两角一边两角和夹边两角和一角的对边边边边角角角其中，“两边和一边的对角”和“角角角”这两种情形下不一定全等，其余情形都全等．议一议(P113)不能画出第一个三角形，因为只知道它的一个内角的大小．能画出第二个三角形，因为知道它的两个内角的大小和它的夹边的大小．点评：设计的目的是以“情”激“趣”，以“情”激“智”，引起学生主动地观察、思考和讨论，给学生以深刻印象．想一想(P113)△ABC△MNP.因为∠A＝∠M，∠B＝∠N，∠C＝180°－∠A－∠B，∠P＝180°－∠M－∠N，所以∠C＝∠P，又因为BC＝NP，∠B＝∠N，所以根据“ASA”，△ABC△MNP.点评：目的是让学生独立思考并推出三角形全等的“AAS”条件．议一议(P114)1．改变C点的位置，在OP上再取点D，作DE⊥OM，DF⊥ON.探究△DOE和△DOF的关系，我们知道结果与点C的情况完全一样，可得△DOE△DOF.2．允许学生答案的开放性，在此基础上归纳出角的平分线的性质．议一议(P116)1．要求再举出生产、生活中应用三角形稳定性的例子，以感受数学的价值，增强应用数学的意识，学会用数学的眼光去观察，分析周围的事物．2．四边形不具有稳定性．想一想(P117)因为在△AOM与△BOM中，OA＝OB，MA＝MB，OM＝OM.\n所以△AOM△BOM(SSS)．所以∠AOM＝∠BOM.即射线OM就是∠AOB的平分线．一、求值问题例1　如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DC＝AE，AD、BE交于点F，请你猜测∠BFD的度数，并说明你的结论．解析　由于等边三角形的每个内角都为60°，欲知∠BFD，必须使∠BFD与等边三角形的内角联系起来，由已知条件易知△ABE△CAD，从而∠ABE＝∠CAD，进而∠BFD＝∠ABE＋∠BAF＝∠CAD＋∠BAF＝∠BAC＝60°.解　猜测∠BFD＝60°.理由如下：因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°，在△ABE和△CAD中，AB＝CA，∠BAE＝∠ACD，AE＝CD(已知)，所以△ABE△CAD(SAS)．所以∠ABE＝∠CAD.又因为∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，所以∠BFD＝∠CAD＋∠BAF＝∠BAC＝60°.点评　本题借助于全等三角形将特殊角与已知角联系起来．例2　如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过顶点A作直线MN，分别过B、C点作MN的垂线，垂足为D、E，若DB＝3cm，EC＝7cm，求DE的长．解析　已知线段是DB、EC，未知是DE，如何建立三者之间的联系，观察图形，由已知条件可得△ABD△CAE，所以DE＝AD＋AE＝EC＋DB＝10(cm)．解　因为∠BAC＝90°，所以∠1＋∠EAC＝90°.因为BD⊥DE，CE⊥DE，所以∠ADB＝∠CEA＝90°.所以∠2＋∠EAC＝90°，所以∠1＝∠2.在Rt△ABD和Rt△CAE中，∠ADB＝∠CEA，∠1＝∠2，AB＝CA，所以△ABD△CAE(AAS)．所以AD＝CE，BD＝AE.所以DE＝AD＋AE＝EC＋DB＝7＋3＝10(cm)．二、几何证明问题例3　如图，∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.试说明：AB＝AC.解析　从结论分析，要证明AB＝AC，显然应当考虑能不能证△ABD△ACE，从已知条件出发∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∠BAD＝∠CAE(由已知∠BAC＝∠DAE可推得)即可证．证明　因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，所以△BAD△CAE(AAS)．所以AB＝AC.\n点评　在证明两个三角形全等时，常常要通过证明边与角相等来实现，而证明角或边相等的思想方法有：(1)平行线性质，余角或外角的性质．(2)垂直定义．(3)等线段的和或差(即利用等式性质)．(4)三角形的内角和定理及推论．三、线段a＝b＋c型证明问题例4　如图，AM∥BN，∠MAB、∠NBA的平分线交于C点，过点C作一直线交AM于点D，交BN于点E.试说明：AB＝AD＋BE.解析　要证AB＝AD＋BE，可以在AB上截取AF＝AD，然后证明BF＝BE；也可以在AB上截取BF＝BE，然后证明AF＝AD.证明　在AB上截取AF＝AD，连接CF.在△ADC和△AFC中，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，所以△ADC△AFC(SAS)．所以∠ADC＝∠AFC.又因为AD∥BE，所以∠ADC＋∠BEC＝180°.而∠AFC＋∠CFB＝180°，所以∠BEC＝∠CFB.在△CFB和△CEB中，∠CFB＝∠CEB，∠CBF＝∠CBE，BC＝BC，所以△CFB△CEB(AAS)．所以BF＝BE，又因为AD＝AF，所以AB＝AF＋FB＝AD＋BE.点评　证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．本例采用的是“截长法”，当然也可用“补短法”：延长BC交AM于E点．读者可思考完成．四、构造全等三角形解决问题例5　如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边的中点，AD⊥BM，垂足为E，且交BC于点D.试说明：∠AMB＝∠CMD.解析　如果把∠AMB进行平行移动，放到与△CDM有公共边的三角形内，即可过点C作AC的垂线交AD的延长线于点F，设法证明△ABM△CAF，得到∠AMB＝∠F，再证明△CMD△CFD即可．证明　如图，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点F.因为AE⊥BM，所以∠MAE＋∠AMB＝90°.因为∠BAC＝90°，所以∠ABM＋∠AMB＝90°.所以∠ABM＝∠MAE.在△ABM和△CAF中，∠ABM＝∠CAF，AB＝CA，∠BAM＝∠ACF，所以△ABM△CAF(ASA)．所以AM＝CF，∠AMB＝∠CFA.\n又AM＝CM，所以CM＝CF.在△CMD和△CFD中，CM＝CF，∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD，所以△CMD△CFD(SAS)．所以∠CMD＝∠CFD.所以∠AMB＝∠CMD.点评　通过添加适当的辅助线，把分散的条件相对集中，从而构造出全等三角形，这是解决这类问题的一般方法．五、全等三角形的实际应用问题例6　小明一不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是(　　)A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去解析　最省事的方法当然是只带其中的一块去，D显然不合要求．玻璃店要根据小明带去的碎玻璃片复制一块与△ABC全等的玻璃，观察三块玻璃：①只知道一个角，不能确定三角形；②也不合要求；③中有一条完整的边BC和两个角∠B、∠C，且∠B和∠C夹着边BC，根据“ASA”可以复制一个三角形与△ABC全等．答案　C例7　通光中学八年级(1)班的学生到野外进行教学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：方案一：如图①，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．方案二：如图②，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，再测出DE的长即为AB的距离．(1)方案一是否可行？________；理由是　　　　；(2)方案二是否可行？________；理由是　　　　；(3)小明说在方案二中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需________就可以了，请把小明所说的条件补上．解析　(1)在方案一中，AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，由“SAS”知△ACB△DCE，所以AB＝DE；(2)在方案二中，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，由“ASA”知△ABC△EDC，所以AB＝ED；(3)由于BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，还差一角相等就能判定△ABC△EDC，故只需把BF⊥AB和BF⊥DE改为AB∥DE就可以了．答案　(1)可行　由“SAS”知△ABC△DEC，所以AB＝DE(2)可行　由“ASA”知△ABC△EDC，所以AB＝DE(3)AB∥DE点评　利用全等三角形解决实际问题的一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角条件是关键．六、动态几何问题例8　如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E.(1)试说明：BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕点A旋转到图②位置时(BD＜CE)，其他条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)若直线AE绕点A旋转到图③位置时(BD＞CE)，其他条件不变，则BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果，不需说明理由；(4)归纳(1)(2)(3)，请简述BD、DE、CE的关系．\n解析　(1)要证BD＝DE＋CE，由观察图形得：只需证BD＝AE，AD＝CE，由此只需证△ABD△CAE，尽管它们都是直角三角形，但却不能用“HL”去证，因为只有AB＝AC，并且其他两组边都是要证的．因此只能寻求证∠ABD＝∠CAE，故结论得证；(2)由(1)的分析知△ABD△CAE，得BD＝AE，AD＝CE，故DE＝AD＋AE＝CE＋BD，即BD＝DE－CE；(3)分析同(2)；(4)只需归纳即可．解　(1)因为BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，所以∠ADB＝∠AEC＝90°.因为∠BAC＝90°，∠ADB＝90°，所以∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝90°.所以∠ABD＝∠CAE.在△ABD和△CAE中，∠ABD＝∠CAE，∠ADB＝∠CEA，AB＝CA，所以△ABD△CAE(AAS)．所以BD＝AE，AD＝CE.因为AE＝AD＋DE，所以BD＝DE＋CE.(2)BD＝DE－CE.因为BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，所以∠DAB＋∠DBA＝90°，因为∠BAC＝90°，所以∠DAB＋∠CAE＝90°.所以∠DBA＝∠CAE.在△DBA和△EAC中，∠BDA＝∠AEC＝90°，∠DBA＝∠EAC，BA＝AC，所以△DBA△EAC(AAS)．所以BD＝AE，AD＝CE.所以BD＝AE＝DE－AD＝DE－CE.(3)BD＝DE－CE.(4)归纳(1)(2)(3)可知：当B、C在AE异侧时，BD＝DE＋CE；当B、C在AE同侧时，BD＝DE－CE.点评　动态几何题是指随着图形中某一个(或几个)元素的运动变化，导致问题的结论或改变或保持不变的几何题，解这类题时要善于抓住以下几个特点：(1)变化前的结论及说理过程对变化前后的结论及说理过程起着至关重要的作用．(2)图形在变化过程中，弄清哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化，原来的等角、等线段是否还存在是解题的关键．(3)几种变化得到的图形之间存在必然的内在联系，说理的思路必然也存在其内在联系，因而说理过程也必须相似，甚至相同．七、开放探索问题例9　如图，AB＝AC，要使△ABE△ACD，应添加的一个条件是________．(写出一个即可)解析　题中有两个已知条件，AB＝AC，∠A是公共角，可考虑利用“ASA”“SAS”或“AAS”证△ABE△ACD，所以可添加∠B＝∠C，AD＝AE，BD＝EC，∠AEB＝∠ADC，∠BDC＝∠CEB其中的一个即可．答案　∠B＝∠C或AD＝AE或BD＝EC或∠AEB＝∠ADC或∠BDC＝∠CEB点评　条件开放型问题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是必要的条件，即所需补充的条件不能由结论完全推出．一般来说，条件开放型问题的标准答案包括：将所缺的条件补充完整，对根据自己所给条件形成的封闭题做出完整解答两部分，解此类题的基本策略是执果索因，寻找结论成立的条件．判断条件有误时，常举例说明．\n例10　如图，AB＝AD，BC＝DC，AC与BD相交于点E，由这些条件你能推出哪些结论？(不添加辅助线，不标注其他字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可)解析　本题的结论是开放的，由已知条件推出四个你认为正确的结论，这需要利用全等三角形的知识来解决．由条件AB＝AD，BC＝DC，再加一条公共边AC＝AC可得△ADC△ABC，从而可得到结论∠DAE＝∠BAE，∠DCA＝∠BCA，继续可得△ADE△ABE与△DCE△BCE，得DE＝BE，∠DEA＝∠BEA(即∠DEA＝∠BEA＝90°)，∠ADE＝∠ABE等．解　DE＝BE，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA，∠ADE＝∠ABE，∠AED＝∠BEA＝90°，∠CDE＝∠CBE，∠DEC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠ABC，△ADC△ABC，△ADE△ABE，△DCE△BCE.从中选择4个结论．点评　结论开放型问题的基本特征是有条件无结论，缺少确定的结果，或结论正确与否常需进一步证明确定，或在给定的条件下结论不唯一．解此类问题的一般方法是研究特殊情况，常对不同的情形进行分类讨论．例11　如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以说明．①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF.解析　学生必须通过仔细观察，准确地抓住图形的基本特征，迅速找出全等三角形，即△ABC△DEF，再恰当地运用全等三角形的性质和判定规律进行创造性思维，才能在短时间内正确解答问题．解　(答案不唯一)已知：AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.证明：因为BE＝CF，所以BE＋EC＝CF＋EC.所以BC＝EF.又因为∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，所以△ABC△DEF(SAS)．所以AC＝DF.点评　组合开放问题是条件和结论都不确定，需要答题者选定条件和结论，然后组合成一个新命题，再按题目具体要求填入相应结果和给出必要的证明．例12　如图，AB∥ED，AB＝ED，请问：当满足什么条件时，△ABC与△DEF全等？试说明理由．解析　本题中已知条件AB∥ED，得∠B＝∠E，再加上已知条件AB＝ED，根据全等三角形的判定规律，可考虑利用“SAS”“ASA”或“AAS”说明△ABC与△DEF全等，所以满足的条件不止一个，比如BF＝CE等．解　方案一：可添加∠A＝∠D，因为AB∥ED，所以∠B＝∠E，又因为AB＝ED，所以△ABC△DEF(ASA)．方案二：可添加BC＝EF(如果添加BF＝CE，可由等式性质得到BC＝EF)，因为AB∥ED，所以∠B＝∠E，又因为AB＝ED，所以△ABC△DEF(SAS)．方案三：可添加∠ACB＝∠DFE(如果添加AC∥FD，可由平行线性质得到∠ACB＝∠DFE)，因为AB∥ED，所以∠B＝∠E，又因为AB＝ED，所以△ABC△DEF(AAS)．点评　这类题型结论不明确，条件不全，解题应仔细分析已知条件并结合图形，探索其应满足的具体条件，通过执果索因，即可解决．例13　如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形，除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并说明你的猜想是正确的．解析　本题是一道结论探索题，要得到正确的结论需要根据等边三角形具有的性质，结合全等三角形的有关知识解决．解　图中还有的相等线段是：AE＝BF＝CD，AF＝BD＝CE.\n因为△ABC与△DEF都是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠EDF＝∠DEF＝∠EFD＝60°，DE＝EF＝FD.又因为∠CED＋∠AEF＝120°，∠CDE＋∠CED＝120°，所以∠AEF＝∠CDE.同理可得∠CDE＝∠BFD.所以△AEF△BFD△CDE(AAS)．所以AE＝BF＝CD，AF＝BD＝CE.点评　这是一道结论探索题，应特别注意根据图形分析题中的已知条件及其产生的结论，找出它们之间的联系，结合全等三角形的判定即可得证．1．能判定△ABC△A′B′C′的条件是(　　)A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′C．AC＝A′C′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′D．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′2．如图，OA＝OB，∠A＝∠B.有下列3个结论：①△AOD△BOC；②△ACE△BDE；③点E在∠O的平分线上．其中，正确的结论(　　)A．只有①B．只有②C．只有①和②D．有①②③3．下列各选项中，不一定全等的是(　　)A．有一个角是45°，腰长相等的两个等腰三角形B．周长相等的两个等边三角形C．有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形4.如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB△EDB△EDC，则∠C的度数为(　　)A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一块斜板，从数学的角度来看，这样做的道理是________________．6.如图，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，那么需要补充一个条件________(写一个即可)，才能使△ABC△DEF.,(第6题)　　,(第7题)7.如图，已知∠C＝∠B，AE＝AD，请写出一个与点D有关的正确结论：________.(例如：∠ADO＋∠ODB＝180°，DB＝EC等，除此之外再填一个)8.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过B点作BD⊥BC，交CF的延长线于D点．(1)试说明：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求线段BD的长．,9.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，BD＝3cm，求BC的长．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在BC的延长线上，点E在AC上，且CD＝CE，延长BE交AD于点F.试说明：BF⊥AD.,11.如图，已知BE、CF分别是△ABC的AC、AB边上的高，在BE上截取BP＝AC，连接AP，在CF的延长线上截取CQ＝AB，连接AQ.试说明：AQ⊥AP.,\n12．如图，已知AD∥BC，AE＝CF，AD＝BC，E、F在AC上，猜想DE与BF的关系，并说明理由．,13.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC＝DC，试判断BE与DF的数量关系，并说明理由．,14.如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点，试判断AF与CD的位置关系，并说明理由．,15.如图，D是△ABC的边BC上的一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，试说明：AC＝2AE.,16.如图，是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，请你用所学知识给予说明．,17．如图，A、B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝150m，BF＝100m，它们的水平距离EF＝250m.现欲在公路旁建一个超市P，使超市到居民楼的距离相等，则超市应建在何处，为什么？18.在某市郊的一空地上有一个较大的土丘，如图所示，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你用所学知识设计一种方案，能用皮尺量出不能直接到达的A、B两点之间的距离，要求说明设计方案和说明设计方案的根据，并画出草图，不要求数据计算．,19.(1)如图①，已知AB＝CD，AD＝BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；(2)若将过O点的直线旋转至图②、③的情况时，其他条件不变，那么图中∠1与∠2的关系还成立吗？请说明理由．,\n20.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长均为a，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形的重叠部分(即阴影部分)的面积总等于一个定值．猜想一下，这个定值是多少？为什么？,21.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合．(1)要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？(请写出一个你认为正确的添加条件)(2)将(1)中的添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由．,22.如图，已知△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，请你添加一个条件，写出一个结论，并说明理由．,23．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形，并任选其中一对说明理由．,24.如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：①AD＝CB；②AE＝CF；③∠B＝∠D；④AD∥BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．,1．D2．D3．A4．D5．三角形具有稳定性6.AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠E7.答案不唯一，如DC＝EB或∠ADC＝∠AEB等8.(1)先证∠BCD＝∠CAE，∠DBC＝∠ECA，再证△BCD△CAE即可．(2)BD＝6cm.9.易知△ABD△ACD(HL)，所以BD＝CD，所以BC＝2BD＝6(cm)．10.因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠ACB＝90°，在△DCA和△ECB中，CD＝CE，∠DCA＝∠ECB，AC＝CB，所以△DCA△ECB，所以∠DAC＝∠EBC，又因为∠AEF＝∠BEC，所以∠AFE＝∠ECB＝90°，所以BF⊥AD.11.因为BE⊥CE，BF⊥CF，所以∠ABE＝90°－∠BAC＝∠QCA.又AB＝QC，BP＝CA，所以△ABP△QCA(SAS)．所以∠AQC＝∠PAB.因为∠AQC＋∠QAF＝90°，所以∠PAB＋∠QAF＝90°.所以AQ⊥AP.12．DE綊BF.因为AD∥BC，所以∠DAE＝∠BCF，又AD＝BC，AE＝CF，所以△DAE△BCF，所以DE＝BF，∠AED＝∠CFB，所以∠DEF＝∠BFE，所以DE∥BF，所以DE綊BF.13.BE＝DF.由AC平分∠BAD可知∠DAC＝∠BAC，由CE⊥AB，CF⊥AD，AC＝AC\n，可得△AEC△AFC，所以CE＝CF.在Rt△CDF和Rt△CBE中，由CD＝BC，CF＝CE，得Rt△CDFRt△CBE.所以DF＝BE.14.AF⊥CD.连接AC、AD，易得△ABC△AED，所以AC＝AD，又因为CF＝FD，AF＝AF，所以△AFC△AFD，所以∠AFC＝∠AFD，又∠AFC＋∠AFD＝180°，所以∠AFC＝∠AFD＝90°，即AF⊥CD.15.延长AE到点F，使EF＝AE，连接FD，易得△ABE△FDE，得到∠B＝∠FDE，AB＝FD，由外角定理可得∠ADC＝∠ADF.由FD＝CD，∠ADF＝∠ADC，AD＝AD，可得△ADF△ADC，所以AC＝AF，而AF＝2AE，所以AC＝2AE.16.连接DH，得到两个三角形．由DE＝DF，EH＝FH，又DH是△DEH与△DFH的公共边，所以△DEH△DFH.由全等三角形的性质可得∠DEH＝∠DFH.17．超市应建立离E点100m处，可由△AEP△PFB得出AP＝BP.18.解法一：可先在平地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，其根据是利用“SAS”说明△ACB△DCE，如图①.,①　　　,②解法二：如图②，可在AB的垂线AG上取两点C、E，使CA＝CE，再引出AG的垂线FE，使F、C、B在一条直线上，这时测得的FE的长就是AB的长．其根据是利用“ASA”说明△ABC△EFC.19.(1)∠1＝∠2.理由如下：在△ACD和△CAB中，CD＝AB，AD＝BC，AC＝CA，所以△ACD△CAB，所以∠DAC＝∠BCA.在△AOM和△CON中，∠DAC＝∠BCA，OA＝OC，∠MOA＝∠NOC，所以△AOM△CON，所以∠1＝∠2.(2)若将过点O的直线旋转到图②、③的位置时，∠1＝∠2仍然成立．理由如下：如图②，在△ACD和△CAB中，AD＝BC，DC＝BA，AC＝CA，所以△ACD△CAB，所以∠DAC＝∠BCA.在△AOM和△CON中，∠DAC＝∠BCA，OA＝OC，∠MOA＝∠NOC，所以△AOM△CON，所以∠1＝∠2.在图③中亦可证得∠1＝∠2.20.阴影部分面积总等于△BOC的面积，即1,4a2.理由如下：在△BOE和△COF中，∠OBE＝∠OCF＝45°，BO＝CO，∠BOE＝∠COF＝90°－∠BOF，所以△BOE△COF.所以S△BOE＝S△COF，所以S阴影＝S△BOE＋S△BOF＝S△COF＋S△BOF＝S△BOC＝1,4a2.21.(1)答案不唯一，如∠A＝30°.　(2)因为∠C＝90°，∠A＝30°，所以∠ABC＝60°，由折叠可知△CBE△DBE，所以∠EBD＝1,2∠ABC＝30°，∠EDB＝∠C＝90°，所以∠A＝∠EBD，∠EDA＝∠EDB＝90°.在△AED和△BED中，∠A＝∠EBD，∠EDA＝∠EDB，ED＝ED，所以△AED△BED，所以AD＝BD，即D为AB的中点．22.(答案不唯一)增加条件：BD＝CE，结论：∠EBC＝∠DCB.在Rt△BEC和Rt△CDB中，CE＝BD，BC＝CB，所以Rt△BECRt△CDB，所以∠EBC＝∠DCB.23．△ABF△DEC，△ABC△DEF，△BCF△EFC.说明△ABF△DEC的理由如下：因为AB∥DE，所以∠A＝∠D，又AB＝DE，AF＝DC，所以△ABF△DEC.24.答案不唯一．已知AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC，试说明：AD＝CB.因为AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.又因为AD∥BC，所以∠A＝∠C.在△ADF和△CBE中，AF＝CE，∠D＝∠B，∠A＝∠C，所以△ADF△CBE，所以AD＝CB.步量河宽\n一位经历战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一位战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部．然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上．接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．按照故事中那位战士的作法，无论面向碉堡还是背向碉堡，只要身体与地面保持相同的夹角，而且身体姿势不变，那么由身体、视线、地平线构成的两个三角形就一定全等，理由是“ASA”．如图所示，战士站在河边，视线落在河的另一边B处，然后他转过身，保持姿势不变，即他的身体与地面所成的角度、视线与地面所成的角度不变，又知他的身高是定值，易得△ABC△A′B′C′，于是，要测量河宽BC，只需测得B′C′的长度即可．我们在赞叹这种方法的巧妙和简单易行之余，不由对故事中那位足智多谋的战士产生由衷的敬佩，故事是可以编撰的，但这个故事却真有其人其事，那么，那位战士究竟是谁呢？他的名字叫于振善．抗日战争中，我八路军在转移途中被一条大河挡住了去路，河深水急，无法涉水，时间紧迫，必须迅速测出河宽，以便寻料架桥，木工出身的战士于振善仅用头上戴的一顶军帽加上步量，用一分钟的时间便测出了河宽，工兵们很快架起了浮桥，部队顺利转移了．事后，战友们称赞地说：一顶军帽真有用，测河只用一分钟，顺利转移歼敌军，巧用智慧立战功．同学们，河宽可以用步量，这是数学知识在生活中的巧妙运用，其实，在生活中需要用数学知识来解决、解释的问题有很多，你不妨留心观察或仔细想一想，并与其他同学探讨和交流，这对提高学数学、用数学的兴趣和积极性十分有益．练一练(P112)1.①与④，③与⑤.2.△ABE△ACD.因为AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，根据“SAS”，可以得到△ABE△ACD.练一练(P114)1.①与⑥，△ABC△MNG.因为∠A＝∠M＝75°，AB＝MN，∠B＝∠N＝25°，所以△ABC△MNG.②与④，△XYZ△TSW.因为∠T＝∠X＝70°，∠W＝∠Z＝50°，WS＝ZY，所以△XYZ△TSW.③与⑤，△RPQ△DFE.因为∠R＝∠D＝110°，PR＝FD，∠P＝∠F＝25°，所以△RPQ△DFE.2.△AOD△BOC.因为O是AB的中点，所以OA＝OB.又因为∠A＝∠B，∠AOD与∠BOC是对顶角，∠AOD＝∠BOC，根据“ASA”，可以知道△AOD△BOC.3.如图，PF＝PG＝PH，因为AD平分∠BAC，PF⊥AB，PH⊥AC，所以PF＝PH.同理PF＝PG，所以PF＝PG＝PH.练一练(P116)1.不一定全等．2.△ABC△DCB.因为AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，根据“SSS”，可以知道△ABC△DCB.3.如图，能画3个，分别为△ABC、△CHA、△FGD.练一练(P118)1.略2.因为AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，根据“SSS”，可以知道△ABD△ACD.所以∠B＝∠C.3.因为AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，根据“SSS”，可以知道△ABD△ACD.所以∠ADB＝∠ADC＝1,2×180°＝90°.所以AD⊥BC.\n练一练(P119)1.Rt△ABCRt△FBCRt△ECBRt△CEFRt△BDERt△BFE；Rt△ABFRt△DBF；Rt△AEFRt△DCF.2.△ABC△DFE.因为AC⊥CE，DE⊥CE，所以∠ACB＝∠DEF＝90°.又因为CF＝EB，即CB＋BF＝EF＋BF，所以CB＝EF.又因为AB＝DF，根据“HL”，可以知道Rt△ABCRt△DFE.3.BD＝BC.因为∠D＝∠C＝90°，AD＝AC，AB＝AB，根据“HL”，可以知道Rt△ABDRt△ABC.所以BD＝BC.习题11.3(P120)1.△ADC△CBA.因为AD＝CB，∠1＝∠2，AC＝CA，所以△ADC△CBA.2.①与⑥，△MPN△KGH；②与⑤，△YXZ△DEF；③与④，△ABC△SRT.3.答案不唯一，∠PMN＝∠QMN.4.连接AB、A′B′.因为O是AA′、BB′的中点，所以AO＝A′O，BO＝B′O.又因为∠AOB＝∠A′OB′，所以△AOB△A′OB′.所以AB＝A′B′.5.(1)△ABE△ACD.因为AB＝AC，∠B＝∠C，∠A＝∠A，所以△ABE△ACD.(2)△BDF△CEF.因为BD＝CE，∠B＝∠C，∠BFD＝∠CFE，所以△BDF△CEF.6.因为AB⊥BF，DE⊥BF，B、D分别为垂足，所以∠ABC＝∠EDC＝90°.又因为BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，所以△ABC△EDC.所以AB＝ED.7.△SEN△NAS；SE＝NA，SA＝NE，SN＝NS；∠ESN＝∠ANS，∠E＝∠A，∠ENS＝∠ASN.8.如图，点M到△ABC三边的距离分别为ME、MF、MG.ME＝MF＝MG.理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等．9.△ACD△BCE.因为C是AB的中点，所以AC＝BC.又AD＝BE，CD＝CE，根据“SSS”，可以知道△ACD△BCE.10.因为AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，根据“SSS”，可以知道△ABC△ADC.所以∠BAC＝∠DAC.所以AE就是∠MPN的平分线．11.最少需用2根钢管来连接．12.△ABD△ACE.因为AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，根据“SSS”，可以知道△ABD△ACE.还有△ABE△ACD.13.略14.△ACE△BDF.因为AB＝CD，所以AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.又因为AE＝BF，CE＝DF，根据“SSS”，可以知道△ACE△BDF.15.还需要具备：MP＝OQ，∠M＝∠QON；或PO＝QN，∠POM＝∠N；或∠M＝∠QON，∠POM＝∠N；或∠M＝∠QON，∠P＝∠Q；或∠P＝∠Q，∠POM＝∠N；或MP＝OQ，PO＝QN.16.∠A＝∠D.因为BE＝FC，BE＋EC＝FC＋EC，所以BC＝FE，又AC＝DE，AB＝DF，根据“SSS”，可以知道△ABC△DFE.所以∠A＝∠D.17.BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又因为AB＝AC，AD＝AD，根据“HL”，可以知道Rt△ADBRt△ADC.所以BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.18.①Rt△ADFRt△ADE；②Rt△ADBRt△ADC；③Rt△DFCRt△DEB.因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.又因为AB＝AC，AD＝AD，根据“HL”，可以知道Rt△ADBRt△ADC.所以∠CAD＝∠BAD，又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AFD＝∠AED＝90°.又因为AD＝AD，根据“AAS”，可以知道Rt△ADFRt△ADE.因为Rt△ADBRt△ADC，所以BD＝CD，∠B＝C.又因为∠BED＝∠CFD＝90°，根据“AAS”，可以知道Rt△DEBRt△DFC.19.(1)～(2)略(3)因为AC⊥OM，BC⊥ON，所以∠CAO＝∠CBO＝90°.又因为OA＝OB，OC＝OC，根据“HL”，可以知道Rt△OACRt△OBC.所以∠AOC＝∠BOC.所以OC平分∠MON.20.(1)BC＝AD或AC＝BD(2)∠CAB＝∠DBA或∠CBA＝∠DAB\n本章总结从丰富的现实情境中描写出全等图形、全等三角形等几何模型；通过讨论研究全等图形的特征，三角形全等的条件和特征，并解决一些实际问题，其知识点间的结构如下：本章考查的主要内容有：(1)通过观察、探索，认识图形的全等，提高对图形的分析能力，尤其是在方格纸中；(2)灵活选用全等三角形的判定方法和性质进行说明和计算；(3)用全等三角形解决有关测量距离等简单的实际问题．并用语言表达理由．从题型的角度来看，填空题、选择题、解答题、甚至综合题都侧重于考查全等三角形的性质与判别方法的应用．一、全等三角形的性质例1　(太原)如图，△ACB△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为(　　)A．20°B．30°C．35°D．40°解析　因为△ACB△A′CB′，所以∠ACB＝∠A′CB′，则∠ACB－∠A′CB＝∠A′CB′－∠A′CB，即∠ACA′＝∠BCB′＝30°.答案　B点评　关于全等三角形性质要注意对应角和对应边的确定．二、三角形全等的判定例2　(江苏)如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC△DEF的条件共有(　　)A．1组B．2组C．3组D．4组解析　对照四组条件，分别在图中做记号，可以一目了然地发现正确与否．答案　C点评　本题考查了一般三角形全等的方法，属于基本题，但要注意对应．三、全等三角形性质和判定的综合运用例3　(重庆)如图，点A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.试说明：(1)△AEF△BCD；(2)EF∥CD.解析　由已知AD＝BF，由等式性质有AF＝BD，再加上已知条件，AE＝BC.只需∠A＝∠B，而由条件AE∥BC即可得到．证明　(1)因为AE∥BC，所以∠A＝∠B.又因为AD＝BF，所以AF＝AD＋DF＝BF＋FD＝BD.又因为AE＝BC，所以△AEF△BCD.(2)因为△AEF△BCD，所以∠EFA＝∠CDB.所以EF∥CD.点评　本题中条件AD＝BF不是全等的直接条件，通过线段的相等转化为全等的直接条件．例4　如图，用纸剪一个等腰Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC，∠B＝∠BAC＝45°.若把△ABC沿着经过点A的直线折叠，使AC落在边AB上，点C落在点C′上．(1)C′D和DC相等吗？请说明理由；(2)△C′DB是等腰直角三角形吗？为什么？\n(3)AB和Rt△ADC的两条直角边AC、DC又有怎样的数量关系？请说明理由．解　(1)C′D和DC相等．理由是：根据题意，易知△ADC△ADC′，故C′D＝DC.(2)因为△ABC是等腰直角三角形，∠B＝45°，由(1)知∠DC′B＝90°，所以△BC′D也是等腰直角三角形．(3)因为△AC′D△ACD，所以AC′＝AC，C′D＝CD.又因为C′D＝C′B，所以AC′＋C′B＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD.点评　通过图形折叠问题，可以帮助我们发现折叠前后线段、角的变化规律，要充分利用这些线段、角的变化规律来分析问题、解决问题，以丰富我们的图形意识，发展思维能力．例5　(济南)如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α＝________.解析　本题旨在考查全等三角形的性质及三角形内角和、对顶角的性质的应用．因为△ABE和△ADC是△ABC翻折形成的，所以△ABE△ADC△ABC，所以∠1＝∠BAE＝∠DAC，∠3＝∠ACD＝∠E.又因为∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，且∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝180°×28,36＝140°，∠2＝180°×5,36＝25°，∠3＝180°×3,36＝15°.所以∠EAC＝360°－∠BAE－∠1＝360°－140°－140°＝80°，在△APC中，∠ACP＝15°，∠PAC＝80°，所以∠EPD＝∠APC＝85°，所以∠α＝180°－∠E－∠EPD＝180°－15°－85°＝80°.所以∠α＝80°.答案　80°点评　解这类问题，关键在于建立未知角与已知角之间的联系，如本题中要求∠α，由内角和定理知需求∠EPD的度数，即∠APC的度数．三、开放题例6　(浙江)如图，点B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC△ABD，可补充的一个条件是：________(写一个即可)．解析　本题中的已知条件有：∠CAB＝∠DAB，AB＝AB.①若用“SAS”来判断，则填入AC＝AD；②若用“ASA”来判断，则填入∠CBA＝∠DBA或∠CBE＝∠DBE；③若用“AAS”来判断，则填入∠C＝∠D.答案　答案不唯一，如：∠CBA＝∠DBA，∠C＝∠D，AC＝AD，∠CBE＝∠DBE点评　本题是探索三角形全等的条件的开放型题目，解题关键在于首先在题中找到已知条件或从已知条件中推出有用的信息，再找到隐含条件，然后利用判定三角形全等的方法来选择填入什么条件．四、操作题例7　(海南)请你任选一类说明，多说明的题目不记分．(A类)如图①，AB＝AC，AD＝AE.试说明：∠B＝∠C；(B类)如图②，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC.试说明：OB＝OC；(C类)如图③，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且点D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出说明过程．解析\n　此命题方式是一种尝试．说明难度虽有区别，但都不是太大．选准一个给予说明即可，千万不要犹豫不决．解　(A类)在△ABD和△ACE中，因为AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，所以△ABD△ACE.所以∠B＝∠C.(B类)因为AO平分∠BAC，CE⊥AB，BD⊥AC，所以OE＝OD.在△BOE和△COD中，因为∠OEB＝∠ODC＝90°，OE＝OD，∠BOE＝∠COD，所以△BOE△COD.所以OB＝OC.(C类)△BDH△ADC.因为△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，所以BD＝AD，∠BDH＝∠ADC＝90°，HD＝CD，所以△BDH△ADC.点评　此题将选择权交给考生，富有挑战性．这种命题形式还会在中考命题中以新的形式出现．考生一定要量力而行，不要盲目求难而丢分．例8　(南宁)将图①中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图②中的△A′B′C′，除△ADC与△C′B′A′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形(不能添加辅助线和字母)？请选择其中一对加以说明．解析　本题考查了全等三角形的判定和平移的性质的综合应用．解　有两对全等三角形，分别为：△AA′E△C′CF，△A′DF△CB′E.说明△AA′E△C′CF，理由如下：由平移的性质可知：AA′＝CC′，又因为∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°.所以△AA′E△C′CF.五、动态问题例9　(包头)如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，并说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解析　本题以质点P、Q在三角形边上运动为载体，灵活地考查了全等三角形知识，在②中也考查了学生逆向思考的能力，即要使△BPD与△CQP全等，必须具备哪些条件．解　(1)①因为t＝1s，所以BP＝CQ＝3cm.因为AB＝10cm，点D为AB的中点，所以BD＝5cm，又因为PC＝BC－BP.BC＝8cm，所以PC＝8－3＝5(cm)，所以PC＝BD，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，所以△BPD△CQP.②因为vP≠vQ，所以BP≠CQ，因为∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，必须满足BP＝PC＝4，CQ＝BD＝5，所以点P、点Q运动的时间t＝BP,3＝4,3s，所以vQ＝CQ,t＝5,4,3＝15,4(cm/s)．(2)设经过xs后点P与点Q第一次相遇，由题意，得：15,4x＝3x＋2×10，解得x＝80,3，所以点P共运动了80,3×3＝80(cm)，因为80＝2×28＋24，\n所以点P、点Q在AB边上相遇．点评　将常规几何题中某些元素进行运动变化，探究某些元素及其关系的变化情况，这是课改提倡的对探索能力的考查，应引起足够的重视．六、设计题例10　(江苏)如图①，在6×6的方格纸中，我们把像△ABC这样顶点在网格上的三角形叫格点三角形．(1)试在方格纸上画出与△ABC有公共顶点，且全等的三角形；(2)试在方格纸上画出与△ABC有一条公共边且全等的三角形；(3)计算一下与△ABC全等的格点三角形的个数．,①　　　　　,②解析　综合运用全等三角形的判别方法．解　(1)～(2)略(3)如图②，先数出一行6个小方格中要求的三角形的个数，注意到各种对称位置的图形，如△A2B2C2、△A3B3C3，可正确地数出在这6个小方格中共有4×2×2＝16(个)．且这样“6个小方格”共有6行加6列，因此所求三角形的个数为16×6×2－1＝191(个)．点评　几何图形的特征主要体现于它们的形状、位置和大小，而本题中的3个问题从点到边，再到位置层层递进，突出了分类思想，也体现了数学学习方法的探索．例1　如图，△ABC中，AD是中线，∠BAD＝∠DAC，试说明：AB＝AC.错解　在△ABD与△ACD中，因为BD＝CD，∠BAD＝∠DAC，AD＝AD，根据“SAS”得△ABD△ACD，所以AB＝AC.错因分析　在△ABD与△ACD中，∠BAD＝∠DAC，AD＝AD是公共边，D是BC中点，即BD＝DC，具有“两边一角”对应相等，无法判定全等，因为AD是中线，就想到可把中线AD延长一倍，构造全等三角形来解决问题．正解　延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，如图所示，在△ACD和△EBD中，AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，DC＝BD，所以△ACD△EBD(SAS)．所以BE＝AC，∠CAD＝∠BED.因为∠BAD＝∠DAC，所以∠BED＝∠BAD，所以AB＝BE.所以AB＝AC.例2　如图，A、C、F、D四点在同一直线上，且AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，试说明：AB∥DE.错解　因为AF＝DC，所以AF－CF＝DC－CF，所以AC＝DF.在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，所以△ABC△DEF(SSS)．所以AB∥DE.错因分析　根据全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，我们由全等能得到的是线段相等或角相等，不能直接得到两线段平行或垂直等等．正解　易知△ABC△DEF(SSS)(理由同上)．所以∠A＝∠D.\n所以AB∥DE.例3　如图，AB∥CD，O是BD的中点，E、F点分别在AB、CD上，且BE＝DF.试说明：BD平分EF.错解　因为AB∥CD，所以∠1＝∠2.在△BOE和△DOF中，因为OB＝OD，BE＝DF，根据“SAS”得△BOE△DOF，所以OE＝OF，即BD平分EF.错因分析　虽然有OE＝OF，但点E、O、F三点不共线，并不能说明BD平分EF.正解　根据“SAS”得△BOE△DOF(理由同上)．所以OE＝OF，∠BOE＝∠DOF.又因为∠BOF＋∠DOF＝180°，所以∠BOF＋∠BOE＝180°，即E、O、F三点共线，因此BD平分EF.例4　如图，AD＝CB，∠1＝∠2.试判断AB与CD的关系，并说明理由．错解　AB＝CD.在△ABC和△CDA中，AD＝CB，∠1＝∠2，AC＝CA，根据“SAS”得△ABC△CDA，得AB＝CD.错因分析　两线段的关系包含数量关系和位置关系，如本题中应作出“AB＝CD且AB∥CD”的判断．正解　根据“SAS”得△ABC△CDA(理由同上)．所以AB＝CD，∠BAC＝∠DCA.所以AB∥CD.\n复习题(P126)1.①与⑥，△ABC△MNO(SAS)；②与④，△DEF△TWR(SSS)；③与⑤，Rt△KGHRt△PSQ(HL)．2.△MPQ△PNR.因为P是MN的中点，所以MP＝PN.又因为MQ＝PR，PQ＝NR，所以△MPQ△PNR.3.方法正确．因为CD＝CA，CE＝CB，∠DCE＝∠ACB，根据“SAS”，可以知道△DCE△ACB.所以DE＝AB，量出了DE的长就得到了A、B两点的距离．4.点C、D到点A的距离相等．因为AB⊥CD，所以∠DBA＝∠CBA＝90°.又因为BD＝BC，AB＝AB，根据“SAS”，可以知道△ABD△ABC.所以AD＝AC.5.AC＝AD.因为∠3＝∠4，∠ABC＝180°－∠3，∠ABD＝180°－∠4，所以∠ABC＝∠ABD.又因为AB＝AB，∠1＝∠2，根据“ASA”，可以知道△ABC△ABD.所以AC＝AD.6.因为MN⊥SN，PQ⊥SN，MS⊥PS，所以∠N＝∠SQP＝90°，∠MSP＝90°，即∠M＋∠MSN＝90°，∠MSN＋∠PSQ＝90°.从而可得∠M＝∠PSQ.又因为MS＝PS，根据“AAS”，可以知道△MNS△SQP.7.AC＝BD.因为AC⊥BC，DB⊥BC，所以∠ACB＝∠DBC＝90°.又因为AB＝CD，BC＝CB，根据“HL”，可以知道Rt△ABCRt△DCB.所以AC＝DB.8.①AD＝AC，AB＝AE；②AD＝AC，∠ADB＝∠ACE；③AB＝AE，∠B＝∠E；④∠ADB＝∠ACE；AB＝AE；⑤∠B＝∠E，AD＝AC.9.EF＝AC.因为∠ABE＝∠CBF，所以∠ABE＋∠EBC＝∠CBF＋∠EBC，即∠ABC＝∠EBF.又因为AB＝EB，BC＝BF，根据“SAS”，可以知道△ABC△EBF.所以EF＝AC.10.图中有3对三角形全等．①△CBE△DBE；②△ABC△ABD；③△AEC△AED.当证△CBE△DBE，所以CE＝DE，∠CEB＝∠DEB.又因为AE＝AE，根据“SAS”，可以知道△AEC△AED.，则AC＝AD，∠CAE＝∠DAE，又因为AB＝AB，所以△ABC△ABD.11.△AES△RET.因为AE＝RE，∠S＝∠T，∠A＝∠R，根据“AAS”可以知道△AES△RET.△AEY△REK，△TEK△SEY，△TYB△SKB.12.有两组：Rt△ABCRt△ADC；Rt△AEFRt△FGCRt△AMQRt△PNC.\n13.(1)如图△A″BC″.(2)如图△AB″C.(答案不唯一)14.如图．15.AD＝CE.因为BE⊥CE，AD⊥CE，所以∠BEC＝∠CDA＝90°.又因为∠ACB＝90°，即∠BCE＋∠ACE＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，所以∠BCE＝∠DAC.又因为BC＝AC，根据“AAS”，可以知道Rt△BECRt△CDA.所以AD＝CE.16.(1)OE＝OC.因为AO是角平分线，BC⊥AC，DE⊥AB，所以OE＝OC.(2)6对．AE＝AC，AB＝AD，OE＝OC，ED＝CB，OB＝OD，BE＝DC.分别可说明△AOE△AOC，△AOB△AOD，△BOE△DOC.17.4对．△AOB△COD，△AOD△COB，△ABD△CDB，△ABC△CDA，理由略．\n　　第十二章　数据在我们周围12．1　普查与抽样调查知识点一　普查和抽样调查普查：为一特定目的而对所有考察对象所做的全面调查叫做普查．抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查，简称抽查．例1　下列调查中，不适合做普查而适合做抽样调查的是(　　)A．了解全班每位同学的家庭住房面积B．了解某批炮弹的杀伤半径C．了解某幢楼20户家庭每天丢弃垃圾袋的个数D．调查某商场某天各类饮料的销售情况解析　对调查方式的选择，首先要了解这四个实际问题中的考察对象，然后再确定调查方式．显然在本题中，B不适合做普查，而适合做抽样调查．答案　B友情提醒　对调查方式的选择，应根据实际问题而确定．知识点二　总体、个体、样本、样本的容量总体：将所考察的对象的全体叫做总体．个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体．样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．样本的容量：样本中个体的数目叫做样本的容量．例2　某校要了解七年级女生的体重，以掌握她们的身体发育情况，从七年级300名女生中抽出30名进行体重测量．在这个抽查中，下列说法正确的是(　　)A．300名女生是个体B．300名女生是总体C．300名女生是总体的一个样本D．300名女生中每一个女生的体重是个体解析　本题中，总体、个体及样本都是指女生的体重，而不是指女生．答案　D友情提醒　解决此类问题的关键是要弄清总体、个体和样本的概念．知识点三　普查和抽样调查的优缺点普查是通过调查总体来收集数据，调查的结果准确，缺点是普查往往工作量大，难度大，而且有些调查不宜使用普查．抽样调查是通过调查样本来收集数据，抽查的工作量较小，便于进行，缺点是样本的抽取是否得当，直接关系到对总体的估计的准确程度，为了获取较为准确的调查结果，抽样时要注意所选样本的代表性．例3　请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性．①在大学生中调查我国青年人最崇拜的偶像；②调查一个班级里学号为奇数的学生，以了解学生对任课老师的意见和建议；③在北京城镇居民中调查我国家庭拥有私家车的比例；④在某医院的肿瘤科调查我国60岁以上老人的健康状况．解析　要判断一个样本是否有代表性，关键是要看调查的样本的范围大小，并判断是否具有普遍性．解　①③④调查的样本缺乏代表性．教材中的“？”解答—————————————————第十二章　数据在我们周围议一议(P132)思路点拨：鼓励学生发表不同意见，提出多样性的解决方式，初步了解普查的应用以及普查的局限性，从而引出抽样调查的必要性．解答：人口普查是普查，灯泡的寿命调查应是抽样调查，收视调查应是抽样调查，测量身高、体重是普查或抽样调查．议一议(P134)\n思路点拨：通过讨论，了解普查和抽样调查的各自特点．解答：一般通过普查可直接得到较为全面、准确的信息，但有时总体中的个体数目较多，所以花费的时间较大，耗费的人力、物力也非常大；有时受客观条件的限制，无法对所有的个体进行普查；有时调查具有破坏性，不允许进行普查．抽样调查只考察总体中的一部分个体，调查范围较小，所以节约了时间、人力和物力，但其调查的结果往往不如普查准确．一、普查与抽样调查在实际生活中的应用例1　某区教育管理部门为了考察全区学生的身体发育情况，来到一家少年业余体育学校调查200名在那里学习的学生．请你判断这个抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由．解析　判断抽样调查选取样本的方法是否合适，关键是弄清抽样调查对象在总体中是否具有代表性．解　这个抽样调查选取样本的方法不合适，因为少年体校的学生锻炼身体的机会相对较多，身体素质比较好，所以不具有代表性．点评　衡量抽样调查选取样本的方法是否合适，要从以下两个方面加以考查，才能作出正确的判断：(1)所选取的样本是否具有代表性；(2)所选取的样本容量是否足够大．二、普查与抽样调查的综合题例2　桂林是一座美丽的城市，为增强市民的环保意识，配合6月5日的“世界环境日”活动，某校七年级(5)班50名学生在同一天调查了各自家庭丢弃废塑料袋的情况，统计结果如下：每户居民丢弃废塑料袋的个数,2,3,4,5户　　数,4,20,18,8　　根据以上数据，请回答下列问题：(1)这50户居民中，户数最多的每天丢弃废塑料袋的个数是多少？(2)该校所在的居民区有1万户居民，则该居民区每天丢弃的废塑料袋总数大约有多少个？解析　本题是采用抽样调查进而估计全体的一种题型，户数最多的每天丢弃废塑料袋的个数通过读表可以知道是3个；要算出1万户家庭中所丢弃的废塑料袋个数，需先求50户中平均每户丢弃的废塑料袋个数，再求出这1万户所丢弃的废塑料袋个数．解　(1)这50户居民中，户数最多的每天丢弃废塑料袋个数是3个．(2)50户居民家庭平均丢弃的废塑料袋个数是：(2×4＋3×20＋4×18＋5×8)÷50＝3.6(个)，则1万户家庭所丢弃的废塑料袋总数约为3.6×10000＝36000(个)．点评　普查可以了解具体数目，但需要大量的人力和物力，抽查可以了解其大约数值，与具体数目相差不大，既可行又科学．三、探究题例3　下列各抽样调查选取的样本是否具有代表性？(1)在大学生中调查我国青年业余时间娱乐的主要方式；(2)某市卫生部关注老年人的身体健康，在全市所有的老年健身活动站调查老年人的健康状况；(3)调查一个班级里学号为3的倍数的学生，以了解学生对班主任老师某一新举措的意见和建议．解　(1)首先考虑在大学生中进行调查所得到的相关数据是否能够代表全国青年业余时间娱乐的主要方式，由于大学生群体的文化素质、知识含量、休闲方式等都具有一定的特殊性，故仅在大学生中进行调查，并不能代表我国青年业余时间娱乐的主要方式．(2)经常在老年健身活动站活动的老年人，由于他们热爱运动，注意锻炼身体，身体素质相对较好，所以在全市所有的老年健身活动站调查老年人的身体状况，尽管人数(即样本容量)很多，分布也很广(全市各区都有)，但是他们的身体状况也不能代表全市老年人的身体状况．另外，在老年健身活动站做健身运动的老年人，他们的年龄也过于集中，不具备代表性．(3)这种调查是抽样调查，具有代表性，得到的样本数据较有说服力．\n点评　抽样调查的样本必须具有代表性，这样得到的样本数据才具有说服性．1.一次考试约有2万名考生参加，从中抽取500名考生的成绩进行分析，则该抽查的样本是(　　)A．500B．500名C．500名考生D．500名考生的成绩2.下列调查中，最适合采用抽样调查的是(　　)A．某学校要对职工进行身体检查B．烙饼师傅要知道正在烤的饼熟了没有C．语文老师检查某学生作文中的错别字D．了解某学生一天晚上的睡眠情况3.下列调查具有代表性的是(　　)A．在大学生中调查我国青年喜欢上网的人数比率B．调查一个班级里的男同学，以了解该班全体学生的学习情况C．在南京地区调查气候情况，以了解全国相应季节的气候D．在某一超市的食品架上随机抽取若干袋饼干检查质量，以了解该超市的饼干是否合格4.某市社会调查组对城区内一个社区居民的家庭经济状况进行了调查，结果是：该社区共有500户，高收入、中等收入和低收入家庭分别有125户、280户和95户．已知该市有100万户家庭，下列叙述正确的是(　　)A．该市高收入家庭约25万户B．该市中等收入家庭约56万户C．该市低收入家庭约19万户D．因为城市社区家庭经济状况普遍较好，所以不能据此估计全市所有家庭经济状况5．为了了解八年级学生的身高情况，校医对每个班学员是5的倍数的同学进行了测量，这个活动可以看成是________调查，其中总体是____________，个体是____________．6．某电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场进行调查，产品的销售量占这三个大商场同类产品销售量的40%，由此在广告中宣传他们的产品在国内同类产品的销量中占40%.该宣传中的数据是否可靠：________(填“可靠”或“不可靠”)，理由是____________________________．7.下列各项调查，适合采用普查还是抽样调查？如果是抽样调查，指出总体、个体、样本和样本的容量．(1)调查某班每位同学的体重；(2)为了了解一批空调的使用寿命，从中抽取5台做调查．8.民兴中学七年级(6)班徐欣帮助母亲预算5月份电费开支情况，下表是徐欣家5月份连续8天每天早上电表显示的读数．若她家“峰时”与“谷时”用电量之比是2∶1，且“峰时”每度电收取电费0.55元，“谷时”每度电收取电费0.30元，则徐欣家5月份的电费约是多少元？日　期,1,2,3,4,5,6,7,8电表显示读数,21,24,28,33,39,42,46,49\n1.D2.B3.D4.D5．抽样　八年级全体学生的身高　每名八年级学生的身高6．不可靠　所取的样本容量太小，且不具有代表性7.(1)普查．(2)抽样调查．总体是这一批空调的使用寿命，个体是这一批空调中每一台的使用寿命，样本是所抽取的5台空调的使用寿命，样本的容量是5.8.(49－21)÷(8－1)＝4(度),4×31＝124(度)，124×[(2×0.55＋1×0.3)÷3]≈58(元)，故徐欣家5月份的电费约是58元．“统计”一词的产生统计已经有几千年的历史，不过在早期还没有出现“统计”这样的用语．统计语源最早出现于拉丁语的Status，是指各种现象的状态和状况．由这一语根组成意大利语Stato，表示“国家”的概念，也含有国家结构和国情知识的意思．根据这一语根，最早作为学名使用的“统计”，是18世纪德国政治学教授亨瓦尔(G.Achenwall)在1749年所著《近代欧洲各国国家学纲要》一书绪言中，他把国家学名定为“Statistika”(统计)这个词，原意是指“国家显著事项的比较和记述”或“国势学”，认为统计是关于国家应注意事项的学问．此后，各国相继沿用“统计”这个词，并把这个词译成各国的文字，法国译为Statistique，意大利译为Statistica，英国译为Statistics，日本最初译为“政表”“政算”“国势”“形势”等，直到1880年在太政宫中设立了统计院，才确定以“统计”二字正名.1903年(清光绪廿九年)，由钮永建、林卓南等翻译了横山雅南所著的《统计讲义录》一书，把“统计”这个词从日本传到我国.1907年(清光绪卅三年)，彭祖植编写的《统计学》在日本出版，同时在国内发行，这是我国最早的一本“统计学”书籍．“统计”一词就成了记述国家和社会状况的数量关系的总称．\n练一练(P134)(1)普查．(2)抽样调查．总体是这批洗衣机的使用寿命，个体是每台洗衣机的使用寿命，样本是从中抽取的5台洗衣机的使用寿命，样本容量为5.习题12.1(P134)1.(1)一般采用抽样调查，因为长江里的鱼无法一一调查．(2)一般采用抽样调查，因为测试电视机的使用寿命时对电视机会造成一定的破坏．(3)普查和抽样调查都可以．2.(1)总体是七年级学生每天用于学习的时间，个体是七年级每名学生每天用于学习的时间，样本是抽取的100名学生每天用于学习的时间，样本容量是100.(2)总体是这一批零件尺寸与规定尺寸间的误差，个体是这一批零件中每件零件的尺寸与规定尺寸间的误差，样本是抽取的10件零件其尺寸与规定尺寸间的误差，样本容量是10.3.既可以用普查方式(一个一个地测量调查或访问调查或到学校医务室查阅体检档案)，也可以用抽样调查的方式．方案设计略(设计方案要切实可行，记录的数据要方便整理)．4.答案不唯一，例如：调查全班同学的身高、体重、鞋的尺码大小等情况，适用普查；调查一批药品的质量情况，适用抽样调查．5.(1)一般情况下可以认为该样本具有代表性．(2)一般情况下认为该样本不具有代表性．(3)一般情况下认为该样本不具有代表性．\n12．2　统计图的选用知识点一　扇形统计图、条形统计图、折线统计图1．扇形统计图：以整个圆代表统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同的扇形面积表示，扇形面积占圆面积的百分之几就代表该统计项目占总体的百分之几．这样的统计图称为扇形统计图．扇形统计图的特点：(1)用扇形的面积表示各部分在总体中所占的百分比；(2)易于显示每组数据相对于总数的大小．2．条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少画成长短不等的条形，条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，这样的统计图叫做条形统计图．条形统计图的特点：(1)能够显示每个项目的具体数据；(2)易于比较数据之间的差别．3．折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后顺次把各点连接起来，这样的统计图叫做折线统计图．它既可以表示出项目的具体数量，又能清楚地反映事物变化的情况．折线统计图的特点：易于显示数据的变化趋势．例1　某班同学参加数学奥林匹克竞赛，将竞赛成绩分组后，绘制成如图所示的条形统计图．(1)这个班共有________人；(2)这个班参加数学奥林匹克竞赛的及格率是________．解析　本题根据条形统计图中的具体数据可得出这个班的人数和及格人数，从而求出及格率．答案　(1)50　(2)96%例2　要反映某股票的涨跌情况，最好选择(　　)A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．股票大厅屏幕流水图解析　根据扇形统计图、条形统计图和折线统计图各自的特点来解决本题，股票的涨跌情况应选折线统计图．答案　B友情提醒　用扇形统计图、条形统计图和折线统计图来解题一定要抓住它们的特点．知识点二　扇形统计图的画法1．把一个圆的面积看成是1，以圆心为顶点的周角是360°，则圆心角是36°的扇形占整个圆面积的1,10，即10%.同理，圆心角是72°的扇形占整个圆面积的1,5，即20%.故画扇形统计图的关键是算出圆心角的大小．2．扇形所对圆心角的度数与该部分的百分比的关系是：圆心角的度数＝该部分的百分比×360°.教材中的“？”解答议一议(P137)思路点拨：通过计算每一部分的百分比×360°，可得出各个扇形的圆心角度数．解答：1.扇形圆心角的度数＝该部分的百分比×360°.2．大学、高中、初中、小学和其他所对应扇形的圆心角度数分别为3.6°、25.2°、64.8°、126°和140.4°.议一议(P140)思路点拨：阅读这3个统计图，分别说出可获取哪些信息，最后根据3种统计图的特点，在互相交流的基础上用自己的语言进行描述．\n解答：1.(1)2000年每10万人中具有初中文化程度的人数约占34%.(2)每10万人中具有大学文化程度的人数越来越多，到2000年每10万人中具有大学文化程度的约3611人．(3)2000年每10万人中具有初中文化程度的人数是33961人．2．扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．一、统计图选用的基础题例1　如图是一扇形统计图，求项目B占总体的百分比．解析　根据扇形统计图的定义，各部分占总体的百分比之和是1，由图可知，扇形C部分的圆心角是一个直角，即90°，所以项目C占总体的90°,360°×100%＝25%.用整体1减去项目A占总体的百分比，再减去项目C占总体的百分比，就得到项目B占总体的百分比．解　因为项目C占总体的百分比是90°÷360°×100%＝25%，项目A占总体的百分比是30%，所以项目B占总体的百分比是1－25%－30%＝45%.故项目B占总体的百分比是45%.点评　求扇形统计图各部分所占百分比，只要根据各部分百分比之和是1以及已知百分比，就可以解决此类问题．二、统计图选用的实际应用题例2　某班全体同学在“献爱心”活动中都捐了图书，捐书的情况如下表所示．每人捐书的册数/册,5,10,15,20相应的捐书人数/人,17,22,4,2　　根据题目中所给的条件，回答下列问题：(1)该班学生共有多少人？(2)该班共捐书多少册？(3)若该班所捐图书按如图所示的比例划分，则送给山区学校的书比送给本市兄弟学校的书多多少册？解析　(1)本题考查学生解读图表的能力及收集、整理数据的能力，根据题目中所给的数据，得出相应的捐书人数和该班的学生总数；(2)每人捐书的册数乘相应的捐书人数，即可求出所捐图书的总数；(3)有两种方法：一种是分别利用捐书总数乘送给山区学校所占图书的百分比和送给本市兄弟学校所占图书的百分比，再求这两个积的差，得到多出图书册数；另一种是先求出送给山区学校所占的百分比与送给本市兄弟学校所占的百分比之差，再乘捐书总数，就得到了多捐的图书册数．解　(1)17＋22＋4＋2＝45(人)，故该班学生共有45人．(2)5×17＋10×22＋15×4＋20×2＝405(册)，故该班共捐书405册．(3)解法一：405×60%－405×20%＝243－81＝162(册)．解法二：405×(60%－20%)＝405×40%＝162(册)．故送给山区学校的书比送给本市兄弟学校的书多162册．点评　解答关于统计图的应用题要结合文字信息和图形信息，根据要求求解．例3　美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某城市通过拆迁旧房、植草栽树、修建公园等措施，使城区绿化面积不断增加．如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题．(1)2008年底的绿地面积为多少公顷？比2007年底增加了多少公顷？(2)在2006年、2007年、2008年这三年中，增加绿地面积最多的是哪一年？\n(3)为了满足城市发展的需要，计划在2009年底使城市绿地面积达到70.2公顷，试求2008年绿地面积的年增长率．解析　本题考查了读图能力和利用统计图获取信息的能力，(1)(2)题的有些信息可直接从统计图中得到，然后通过计算求出结果；(3)题可以设年增长率为x，列方程解题，从而求出x的值．解　(1)2008年底的绿地面积为60公顷，比2007年底增加了4公顷．(2)51－48＝3(公顷),56－51＝5(公顷),60－56＝4(公顷)，故增加绿地面积最多的是2007年．(3)设2008年绿地面积的年增长率为x，依题意得60(1＋x)＝70.2，解得x＝17%，故2008年绿地面积的年增长率是17%.点评　利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究，只有这样才能作出正确的判断并解决问题．三、统计图的综合运用例4　某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图①②所示的条形和扇形统计图．　　　根据统计图中的信息，解答下列问题：(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；(2)若全校有1500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数；(3)根据调查结果，请你为学校即将组织的一项球类对抗赛提出一条合理化建议．解析　(1)由条形统计图知喜欢篮球的有13人，由扇形统计图知喜欢篮球的人数占26%，所以总人数为13,26%＝50(人)；(2)利用样本估计总体的思想，用全校学生数乘以样本中喜欢篮球运动学生所占的百分率可求；(3)可从喜欢某种运动所占百分率的大小来进行分析．解　(1)因为13÷26%＝50，所以本次被调查的人数是50.补全的条形统计图如图所示．(2)因为1500×26%＝390，所以该校最喜欢篮球运动的学生约为390人．(3)如“由于最喜欢乒乓球运动的人数最多，因此，学校应组织乒乓球对抗赛”等(只要根据调查结果提出合理、健康、积极的建议即可)．点评　本题为统计图的综合题，需利用同一项目在不同统计图中信息解题．1．下面两个统计图分别表示甲、乙两校中男、女生占所在学校人数的百分比，比较两校男生人数(　　)A．甲校多于乙校B．乙校多于甲校C．甲、乙两校一样多D．以上答案都不对2.如图是某地区用水量与人口数情况的统计图，日平均用水量为400万吨的那一年，人口数大约是(　　)A．180万人B．200万人C．300万人D．400万人3．奥委会为了统计第29届奥运会各国奖牌数所占的百分比，应选用________统计图；医生为了了解病人一天的体温变化情况，应选用________统计图；农民要比较三块地的玉米亩产量，应选用________统计图．4．甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量分别绘制了如图①②所示的统计图．从2004年到2008年，这两家公司中销售量增长较快的是________公司．5.\n小明一周内总共花了24元钱，其中交通费6元，文具费4元，午餐费10元，娱乐消费4元．请设计统计表表示以上数据，画扇形统计图直观地表示各项消费金额所占百分比，画条形统计图表示各项消费的金额．6.如图所示是某公司员工的年龄分布图，根据统计图，回答下列问题．(1)该公司员工共有多少人？(2)年龄在27～42岁之间的员工占员工总人数的百分比是多少？(3)请你用其他统计图表示该公司员工的年龄分布．7．某校七年级4个班的同学外出植树，已知1h内，5个女生种了3棵树，3个男生种了5棵树，各班人数如图所示，则哪个班植树最多？8.某校为了增加学生在校学习时间，把上课时间提前到7∶10，该校七年级(1)班甲、乙两个综合实践活动小组想探究其合理性，决定分工合作，对同学们到校时间及早餐质量进行调查．甲组同学在一天早晨6时30分在校门口开始对到校同学进行观察统计，并把统计结果绘制成条形统计图(如图①，每个时间段均不含起始时间)；乙组同学对全班同学进行抽样调查，并把调查结果画成扇形统计图(如图②)．,①,②(1)该校约有学生________人；迟到学生有________人，约占全校学生总数的________；(2)把扇形统计图补充完整，并估算因担心迟到而不能在家里吃营养早餐的学生人数；(3)通过以上两个问题的解答，你对“学校提前到7∶10上课”有何看法？请简要回答．1．D2.A3．扇形　折线　条形4．甲5.小明一周内各项消费金额及其所占百分比如下表所示：消费项目,交通,文具,午餐,娱乐,合计消费金额/元,6,4,10,4,24百分比,25.00%,16.67%,41.66%,16.67%,100%扇形统计图中表示各项消费金额的扇形的圆心角度数分别为：交通：360°×6,24＝90°；　文具：360°×4,24＝60°；午餐：360°×10,24＝150°；　娱乐：360°×4,24＝60°.可以画出扇形统计图和条形统计图如图所示．6.(1)150人．　(2)70%.　(3)可以用扇形统计图来表示，图略．7．(1)班种了22×5,3＋18×3,5＝712,15(棵)，(2)班种了18×5,3＋20×3,5＝630,15(棵)，(3)班种了13×5,3＋22×3,5＝523,15(棵)，(4)班种了15×5,3＋21×3,5＝564,15(棵)，故(1)班植树最多．8.(1)1200　414　34.5%(2)在扇形统计图的空白区中填写30%，估算：45%×1200＝540(人)．(3)不合理．根据以上计算及估算的结果可见，“学校提前到7∶10上课”既不利于学校制定制度的执行与管理，又不利于学生身体健康，因此，学校不应将上课时间提前．电视收视率是如何得到的\n电视台为了提高电视节目的质量，常常要了解各电视节目的收视率，并据此调整电视节目的定位和内容．那么，电视收视率是如何得到的呢？“那还不简单，调查呗！”但全国有数亿电视用户，需要调查多少电视用户呢？100万？1000万？这些电视用户又如何选择呢？调查活动又如何开展呢？事实上，在电视收视率调查中，往往根据家庭成员的年龄、性别、婚姻、经济、文化、教育等状况对家庭进行分类统计，然后根据统计结果，从一定范围的家庭中，按照一定比例选取部分家庭作为样本户，在这些具有代表性的家庭的电视机上加装一个名叫“个人收视记录器”的仪器，该仪器能记录下这户家庭收看的所有节目、广告收视选择以及换台情况等多种数据．数据调查公司正是根据这些数据分析得出各种电视收视率的．练一练(P138)1.学生完成此练习应使用计算器，在计算百分比和圆心角时可采用四舍五入的方法取近似值．洲　名,各大洲陆地面积占地球陆地面积的百分比,各大洲对应的扇形圆心角的度数亚　洲,30%,108°非　洲,20%,72°北美洲,16%,57.6°南美洲,12%,43.2°南极洲,9%,32.4°欧　洲,7%,25.2°大洋洲,6%,21.6°合　计,100%,360°\n七大洲陆地面积扇形统计图2.(1)如图．各类学校分布扇形统计图(2)学校共800所，中学有160所．3.(1)如图．不同小学来源扇形统计图(2)略\n练一练(P140)(1)选用扇形统计图，作图如下．消费支出分布统计图(2)选用条形统计图，作图如下．孵化期统计图(3)选用折线统计图，作图如下．国内生产总值统计图习题12.2(P142)1.第27届奥运会金牌数的条形统计图和扇形统计图分别如下：第27届奥运会金牌数条形统计图第27届奥运会金牌数扇形统计图2.(1)如图．全班最喜爱体育运动统计图(2)如图．全年级最喜爱体育运动统计图可发现全班最喜爱的体育运动所占比例与全年级最喜爱的体育运动所占比例大体相同．3.由于不知道总体的数值，因而不能判断出哪一所学校的男生人数多．扇形统计图表明的是部分在总体中所占的百分比，一般不能直接从图中得到具体数据．4.(1)选用扇形统计图，作图如下．空气主要成分统计图\n(2)选用条形统计图，作图如下．上学方式条形统计图(3)选用折线统计图，作图如下．某企业年利润折线统计图5.如图．2000年与1990年各年龄段人口比重变化图可结合我国的人口政策、计划生育政策、人口老龄化等得出结论，结论略．\n6.(1)可画条形统计图，也可画折线统计图，也可设计其他统计图，合理即可．(2)～(3)略\n12．3　频数分布表和频数分布直方图知识点一　频数和频率记录数据时，某个对象出现的次数称为频数，频数与总次数的比值称为频率．例1　在数11011001100011000011中，“1”出现的频数是多少？频率为多少？解析　本题中总共有20个数字，“1”出现10次，所以频数为10，频率是0.5.解　“1”出现的频数是10，频率是10÷20＝0.5.友情提醒　求频率就是计算出相应的频数，然后算出频数与总次数的比值．知识点二　频数分布表、频数分布直方图、频数分布折线图1．在描述和整理数据时，往往可以把数据按照数据的范围进行分组，整理数据后即可得到频数分布表．2．根据频数分布表，就可以画出频数分布直方图．频数分布直方图的画法：(1)找到这一组数据的最大值和最小值；(2)求出最大值与最小值的差；(3)确定组距，分组；(4)列出频数分布表；(5)由频数分布表，画出频数分布直方图．3．在描述数据时，我们可以用频数分布折线图来描述频数的分布情况．(1)频数分布折线图可以在频数分布直方图的基础上画出来．(2)在画频数分布折线图时，首先取直方图中每一个矩形上边的中点，然后将这些点用线段依次连接起来，即可得到频数分布折线图．例2　为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参赛．为了了解此次竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的成绩(得分取整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图，回答问题．分　组,频数,频率50.5～60.5,4,0.0860．5～70.5,,0.1670．5～80.5,1080．5～90.5,16,0.3290．5～100.5合　计,50,1.00　　(1)补全频数分布表；(2)补全频数分布直方图，并绘制频数分布折线图；(3)全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？(4)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀，则该校成绩优秀的约有多少人？解析　频数分布表和频数分布直方图是我们进行数据统计的基本图表．频数分布表考查的是频数、频率、样本的容量三者之间的关系：频率＝频数÷样本的容量．频数分布直方图是由频数分布表中的数据绘制的．本题中样本的优秀率可以看作为全校的优秀率，所以全校的优秀人数应等于全校人数乘样本的优秀率．解　(1)如下表．分　组,频数,频率50.5～60.5,4,0.0860．5～70.5,8,0.1670．5～80.5,10,0.2080．5～90.5,16,0.3290．5～100.5,12,0.24合　计,50,1.00　　(2)如图．(3)全体参赛学生中，竞赛成绩落在80.5～90.5分的人数最多．\n(4)900×0.24＝216(人)，故该校成绩优秀的约有216人．友情提醒　填频数分布表时，要注意各频数之和为样本的容量，各频率之和为1.画频数分布直方图时，可以简单地将各小长方形的高取成频数．当所选取的样本具有一定的代表性和广泛性时，就可以利用样本的结果估计出总体的有关结果，如第(3)(4)题．\n教材中的“？”解答议一议(P146)思路点拨：通过5个选举办法选举“环保小卫士”，让学生直观地理解频数和频率，进一步体会数据的收集和整理，体会统计对决策的作用．解答：1.选举用的是民意调查方法，调查对象是全班每位同学．2．每位候选人得票的频数就是每人的得票数．3．每位候选人得票的频率就是每人的得票率．4．如果没有经过全班同学的投票，而指定某同学为“环保小卫士”，没有说服力，显然用投票方法更好．一、频数分布表和频数分布直方图的基础题例1　七年级(1)班某一次数学测验成绩如下(单位：分)：64,84,91,53,69,81,61,69,91,78,75,81,80,67,76,81,79,94,61,69，89,70,70,87,81,86,90,88,85,67,71,82,87,75,87,95,53,65,74,77.数学老师按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图．(1)请把下面的频数分布表及频数分布直方图补充完整；成绩段,49.5～59.5,59.5～69.5,69.5～79.5,79.5～89.5,89.5～99.5频数划记,,正,,正正,正频数,2,9,,14,5(2)哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生最少？(3)请你帮助老师统计一下这次数学考试的及格率(60分以上含60分为及格)及优秀率(90分以上含90分为优秀)．解析　(1)由频数分布表中的信息可知，成绩段69.5～79.5的频数为10；(2)根据频数分布直方图易得结论；(3)根据频数分布表知及格的有40－2＝38(人)，优秀的有5人，即可求出及格率及优秀率．解　(1)频数分布表及频数分布直方图补充如下．成绩段,49.5～59.5,59.5～69.5,69.5～79.5,79.5～89.5,89.5～99.5频数划记,,正,正正,正正,正频数,2,9,10,14,5(2)79.5～89.5这个分数段的学生人数最多，49.5～59.5这个分数段的学生人数最少．(3)及格率为40－2,40＝95%，优秀率为5,40＝12.5%.点评　对于补表、补图问题，一定要将表中或统计图中其他信息掌握清楚，利用所知信息来补充完整．二、频数分布表和频数分布直方图的实际应用题例2　某校课外活动小组为了解本校七年级学生的睡眠时间情况，对学校若干名七年级学生的睡眠时间进行了抽查，将所得的数据整理后，画出了频数分布直方图，如图所示．已知图中从左到右五个小组的频率分别是0.04,0.08,0.24,0.28，0.24，第二小组的频数为4，请回答下列问题．(1)求被抽查的学生人数，并补全频数分布直方图；(2)被抽查的学生中，睡眠时间在哪个范围内的人数最多？该范围内的人数是多少？(3)如果该学校有900名七年级学生，若合理睡眠时间为7≤t＜9，那么这个学校七年级学生中睡眠时间在此范围的人数是多少？解析　本题主要考查学生对频数分布直方图的掌握情况及利用图表解决实际问题的能力．解　(1)因为4÷0.08＝50(人)，所以被抽查的学生人数是50人．因为1－0.04－0.08－0.24－0.28－0.24＝0.12，所以第五小组的频数为50×0.12＝6(人)，故补全频数分布直方图如下：(2)由频数分布直方图可知，频率最高的是第四小组，是0.28,50×0.28＝14(人)，\n故被抽查的学生中，睡眠时间在6≤t＜7范围内的人数最多，该范围内的人数是14人．(3)睡眠时间在7≤t＜9范围内的频率是0.24＋0.12＝0.36＝36%，所以睡眠时间在7≤t＜9范围内的学生人数占总人数的36%，所以900×36%＝324(人)，故全校900名七年级学生中睡眠时间在合理睡眠范围内的人数约是324人．点评　利用频数分布直方图来解决问题一定要分析题目中或图中的相关信息，利用相关信息来解题．三、频数分布表和频率分布直方图的综合应用题在直角坐标系中，用横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应的矩形面积大小来表示，由此画成的统计图叫频率分布直方图．例3　未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，某青少年研究所随机调查了大连市内某校100名学生寒假中零花钱的钱数(钱数取整数)，以便引导学生树立正确的消费观，根据调查数据制成了频率分布直方图(如图所示)和频数分布表．分组,频数,频率0.5～50.5,,0.1050．5～____,20,0.20100．5～150.5,,～200.5,30,0.30200．5～250.5,10,0.10250．5～300.5,5,0.05合计,100,　　(1)补全频数分布表；(2)该研究所认为，应对消费150元以上的学生提出勤俭节约的建议，试估计应对该校1000名学生中的多少名学生提出这项建议？解析　本题旨在考查频数和频率的概念及学生整理数据的能力，以及通过调查，对问题进行科学的估计和预测的能力．解　(1)“分组”中，最大值是300.5元，最小值是0.5元，共分6组，所以组距是(300.5－0.5)÷6＝50(元)，所以“分组”中填50.5～100.5和150.5～200.5.因为各小组的频率之和是1，所以“合计”中，“频率”为1.00.在100.5～150.5范围内的频率是1.00－0.10－0.20－0.30－0.10－0.05＝0.25，其频数是100×0.25＝25.在0.5～50.5范围内，频率是0.10，则频数是100×0.10＝10.(2)由频数分布表可知消费150元以上的学生占调查总人数的比是：0．30＋0.10＋0.05＝0.45＝45%，所以1000×45%＝450(人)．故应该对该校1000名学生中约450名学生提出这项建议．点评　本题把频数分布表和频率分布直方图结合在一起考查，对图表信息进行数据分析，是解决这类问题的关键．1.为了了解七年级女生的身体发育情况，某中学对部分七年级女生的身高进行了测量，将所得数据整理后，列出频数分布表如下．分组,频数,频率145.5～149.5,1,0.02149．5～153.5,4,0.08153．5～157.5,m,0.40157．5～161.5,15,0.30161．5～165.5,8,n165．5～169.5,2,0.04合计,50,1.00(1)表中m和n表示的数分别是多少？(2)补全频数分布直方图．\n2.某班进行数学测试，将所得成绩(得分取整数)进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图(如图所示)．请结合直方图提供的信息，回答下列问题．(1)该班共有多少名学生？(2)80.5～90.5这一分数段的频数、频率分别是多少？(3)哪一个分数段的人数最多？是多少？(4)从左到右各小组的频率比是多少？3.在一次环保知识测试中，七(1)班的两名学生根据班级成绩(分数为整数)分别绘制了组距不同的频数分布直方图，如图①②所示．已知图①从左到右每个小组的频率分别为0.04,0.08,0.24,0.32,0.20,0.12，其中68.5～76.5小组的频数是12，图②从左到右每个小组的频数之比为1∶2∶4∶7∶6∶3∶2.请结合条件和频数分布直方图，回答下列问题．,①,②(1)七(1)班参加测试的人数为多少？(2)若测试成绩80分以上(含80分)为优秀，则优秀率是多少？(3)若测试成绩60分以上(含60分)为及格，则及格率是多少？4.某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行了社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比，学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了如图所示的统计图，请根据该图回答下列问题：(1)学生会共抽取了________份调查报告；(2)若等第A为优秀，则优秀率为________；(3)学生会共收到调查报告1000份，则该校约有多少份调查报告的等第为E?5.时代中学七年级准备从部分同学中挑出身高差不多的40名同学参加校广播体操比赛，这部分同学的身高(单位：cm)数据整理如下：身高x/cm,频数,频率152≤x＜155,6,0.1155≤x＜158,m,0.2158≤x＜161,18,n161≤x＜164,11,164≤x＜167,8,167≤x＜170,3,170≤x＜173,2,\n合计,,(1)表中m＝________，n＝________；(2)应选择身高在哪个范围内的学生参加比赛？为什么？6.某农户在承包的一片荒地上种植了500株果树，今年是果树结果的第一年．为了了解今年这片果树的产量，该农户从中任意采摘了40株果树上的果实，称得每株果树上果实的质量(取整数，单位：kg)，并统计得到如下频数分布表和频率分布直方图．(1)请你将频数分布表中缺少的数据补上；(2)根据频数分布表，把频率分布直方图补充完整．分组,频数,频率11.5～14.5,11,0.27514．5～17.5,17,0.42517．5～20.520．5～23.5,1,0.025合计,40,1　　,\n1.(1)m＝50×0.40＝20，n＝8,50＝0.16.(2)如图所示．2.(1)4＋10＋18＋12＋6＝50(人)，故该班共有50人．(2)80.5～90.5这一分数段有12人，频率是12÷50＝0.24，故80.5～90.5这一分数段的频数、频率分别是12、0.24.(3)70.5～80.5这个分数段的人数最多，是18人．(4)从左到右各小组的频率比是：解法一：4∶10∶18∶12∶6＝2∶5∶9∶6∶3(直接运用人数比)．解法二：4,50∶10,50∶18,50∶12,50∶6,50＝2∶5∶9∶6∶3(直接运用频率比)．故从左到右各小组的频率比是2∶5∶9∶6∶3.3.(1)求总人数应用图①.因为68.5～76.5小组的频数是12，频率是0.24，故总人数为12÷0.24＝50(人)．(2)计算优秀率应用图②.因为1＋2＋4＋7＋6＋3＋2＝25,6＋3＋2＝11，所以11÷25×100%＝44%，故优秀率是44%.(3)计算及格率应用图①.1－0.04＝0.96＝96%，故及格率是96%.4.(1)50　(2)16%　(3)2,50×100%×1000＝40(份)．5.(1)12　0.3(2)应选身高在155≤x＜164范围内的学生参加比赛．因为这个范围内有41名同学，并且身高比较接近，从中选出40名同学参加比赛，队伍比较整齐．6.(1)17.5～20.5这一组的频数为40－11－17－1＝11，频率为11÷40＝0.275.(2)如图所示．我是中国人——化学家魏可镁的故事有人评说，日本的筑波城，不亚于美国的“硅谷”．魏可镁进研究所先是安排参观，参观各种设备，了解整个环境．他有一种眼花缭乱的感觉，仿佛置身在科幻世界．这种感觉使他兴奋，但兴奋之后是更加冷静，因为他是中国访问学者，他的一举手，一投足，都反映了中国学者的水平．在科技领域里，日本人的眼里只有美国人，他们是瞧不起中国人的．魏可镁在研究所开始工作时，就敏感地注意到这种氛围．他一开始做实验，那位课长就像跟踪盯梢似的，经常时不时地出现在他的背后，生怕他弄坏了设备．有一两次，在学术讨论中，他就实验的做法发表了一些意见，那位课长都不屑地挥挥手，意思是：不用多嘴！大概，这位课长只当魏可镁是以“访问学者”的名义公费出国旅游的．殊不知，站在他面前的这位衣着朴素、外表一点也不显山露水的中国学者，科研上已卓有成就，在中国被评为“有突出贡献的中青年专家”．魏可镁的成就，在访问学者的表册上都明明白白地写着．大概是日本人不相信这是真的，甚至看都不看．直到一次试验之后，他们才对魏可镁刮目相看．那是用贵重金属合成含氧化合物的制造方法的研究实验，魏可镁觉得研究方案不够严密，他坦诚地提出不要用贵金属，只要用钴和碱金属，并分析了理由．这是一项还没有被人突破的高精尖的研究课题，也许是日本人不相信魏可镁在这个领域里能涉猎得这么深，或者是多少伤害了他们的自尊心，于是很不高兴地说：“不，您就按我们的方案做吧！”魏可镁只得按原方案进行实验，但实验一次又一次地失败了．主持这个实验的课长，脸上的表情由不高兴转而有些尴尬．有一天，见他情绪不坏，魏可镁很委婉地说：“先生，实验可否调整一下试试？”课长只好绷着老脸下台阶：“好吧，那你就试试吧！”\n此后，从研究方案、催化剂制备、配方确定，以及测试和表征，日本人都让魏可镁独立自主地处理．实验一次又一次进行，醇的选择性一次比一次明显上升，最后达到48%.课长祝贺他说：“魏先生，成功了！可以取得专利了！”这个研究成果后来取得了日本专利．在申报专利的过程中，也闹了个插曲．日本人不仅把魏可镁的名字列在后面，而且写成是他们化学技术研究所的魏可镁．名字的先后次序可以不计较，但这种写法不能不计较啊！魏可镁找他们说理，那位课长解释说：“你的成绩是在我们所里搞出来的，是我们提供的条件，所以只能这样写．”魏可镁理直气壮地说：“我是中国人．你这样一写，别人就把我当成日本人了．我要求明确写清楚，我是中华人民共和国福州大学的魏可镁．”课长没有话说，只得挂电话请示领导，请示专利局，终于不得不同意魏可镁的要求．虽然出现了争执，但从此以后他们对魏可镁的态度明显改变，又是送毛毯，又是送大衣，管行政的人员特地到宿舍来察看是否有取暖器．有一次魏可镁感冒了，他们特地送来十几万日元，以备看病缴费．那位课长请他到家里做客，生怕他不去，说过后还再让一位叫松崎的同事来邀请，第二天，两个人一起开车接他．第二年元旦那一天，部长和课长又都分别请他吃饭．魏可镁的访问时间是一年，到结束前的一个月，课长特地征求他的意见：是否能留下来继续工作一段时间？如果愿意，他就马上去办理延长手续．他让魏可镁考虑一下．魏可镁不是没有考虑，更不是不会考虑．如果留下继续工作一年、二年……这里实验条件好，待遇也优厚，小车很快就会有，小别墅也很快就会有．但他想念妻子和女儿，而更重要的是，他有许多新催化剂的构想，他急着回国立项，建立新的研究课题．那些新构想的催化剂，都是中国的土地上极为需要的．魏可镁决定按期回国，日本人感到很惋惜．临回国前，那位课长，还有一位主任研究官，亲自开车陪他，到离筑波城六百多公里的京都参观游览三天．登机的那一天，研究室里的三位先生亲自送到机场，依依惜别．练一练(P146)空气污染指数,1～50(Ⅰ级),51～100(Ⅱ级),101～200(Ⅲ级),201－300(Ⅳ级)划　记,,正正正正正正,正正,频　数,1,34,11,1频　率,1,47,34,47,11,47,1,47练一练(P148)1.(1)49.5～54.5kg范围内的人数最多．(2)体重超过59.5kg的同学占全班同学的17.5%.2.(1)分组的方法不唯一，如分成8组．\n脉搏次数x/次/分,频数/学生人数132≤x＜137,2137≤x＜142,2142≤x＜147,5147≤x＜152,6152≤x＜157,8157≤x＜162,12162≤x＜167,9167≤x＜172,1(2)频数分布直方图以及频数折线图略．习题12.3(P149)1.(1)频数分布表如下：每日收看电视的时间/min,频数/学生人数0,210,720,1030,640,3(2)每日收看电视的时间少于25min的学生约占68%.2.(1)其噪音水平在75～80dB范围内．(2)噪音水平低于65dB的测量点有14处．3.(1)频数分布表如下：分数段,频数/学生人数49.5～59.5,259．5～69.5,669．5～79.5,1179．5～89.5,1489．5～99.5,6(2)频数分布直方图和频数分布折线图略．(3)大部分同学成绩处于69.5～89.5这一分数段.79.5～89.5这个分数段的同学最多，90分以上的同学较少，不及格的同学最少．\n本章总结中考对统计知识的考查由单一的选择题和填空题提高到分值较高的解答题和应用题，特别是图表信息方面的题目和具有时代气息及背景的题目是今后命题的热点，统计与其他知识结合在一起也是中考命题的一个重要方向．一、全面调查与抽样调查例1　(宁波)下列调查适合普查的是(　　)A．了解大学生的主要娱乐方式B．了解宁波市居民对废电池的处理情况C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查解析　根据普查和抽样调查的优缺点，A、B选项数量太多，结果不要求很精确，C选项具有破坏性，均不适合用普查，D选项必须采用普查，因为关系到每一位乘客的健康，要保证万无一失．答案　D点评　理解并掌握普查，抽样调查的优缺点和适用范围．例2　(漳州)要调查某校九年级550名学生周日的睡眠时间，下列调查对象选取最合适的是(　　)A．选取该校的一个班的学生B．选取该校50名男生C．选取该校50名女生D．随机选取该校50名九年级学生解析　选取的样本必须具有代表性，A、B、C都不能反映九年级学生的周日睡眠时间情况．答案　D点评　调查的样本必须能反映总体的情况，偏向于某一特殊的侧面会使样本缺乏代表性，影响调查结果的真实性与可靠性．二、统计图的应用例3　(青岛)我市举行的登山活动中，参加的市民约有12000人．为统计参加活动的市民的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图(如图①)和条形统计图(如图②)．(1)根据扇形统计图提供的信息，补全条形统计图；(2)参加此活动的市民中，哪个年龄段的人数最多？(3)根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想(不超过30字)．,①　　,②解析　本题属于简单的统计题，其特征是根据扇形统计图和条形统计图之间的转化关系进行数据处理．解　(1)根据扇形统计图可知70岁以上的占10%，故70岁以上的条形图只画出两格即可补全，如图．,(2)60～69岁年龄段的人数最多．(3)答案不唯一，合理即可．点评　双统计图试题是中考中的热点问题，解决此类问题需要从两个统计图中获取信息，综合解决问题．三、频数分布直方图和频数分布折线图例4　(广东)\n某中学学生会为了解该校学生喜欢球类运动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球这四种球类运动中选择最喜欢的一项，来调查若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图(如图①②，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢该种球类运动的学生人数)．请你根据图中提供的信息，解答下列问题．(1)在这次抽查中，一共调查了多少名学生？(2)喜欢排球的人数在扇形计图中所占的圆心角是多少度？(3)补全频数分布折线统计图．　　　　解析　(1)根据喜欢兵乓球的20位同学所占的比例为20%，可计算出样本容量；(2)根据样本容量求出喜欢足球的同学所占的比例，再求出喜欢排球的同学所占的比例，最后乘以360°即为所求；(3)用样本容量乘以喜欢篮、排球的同学所占的比例，求出人数，完成折线统计图．解　(1)20÷20%＝100(人)．(2)30,100×100%＝30%,1－20%－40%－30%＝10%,360°×10%＝36°.(3)喜欢篮球的人数为40%×100＝40(人)，喜欢排球的人数为10%×100＝10(人)．补全频数分布折线统计图如下：点评　本题综合考查从折线统计图和扇形统计图中获取信息的能力，要让已知的条件作为解决问题的突破口．例5　(达州)在我市实施“城乡环境综合治理”期间，某校组织学生开展了“走出校门，服务社会”的公益活动．八年级(1)班王浩根据本班同学参加这次活动的情况，制作了如下的统计图表．八年级(1)班学生参加各项服务的频数、频率统计表服务类别,频数,频率文明宣传员,4,0.08文明劝导员,10义务小交警,8,0.16环境小卫士,,0.32小小活雷锋,12,0.24\n八年级(1)班学生参加各项服务的频数分布直方图请根据上面的统计图表，解答下列问题．(1)该班参加这次公益活动的学生共有________名；(2)请补全频数、频率统计表和频数分布直方图；(3)若八年级共有900名学生报名参加了这次公益活动，试估计参加文明劝导的学生人数．解析　(1)从已知频数和频率的任一小组入手，得出样本容量；(2)利用得出的样本容量求出未知频数和频率；(3)利用样本估计总体．解　(1)50(2)环境小卫士的频数为16，文明劝导员的频率为0.20.频数分布直方图如下：八年级(1)班学生参加各项服务的频数分布直方图(3)180人点评　解此题的关键是准确理解频数、频率、样本容量的概念以及它们之间的关系，各小组的频数之和等于样本容量，各小组的频率之和等于1.例1　为了考察某市初中5000名毕业生的中考数学成绩，从中抽出20本试卷，每本30份，在这个问题中，样本是______________．错解　20本数学试卷错因分析　错误的原因是对总体、个体、样本等有关概念没弄清，本题中的样本是毕业生的中考数学成绩，而不是数学试卷．正解　600名毕业生的中考数学成绩例2　下列几种说法中，正确的是(　　)A．组距是指每一小组里最大数据与最小数据的差B．频率是指落在各小组内的数据C．组数是平均数除以组数的商D．每组的频数与数据总量的比值叫做该组的频率错解　A错因分析　对组距、极差的概念没有理解，组距是每组两个端点之间的距离．正解　D例3　要了解我国七年级学生的视力情况，你认为合适的调查方式是________．错解　普查错因分析　①没有弄清普查和抽样调查的区别；②没有理解题意中“我国七年级学生的视力情况”．正解　抽样调查复习题(P153)1.(1)适合抽样调查　(2)适合普查　(3)适合普查或抽样调查　(4)适合抽样调查2.(1)1200人(2)“赞成”“反对”和“无所谓”扇形的圆心角度数分别为252°、72°和36°.3.扇形统计图如下：两图的区别，即是扇形统计图和条形统计图各自的特点．4.(1)16.67%　(2)1990年：64.7%,2000年：63.0%　(3)2000年该市男劳动力比1990年增加了211200人，但男劳动力的百分数减少了．5.(1)频数分布表如下：时间段/min,频数/学生人数小于15,20等于15,16大于15,8(2)扇形统计图如下：\n上学途中所花时间情况的扇形统计图6.(1)小明家5月份一共打了74次电话．　(2)通话时间不足15min的有48次．7.(1)49名　(2)共8组，组距为5　(3)频数分布直方图和频数分布折线图略．8.(1)填表如下：年龄/岁,60岁以上,50～60岁(含60岁),50岁以下(含50岁)人数,18,28,12百分比,31.03%,48.28%,20.69%(2)用扇形统计图反映新增加院士的年龄分布情况比较合适，其扇形统计图如下：新增院士年龄分布扇形统计图,9.(1)条形统计图如下：折线统计图如下：(2)根据(1)可知，王先生3月份结余最多．10.(1)不一定，要做出断定还需要知道每年BB牌和AA牌方便面的总销售量．(2)在销售量的增长率方面领先．11.折线统计图如下：条形统计图如下：12～14.略\n　　第十三章　感受概率13．1　确定与不确定知识点　确定事件与随机事件的概念1．不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．2．必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．3．确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件．4．随机事件：在一定条件下，生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件．例　下列事件中，属于随机事件的是(　　)A．广州市的年平均气温比哈尔滨市的年平均气温高B．从装有50个黄球的袋中随机摸出2个球，这两个球都是白色的C．每晚7时，中央电视台一套播出“新闻联播”节目D．从装有10个黄球和4个白球的袋中，随机取出2个球，1个是黄球，1个是白球解析　由确定事件的概念可知，确定事件包括必然事件和不可能事件，选项A、C是必然事件，选项B是不可能事件，都是确定事件；而D是随机事件．答案　D友情提醒　解决此类问题的关键是理解确定事件、随机事件、必然事件、不可能事件等概念的意义以及正确认识实际问题．一、确定与不确定的基础题例1　下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)13个人中至少有两人出生的月份相同；(2)十五的月亮像一条弯弯的小船；(3)正常情况下，水在0℃时就开始结冰；(4)小明买福利彩票，中50万奖金；(5)2010年，我们都将搬到月球上去住；(6)一本书共201页，打开书本任意翻开一页，其页码是86页．解析　本题涉及必然事件、不可能事件、随机事件，由定义可作出判断．解　(1)(3)是必然事件；(2)(5)是不可能事件；(4)(6)是随机事件．点评　解决此类问题的关键是理解有关概念并结合实际问题加以解决．二、确定与不确定的应用题例2　在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们在口袋中被搅匀了．请判断以下事件是随机事件、不可能事件，还是必然事件？(1)从口袋中任意取出一个球，是白球；(2)从口袋中任意取出5个球，全是蓝球；(3)从口袋中任意取出5个球，只有蓝球和红球，没有白球；(4)从口袋中任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都有；(5)从口袋中任意取出9个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都有．解析　解决本题的关键是弄清袋中球的颜色及各自的个数，从而判断事件属于哪一种．————————————————————————————第十三章　感受概率解　(1)随机事件，因为袋中有白球，但不全是白球．(2)不可能事件，因为袋中蓝球只有3个．(3)随机事件，因为5个球的组合有很多种，蓝球加红球也在其中．(4)随机事件，因为袋中有这三种颜色的球．(5)必然事件，因为袋中任意两种颜色的球的个数之和都小于9，故任取9个球，必然要取到第三种颜色的球．.点评　结合实际情况来判断事件发生的机会，对照概念判断它属于哪一种事件．\n三、确定与不确定的综合题例3　在古代某地，有一县令用抽“生死签”的方法决定犯人的生死，有一犯人与该县令有私仇．县令为了报复他，偷偷在两张纸片上都写下了“死”字．聪明的犯人抽到一张后吞到肚子里，要求打开另一张，县令只好把剩下的另一张公示于众，并认定犯人吞下去的那张为“生”签，犯人从而得以死里逃生．请用你所学的知识分析犯人逃生的原因．解析　犯人面前是两张“死”签，不可能抽到“生”签，即抽到“死”签是一个必然事件，犯人必死无疑．当犯人吞下一张“死”签后，剩下的一张仍为“死”签，县令只好认定犯人吞下的一张为“生”签，因而犯人得以死里逃生．解　抽“死”签是必然事件，但剩下的一张是“死”签，说明吞下去的必然是“生”签，从而使犯人逃生．点评　解决此类问题的关键是分清确定事件、不确定事件、必然事件、不可能事件等概念．1.从一副扑克牌中抽取5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起，洗匀后，从中一次随机抽取10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情(　　)A．可能发生B．不可能发生C．很可能发生D．必然发生2.下列事件中，不可能事件是(　　)A．投掷两枚均匀的正六面体骰子，点数和为12B．打开电视机，正在放球赛C．一个多边形的内角和为270°D．购买福利彩票中奖3.抛掷两枚四个面分别标有1、2、3、4的均匀正四面体骰子，写出这个实验中的一个随机事件：____________；写出这个实验中的一个必然事件：____________.4．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上有5枝铅笔，每次取一枝或两枝，由小明先取，最后取完铅笔的人获胜．如果小明必然获胜，那么小明第1次应该取走________枝．5.指出下列事件是确定事件还是随机事件，并说明理由．(1)在一副扑克牌中，任意抽到的一张是大王；(2)在标准大气压下，80℃的水会沸腾；(3)掷一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数不超过6.6.“失败是成功之母”这句话的含义是什么事件呢？说明理由．7.一个广告声称：本次抽奖活动的中奖率为20%，其中一等奖的中奖率为1%.小明看到广告想，20%＝1,5，那么我抽5张就会有一张中奖，抽100张就会有一张中一等奖．你对小明的想法有何看法？8．分别标有①号、②号、③号、④号的4个袋子中各有颜色不同的乒乓球若干个(乒乓球除颜色不同外，其余都相同)．①号袋子里装有白色乒乓球；②号袋子里装有红、白、绿三种乒乓球；③号袋子里装有红、白、黄三种乒乓球；④号袋子里装有红、绿、黄三种乒乓球．\n下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件？(1)从①号袋子中任意取出2个白色乒乓球；(2)从②号袋子中任意取出2个球，红、白乒乓球各1个；(3)从③号袋子中任意取出2个球，红、白乒乓球各1个；(4)从④号袋子中任意取出3个球，红、白、黄乒乓球各1个；(5)从这4个袋子中各取出1个球，取出的4个球的颜色是红、白、黄、绿的乒乓球各1个．9.一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的玻璃球，其中4个红色、2个蓝色和2个白色，它们在口袋中已经被搅匀了．请根据以上条件，分别编写满足下列条件的事件．(1)必然事件；(2)不可能事件；(3)随机事件．1.D2．C3.答案不唯一，如：随机事件：掷得点数和是6；必然事件：掷得点数和不超过8.4．25.(1)随机事件，因为一副扑克牌中有54张，任意抽取一张可能是大王，也可能不是大王，是随机事件．(2)确定事件，因为在标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在标准大气压下80℃的水不会沸腾，这件事情我们事先能肯定它一定不会发生，是确定事件中的不可能事件．(3)确定事件，因为一枚均匀的正方体骰子各面的点数分别为1～6，因而掷出一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数不会超过6.这件事件我们首先能肯定它一定会发生，是确定事件中的必然事件．6.“失败是成功之母”是随机事件，因为经过失败之后，认真总结经验，吸取教训，下一次可能会成功，也可能不成功，故为随机事件．7.若是奖券只有100张，那么可能性是100%，是必然事件，小明的想法就会成真．若是奖券有10万张，那么100张中一等奖的可能性就极小了，小明的想法就不太可能实现了．8．(1)必然事件(2)随机事件(3)随机事件(4)不可能事件(5)随机事件9.答案不唯一，如：(1)摸出1个球是红色或蓝色或白色的球．(2)摸出1个球是黑色的球．(3)摸出1个球是红色的球．无声胜有声“此时无声胜有声”是唐朝诗人白居易的著名诗句，它说明情溢于曲，曲尽情浓．在数学上也不乏这种意境．\n1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科乐上了讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两个数的演算结果，一个是2的67次方减1，另一个是193707721×761838257287，两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声．这是为什么呢？因为科乐解决了两百年来一直没弄清的问题，即2的67次方减1是不是质数？现在既然它等于两个数的乘积，可以分解成两个因数，因此证明了2的67次方减1不是质数，而是合数．科乐只做了一个简短的无声的报告，可这是他花了3年中全部星期天的时间才得出的结论．在这简单的算式中所蕴含的勇气、毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力．同学们，你从这小故事中受到了什么启发呢？练一练(P160)1.必然事件：(2)(3)；随机事件：(1)(4)(5)(6)(7)(8)；不可能事件：没有．2.(1)随机事件，因为①中有白球和红球，任取1个球可能是红球，也可能是白球，所以是随机事件．(2)不可能事件，因为②中没有红球，所以任取1个球，不可能是红球，是不可能事件．(3)随机事件，因为③中有白球、红球和黑球，任取1个球可能是红球，也可能是白球或黑球，所以是随机事件．(4)随机事件，因为④中有白球和红球，任取1个球可能是红球，也可能是白球，所以是随机事件．(5)随机事件，因为这4个袋子中都有白球，所以可能取出的4个球都是白球，也可能取出的是红、白、黑3种颜色的球，所以是随机事件．习题13.1(P161)(1)不可能事件　(2)随机事件　(3)随机事件\n13．2　可　能　性知识点一　事件发生的可能性的大小1．事件发生的可能性不同，可能性的大小常用下面几种词汇来叙述：一定，很可能，可能，不大可能，不可能．2．必然事件发生的机会是100%，不可能事件发生的机会是0，而随机事件发生的机会介于0和1之间．例1　在1、3、5、7、9中任取两个数，组成一个两位数，则该两位数是奇数的可能性是________．解析　本题中五个数都是奇数，任取两个数，组成一个两位数一定是奇数，是必然事件，所以可能性是1.答案　1友情提醒　解决关于事件发生的可能性的大小问题，关键是理解此事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，从而正确解决问题．知识点二　概率及概率的计算1．一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率．2．如果用A表示一个事件，那么我们就用P(A)表示事件A发生的概率．3．一般地，如果一个实验有n个等可能结果，而事件A包含其中k个结果，我们定义：P(A)＝k,n＝事件A包含的可能结果数,所有可能结果总数．例2　随意抛掷一枚均匀的正方体骰子1次，计算下列各事件发生的概率．(1)掷出的点数为6；(2)掷出的点数小于6；(3)掷出的点数为奇数；(4)掷出的点数为偶数．解析　掷一枚骰子，所有可能的结果有6种：点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6.其中6点朝上可能出现的结果有1种；掷出点数小于6的有5种，点数分别为1、2、3、4、5；点数为奇数的有3种，分别为1、3、5；点数为偶数的有3种，分别为2、4、6.解　(1)P(点数为6)＝1,6.(2)P(点数小于6)＝5,6.(3)P(点数为奇数)＝3,6＝1,2.(4)P(点数为偶数)＝3,6＝1,2.友情提醒　解决此类问题关键是要弄清题意，并且多注意观察身边的事物．知识点三　频数、频率及概率的关系一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m,n会稳定地在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率P(A)．事实上，人们常把试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值．教材中的“？”解答议一议(P162)1．思路点拨：先让学生猜想从5个袋子中摸到白球可能性的大小，然后分组做实验，验证自己的猜想，再按可能性从小到大的顺序排列．解答：从各个袋子中摸到白球的可能性不一样大，可能性从小到大的顺序是(1)(2)(3)(4)(5)．2．思路点拨：先根据转盘中的各种颜色猜想指针落在各种颜色区域上可能性的大小，然后动手试验，验证猜想结果与试验数据是否相符．解答：(1)当转盘停止转动时，指针落在黄色区域上的可能性最大，指针落在绿色区域上的可能性最小．(2)略(3)看法与试验所得结果相符．\n一、可能性的基础题例1　如图，下面第一排表示了各袋中球的情况，请你用第二排的语言来描述摸到蓝球的可能性的大小，和第一排你认为要对应的袋子用线连接起来．(球除颜色外均相同)解析　这里包括必然事件、随机事件以及不可能事件，注意随机事件语言的分寸，要和实际相符合．解　连线如图：点评　结合题意弄清各个事件发生可能性大小的值，然后解决此类问题．二、简单可能性(概率)的计算题例2　在100张奖券中，4张有奖，小明从中任抽1张，他中奖的概率是(　　)A．1,4B．1,20C．1,25D．1,100解析　根据兑奖券有100张，其中4张有奖，结合概率定义求出是1,25.答案　C点评　计算概率的值关键是理解概率的定义以及结合问题中的有关数据．三、概率与频率关系实际应用题例3　小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子(质地均匀的正方体)，共做了60次，实验结果如下表所示．朝上的点数,1,2,3,4,5,6出现的次数,7,9,6,8,20,10　　(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；(2)小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大．”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？解析　一个随机事件中，它发生的概率是由它自身决定的，并且是客观存在的，不会受到试验的频率的影响；同样，实验的频率也不会由概率决定的．解　(1)“3点朝上”出现的频率是6,60＝1,10，“5点朝上”出现的频率是20,60＝1,3.(2)小颖的说法是错误的，因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这个事件发生的概率最大，只有当实验的次数足够大，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近时才成立．小红的判断也是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次．点评　概率是理论上计算的结果，频率是实验操作的结果，当实验次数足够多时，频率会趋近于概率，但并不完全等同于概率．四、频数、频率及概率的综合应用题例4　某商场设立一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定，顾客购物满10元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数n,100,150,200,500,800,1000落在“铅笔”的次数m,68,111,136,345,564,701落在“铅笔”的频率m,n(1)计算并完成表格；(2)当n很大时，频率将会接近多少？(3)假如你去转动转盘一次，你获得铅笔的概率是多少？(4)在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度(精确到1°)?解析　用实验分析概率和估计概率，重在分析．一般地，如果实验次数足够大时，某一事件发生的频率就会接近于某一特定常数，由题中的统计数据，通过计算可知，频率接近0.7.解　(1)填表依次为0.68,0.74,0.68,0.69,0.705,0.701.(2)当n很大时，停在“铅笔”的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率是0.7.(4)扇形圆心角的度数为360°×0.7＝252°.点评\n　运用实验的方法估计随机事件每次发生的机会时，操作时应以科学的态度，力求每次实验是随机的．在总结归纳得到规律的过程中，应注意与同伴合作、交流．五、可能性(概率)探索与创新题例5　如图，一个转盘由三个区域组成，请你在图中加上阴影，使得指针落在阴影区域的可能性大小位于第二．解析　此类题属于作图题，但并不是简单的作图问题，需要进行分析使得作出图的结果符合题意．要想指针落在阴影部分的可能性大小为第二，应该把阴影部分加在区域Ⅱ上．解　如图所示：点评　解决此类问题先要进行分析，有时还要经过计算，然后再设计方案(或作图)，得出正确结论．六、游戏的公平性问题例6　小强和小伟合买了一本童话书，两人争着要第一个阅读．小超见后，为他们想了一个办法，他做了一个如图所示的转盘，并规定：随意转动它，转盘停止后，若指针指向奇数区域，则小强先读；若指针指向偶数区域，则小伟先读．小超的办法公平吗？为什么？若不公平，对谁有利？解析　应比较指针指向奇数区域和指向偶数区域的可能性的大小，若相等，办法公平；若不相等，办法不公平．解　由图可知，标有数字2、4的区域的圆心角之和大于1、3区域的圆心角之和，所以指向偶数区域的可能性大于指向奇数区域的可能性，所以这个方法不公平，对小伟有利．点评　解决这一类问题的关键是搞清楚游戏规则中每一事件可能性的大小，从而做出正确的判断．1.下列说法中正确的是(　　)A．随机事件发生的可能性是50%B．随机事件试验100次就一定会发生C．随机事件发生的机会可以用试验来估计D．随机事件只能听天由命，无法估计2.某商店举办有奖销售活动，规定如下：凡购物每满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个．那么，买100元商品的中奖概率应该是(　　)A．1,10000B．50,10000C．100,10000D．151,100003．下面第一排表示各袋中球的情况，请你用第二排的语言来描述摸到球的可能性大小．4．自由转动如图所示的转盘(每个扇形的圆心角大小相等)，根据你的经验，将这些事件发生的可能性按从小到大的顺序排列．(写序号)(1)转盘停止后指针指向10；(2)转盘停止后指针指向4；(3)转盘停止后指针指向的数大于2；(4)转盘停止后指针指向的数不是奇数就是偶数；(5)转盘停止后指针指向的数是合数．,5.袋子中装有3个白球和6个黑球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球，分别求出摸到红球，摸到白球，摸到黑球，摸到白球或黑球的概率．6.(1)假如小狗在如图所示的方砖上随意地来回走动，求它最终走到黑色方砖上的可能性；\n(2)有一个口袋中装有形状、大小完全相同的12个白球和3个黑球，从袋中任意摸出一个球是黑色的可能性是多少？(3)(1)和(2)中的可能性相同吗？,7．一名同学说：“我连续抛一枚均匀的硬币10次，抛出2次正面，8次反面，故抛一枚均匀的硬币出现反面的可能性较大，概率为4,5.”你认为他的说法正确吗？为什么？8．李华的妈妈在他上学时总是叮嘱他：“注意交通安全，别被来往的汽车碰着！”但李华很不以为然，心想：城区有一百多万人口，每天交通事故只有几起，事故发生的可能性太小了，概率可以是零．你认为李华的想法对吗？为什么？9．如图所示的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1、2、3、4、5、6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同，四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，指针一定会有一次停在6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形概率相同；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．其中，你认为谁的见解是正确的呢？,10.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表：射击次数,50,100,150,200,250,300,350击中靶心的频数,44,92,138,178,228,273,308击中靶心的频率(1)计算表中击中靶心的各个频率，并填入表中；(2)在下图中画出折线图；(3)观察你所画的折线图可以发现：随着射击次数的增大，击中靶心的频率稳定在________附近．11．请按下列要求各举出一个例子．(1)一个发生的概率很小的随机事件；(2)一个发生的概率为50%的随机事件；(3)一个发生的概率为0的不可能事件．12.请设计一个转盘，使它停止转动时，指针落在白色区域的可能性比落在红色区域的可能性大．小明设计成8种颜色的转盘，你觉得可能吗？13．从一副扑克牌中取出标有数字1～9的九张牌(不考虑花色)\n，背面朝上．游戏规则如下：①将牌洗匀，从中任意抽取一张，将得到的数字填入两个方格中的任意一个；②再将抽出的牌放回洗匀，再从中任意抽取一张，将得到的数字填入剩下的方格中，得到一个两位数；③比较得到的两位数，谁大谁就赢．甲与乙第1次抽取的数字都是7，甲把“7”填入个位，乙把“7”填入十位，把第二次抽取的数字填入剩下的方格后，谁赢的可能性大？为什么？1.C2.D3．略4．(1)(2)(5)(3)(4)5.P(摸到红球)＝0，P(摸到白球)＝3,9＝1,3，P(摸到黑球)＝6,9＝2,3，P(摸到白球或黑球)＝9,9＝1.6.(1)黑色方砖占总方砖数的4,16＝1,4，所以小狗最终走到黑色方砖上的可能性是1,4.(2)黑球数占总球数的3,12＋3＝1,5，所以从袋中任意摸出一个球是黑球的可能性是1,5.(3)因为1,4≠1,5，所以(1)与(2)中的可能性不相同．7．他的说法是错误的．因为某个随机事件的概率是由它自身决定的，是客观存在的．实际上，抛一枚均匀的硬币出现正面和反面的概率一样大，都是1,2.8．李华的想法不对，因为发生交通事故是随机事件，随机事件就有可能发生，概率尽管很小，但绝对不是零．9．丙的见解是正确的．如果指针前三次都停在3号扇形，下次停3号扇形的可能性仍是1,6，故甲错；尽管指针停在6号扇形的可能性为1,6，但不能保证连续转六次中就一定有一次停在6号扇形，故乙错；指针停在哪个扇形与个人想法没有关系，故丁错；在1～6中恰好有3个奇数，3个偶数，因此指针停在奇数号扇形与停在偶数号扇形的概率均为1,2，故丙对．10.(1)各频率从左向右依次为0.88,0.92,0.92,0.89,0.912,0.91,0.88.(2)(3)0.9011．答案不唯一，如：(1)守株待兔．(2)抛一枚均匀的硬币，正面朝上．(3)地球停止转动．12.设计略，设计的转盘上白色区域大于红色区域即可．小明设计成8种颜色的转盘，只要白色区域大于红色区域即可．13．乙赢的可能性大，因为比7大的数只有两个，而比7小的数有6个，所以7放在十位赢的机会多．彩票中奖问题继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点．通过对北京、上海与广州三城市的居民调查结果来看，有50%的居民买过彩票，其中5%成为“职业”(经常性购买)彩民．“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态．实际上，只有极少数人可以中奖，所以彩票购买者应该保持平常心，不要把它当成赌博．以从36个号码中选择7个的投注方式而言，中奖看起来不难，其实却是“可望而不可及”\n的．经计算，若投一注，理论中奖概率如下：7个正选号码全中，概率为1,8347680；6个正选号码和特别号码中，概率为1,1192526；6个正选号码中，概率为1,42590；5个正选号码和特别号码中，概率为1,14197；5个正选号码中或4个正选号码和特别号码中，概率为1,394；…专家承认可以利用概率原理来减少选号范围．概率的基本知识就是三点与彩票中奖概率有关的知识：第一点：两次扔硬币是互不干涉的，这称之为独立事件，通俗地讲，就是一件事情的发生只取决于自身，而跟别的事情无关．彩票的号码开出，每一个备选号码的开出和别的备选号码、已经选出的号码无关，所以才公平．第二点：A事件发生的概率为P(A)，B事件发生的概率为P(B)，如果两件事情是独立的，那么两件事情同时发生的概率为P(A)×P(B)．第三点：每次扔硬币的时候，正反面出现的概率相同，P(正面)＝1,2，P(反面)＝1,2；连扔两次，出现正面、正面的概率：P(正面、正面)＝P(正面)×P(正面)＝1,2×1,2＝1,4；…对于彩票，也可以用上述方法计算出现的概率．当然，这里还需要统计的知识，有了统计与概率的知识，中奖的机率是会增大的．练一练(P163)1.(1)(3)(2)(4)(5)2.(1)①转盘停止转动时，所有可能的结果为：指针指向蓝色区域、指针指向红色区域．其中指针指向蓝色区域的可能性最大．②所有可能的结果为：指针指向E、M、X，其中指针指向X的可能性最大．(2)①所有可能的结果为：骰子1点、2点和3点朝上，其中3点朝上的可能性最大．②所有可能的结果为：骰子1点朝上、2点朝上，其中1点朝上的可能性最大．练一练(P167)(1)填表如下：时间范围,10年内,20年内,30年内,40年内,50年内新生婴儿数,55440,96070,135200,171900,211030男　婴　数,28830,49700,69940,88920,109160男婴出生频率,0.52002,0.51733,0.51731,0.51728,0.51727(2)折线统计图如下：某地男婴出生频率折线统计图(3)0.5173\n习题13.2(P167)1.(1)填表如下：射击次数n,10,20,40,50,100,200,500,1000击中靶心频数m,8,19,33,44,91,179,454,905击中靶心频率m,n,0.800,0.950,0.825,0.880,0.910,0.895,0.908,0.905(2)0.912.(1)填表如下：每批粒数n,100,300,400,600,1000,2020,3000发芽的粒数m,96,283,344,552,948,1912,2848发芽的频率m,n,0.960,0.943,0.860,0.920,0.948,0.947,0.949(2)折线统计图如下：油菜籽发芽频率折线统计图(3)0.953.(1)～(2)根据试验结果完成．(3)0.25\n本章总结有关事件的频率和概率这部分内容，在中考中主要考查事件发生的概率大小．在课程改革的大潮中，概率在中考中逐渐占有一席之地，通过对概率的分析来解决生活中的实际问题是中考中的热点问题，一般出现的题型有填空题、选择题和解答题，并且分值逐渐加大，要引起注意．一、基本概念题例1　(广东)下列情况不太可能发生的是(　　)A．连续抛25次硬币，抛得的全是正面B．抛10次骰子，出现过一次2点C．打开电视，正在播广告D．两数相加和为正数，则这两个数全是正数解析　本题考查确定事件和随机事件的概念，选项B、C、D是很可能发生的，选项A发生的可能性较小，故答案为A.答案　A点评　考查确定事件和随机事件是中考中的热点，关键是理解确定事件、不确定事件、必然事件、不可能事件的概念．例2　(南京)某市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%.这句话是指(　　)A．明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨B．明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨C．明天本市一定下雨D．明天本市下雨的可能性是70%解析　本题考查对概率的理解，根据题意明天本市降水概率为70%，说明明天下雨的可能性大约为70%，而不是下雨的时间或下雨的面积，更不是明天会下雨．答案　D点评　近几年的中考中，概率是必考内容，理解概率概念以及计算方法是解决此类题型的关键．例3　(河池)下列事件是随机事件的是(　　)A．在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾B．购买一张福利彩票，中奖C．有一名运动员奔跑的速度是30m/sD．在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球解析　本题考查随机事件概念和日常生活经验．A是必然事件，C、D是不可能事件．答案　B点评　理解确定事件和随机事件的概念，增加生活经验．二、用频率估计概率例4　(扬州)在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下列是活动进行中的一组统计数据．\n摸球的次数n,100,150,200,500,800,1000摸到的白球的次数m,58,96,116,295,484,601摸到的白球的频率m,n,0.58,0.64,0.58,0.59,0.605,0.601　　(1)当n很大时，摸到的白球的频率将会接近________；(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是________；(3)口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？解析　本题考查运用实验的方法得到频率，再根据发生的规律预测概率的实验题，(1)由统计数据可知摸到白球的频率将会接近0.60；(2)由(1)可以估计摸到白球的概率是0.60，则摸到黑球的概率是0.40；(3)根据(2)可估算口袋中黑、白两种颜色的球各为8个、12个．解　(1)0.60(2)0.60　0.40(3)黑球8个，白球12个．点评　运用实验的方法估计随机事件发生的频率，进而去推算概率，这类试题是近几年中考的新题型，要引起注意．三、概率的计算例5　(遂宁)将分别标有数字2、3、5的三张质地大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．(1)随机抽取一张抽到奇数的概率；(2)随机抽取一张作为个位上的数字(不放回)，再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？并求出抽到的两位数恰好是35的概率．解析　本题考查概率的计算，是中考的热点问题．(1)数字中有2个奇数，总数为3个，所以抽到奇数的概率为2,3；(2)运用列举法，第一次若抽取是2，则组成的两位数是32、52；第一次若抽取是3，则组成的两位数是23、53；第一次若抽取是5，则组成的两位数是25、35.因此共有6种两位数，而抽到的两位数恰是35的只有一种，故概率为1,6.解　(1)P(奇数)＝2,3.(2)能组成的两位数是：32、52、23、53、25、35，故P(两位数恰好是35)＝1,6.点评　运用列举法解决概率的计算是非常重要的方法，在学习中要注意练习．例1　小明以前考试成绩都及格，他认为下次的考试成绩一定会及格，你认为小明的想法对吗？错解　对错因分析　答错的原因是误认为有限次实验的结果可以预测下一次实验的结果，而实际上是对每一次实验(考试成绩)而言，及格与不及格的机会是一定的，我们只能说小明考试成绩的及格的频率会是逐渐稳定趋于其机会值．正解　不对例2　有一个转盘，由红、白、蓝三种颜色组成，转动该转盘，使指针任意旋转，那么指针在各颜色区域的可能性是多少？错解　指针落在各颜色区域的可能性都是1,3.错因分析　可能性的大小由转盘的三种颜色区域的面积占总体的百分比来确定，错误的原因是认为三种颜色的区域面积相等．正解　由于不知道红、白、蓝三种颜色的区域面积占总体的百分比，所以无法确定指针落在各颜色区域的可能性大小，只有当转盘的三种颜色的区域面积相等时，指针落在各区域的可能性才是1,3.例3　一篮球运动员能否投进某个三分球，受很多因素的影响，根本不能预测．所以教练预测他有30%的机会命中这个球肯定是不正确的．错解　此看法是正确的．错因分析　将事件的机会无法预测性与无规律性相混淆，虽然运动员投某个三分球是否命中，的确不能预测，但是结合他以往的表现，还是可以用他以往进球的命中的频率来近似估计他命中这个三分球的机会的．正解　此看法是不正确的．例4　现在彩票事业红红火火，许多网站“运用统计原理”\n统计各数据出现的频数与频率，用来预测下期的中奖号码，你认为这种做法科学可取吗？错解　科学，根据统计原理，频率越大，机会越大．错因分析　这种说法的错因在于认为频率越大，机会越大，每一组数据出现的机会均等，随着次数的增多，它们出现的频数趋于稳定．正解　不科学，因为每一组数据出现的机会均等．复习题(P170)1.随机事件：(2)(4)；必然事件：(1)；不可能事件：(3)．2.(1)(2)(3)3.⑤①④③②4.甲(C)，乙(B)，丙(A)．5.(1)填表如下：抽取球数n,50,100,200,500,1000,1500,2000优等品数m,48,95,188,471,949,1418,1893优等品频率m,n,0.9600,0.9500,0.9400,0.9420,0.9490,0.9453,0.9465(2)折线统计图如下：(3)0.9476.后天出门更有可能需带雨具．7.设计的骰子只要1点的面数比6点的面数多即可；设计的转盘只要红色区域的面积与白色区域的面积相等即可．8.这种说法不正确．因为事件发生的可能性最小为0，最大为100%.9.(1)不能　(2)红球　(3)只要各颜色球的数目相等．10.略