初中动态几何与函数教案 26页

教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2012.4.1学科数学年级初三上课时间蠶2h教学目标教学内容动态几何与函数问题个性化学习问题解决教学重点、难点动各e伺&易数向懸二次矗数基础知识点回廠一、二次函数的概念1.二次函数的概念：一般地，y=ax1+bx+c(ci,b,c是常数，ghO)的函数，叫做二次函数。这里需要強调：和一元二次方程类似，二次项系数gHO,而方，c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.教学过程2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量兀的二次式，兀的最高次数是2.(2)6/,h,C是常数，G是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>Q向上（爪◎X=hx>hBt,y随x的增大而增大；xv/?时，y随x的增大而减小；x=〃时，y有最小值A.a<0向下（h，k）X=h吋，歹随x的增大而减小；x0)［或左(/?<0)1平移|Q个单位¥心・力)2向上伙>0）【或下伙V0）】平移KI个单位向右（Q0）【或左（/?<0）］平移阳个单位向上伙>0）【或下伙V0）】平移冈个单位向上伙>0）【或向下伙<0）】平移WI个单位Ay=ax^+k向右（/2〉0）【或左（/?<0）1平移阳个单位1.平移规律在原有函数的基础上“/2值正右移，负左移；《值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.三、二次函数y=0^+/?兀+（?的性质1-当心）时’抛物线开口向匕对称轴为—舊顶点坐标为<2a4ac-b2>4a)当兀v―时，y随兀的增大而减小；当兀〉一-时，y随兀的增大而增大；当兀=—时，y有2a2a2a最小值地二4ac-b2}4a4a2.当avO时，抛物线开口向下，对称轴为x=-—r顶点坐标为一22aI2ay随兀的增大而增大；当兀〉时，y随兀的增大而减小；当兀=时,2a2a四、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yuaF+bx+c（a,b,c为常数，°工0）;2.顶点式：y=a（兀一力F+k（a,h,R为常数，。工0）;3.两根式：y=^（x-X］）（x-x2）（dH（）,x,,兀2是抛物线与兀轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与兀轴有交点，即b2-4ac>0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.五、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a开口越小，反之。的值越小，开口越大;开口越小，反之。的值越大，开口越大.二次函数y=ax2+Z?x+c中，g作为二次项系数，显然a^O.（1）当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大,（2）当avO时，抛物线开口向下，。的值越小,总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.(1)在G>0的前提下，\n当/?>0B寸，-2<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;2a当/?=0时，=0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当bvO时，>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a⑵在QVO的前提下，结论刚好与上述相反，即当/2>0时，-2严即抛物线的对称轴在y轴右侧;当b=0时，即抛物线的对称轴就是y轴；当bvO时，-纟＜0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在。确定的前提下，〃决定了抛物线对称轴的位置.总结：1.常数项c(1)当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；(2)当c=()时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与)，轴交点的纵坐标为()；(3)当cyO时，抛物线与y轴的交点在兀轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.六、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.七.二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y=ax2+bx+c关于兀轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c;y=ci\x-hy+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)~-k;2.关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c;y=a^x-hy关于y轴对称后，得到的解析式是｝T=t7(x+/?)2+k;3.关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+b兀-c;y=a^x-hy+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-«(x+研-k;4.关于顶点对称y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ov2-bx+c-—;\n2ay=6Z（x-/?）2-\-k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（兀一/?）「+R・1.关于点（加，n）对称y=6z（x-/t）24-^关于点伽，〃）对称后，得至U的解析式是y=-g（x+/?—2加『+2“一R根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此问永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：一元二次方程or?+bx+c=0是二次函数y=or2+bx4-c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当△=/?，-4ac>0时，图象与X轴交于两点人（石，0）,B（x2,0）（斗H吃），其中的,x2是一元二次方程0?+加+（=0（0工0）的两根.这两点间的距离43=卜2_引="［一*".②当4=0时，图象与兀轴只有一个交点；③当AvO时，图象与兀轴没有交点.1*当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0:T当avO时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有yv0.2.抛物线y=ax2+bxA-c的图象与歹轴一定相交，交点坐标为（0,c）;3.二次函数常用解题方法总结：（1）求二次函数的图象与兀轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.A>0抛物线与X两个交点轴有二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A=0抛物线与兀有一个交点轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A<0抛物线与兀交点轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.\n典型例耀分朽1（2010盐城）已知：函数y=ax+x+1的图象与x轴只有一个公共点.（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数产图象的顶点为与卩轴的交点为力，P为图象上的一点，若以线段陽为直径的圆与直线力0相切于点B,求P点的坐标；（3）在⑵中，若圆与x轴另一交点关于直线陽的对称点为〃，试探索点〃是否在抛物线产/+対1上，若在抛物线上，求出〃点的坐标；若不在，请说明理由.答案：1）当m二0时，y=x*-1,图象与x轴只有一个公共点・（1分）1当#0时，A=1-4^0,a=~,此时，图象与x轴只有一个公共点.1函数的解析式为：y=A+1或'尸玄,+加（3分）（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC丄x轴于点C.•:y=ax+x+］是二次函数，由（1）知该函数关系式为：1x+a+1,则顶点为B（-2,0）,图象与卩轴的交点坐标为＞4（0,1）（4分）・・•以胡为直径的圆与直线力0相切于点0:・PB丄AB则乙PBO乙BAO:.RtHPCBsRtHBOA.・._££=匹，故Q23C,（5分）OBAO设P点的坐标为（x,y）,':乙ABO是锐角，ZPBA是直角，化ZPB0是钝角，K-2:・BA2—x,PC=-4-2x,即产-4-2”，P点的坐标为（“，-4-2x）11.T点P在二次函数尸才%+a+1的图象上，・°・-4-2”二才x+a+1（6分）解之得：山二-2,“2二T0VK-2・・・若-10,・・・P点的坐标为：（T0,16）（7分）（3）点〃不在抛物线尸丹1上（8分）由（2）知：6•为圆与”轴的另一交点，连接做％与直线储的交点为0,过点〃作x轴的垂线,垂足为0取〃的中点F,连接OF,则CM丄PB,HC0MQ\n:.QE//MD,MD,OEA-CE、：CM'PB,QE1.CEPC丄x轴:.乙QC氐乙EQA乙CPB1:■弋av\乙QCE^tanZFO住tar\ZCPBCB2Q吕2X2B吕4BE、又6^=8,Q点的坐标为（-曽O16T\n可求得〃点的坐标为（曽，¥）（11分）•••C点关于直线储的对称点〃不在抛物线y=a%2+A+1上（12分）（其它解法，仿此得分）【例5]（2010年四川省眉山）如图，/^△力30的两直角边04、％分别在x轴的负半轴和卩轴的正半轴2上，0为坐标原点，力、3两点的坐标分别为（一3,0）、（0,4）,抛物线y=—x2+/?x+c经过0点,且顶点在直线x=-±.2（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△宓是由沿x轴向右平移得到的，当四边形力3勿是菱形时，试判斷点6•和点。是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若〃点是〃所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点〃作滋平行于p轴交CD于点、N.设点〃的横坐标为t,滋的长度为/.求/与十之间的函数关系式，并求/取最大值时，点〃的坐标.75【答案】解：(1)由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y=|(x-|)2+m・・・(1分)・・4=—x(一—)~32•Im=—--(3分)6751?in・・・所求函数关系式为：y=-(x--)2--=-X2--X+4(4分)•32633(2)在RtHABO中，04=3,0AA,・・・AB=y/OA2-i-OB2=5・.•四边形力磁是菱形:.BOCADVAB^(5分):・C、。两点的坐标分别是(5,4)、(2,0).(6分)2in当兀=5时，y=-x52——x5+4=43391()当x=2时，y=-x22——x2+4=0•33\n•••点C和点〃在所求抛物线上.(3)设直线勿对应的函数关系式为y=kx+b,则(7分)=_2?+Hr_20=_2733332一*0,71此时点〃的坐标为(12分)3、如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与兀轴负半轴上.过点B、C作直线/.将直线/平移，平移后的直线/与兀轴交于点D,与丿轴交于点E.(1)将直线/向右平移，设平移距离CD为t(tMO),直角梯形OABC被直线/扫过的面积(图中阴影部份)为$关于/的函数图象如图②所示，0M为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4,求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.(2)当22・•・S,=S2,即△AOE与fF0B的面积相等.(2)由题意知：E,F两点坐标分别为E去代入，麻烦一点而已)(k?<4丿‘3—LkI3丿I4丿・・・S△十*CLCF冷(想不到这样设点也可以直接用XS“OF~矩形/lOBC_S'AOE-Shb()F—*^AECF=门-qk--S“CF=12--S厶〔CFEOF•°・S=S^oef~S、ecf='2—k—2S、ecf1r1j(1)\2—k—2x—4——k3——k2{3)I4丿・・・S=-丄疋+412y\n\n2xI12丿时，S有最大值.S最大值4xI12丿（3）解：设存在这样的点F,将ACEF沿EF对折后，C点恰好落在0B边上的M点，过点E作EN丄0B,垂足为N.由题意得：en=ao=3,em=ec=4_*応心十,・・•ZEMN+ZFMB=ZFMB+ZMFB=90°,/.乙EMN=ZMFB.又•・•ZENM=ZMBF=90°,仏ENMsHMBF.（将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中）EN_EM3~MB4--k41-3_I3-J31-412丿z—k12丿・•・BF=-=—432MF2,、2(ka、2,解得k=—8・•・存在符合条件的点F,它的坐标为〔4,斗I32丿5、如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,BC=16,DC=12,AD=21O动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P,Q分别从点D,C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。(1)(2)(3)设ABPO的面积为S,求S与t之间的函数关系式;当t为何值时，以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？是否存在时刻t,使得PQ丄BD?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。BC\n\n【思路分析】本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当P,Q运动时，ABPO的高的长度始终不变，即为CD长，所以只需关注变化的底边BQ即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量一高，过Q做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明APEQ和ABCD是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE是未知的，于是得解。这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。【解析】解：(1)如图1,过点P作PM丄BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形。图1・・・PM=DC=12VQB=16-t,.*.S=-X12X(16-t)=96一t2(2)由图可知：CM=PD=2t,CQ=to热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。①若PQ=BQo在RtAPMQ中，PQ2+122,由PQ2=BQ27得r2+122=(16-r)2,解得t=—；2②若BP=BQ。在RtAPMB中，BP2=(16-2Z)2+122o由BP2=BQ2得:(16_202+122=(16_沪即3尸一32f+144=0。由于△=—704V0・・・3尸一32/+144=0无解，・・・PB#：BQ…③若PB=PQo由PB2=PQ2,得r+122=(16-2/)2+122整理，得3尸-64f+256=0。解得ti=—，&=16(舍)(想想看为什么要舍？函数自变量的取3值范围是多少？)71A\n综合上面的讨论可知：当七=一秒或/二一秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。13\n(1)设存在时刻t,使得PQ丄BD。如图2,过点Q作QE丄ADS,垂足为E。由RtABDC^RtAQPE,匹=竺即虫丄BCEQ''1612o解得t=9所以，当t=9秒时，PQ丄BD。图26、在RtAABC中，ZC二90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).(1)当t二2时，AP二，点Q到AC的距离是(2)在点P从C向A运动的过程中，求AAPO的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度，但是这个条件基本不影响做题，不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE保持垂直平分PQ这一条件，然后判断t可能的范围.因为给出了AC和CB的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说，第二问做岀垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE//QB和PQ//BC都要分情况讨论.最后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解.解：(1)1.—:\nE分别是边ASAC的中点，点P此时ZAQP=90°•由ZiAPQs^ABC,得孕=芝，ACABt3-t9即解得心)35o②如图5,当PQ//BC时，DE丄BC,四边形QBED是直角梯形.此时ZAPQ=90°•由AAOPs^ABC,得—,ABACt3—/“中15即7=—^--=~•j3o(1)/=—^/=—・214【注：①点P由C向A运动，DE经过点C.方法一、连接QC,作QG丄BC于点G,如图6.34PC=t,QC2=QG2+CG2=[-(5-r)]2+[4一(5-/)]2.34气由PC2=QC2,得r2=F(5-0]2+[4--(5-012,解得r=552方法二、由CQ=CP=AQf^ZQAC=ZQCAf进而可得ZB=ZBCQ，得CQ=BQ,/.AQ=BQ=—.22②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.(6-1)2=[|(5-r)]2+[4-；(5-r)]2,r=—55147、如图，在RtAABC中，ZA=90°,AB=69从点、D出发沿DE方向运动,过点P作PQ丄BC于0,过点0作QR〃必交AC于R,当点0与点C重合时，点、P停止运动•设BQ=x,QR=y.(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求关于兀的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.\n\n【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH的长度实际上就是后面PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ和QC所在的△QRC和ABAC是相似的，于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论，但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同，需要注意一下.解:(1)•/ZA=RtZ,AB=6fAC=8,/.BC=10.*.*点D为AB中点,BD=—AB=3.2•/ZDHB=ZA=90°,ZB=ZB・••△BHDs^baC,DH_BD~AC~~BC・•・DHr812(2)^:QR//AB,.\ZQRC=ZA=90\vZC=ZC,:./\RQC^/\ABC,.RQ_QC.y_\0-x'~AB~~BC'，#6-10即y关于兀的函数关系式为：(3)存在，分三种情况:①当PQ=PR时，过点P作PM丄QR于M,则QM=RM.•/Zl+Z2=90°,ZC+Z2=90°,•••Zl=ZC..•.cosZl=cosC=A4QM_4~QP=5f——x+6•2l5丿_4•—n—-?518•••x=——5312②当PQ=RQ时，一？x+6=<,5/•x=6.③当=时，则R为PQ中垂线上的点,于是点、R为EC的中点、,\n:.CR=-CE=-AC=2,24・・伽—空=竺CRCAx+6匚1556,/.x=—.・•・=-928|Q]§综上所述，当x为—或6或—吋，/\PQR为等腰三角形.52【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系，尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。第二部分发散思考【思考1】如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，ZB=60°.从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点、P以1厘米/秒的速度沿ATCTB的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿AtBTCTD的方向运动，当点0运动到£＞点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为无秒时，△AP0与厶ABC重叠部分的面积为平方厘米(这里规定：点和线段是面积为O的三角形)，解答下列问题：(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；(2)点、P、Q从开始运动到停止的过程中，当厶APQ是等边三角形时兀的值是秒；(3)求)'与兀之间的函数关系式.【思路分析】此題一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将x运动分成三个阶段,第一个阶段是0WXW3,到3时刚好Q到B.第二阶段是3WXW6,Q从B返回来.第三阶段则是再折回去.根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可.\n【思考2】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1)填空：菱形ABCD的边长是、面积是、高BE的长是；(2)探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求AAPQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得AAPO沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t二4秒时的情形，并求出k的值.【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S的最犬值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。【思考3】已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段耐川在厶ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止)，过点M、N分别作AB边的垂线，与厶ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为f秒.(1)线段MN在运动的过程中，/为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积;(2)线段在运动的过程中，四边形MVQP的面积为S,运动的时间为求四边形MNQP\n的面积S随运动时间f变化的函数关系式，并写出自变量f的取值范围.cAMN【思路分析】第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是PM二QN,所以此时MN刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N过AB中点之前，其次是N过中点之后同时M没有过中点，最后是M,N都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高MN是不变的，所以PM和QN的长度就成为了求面积S中变化的部分。这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。第三部分思考题解析【思考1解析】解：(1)6.(2)8.\n(1)①当0Wxv3时,Q3\n)'s△碗="片・4Q・sin60°==f宀y~s△的©二运a巴P2Qi-A^-C22-sin60°=丄匕(12・2兀)•逅22一纠+3屈.③当6WxW9时，设呂Q3与AC交于点0・(解法一)过03作Q、E//CE,则ACg.E为等边三角形.QyE=CE=CQ、=2兀-12.•:Q.E//CB.•••△CO鬥s^EOQsOCCPqx-61'~OE~EQy~2x-12~2,・・・OC=-CE=-(2x-12)913\ny=s\aqp、△COE=s△心_s=-C^MC*sin60°--OC・CP?•sin60°2-2=丄(兀一6)・6x—--x-(2x-12)U-6)x—22232MS（解法二）如右图,过点0作OF丄CP3于点F,0G丄CQ3,于点G,过点鬥作P3H1DC交DC延长线于点H・vZACB=ZACD,・・・OF=OG.又CPy=x-6,CQ3=2x-12=2(兀一6)，DA•••s△洌冷s“他•S-Is…Q\cop、_3°^cpyQy，=^CQ^P:H=|xl(2x-12)(x-6)^-6)2.又S/\ACP3=^C^-AC-sin60°_1/——(x_6)x6x—22_3>/3.Q=(x—6).2•••y=ssop、S厶ACP、—SH0CPy3巧za的/A\2—^(兀一6)--(x-6)26\n"料+芈一］5巧.【思考2解析】24解：(1)5,24,—(2)①由题意,得AP=t,AQ=10-2t.如图1,过点Q作QG丄AD,垂足为G,由QG/7BE得△AQGs^ABE,/.—=—,BEBA4848r••QG-,525124o945・・・S=-APQG=——t2+—t(-WtW5).22552•・・_敦一『+6（詐U5）.（这个自变量的范围很重要）・••当时，s最大值为6.2②要使AAPO沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需AAPO为等腰三角形即可.当t二4秒时，T点P的速度为每秒1个单位，AAP=4.以下分两种情况讨论：第一种情况：当点Q在CB上时，・・・PQNBE>PA,・••只存在点Q1,使Q1A二Q1P.如图2,过点Q1作Q1M丄AP,垂足为点M,Q1M交AC于点F,则AM二丄AP=2.由厶AMF^AAOD<^ACQ1F,得21^_0^_00_33伽_曾_40一4,…册一亍・・・QlF=MQl-FM=^.122lxrAPCO.11•••CQ1二兰QF二一•则—:.k=^=—35k・tCQXAP10第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q2,Q3,分别使AP二AQ2,PA二PQ3.①若AP二AQ2,如图3,CB+BQ2二10-4二6.CB+BQ?3卩———IxrAP则=