高中数学总复习-高中课件精选 26页

数学:一、函数、方程、不等式1、二次函数与二次方程及二次不等式（一）形式：①一般式y=ax1+c②顶点式y=a（x-h）2③两点式歹=恥-西）（兀-%2）（二）定义域:XG（-00,4-00）（三）值域当Q〉0时,4a当qvO吋，丿4a（四）单调性y=ax2+bx+cQ的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(b4ac-b2}bx>b时，y随兀的增大而增大；XVb2a2a时，y随x的增大而减小；时，y有la最小值0.a<0向下I2/4a丿A—2ax>b时，y随兀的增大而减小；xvb2a2a时，y随x的增大而增大；时，y有la最大值0•y=a[x-l^+k其中方=一2,k=^ClC~b・'72a4a0的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上（力，k）X二h时，y随兀的增大而增大；xv力时，y随x的增大而减小；x=〃时，y有最小值a<0向下X二h时，y随兀的增大而减小；xv力时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值\n（五）奇偶性不是奇函数，当20时，函数图像关于y轴对称，是偶函数（六）最值在顶点处有最值，a＞0时为最小值，a＜0时为最大值（七）平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=c心-力尸+比，确定其顶点坐标（力，比）；⑵保持抛物线y=的形状不变，将其顶点平移到（h,k）处，具体平移方法如下:y=av2向右（Q0）【或左（力＜0）】平移|幻个单位向右（力＞0）【或左（〃＜（））】平移阳个单位向上伙＞0）【或卜伙V0）】平移阴个单位向上伙＞0）【或下伙V0）】平移冈个单位~f'W）*向上伙＞0）【或向下伙V0）】平移阴个单位Ay=ax2+k向右（/?＞0）［或左（/K0）］平移问个单位y=a(x-h)22.平移规律在原有函数的基础上S值正右移，负左移；R值正上移，负下移〃.概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：Wy=ajc+hx+c沿y轴平移:向上（下）平移加个单位，y—ax1+bx+cy=ajc+bx-\-c4-m（或y=ox2+bx+c-加）⑵y=cijc+bx+c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax1+bx+c变成y=6f（x+m）2+b（x+/n）+c（或y=a^x-iri）1+b（x-m）+c）（八）二次方程（1）根的判断A>0抛物线与尤轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A=0抛物线与兀轴只冇一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A<0抛物线与兀轴无交占二次三项式的值恒为止一元二次方程无实数根.\n(2)根与系数的关系(九)2、指数函数(-)指数与指数幕的运算1.根式的槪念：一般地，如果x"=a,那么x叫做a的农次方根，其中/?>1,且nwN*.a(tz>0)-a{a<0)♦负数没有偶次方根；o的任何次方根都是o,记作”5=0。当几是奇数时，历=a,当〃是偶数时，=\a\=2.分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定：man=(a>0,m,N\n>V)-11*"==.—(a>0,m,ngN,n>1)7VFan3.(1)a'.a0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义实数指数幕的运算性质ans(tz>0,r,5g/?)；⑵心"(a>0,r,swR)；⑶(ab)r=ara(a>(Xr,seR).(二)指数函数及其性质(1)形式：y=ax(a>0Ma^l)(2)定义域与值域xeR.yg(0,+oc)(3)单调性当a>l时，单调递增当0100值域y>0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)(5)平移3、对数函数(-)对数1.对数的概念：一般地，如果ax=N(a>O,a^r)f那么数兀叫做以a为••底N的对数，记作：x=logr/N(a—底数，N—真数,logrzN—对数式)说明：①注意底数的限制G>0,且QH1;②ax=Nolog“N=x；(3)注意对数的书写格式.两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数IgN；②自然对数：以无理数^=2.71828-••为底的对数的对数ln/V.♦指数式与对数式的互化幕值真数ah=NU>lOgaN=b底数指数1数2.对数的运算\n如果Q〉0,且GH1,M〉0,N>0,那么：①log“(M・N)=logaM+log“N；M②lognV=logflM_logflN；③logryMn=nlogaM(mg/?).注意：换底公式logrblog/c>0,且chI；b>0).利用换底公式推导下面的结论n1(1)logb"=—logab;(2)\ogab=log/m(—)对数函数(1)形式y=log“无(a>0,且QH1)(2)定义域与值域定义域(0,+8),值域(・8,+8)(3)单调性当a>l时递增当Ovavl口寸递减(4)图像a>100定义域x>0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过函数图象都过定点定点(1,0)(1,0)(5)平移\n尸logd（x+〃）+加4、幕函数1>幕函数定义：一般地，形如y=xa（ae的函数称为幕函数，其中a为常数.2、幕函数性质归纳.（1）所有的幕函数在（0,+8）都有定义并且图象都过点（1,1）；（2）a〉O时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,+oo）上是增函数.特别地，当a〉l时，幕函数的图象下凸；当0vav1时，幕函数的图象上凸；（3）a<0时，幕函数的图象在区间（0,+8）上是减函数.在第一象限內，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当兀趋于+00时，图象在x轴上方无限地逼近兀轴正半轴.5、三角函数（在以原点为圆心，单位1长度为半径的圆里面定义）（一）定义（1）已知角&的终边经过点P（5,-12）,贝iJsina+cosQ的值为（2）&是第三四象限角，sina=丝二，则加的取值范围是3(答:(-1,-))；（-）三角函数线7T(1)若——v&vO,贝ijsin0,cos0.tan0的大小关系为8(答:tan&/3q2d对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_（答:甲、乙都对）（六）正弦函数，余弦函数7131（1）若函数y=q—bsin（3x+w）的最大值为=，最小值为-三，则0=,b—622-（答：0=丄,/?=1或/?=-1）；2（2）函数/（x）=sinx+V3cosx（xe[-—,—]）的值域是22（答:[-1,2]）；（3）若2&+0=龙，则y=cosj3-6sina的最大值和最小值分别是、（答：7；-5）；（4）函数/（兀）=2cosxsin（x+—）->/3sin2x+sinxcosx的最小值是,此时x=（答:2；71y（“z）（5）己知sinqcos0=—，求t=sin/icosa的变化范围（答：［0,扣\n（6）若sin2+2sin2（3=2coscr,求y=sin2cr+sin2（3的最大、最小值（答:Znaxi，ymin=2V2-2）o\n(A)周期性:⑴若/(x)=siny,则/(1)+/(2)+/(3)++7(2003)=_(答：0)；⑵函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x的最小正周期为(答：龙)；7T7T⑶设函数/(x)=2sin(-x+-),若对任意xeR都有/(x,)B是s厉A>s加B成立的条件（答:充要）;（3）在/SABC中，（\-\-tanA）（｛+tanB）=2,则log2sinC=（答:--）(4)在AABC中,a,b,c分别是角A、B.C所对的边，(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,则ZC=—(答：60)；"2-A2_r2(5)在\ABC中，若其血•积S=——,则ZC=（答:30）；（6）在AABC屮，A=60,b=l,这个三角形的面积为Ji,则AABC外接圆的直径是b2+c2的最大值为（8）在ZkABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是（答：（9）设0是锐角三角形ABC的外心，若ZC=75,RAAOB^BOC^COA的面积满足关系式\nS^OB+S卫oc~、COA'求'A\n（答：45）.6、其他特殊函数7、函数的综合应用二、立体几何1、平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平而.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平而.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.空间线面的位置关系及判定（一）、直线与直线\n（1）共面：（①平行一无公共点；②相交一有且只有一个公共点）罢IJ定：①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a〃a,a二b,则a〃b.②平行于同一直线的两直线平行，即若a〃b,b〃c,则a〃c.③垂直于同一平面的两直线平行，即若a丄a,b丄＜x,则a〃b④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若a〃B,a门丫，［3Q丫二b,则a〃b⑤如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若aAB=b,a〃a,a〃B,则a〃b.（2）异面：既不平行，也不相交为J定：①证明两条直线是异面直线通常采用反证法.②有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异而直线”（3）垂直判定：①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直•即若b〃c,a丄b,则a丄c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若3丄a,bUa,3丄b.④三垂线定理和它的逆定理：在平而内的一条直线，若和这个平而的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a〃ci,b丄a,则a丄b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若a丄（3,0丄丫，丫丄a,且aGB二a,丫二b,丫Aa=c,贝lja±b,b±c,c±a（二）、直线与平面（1）直线在平面内直线的任意两点在平面内（2）直线与平面平行①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a#a,bUa,a〃b,则alla.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若ci〃B,lUa,则1〃p.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若Q丄0,1丄B,14a，贝lj1〃a.\n①在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若a,a,A、B在a同侧，且A、B到Q等距，则AB〃a.②两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若a〃B,a#a,,8〃a,则a〃B.③如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a丄a,b<2a,b丄a,则b〃a.④如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面（或在这个平面内），即若a〃b,a〃a,b〃a（或b<=a）（3）直线与平面垂直①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mua,nua,mAn=B,l±m,l±n,贝lj1±a.③如果两条平行线屮的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l〃a,a丄a,则1丄a.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若a〃B,1丄B,则1丄a.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若a丄0,aA0=a,luB,1丄a,则1丄a.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若a丄Y用丄Y,且a门B二a,贝!Ja丄Y•（三）平面与平面（1）平面与平面平行判定：①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点Oa〃0.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bua,aGb=P,a〃B,b〃B,则a//P.③垂直于同一直线的两平面平行.即若a丄屯B丄屯则a〃B.④平行于同一平面的两平面平行.即若a〃B,B〃丫，则a〃Y.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平而平行，即若a,bu,c,duB,aQb=P,a〃c,b〃d,则a〃B.（2）平面与平面垂直判定：①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角a—a—3=90"Oa丄B.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若1丄B,lua,则\na丄B・①一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若a〃B,a丄Y，则B丄Y・3、射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.(3)图形在平面上的射彫一个平面图形上所有的点在一个平面上的射彫的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.空间中的各种角(一)异面直线所成的角求法：(1)转化为共面直线再求(1)建立空间直角坐标系(二)直线与平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0。的角.⑵取值范围0°W0W90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角()・②解含()的三角形，求出其大小.③建立空间直角坐标系(三)二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面--棱一半平面组成.\n若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角來度量，通常认为二面角的平面角（）的取值范围是0°＜（）W180°（3）二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，ZPCD是二面角a-AB-B的平面角.平面角ZPCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质:（i）二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB丄平面PCD.（ii）从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上.（iii）二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD丄a,平面PCD丄B・③找（或作）二面角的平面角的主要方法.（i）定义法（ii）垂面法（iii）三垂线法（IV）根据特殊图形的性质（4）求二面角大小的常见方法①先找（或作）出二面角的平面角（），再通过解三角形求得（）的值.②利用面积射影定理S'=S•cosa其中S为二面角一个而内平而图形的而积，S'是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,a为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.④建立空间直角坐标系空间的各种距离（一）点到平面的距离（1）定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距（2）求点面距离常用的方法：1）直接利用定义求①找到（或作出）表示距离的线段；②抓住线段（所求距离）所在三角形解之.\n2）利用两平面互相垂直的性质.即如果己知点在己知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3）体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V二^S・h,求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4）转化法将点到平面的距离转化为（平行）直线与平面的距离来求.（二）直线到平面的距离（1）定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.（2）求线面距离常用的方法①直接利用定义求证（或连或作）某线段为距离，然后通过解三角形计算Z.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解Z.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离（三）异面直线的距离（1）定义条界血直线都垂直相交的直线叫做两条界面直线的公垂线.两条界血直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.（2）求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件，找出（或作出）两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公乖线段的长.此法一般多用于两异面直线互相乖直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法（四）平行平而的距离（1）定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线•公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段•两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面\n的距离.（2）求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证（或连或作）某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线（面）距离，通过解三角形或体积法求解之.三、解析几何（直线与圆）（一）求圆的方程（1）已知三点求圆（2）待定系数法求圆（3）已知圆心所在的方程与点求圆（4）轨迹求圆例1、点（0,2）是圆x2+y2=16内的定点，点B、C是这个圆上的两个动点，若BA丄CA,求线段BC屮点M的轨迹方程。例2、求与y轴相切，圆心在直线x—3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为的圆的方程。例3、已知圆C的圆心在直线A：x—y—1=0上，且与直线‘2：4x+3y+14=0相切，又圆C截直线“：3x+4y+10=0所得的弦长为6,求圆C的方程。（―）弦长1、点差法2、垂径定理法例］、已知直线2：兀一2丁+5=0与圆（7：（兀-7）2+0-1）2=36（1）判断直线/圆的位置关系；⑵求直线/被圆C所截得的弦长.例2、已知圆C:兀2+（歹一1）2=5,直线：口*丫+1・口二0（1）求证：对mGR,直线I与圆C总有两个不同的交点；（2）设I与圆C交于A,B两点。若AB的绝对值二根号17。求丨的倾斜角大小；\n（3）求弦AB的中点M的轨迹方程。(二)求切线(1)点在圆上(2)点在圆外(3)斜率为k(三)求最值(1)直线系与圆求弦的最值(2)几何意义1)斜率2)截距3)方程求交点例1、已知M(x,y)是圆C：(兀-4)2+(y-2尸=1上任意一点求：1、y/x的取值范围2、y-x的取值范围例2、已知圆C：(兀一1尸+0一2)2=25,直线匚Qm+Dx+g+Dy—7m—4=0(meR).(1)证明：对meR,直线/与圆C恒相交于两点；(2)求直线/被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值。例3、已知圆C:(x-3厂2+(y-4厂2二4,直线L过定点A(l,0)1•若L与圆相切，求L的方程2•若L与圆相交于P.Q两点，，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时L的方程(四)交点弦四、概率统计\n（-）随机事件的概率（1）随机事件人发生的可能性大小的度量（数值），称为事件A发生的概率，记作HA）（2）从频率的性质看概率的性质记一个事件A在斤次重复试验中，发生的次数匚（4）,则其发生的频率fn（A）为九（刃=血.n（二）古典概型A屮元素个数O屮元素个数使A发生的基本事件数基本事件总数有关公式与法则复习：1・排列从兀个不同元素中任取加个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，所有排列种数记为P：,则■0,m>nP：=<—,（/?一m）!n\.m=n■规定0!=l,—————=77•（斤_1）・（料_2）・•（斤_"2+1）（/?-/?/）!2.可重复排列从n个不同元素中，每次取出一个元素，观察后放回去，第二次再从中取出一个元素，观察后再放回去.如此重复加次，将加次观察到的元素按照一定顺序排成一列，其中排列种数记为N,则1.组合从斤个不同元素中，取出加个不同的元素，不考虑顺序组成一组，其组合总数记为C；,C：旦=——=皿-1）0-2）・・（i+l）（加“）,"mlml当m>n时，C；：=0•备注2.组合性质\n(1)(2)⑶Ecm：k=0⑷^C；；=2H・m=01.加法法则设一件工作可以由加条不同途径中之任何一条途径均可以完成，而第「条途径有(z=1,2,，加)种不同方案，则完成该件工作的所有不同方案总数为斤］+佝++nin.6.乘法法则设一件工作需要经过前后加个步骤才能完成.而第i个步骤中有q(i=l,2,，加)种不同方案，则完成该件工作的所有不同方案总数为n}xxnm.1.将一枚破币抛掷三次.设：(1)事件人1为“恰有一次出现正面”，(2)事件人2为“至少有一次出现正面”，求PSi),P(A2).分析：样本空间为：C=(HHH,HHT,HTH,THH,HIT,THT,TTH,TTT\,故P(A=)，P(A2)=1-P(A)=1-1/8=7/8.基本事件总数也可用2—8计算.2.假设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，求n(<365)个人中，至少有两个人生日相同的概率为多少？pn365・364・,365一刃+1)分析：他们生日各不相同的概率为」二=,n个人中至少有两人生日365"365"相同的概率为p=i_365・364.£657+1)经计算可得结果:365\nn202330405064100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为99.7%.（三）几何概型一般地，设某个区域Q（线段，平面区域，空间区域），具有测度加°（长度，面积，体积）•如果随机实验E相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为几何概型例（概全学P.16）在区间（0,1）随机地取两个数，则事件“两个数之和小于。的概率为0.68分析：题中有“随机地”、“任意地”字样时都可认为是等可能的，为几何概型问题•此题是在（0，1）区间内随机地取两个数•设兀，y分别为随机地取自（0,1）区间中的两个数，则试验的样本空间为G,Q={(x,y)|O