高中数学——导数难题-高中课件精选 9页

5.导函数一一不等式1.已知函数/U)=ev-tex^R(I)若试确定函数/(X)的单调区间；(II)若比>0,且对于任意兀丘只，/(凶)>°恒成立，试确定实数*的取值范围;n(皿)设函数F(x)=/(x)+/(—兀)，求证：F(1)F(2)FG)>(严+2)"叱2).分析：木小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基木知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力。解：(I)由比之得/(x)=ev-ert所以r(x)=ev-e.由/V)>o得兀>1,故/(X)的单调递增区间是(1，+°°),由f(x)v°得兀v1,故/(x)的单调递减区间是.(II)由/(卜忙/(冈)可知/忡是偶函数.于是/(国)>C对任意x^R成立等价于fM>。对任意兀成立.由广(兀)=e'-比=0得X=InR①当Z:e(O,l］时，f(x)=ex-k>\-k^0(x>0)此时/(兀)在［0，+^)上单调递增.故/(兀)$/(0)=1>0,符合题意.由此可得，在［°，+°°)上,②当"(1,+8)时，讥>0.当兀变化时/(x)的变化情况如下表:X(0,ln)t)Ink(In匕+oo)广(兀)—0+/(兀)单调递减极小值单调递增/(%)三f(\nk)=k-k\nk依题意，k—khk>0,又.综合①，②得，实数£的取值范围是\n06比+叼_|_2>eA,+X2+2・•・F⑴F(n)>eH+1+2>F(2)F(/2-l)>en+,+2F(/?)F(l)>e,,+1+2.（ii）有且仅有一个正实数禺,使得»匕3））对于任意正实数t成立。由此得，IF⑴尸⑵⑴FG)][F⑵FS—1)][F(h)F(1)J>(e/I+1+2)w故F(1)F(2)nF(H)>(e"+,4-2)2,7igN*•2.设心疋22:£（%）=八兀t3,对任意实数/,记3（I）求函数尸/（力一弘（X）的单调区间；（11）求证：（i）当兀＞0时，/（兀）NQ）对任意正实数『成立；分析：木题主要考查函数的基木性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归（转化）思想方法X3,16y=4x+—(1)解：33.由#=兀2_4=0,得兀=±2.因为当“（yo,_2）时，#＞0,yo故所求函数的单调递增区间是（Y）,-2）,（2,+00）,单调递减区间是（-2,2）.（II）证明：（i）方法一:兀322令3,则H（x）=xl_1当（＞0时，由H（兀）=0,得x=门，当兀w（0,+oo）吋，/f（x）＞0.\n所以/2（兀）在（0，+8）内的最小值是心）=0.故当兀>°吋，对任意正实数f成立.方法二：22O---ch（t）=^（x）=>0）h\t}=-t3（兀一八）对任意固定的兀〉°,令3,贝IJ3,由//（『）=（）,得t=x\当00.当/〉》时，H（f）v0,力（兀3）=丄尢3所以当t=x3时，力⑴取得最大值一3•因此当x>0时，/G）Mg（x）对任意正实数/成立.Qf^=-=gt⑵（ii）方法一：由（i）得，£（2）$&（2）对任意正实数/成立.即存在正实数冷=2,使得©⑵⑵对任意正实数/成立.下面证明如的唯一性：当和2,兀〉0,—时，念。）吕，小）心-号，^->4x0-——3_（兀）=扛由⑴得，33,再取心兀），得勺3,16x03所以gg=4勺-亍亍％（”即亦2时，不满足久（如）沁（如）对任意/>°都成立.故有且仅有一个正实数冷=2,使得gOOMgQ。）对任意正实数/成立.方法二对任意勺>0,埠V*因为£（观）关于/的最大值是亍0，所以耍使gWo&gQ。）对任意正实数成立的充分必要条件是:\n即(兀_2尸(呂+4)£0,乂因为兀。>°,不等式①成立的充分必要条件是%0=2,所以有且仅有一个正实数珀)=2,使得8,(兀)之心0)对任意正实数f成立.3.定义函数fn(x)=(l+x)n—1,x>—2,n^N*(1)求证：fn(x)Mnx；(2)是否存在区间［a,0］(a<0),使函数h(x)=f3(x)-f2(x)在区间［“0］上的值域为［ka,0］?若存在，求出最小实数k的值及相应的区间［a,0］,若不存在，说明理由.分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、数形结合思想方法解：(1)证明：fn(x)—nx=(1+x)n—1—nx,令x)=(1+x)n—1—nx,则g'(x)=n[(l+x)n—1—1]・当xG(—2,0)时，g'(x)<0,当xG(0,+oo)时，g(x)>0,Ag(x)在x=0处取得极小值g(0)=0,同时g(x)是单峰函数，则g(0)也是最小值.・・・g(x)20,即fn(x)$nx(当口仅当x=013寸取等号).注：亦可用数学归纳法证明.(2)Vh(x)=f3(x)—f2(x)=x(1+x)2/.h，(x)=仃+x)2+x•2(1+x)—(1+x)(1+3x)令h'(x)=0,得x=—1或x=—1,・••当xW(—2,—1),h，(x)>0；当xW(—1,—£)时，h，(x)<0；当xG(-|,+oo)吋，h'(x)>0.\n故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下：14①当一^a<0时，h(x)最小值h(a)=ka/.k=(l+a)2^-4114—4②当一-时h(x)最小值h(a)=h(—-)=——=kak=—414③当a=—-时h(x)最小值h(a)=a(l+a)2=kak=(l+a)2$g,a=—§吋取等号.14综上讨论可知k的最小值为此时[q,0]=[--,0].9r—a例4.已知/(x)='/?)在区间［j」］上是增函数。(1)求实数。的值组成的集合A；(2)设关于*的方程：的两个非零实根为叽*2。试问：是否3m^R,使得不等式m2+^+l>|x,-x2|对VowA及虫［-口］恒成立？若存在，求加的取值范围；若不存在，请说明理由。分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.函数方程思想、化归(转化)思想方法解：(1)・・・2x-afM=兀2+2(xeR)2(x2+2)-(2x-a)-2x(F+2)22(兀~—cix—2)(x2+2)2_2(〒—cix—2)〉o...f\x)(F+2)2对VxE[-1,11恒成立即Vxw[-1,1],恒有x2-ax-2<0成立\n°设g(兀)=兀-ax-2g(-l)=a-\<0:g(l)=—G—ISO.-.A=[-1,1]2x-a(2)—cix—2=0x2+2•••△=/+8>0•••山、无2是方程x2-6zx-2=0的两不等实根，且•\xx-x2|=J(X]+x2)2-4%jx2=yja2+8g[2^/2,3]・.・m2+Zm+1>|Xj—丨对VqwA及fw1_口」恒成立m2+劝+123对W丘［一1川恒成立设力⑴=777•Z+(m2—2),tg[-1,1].I力⑴"对Ww[-1,1]恒成立J/z(-l)=m2-m-2>0Jazz<-1或加>2・[/z(l)=77?+w-2no[加<一2或加••...3me(-00-2]o[2,+oo)满足题意5.已知函数/（兀）"n（『+d）S>0）。（1）求函数丁=/（X）的反函数歹=厂'⑴和/（“）的导函数广°）；（2）假设对Vxe［ln0a）,ln（4a）］y不等式ln（/r（x））<0成立，求实数加的取值范围。分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.化归（转化）思想方法角军：(1)丁=1口(&'+。)ex-\-a=eyex=ey-a-V=ln(e'—a).・.y1(x)=ln(ex-a)・.・y=ln(ex+a)⑵・.・Ww[lnGa),ln(4a)],丨加一广Y兀)|+ln(/©))<°成立\nIm-ln(ex-a)|<-In—-——=In"十°ex+aex•-[\n(ex+a)-x]10<—^<1ex-a.ex+a••xg[lnGa)」n(4a)]•exg[3a,.・.g'(x)>0,g(x)在[lnGa),ln(4a)]J・g(x)max=g(ln(4a))<〃即ln(3<7)一ln(5a)+\n(4a)0ex-aex+a...方(兀)在[lnGa),ln(4d)]上TI(-・m/3(广0W。)的导函绚;(ID)是否存在。抽，使得an<-丿vS+1M恒成立?若存在，试证明你\n的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.(I)解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是20(II)证法一：因/]\2n/(2x)+/(2)=1+_1Y+—n■a>2In)2nIn>2nIn(n)<2丿(n)n)证法二:y(2x)+/(2)=1+—+h+斗In)1+-\2=2|1+-2f(x)=21+-ln[1+-ln)(故只需对'Inl"丿进行比较。令g(x)dx(兀nl),有'(兀)"一〒==0得兀i因为当Ovxvl时，g(x)vO,g(x)单调递减；当lvxv+oo时，g(x)>0,g(x)单调递增，所以在兀i处g(“)有极小值1故当兀>1时,g(x)>g(l)i,从而有x-\nx>l9亦艮卩x>lnx+l>ln%1+丄斤丿>In1+—I〃丿恒成立。所以/(2x)+/(2)>2/(x)原不等式成立。、2+(II)对mwN,且加>1/[\mi+—=q+c；km丿m\m-1+1++—^—2!(加一R+l)(1ml5丿、m\n1+一k\\1-丄】加人+丄1-丄'm-11(m<2+丄丄2!3!1+一+k\+—m\<2+丄+丄+2x13x2(23丿=3-—<3m又/〉0(£=2,3,4，Z)2<1+—ImJ<3(［、加2<1+—<3Im丿2,?<^1+1,从而有"人Q<3/2成立,nf1、2n