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- 2022-08-02 发布
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第1章集合与简易逻辑§1-1集合一、集合的概念1.1.1在“①难解的题目；②方程"+1=0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”屮，能够组成集合的是().(A)②③(B)①③(C)②④(D)①②④解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A.1.1.2下列集合中，有限集是().(A){x|x<10,xeN}(B){兀*<10,xez}(0{兀|/<10,x^Q}(D){x\x=y+\0,>€R}解析由N表示自然数集得{4v<10,疋N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}是有限集，答案为A.1.1.3若集合M={x\x<6}fa=忑,则下列结论中正确的是().(A)(B)(C){a}^M(D)a^M解析因为V5<6,则酋WM,所以，答案为A.1.1.4已知集合A={0,1},B={y|/=l-x2,x^A],则A与B的关系是().(A)A=B(B)ACB(C)AWB(D)Q解析由已知得集合3={—1,0,1},所以，延3,答案为B.1.1.5下列四个关系中，正确的是().(A)0E{O)(B)0^{0}(C){0}e{0,1)(D)0e{0,1}解析0与{()},{0}与{0,1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“丘”来表达；而0e{0},又0是集合{0,1}中的元素，所以，0e{0,1}是正确的,答案为D.1.1.6设q,bWR,集合{1,a+b>a}={o,b},则b—d=().(A)1(B)-1(C)2(D)-2解析由已知得0E{1,d+b,a]f而狞0,于是，只能a+b=0,贝诰=—1,又—1W{1,a+b,a},所以，a=—1,b=1,b—a=2,答案为C.1.1.7用适当的方式写出下列集合：(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；(2)不大于6的非负整数所组成的集合:(3)所有正奇数组成的集合:\n⑷方程?+6=0的实数解构成的集合:(5)不等式x2-5x+4<0的解集；(6)直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合；(7)直角坐标平面中，直线y=2x~\上的所有点组成的集合.解析(1)组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}.(2)不大于6的非负整数所组成的集合是{0,1,2,3,4,5,6).(3)所有正奇数组成的集合是{月兀=2£+1,胆N}・(4)方程卫+6=0的实数解构成的集合是{x|?+6=0,MR}.(5)不等式?-5x+4<0的解集{x|?-5x+4<0}或写成{x\\0且y>0}.(7)直角坐标平面屮，直线y=2.x~\上的所有点组成的集合是{(x,y)\y=2x~\}.1.1.8已知集合A={1,3,x},集合B={1,?),若有且MB,则解析由及於B得兀2=3,解得尢=±苗，经检验此X的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A={1,3,75}或{1,3,-V3}.1.1.9集合A={x|-30且x~2y~l<0fx,yWM},则N中元素的个数为().(A)9(B)6(C)4(D)2解析将点(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)的坐标代入不等式组fX_2y+1-0,可知只有点(0,0),(1,1),(1,0),(2,1)四个点在(%—2y—1<0,集合W内，所以，答案为C.1.1.11定义集合运算：AOB={z\z=xy(x+y),xEA,yGB),设集合A={0,1},B={2,3},则集合AOB的所有元素之和为().(A)0(B)6(C)12(D)18解析由已知可得AOB={0,6,12},所以，AGB中所有元素之和为18,答案为D.1.1.12设㊉是R上的一个运算，4是R的非空子集，若对任意a,有a㊉则称A对运算㊉封闭.下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是().(A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C.\n1.1.13集合M—｛x\a\x>b\｝»N=[x\a2X>b2｝，其中常数⑷枷①加却，则"讣=讣"是“M=N”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析若Gi=b]=l,02=^2=—1，则有盏=曙，此时,M=｛x\x>l｝,N=｛x\x0,于是，M=或者,M=\x\x<^于是,寻=簷,即辭屠,所以，“豈=鲁”是“M=N”的必要不充分条件，答案为B.1.1.14已知集合M=｛x\.xi},所以，答案为D.1.1.19写出集合A={(x,刃匱+)?=2且x+y=0}的所有子集：.叵1甬解解析集合A={(1，—1)，(一1，1)}，所以，A的所有子集是0,{(1，—1)}，{(一1,1)},{(1,—1),(—1,1)}.1」.20用适当的方式写出下列集合并化简：⑴方程兀2+2=0的全体实数解组成的集合：:(2)函数)=3卄2,15茫3的所有因变量组成的集合：；(3)函数v=-x2+4x+3,xeR的所有因变址组成的集合：.叵听讲解解析⑴方程孑+2=0的全体实数解组成的集合是{x|/+2=0,xWR}=0；(2)函数y=3x+2,l<7}.1.1.21已知集合[x\ax1+2x+\=0,qER,%eR)中有且仅有一个元素，贝ija的值是•解析要使得集合{血？+2兀+1=0,aWR,xeR)中有且仅有一个元素，则6/=0或4=22—4«=0,所以，a=0或a=\.1.1.22关于兀的不等式2(a+1)(a-1)x_—2的解集是A,关于兀的不等式7-3(6/+2三二^的解集A=[2a,a2+\].l)x+2(3«+l)<0(M中aWR)的解集是B,求使AQB的a的取值范围.2解析不等式(a+1)(a-1)不等式x2-3(^7+l)x+2(3tz+l)<0即为(x-2)(x-36f-l)<0.\n11{1a<3,3a+l<2a,a2+1<2,解得1&W3或a=~\.若a透,则B=[2,3°+1]；若则B=[3c+l,2].\a-3f由从8得*<2a,la2+l<3q+1所以，a的取值范围是a=—\或1.1.23已知集合A={x|?-3x+2=0},B={x\^-ax+(a-\)=O],C={x\x1~bx+2=0,xWR},若BQA,CCA,求实数a,b应满足的条件.解析集合A={1,2},而x2-ar+(«-l)=0即为(兀一1)(兀一口+1)=0,若。一1=1,即°=2,则B={}}满足；若°一1知，即曲2,则B={1,a~\],由BCA知心一1=2,即a=3.对于集合C,由CGA知，若C=0,则4=(—防一8<0,解得一2y/2(),则记/x)=x2-(1+w)x+4,此时,只需夬3)<0,即9一3(加+l)+4v0,解得10所以，m的取值范围是m>^-或m=3.1.1.25设集合M={1,2,3,4,5,6),S(,S2,…，Sr都是M的含两个元素的子集,且满足:对任意的Si=a，bf},Sj={ajfbj'Q书，i,疋{1,2,3,…，灯)，都有min層，min僅，^j(min{x,y}表示两个数x,y屮的较小者)，则R的最大值是().(A)10(B)11(C)12(D)13解析集合M的所有两元子集是{1,2},{1,3},{1,4},{1,5),{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6),{5,6},共计15个，其中,不同mi硯,裁0=1’2,…，⑸有I*I*PI*芬IJ£P孑舟共11个，所以,答案为B.1.1.26设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a,bwP,都有a+b,a_b,ab,^ep(除数防0),则称P是一个数域•例如有理数集Q是数域；数集F=｛a+by/2\a,bWQ｝也是数域.有下列命题：\n①整数集是数域；②若有理数集QCM,则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是(把你认为正确的命题的序号填上).解析因为任意两个整数的商不一-定是整数，故命题①不正确；当集合M=QU｛返｝时，由于1WQ,而吉故命题②不正确；由数域P的定义知，必有票=1丘卩，从而2WP，则3WP,…，所以，整数集ZCP,故数域P中必有无穷多个元素，命题③正确；由于数集F=｛a+bV2\a,b^Q｝是数域，贝1|将其中的迈换成逅，V5,…等仍为数域，所以数域有无穷多个，命题④正确.所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④.1.1.27非空集合G关于运算㊉满足：⑴对任意a,b^G,都有a^h^G；(2)存在wEG,使得对一切aWG,都有a^e=e^a=a,则称G关于运算㊉为“融洽集”.现给出下列集合和运算：①G=｛非负整数｝,㊉为整数的加法；②G=｛偶数｝,㊉为整数的乘法；③G=｛平面向量｝,㊉为平面向量的加法；@G=｛二次三项式｝,㊉多项式的乘法；⑤G=｛虚数｝,㊉为复数的乘法.其中G关于运算㊉为“融洽集”的是(写出所有“融洽集”的序号).解析对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中e=0；对于偶数集和乘法运算，其屮不存在满足要求的元素已对于平而向量集合以及向量的加法运算，任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量，^=0；対于二次三项式集合以及多项式的乘法，其屮不存在满足要求的元素&对于虚数集和复数的乘法运算，其屮不存在满足要求的元素£，所以，集合G关于运算㊉为“融洽集”的是①和③.1.1.28已知集合S=｛•¥*=〃『+/,加，n^Z｝.求证：若a,bWS,则ab^S.解析由a,b^S得存在整数”，q,r,s,使得a=p2+q1y/?=/+/，则“=(//++s2)=p2P+q2s2+p2s2+q2r=(pr+qs)2+(ps—cjr)1,英屮刃+如和ps~qr都是整数，所以，abES.1J.29已知集合A=｛x\x=\2a+Sbfa,Z?eZ),｛y|y=20c+16d,c,〃WZ｝.判断集合A与集合B之间存在什么关系，并说明理由.叵歸解析若yUB,即)=20c+16d=12c+8(c+2d),因为c,d^Z,则有c+2JEZ,得于是BQ若xWA,则兀=12a+8b=60d—48d+40b—32b=20(3a+2b)+16(—3d一2历，因为a,bEZ,则有3a+2b,—3a-2bGZ,于是AQB.所以，A=B.1.1.30f^x)=x+ax+b,a,b^R,A=｛x\x=J(x)fx^R),b=｛x\x=flfix)]fx^C｝.(1)写出集合A与B之间的关系，并证明；(2)当A=｛—1,3｝吋，用列举法表示集合B.叵听讲解\n解析⑴任取用A,则/(x)=x,于是，/[/(兀)]=/(兀)=“即有xeB,所以有ACB,但由于x-Mx)]必为四次方程，在复数集C上有4个根，所以(2)当A={—1,3}时,即方程x1+ax+b=x的两根为一1、3,于是一1+3=—(°一1),(—1)x3=/?,所以a=—\,b=—3,即/(x)=x2—x—3,此时，集合3中的方程为(/—尤一1)2—(x2—x—3)—3=兀，即(”—x—3)2—/=0,(兀2—3)(,—2x—3)=0,所以，B={—1,3,\/3,—V3}.1」.31已知人={(兀，刃|/+〉2+4兀+4)，+7=0,x,jER),3={(兀，y)\xy=~\0,x,)€R}・(1)对于直线加和直线外的一点P,用“加上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线加的距离与原有的点线距离概念是等价的•试以类似的方式给出一个点集4与B的“距离”的定义；(2)依照(1)中的定义求出A与3的“距离”.叵听讲解解析(1)定义：在点集A，B中分别任取一点，所取两点间的距离若有最小值，则此最小值称为点集A与B的“距离”.(2)集合A中的点构成一个圆,其方程是(x+2)2+Cv+2)2=1,圆心C(-2,-2),半径为1,设P(x,y)为曲线xy=-10±任意一点,贝!]|PC|2=(x+2)2+(y+2)2=?+y2+4(x+y)+S=(x+yi2-2xy+4(x+y)+S=(x+y)2+4(x+y)+2S=(x+y+2)2+24.当且仅当lxy=—10,rz=-i+VH,ly=—1—Vll%=—1—VTity=-l+VTl时，"2小值=24,|PCU小值=2用，所以，A与B的“距离”为2V6—1.二、集合的运算1.1.32已知全集7={«1，«2>如，。4,殆,«6)，集合A={d],心，他，6/5)，B=[a\,他}，贝MaCzb=().(A){d|,a4}(C){如，如(B)S，如(D){d2，05，676)解析L/B={d2，。3，。5'。6}，所以，AC\[，1B=^5)»答案为C.1.1.33若集合M={x\\x\<2}fN={x|<—3兀=0},则MCN=()・(A){3}(B){0}(C){0,2}(D){0,3}解析M=[—2,2J,N={0,3},所以MCN={0},答案为B.题1.1.34所以，答案为B.1.1.34设4,3,/均为非空集合，且满足则下列各式中错误的是().(A)(bA)UB=/(B)(O)U([〃)=/(c)An(CzB)=0(D)(C/A)A(C/B)=(C/B)解析集合A,B,/的关系如图所示，可知心A)U([/B)=[M，1.1.35设全集/={2,3,5},A={\a~5\92},O={5},则a的值为().(A)2(B)8(C)2或8(D)-2或8\n解析由AU[/A=/得|口一5|=3,所以u=2或8,答案为C.1」.36设集合M={x\a}x+b]x+c]=O],N={x\a2jC+b1x+c2=^^则方程(a^x+hyx+C[)(a2x2+b2x+c2)=0的解集是().(A)MQN(B)MUN(C)N(D)M解析rh(di，+b]x+ci)(d2H+b2x+c2)=0"J得(d]"+b]jv+ci)=O或+b^x+5},贝ijAP\B=；AUC=AABAC=.解析由已知得4C!B={xkv2},AUC=R,A^BC\C=^.1」.41若集合A={x\~2l),B={x\a—2},An^={x|l<^<3},贝ija=；b=解析在数轴上画出集合AUB和ACB可得a=l,b=3.1.1.42全集U的子集A、B、C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A、B、C,试用集合A、B、C的运算结果表述图中的阴影所代表的集合：.解析图屮的阴影部分表示集合C^ABAC.N={x\y/abb>0,全集/=R,集合M={xb0得庆価<字s,将集合M,N表示在数轴上可知戸=刈疋何答案为A.\n1.1.43对于集合4,B,C,“AAC=3nC”是“A=B”白勺().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析若A=B,则显然有AHC=BQC；反之，若C={1),A={1,2},B={1,3},此时AnC=BAC={l},但侮3,所以，“AClC=BnC”是“A=B”的必要不充分条件，答案为B.1.1.44设全集/={(x,y)k，〉€R},集合M={(qy)|^—|=lj,N={(x,y)\)^x+1},那么CXMU/V)=().(A)0(B){(2,3)}(C)⑵3)(D){(x,y)\y=x+1}解析集合/表示平面上所有的点，集合M表示直线y=x+1上除(2,3)外的所有点,集合W表示不在直线y=x+1上的所有点，所以MUN表示平面上除(2,3)外的所有点，所以，(/(MUN)是集合{(2,3)},答案为B.1.1.46若全集/=R,.心)，g(x)都是定义域为R的函数，P={x|心)<0},2={aW>0},则不等式组f/(X)<0,的解集用P,Q表示为.(gW<0解析由已知可得不等式g⑴V0的解集是(应，所以，不等式组的解集是1.1.47设P表示△ABC所在平面上的点，则集合{P\PA=PB}^{P\PB=PC]=.解析由已知得点P到△ABC三顶点等距，所以，{P|PA=PB}C{P|PB=PC}={AABC的外心}.1.1.48集合A={(x,y)\ax+y=\},B={(x,y)\x+ay=l}fC={(x,j)|x2+y2=l},分别求使得集合(AUB)AC为含有两个元素和三个元素的集合的d的值.解析集合人、3分别表示过定点(0,1)和(1,0)的两条直线，集合C表示单位圆，且(0,1),(1,O)ec,若(AUB)AC含有两个元素，则两直线重合或同时与圆相切，可得1或0=0.若(AUB)nc含有三个元素，即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点，由于两直线或同时与圆相切，或同时与圆不相切，则必须有上述两条直线的交点在圆上，两直线的交点是(士1.1.49若集合A是一个有限集，我们以.兀4)表示该集合中元素的个数.例如：只0)=0,夬{d})=l等等.(1)已知集合M={(x,y)\y=x\x^R),若集合N=[(x,y)\y=b],其中b是实常数,求"MCM的值；(2)已知集合M={(x,y)\y=x2.%ez},若集合P={(x,y)\y=x+p},其中#是实常数,\n如果存在整数R使得伙，QgMCP,求证：/(MDP)=2.解析⑴若方<0,则XA/n/V)=0；若b=0,则fiMQN)=\；若fc>0,则夬"宀7)=2.(2)由已知可得关于兀的方程^=x+p有一个根是匕则G=k+p,即p=G—k,于是,方程x^=x+p即为x—伙一1沐=0,即(x—灯(兀+£—1)=0,解得x=k或兀=1—所以,MC1P={伙，G),(1一匕(1-Z:)2)},由R是整数得申7,则W2=2.1.1.50设全集为R,A={x\x-5x~6>0],B={x\\xS\6或xv—l},rfllieB得|11一5|3,即c>6,集合B=(5_a,5+d),此时5~a<~lf5+d〉6,所以，AUB=R,答案为D・1.1.51已知P={y|)=M+l,兀ER},Q={y\y=x+\1xER},贝IjPQQ=().(A){(0,1),(1,0))(B){0,1)(C){1,2}(D){y\y>l}解析集合P，Q分别是函数y=d+l,y=x+1的值域，于是P=[l,+co),Q=R,所以pne=[b+oo)，答案为D.1.1.52设A、3是两个非空集合，定义4与B的“差集”为A-B={x\x^Af且xiB},则A~(A~B)=().(A)B(B)AAB(C)AUB(D)A解析由“差集”的定义可知集合A-B如图屮阴影部分所示，所以,A-(A-B)=AC\Bt答案为B.1.1.53已知全集U=AUB中有加个元素,(S)U((“B)中有刃个元素，若非空，则4门8的元素个数为().(A)mn(B)m+n(C)n~m(D)m—n解析由文氏图可得AHB的元素个数为m-n,答案为D.1.1.54设全集t/=N*,集合A={x\x=2nfn^N*},B={x\x=3n9n£N*},贝町(/AU◎=()•(A){x\x=6nrnEN*}(B){x\x=6n±\,hGN"}(C){x\x=6n±2f/?EN+}(D){x\x=6n±3,nWN*}解析对于x=2nf若n=3k伙WN‘)，则x=6k；若n=3k—1伙WN*),贝U兀=6k—2；若n=3k-2(圧N),则兀=6£—4,对于x=3n,若n=2k(kWN、,则x=6k；若/?=2R—1伙WN),则x=6k—3,所以，[(X4UB)={x*=6n±1,z?eN+},答案为B・1.1.55我们称(P,0为“有序集合对”，其中P,Q是集合，当时，认为(P,Q)与(0P)是两个不同的“有序集合对”•那么，使得AUB={a,b}成立的“有序集合对”(A,B)共有()个・(A)9(B)4(C)7(D)16解析若A=0,则只能B={a,b}；若A={a},则B可以为{b}或{a,b}；若A={b}f贝ijB可以为{a}或{a,b}；若A={afb}t则B可以是0,{a},{b},{a,b}这四个集合中\n的某一个，所以，使得AUB={a,切成立的“有序集合对”(A,3)共有9个，答案为A.1.1.56有限集合S中元素的个数记做card(S).设A,B都为有限集合，给出下列命题：①ACB=0的充要条件是card(AUB)=card(A)+card(B)；②AQB的必要条件是cardW)4)=card(B),其中真命题的序号是().(A)③，④(B)①，②(C)①，④(D)②，③解析用文氏图可知，当ARB=0时，必有card(AUB)=card(/l)+card(B).反之，若card(AUB)=card(A)+card(B),也必有ADB=0.于是，card(AUB)=card(A)+card(Z?)是ACW=0的充要条件；若ACB,则card(A)，丘4,BQA,矛盾，所以，x^C是xWA的必要条件但不是充分条件，答案为B.1.1.58已知集合M={2,3,加?+4加+2},P={0,7,/h2+4/??-2,2~m}满足MQP={3,7},则实数加的值是•解析由已知得7GM,则加?+4加+2=7,解得加=1或727=—5.若727=1,则沪+4/72—2=3,2—m=l.若m=—5,2—加=7,与集合中元素的互异性矛盾，所以，加的值1.1.59如果全集U={afb,c,d,e,/},A={a,b,c,A(^B={a},[u(AUB)={f},则・亘耐解题1.1.60解析由表示集合U,4,B的图形可得只有曲(CM)CIB,所以，B={a,e}.1.1.60如果全集[/含有12个元素，P,Q都是U的子集，PQQ中含有2个元素，含有4个元素，LyPAQ含有3个元素，则P含有个元素；Q含有个元素.◎耐解解析由表示集合SP,Q的图形可得P,Q中各有5个元素.B={x\x=lk+2,MN},L1.61集合A={My=5«+3,RUN},\n素是•\n解析由已知可得集合A={3,8,13,18,23,28,33,・•・},B={2,9,16,23,30,・・・},所以，ACIB中的最小元素是23・111_一8m6题L1.621.1.62已知集合A={x|-80,—(m+2)<0,解得m>0.所以,1>0,m的取值范围是/77>—4.1.1.66若集合A={x\^—2ax+a=0,xWR},B={x\Xi—4x+a+5=0tx^R).⑴若A=B=0,求d的取值范围；(2)若4和B中至少有一个是0,求d的取值范围；(3)若A和B中有且仅有一个是0,求Q的取值范围.更丽解析⑴若A=0,则4/—4gv0,解得0<«<1.若5=0,则16—4@+5)<0,解得Q—1,所以，使A=B=0成立的a的取值范围是0<6Z~}.(3)使A和B中有且仅有一个是0的t?e[A,n(CRB,)]U[([RAt)nB,],所以，使A和B中有且仅有一个是0的a的収值范围是一1vaWO或a>\.《多功能题典》一套像使用Google和百度一样方便检索的超级题典http://tidian.ecnupress.com・cn你是否曾想拥有这么一本书它像字典一样静静地躺在书桌上当你做题遇到困难时便可从中查到相同或相似的问题受其启发和点拨你分析和解决问题的能力即得到提升当你系统学习需要更多资料时便可从中提取海量分类细致且典型的问題此外，它还是方便网络检索的超级题典它不正是你现在所需要的吗§1-2简易逻辑一、命题1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的().(A)否命题必是真命题(B)否命题必是假命题(C)原命题必是假命题(D)逆否命题必是真命题解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A.1.2.2命题'‘对任意的兀WR,%3-x2+1<0v的否定是().(A)不存在xGR,?-%2+1<0(B)存在xGR,x3-?+l<0(C)存在xER,?-x2+l>0\n(A)对任意的兀WR,x3—x2+1>0解析"对任意的xWR,x3—x2+1<0的否定是"存在兀ER,使得X3-%2+1>0,答案为C.1.2.3与命题“若WM,则bGM”等价的命题是().(A)若则皿M(B)若b$M,则aWM(C)若bWM,则a^M(D)若a$M,则b^M解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若bEM,则gEM”，所以，答案为C.1.2.4设./U)是定义在正整数集上的函数，且/(兀)满足：“当阳玄成立时，总可以推出朋+1匸仏+1)2成立”,那么，下列命题总成立的是().(A)若用)29成立，则当仑1吋，均有处)玄成立(B)若7(5)225成立，则当£5时，均有曲卩成立(C)若,A7)<49成立，则当仑8时，均有阳眾成立(D)若/(4)=25成立，则当空4时，均有fik)>k2成立解析由25>16得久4)=25使得/(4)>42成立，由已知可得当吃4时，均有成立,答案为D.1.2.5命题“若Fvl,则一1。<1”的逆否命题是().(A)若兀壬1,则兀N1或x<—1(B)若一1<%<1,则/cl(C)若兀>1或XV—1,则无2>1(D)若烂1或A<—1,则无冬1解析命题“若X2<1,则一lcyl”的逆否命题是“若丘1或疋一1,则『勿”,答案为D.1.2.6在原命题“若则AABMA”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是・解析原命题的逆否命题为"若AC\B=A,则AUB=B”•当AQB=A时，任取x^A=AAB,必有贝I」必有AUB=B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题.原命题的否命题为“若AUB=B,贝ljADB=A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题.所以，在这四个命题中，真命题的个数是4.1.2.7若a,b都是非零实数，证明:\a\+\b\=\a+b\与ab>0等价.解析若\a\+\b\=\a+b\,贝i(\a\+\b\)2=\a+b\\a2+b2+2\a\\b\=a1+b2+2abf于是,\ab\=ab,可得ab>0；(a<0,[b<0,于是，\a\+\b\=\a+b\.所以，当a,b都是非零实数时，測+\b\=\a+b\与ab>0等价.1.2.8已知A和3都是非空集合，证明：aAUB=AHB”与“A=B”是等价的.解析若贝IJ任取xWA,必有于是，贝所以，同理可得BCA,于是,A=B；若A=B,则显然有AUB=AClB,所以，“AUB=AD3”与“A=B”是等价的.\n1.2.9已知d,Ac是实数，则与“d,b,c互不相等”等价的是().(A)a*b且b^c(B)(a—b)(b—c)(c—a)^0(C)(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2^0(D)a2,b2fc?互不相等解析由于不相等关系不具有传递性，当曲b且分c,a与c可能相等；rfl(a—h)2+(/?—c)2+(c—cz)2^0可得a=b,b=c,c=d中至少有一个不成立，即(a~b)2+(b—cF+(c—d)孕0等价于“a,b,c•不全相等”,而不能等价于b,c互不相等”；q=—1,b=0,c=l,此吋a,b,c互不相等，但/=圧，所以，“a,b,c互不相等”与y互不相等”不是等价的；a抽等价于a—歼0,“a,b,c互不相等"等价于a—/#0,b—详0,c—a^O同时成立,所以，“a,b,c互不相等”与“(a—b)e—c)(c-a)#)”等价，答案为B.1.2.10命题''若ab=0,则a、b屮至少有一个为零”的逆否命题为.莎听讲解解析原命题的逆否命题为“若b均不为零,则G舜0”.1.2.11给出下列四个命题：①若x2=y2f则x=y；②若时y,则x2/y2；③若/疔,则x/y；④若x^y且x^—y,则兀峯『，其中真命题的序号是•解析由x1=y2可得x=y或兀=一y,命题①不成立；若兀=一评0,此吋舜y,而2=)?，于是，命题②不成立；若兀2力2时有兀=)打则可得兀2=于，矛盾，于是，命题③成立；对于样y且xt_y，如果x2=/,则有兀=)，或兀=—y,即兀=『与兀=一y至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立.所以，上述四个命题屮，真命题的序号是③和④.1.2.12已知命题〃：方程x2+nvc+1=0有两个不等的负实根.命题q：方程4,+4(加一2)卄1=0没有实根.若“〃或q”为真，“p且g”为假,求实数加的取值范围.品I解{m2—4>0,—m<0,解得m>2.当命题q为真时，应冇△=1>0,16(加一2)2—16<0,解得lsv3.于是，使“〃或g”为真的加的取值范围是加>1,使“〃且q”为假的加的取值范围是加S2或沦3,所以，使两者同时成立的加的取值范围是朮3或10,。21+。22+例3>0，。31+。32+。33>0可得数表中的九个数之和为正;同时，又有如+。2|+。31<0，。12+。22+。32<°，。13+。23+。33<0,则数表中的九个数之和为负,矛盾'所以,此人一定不能写出满足要求的数表.1.2.14设a,bWR,A={(x,y)\y=ax+b,兀WZ},B={(兀，y)|y=3F+15,兀WZ},C={(x,y)|/+>，2^44}都是平面xO)：内的点的集合.求证：不存在a,4使得4CB护，且点(a,b)WC同时成立.叵听i糊解析设满足要求的a,b存在，则P(a,b)WC,即^+^<144.\n由卩+'得cvc+b~(3x2+15)=0,在aOb平面内，原点到直线ox+b—(3,+(y=3x2+15,15)=0的距离是|3x2+15|_Jx2+1.>12,其中等号当且仅当3X+112衣2+1即兀2=3时成立，但它与xez矛盾，所以，使ADBH0成立的(g,b)必有Ja2+b2>12,与^+^<144矛盾，所以，满足要求的a,b不存在.1.2.15屮学数学屮存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“〜”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意aWA,都有o〜d；(2)对称性：对于a,若0~5,则有b~a；(3)传递性：对于a,b,cC,岩ci〜b,b〜c,则有d〜c,则称“〜”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：・解析由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系.1.2.16已知函数/(兀)在R上是增函数，d,bGR.写出命题“若a+b>0,则.心)+的逆命题，并判断其真假.若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例.罰讲解解析所求逆命题为：已知函数7U)在R上是增函数，a,bWR.若J[a)+J(b)>A-a)+./(—b),则a+b>0.该命题是真命题.证明如下：若。+広0,即a<~b.由函数幷)在R上是增函数得K咱(一仍,同理代忖_ci),由此可得J(a)+/(/?)0・二、充分条件和必要条件1.2.17两个圆“周长相等”是“面积相等”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析两个圆周长相等，则由271^=2^2得两圆半径八=厂2,则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C.1.2.18P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是0的().(A)充分不必要条件(C)充要条件解析当四边形的四条边长相同时,四边形的四条边长不一定都相等，所以,1.2.19已知a,b,c,d都是实数,(A)充分不必要条件(C)充要条件(A)必要不充分条件(A)既不充分也不必要条件它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行P是Q的充分不必要条件，答案为A.则ua=b且M(0成立的充要条件为().(A)x<—1或兀>1(B)—1-1且好1(D)x0,或(1+%<0,解得一icy1或兀v—1,即为龙<1(1—1%|>0(1—1%|<0,且好一1,所以，答案为D.1.2.26一元二次方程a^+bx+c=0有一个正数根和一个负数根的充要条件是().(A)ab>0(B)ab<0(C)ac>0(D)ac<0解析若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正数根七和一个负数根x?,则炯2=*0,则«c<0；反之，若皿<0,—元二次方程的判别式4=沪一4°c>0,此方程一定有两个实数根，且两根之积为令<0,这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正数根和一个负数根的充要条件是6/c<0,答案为D.1.2.27“Q1”是“丄<1”的().X(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析若Q1,贝字<0,即卜1；反之，如果*0,则有卜1,此时，Q1不成立，所以，“Q1”是“匸1”的充分不必要条件，答案为A.1.2.28已知兀是实数,则“环1”是“孑一4兀+3却”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析如果兀=3,则好1,此时兀2—4x+3=(x—l)(兀一3)=0；反之，如果x2-4x+3壬0,即(兀一3)(兀一1)工0,则時3且好1,所以，“屛1”是“<一4兀+3*0”的必要不充分条件，答案为B.1.2.29“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析如果一个正整数的个位数是5,即此正整数一定可表示成10£+5伙是非负整数),它一定是5的倍数；反之，可写成10〃⑺是正整数)的正整数一定是5的倍数，但它的个位数不是5,\n所以，“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要条件，答案为A.\n1.2.30对于集合A,B,下列四个命题中正确的是().(A)“A不是B的子集”的充要条件是“对任意aEA都有(B)“A不是3的子集”的充要条件是“ArW=0”(C)“A不是3的子集”的充要条件是“3不是4的子集”(D)“A不是B的子集”的充要条件是“存在xeA,使得天毎〃”解析由于A不是B的子集，则至少存在一个兀((A有XoGB,并不要求对任意的xWA有阳B,但是，对任意xEA都有MB,则A—定不是B的子集，所以，“对任意xeA都有尤是“A不是B的子集”的充分不必要条件.若A不是3的子集，不一定有AAB=0,例如4={1,2,3},B={2,3},反之，当ACIB=0时，不一定能推出A不是B的子集，例如A=0,则A必是B的子集，所以，“ACIB=0”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件.由A不是B的子集不一定能推出B不是A的子集，例如人={1,2,3},B={2,3},反之亦然，所以，不是A的子集”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件.根据子集的概念可知“存在xWA,使得兀$3”是“A不是3的子集”的充要条件.所以，答案为D.1.2.31已知函数几丫)=(/—l)M+(a—1)兀+3,则沧)>0对任意的xER恒成立的充要条件是.叵亦井解解析当a=1时，/U)=3>0恒成立.而当a=—\时，./(%)=—2x+3不是对一切兀WR都有•心)>0成立.护一1>0当狞±1时，使yu)>o对一切xer都成立的充要条件是{°，r解l(a-l)2-12(a2-l)<0,得a>\或6Z<—jy,所以，使夬兀)>0对任意的兀WR恒成立充要条件是a>\或。<一莽.1.2.32证明："关于兀的方程c^+bx'+cx+d=0有一个根为一1”的充要条件是“g+c=b+d".解析若a+c=b+d,则方程ax+bj?+cx+d=0即为ax3+bx2+cx+a+c—b=0,于是,ci(x^+1)+b(：c—1)+c(jc+1)=0,(x+l)[a(x2—x+l)+Z?(无一l)+c]=0,所以，x=—1是方程or3+bx+cx+d=0的一个根；反之，如果x=—1是方程ax3+bx+cx+d=0的一个根，则有6/x(—l)3+/?x(—l)2+cx(—1)+J=0,于是，a+c=b+d>所以，“关于x的方程a^+bj^+cx+d=0有一个根为一1”的充要条件是“d+c=b+d”.5⑴证明弋兽是册6,的充分不必要条件;a>3,b>3成立的充要条件.井解解析⑴当°〉3且b>3时，必有a+b>6,ab>9成立.反之，在a+b>6Hab>9的条件下，不一定有a>3Hb>3成立，如a=1,b=W.所以弋鳥'是航行的充分不必要条件•\na>3,b>3成立的充要条件是{;二范為蔦。'1.2.34证明：是(AAO^(BAC)的充分不必要条件.區听讲解解析当时，任取兀有xGB且兀EC,于是有兀GA且xGC,贝ij%eAAC,所以，A2B是(4CC)n(BnC)的充分条件，而C=0使(川。：(加C)成立，但B不一定是A的子集，所以，是(AnC)2(BAC)充分不必要条件.1.2.35“妙b”是否为“关于x的方程a(ax-\)=b(bx-\)有解”的充要条件?若是，请予以证明；若不是，请指出它是什么条件?并请说明理由.解析对于未知数是x的方程(a2—b2)x=a—bf如果g=1而h=~\,此时有a幼，而原方程是0xa=2,此方程无解，于是，“殍b”不是“关于兀的方程a{ax-\)=b(bx~\)有解”的充分条件；反之，如果a=b,则关于兀的方程(a2~b2)x=a~b即为0xx=0,此方程的解集为R，则抽”不是“关于x的方程a(似一l)=b(加一1)有解”的必要条件，即%初”是“关于x的方程a(ax-\)=b(bx~\)^解”的既不充分也不必要条件.1.2.36如果系数4，b\,0,(D)Xx)=kl与g(x)=x,%<0解析对于yu)=V^与金)=坂£应有j{x)=x,g(x)=ixi，它们的对应法则不同，是两个不同的函数；函数fix)=Jx2—l的定义域是(一8,—1]U[1,+oo),而函数g(x)=的定义域是H，+oo),它们是两个不同的函数；对于函数Ax)=2xf几0)=1,几1)=2,几2)=4,.0=8,而对于函数g(x)=£+寻+1,g(0)=l,g(l)=2,g(2)=4,g⑶\nyy>A=8,所以，这是两个相同的函数；函数Xx)=W的定义域是R,而函数g(x)=\'—x,%<0的定义域是(一8,0)U(0,+8),它们是两个不同的函数.所以，答案为C.2.1.5函数尸卄单的图象是().✓V解析函数y=[x+lr%>0,所以，答案为C..%—1,%<0,2.1.6函数)•=口的图象是().x—lv—2i解析函数尸——即为〉=1—丄，它的定义域是x£R},值域是{)忖1,yX—lX—1eR),由描点法可得此函数的图象是B・2.1.7已知函数,g(x)分别由下表给出.V123131.V123g(x)321(1)求屁⑴]的值；⑵求满足张(兀)]>£金)]的%的值.解析(1)由已知可得g⑴=3,则Ag(l)]=A3)=l.(2)血(1)]=1，而gWl)]=3；/[g⑵]=3,g[/(2)]=l；屁⑶]=1,g[A3)]=3,所以，满足./UCv)]>g[/W]的兀的值是兀=2.2.1.8已知函数fix)=x>0,若询,则+b)+(ci—b)—b)］的值().、—1,%<0.(A)一定是a(A)是°,小卩较大的数(A)—定是b(B)是°,方中较小的数\n11解析若a>b则^a+b)+{a—b)j{a—b)]=^a+b)+{a~b)]=a\11若a1,—1—x,%>—1,x~l9g(x)=X2,解析若x+2=3,则兀=1,与疋一1矛盾；若x2=3,贝ijx=±V3,由一l1得函数)=少，的值域是(0,5].2xz—4%+3⑶由2x2-4x+1=2(x-1)2-1>-1得函数)‘•=的值域是{川>0或2xz—4%+1⑷函数y=x~\(13.5{60t,00,%2—5%+6工0,解得(A),28解析若^1=M—兀小对于函数7(兀)=込|/(X］)-夬兀2)1=1好一爲1=1划+无2||兀］—兀2l>2*］—疋1>1兀1—対'所以，答案为A.2.1.16函数人劝比2^^的定义域是所以，函数7W的定义域是{x\x>3或疋1}・\n—兀22.1.17已知qvO,则函数的定义域是_・|x+a|+a解析函数沧)=£"的自变量X应满足a2_x2-0,由d<()及得\x+a\+a[\x+a\+aH0,—a,贝0x+a<0,于是，由|x+d|+a工0得一x—d+a工0,所以，原函数的定义域是[a,0)U(0,—a].2.1.18设满足y>\x-l\^J点(兀，y)的集合为A,满足><~M+2的点(兀,刃的集合为B,则ACB所表示的图形的面积是解析函数y=|兀一1|和y=—|川+2的图象形成的封闭区域是由函数y=兀一1,y=—x+1,y=一兀+2,y=x+2围成的矩形,此矩形的顶点是(一芬|),(1,0),(0,2),它的面积是|.2.1.19从装满2()升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行.如果倒完第殳次(©1)时共倒出纯酒精兀升，设倒完第£+1次时共倒出纯酒精人兀)升，则函数/U)的表达式为_・解析由于倒完笫p次共倒出纯酒精x升，则笫R+1次倒时，容器中还有纯酒精20—111ax升，第R+1次倒出了纯酒精2^(20-X),所以，心)=兀+2^(20-X)=1+^x(lo,所以，a和b应满足b=2且a>0・2.1.22记实数4，a?，…，禺中的最小值是min{<7p他，…，an]9例如min{-l.l,一2.3,6}=—2.3,那么,定义域为R的函数y(x)=min{x,2—x2)的最大值是_・解析由函数/U)的定义可作出其图象(如图所示)：抛物线2—/与直线〉=兀的一个交点是(1,1),所以，当兀=1时，心)取得\n最大值1-2.1.23求函数y=~j]—的定义域.Jx+8-j5x+20+2解析函数的自变量X应满足x+8>0,5x+20>0t%+8—/5x+20+2H0.若x+8-5x+20+2=0,则有x+8+4x+8+4=5x+20,x+8=x+2.解得兀=1或x=—4,经检验，x=—4是方程尢+8+2=5尢+20的增根，亦即使得%+8-j5x+20+2=0成立的实数只有x=\,所以，函数的定义域是{x\x>-4且好1}.2.1.24求函数y=2的定义域(其屮k是常数).解析函数的自变量X应满足二1%2-4>0,(x>2k,[x>2或尢V—2,所以，若2Q2,即Q1时，函数7U)的定义域是［2匕+oo)；若一2<2K2,即一1三辰1时，函数.心)的定义域是(2,+oo)；若2K-2,即X—1时，函数/W的定义域是［2匕-2)U(2,+oo)・2.1.25作出下列函数的图象:(%,兀>1,(l)y=(2,-1<%<1,.—2x,x<—1；x2+x,%>0,x2~x,%<0；⑶y=⑵y=凶+i(4)y=2—|x—x2|.%>1,2,-10,⑵函数尸篤即为汁1—X1+x其图象如图2.1.25⑵所示.1—%2.1.26作函数少=也坦\X\-X的图象•解析函数应［两足\x\—x^0,即此函数的定义域是*0,pl即尸-口-壽18;-x——19=0,X=—l,)=@，X=—2,y=TZ^函数图象如图2.1.26所示.所以,1ry2.1.27求函数y=x+2、%—1+x~2/兀一1的值域•解析函数y=+(X-1-1)=x-l+l+lx-l-ll=y2_Q(1)函数y=「-’的图象如图2」.25(3)所示.、%2—%,%<0-1O12x题2.1.25(3)1YYQVYV1(2)函数y=2-|x-?|即为尸「~~'其图象如图2丄25(4)所示..2+%—%2,%<0或兀>It2卩一1,%>2,所以，函数的值域是$比2}.2,1<%<2,\n1,xUM,O2.1.28集合M是实数集R的任意一个子集，函数几⑴在实数集M上定义如下：A/W求证：对任意以实数为元素的集合4，B,必有办帖（兀）=办（功〃⑴.\n解析由函数皿)在实数集心定义可得爲心{。，甘氏若xeA且兀WB,即兀eAOBB寸，有fA(x)=1且办⑴=],则fA(x)f8(x)=1；若xWA且xGB,则办⑴=1而,A(x)=O,那么fA(x)fB(x)=O；若只巴4且兀WB,则fA(x)=0而f^x)=1,那么办(Q/〃(x)=0；若x釧且阳B,则办(兀)=0且〃(无)=0,那么办(兀加(兀)=0,对于“xEA且xGB”,且兀WB”，“xGA且xGB”，都可得xgAAB,则当SB时，必有办叽)=0,那么，办叽)=°,x^AC\B,所以，对任意以实数为元素的集合久B,必有•加血)=办(功亦)•岳，则妙的解析式可以是().步⑻一磊2xx(D)R解析令£=『，则尸三于是斫誅，呗尸命，答案为c・2.1.30已知函数J(x)=ax3+b^+cx+d的图象如图所示，贝9().甌讲解(A)Z?e(-oo,0)(B)bW(O,1)(C)/?e(l,2)(D)bw(2,+oo)/X题2.1.30解析由函数图象可知方程./U)=0的根为()、1、2,于是可设/(兀)=ax{x~1)(兀一2),贝9ax—3a^+2ax=aX>+hx1+cx+chb=_3a,又当兀>2时有A%)>0,于是有Q0,所以，b<0,答案为A.2.1.31函数y=夬2兀一1)的定义域是[0,1),则函数y=几1一3兀)的定义域是_.[&听讲解(A)(0,|](B)(0,|(C)(0,j](D)(-2,解析由O.rvl得一l<2x-l0时，g(x)vO,当x<0时，g(x)>0,而此时函数fix)=—2(4—m)x+1的图象是开口向下的抛物线，一定存在也>0有./Uo)vO,所以,*0不符合要求；若加>0,则g{x)=mx.当\nx>0时,g（兀）>0,当x<0时,g（兀）三0,函数/（x）=2mx2—2（4—m）x+1当aSO时必须有fix）>02（4-m）恒成立，而此吋函数/U）的图象开口向上，于是，必须有｛2x2m或（4（4—m）2—8m<0—2(4—m)2x2m>f(0)>0,0,解得49?v8或Ov〃2<4,所以，加的取值范围是01,-30,即3/-16y+12<0,解得罟警巴,并且当y=2时，解得x=2±V2,y=3时，兀=1或兀=|,尸4时，兀=2或兀=扌，所以，在y2—2x+4函数）=笃的值域中,有且仅有4个整数.所以，在给出的三个函数中，值域中仅•%2-3%+3含有有限个整数的函数有2个，答案为C.2.1.34已知函数y=fix）的定义域是R,则函数y=fix~\）的图象与函数y=fi\~x）的图象一定关于（）.（A）直线y=0对称（B）直线x=0对称（C）直线y=l对称（D）直线x=l对称解析设（心，为）是函数）=./（兀一1）图象上的任意一点，则y（）=/Uo—l），点（兀o，刃））关于直线兀=1的对称点是（2—丸，yo）,j\y—（2—兀o）］=/（兀o—l）=y（），所以，点（2—兀（），y（））在函数y=J（1一兀）的图彖上，函数y=J（x—1）的图彖与函数y=J（1―兀）的图彖一定关于直线x=1对称，答案为D.2.1.35已知集合A={y\y=x-4x+6,xGR,yEN*},集合B={y|y=—,一加+18,x^R,yEN'},贝ljAQB=_.解析y=?-4x+6=(x-2)2+2,于是A={2,3,4,5,6,•••},y=—/—2兀+18=-(x+1)2+19,则B={19,18,17,16,15,…，1),所以，AAB={2,3,4,5,…，15,16,17,18,19}.2.1.36若函数y=3<—3U+10的自变量都是正整数，则此函数的最小值是\n解析函数）=3/—3U+10即为）=3（兀一普）一羚，而xWN*,所以，当x=5时,y处小位=—70・2.1.37已知函数J（x）=^+ax+b满足1|/（1）|=[/（2）|=[/（3）|=|,则/%）=_.解析由已知可得二次函数心）的图彖的顶点坐标是（2,并有用）=/（3）=£则a=—4,b=孑，所以，./（兀）=兀2_4兀+£2.1.38已知他）=0?+加+c@MO）当乳=3时取得最小值4,且其图象在y轴上的截距是13,则a=_,b—_,c=_.直听诉解解析由已知可设J（x）=a（x—3）2+4,当兀=0时y=13,解得a=1,即j{x）=^—6x+13,所以，a=l,b=—6,c=13.2.1.39已知一个二次函数，当时有最大值2,它的图彖截x轴所得到的线段长是V2,则此二次函数的解析式是解析由已知可得二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别是1—夢和1+夢，则可设其解析式为/U）=d”一（1—愛）|卜一（1+今）],并有川）=2,解得4,所以，该二次函数的解析式是沧）=—4,+8x—2.2」.40若函数yw—的定义域是r,则力的取值范围是.叵帀讲解加+4心+3解析若£=0,则的=号，定义域是R.若辱0,则应有16—12X0,解得0<^<|,所以，R的取值范围是0钦<#.2.1.41函数/W的定义域是[0,1],则函数XI-2X）的定义域是.⑥听般解析由已知得函数y=Xl-2x）应满足0<1-2a<1,即它的定义域是[o,|.2.1.42函数«.r）=2x+l-^7-4%的最大值是.◎听i糊〕解析人兀）=一訂7~4%+1）2+5,而』7~4%彳0,所以，当尢=扌时，/U）取得最大值*.\n2.1.43函数y=(?-x)2+4(x2~x)+3的最小值是_・目听讲解2解析y=(/—x+2)2—1,而兀2—x+2=(x—+#2#，所以，)2曙一1'当兀=*时,y取得最小值誇・2.1.44已知f为常数，函数y=\x2—2x~t\在区间［0,3］上的最大值为2,则t=_.解析记/U)=(龙一if—1—/,可得函数)=血)|的图象关于直线兀=1对称.若一1—20即圧一1时，则函数〉=|/一“一/|在［0,3］上最大值为/(3)=3-/=2,贝ij/=l,矛盾.若一1一/<0且/3)=3-/>0,即一1VE3时，如果1+忙3—/,亦即一1<忙1时，函数y=|/U)|当x=3时取得最大值3—f=2,解得/=1・如果1+/>3—/,亦即1VE3时，函数y=|/U)|当兀=1时取得最大值l+f=2,矛盾.如果3—0,则函数y=［/U)|当兀=1时取得最大1+/=2,矛盾.所以，r=l.2.1.45若x,>€R,且3x2+2/=Zy,则x2+/的最大值是解析由2y2=2x—3x2>0得0QS彳，/+)?=—今+兀=—*(x—1)?+*,所以，当x=#时，*+)，2取得最大值春2.1.46已知函数y=兀+3((兀一1)2+2的定义域是［0,+*),则其最小值是解析由已知可得/-2xy+^=9x2-18x+27,即8?+(2y-18)x+27-/=0,关于兀的方程有实数解，则判别式厶=(2)，—18)2—32(27—)/)20,即/-2j-15>0,()，一5)©+2)>0,由原函数的定义域是［0,+oo)可知有)，>0,于是，y>5,若〉=5,则4,一4兀+1=0,解得x=|.所以，当兀=*时，函数y=x+3^(%—I)2+2取得最小值5.2丄47设加=朋)=丘’且处)=加咖则夬1)+夬2)+“・+弘)+皿)+加)H人⑴=_•解析朋)=加)戶謊1+x_X1+亠l+2x‘H-xA(x)=£[/U)]=f(x)l+2/(x)1+xX办(力=人金)］=f(x)1+3/(%)1+尢_X1+2L1+4%14-x\n由此可得加朗=二^,则+所以，人1)+几2)+…+血)+1+nxl+/c14-/c/i(l)+£(l)Hfn(\)=n.(产仇)和次假数1'，则夬2008)/(H),71为奇数，■1111解析戏2008)=/(2007+1)=/(2007)=剳(2006)=孰2005)=%2004)=%2003)=122.1.49集合A=[(x,y)\y=a\x\,xWR},B={(jc,y)\y=x+af兀WR},已知集合ADB中有且仅有一个元素，则常数G的取值范围是_・解析由函数7U)=d|x|的图象和函数g(x)=x+a的图象的位置关系可知，使集合ACB中有且仅有一个元素的常数a的取值范围是一1&W1.2.1.50已知函数人兀)满足2/(x)+3/(-x)=lr2-3x+5,则沧)=解析由已叽鳥芽打二花爲乜解得几兀)=|/+3兀+1.2.1.51如图所示，已知四边形ABCD在映射/：(x,y)->(x-1,y+2)作用下的象集为四边形ABCD,四边形ABCD的面积等于6,试求四边形48CD的面积.叵亟睡解析映射/：(无，y)—>(x—1,y+2)的作用是将点P(x,y)向左平移一个单位并向上平移两个单位，四边形ABCD与四边形A'B'CD'必定全等，所以，四边形/VBCD的面积等于6.2.1.52已知m为实数，将函数j{x)=}C—2mx+m—\(02,则当x=2时几丫)取得最小值3{m—1,m<0,—m2+m—1,02.当加v0时，g(加)v—1,当加>2时，g(加)v—3,当0^,即j^—2kx+2—k>0在x>—1时恒成立，则有k>一1,4(2-/c)-4/c24~0,k<-1,、(一1)2—2x(-l)k+2~k>0,解得一1三底1或一31—a,解析心)才22:((%—空)+a2+a+,x<1—a,若1—a兮，即d令，此时/+3°—卜/+。+£函数图象如图(题2.1.56(1)),于是,当寸,J(x)iA小伯=/+a+#；\n题2.1.56(1)题2.L56(2)题2.1.56(3)若一|<1-6/<|,即/<|,函数图象如图(题2.1.56(2)),于是，当兀=1一°时，、心)最小值=(1—«)2+(1+d)2；若1—处一即^>|,此时a2+3a—^>a2+a+^函数图象如图(题2.1.56(3)),于是,当x=—*时，/Wfit小值=/+3口一書，于』吨’或!^5((l-a)2+(l+a)2>5(a2+3a-|>5,所以，a的取值范围是同(一1—后咸。占.2.1.57求函数〉,=2{+2x+3的最值.罰讲解-x2+x+l解析由已知得(2—y)/+(2—y)x+3—y=0,并由x^R得当)唸时，4=(2—)护一4(2-)0(3-j)>0,即3/-16j+20<0,(3y-10)(y-2)<0,解得2<)冬¥，当兀=一£y=¥；并且，不存在兀使得y=2,所以，函数有最大值才，没有最小值.2.1.58已知函数的最大值是9,最小值是1,求°,方的值.叵却解析由已知得(y—a)/+&r+y—b=O,则A=64—4(y—a)(y—b)NO,即关于y的不等式)?一(d+b)y+ab—169的解是1009,于是］1+9=a+bf解得［a=SfAx9=ab—16,(b=5・2.1.59求函数y=Jx_3+」5_x的值域.解析函数的定义域是3QW5,/=2+2J(x-3)(5-x),即y2=2+2^J~(x~4)2+1,于是，20,当一1*1时，求函数少=乜竺的最大值和最小值.叵呃井解a~bx解析由尸竺也可得尸空尹，则竺严口，于是/©2_2歹+1)劝2©2+2〉，+1),a—bxby-rbby-vb即(a+b)(a—Z?)>,2—2(/+fe2)y+(a—b)(a+Z?)<0,[(a—b)y—(a+b)][(a+b)y—(a—b)]<0,a~ba+b~4ab八匚厂山a~b^a-\~b土(□斗丽厶曰曰[牡^一b土i——-—=—~0,所以，——<><―,^x=一1时，y取得最小值——,当x=\a+ba~baL~ba+ba~ba+b时，y取得最大值空.a~b2.1.61对于函数ZU),记f\(x)=Kx),力汁心)=n/Q)]・问：是否存在一次函数/W，使得fnM=J(X)对任意正整数n都成立?若存在，求出所有满足要求的/U)；若不存在，则说明理由.解析设J(x)=ax+b(^0),贝Ij%(x)=./[/；(QJ,即f2(x)=a(aj：+b)+bf于是，ax+b=a2x+ab+b对任意R恒成立，于是，°'由辱0解得(°(ab=0,(b=0.如果心)=兀，则当/1(兀)=/0)时，显然任意正整数/?都成立，所以,/W=X.2.1.62已知函数y«=3x+4,分别根据下列条件求函数)=g⑴的解析式.(1)y=g(x)的图象由)=/W的图象向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，(2)y=gCr)的图象与y=/U)的图象关于y轴对称，(3)》=g(兀)的图象与丿=/(兀)的图象关于直线y=1对称，(4)y=g(x)的图象与y=/U)的图象关于直线y=—x对称，(5)y=g(兀)的图象与y=Ax)的图象关于点P(a,b)中心对称.叵听讲解解析设P(x,y)是函数f(x)=3x+4图象变换后所得新图象上的任意一点，它是由原图象上的点Pg旳变换得到的.(1)(X_X_1,所以，y+2=3(兀+1)+4,即g(x)=3x+5.ly=y'—2，⑵%，所以，〉,=_3x+4,即g(兀)=-3x+4.(y=yf,(x=x\⑶所以'即如f一2.x=—1⑷’所以，一兀=3(—)；)+4,即g(x)=«x+4).ky=—x\°I^(x+xr)=a,1所以，2b—y=3(2a~x)+4,即gCv)=3x+2b—6q—4.号(y+/)=b,\n2.1.63将抛物线），=异_力+4上的任意一点保持横坐标不变，纵坐标压缩为原来的牙求所得新抛物线的解析式.叵听讲解解析设卩（兀，y）是函数y=/—2兀+4图象变换后所得新图象上的任意一点，它是|+|原图象上的点Pgy）变换得到的，贝91所以，压缩变换后的抛物线方程是y=^x2—兀+2・2.1.64指出函数y=|x|的图象与函数y=Jx2-2|x|+l的图象之间的关系.画丽解析函数y=Jx2-2M+l即为||x|-l|,它可以由函数y=|x|的图象先向下平移1个单位，再将所得图象在x轴下方的部分作关于兀轴的对称变换而得到.2.1.65己知函数兰二的图彖关于直线y=x对称，求实数加的值.2x~rm解析显然，（5,0）是函数y=上二图象上的一点，则（5,0）点关于直线y=x的对称2x+m点（0,5）也在此函数的图象上，于是5=—倉，即m=—l.设（也，刃））是函数）=仝兰图象上的任意一点，则为=仝匸丄，它关于直线y=x的对2x—12x0—1今—5_称点是Oo,必），于是一=—=x0,所以，点（y°,X。）也在函数丿=口~的图2y°T2x^Ll-l2x-12“t象上，即函数仝二丄的图象关于直线）.，=乳对称.2x~l2.1.66已知函数『=心）是定义域为R的函数，求证：函数F（x）=fix）-f（a-x）的图象关于点（号，0）屮心对称.汁一®于是，电ly=_yo・解析设血，为）是函数F（x）=f（x）—f{a—x）图象上的任意一点，则y（）=/Uo）—Aa—廊）,再设（xo,yo）关于点（号，0）的中心对称点是（兀，刃，则一也）=他7—兀0）一/［幺一（d—兀o）］=—［/Uo）—/（Q—xo）］=—y（），所以，点（0—兀0，—为）在函数F（x）=加一张一龙）的图象上，则函数住）=.心）一弘一兀）的图象关于点（号，o）中心对称.2.1.67函数J（x）=ax1+bx+c和函数g（x）=cx1+bx+a（其中°舜0,。丸）的值域分别是\nM和N,则一定有().(A)M=N(B)MQN(C)NQM(D)MANH©解析7(l)=a+b+c,g(l)=c+b+a,即/(l)=g(l),所以，且MN,MON护,答案为D.2.1.68对于函数fix)=x1+x+a(«>0),若存在实数加使得成立，则一定有().(A)y(m—1)<0且/(m+1)<0(B)fini—1)<0且/(m+1)>0(C)夬加一1)>0且夬加+l)vO(D)Xw-l)>0且人加+1)>0解析由已知得/?z2+/n+^<0,则m2+in<—a<0y于是，一1<加<0.夬加一1)=/—加+a>0,/(加+l)=〃,+〃z+d+2(〃?+1)>0,所以，答案为D.2.1.69定义在R上的函数人兀)满足fix+y)=f(x)+fiy)+2xy(x,)€R),用)=2,贝9几―3)等于().(A)2(B)3(C)6(D)9解析由己知可得人0+0)=/(0)+人0)+2x0x0,则人0)=0,于是fix+(-x)l=/(x)+/(-x)+2xx(-x),即.心)+./(—兀)=2,•而/(1+1)=/(1)+川)+2x1x1,解得y(2)=6,y(2+l)=y(2)+/(l)+2x2xl,则y(3)=12,所以，夬一3)=—/(3)+2x32=6,答案为C.2.1.70若函数y=/W对一切实数a,b都满足皿+b)=Jla)+J(b),且人1)=8，贝U解析令a=b=0,则由夬0+0)=人0)+几0)得人0)=0,于是，尼+(-朗]=/«+/(—朗，则y(x)+m=0，令a=b=易,则/(*+*)=/(*)+/(*)'可得=4,所以’2.1.71直角坐标平面上横、纵坐标都是整数的点称为“格点”.图象上有且仅有"个格点的函数称为阶格点函数”，试写出一个“一阶格点函数”的解析式：_；再写出一个“二阶格点函数”的解析式：.解析函数y=V3x是“一阶格点函数”(它的图象只经过格点(0,0)).函数尸g是“二阶格点函数”(它的图象只经过格点(1,1)和(一1,-1)).2.1.72集合A={x\~22,则C=[0,a2],由CUB得/三2^+3,解得2a2>-'>ak.显然这是一个映射且这两个子集的"交替和"分别为：川一⑷+①一如(一1)%和a】一他+。3(—1)'一九，它们的和为n,所以,S“=/ix2"当n—16时，S】6=16x2^=524288.2.1.75函数/和g都是二次函数，g(兀)=-./(100—力，并且/的图象过g图象的顶点.两个图象与兀轴有四个横坐标是兀2，兀3，也(依次递增)的交点，兀3一兀2=150,求X4—X\的值.关于(50,0)的对称点(x,y)有呼5。,即『一100—无,所(y-~y^解析设(0,y)是函数y=f(x)图象上的任意一点，则此点以，函数y=Ax)的图象关于点(50,0)的对称曲线的解析式是一〉=人100—力，即函数y=J(x)和y=g(兀)的图象关于点(50,0)中心对称，由已知可得函数/和函数g的图象的相对位置关\n系如图所不，兀3=50+75=125,兀2=50—75=—25,则J^x)=ci(x—兀4)9+25),而)H-X4)X2+%42市函数/图彖的顶点在函数g的图彖上得到H2^^+25弋也_125=50，X\=100—Xp于是，g(x)=—a(x—125)(%—100+也).勺+勺_2；+心_100+咒4),B|J(-/—25+%al2——~x425一兀4)(25+兀J=一(应一275)(一225+3x4),爲+50&+625=3好一1050也+252x9x11,亦即%^-550Af4+252x49=0,所以，也=275+150逅，x4~xi=2x4-100=450+300^2.二、函数的单调性和奇偶性2.1.76函数fix)=x\x\~2x是().(A)偶函数,且在(一1,(B)奇函数,且在(一1,(C)偶函数,且在(一1,(D)奇函数，且在(一1,1)上是增函数1)上是减函数1)上是减函数1)上是增函数解析/(—%)=—x\—x|—2(—X)=—(x|x|—2x)=—fix),所以，函数几¥)是奇函数.若丘0,则X^)=x2—2x=(x—I)2—1,在(0,1)上函数ZU)单调递减，又由7U)是奇函数可得它在(-1,1)上单调递减，答案为B.2.1.77已知二次函数J[x)=a\}C+b\x+c\和^(x)=c^X1+b2x+c2使得/(x)+g(兀)在(一8,+oc)上是单调函数，则它们的系数应满足的关系是解析只有当函数X%)+g(兀)=(GI+d2)H+(b\+b2)x+ci+c2为一次函数时，才能使得yw+g(x)在(一00,+oc)上是单调函数，所以，函数.心)和g⑴的系数应满足ch+a2=0且勿+/?2定0・2.1.78若函数人兀)=竺土1在(一2,+oo)上单调递增，则d的取值范圉是_・x+2解析/U)=Qx+2Q—2q+1,即几^尸口+匕竺在(_2,+oo)上单调递增，则1—2x0,x+2x+2所以，G的取值范围是2.1.79函数/U)=Vx-i的单调递增区间是人解析函数7W的定义域是(0,+oo),而在(0,+8)上函数/|(x)=Vx和用X)=—g都单调递增，所以，函数ZU)=的单调递增区间是(0,+00).2.1.80指出下列函数的奇偶性并证明结论：(1)何=呼+1：1(2)GM=^lf(x)-J(-x)](~a0)：_；\n2l+x+2l-x(4)/W=解析⑴夬一兀）=J（—兀）2+i=V^+i=/w，所以，函数心）=Vx^+i是偶函数.111(2)G(-x)=^[/(-x)-Ax)]=-^)-A-x)]=-G(x)f所以，函数G(x)=^[/(x)-A-x)](~a0)是奇函数.（3）/（—兀）==—/U），所以’函数人兀）=—是奇函数.2l-x+2l+x2l+x+2l-x（4）函数心）="仕3T）的定义域是{x|好1,xeR},而人一1）=1,X—1所以，函数7U）="（x3t）既不是奇函数,也不是偶函数.X—12.1.81若函数J（x）=ax+b的定义域和值域都是［1,2］,求。和b的值.♦Ih1解析若Q0,则函数J{x）=ax+b在（一co,+oo）上单调递增，¥='解得2a+b=2,a=l,、b=0.若a<0,则函数fix)=ax+b在(一co,+8）上单调递减,a+b=2,2a+b=l,解得2」・82设函数J（x）=x+-（d＞0）・⑴求证：函数心）在（后，+oo）上单调递增；（2）若函数人兀）在（Q—2,+00）上单调递增，求a的取值范围.解析⑴设転55，则阴~/（＞2）=（在+韵_（勺+葺）=（Xir?；f2_a）,于是，沧］）一/（疋）＜0,即几Xj）勺g），所以，函数/U）在（広，+00）上单调递增.（2）由问题⑴的结论可得a-2＞y［a,BP（Va+l）（Va-2）＞0,所以,a的取值范围是必4.2.1.83“°=1”是“函数J（x）=\x-a\在区间［1,+8）上为增函数”的（）.（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析函数j（x）=\x-a\在（一co,°）上单调递减，在（d,+oo）上单调递增，所以，“a=1”是“函数J（x）=\x-a\在区间［1,+oo）上为增函数”的充分不必要条件，答案为A.2.1.84已知函数心）是（一8,+oo）上的减函数，则函数是（）.\n（A）奇函数,且在（F,（B）偶函数，且在（一oo,（C）奇函数，且在（一00,（D）偶函数，且在（一oo,+□0）上单调递增+00）上单调递增+oo）上单调递减+oo）上单调递减解析F（—兀）=A—兀）一/［一（一兀）］,即F（-x）=-［f（x）-K-x）］f于是，F（—Q=—F（x）,所以，F（x）是奇函数.设兀］<辽，由已知得几兀|）彳/（兀2），—兀1>一兀2，人一切勺（一也），一/（—■¥］）>—/（—也），则/（兀1）—/（—兀1）初兀2）—几一兀2），即F（X|）>F（兀2），所以，F（兀）在（一00,+00）上单调递减，答案为C.2.1.85设沧）是连续的偶函数，且当Q0吋沧）是单调函数，贝朋足沧）=（芳|）的所有兀之和为（）.（A）-3（B）3（C）-8（D）8解析由已知可得乳=竺或一兀=出，即x2+3x-3=0或x2+5x+3=0,于是，由x+4%+4韦达定理可得所有符合要求的兀的和为一3+（—5）=—8,答案为C.2.1.86已知函数/U）的定义域是一个无限集，那么，在定义域中存在无穷多个实数兀使得A~x）=f（x）成立是夬兀）为偶函数的（）.（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析由偶函数的概念可知答案为B.2.1.87已知y=、/（x）是定义在R上的单调函数，实数兀|<%2，1,a=X1~^X2.卩=1IA^2+加11+A若|/U1)—/U2)|V|心)一/W则()•（A）z<0（B）2=0（C）O0,于是，0勺g)勺g)，同理,x的图象，应当以虚线的形x—1+Jl+x2X(%—1)—(1+x2)此函数的定义域是{x|x#0,xGR},并且/(_兀)=_心)，所以，它是奇函数.2.1.91指出几丫)=][__=的单调性.J10—x—Jx—2解析函数yu)=「1,的自变量兀应满足」10—」%—2即此函数的定义域是[2,6)U(6,10]・若210~x2~当6<¥!<¥2<10时，也有7U1）勺（兀2）<0・1所以，函数夬兀）=II_奋[2,6）,（6,10]±单调J10—%—J%—2递增.2.1.92已知函数几指出函数人x)的单调性，并予以证明；画出函数7U)的大致图象.解析(1)设X1y2・所以，函数y=—在(一8,—2),(—2,2),(2,+oo)上单调递减.Xz—4(2)函数)=；的图象如图所示.(注：关于函数〉=7xz—4xz—4式作直线x=2和x=-2表示该函数的定义域，函数图象应体现出不断趋近于这两条直线,应当表现函数的图象过点(1,\n2.1.93已知奇函数y=/(x)是定义在(一2,2)上的减函数，若加一1)+人2加一1)>0,求实数加的取值范围.解析由已知可得J(m-1)>-film-1)=/1-2m),再由函数兀0的定义域是(一2,2){m—1<1—2m,—20时有af(x)+bg(x)+2<5,则aj{x)+Z?g(x)<3.若兀<0,则一兀>0,FCr)=©tr)+bg(兀)+2=—兀)一bg(—兀)+2=—[砍一x)+方g(—兀)]+)2彳一3+2,所以，F(x)在(一a,0)上的最小值为一1.2.1.96对于判断函数y=^=在(一1，1)上的单调性问题，某同学给出了如下的解法：令x=cos〃(0G<7c),贝gy=cot〃，由于y=cot()在(0,町上单调递减，所以，此函数在(—1,1)上为减函数.上述结论是否正确，试说明理由.解析结论错误，设兀1<%2，即COS&iVCOS%'其屮％〃2丘(0，兀)，则而歹=cot&在(0,兀)上单调递减，于是cot0iVcot〃2，即}?io,则函数自变量兀必须满足一此时沧)=，必有x+2a>0,即该x+2a函数的定义域是[—0,a],于是有人0)=鸟旳，该函数一定不是奇函数;若QVO,则函数自变量兀必须满足°尿一a,—X，该函数的定义域是[―a,0)U(0,a],并有A-x)=-/x),即此函数是奇函数，所以，函数您=疋_迟为\x+a\+a奇函数的充要条件是GVO.2.1.98下列函数中，在(1,+oo)上为增函数的是().(A)y=(x-2)21(B))=—1—%1(C)厂+(D)y=Jx2~2x—8解析函数y=(x-2)2在(一00,2)上单调递减，在⑵+oo)上单调递增；函数>'=—!—1—X即为歹=一」一，它在(一8,1),(1,+oo)上单调递增；函数丿=丄一在(一8,-1),(-1%—1%+1+oc)上单调递减；函数y=Jx2—2x—8即为y=J(x—l)2—9,它的定义域是(一8,—2]U[4,+oo),它在(-00,一2]上单调递减，在[4,+oo)上单调递增，所以，答案为B.2.1.99函数fix)=x\x+a\+b是奇函数的充要条件是().(A)ab=0(B)a+/?=0(C)a=b(D)a+b2=0解析因为函数J(x)=x\x+ci\+b是奇函数，贝lj对任意xWR有/(—%)=—/(%)成立，于是，由夬0)=0得b=0,再由夬一1)=一夬1)得一|一1+4=—|1+4,解得a=0,此时，金)=x\x\,显然为奇函数，所以，函数是奇函数的充要条件是a=b=0,即/+口=0,答案为D.2.1.100已知函数y=J(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程/U)=0的所有实根之和为().(A)4(B)2(C)1(D)0解析设xo是方程/U)=0的一个根，则X-xo)=Xxo)=O,一兀°也是方程・/U)=0的根,所以，方程yu)=()的四个实根Z和是0,答案为D.八心p、血“fx(l—%),(%>0)2.1.101函数血)=().、兀(1+兀)，(%<0)(A)是奇函数，但不是偶函数(B)是偶函数，但不是奇函数(C)既是奇函数，又是偶函数(D)既不是奇函数，也不是偶函数解析对于任意的兀丘{"4样0,jvER},若x>0,则一兀<0,于是J(—x)=—x(l—x)=—/U),若兀<0,则一x>0,—x)=~x[1—(—x)J=—x(1+x)=—fix),所以，函数/U)是奇\n函数，答案为A.2.1.102定义在R上的偶函数几v)在［0,+8)上是增函数，若几/)勺⑺)，则一定可得()•(A)ab(C)\a\<\b\(D)0h>0解析对于定义域为R的偶函数，若丘0,贝若兀<0,贝/U),所以，定义域为r的偶函数夬兀)对于任意a^r,有夬ki)=yw，于是由几0勺@)可得血1)勺(01),而|a|>0,|Z?|>0,再由沧)在［0,+oo)上是增函数得\a\<\b\,答案为C.2.1.103已知定义在R上的奇函数.心)满足人兀+2)=—心)，则/⑹的值为().(A)-l(B)0(C)1(D)2解析由夬兀+2)=—/U)得/［(x+2)+2］=—7U+2),则7U+4)=/W，于是，fi6)=人2).而定义域为R的奇函数一定有夬0)=0,又夬0+2)=—/(0),则夬2)=0,所以，人6)=0,答案为B.2.1.104定义在R上的函数/W满足：夬功(x+2)=13，若/1)=2,贝1」夬99)=().132(A)13(B)2(C)扌(D)立解析由已知可得/U+2)/U+4)=13,于是，f(x+4)=f(x),则f(99)=f(3),而1Q夬1笊1+2)=13,所以，人99)=今，答案为C・2.1.105在R上定义的函数兀0是偶函数，且心)=夬2—兀)，若夬兀)在区间［1,2］上是减函数，则.心)().(A)在区间［一2,(B)在区间［一2,(C)在区间［一2,(D)在区间［一2,—1］上是增函数,—1］上是增函数,—1］上是减函数,—1］±是减函数,在区间［3,4］上是增函数在区间［3,4］上是减函数在区I'可［3,4］上是增函数在区间［3,4］上是减函数解析由/(兀)=/(2—力得/(1+幻=./(2—(1+力］,即y(l+x)=Al-x),函数.心)的图象关于直线兀=1对称,则函数/U)在［0,11上单调递增.J(2+x)=J［2-(2+x)］f即心+2)=夬一兀)，又DF),于是，yu+2)=/u),函数几丫)是以2为周期的周期函数，所以，函数7U)在［一2,—1］上单调递增，在［3,4］上单调递减，答案为B.192.1.106函数川的最小值为().n=l(A)190(B)171(C)90(D)45解析在区间(-oo,1),［1,2),［2,3),…，［9,10)±,函数7U)解析式中x的系数都是负数，在区间［10,11),［11,12),…，［18,19),［19,+oo)上,函数X兀)解析式中兀的系数都是正数，所以，函数心)在(一00,10)上单调递减，在(10,+oo)上单调递增，所以,当兀=10时，函数7U)取得最小值2x(94-8+7+6+5+4+34-2+1)=90,答案为C.\n2.1.107若函数fix）=\x-m\-mx存在最小值，则常数加的取值范围是解析M=\(1—咖FI—(l+m)x+m,x>m,x0,若go,则此函数的定义域是兀2弓，此时Q—lvO,该函数在（0,1］±是减函数；若6/=0,则/U）=—V5,不符合要求；若6/>0,则此函数的定义域是.時，并且函数g（Q=j3-ax在定义域上单调递减,于是,要使得函数［3九）=迂兰在（0,1］上单调递减，必须有a-lf则心3,所以，Q的取值范围是Q—lU-1>0,a<0或1（i）=2（i+g）=o,解得a==-1,则.心）=与丄对任意满足好0的实数x都有/（—兀）=—/U）,即函数./U）是奇函数，所以，a=~\.2-1H1若加是偶函数而蛉）是奇函数，且妙+欢）=占则妙=——[f(x)+g(x)=-^~,于是打\f(x)-g(x)=I-x—1g(x)=ffM+g(x)=—~,解析由已知得？X_1\f(-x)+g(-x)=\ng(x)=XX2—l2」」12已知定义域为R的奇函数几t)当x>0时J(x)=x(\一兀)，则此函数的解析式是.解析若*0,则一x>0,fix)=-A-X)=-(-x)r1-(-x)l=x(1+x),所以，/w=x(l—x),%>0,、x(l+x),%<0-2.1.113已知定义域是R的奇函数./U)对任意的xeR满足/(兀+2)=—/U),当一1仝1时，贝II方程心)=一*的解集是•解析由已知得几卄4)=/l(x+2)+2］=—心+2)=心)，即函数)，=/U)是以4为周期的1周期函数.当1*3时，一1勺~2三1,夬兀一2)=宜兀一2)，而血~2)=心+2)=—夬x),于是,x_4kY—4k—Q-；,l+4/c兀2>0,贝l」一X］V—兀2<0,于是有人一兀1)初一兀2)，由/(兀)是奇函数得一A兀|)>一/^2)，所以，TUl)勺匕2)，函数/W在(0,+0O)上是减函数.2.1.115已知函数f(x)=y/x+Jx+a的最小值是甲，求a的值.解析若aNO,则函数人兀)的定义域是［0,+oo),且在［0,+oo)上单调递增，当x=0时，y最小值=巫，于是后=粤，解得若avO,则函数.心)的定义域是［—a,+oo),且在［―a,+oo)上单调递增，当x=—a时，y册险所以,函数y=—x3在（一00,+oo）上单调递减.若它是“闭函数”，则—a3=b,一戸-g,解得a=—1,b=l,所以，函数y=—』是“闭函数”•+穷+或《aa>1,q2⑵由几丫尸扣一1）?+*得若它是“闭函数”，贝*令一q+i=q，［y-b+l=b关于t的方程P-4/+2=0有两个不相等的实数解1=2血则67=2-72与必1矛盾.由^(b2~a2)=0及a0；若0贝9七兀2（七+兀2）—3<0,人兀1）一/（兀2）>0；若爭55，则畑2（七+尤2）—3>0,夬兀|）一/U”2）v0,所以，函数夬兀）=/+舟在（一8,0）,（0,乎）上单调递减，在（丰，+oo）上单调递增.2.1.119已知定义域是R的函数沧）当Q0时7U）vl,且对任意实数x,y有/U+y）=/W心），X2）=|,,A0）^0.（1）求证：函数夬X）在（一00,+oc）上单调递减；（2）解不等式：几加3兀一1）<芬解析（1）由已知得/0+0）=«0）/0）,而夬0）丸，得/（0）=1,Ax+（-x）］=fix）A-x）,则夬_必兀)=1,于是，对任意的%eR都有心)和，又yg+g=[/g)]2>o,所以.心)>0.\n设兀1。2，则/Ul)—几兀2)=/(七)一九兀1+(兀2—X|)]=/U1)~/(七笊也一山)，由兀2—兀1>0得/(X2—X|)<1,则几口)之兀1笊兀2—兀1)，即*兀1)一/(兀2)>0，所以，函数/(兀)在(一00,+oo)上单调递减.(2)由X1+1)=X1MD得/(2)=[A1)]2,又/W>0,所以AD=|,/0+2)=心2)=另,1则不等式即为7U+3尤一1)勺⑶，于是,卄3兀一1>3,所以,X>1.2.1.120设函数.心)在(一00,+oo)上满足/(2-x)=A2+x),flj-x)=fil+x),且在闭区间[0,7]上只有夬1)=/(3)=0・(1)判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)求方程夬x)=0在闭区间L-2005,2005]±根的个数，并证明你的结论.解析(1)在fi2-x)=J(2+x)中，令兀=3,得人一1)=人5),又蚀0,从而人一1)丸，但人1)=0,所以人一1)舟(1),且/(一1)工一/(1),所以，/(兀)既不是奇函数，也不是偶函数.(2)用0+兀)=/[7+(3+朗]=/[7—(3+劝]=夬4—兀)=/[2+(2—兀)]=*2—(2—x)]=/W，即/W是以10为周期的周期函数，于是对任意整数弘都有人10料+1)=/(1)=0,夬10/汁3)=人3)=0,即x=l0n+1和x=10n+3gZ)都是方程几r)=0的根,由一2005<1Oh+1<2005解得一20090200,rtl-2005<10/?+3<2005解得一200一1时，、心)>一1,而二次函数的值域或为(—00,d],或为e，+oo),所以，要使得函数恥))的值域是[0,+oo),则gd)的值域必须是[0,+00),答案为C・2丄122若定义在R上的函数./W满足：对任意心，x2eR有沧]+兀2)=沧1)土心2)+1，则下列说法一定正确的是().(A)yu)为奇函数(B)yw为偶函数(c)yu)+i为奇函数(D)yw+i为偶函数解析令X\=x2=0可得人0)=—1,又J[x+(—X)]=fi_x)+X—X)+1,于是，J(—x)+\=—L/u)+i],所以，函数yu)+i为奇函数，答案为c.2.1.123函数./(兀)的定义域为R,若沧+1)与沧一1)都是奇函数，贝9().(A)TU)是偶函数(B)/U)是奇函数(C)yW=/9+2)(D)/U+3)是奇函数\n解析若/U)=sin7LV,则./(兀+l)=sin(x+1)兀，/0+1)=—siruuv,J[x—1)=sin(x—1)n,.心一l)=—siimx,此时，函数.心+1)和.心T)都是奇函数，而.心)也是奇函数，结论A不正确.若yU)=cos茅贝ij/O+l)=cos^^^=-sin罗,心-lpcos""：°=sin等,此时,函数./U+1)和./(兀一1)都是奇函数，而./U)是偶函数，结论B不正确.如果.心)=心+2)正确，则.心一1)=心一1+2),由.心+1)是奇函数得^~x+\)=~f(1+兀)・于是，沧一1)=—Al—X),/[(x+l)-l]=-/[l-(x+l)],则几Y)=—人一力，函数心)一定是奇函数，由结论B可知/U)=/U+2)不正确.由己知可得/l-x)=-/U+1)且人一兀一1)=一/U—1),/U+3)=/Il+(2+兀)]=一/[1一(2+力]=—/(—1—兀)=/(兀一1),用~x)=fi1+(2—力]=~fil-(2-x)]=-Ax-l).所以，人3—兀)=一/(3+兀)，函数几t+3)是奇函数，答案为D.2.1.124已知函数7U)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数兀都有g+l)=(l+功⑴，贝“(/(!))的值是()・15(A)0(B)专(C)1(D)号解析令兀=—则一—*+i)=(i—*)产(—*)，由yw是偶函数得彳一*)=41)*则般二①令尢=0,贝I]0/0+1)=(1+0)/(0),于是,^0)=0.令兀=号,则鼾G+i)=(i+掰(軌即粉G)=訂O令尸玄则訂G+"=(1+浙(軌可得觴=0,金)=0.所以，(号))=人。)=0，答案为A.2.1.125若存在常数〃＞0,使得函数./U)满足fipx)=f(px-^(xeR),则.心)的一个正周期为•解析/(x+号)=/”(》+訓=/”(》+*)—别=/U)，所以’函数/W是以号为周期的周期函数.\n2.1.126设函数对于集合M=[a,b\（a「—=b,a即|l+|a|l+|a||_b_1+|a|1iz,<1+01l+iaib不存在.，解得a=b=0,与矛22丄127试说明函数妙=需的单调递增区间.2(1-x1x2)(x1-x2)解析设-则Xx.）-M）=（i+琲）（]+喲2数人兀）=屮匚的单调递增区间是[―1,1].%2+1<0,即/U1）勺匕2），所以，函2.1.128已知函数J[t)=t+-(0).记max{°,b]=-a,ba>b,a0吋几丫)=.解析原函数的图象与反函数的图象关于直线y=x对称，若函数y=Ax)的图象与其反函数的图象重合，则原函数图象上的点(尤，)，)关于直线的对称点©,力在其反两数的图象上.所以，当疋0时y(x)=x2,则当兀>0时，y=—仮.2.1.136函数)，=百2,%-0,的图象与其反函数的图象围3%+2,%<0,成的封闭区域的而积是・解析由y=彳+2得兀=3©—2),比2,由〉，=3兀+2得兀=乎，y<2,所以，原函数的反函数是〉=3(%—2),x>2,原函数与反函数的图象围成以(2,0),(3,3),(0,2),(-1,一1)为顶x<2,点的菱形，它的两条对角线长是2返和4匹，其面积S=4x|xV2x2V2=8.2.1.137函数y=V%2—1(疋0)的反函数是().(A)y=31)(x>-l)(B)y=_31)(丘T)(C))=31)U>o)(D)y=~.(x+1)3(x>0)解析市己知得,=3+1几于是尤=31)(y>—1).所以，反函数是歹=3“、“1)(%>-l)，答案为B.2.1.138设函数_/U)=」一(OSrvl)的反函数为厂(x),贝ij().1—Vx(A)广lx)在其定义域上是增函数且最大值为1(B)fl(x)在其定义域上是减函数且最小值为()(C)fl(x)在其定义域上是减函数且最大值为1(D)/'(%)在其定义域上是增函数且最小值为0解析由OSxVl可得0l,所以，函数/W=(0l).设1902,则f\x.)-f\x2)=l-2_+丄_(1_2_+丄)=街—*2)(2%卫2——*2)—化1一％2)[(尤1一1)化2一1)+尢1尢2一1]<0X1\x2%2/xlx2xlx2所以，fix)在其定义域上是增函数且最小值为0,答案为D.\n2」.139解析函数y=人兀一1）和y=f\x—\）的图象分别是由函数）=夬兀）和y=•厂⑴的图象向右平移一个单位得到的，于是，它们的图象关于直线y=x—l对称，所以，答案为A.2.1.140函数)=(A)[0,+oo)(D)[V2,+oo)解析?-2x4-3=（x-1）2+2>2,即原函数的值域是［返，+oo）,所以，反函数的定义域是［返，+g），答案为D.2.1.141若/U)=j2x—1,则f\x)=解析由已知得/=2x-l,y>0,所以，f(x>0)・2.1.142函数y=-ll-x2(~l<0>当一1仝<0时，y=^9于是，兀=一OvySl,所以，反函数为『=—y/x,2」」44函数fix)=x\x\+2x的反函数是•解析函数/(无)=(“X~0，当丘0吋，y=(x+l)2—1,兀=—1+]y+l,l-x2+2x,%<0,7y>0；\n当无vO时,y=—（x—1）2+1,x=l—/l—y,y<0,所以，反函数是厂⑴=-1+%>0,%<0.2.1.145已知函数人兀）满足r'（2x+l）=4x+7,贝,2x+l）=.解析由己知得厂（2x¥+1）=4><¥+7,即f\x）=2x+5,x=^［T\x）-5］f所以，用）=学，X2x+1）=x-2.2.1.146设/（x）=4J-2A+1（x<0）,则厂（一1）=.解析设厂】（一1）=卩，则皿）=一1，即4"一2”】=一1,即（2"—1）2=0,2〃=1,p=O,所以，厂（一1）=0・2.1.147已知心）=上二^的反函数广（力图象的对称屮心为（一1,3）,贝心=•%—a—1解析rh反函数的图象与原两数的图象关于直线对称得两数/U）的图象的对称中心为（3,-1）,而函数7U）=a—X图象的对称中心为（a+1,-1）,所以，a+l=3,即x—a—1a=2.2.1.148设有三个函数，第一个函数是y=./U）,它的反函数为第二个函数，第三个函数与第二个函数图象关于直线兀+y=0对称，则第三个函数的解析式为.解析第二个函数为y=f\x）,在第三个函数图象上任取一点（兀，y）,则点（一y,~x）在第二个函数的图象上，即一x=r\~y）,所以，第三个函数的解析式是y=~K~x）.2.1.149函数y=./（兀）存在反函数y=f\x）,把y=fix）的图象在直角坐标平面内绕原点顺时针旋转90。后得到的图彖所表示的函数为.解析设（x，刃是原函数图彖作旋转变换后所得曲线上的任意一点，则它是由原函数图象上的点（一y,朗得到的，于是x=A—y）,所以，旋转后所得曲线是函数y=~f\x）的图象.2.1.150己知定义域为R的函数丿=心一1）是奇函数，y=g（x）是）=/（兀）的反函数，若兀［+兀2=0，贝9g（X［）+g（X2）=•解析由y=Kx-\）是奇函数得人一X—i）=-/u—1）,即y（-i-x）+A-i+x）=o,贝9函数）=/0）图象关于点（一1，0）屮心对称.由函数y=g（x）是y=/U）的反函数可得y=g（x）的图象关于点（（），一1）对称，于是，当xi+x2=0时，*|>（兀|）+血2）］=—1，即£9|）+以兀2）=—2.\n2.1.151己知函数心）=竺匸，若函数y=g（兀）的图象与函数y=f\x+\）的图象关于x—1直线y=x对称,求g（ll）的值.\n解析函数歹=广9+1)有/0)=/+1,即y=/T(兀+1)的反函数是)=/(%)—1,于是,g(Q=/U)—1，所以，g(ll)=AH)-l=2-2.1.152若一个函数的反函数与原函数是相同的，则称它为“自反函数”.例如：函数夬兀)=兀是“自反函数”・如果一个函数的图象经过有限次平移、对称、旋转、伸缩变换后，能与另一个函数的图象重合，我们便认为这两个函数是“同类的”.(1)是否存在与Ax)=xi(同类的”“自反函数”？如果存在，请给出所有满足要求的函数；如果不存在，说明理由；(2)是否存在与yu)=兀“不同类的”“自反函数”？如果存在，而且在这类“自反函数”中不止有一个函数，请指出这些函数的解析式的一个共同点.解析(1)因为夬兀)=兀表示直线，它经过有限次平移、对称、旋转、伸缩变换后仍为直线，故若存在符合条件的函数，则它的图象必为直线，所以，设符合条件的函数解析式由它是"自反函数”得孕=ax+b,为y=ax+h,则它的反函数为)=牛2所以，与J{x)=xa同类的”“自反函数”为y=-x+b(bGR).(2)显然，函数y=^是“自反函数”，并且与是“不同类的”.而函数g(x)=—d尢+b_ax~\~bex—acx+d竺工(舜0)与)=1是“同类的”•它的反函数是尸二^葩，若它是“自反函数”则cx~vdxcx~a于是，bd~+bcx—cd^C=—ab+bex—ax+acx1,BP(iz+J)[ex2+(J—a)x~b]=O.所以，函数(舜0)成为“自反函数”的条件是a+d=O.cx-vd§2-2幕函数、指数函数、对数函数—、幕函数2.2.1已知函数y=J{x)和〉=£(力都是幕函数，则下列函数屮，不是幕函数的是().(A)y=Ax)g(x)(B)〉=恥))(C)y=g(/W)(D))，=./(兀)+g(x)解析设沧)=兀“，血)=』，则fix)S(x)=xa^f；即/(g(Q)=严；g(/W)=(xaf,即g(/u)尸屛；yw+g不是幕函数，答案为d.2.2.2下列各函数图象中，表示y=x~^的是().\n(A)(B)(C)(D)解析函数y=x~3是奇函数，且在(0,+s)上单调递减，答案为C.2.2.3图中曲线是幕函数在第一象限的图象，己知〃取±2,土*四个值，则相应于曲线C|,C2,C3，C4的〃依次为()•11(A)一2,—2，2，2(B)2,121-211(C)—空，一2,2,2(D)2,£—2,—号解析由Q,C2的图象知这两个函数在(0,+00)上单调递增，则/7|＞0,他〉0,而且112心＞2"2,所以，山=2,"2=〒同理，心=一空，弘=一2,答案为B.2.2.4沧)=方在［一1,1］上是()•(A)增函数且是奇函数(B)增函数且是偶函数(C)减函数且是奇函数(D)减函数且是偶函数解析fi—X)=^J(—x)3=—Vx^=—/(X),所以，它是奇函数，而幕函数几丫)=站在(0,+□0)上单调递增，并由它是奇函数可得它在［-1,1］上单调递增，答案为A.2.2.5已知函数阳=XP(p,q是互质整数)的图象关于y轴对称，且在(0,+切上单调递减,则().(A)p为奇数，g为偶数，且凶＜0(B)p为奇数，q为偶数，且凶＞0(C)p为偶数,g为奇数，且“qvO(D)p为偶数，q为奇数，且〃炉0解析由函数J(x)=xP的图象关于y轴对称可得该函数是偶函数，则q是偶数，〃是奇数，并由此函数在(0,+oo)上单调递减得务0,则W＜0,所以，答案为A.2.2.6下列命题中正确的是().(A)幕函数的图象一定过点(0,0)和点(1,1)(B)若函数夬兀)=兀"是奇函数，则它在定义域上单调递增(C)幕函数的图彖上的点一定不在第四彖限(D)幕函数的图彖不可能是直线解析幕函数y=x~［的图象不过点(0,0),它在(—00,0),(0,+8)上单调递减，于是A,B都不正确.幕函数〉=兀的图象是直线，D不正确.当Q0时，沧)=止＞0必成立，所以，幕函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为C.\n2.2.7下列关于幕函数的命题中正确的是().(A)不存在非奇非偶的幕函数(B)如果一个幕函数是奇函数，则它的图象一定过原点(C)如果基函数的图象不过点(-1,1),则它一定不是偶函数(D)若两个幕函数的图彖有三个不同的公共点，则这两个幕函数一定是相同的解析幕函数y=x~^既不是奇函数，也不是偶函数.幕函数〉=兀7是奇函数，它的图象不过原点.幕函数_y=?和幕函数有三公共点(1,1),(0,0),(-1,1),它们是不同的基函数，于是A,B,D都不正确.若幕函数是偶函数，则人一1)=./(1)=1,其图象一定过点(一1，1)，所以，答案为C・2.2.8对于幕函数Ax)=xa(a是有理数)给出以下三个命题：①存在图象关于原点中心对称的幕函数；②存在图象关于);轴轴对称的幕函数；③存在图象与直线不重合，但关于直线对称的幕函数.其中真命题的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)3解析幕函数是奇函数，所以，结论①正确；幕函数y=x2是偶函数，所以，结论②正确；幕函数的图象关于直线)，=兀对称，所以，结论③正确，答案为D.2.2.9幕函数〉，=/,对于给定的有理数弘其定义域与值域相同，则此幕函数().(A)一定是奇函数(B)—定是偶函数(C)一定不是奇函数(D)—定不是偶函数解析函数y=^的定义域和值域都是［0,+oo),它既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域和值域都是R,它是奇函数；如果一个幕函数是偶函数，它的图象一定分布在第一和第二象限，它的值域是(0,+oo)或［0,+oo),与它的定义域不同，所以，如果一个慕函数的定义域与值域相同，它一定不是偶函数，答案为D.2.2.10已知集合A=｛J(x)\f(x)是幕函数且为奇函数｝,集合是幕函数且在(—oc,+8)上单调递增｝,集合c=｛yu)i/u)是幕函数且图象过原点｝,贝”).(A)A=BAC(B)B=AAC(C)C=AC\B(D)A=BUC解析幕函数的图象如果过原点，则此幕函数一定在［0,+8)上单调递增，所以，图彖过原点且为奇函数的幕函数一定在(-00,+oo)上单调递增，答案为B.2.2.11写出下列函数的定义域和值域：⑴函数尸肩的定义域是；值域是:8(2)函数的定义域是:值域是；(1)函数的定义域是:值域是;2(2)函数.v=X_i的定义域是;值域是;\n_1(1)函数>=2(无+1)4的定义域是；值域是；3(2)函数y=5(2x~lf的定义域是；值域是.3解(1)函数的定义域是R,值域是R.8(2)函数的定义域是R,值域是｛y|.y>0｝._s(3)函数y=%_3的定义域是｛入忖0,xER),值域是｛)忖0,yER).2(4)函数y=X_3的定义域是｛入忖0,xeR),值域是｛y|y>0｝._i(5)函数y=2(x+l)°的定义域是｛x|x>-l｝,值域是｛y\y>0｝.3(6)函数y=5(2x-l)4的定义域是｛%|%>|｝,值域是｛y\y>0｝.2.2.12已知幕函数的图象过点(8,则此幕函数的单调性是.解析设沧)=兀“，贝1耳=阶，则心一*,函数y=兀7在(一oo,0),(0,+oo)上单调递减.2.2.13己知幕函数/U)=0+2a7的图象关于y轴对称，且在(0,+oo)上单调递减的,则整数。=_・解析由幕函数的单调性得/+2c—3<0,解得一3vxl,由。是整数得。的可能取值是一2,—1,0,只有当Q=—1时，函数yu)=x"+2a—3是偶函数，所以，a=—\.2.2.14若Ovavl,则下列不等式中正确的是().(A)2a>2~a>0.2a(B)0.2a>2~a>2a(C)2~a>0.2a>2a(D)2a>0.2a>2'a解析函数J(x)=xa在(0,+oo)上单调递增，则2“>0.5“>0.2",即2“>2一">0.2“，所以，答案为A.2.2.15函数g的图象是().叵丽頑(A)(B)(C)(D)\n解析函数g是奇函数，并由函数y=x和函数y=—g都是(0,+oo)上的增函数得函数人朗=兀一寺在(0,+s)上单调递增，所以，函数_/0)=兀一2的图象是c.2.2.16函数y=(x+l)I的反函数的图象不经过().(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限355解析函数y=(x+\)5的反函数是y=%3—1,它的图象可由函数y=X^的图象向下平5移一个单位得到，而函数的图象过原点，并分布在第一和第三象限，所以，函数5兀3—1的图象不经过第二象限，答案为B.2.2.17在以下给岀的三个函数中：①②y=五;③y=/,对任意q>0和兀2>0g冷2)都有半苧)丿街)；介2)成立的函数的个数是().(A)o(B)1(C)2(D)3解析考察函数y=g、y=五、y=x2的图象可知，对任意兀】>0和x2>0yVJi和尸2都有牢苧)<问)丁他)成立,而函数尸仮使得彳宁)〉伦1)評切,所以，答案为C.112.2.18若(a+l)^<(3-2a/,则。的取值范围是.解析由函数y=审在(一00,+oo)上单调递增得g+1<3—2°,所以，a的取值范围是_旦_32.2.19若实数a满足(2a-l)_S(a+l)_i,则a的取值范围是.叵丽両3解析函数y=x~2的定义域是(0,+oo),在(0,+oo)上单调递减，于是0v2a—lva+1,所以，a的取值范围是|<6f<2.2.2.20幕函数y=xr的图象，当兀丘(0,1)时，在直线y=x上方，当兀W(l,+oo)时，在直线y=x下方，求实数/的取值范围.\n解析当00,()\,x>x,此时函数y=x在(0,1)上的图象在直线丿=兀的上方，所以，f的取值范围是7V1.2.2.21己知J(x)=x3+ax1+3x+b满足只0)=—1,并有J(x+\)=-,Al-x)对任意炸R都成立，试求g,b的值，并作出该函数的图象.解析由y(o)=—1得b=—\,由y(兀+i)=—川一兀)得(x+l)3+a(x+l)2+3(x+l)-l=-[(l-x)3+a(l-x)2+3(l-^)-l],于是，x3+3x2+3x+1+ax1+2ax+a+3x+3—\=—(1—3x+3“一x'+d—2ax+cix^+3—3兀一1),即6x2+2ax2+2a+6=0对任意R都成立,所以，a=—3,fix)=(x—l)3._12.2.22x_2,%>0,作函数yu)=i的图象.(―%)2,%<0解析函数y=(-xF的图象与函数y=x^的图彖关于y轴对称，所以，函数：x>0,的图象如图所示.((—X)2,X<02.2.23指出函数y=(|x|—1)一2的单调性.解析函数y=((X_1)2,X~0,函数y=(x-l)~2的图象由函数)=*2的图象向右平移1个单位得到，所以，函数y=(|x|—1)一2在(1,+oo)上单调递减，在(0,1)上单调递增,而函数y=(R—1)一$是偶函数，于是，此函数在(一1,0)上单调递减，在(一00,—1)上单调递增.1_11_12.2.24已知函数/U)=应；？，0.所以，。的取值范闱是解得|2}所以，1v)y2或)V,答案为C.2.2.29函数尸2—£一2的值域是().(A)册2,)€R}(A){y\y<\或Ky<2)]]解析由」一丸得0l,%—22.2.30已知指数函数的图象过点(3,64),则此函数的解析式是.解析由己知可设所求函数为J(x)=a\而只3)=64,则。=4,于是，所求指数函数为.心)=4”.2.2.31设0<6/<1,则函数/U)=,1+-^—的定义域是Jax~a2解析函数自变量X应满足餐-/>0,解得x2~lH0,1%±1.所以,函数几0的定义域为{x\x<2,右经1}.2.2.32函fix)=ax(a>0,狞1)在区间［1，2］上的最大值比最小值大乡则c的值是解析若G>1,则函数fix)=ax在［1,2］上单调递增，于是，a2—a=^f解得g=|.若0<6/<1,则函数何=才在『1,2］上单调递减，于是，a~cr=^解得a=\.所以，或□=*.2.2.33下列各函数中，不是指数函数的是()._1(A)y=x~2(B)y=2*X(C)y=22(D)y=2_\nX/A\x解析函数尸22即为y=(V2)\函数尸2一“即为y=(*),它们都是指数函数，由幕1函数的概念知函数y=x~2是幕函数，不是指数函数，答案为A.2.2.34函数y=3_w的单调递减区间是().(A)不存在的(B)(f0)(C)(0,+8)(D)(—00,+oo)%<0,解析函数所以，它的单调递减区间是(0,+00),答案为C・x>0,2.2.35函数>(x)=2w-2_w().(A)不存在单调递减区间(B)在(一8,0)上单调递减(C)在(0,+oo)上单调递减(D)在(一00,+oo)上单调递减\2X—侍),x>0,/［、x解析1而函数y=兰一(*)在(一8,+oo)上单调递增，又函(©―严，x<0,数yw是偶函数，所以，函数夬兀)在(0,+oo)上单调递增，在(一8,0)上单调递减，答案为b.2.2.36函数心)=昔(05<1)的图象是().(A)(B)(C)qX无0解析/%)=''所以，此函数的图象是答案D.、一qX,X<0,2.2.37若Osvl,x=a,y=aa,z=(o“)"，则下列不等式中成立的是().(A)xcil>a>即z>)Ar,所以，答案为A.2.2.38已知函数/U)=(a-i)X在(一oo,+oo)上单调递减，则d的取值范围是\n解析@T)(W)>0,「则a<0,a>1或一1VaV0,1—、更十1+V5a<—g—或0VaV—g—所以,d的取值范围是1VX寺色或一1VX為色2.2.39设某地在海拔x(m)处的大气压是>0且殍］),确定尤的取值范围，使得/U)>g(x)・解析若g>1,则2x2—3x+1>x2+2x—5,即x2—5x+6>0,解得兀>3或*2；若022,于是,*+1|-比一1愕・解得Q1或3或｛3(-(x+l)+(x-l)>|2或•(x+l)-(x-l)>^((x+l)+(x-l)>^另仝1,所以，X的取值范围是兀N#.2.2.42若xWR且好0,求证:兀x1-2x<2解析%_%_x(l+2x)1-2X2一2(1-2")'若x>0,则2”>1,于是忌若MO,则0<2r0,试确定a",y/af「的大小关系._1解析y/a=a2.若a>l,则函数J{x)=ax在(一00,+oo)上单调递增.\n如果q>2,则由-1<^<2/a=a2=a\若Ovgl,则函数J(x)=ax在(一g,+oo)上单调递减.如果务svl,则a~{>4a>a(l>crx如果a=£则a~l>Va=aa>a2；如果0sv£贝lja}>af>yja>a2.2.2.44若函数〉，=右一令+1的定义域是一382,求此函数的最大值和最小值.解析由一3°'町得人*°~Ax2)<0»所以，夬兀)—eA+在(0,+oo)是单调递增函数.2.2.46指出函数〉=」9—3以-磁+5的定义域、值域及单调性.解析函数〉=」9-3以-4+的自变量/必须满足9-3x2-4"+5>0,则x2-4x+5<2,即U-l)(x-3)<0,所以，此函数的定义域是［1,3］.当1尿3时，x2-4x+5=(x-2)24-1,贝0l0,于是，1評)弓[/(兀1)+/(兀2)1，所以，函数Xx)=4v+4_A在(一00,+oo)上是“下凸函数”.2.2.48已知集合M是满足下列性质的函数几丫)的全体：存在非零常数丁，对任意xeR,有J(x+T)=T/(x)成立.设函数.心)=/(">0且狞1)的图象与的图象有公共点，证明：.心)=/CM・解析由函数的图象与直线有公共点可知关于兀的方程cf=x存在解丁,并且一定有770,即aT=T,于是，/所以，此吋几y)=NVM.2.2.49为了得到函数》=2「加的图象，应将函数y=4_A的图象().叵听讲解(A)向左平移1个单位(B)向右平移1个单位(C)向左平移壬个单位(D)向右平移*个单位解析)=2「"即为y=2.Q,亦即y=4一("另，所以，应将函数y=Q的图象向右平移*个单位，答案为D.2.2.50若0<«<1,b<~\,则函数fix)=aK+b的图象不经过().(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析由于快一1,则函数fix)=cix+b的图象可由函数g(Q=/的图象向下平移⑹个单位得到，函数/W的图彖与y轴的交点(0,/?+!)在兀轴的下方，而函数g(x)=ax在(一oc,+oc)上单调递减，所以，函数J(x)=ax+b的图象不经过第一象限，答案为A.2.2.51当0(1-a)b(B)(1十G)“>(1+b)b解析由osvl得Ovl-gl,则函数Xx)=(l-tz)v在(一00,+oo)上单调递减，由0W得舟〉b,所以，(l~a)^<(l~a)b.由a>0得函数/U)=(l+d『在(一oo,+oo)上单调递增，于是(l+G)"v(l+d，由b>0得函数g(x)=xb在(0,+oo)上单调递增,则(1+说(1+労,所以，(l+a)"v(l+b)l由函数yu)=(l—a)“在(一00,+oo)上单调递减及号得(l—a)"v(l—a)2.由函数y(x)=(l—/?)'在(一00,+oo)上单调递减及a(1—/?)",再由函数gCr)=#在(0,+oo)上单调递增及1-a>l-b>0得(1—历“，所以，(1一窃>(1一肪,答案为D.\n2.2.52若函数他)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足沧)一g(兀尸e",则有()•(A)/2)d>1>a>b.1〔a—x题2.2.562.2.57函数y=*丄：的值域是10x+10x2x解析由已知得〉=吗二，贝1」10"=山>0,解得一1今<1,所以，该函数的值域10力+11-y是{yl—ivyvi}・2.2.58函数)=竺二的反函数的定义域是叵刪厠ex+l解析由已知得『=二口>0,解得一由反函数的定义域等于原函数的值域y—i得反函数的定义域是(-1,1).2.2.59已知Osvl,则a,a",〃从大到小的排列顺序是_・解析由0SV1得函数/«=/在(一00,+oo)上单调递减，于是，a{)>aa>a,即an,m,/?eNJ,P={x|1900（才）2,求加的取值范围.解析原不等式即为于是，:>匚解得Osvl或、m2<2m（m2>2m,m>2.2.2.63求函数/U）=3"】+y-12的反函数厂I兀）的定义域.解析函数兀0=3旳+9'—12=9'+3x3'—12=（3"+券一12—专，而3A>0,所以何>-12,即函数几兀）的值域是（-12,+oo）,所以，广lx）的定义域是（-12,+oo）.2.2.64己知函数/U）=3加一伙+1）・3"+2对任意的x^R都有/W>0成立，求k的取值范围.解析对任意xGR都有3">0,则对任意兀丘R使得几x）>0总成立，{k+1门-Q->O,22解得炷一1或一1VX2迈一1,所以，k的取值范4X2-厂1）“，围是k<2>/2—1.2.2.65求函数y（x）=4v+4^-267（2v+2_A）的最小值，并指出使夬兀）取得最小值时x的值.面听讲解解析函数夬兀）=（2"+2一予一20（2”+2一"）一2=（2"+2一"一疔一2,而2A+2~A>2,于是，若住2,则当2"+2^=q时，函数取得最小值一/_2,此时有2"—小2"+1=0,解得兀=log2(Q±—4)—1.若a<2,则当2x+2'x=2f即2lr-2x2A+l=0,2，=1,兀=0时,函数取得最小值2—4a.2266正实数小疋及函数妙满足2鵲，且炉）+加円，“卄）的最小值.解析由已知可解得/U）=4X-14尢+1’4X1—14尢2—I则4心+勺=4*1+4比+3>2V4xi-4x2+3,即（V4心+勺一3）（丁4心+乃+1）之0,于是，4心+々彳9.又妙+兀2）=4勺+勺-14勺+尤2+1=1一24勺+*2+1一'所以，、心+兀2）的最小值是春2.2.67设a、bWR+,比较"7?与的大小.\n解析需十f.若a>b>0,则齐1,a—b>0,于是（窈^>1;若a=b>0,则（窈占=1；若b>a>0,则0<|<1,cz-/?<（）,于是（詈）"">1・所以，aabb>ahba,其中等号当且仅当a=b时成立.2.2.68已知2"+3〉'+5z=7,2r~l+3y+52+1=11,求2x+1+3y+52_1的取值范围.解析由已知得2x+3y=7-5z,|x2x+3>,=ll-5x5z,解得2X=8x5z-8>0,37=15一9x5Z>0,是2x+,+3>?+5z_,=16x52-16+15-9x5z+|x5z=^x5z-1,所以，^<2x+,+3y+52_l—1且妙1,贝J-数7U）是非奇非偶函数.设X］一1，则心）一心2）>0，所以，当d=一1时，函数几0是常数函数；当G>—1时，函数7U）在（-00,+oo）上单调递减.2.2.71已知函数办（兀）=3“如,£（x）=2・3“P2l（xGR,/刀，处为常数）.函数心）定义为：对每个给定的实数兀，的=卩何’字任）"（◎1/2化），若fiW>f2（x）.（1）求人x）=/i（x）对所有实数兀成立的充分必要条件（用刃，卩2表示）；（2）设d,/?是两个实数，满足局?，且°,卩2丘（ci,b）,若Ka）=J（b）,求证：函数/U）在区间0,b］上的单调增区间的长度之和为爭（闭区间⑷，加的长度定义为/7-m）.解析（1）由fix）=/1（X）得3X—內匕2・3口一卩21对任意xWR恒成立，贝|J|x—PlI—\x—p2\<\og3^.I卩2一卩1，2x—p1—p2^P1—P2,{P2~P1^P1+P2—2x，P1-P2X>P2,Pl<%log32,设p02,于是,P2—Pi>log32.当d时，f\(x)=3pi_x<3p2_x<2-3p2_x=f2(x),则Xx)=/i(x).当时，/心）=3「卩】=3卩2一卩1・加一卩2>2・罗一卩2=总兀），则血）=/3\n当P\0,/>i+p2+log32)—p2=|(Pl—P2+log32)<0,即]PI<2(Pi+P2+log32)log32，设P\>P2,于是，”|—"2>log32.当dg2时，/1（兀）=3內一％=3"一吃3卩厂今2・3卩2一x=£（兀），则j（x）=f2M.当时，f}(x)=3x-pK3x-p2<2^x-p2=f2(x)f则幷)=/心)・当P2<^2・3"P2,•/W=«阿一r3X_P1,p±1，切・又由㈣=妙）得2・萨2一。=31珂，于是，Pl+p2=a+b-\0^2f单调递增区I'可的长度和为b—〃i+*(pi+p2—10疥2)—“2=织上.综上所述，函数7U）在区间［d,创上的单调递增区间的长度之和为b~a\n三、对数与对数函数2.2.72若log2(log3(log4X))=log3(log4(log2y))=log4(log2(log3z))=0,则x+y+z=().(A)50(B)58(C)89(D)111解析由已知得log3(log4X)=1,即k)g4%=3,所以x=43=64,同理,y=24=16,z=32=9,所以，x+y+z=89,答案为C.2.2.73已知兀则尤的值属于区间().Iogl3Io§1325(A)(-2,-1)(B)(l,2)(C)(-3,-2)(D)(2,3)解析x=logi5+log!c=log32+log35=log310,而32<10<33,所以，兀丘⑵3),答案3z为D.2.2.74若呼,.ln3ln5戸亍c=百,则（)•(A)a(lo环)2>0>loga>c,答案为D.2.2.77计算：(l)log2@^=_；⑵log8(log2V2)=_；27]⑶引Og32—log35+2£⑵原式=logS2=—10g82=—log883=—og34+log3V49=_；(4)Jlg22+lg|+l-lg5=_.t33解析(1)原式=log224=\n(1)原式=10自(|)—log3^+log3V4+log37=log327—log38—log37+log34+log32+log37=3.(4)rtlO0,2x-l>0,所以，函数的定义域是[x\x>I且尤Hl}.2x~l工1,2.2.81如果g>0,和,则“lo氐"2=10胡2”是“M=N”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(B)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析log“(—l)2=log“12,于是，“嗨加2=嗨訓2”不是“M=N”的充分条件；M=N=0时，“log“M2=logJv2”不成立，所以，“10&皿2=]0&//2”是“M=N”的既不充分也不必要条件，答案为D.2.2.82函数y=21_A+3(xeR)的反函数是().(A)y=log22%-3(B)y=log2x—33—x2(C)y=log2^—(D))=log2—L3—%解析由歹=2宀+3得1—x=log2(y—3),所以，反函数为y=l—log2(兀一3),即为y=log2丄，答案为A.x—32.2.83已知J{x)=a\g(x)=—log/*,且lgd+lgb=0,a工1,b工1,贝0y=J(x)与)=g(x)的图象().(A)关于直线x+y=0对称(B)关于直线x~y=0对称(C)关于y轴轴对称(D)关于原点中心对称解析由lga+lgb=0得1g"=0,则ab=1,B|Jh=K于是，g(兀)=—logpTog*,\n所以，函数.心)与g(x)的图象关于直线)=x对称，答案为B.2.2.84已知函数fix)=2x+\T'U)是7W的反函数，若肋=16(加，«eR+),则厂伽)+厂⑺)的值为().(A)-2(B)1(C)4(D)10解析由已知可得广'(兀)=—3+log2兀，则f1(加)+f'(«)=—6+log2加+log277=—6+log2肿=_2,所以，答案为A.2.2.85由关系式log.p=3所确定的函数y=f(x)的图象是().解析由已知得y=x3其中，y>0,x>0且好1,所以，答案为B.解析2.2.86(2log2X,函数―呻即为尸2皿，X>It0<%<1,X,X>1,0<%<1,所以，答案为A.2.2.87==_$是“函数Q)=ln(『+1)+血为偶函数”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析函数yU)=ln(e'+l)+or的定义域是R,由它是偶函数得ln(e_A+l)-ar=ln(ev+1)+ax对任意x^R恒成立，于是，ln(e'+1)—lne'=ln(J+1)+2ax.所以，是“函数Av)=ln(ev+l)+^v为偶函数”的充要条件，答案为C.2.2.88下列函数中，定义域和值域都是R的函数是().(A)y=log2*l(B)y=log23"(C)y=2,og3x(D)y=(log23)v解析函数^=log2W的定义域是｛xgO,xWR｝,值域是R；函数y=loW即为j=xlog23,其定义域和值域都是R；函数)=2i°盼的定义域是｛朋>0｝,值域是｛y\y>0｝；\n函数y=(log23)v的定义域是R,值域是{.y|y>0}.所以，答案为B.2.2.89若定义在R上的偶函数人兀)在［0,+oo)上是增函数，且/(I)=0,则不等式(10兇">0的解是().(A)(|,1)(B)(2,+8)(C)(0,|)U(2,+x)(D)(|,1)U(2,+s)解析由/W是偶函数得/(—*)=危)=°，再由心)在［0,+8)上是增函数及/^logi%^>0得logix>|或logpv—所以,0<%弓或x>2,答案为C.2.2.90已知g(x)=b\当./(兀J=g(X2)=3时，兀|>兀2，则d与b的大小关系不可能成立的是().(A)b>a>1(B)a>l>b>0(C)0\>a>0解析由已知得xi=log“3,兀2=log/3韻>揺’而塩3>0,于是，(眾)(：爲>0.lgb—lga>0,(lgb)(lga)>0lg&—lga<0,l(lgb)(lga)<0,则lg/?>lg6Z>0或0>lgZ?>lg6/或lg€Z>O>lgZ?,即b>a>\或l〉b>a>0或a>}>b>0,不可能有b>\>a>0,答案为D.2.2.91若lg(x+y)=lgx+lgy,则兀+y的取值范围是().(A)(0,1J(B)12,+a)(C)(0,4J(D)[4,+a)解析,所以,由lg(x+y)=lgx+lgy得兀x+y>4,即兀+y的取值范围是［4,+<»),答案为D.D.2.2.92不等式4”一6"—『>0的解集是(解析由已知可得(I)x—(|)x-i>0,)•则(宀3-2og25昭+V508i答案为\n2.2.93已知金)=((弘一5+滋'”O'是(-00,+oo)上的减函数,那么。的取值Ilogax,%>1范围是().(A)(0,1)(B)(0,|)(C)[|,|)(D)呂,1){3a—1<0,0logal,为C・2.2.94已知正方形ABCQ的面积为36,BC平行于兀轴，顶点A、B和C分别在函数y=3logA、y=21og°Y和)=log*(其中a>l)的图象上，则实数a的值为().(A)V3(B)V6(C)V3(D)V6解析由已知可设点A(s*)，风心，咖，C(xc,)力)，则31ogMA—2吨局=6,logMc=210%¥沖，而兀c—兀人=6,于是，兀4=/,Xc=坊，d?—g&=6,(/—3)(/+2)=0,解得a=V3,所以，答案为C.2.2.95函数y=logdl-Zr+x2)的图象是().解析函数y=log4(l—Zr+x2)即为y=log4(x—l)2,亦即为y=log2|x—1|,它的定义域是{x時1,xeR},它在(1,+oo)上单调递增，英图象关于直线x=l对称，所以，答案为B.2.2.96若不等式(x-l)2l,并有(2-l)2g(X2)>0,要使1og“g(X|)Vlogdg(X2)成立，则0SV1.2.2.100设Xx)=log3(x+6)的反函数为广匕)，若(/Y加)+6)心匕)+6)=27,则/(加+兄)=_•解析由已知可得fl(x)=3x~6,于是，(3'"—6+6)(3"—6+6)=27,解得加+兀=3,所以，/0+n)=log3(3+6)=2.2.2.101若函数fix)=loga(x+l)的定义域和值域都是［0,1］,则。的值是_.解析若Q>1,则函数人兀)=10&心+1)在(一1,+oc)上单调递增，而人0)=0,则应有人1)=1,于是，10g“2=l，解得a=2.若0<6/<1,则函数/(x)=logrt(x+l)i4(—1,8)上单调递减，贝IJ应有/0)=1且人1)=0,矛盾.所以，d的值是2.2.2.102若logrt2>log2«,则d的取值范围是_・(Ig2)-(lga)解析由已知可得器卷，则(巴蹩)(蹩严>0,于是，lga<—lg2或02,求证:loga(a—l)logn(a+1)<1.解析由己知可得log“(d+l)>log“(a—1)>0,则2Jloga(a—1)•loga(a+1)<10^(^—1)+log“(a+l)=log“(/—l)0对任意的xeR恒成立.若/=］,则a=—1满足要求而a=l不满足.若形1,则有,a2—1>0,Xa+l)2-4(a2-l)<0,解得a>|或a<—\.所以，a的取值范围是a>|或a<~\.2.2.108若x>0,y>0,且2x+5y=20,求1gx+lgy的最大值.解析由已知可得20=2x+5y>2y/2x-5y,则兀)010,于是，lgx+lg)=lgr)01,所以,lgx+lgy的最大值是1.2.2.109解不等式log,v(5x2-8x+3)>2.解析%>1»5x2-8x+3>%20<%<1,<5x2—8%+30,则x2—2xlogo.5^+(logo.5X)20,所以，原不等式的解是01—y_zl+yz—y—z1—yzl-yz+y-z^1()()1—yz—y+z于是，(i+y)(+)=©凹匕=100,lgl±Z+lgl±£=1,lgl±Z+lglZ£=2,(l—y)(l—z)(1—y)(l+z)1—yl~z1—y]+z即有代)+加九所以」呵p2.2.112解关于兀的不等式：2x(22x-1)1,贝ij1<22v0,t#l).(1)若OvqvI,且函数7U)的定义域是集合｛x|x>l｝的子集，求k取值范围；(2)若Q1,且函数7U)存在与原函数相同的反函数，求r的值.解析(1)函数7U)的自变量X应满足a-kdx>o.如果底0,则函数的定义域是R,不满足要求.如果Q0,则dx>k,1—x\—log^,由已知得l-lo^>l,所以，R的取值范围是Q1.(2)令y=log“(a—a)得贝】J兀=logcf『,于是，厂(兀)=log“乞产，log/,=log“(a—0),即a—a=ka—l^a在函数夬x)和f~\x)定义域的交集上恒成立,所以，k=\.2.2.1142叱4彳的值等于().(D)*(A)3(B)V3(C)罟Sg2310g23,厂—解析原式=2窗=2丁=2喙近=苗，答案为B.2.2.115(V3-V2严诟+肿的值是().(C)无理数(D)正整数(A)正有理数(B)负有理数\n/1\l°g苗+说25解析原式=(右丄勻=去,所以，答案为A・2.2.H6函数y=—5一"的图象与y=log5x的图象关于().(A)兀轴对称(B)y轴对称(C)直线)对称(D)直线y=-x对称解析函数y=—5=的图象与函数y=Q)X的图象关于兀轴对称，它的图象与函数y=logn的图象如图所示，两条曲线关于直线)=—兀对称，答案为D.2.2.117若函数y=fix~l)的图象与函数)‘=ln仮+1的图象关于直线〉=兀对称，贝U/W=()•(A)e21-1(B)0(C)e"+1(D)e2^解析函数y=ln^+l的反函数是j=e2(x_,),则.心一1)=严一"，于是，沧)=尹答案为B.2.2.118函数y=log2(Jx+4+2)(A->0)的反函数是().(A))=4'丫一2"匕>2)(B)y=4x~2x+l(x>l)(C)y=4丫一2x+\x>2)(D)y=4”一2x+\x>1)解析由已知可得Jx+4=2y-2fy>2f所以，该函数的反函数是y=4v-2x+2(x>2)，答案为C.2.2.119与方程^=e2x-2ev+l(x>0)的曲线关于直线y=兀对称的曲线的方程为().(A)y=ln(l+Vx)(B)y=ln(l—V%)(C))=—ln(l+Vx)(D)y=—ln(l—y/x)解析由已知可得y=(ex—l)2,y>0,则e"=l+“，所以，该函数的反函数是y=ln(l+眉)，答案为A.解析分别将函数^=log2x和函数y=2一“的图彖向上和向右平移一个单位即得函数几丫)=l+log2x和能)=2一"1的图象，所以,答案为C.\n2.2.121图象经平移或翻转后仍不能与〉=logo・5%的图象重合的是（）.112（A）y=log0.5-（B）y=2loSo丸（C）y=2"x（D）y=log0.迈解析函数y=log（）5^即为y=—log（）.h，它的图象与_y=log0芬的图象关于x轴对称;函数y=|log0.sv2的定义域是｛”舜0，xWR｝,而函数y=logo・丸的定义域是｛x|x>0｝,它们的图彖不可能重合；函数y=2_x与函数）=logo.K互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称；函数y=log（）.5纟即为y=log（）丸+1，其图彖可由函数>?=log（）.h的图象向上平移一■个单位得到.所以，答案为B.2.2.122对于函数）=lg金的图彖给出三个命题：（1）存在直线/i,函数y=ig金的图象与函数y=wo-iov的图象关于直线h对称；（2）存在直线函数｝?=lgy^Q的图象与函数y=log（）.iy^Q的图彖关于直线人对称；（3）存在直线厶，函数的图象与函数y=log（）.［兀的图象关于直线厶对称，上述命题中正确命题的个数是（）.（A）3（B）2（C）1（D）0解析函数y=ig金与函数y=10010v互为反函数，它们的图象关于直线对称；函数y=lgy^即为y=lgx—2,而函数y=log（）.1岳^即为）=—lg兀+2,它们的图象关于兀轴对称；函数y=log（）.i兀=一lgx的图象与函数y=lgr—2的图象关于直线y=—1对称，上述三个命题都正确，答案为A.2.2.123若不等式logu（x2-2x+3）<-l对一切实数兀都成立，则d的取值范围是（）.11（A）a>2（B）1l,则0。彳一"+3三，此不等式对一切实数兀都成立是不可能的；若Vvosvl,则兀2—2卄3=（兀一1）2+2琴对一切实数兀都成立，于是，2瘵，所以，|<6/<1,答案为C.2.2.124定义在(-a),+oo)上的任意函数人兀)都可以表示成一个奇函数g⑴和一个偶函数饥r)之和，如果Xx)=lg(10V+l),%e(-oo,+oo),那么().(A)g(x)=x,/2(x)=lg(l(r+10--v+2)(B)ga)电[ig(i(r+i)+力,A(x)=^[ig(i(r+i)-x]Yy*(C)g(x)=〒/心)=lg(10'+l)—2(D)gg=—刼心)=ig(i(r+i)+专解析由已知得^(x)+/?(x)=lg(10v+l),g(-x)+/z(-x)=lg(10_x+l),则一gM+h(x)1—I—10“yy=lgW，则2/1(%)=Ig(10v+1)+lg(10v+1)-Ig1OS所以，心)=lg(io“+l)—乡g⑴=号,\n答案为c.pX—p—X2.2.125函数./U）=°2的反函数（）•(A)是奇函数，它在(0,(B)是偶函数,它在(0,(C)是奇函数，它在(0,+s)上是减函数+oo)上是减函数+co)上是增函数+oo)上是增函数(D)是偶函数，它在(0,解析由已知得2用一1=(),解得孑=)吐」y2+i,而于>0,于是，er=y+ft（—x）=ln[—x+J（—兀「+l]=ln—=—/"'（x）,即厂匕）是奇函数.Jx2+l+x又当0log诰>loga#.由1log/,6Z>2>log^>log(^.2.2.133设函数.心）=2’（疋0）的反函数为y=r\x）,则函数y=f~l（2x~\）的定义域是_•解析由y=2v得X=log2”并由原函数的定义域是疋0得原函数的值域是0<><1,于是，反函数是厂匕）=log2X（0S1）,函数y=/_1（2x—1）中自变量兀应满足0<2x—1<1,所以，函数y=P\2x-\）的定义域是（*,1］.2.2.134函数Xx)=lg(l+x)+lg(l—x)^—<%<0)的反函数是_•解析由函数y=lg(l-?),则x2=1-1Qv,x=-Jl~10yf由一#rvO得|<0,所以，反函数是y=—_Jl—10x(lg|0,x>0,y>0,于是，->1,所以，-=3+2V2.‘yy2.2.137设a2+Z?2=c2,求证：log(c+/；)a+log(c-/；)a=21og(e+/,/z-log(c-^)a.解析由a=c'—b1得1o&/?=ioga(c+b)(c—/?),则2=loga(c+b)+loga(c—b)，2=—+'所以'10弘+皿+10尿-皿=210£(卄/>010弘-皿・%+b)%-b)2.2.138不相等的两个正数a,b满足/呻=佛加，求(ab^abx的值.解析由已知得lgtZlgaV=lg/?IgZ>X,于是，(lgG+lgA")lgd=(lgb+lgY)lgZ?,即(lgd+lgZ?)(lgQ—1劝)=(lgb_lga)lgx,由狞b得lga^lgfe,lgafex=0,所以，(ab^gabx=1.2.2.139计算：5,g20-])lg0.5解析lg5览2。・(|)lg0，S=(lg2O)(lg5)+(lgO.5)(lg|)=(l+Ig2)(lg5)+(lg2)2=lg5+(lg5+\nxIg0.5Ig2）（lg2）=l,所以,5lg20-（2）=10.2.2.140已知X=log2“a,y=log3a2d,求证：2]~xy=3y~xy.解析1—可=1_」^.里土=上_,lg2+lgczlg3+lgalg3+lga厂小=壓土（1--^\=Ig3+lga\lg2+lga）lg3+lga于是,（1—小）lg2=（y—兀y）lg3,lg2f=lg3〉'F,所以，2^=3"2.2.141已知实数d,b满足0<«<1,/?>0,a=ba9求证：a=b.解析由ab=ba得b\ga=a\%b.贝吟=器，而0<^<1,则IgxO,只能lgZ?<0,0*1.TTp题2.2.142若0L矛盾，同理可证不能有00,好1},并有y=*吧io,则)；=10,其中x>0,.#1,其图象如图所示.2.2.143求函数)=lg(N—U的定义域，其中a,£是常数且d>0,a壬2.解析函数的自变量兀应满足2>0,即若底0,则定义域是R;若5,a>2,>loga/cj;若£>0,0<«<2,则定义域是｛尢|兀0),奇函数规兀)的定义域是R,当x>0时，g(兀)=/(兀),试求g⑴的解析式和它的反函数.解析若入y0,贝'J—%>0,于是，g(—*)=(*)，又g(—*)=—g(x)，所以，一g(Q=(I):即g(兀)=—2",由&(x)为奇函数得g(0)=—g(0),解得g(0)=0,所以，#(x)=n\xG),尢>0,|0,x=0,[-2r%0,即函数的定义域是(一1,3).令u=3+2x—X2,设一1『2，所以，函数y=logl(3+2x—X2)的单调递2减区间是(一1,1),单调递增区间是(1,3).而M=—(X—1)2+4,于是，00,求X的取值范围；(3)指出该函数的单调区间.{log!%主0,2所以，函数的定义域是(0,1)U(1,+oo).%>0,1(2)由心)>0得Ovlogi尢vl,则—lvlogi兀vl且logix^0>所以，兀的取值范围是产xvl222L或l兀2>1，则loglXi弘2>0,Iogl"i0,狞1),求函数/U)的反函数.解析由原函数得av=x+J/—2,于是，0—2灯+兀2=<_2,兀=爭+君而原函数的自变量x应满足兀+Jx2~2>0f若*0,则rflJx2—2>—x得一2>0,矛盾，只能x>0,所以，原函数的定义域是应返，若Q1,原函数的值域为卩0g“VL+oo);若Osvl,原函数的值域为(-oc,IogwV2].所以，若d>l,反函数是厂匕)=与+寺(xW[log“VL+oo))；若031og2x,则2—x>0,Y—1>Qnlog2(2—x)2(x+l)>log2^3.'解得气-•Xx2—4x+4)(x+1)>x3^2.2.149解不等式:logo.5(2x-l)logo.5(2x-1-|)<2.解析logo.5(2x—1)[logo.51+log0.5(2x—1)<2,即[logo.5(2Y—l)]2+logo.5(2v—1)—2<0,1Q[logo.5(2v-l)+2]riog().5(2A-1)-1]<0,解得一2log<1x4Vx—log^a2,即(log«x)2>^logM-2,⑵ogf/x—1)(log^—4)>0,log6^>4或logaXV，所以，或01•1—%(1)指出函数人朗的奇偶性并说明理由；(2)解关于兀的不等式/(x)>logw(3x+l).数.解析洽呱1Y，□-伽所以，函数a是奇函1+xC>0,1—%3x+1>0,^>3x+l,<1—%1+兀⑵由m>l得不等式log加Nlo帥(3兀+1)有<1—x2.2.155是否存在实数a,使函数J(x)=\oga(ax2-x)在区间［2,4］上是增函数?如果存在,说明G可取哪些值；如果不存在，请说明理由.2解析设u(x)=ax2—x=a^x——右，而。>。，则/心)在(一8，務)上单调递减，在(舟，+oo)上单调递增.若00,是，应有1此不等式组的解集是0・2S-4,若Q1,要使函数./(兀)在［2,4］上是增函数，则必须使/心)在［2,4］上为增函数，于是,22a~2>0,应有1'所以，G的取值范围是G>1・t-2.2.2.156若^=log2[log4(log84000)],则().(A)a>0(B)a=0(C)a<0(D)a无意义解析由83=512<4000<4096=84得3vlog84000<4,于是，0vlog430.解析函数Xx)=|log2(x+1)|^E(—1,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增.若—1l,和)=|log2(n+l)|=log2S+l)，由加)=/(n)得一log2(m+1)=log2(n+1),则log2(/7l+1)+log2(«+1)=0,log2(加+1)(〃+1)=0,mn+tn+n+1=1,所以，m+n=—mn>0.2.2.158对于在区间［/??,n\上有意义的两个函数Rx)和g(x),如果对任意的x^\m,n］,均有i/w—g⑴|勺，则称7W与g(x)在⑷，加上是接近的，否则称/W与g⑴在⑷，切上是非接近的.现有两个函数A(x)=\oga(x~3a)^jf2(x)=log.—(«>0,舜1).x~a(1)若/心)与A(x)在区间［a+2,。+3］上都有意义，求0的取值范围；(2)讨论.f］(x)与矗(兀)在给定区间M+2,。+3］上是否是接近的？解析⑴函数y=f\M的定义域是Q3d,函数y=fi(x)的定义域是兀>心，要使/心)与沧(兀)在区间S+2,。+3］上都有意义，贝'Jfaa,由。<“a,1(3(3-2a)0,kava7+(2a—\)x+3—3a=0在(3,+oo)上有两个不相等的实数解X\,x+3于是,A>0,x1—3-\~x2—3>0,(%!—3)(x2—3)>0,'(2a-l)2—4a(3-3a)>0,2a_]『c一-6>0,a2.2.160定理：对于定义域为D的函数y=A兀)，若对任意的兀ED都有fia+x)+fia~x)=2b成立，则函数y=J(x)的图象关于点(a,Z?)中心对称.⑴证明：函数/iW=2x-2_A的图象是中心对称曲线，函数f2(x)=x2的图象不是中心对\n称曲线；(2)函数血龙)=10g2竺二的图象是否为中心对称曲线?若是，求岀其对称中心；若不是,%—2说明理由；(3)如果定义域为R的函数y=J(x)和y=g(x)的图象都是关于点(a,b)中心对称曲线，那么，在函数y=/W+g(x)，y=/(x)—g(x)，〉=/Wg(x)和选择一个图彖一定是中心对称曲线的函数，再选择一个图象可以不是中心对称曲线的函数，分别说明其图彖是或可以不是中心对称曲线的理由.解析(1)函数爪兀)=2”一2一"的定义域是R,对任意的MR都有/i(-x)+/i(x)=0,所以，此函数的图象关于点(0,0)中心对称.函数£(兀)=<的定义域是R,若其图象关于点”)屮心对称，贝^f2(a+x)+f2(a-x)=2b,即(«+x)2+(a~x)2=2b,亦即x=b—a对任意都成立，矛盾，所以，函数直(x)=x2的图象不是中心对称曲线.2x+4(2)函数用x)=log2竺二的定义域是x<-2或x>2,若其图象关于点a方)中心对称，%—2则必有0=().而log2“+°+log2~=2b对任意满足兀W(—00,—2)U(2,+oo)的尤都成立，%—2—%—22兀+4解得/7=1,所以，函数期兀)=10缶仝二的图象关于点(0,I)中心对称.x~2(3)如杲函数y=/U)和y=g(x)的图象都是关于点(a,方)屮心对称曲线，则函数y=/W+g(x)的图象一定是中心对称曲线.由条件可得夬g+x)+Xg—x)+g(G+x)+g(a—x)=4b,所以，函数y=7U)+g(x)的图象关于点(a,2b)中心对称；如果函数>=/(兀)和$=£(尤)的图象都是关于点(a,b)中心对称曲线，但函数y=./U)g(兀)的图象可能不是中心对称曲线.例如：函数fix)=g(x)=x的图彖都关于点(0,0)中心对称，但函数y=J(x)g(x)即y=<的图象不是屮心对称曲线.(注：由J(a+x)+fia-x)-tg(a+x)+g(a-x)]=O^f密文(加密)，接收方rti密文T明文(解密).已知加密规则为：明文d，b,C,〃对应密文a+2h.2b+c,2c+3d,4d.例如：明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为().(A)7,6,1,4(B)6,4,1,7\n解析由已知可得〈a+2b=14,2b+c=9,2c+3d=23,4d=28,a=6,解得\b=4f所以，答案为B.c=l,M=7,2.3.2为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息•设定原信息为砂畑偽丘{0,1}(Z=O,1,2),传输信息为恥皿⑷力1,其中/?0=6/0㊉⑦，/?|=/?0㊉02，㊉运算规则为030=0,031=1,130=1,131=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.信息在传输过程屮受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是().(A)11010(B)01100(C)10111(D)00011解析若收到的信息10111是正确的，则的=0,0]=02=1，按规则，力0=0㊉1=1，加=1田1=(),矛盾，所以，答案为C.2.3.3某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元吋，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少？解析(1)由已知可得未租出的车有36QQ-3QQQ=12辆，所以，可租出88辆.(2)设每辆车的月租金比3000元增加50〃元⑺为非负整数)，则公司月收益丿=(100—72)(3000+50??)-150(100-n)~50n=~50(n-21)2+307050,当n=21时y取得最大值，所以，当月租金定为4050元时，公司取得最大月收益307050元.2.3.4客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以8()km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程丫与时间『之间关系的图象中，正确的是().解析{60t,60,60+80(t-1.5),01,又91500,也0创.]1.5胡.254…，所以，至少需要5年，才能使年产值超过1500万元.2.3.7在测量某物理量的过程屮，因仪器和观察的误差，使得〃次测量分别得到⑦，他，…，冷共料个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从山，他，…，為推出解析(a—a|尸+(a—aifH(a~a,,)2=no1—2(aiFan)a+a?+a乡所以，使得(a-ai)2+(a-a2)2+-+(a-an)2取得最小值的幺=啦竺二也2.3.8一只小船以10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20m的桥上，--辆汽车由西向东以20m/s的速度前进，如图.现在小船在水面P点以南的40m处，汽车在桥上Q点以西30m处(其中PQ丄水面)，则小船与汽车间的最短距离为(不考虑汽车与小船本身的大小).解析经过时间/,汽车与小船之间的距离〃满足护=(40—1Or)2+202+(30-20r)2=500?一2000/+2900=500(/-2)2+900,所以，当r=2时,d取得最小值30.2.3.9为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量)，(毫克)与时间f(小时)成正比，药物释放完毕后，y与r的函数关系式为丿=(召『I为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气屮的含药量y(毫克)与时间『(小时)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气屮每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室,那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能冋到教室.\n解析⑴由己知可得当/=0」时，〉=1,则（春）=1，于是，d=0.1,所以，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量），（毫克）与时间f（小时）之间的函数关系式为y=10t,Gfe)10l,解得Q0.6,所以，至少需要经过0.6小时,学生才能回到教室.2.3.10一个男孩在90秒时问内移动的速度与时间的关系如图所示，他的行程是1.84千米，则”的值是米/秒.解析由速度-时间曲线可知男孩先作匀减速运动，而后作匀速运动，再作匀减速运动，第二次匀减速运动的加速度G_24-0__350-90片于是，男孩的笫三段行程为$3=24x40+*x（—|）x402=480（米），男孩第二段行程匕=24x（50—20）=720（米），则男孩第一段行程1840—480—720=640（米），第一段行程中男孩的加速度铲嵩’则640=20v-ix^x202,解得r40（米/秒）.2.3.11如图所示：用长为加的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边反为2x,求此框架围成的面积），与x的函数关系式，并指出定义域和最小值.解析由已知得矩形的另一边长为巴二号二竺，则以）‘，=#/+V二竺x2%=—（号+2）/+加兀，由口得函数的定义域是m2C7710且x=l时，y=0.2；x=2时，y=0.4,贝ljy=0.2x（兀WN）,所以，从1995年年\n底到2010年年底，沙漠面积将增加0.2xl5=3(万公顷)，于是，到2010年年底，该地区的沙漠面积约为95+3=98(万公顷).(2)设从1996年算起，第兀年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由已知可得95+0.2x-0.6(x-5)<90,解得空20,所以，到2015年年底，该地区沙漠面积可减少到90万公顷.2.3.13某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市吋I'可的关系用图1的一•条折线表示；西红柿的种植成本与上市吋间的关系用图2的抛物线段表示.O100200300I图1图2(1)写出图1表示的市场售价与吋间的函数关系式写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(/)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg,时间单位：天)解析(1)7W=(r+B"'150)2+100(0])的长方形中截得四边形ABCD,求四边形ABCDifij"积S的最大值.解析5=^x1-2x|x2-2x|(1-x){a-x)=~2jc+(a+\)x=-2卜_屮则当兀=1时,Sjr大值=a—1:.\22+叫丄，而0V1,于是，若学>1，即。>3,2若字勺，即1<处3,则当兀=字时，2.3.15某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班R名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1,2,・・•，k,规定：同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”，令闵4第，号同学同意第丿号同学当选，其中冃，厶・・・，匕且宀2,…，k,则同时(0,第i号同学不同意第丿•号同学当选，\n同意第1,2号同学当选的人数为().叵呻㈱(A)a\1+%2匕从+^21+他2如(B)Q］I+a2\Hak\+012+^22依2(C)。］］如2+°2皿22UkWk2(D)a\\a2\+Q12Q22QEk解析根据©的定义，如果第，号同时同意第1,2号同学当选，则有如=血=1，第，号同学是同时同意第1，2号同学当选的学生之一，可由a卫尸1表示第i号同学的这一票.反之，第7号同学不是同吋同意第1,2号同学当选，则如与如中至少有一个等于0,此时如血=0,由此可知同时同意第1,2号同学当选的人数为如刚+旳血丑皿2,答案为C.2.3.16方程log2Cv+4)=3v实数解的个数是().叵听讲解(A)0(B)1(C)2(D)3解析函数y=log2(x+4)和丿=3"的图象如图所示，所以，方程log2a+4)=3A有两个实数解，答案为C.2.3.17以g、b、c依次表示方程2”+兀=1、2"+兀=2、3v+x=2的解，则°、b、c的大小关系是().叵示两(A)c1解析由函数y=W和几0=祇的图象可得使不等式对任意xeR恒成立的a的取值范围是\a\<\,答案为B.2.3.21若不等式x2+6/x+1>0对一切淀(0,劭成立，则。的最小值为().(A)0(B)2解析由y+q+1>0及A-e(0减，则当0时，兀+扫刖于是，兀丘(0,哥成立的a的最小值为一号,1-2(C)-f(D)-3]可得必一(x+g),函数尸卄舟在(()，1)上单调递答案是C.所以，使不等式x2+^+l>0对一切2.3.22如果关于x的方程\x1~2x+1+a\=a2~6恰好有两个相异实数解，则Q的取值范围是叵融解析令函数fix)=\x2-2x+\+a\,函数g(x)=x2~2x+\+a的图象是开口向上，顶点坐标为(1,Q)的抛物线.若水平直线y=d1-6与抛物线y=^-2x+1+a有两个不同的交点，则]/-0，解得Q3.、q2—6>a,若go,则函数y=\^~2x+l+a\的图象如图所示，水平直线y=/—6与函数)=|/—2丫+1+°|的图象有两个不同的交点，其条件为(V0，十9解得qv—3或a、/—6>—a或/—6=0,——V6,所以，常数a的取值范围是a=—y/6或gv—3或a>3.2.3.23使log2(-x)«的解集为R,贝9实数a的取值范围是解析⑴函数)=|兀一4|+|兀+1|的图象如图所示，则使不等式|x-4|+k+l|<«的解集不是空集的a的収值范围是a>5.(2)不等式\x-4\+\x+\\>a的解集是R,则a的取值范围是a<5.2.3.25已知关于x的方程3,+兀(logia)+21ogia=0的两根兀i，花满足条件一15<05<1，则实数。的取值范围是解解析设/U)=3/+x(logia)+21ogia,3—(logia)+21ogia>0,21ogia<0,23+(log^a)+21ogia>0,解得一1vlogiavO,2所以，d的取值范围是1SV2.2.3.26a是锐角，不等xt(sina)v+(cosa)v>1的解集是_.解析由a是锐角可得0cosavl,则函数J(x)=(sina)x+(cosa)v在(一oo,+oo)上单调递减，而sin2a+cos2a=l,于是，当x<2时,(sina)x+(cosa)x>sin2(z+cos2a=1,所以,原不等式的解集是{x|x<2}.2.3.27设兀o是关于x的方程的解其中0ar在［1,12］上恒成立，求实数。的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.\n乙说：“把不等式变形为左边含变量兀的函数，右边仅含常数，求函数的最值”・丙说：“把不等式两边看成关于兀的函数，作出函数图象”・参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即Q的取值范围是_.直听讲解解析由已知可得无+字+匱一5兀Ro,兀+孕210,|x2—5x|>0,所以，当兀=5时，x+学+|兀2—5兀I収得最小值10,所以，a的収值范围是恋10.2.3.29方程?+V2x-l=0的解可视为函数y=x+V2的图彖与函数y=g的图象交点的横坐标.若方程J+处_4=0的各个实根兀］,兀2，…，恐化4)所对应的点(石，£)(=1，2,…，灯均在直线y=x的同侧，则实数。的取值范圉是_・阪听讲解解析由『+心一4=0得x3+a=^,函数)匸*的图彖与直线相交于(2,2),(-2,—2)两点.若°>0,函数的图象可由的图象向上平移a个单位得到，当。=6时，点(一2,—2)在函数y=x^+a的图象上，考察函数)，=/+6,y=»—6,歹=半及y=x的图象可知，a的取值范I韦I是a<~6或a>6.2.3.30已知人={力一1*2},B={x|?-(a-l)x+l<0}，且A^B=B.(1)求证：BQA；(2)求实数q的取值范圉.解析⑴任取兀贝U-e/l,所以，BQA.(2)若B=0,则由A=(a-l)2-4<0得_10,应有<一I'呼<2，解得3“兮，所以，a的取值范围为一1&兮./(-1)>0,0,2.3.31试就关于兀的方程|x--11U-26/)=4(^7-1)2(K中6/>0,妙1)的解的个数给出相应的结论并说明理由.解析记沧)=|无一/—1|(兀一2a),贝I」./U)=(%—a2—1)(%—2a),x>a2+l,—(%—a2—1)(%—2a),x5时，函数兀0的图彖与直线)'=4(°一1)2有三个不同的交点，即原方程有三个解；若。=5,则原方程有两个解；若07^-a2—2b2a2—2b2、02ja2~b2则函数s(y)在［—2_单调递增，所以，当y=ar.时，即pa=pb,亦即点P为△ABC的外心时，P到三镇■2^a2~b2的最远距离最小；若yv0,则函数野)在(一00,0］上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，所以，P2ja2~b2位于原点时它到三镇的最远距离最小.2.3.33关于兀的不等式［伙2+6R+14)兀一9］［(疋+28)兀一2疋一12©<0的解集M与整数集Z满足MOZ={1},求常数k的取值范围.阪丽解析设函数/U)=［(X+6k+14)x—9］［(X+28)x—2^—12幻，不等式/U)<0的解集M与整数集Z有MAZ={1},则方程［(Jt2+6k+14)x-9JL(^2+2S)x~2IC~\2k\=0在区间［0,1)和(1,2］中各有一个解，而Q+6R+14=伙+3)2+5>0,/+28>0恒成立，于是，此抛物线(7(0)>0,(-9(-2k2-12k)>0,开口向上，那么，0,V[2(fc2+6fc+14)-9][2(k2+28)-2k2-12k]>0,\n(/c(/c+6)>0,<(/c+l)(/c+5)伙+14)伙一2)>0,((2/c2+12/c+19)(56-12/c)>0.其中2^+12^4-19=2伙+3)2+1>0恒成立，k<—6或/c>0,k<—14或一52,./14k-T'所以k的取值范围是怎一14或2<歴普.2.3.34解方稈：3X+4V+5V=6V・叵而貶解析由原方程可得()+(|)x+(级=1，而函数y=(訓，y=(|)^>y=(|f在(-oo,+oo)上都是单调递减函数，于是,函数>w=($+(iy+(莎在(一g,+◎上是单调递减函数，又夬3)=1,所以，原方程的解是x=3.2.3.35若函数y=fix)(xeD)同时满足以下条件：①它在定义域D上是单调递增或单调递减函数；②存在区间［a，b］CD使得.心)在［幺，b］上的值域是［gb］,我们将这样的函数称作闭函数.⑴定义域为［x\x>0}的函数y=2x-lgx是不是闭函数?如果是，试找出［a,勿；如果不是，试说明理由；⑵求使得函数j{x)=k+^+2是闭函数的常数k的収值范围.◎听i糊解析⑴当兀=诘5时，》=吉+2；当兀=1时，y=2；当兀=10时，j=19,所以，函数y=2x-\^x在(0,+a)既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以，它不是闭函数.(2)函数J(x)=k+V7T2在［—2,+oc)上单调递增，如果它是闭函数，则存在两个不相等的常数°,〃使得$=上+伫J'成立，即关于兀的方程至有两个不相等的、b=k+7b+2,根，«=(厶+2-—专，亦即直线y=k与曲线y=(上一*)一#(仝0)有两个不同的交点,\n2.3.36用水洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药量的£用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用兀单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数夬兀）.（1）试规定人0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数7U）应满足的条件和具有的性质；（3）设何=]1+x2，现有心＞0）单位的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.叵谅讲解解析（1）人0）=1,即未用水清洗则农药的残留量不变.（2）函数人兀）应满足人1）=£函数人劝在【0，+oo）上单调递减，函数/U）的值域是（0,1］.第一次清洗后的农药残留量岸）_第二次清洗后的农药残留量原农药残留量，八刃_第一次清洗后的农药残留量'r（绡］2=第二次清洗后的农药残留量卩近丿」原农药残留量'于是,一次清洗后的农药残留量原农药残留量(1V1=16H+昭丿1+a2(4+以)2一扁證？所以'若EMI胡］澜即一次清洗农药的残留量小；若a=2近,则两种清洗方式农药的残留量相同；若Q2竝,则V（号）『勺^），即两次清洗农药的残留量小.2.3.37已知02+/=1,Z?2+c2=2,c2+a2=2>则ab+bc+ca的最小值为().(A)V3-1(B)|-V31(C)—2—V3(D)|+V3解析rha2+b2=l,b2+c2=2,c2+a2=2f±亍解得百=±寻,尸土萼•而ab+bc+ca=*[(a+〃+c)2—(a2+Z?2+c2)]=[(a+b+c)?—号丁+>/2,亍72_右乂0＜返一夢＜岁，所以，ab+bc-\~ca的最小值是*为B.52=|-V3,答案\n2.3.38某地街道呈现东一西，南一北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(一2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.可确定一个格点(除零售点外)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.解析设发行站的坐标是(兀，刃，则发行站到所有报刊零售点的距离Z和为|x+2|+|y-2|+|x-3|+|y-l|+|x-3|+|y-4|+|x+2|+|y-3|+|x-4|+|y-5|+|x-6|+|y-6|=2k+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|j-l|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|j-5|+ty-6|.函数2k+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|在[3,+oo)上单调递增，在(一^,3)上单调递减，函数ly-l|+ly-2|4-|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|在(-oo,3)上递减，当30,所以，3'=?,x=—\.2.4.5方程2k+,l=3的解集是().(A)logifj(B){log3彳}(C){log2|,log2|}(D){log2|,-log26)解析由已知可得|x+l|=log23,则x+1=log23或x+1=—log23,则x=log22或x=1°&2Z»答案为C.2.4.6已知关于x的方程2於一2_7广】+3=0有一个解是2,求a值和方程其余的解.解析由已知得x=2满足2戶一2_7广1+3=0,则2c,—7a+3=0,所以，g=*或a=3.若0,狞1.解析原方程即为於一(/+令”+i=o,则(/—/)(/_令)=0,于是，”=/或ax=a~2,所以，x=2或X=—2・2.4.8己知关于x的方程於一5^+6=0有且仅有一个较大的根在区间(1,2)内，求实\n数d的取值范围.解析原方程即为3—2)3—3)=0,则cf=2或d'=3,x=log“2或log“3,由原方程存在根在区间(1,2)内可得G>1,则应有10氐2Sla)?解析设目前人口数为加，x年后人均一年占有粮食b公斤，则bm(\+2%)x=am(］+4%)v,所以，x=log52^.5Ta2.4.11已知函数/(x)=2'—寺.2(1)若yu)=2,求兀的值；⑵若2凭2/)+勺忙0对于re［!,2］恒成立，求实数加的収值范围.解析(1)心)=F_寺'“°’由用)=2得$一廿2,(0,x<0,%>0,则(2*)2—2・2"—1=0,解得2A=1±V2,而2、0,所以，x=log2(l+V2).由已知得2(22£—2］恒成立.空二迁_2一的任意列，2］恒成立，由此时，必有2"弓，于是，陀一-尹］2f1SE2得-17<-22-1<-5,所以，加的取值范围是［一5,+oo)2.4.12若关于兀的方程(2—2一門2=2+。有实根，则实数a的取值范围为().削讲解(A)a>~2(B)00,于是，54x_i=1,所以，x=^.2.4.16解方程：9a+4x=|x6a.1=2,所以，^=log35或2z解析由原方程得2x(|)"-5x(|『+2=0,2x(|)X-1(|)"一2=0,(笏=专X=log32.22.4.17解方程组13儿5尢=75.解析由已知可^(3<5W-5x)=3x15x5x15,即15^=153,于是,兀+y=3,则3"・5宀=45,即(|『=善，所以，原方程组的解是｛二,2.4.18解方程：5宀=3以一1.團|館解析由原方程得(x+l)log35=x2—1,即X2—xlog35—(1+10疥5)=0,(x+l)(x—1—log35)=0,所以，x=log35+1或兀=—1.2.4.19解方程：7"一1—33，t=7"+|—3昭2.罰両解析由原方程得卜产一卜3女=7乂产-9x3%,于是，夢幻"=晋x3叭(男)”=券,91所以,X=10g49^9-27/Z2.4.20解方程：0—1|+|2加一3|=2.解析原方程为0—1汁|0+苗)0—希)|=2,f2X>V3,(1<2XV3,或(22x+2x-6=01<2X0,2m、c=0要有两个不相等的正数解，于是，应有>0»所以，使原方程有两个不相等的实数解的m的取值范围是加<—吐坐.2.4.23如果关于兀的方程勒+2@—1)2*+/=0有两个正实数解，求实数a的取值范围.叵耐解析令2x=r,由x>0得Q1,要使原方程有两个正实数解，则要使关于r的方程”+{4(a—1)—4a2>0,($—1)+(匕2一1)>0,即佝一1)©—1)>0,—2a+l>0,—2(a—1)—2>0,所以，使得原方程有两个正数解的a的収值范围是a<~1—V2.a2+2(a-l)4-l>0,2.4.24若关于兀的方程2°・3一小一3WT—2g—1=0有实数解，求实数g的取值范围.叵听讲解?-2|x-l||解析由原方程得2«(3-^1|-1)=3_2U-,i+1,则2g==3勺7_1+3卄1|_1\nAB2D{|址+一d。E#二X卜E@翼I班•込+,黨^s+.1.虬届)UI®W4W二•飢沪+1+<纂9二BEUCtGX广‘翼二㊀yHW二•r汩+比ISy-常”廡A+,Is0妖ti/i暑一8东+‘fGil2\n§C③数数§Cm8一集项点①一集2项点①2§Ox?§CJ4568叵听i糊解析]•2R侈駢H1mi②翳一1、欝点①点①ini上1解折]0X?[(m(BmRR345112Bm§cRm§③叙D平①浚1池直①\n11_+集集耳式解折］til鞭}Z§s•解折］§|i解折18}Z§)§中武+式式+式+式駆+式山巴童m解折］0>C/t§c§c2\n解折］2Q项匕加2Z§聲毀于「泾S.*>>>>*B§2前§2“项+W“式顶方第耳册2品前2§“■H式爭解折〕"式1•与+121“41式号1“出式爭駅｝Z§sxR7]冉集集、+7/弹集(_冉ft、+慕解折］集、+集、+、一§}Zg集、+\n>>>R34>>>R34>>>R34>>>R34B(-+、式:§0>o7B(质2§722228]1Z§s•*8§§§解折]0>o7§x解折］解析］o>21吊811解析1112]B>>>2解析］o(1§}z§sJ§§§P解折］121§R8§PSs•*8RB§c/tX1§}z§1§2§11o2§1*87RP§cPg§2§§R7]81s-*8§c]8R1§7§118]JJ]]p(§Q7}z7R\n解折］0吿2^—(§集-§Qi§)Z集7-RP1P7解析］§c1§Q11211§788}Z79集2笫]§2W•郷7«R§)鎖（§s•*8R]8PP§1§e§1§§§z22§RP§s•*8§25c18解折］0§2122i§}Z*8]>§c/tRR7]8解折］21§)2章§x22R}Z7§B*B§gc§Q8J解析］1h2112181§}Z8]解析]11211§h12211812111Z181解折］±工'J解折]o与.、~H11B>12h118211212§}Z§土B>§8§、壬(爭戢11弓~W-^rH1-^+1^^2-^；.rl^l-軾22-^©12^418•^^£7、jW弓d习~\n、HJ解折]11解折〕0221“4-集式.集解折］7“4-集式.集解折］器项^膠集项^S-DR解析］C解解折］所''第素有1\n解所“第舖一解訓§Q]B>2h7I解折10B>1228J12§c28巒1、＜＜就1集＜1章。2X早早豐1集豐1章e§早7§)Z§解析］221解折］2鲁121§8解折］■1解折］S11Jc]集。集+§}z§§8集集+集？弟+1°集11c8202R811笫281AB22Z§8AB221W7§§1§2聽乘7§82WKt：-12R8?2第§§嘲§h-1翳2住1角埜1第集第集第集第第仙’第果吐一第-集第集第\n第1賄§8§}Z§④集④®集第>zS]I§i§解析]01§第8］土集集④集第④④集集集集醱>…瀬解析］番蠹集集，集父集集集1解折］齡J/8}Z§AB2"一第隼4§DXRB7]8解折］§C集R-§§C^1!57§AB2集g48AB2第第2a一集-集§''-集§Q2“第集“第集“第集\n解折］0解折］R7182§°>R4g1§0(1§1§c11§S•強:8AB2“•第<」§第“一第一集§第第’2§°§QAB2“一第集R478“第第}Z§s•*8]RRm%7§C±B§g］8色听讲解§只§只］§只只§解析］2§2§121}z§§§s•*81•>>*B§方+式§+式式方方-FC>>R7]8J428(护氓7占攀欝§Q+式方+~7J].>>7RB§/th111集集爭+XRg]8解折］1fWr和章与+■和集1■和第-^4-2^4~和章与+■和第1和集^4~2——集——1—§)-Wu>-M=^金7§“+章“+第“+集导\n集$“+Q・*第8—§}“+集导z§炳1>>o7B§cBII]7o解折］.g0>>281解析］0g,集与诞'1•解析]1•解折］0f§}潘解折］1解折］goo7§Z§§sg+c素7Bo§m(87h§§e§Q7B8§+IB§B>>o方Hh爭>>o§>o7BS§勺f釦8简弋劄勺術*8BR4品，集堺能§88~Ti§7跡挤卄弋Z可哉予>§§8h§§8}Z8>>7RB§2h堀勺8颐删c弟弟素集答c素答答22-§0>>7RB寤§7O濟需2§\n］軾勖孝>>7RB2h7§解折］1解折］410121肪历懺-哉o§-H式（空§出式土B>傑-为1§)概弑式辺>h>7集式式方RB(xR軾颉}Z§■H式式方e§丄集隼隼^511-H式x-H方§c-H式4■H方-2式方~4式2§}Z§—————81'出式式方出方>§解折］案为为下1案卞案下为下1案为讦2案丽/_为下128解折］o7B（与尸和式「壽eJ0>>>o7B§h与尸和击就和方与亍和F解§c2887§（就丽罟硏时需门§与F和击与t和片第+式代Q厅尸和舌武和芳WW礙8]Bh解析]07>>>B(与.+和集2§§QW+M£§e§咖須口氮§“第、”集§xC2222®8\nc2§}z§-^W喙J解折]28^8解析］0to§zi集q|解析］0o7B§集£-芯§1集解折］021早第］集1笫第第、68匡听讲解第第第j§}ZR3解折］0—^§}z§集严\n］§§升表式'解折］0（11§Q1•倂表式§第与尸表式■§简H概梓表船J§）］.解析］0J解折］0cQ1e解折］1B§§解析］ph1解析］112§Z§\n§h•ABR2土解析］017119■§11h§)I§82x112§17§212Z§I§17興o#§}z2R4§§hc1D解折］1282嶂瞬慷2g2蹂瞬集藁第第4R?負c8廉c瞬集碑集加第2集标潯—集城c辱§Q辱集A-第o集慷8Z§•澤确集加•畴1嶂—自7gB§c§c«v§Q■W1孚1}zRgBBt12gB4§土B2Z?thxR7o>解折］g22§c80}z§02>Xg\n］©听讲解解折］解析］8解析］解折］0R4章1解折］o§§2Wn+'§中X§1R§集-x§QOgR4h4PC°-H}Z4P7R§}z章1WT'2W0+l自毎工丽烦自“冉集\n<<§乙乙L§逗g華屬凰乙I陽紐0§乙虧(罄0§①L2邂①硏)乙0)fIIZaV§3§I乙10§II31。§［蜩8ZHxM/Z塔力1J60§□1LVB9VM8爼19VHL[I88WWfiMzo|d§8>^1WzgW§对MW§§WuWfiMi瘙總§9厶8§Loae§z{§§L§§9I乙Z{c0I•[帥2o§§£V爼乙Io［蜩I删吐+吐*§8Hi!■P邀M儡星卫碍剜隆魏•幽鲫8删时+吐右•)8L8孑L\n解折］I1c>Z§%>2121琴2”［勺-H””1式1§解折］0%2-H方””1代C解折］0勖歹爭励爭-，前导能，•爭•孚能，•制哥戢（与诫'，与H与1卷•^璘戲*与‘哥~旨8•丘能，筋好能Q•駅好§8RAB解折］80§章:第第<■集第集集第笫"集第笫low\n）勵攥租第涎観麋和第沁和第元触删第-元壕§7§\n解折］Rm7mR7即,集集ITRm7Rm7Rm7解折］Rm%7Rm%71Rm%71rnRm%7Rm%71§Rm%*\n解折］Rm*1i§s・*8]1Rm%7]8111■1解折］、平①y集集点①③兽m(Rm%xRBg解折〕g严严章平备标、§m(Rm%h11解析]1Q*Q*1Q*1§1Rm%7程»§'Rm%7解折］§1Z-示臺§m(\n人人/集标面而示、§铀示肠OK铀7Rm7I解折］第平魏ftm(S11解析]0§s•'%11■1■12■11平集集1麺面、标①7WSMM直蠢俪躺啊M翳集第1集平郦1集WiOj直集Rm71平集直集BRm%7§c已已解析］•§c0(ABR4o7§R%§c2§§2§}Z§s•*8R34m%7§c已8\n解析]()11•R解折]0AB§ABR解折〕0Rm%7BR34解折]0(2§Rm7Rm%711第点①翘；§0§}Z§R38RmRm%7I解析］③:釁邛③IRm%7\n1±c§DgRAB§土§g1§〜C§D7R8AB21°21C§D7R§ckZ7L_8解析]111§Q1§m(i§}Z§ABC§§D7R8]m118解析］0（③譽为黠戈”黠滋滋"黠力恕”黠加滋朋预I章点1、章\n*③譽饬章平①③裂集集集集集8J解折］Jh7解析]1i解折］（）直①i集集平由平@氮集点_Rm%7Rm%7Rm7§08Q*1Q*集+第标+§③+标41m8③「七执总忠m%x第F点集啊飘Rm7n集&辭+平平弋Q第§初点集執\n7B§c112§m((§7g1I82書Rm%78§鲁器07B(2§Rm%781§*1*11211Rm%7§cBR34567|821CQ*11§c2§•Rm%71§Q§Rm%71gB8Rm%7§1§B8]R解析]R1§s•*81Rm%*Rm%*1§•11i]解折]0Q*82至1颗第力1第111§Q*1§1Rm7幕+点①+点①(J1集第Q以过17RRm%*1§§cB]8叵听讲解1解折］0Rm%71§集第\nRm%*Rm%*1§勺简茶1简養1解折]021§简Rm7J611解折]I®听讲解第平@m(第平①OHfflg坐一、-H第孵勺实平要间①1J平1s间①勺实曲解折］0Rm%*]实面平番实壷平萎三点@cr集戸1点①rr口1rm平①i卢企八、、Oi}Z平愿\n实实轟平解折］0m(Rm7JR1Rm%7实平1裁c11Rm%7]8回听讲解11Q*11§}Z1Rm%718]R111Rm%7%§cBR34567]8讲解解析］11Rm%§cg2111§Q1§m(i18JR+1集]Rm%7§只§。BR34567]8解析］0（第H集i§m(a]R可癱m%7§§c2]§2]8解析］与§cJRm%7，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