高中数学数形结合习题-高中课件精选 13页

1.若对任意xwR,不等式冈鼻血恒成立，则实数q的取值范围是()cA.GViB.制忘1C.制<1D.dNl2.若圆x2+y2-4x-4^-10=0上至少有三个不同点到直线l,cix+by=。的距离为2血,715龙则直线/的倾斜角的取值范围是()112'12］3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(h2)上的任意西，召(坷工兀2,fM=-(A)兀\f(xi)-f(x2)\<\x2-xl\恒成立”的只有()人(B)/(兀)弓兀I(c)/(x)=2'(D)/(x)=a"4.若直线y=x^-k与曲线x=Jl_b恰有一个公共点，贝吹的取值范围是()k=-^2或4.y=x+k表示一组斜率为1的平行直线，X=Jl-b表示y轴的右半圆。如图可知，［简要评述］数形结合思想的灵活运用，此题可以进一步拓展，x=_Jl_y2,y=±^l\-x2等。5.若关于x的方程+_4冈+5=加有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为10f(2k-l)>0f(2k+l)M0J2k-l<(4k+a)/2<2k+l从中解得:(KaWl/(2k+l),(kGN)故Mk二｛a|0QWl/((2k+l),(keN))o例2己知三点A(l,m+2)B(m+15)C24〃+3)fn>(,问加为何值时,J=|AB|+|BC|最小，并求最小值.分析：根据三个点横坐标的特点可知，它们在坐标系屮是从左到右依次排列的，当且仅当它们共线时，d=\AB\+\BC\最小.解：依题意知，当三点共线吋d=AB+BC最小，此时心^=£必，，m+\-\m_4m+3-5m+2-m一13-m■\n3解得肌=——(舍去)或m=1,4"2=1,此吋三个点分别为A(l,3),3(2,5),C(3,7),・・・d=\AB\+\BC\=AC=J(7-3尸+(3-1)2=2^5.练习.已知点M(3,5),在y轴和直线y=兀上分别找一点P和N,使得△MVP的周长最小.分析：作点M(3,5)关于y轴和直线y=x的对称点M],,贝\\\MF\=\MxF\,\MN\=\M2N\,所以△MVP的周长等于|阿冲+|阳|+|陆"|，当且仅当阿，M?,P三点共线时取最小值，所以点P,N应为直线和丿轴与直线)，=兀的交点.解：作点M(3,5)关于y轴和直线y=x的対称点M2,则点M,,M2的坐标分别为(-3,5),(5,3),由两点式得壬I_x+3_5+3整理得x+4y—17=0,即为直线M}M2的方程,易得它和y轴和直线y=%的交点坐标分别为<1717),14丿(55丿即使得△MWP周长最小的点P和N的坐标分别为17)(1717)0,——14丿(55；评注：木题利用对称思想为线段找到了“替身S从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题.例3•已知点P(q,b)在直线曲+y-1=0上，且d匚加+1的最小值为血，求加的值.解：Ta/q?+-2q+1=J(a-1)，+b~,・・・它是点P(a,Z?)和点(I0之间的距离，它的最小值就是点(10到直线iwc+y-l=0的距离，由点到直线的距离公式可得J"；"二V2,Vnr+1\n平方得莎—2m+1=2zn2+2,整理得(加+1尸=0,m=—1.评注：本题通过挖掘代数式的几何意义，将点点距转化成了点线距，这种以距离为背景的题型时有出现，请同学们注意训练和总结.练习•求点P(-l,4)到直线2:(加+1)兀+(2-加”+加一5=0的距离d的最大值.分析：对直线方程(加+1)兀+(2-加)y+加—5=0整理后，我们会发现它表示过定点0(1,2)的一条直线，因为点线之间垂线段最短，所以当且仅当PQ丄/时取等号，即此时d取得最大值|PQ|・解：(加+1)兀+(2-加)歹+加一5=0可化为x+2y-5+/(x+y+l)=0,它表示过直线兀+2y—5=0和兀一y+1二0交点的直线.fx+2y—5=0,解方程组｛7得两直线交点为2(1,2),[x-y+l=0,即直线/恒过定点2(1,2),当pq丄/时d取最大值『a，・・・PQ\=7(-1-1)2+(4-2)2=2V2,・・・d的最大值为2血.02.【思考与分析】本题看似一不等式证明题，但是我们通过分析，不等式左端是距离的平方的形式，由已知条件，我们可以把问题转化为点在直线上的位置关系，进而由点到直线的距离公式求解.证明：不等式左端可视为点P(a,b)到点Q(3,-4)的距离的平方，而点P(a,b)可看作直线1：x+y=l上的任意一点、,于是问题转化为点P在直线1上什么位置时线段PQ最短，当然是PQ丄1吋点Q到1的(a-3产十@乂)2孑()J?距离最短，所以V2"如下图弋3.【反思】本题我们主要是利用点到直线的距离公式的儿何意义解题.练习.已a,b,c为正实数。求证：血(a+b+c)V>Ja2+b2+^lb2+c2+7?+/V2(a+b+c)。\n分析:由欲证不等式中的J『+b2联想到勾股定理，DabcC而AC/2(a+b+c)0分析:分别作出y=与〉，=丁4兀一兀$的图象从图象上很容易得到结论./.y=ax是过原点且斜率为a的直线,解：^y=ax,y=\l4x-x2(0仮的几何意义是半圆在(0,4］上恒处于直线的上方(如图),可知a<0是，上述结论成立，.・.a的取值范围是av0.选C.\n综合自测\n/yz.^/iorx)-3+8)上单调递增，『(1)=0,则不等式1.设。，吐&/+2夕=6,则Q+Z?的最小值是(2.设奇函数f(x)的定义域为(・8,0)U(0,+8)且在(0,f[x(x-^]<0的解集是o2.解析：由已知画出y二f(x)的图象可知：当xe(-l,0)U(h+8)时f(x)>0当XW(.00,-1)U(O,1)时f(x)<0又兀(兀一£)=(无一])2—丄\一丄>一1241616・・・几心_丄)]<0成立,则必有211-VT7丄0/2cosa.a/2sina)，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()答案:1.由CA=(V2cosa.>/2sina)点A在以C(2,2)为圆心，血为半径的圆周上(如图),过原点O作圆c的切线OA,A为切点,rti\OC\=2V2,\Ac\=V2知ZAOC=-,有ZAOB=,64612JTJTSJT过点O作另一切线OA,A为切点，则ZAOB=-+-=—4612\n6.直线）匸2比与曲线9C+）广=18®gR且心0「的公共点的个数为（）47.关于X的方程（兀2—1）2_|兀2_]|+£=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根其屮假命题的个数是设u=x2-\原式为：I讦一1小一心画ill函数的图象，看使UN1的解的个数，可知假命题的个数为0。8.对记则max{a,b}=a.a>bb,ax-2|=>(x4-1)2>(x-2)2=>x>卜+1|f(x)=<\x~2\1）x>-、2丿ri）x<—（2丿如右图Znin(X)=/^2=9.如果实数x、y满足（X-2）+/=3,那么丄的最大值是X如图，联结圆心C与切点M,则由0M丄CM,又RtAOMC中,002,CM=73所以，0M二1,得工=竺=巧xOM32\n0)连线的斜率，(ye[0,1J是半圆。(如图)"min二2迈7i-x2y=10.求函数2+X的最大值。解：由定义知1-x2^0且2+xHO・•・・1WxW1,故可设x=cos0,0e[0,n],则有_sinO_sin0-0cos0+2cos0—(—2)可看作是动点M(cose,SinO)(9e[0,"])与定点A(-2,x=cos0<而动点M的轨迹方程^y=SinQ,0E[0,nJ,即x2+y2=l设切线为AT,T为切点,|OT|=1,|OA|=2RAT=-t"Tr・・・73,・・・0*卜斥73即函数的值域为[0,3j,故最大值为3。1]求函数况=72/4-4+J6-Z的最值。解.•血=j2f+4,y=y/6-t,贝ijw=x+y_@a2+2/=16(03/—4似+2/—16=()[x2+2/=16解△=(),得岚=±2后，取u=2亦=2^/612・已知：acosa+bsina二c,acos3+bsin3=c(abH0,«-PHkn,k^Z)\n9a-[3c2cos~=求证：2cr+Zr分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.还要根据图形的性质分析清楚结论的儿何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平而直角坐标系中，点A(cosa,sina)与点B(cosPsinP)是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=l的两个交点如图.从而：丨ABI2=(cosa-cos3)2+(sina-sin3)2=2—2cos(a—B)又•・•单位圆的圆心到直线1的距离心+/?2丄由平面几何知识知丨0AI2-(2|ABI)2=d2即f2—2cos(q—0)c~1=ci=—：cos2cr+ba2^b213.若不等式2x~l>WT)对满曲*2的所有m都成立。求％的取值范围。解：原不等式化为(F・l)m・(2x-l)<0记f(m)=(x2-1)m-(2x-l)(-20I2/—2x—1<0\n-1+V7I+a/3解Z,X的取值范围为23吋，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.用数形结合思想求f(x)-f(a)=0解的个数.解(1)由已知，设(x)=bx1,由/；(%)=!>得b=l.:,f}(x)=x2.设f2(x)=x(k>0),则其图象与直线严x的交点分别为A(k,k),B(-k,-k),由|AB|=8,得k=8,8—8/•(x)=x,故f(x)=x?—•一X88(2)由f(x)=f(a),得兀$—=a2—xami8228即一=—X+ClH.xaQQ在同一坐标系内作=一和/；(尢)=—/+/+一的大致图象(如图所示)，其中力(兀)xa的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线人(兀)的图象是以(0,/+—)a为顶点，开口向下的抛物线•乙(兀)与厶(兀)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解.98又V^(2)=4,£(2)二一4+0+—,当a>3吋，aQ.人⑵—几2)=d+——8>0・a・••当a>3时，在第一彖限的图彖上存在一点(2,、人(2))在/；(兀)图彖的上方.・・・乙(兀)与心(兀)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解.故方程f(x)=f(a)有三个实数解.