高中数学解题思路与技巧-高中课件精选 114页

《高中数学解题思维与思想》一、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：(1)善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路,找到解题方法。例如,求和+…+——J——.1-22-33-4n(72+l)这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且一i—=--—,因此,n(n+1)nn+1原式等于1一丄+丄一丄+•••+丄一一=1一一—问题很快就解决了。223n«+172+1(2)善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组山=一3这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，兀、y是一元二次方程t-—2/—3=0的两个根,所以[”=一1或.可见，联想可使问题变得简单。.y=3[y=_i(3)善于将问题进行转化\n咼考~~数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，已知丄+—+—=,(dbcHO,Q+b+CHO),abca+b+c求证a、b.c三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：(d+b)0+c)(c+d)=O思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。二、思维训练实例(1)观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例1已知a,b,c,d都是实数，求证+胪+7c2+d2>』(a-+(b-d)，.思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。则嗣=』(a_c)2+@_刖・证明不妨设A(a,Z?),B(c,d)如图1—2—1所示，\OA\=^a2+h\\OB\=Vc2+J2,在△OAB中，由三角形三边之间的关系知：\O^+\O^>\A^当且仅当0在AB上时，等号成立。因此,Ja，+b，+Vc2+d2>J(a—c)2+@—d)2.思维障碍很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟,进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。例2已知3x2+2y2=6x,试求x2-\-y2的最大值。解由3x2+2y2=6x得\n7/=--x2+3x22ty$n0,/.—+3xn0,「・0SxW2.2又牙24-y2=X2-—X2+3x=-—(X-3)24-—,2221Q.•.当无=2时，x2-by2有最大值，最大值为一一(2-3)2+-=4.~22思路分析要求兀？+于的最大值，由已知条件很快将x2+y2变为一元二次函数1Q/(%)=-—(x-3)2+-,然后求极值点的x值，联系到/>0,这一条件，既快又准地求出最大值。上述22解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。思维障碍大部分学生的作法如下：由3x2+2y2=6xy2=-—x2+3x,2/.x2+y2=x2-—x2+3x=一丄(x-3)2+—,222当x=3时，a:2+y2取最大值，最大值为专这种解法由于忽略了y2»o这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。有些问题的观察要从相应的图像着手。例3已知二次函数/(x)=ax1+bx+c=0(d>0),满足关系/(2+x)=/(2-x),试比较/(0.5)与/(龙)的大小。思路分析由已知条件/(2十兀)=/(2-劝可知，在与x=2左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线x=2对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解(如图1一2—2)由/(2+x)=/(2-x),知才(兀)是以直线尢=2为对称轴，开口向上的抛物线它与x=2距离越近的点，函数值越小。・・•|2—0.5|>|2—彳••・/(0.5)>思维障碍有些同学对比较/(0.5)与/(龙)的大小，只想到求出它们的值。而此题函数.f(x)的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受咼考\n到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。(1)联想能力的训练例4在AABC中，若ZC为钝角，则tgAtgB的值(A)等于1(B)小于1(0大于1(D)不能确定思路分析此题是在\ABC中确定三角函数tgA-tgB的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式如A+B)=堆人十fgB可得下面解法。\-tgAtgB解vZC为牢屯角，:,tgC<0.在AABC中A+B+C=tt.\C=7r-(A-bB)且A、B均为锐角，•••/gC=/gk—(A+B)]=Tg(A+B)=—X-tgAtgB•・•tgA>0,tgB>0,.\l-tgAtgB>0.即/gA/gBv1.故应选择(B)思维障碍有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。例5若(z-jt)2_4(兀一y)(y_z)=0,证明2歹=兀+乙思路分析此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明当兀_歹工0时，等式(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0可看作是关于f的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1,根据韦达定理就有：2z£=i艮卩2y=x+zx—y若x-y=0,由已知条件易得z-x=0,即x=y=zf显然也有2y=x+z.例6已知ci、b、c均为正实数，满足关系式a2+b2=c2,又n为不小于3的自然数，求证:an+bnb、c中至少有一个为1,也就是说a-hb-\>c-l中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。证明T——=1,be+ac+ab=abc.abc于是(6Z—l)(Z?-l)(c-l)=d/?c-(dZ?+ac+Z?c-l)+(a+b+c)=0.d-l、Z?-1、c-l中至少有一个为零，即a、b、c中至少有一个为1。思维障碍很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1,其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。例12直线厶的方程为x=-匕,其中#〉0;椭圆E的中心为O'(2+2,0),焦点在X轴上，长半轴22为2,短半轴为1,它的一个顶点为A(F,0),问“在什么范围內取值时，椭圆上有四个不同的点，它们2中的每一点到点4的距离等于该点到直线厶的距离。思路分析从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线y2=2px(1)是，又从已知条件可得椭圆E的方程为［兀一(2+訓4+y2=1(2)因此，问题转化为当方程组(1)、(2)有四个不同的实数解时，求〃的取值范围。将(2)代入(1)\n得:x~+(7p-4)x+—2p=0.(3)确定〃的范围，实际上就是求(3)有两个不等正根的充要条件，解不等式组:(7/?-4)2-4(卫一+2#)〉042亠+2">047/2-4<0在p>0的条件下，得Ovpvl3・本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。@逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。例13已知函数f(x)=2x24-mx^rn,求证|/(1)|、|/(2)|、|/(3)|中至少有一个不小于1・思路分析反证法被誉为“数学家最精良的式器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。证明(反证法)假设原命题不成立，即|/(1)|、『⑵|、|/⑶|都小于1。|/(D|<1则<|/(2)|<1]/(3)|<1=><-1<8+2m+/?<1=><-9<2m+〃v—7-1<18+3m+z2<1①+③得-ll<2m+H<-9,-19<3m+A?<-17与②矛盾,所以假设不成立，即|/(1)|、|/(2)|、|/(3)|中至少有一个不小于1。◎一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例14已知复数z的模为2,求\z-i\的最大值。解法一(代数法)设z=x+y,(x、yg7?),贝吐？+y2=4.|z—i—yjx2+(y—l)2=J5-2y.当y=-2时，归-：仁=3.\n图1~2~3.2z-imax=3.解法二(三角法)设z=2(cos〃+isinO),则|z-z|=V4cos2^+(2sin^-l)2=V5-4sin^.当sin0=_1时Jz-z|=3.Imax解法三(几何法)・•・|z|=2,点Z是圆F+y2=4上的点,Z-彳表示Z与，所对应的点之间的距离如图1-2-3所示，可知当z=—2i时,解法四(运用模的性质)z-i2,ngN)例4实数d为何值时，圆x2y2-2ax-\-a2-1=0与抛物线y2=—x有两个公共点。2错误解法将圆x1+y2-2ax+a2-1=0与抛物线)异二*x联立，消去y,得x2-(2a-丄)x+/—i=o(x>0).①\nA=0因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得ha-->01a2-l>0.17解之，得a=—・8错误分析(如图2—2—1:2—2—2)显然，当。=0时，圆与抛物线有两个公共点。要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时，得A>0解之，得-1VGV1.[tz2-l<0.171因此，当。=一或一lvdvl日寸，圆x2+y2-2ax+a2-1=0与抛物线y2-—x有两个公共点。82思考题：实数q为何值时，圆x2+y2-2ax-\-a2-1=0与抛物线y2=—x,2(1)有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。(3)独立思考，敢于发表不同见解受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。例530支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？解因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。思路分析传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15+7+4+2+1=29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。例6解方程x2-2x+3=cosx\n考察方程两端相应的函数y-(x-1)2+2,y-cosx,它们的图象无交点。所以此方程无解。例7设Q、0是方程X1-2kx+k+6=0的两个实根，则(&-1)2+(0-1)2的最小值是()49(A)-4；(B)&(C)1&(D)不存在4思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：Q+0=2k,Q0=R+6,(0-1)2+(0-1)2=/_2q+]+#2_2#+]—(tz+0)~—2q0—2(cz+0)+2=4伙_£)2斗24有的学生一看到-工，常受选择答案(A)的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如4果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。・・・原方程有两个实根Q、0,.・.△=4/一4仇+6)\0,.・・k<-2或33.当A>3H+,(6Z-l)2+(/?-l)2的最小值是8;当k<-2H+,(6r-l)2+(/?-l)2的最小值是18;这时就可以作出正确选择，只有(B)正确。第三讲数学思维的严密性二、概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：概念模糊概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。判断错误判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数y=(-)-'是一个减函数”就是一个错误判断。推理错误推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。例如，解不等式x>-・X解VX>—,X2>1,X\n.•.兀>1,或X<-1.这个推理是错误的。在由无〉丄推导兀2>1时，没有讨论兀的正、负，理由不X充分，所以出错。二、思维训练实例思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。(1)有关概念的训练概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学教学大纲》(试行草案)例1、不等式log(F+2)(3x2-2兀-4)>log(?+2)(x2-3兀+2).错误解法・・・F+2>1,3兀2—2x—4>—3x+2,1、2兀2+x—6〉0,兀〉一<—2.2错误分析当兀=2时，真数%2-3x4-2=0且x=2在所求的范围内(因2>-),说明解法错误。原因2是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。・・*+2〉11+713_^1-V133x~—2x—4>0x2-3x+2>03兀2—2x—4>—3x+2兀>或兀<33•.2或x<1x>。或兀<-22/.x>2或工<一2.例2、求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点。错误解法设所求的过点(0,1)的直线为丁=也+1,则它与抛物线的交点为(y=kx+\tt°\?，消去y得：(Ax+1)~-2兀=0.b=2x整理得k2x2+(2k-2)x+l=0.・・・直线与抛物线仅有一个交点，A=0,解得£=丄.二所求直线为y=—x+\.2•2错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为y=kx+\时，没有考虑R=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。\n咼考第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即RhO,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直兀轴，因为过点(0,1),所以兀=0,即y轴，它正好与抛物线尸=2x相切。当所求直线斜率为零时，直线为y=l,平行x轴，它正好与抛物线y2=2x只有一个交点。设所求的过点(0,1)的直线为y=伙工0)则y—+]11/F+(2Z：_2)兀+1=0.令△=(),解得£=—・・•・所求直线为y=—兀+1.、)厂=2%2*2综上，满足条件的直线为：y=1,兀=0,y=£x+l.(2)判断的训练造成判斷错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。①注意定理、公式成立的条件数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。例J实数加，使方程F+(m+4z)x+1+2mi=0至少有一个实根。错误解法・・・方程至少有一个实根，△=(加+4/)2—4(1+2mi)=m2—20>0.m>2a/5,或加5-2a/5.错误分析实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。正确解法设d是方程的实数根，则a1+(m+4i)a+1+2mi=0,a2+ma+1+(4q+2m)i=0.由于d、力2都是实数，[a2+必+1=0[4a+2m=0解得m=±2.例4已知双曲线的右准线为兀=4,右焦点F(10,0)，离心率e=2,求双曲线方程。\n专昔解1•/x=—=4,c=10,a2=40,/.b2=c2—ci2=60.c故所求的双曲线方程为224060错解2由焦点F(10,0)知c=10,'：e———2,.*.a—5,/?2=c2—ci2=75.a故所求的双曲线方程为222575错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。正解1设P(x,y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x=4,右焦点F(10,0),离心率e=2,由双曲线的定义知J(兀_]0)2+〉'21%-4|整理得(—2)216亠.48正解2依题意，设双曲线的中心为("0)解得a=4*c=8m=2.——+加=4Cvc+m=10£=2.a所以b2=c2-a2=64-16=4&故所和曲线方程为害-法1.①注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用我们知道：如果A成立，那么3成立，即A=>B,则称A是B的充分条件。如果B成立，那么A成立，即B=>A,则称A是B的必要条件。如果A<=>B,则称A是B的充分必要条件。充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充\n分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。例5解不等式77^1>x-3.错误解法要使原不等式成立，只需x-l>00,M^30错误分析不等式4a>B^立的充分必要条件是：B>0或\A~°,U<0A>B2ix-l>0原不等式的解法只考虑了一种情况Jx-3>0x—1n（兀一3）~而忽视了另-种情况:［需，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。正确解法要使原不等式成立，则x-l>00兀一3<0•••原不等式的解集为{x|l0）为所求轨迹上任意一点，并且。P与y轴相切于M点,与OC相切于N点。根据已知条件得|CP|=|PM|+3,即』（x_3）22=兀+3.化简得/=12x（x>0）.错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以兀轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y=0（_x>0JELyh3）也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是\ny2=\2x（兀>0）禾口y=0（%>0月*工3）。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。①防止以偏概全的错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。例7设等比数列｛①｝的全料项和为S”.若S3+S6=2Sg,求数列的公比g・错误解法・••S3+56=2S9,.4（1一/）|®（l—q&）=24（1—/）\-q\-q\-q整理得，（2§6_§3一1）=0.由qHO得方程2q6_g3_l=0・（2q3+l）（g3—［）=0,V4十|/.q=或q=\2错误分析在错解中，由。|（1一/）+少（1一9&）=2宀（1一/）\-q\-q\-q整理得q\2q&-q3-1）=0.时，应有®工0和q^\.在等比数列中，纠工0是显然的，但公比g完全可能为1,因此，在解题时应先讨论公比q=l的情况，再在qHl的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若q=\,则有S3—36/）,S6—6a｝,Sg—.所以但diH0,即得S3+S6H2S9,与题设矛盾，故qH1・又依题意S3+S&=2S9,可得%(i—q‘)1d](i—q&)cd](i—g‘)+=2-\-q]_q]_q整理得q3(2q6一，一1)=0.即(2b+1府-1)=0,因为gHl,所以b-lHO,所以2/+1=().说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分\n标准而痛失2分。①避免直观代替论证我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理,这就会使思维出现不严密现象。例8(如图3—2—2),具有公共y轴的两个直角坐标平面q和0所成的二面角a-y轴一0等于60。.已知0内的曲线C'的方程是y2=2px,(p>0)9求曲线C'在q内的射影的曲线方程。错误解法依题意，可知曲线C'是抛物线,在0内的焦点坐标是F'(£,0),p>0.2因为二面角&_丿轴一0等于60。，且#轴丄y轴，x轴丄y轴,所以/-xox'=60°.设焦点F在Q内的射影是F(Jt,y),那么，F位于兀轴上,从而y=0,ZFOF=6(T,乙FFO=9(P,所以OF=OFfcos60°=^丄=£.所以点F(£,0)是所求射影的焦点。依题意,射影是一条抛物线，开2244口向右，顶点在原点。所以曲线C'在q内的射影的曲线方程是y2=px错误分析上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点,其次，未经证明默认C'在a内的射影(曲线)是你抛物线。正确解法在0内，设点是曲线上任意一点(如图3-2-3)过点M作MN丄a,垂足为N,过N作册丄y轴，垂足为连接则丄y轴。所以ZMHN是二面角Q—y轴一0的平面角，依题意，ZMHN=60°.在RtAMNH^HN=HMcos60°=丄兀'・2又知HMIIX1轴(或M与0重合),HN//x轴(或H与0重合),设N(x,y),1,x=—x2y=yxr=2xy'=y.\n因为点M(x\yr)在曲线b=2px'(p>0)上，所以尸=2p(2x).即所求射影的方程为y2=4/?Xp>0)・(3)推理的训练数学推理是由已知的数学命题得岀新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推理严密。例9设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率e=—f已知点P(0,-)到这个椭圆上的最远22距离是"，求这个椭圆的方程。错误解法依题意可设椭圆方程为(a>b>0)b23a2~4b21所以二=丄，即a=2b.a-4设椭圆上的点(兀,y)到点P的距离为d,则=〒+(色)2“28y2°9=a_(l_^y)+y_3y+：b~4=-3(y+—)2+4方2+3.2所以当y=_丄时，有最大值，从而〃也有最大值。2所以4/^+3=(77)2,由此解得：=1^2=4于是所求椭圆的方程为—+^2=1.3•错解分析尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当y丄时，沪有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y到的取值范围。事实上，由于点(圮刃在椭圆上，所以<-b2V2+2a/8-1=-1+6a/2.7Q错误分析在解法1中，y=16的充要条件是丄—V且Isin2x|=l.sin*xcos*"xHp|tgx|=—K|sinx|=l.这是自相矛盾的。.・.ymin工16.2在解法2中，＞=-1+672的充要条件是一=sin2兀且一=cos2x,HPsin2x=V2,cos2x=2^2,这是不可能的。sinxcosx正确解法1y=2csc2x+8sec2x=2(1+ctg2x)+8(1+tg2x)=10+2(ctg2x+4tg2x)>10+2-2yjctg2x-4tg2x=18.其中，当ctg2x=4tg2x,即ctg2x=2H^j*,y=l8./.ymin=18.正确解法2取正常数R,易得y=(—W——Zrsin2x)+(———kcos2x)-ksinxcos"x\2•殛+2•懈-k=6•莎-k.其中取“=”的充要条件是—\—=Z:sin2兀且一—=Z:cos2x,=丄口R=1&sinxcos“x2因此，当tg2x=丄时，y=6-41k-k=\&.・.儿曲=18.2\n第四讲数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想岀多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在：(1)一题的多种解法例如已知复数Z满足IZ1=1,求Iz-ZI的最大值。我们可以考虑用下面几种方法来解决：①运用复数的代数形式；②运用复数的三角形式；③运用复数的几何意义；④运用复数模的性质(三角不等式)IIzj-lz2\^zx-z2Hzj+|z2|;⑤运用复数的模与共辄复数的关系|z|2=z-z;⑥(数形结合)运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆|z|=l与\z-i\=r有公共点时，厂的最大值。(2)一题的多种解释例如，函数式y=丄a/可以有以下几种解释：2①可以看成自由落体公式s=^gt2.②可以看成动能公式E=丄加汽2③可以看成热量公式Q=-RI\2又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：logna.-,sin2x+cos2x,(logab)•(logba),sec2x-tg2x,等等。x1.思维训练实例\nW1已知q2+Q2=1,〒+歹2=]求证：宓+byWl.分析1用比较法。本题只要证\-（ax+by）>Q.为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。证法1•/1-{ax+by)=丄(1+1)-(处+勿)=—(a2+/?2+x2+y2)-(axby)=*[(/-2«x+x2)+(/?2-2by+y2)]=h(6/-x)2+0-y)2]>O,所以ax-\-by<1.分析2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆,••••并注意书写规范。证法2要证ax-\-by<1.只需证l-(dx+by)'0,即2-2(ax+by)>0,因为a2+b2=1,+y2=1.所以只需证(a2+庆+x24-y2)-2(ax+by)>0,即（a—兀尸+少一y）2>o.因为最后的不等式成立,且步步可逆。所以原不等式成立。分析3运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法3axz成等差数列。分析2由于已知条件具有无-y,y-z,z-x轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。彳正法2y=a,y-z=b.贝兀一z=d+方.于是，已知条件可化为：(q+b)2_4ab=()=>(d-/?)2=0=>a=b^>x-y=y-z.所以兀、y、z成等差数列。分析3已知条件呈现二次方程判别式△-4ac的结构特点引人注目,提供了构造一个适合上述\n咼考条件的二次方程的求解的试探的机会。证法3当兀一y=0时，由已知条件知z-x=0,/.x=y=z,即兀、y、z成等差数列。当兀一y工0时，关于f的一元二次方程：(无一刃尸+(z-x)t+(y-z)=0,其判别式△=(z-x)2一4(兀一y)(y—z)=0,故方程有等根，显然f=1为方程的一个根，从而方程的两根均为1,由韦达定理知•r2=-~=l=>x-y=y-z.即x、y、z成等差数列。简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。例3已知％+歹=1,求x2+^2的最小值。分析1虽然所求函数的结构式具有两个字母兀、)，，但已知条件恰有兀、y的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。解法1•/x+y=1,二y=1-xi^z=x2+y2,贝']z=x24-(1—x)2=2x2—2x+1.•・•二次项系数为2>0,故z有最小值。-21.4x2x1-(—2尸1x==—吋，z昴小佶==_.2x22故小值4x22x2+b的最小值为丄.•2分析2已知的一次式兀+y=1两边平方后与所求的二次式x2+y2有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法2x+y=\,:.(x+y)2=1,即x1+y2=1-2xy.・.・2xyl-(x2+y2).即x2+y2>丄，当且仅当x=y=丄时取等号。%2+y2的最小值为丄.222分析3配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法3设Z=F+y2.・.•x+y=1,z=x2+y2-x-y+1=(x-—)2+(y——)2.\n・•.当X二y=丄时，z辰小=丄・即兀2+歹2的最小值为丄.222解法4如图4一2—2,兀+y=1表示直线/,+y2分析4因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。表示原点到直线/上的点P(x,y)的距离的平方。显然其中以原点到直线/的距离最短。此时，dJ°冷T［丰,即(J*+y2九小所以F+b的最小值为一.2注如果设F+y2=z,则问题还可转化为直线x+y=1与圆x1+y2=z有交点时，半径J7的最小值。简评几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4,形象直观，值得效仿。7例4设zg/?,——wR求证：|z|=l・1+z分析1由已知条件」〒为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个l+z~虚根的条件下，它们是一对共辄虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。证法1设」^=么(。丘/?),当d=o时，可得z=05zgR条件不合。1+z/.GH0.于是有CIZ1一Z+G=0・•・•z电R、该方程有一对共辄虚根，设为z,,z2,于是可=z2,|Z］卩斗z2|2・又由韦达定理知Zj•z2=—=1,:、Z］•臣1=z2-z2=|Zj|2=|z0|2=1.IZ|=1.a分析2由于实数的共辄复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到zz=|z|2这一重要性质，即可求岀|z|的值。z证法2设——=a(ae/?),当d=o时，可得z=o与z电R条件不合，/.a^0.1+z-贝H有a=va=a.:.斤.l+Z21+Z21+Z2即z(l+Z2)=z(l4-Z2)Z+Z(Z•z)=Z+Z(Z-Z).但Z•乞=|z|2,.•・z+z-lz|2=z+z-|z|2,/.(z-z)(l-1z|2)=0.而z-z^R,/.|z|2=1.即|z|=l・\n咼考分析3因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共辄复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。714-11证法3.•・丄二丘尺艮卩z+±=z+=・2wR.1+Z~ZZZ-Z从而必有zz=l.\z\=i.简评设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。例5由圆x2+/=9外一点P(5,l2)引圆的割线交圆于A、B两点，求弦4B的中点M的轨迹方程。分析1(直接法)根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法1如图4一2—3,设弦AB的中点M的坐标为M(x.y),连接OP、OM,则0M丄AB,在\OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有兀2+y2+(兀_5尸+(y_12)2=169整理，得兀2+才一5兀一12歹=0.其中一30,当且仅当方程①有两个不相等的实数根=0,当且仅当方程①有两个相等的实数根；1<0,当且仅当方程②没有实数根。对于二次函数.y-ax2+bx+c(a#=0)②它的判别式△-b2-4ac具有以下性质：>0,当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；=0,当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；I<0,当且仅当拋物线②与x轴没有公共点。利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明味等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。五、分析法与综合法分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作用。在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件；综合法则是从题目的已知条件岀发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。六、数学模型法数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法。利用数学模型法解答实际问题(包括数学应用题)，一般要做好三方面的工作：(1)建模。根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象方法。建模的具体过程，大体包括以下几个步骤：1。考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量,哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统。2°分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体要求岀发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系。3°进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。(2)推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。(3)评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，\n咼考形成最终的解答。七.试验法解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时,要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。八、分类法分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。用分类法解题，大体包含以下几个步骤：第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A；第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集人，A•••A•八29八”第三步：在子集片，A2,-An内逐类讨论；第四步：综合子集内的解答，归纳结论。以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。九、数形结合法数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。十、反证法与同一法反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。反证法的解题步骤：\n第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。十一*同一法互逆的两个命题未必等效。但是，当一个命题条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几个步骤：第一步：作出符合命题结论的图形。第二步：证明所作图形符合已知条件。第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。第四步：断定原命题的真实性。三、《高考数学解题专项训练》《选择题)(-)数学选择题的解题思路要想确保在有限的时间内，对10多条选择题作出有效的抉择，明晰解题思路是十分必要的。一般说来，数学选择题有着特定的解题思路，具体概括如下：仁仔细审题，吃透题意审题是正确解题的前题条件，通过审题，可以掌握用于解题的第一手资料一一已知条件，弄清题目要求。审题的第一个关键在于：将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中整理。凡在题中出现的概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点，也是我们在解选择题时首先需要回忆的对象。审题的第二个关键在于：发现题材中的“机关”题目中的一些隐含条件，往往是该题“价值”之所在，也是我们失分的“隐患”。除此而外，审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍。2.反复析题，去伪存真析题就是剖析题意。在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，从而为正确解题寻得路径。因此，析题的过程就是根据题意，联系知识，形成思路的过程。由于选择题具有相近、相关的特点，有时“真作假时假亦真”，对于一些似是而非的选项，我们可以结合题目，将选项逐一比较，用一些“虚拟式”的“如果”，加以分析与验证，从而提高解题的正确率。3＞抓往关键，全面分析在解题过程中，通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的，从关键处入手，找突破口，联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化难为易，化繁为简，从而解出正确的\n答案。4、反复检查，认真核对在审题、析题的过程中，由于思考问题不全面，往往会导致“失根”、“增根”等错误，因而，反复地检查，认真地进行核对，也是解选择题必不可少的步骤之一。(二》数学选择题的解题方法当然，仅仅有思路还是不够的，“解题思路”在某种程度上来说，属于理论上的“定性”，要想解具体的题目，还得有科学、合理、简便的方法。有关选择题的解法的研究，可谓是仁者见仁，智者见智。其中不乏真知灼见，现选择部分实用性较强的方法，供参考：1、直接法有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法。2、筛选法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，找到符合题意的正确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。3、特殊值法有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。4、验证法通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。5、图象法在解答选择题的过程中，可先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。6、试探法对于综合性较强、选择对象比较多的试题，要想条理清楚，可以根据题意建立一个几何模型、代数构造，然后通过试探法来选择，并注意灵活地运用上述多种方法。《三〉数学经典选择题点评1、同时满足①M^{1,2,3,4,5};②若圧M,贝的非空集合〃有(C)。(S)16个(B)15个(C)7个(0)8个点评：着重理解“丘”的意义，对M中元素的情况进行讨论，一定要强调如果“日在M中，那么(6-日)也在於中”这一特点，分别讨论“一个、两个、三个、四个、五个元素”等几种情况，得出相应结论。2、函数尸f3是/?上的增函数，则尹Q0是f(m)+f(b)>f(p)+f(-4的(C)条件。(力)充分不必要(3)必要不充分(Q)充要(Q)不充分不必要点评：由可知，a>-b,b>-a,又y二f(x)在R上为增函数，故f(a)>f(b),f(b)>f(-a),反过来，由增函数的概念也可推出，a^b>(-日)+(-»。3、函数g(x)二,,若日工0且aWR,则下列点一定在函数尸g(x)的图象上的是(Q)。<2A-12丿(力)(一日，一g(-日))(3)(日，g{-a))(C)(a,一g(m))(0)(-日，一g(日))\n咼考点评：本题从函数的奇偶性入手，先看括号内函数的奇偶性为奇函数，得到该复合函数为奇函数，再根据g（-“）二-g（x）,取x=a和x二a加以验证。211?4、数列｛/｝满足aFl,aF-,i—+—=—SN2),则/等于(力)。3an-\勺+i°”（力）2(3)(-)^12(C)(兰)“(0)2”+133n+2点评：先代入求得越的值，再对照给出的选择支，用验证法即可得出结论。5、由1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{/},其中％等于（0）o（力）1243（3）3421（C）4123（Q）3412点评：先写出以1开头、2开头、3开头的各6个数，再按由小到大顺序排列。6、若limn->oo44a++、1-a1-a+也二］二9,则实数日等于（0）。①1⑺冷⑸冷点评：通过观察可知avl（如a>l,则数值为负），且求和的各项成等比，因此可以运用无穷递缩等比数列求和公式（其中q=a,aj=4）。7、已知圆锥内有一个内接圆柱，若圆柱的侧面积最大，则此圆柱的上底面将已知圆锥的体积分成小、大两部分的比是（Q）。（力）1:1（3）1:2（Q）1:8（0）1:7点评：通过平面展开图，达到“降维”之目的，促使立体图形平面化，再在相似等腰三角形中，求得小、大三角形的高的比为1:2,由此可见，小的与全体体积之比为1：8,从而得出小、大两部分之比（特别提醒：小、大之比并非高之比的立方）。8、下列命题中，正确的是（Q）。（力）y^arccosx是偶函数（3）arcsin（sinx）-x,xWR（C）sin（arcsin—）=—33点评：反三角函数的概念、（P）若一1〈*0,贝卜兰〈"csinx〈O2公式的理解与运用。注意：arccos（-x）二flxr（当一兀4)m^n(B)ni^n(C)m>n(P)mWn点评：由题意可知丄、n=-(b-1)2+—o13212、正方体ABCD~A、B\C\D\中，矿是异面直线力。4〃的公垂线，则矿和30的关系是(3)。(力)垂直(3)平行(Q)异面(Q)相交但不垂直点评：理解公垂线的概念，通过平行作图可知。13、直线4"6广9二0夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是/,则/的方程是(3)。(力)24x-16yH5二0(3)24厂16广15二0(C)24卅16yH5二0(Q)24卅16y15二0点评：通过两线垂直与斜率的关系，以及中点坐标公式。14、函数f(x)二logdQH-*)在”W［2,4］上是增函数，则m的取值范围是(力)。(力)a>\(B)日>0且a=#1(Q)0b(3)abdQ(C)a4)/7//a(3)门//a或a(C)门ua或门不平行于a(Q)门ua点评：画草图，运用线面垂直的有关知识。19、若乙,z2^C,|zi|=|z2|=1且arg(zj二150°,arg(z2)=300°,那么arg(zi+z2)为(3)。(力)450°(3)225°(C)150°(0)45°点评：旋转与辐角主值的概念。20、已知m、b、c成等比数列，a、x、b和b、y.c都成等差数列，且矽工0,那么-的值为(3)。兀y(力)1(3)2(C)3(P)4点评：运用等比、差中项概念，通分求解。\n21、如果在区间［1,3］上，函数f(X)二,与g(x)二対亠在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对的是(C)O••(力)f(x)^3(xe[1,2])(3)f(x)W4(xe[1,2])(C)f(x)在”W[1,2]上单调递增(Q)f(x)在2]上是减函数点评：通过最值定理、二次函数的对称轴与最值等求出p、q,再行分析。22、在(2+V3)100展开式中，有理数的项共有(D)。(力)4项(3)6项(025项(0)26项点评：借助二项式展开的通项公式来分析。23、在正四棱柱ABCD-A^CA中，〃为力Q中点，0为侧面AA^B的中心，P为侧棱％上任意一点，那么异面直线0P5甸/所成的角是(力)。(S)90°(3)60°(C)45°(Q)30°点评：运用平行和垂直的有关知识。£24、等比数列匕]的公比水0,前门项和为S”，丁亠,则有(力)。an(S)T\5(3)w(C)TV(Q)大小不定点评：7；=1,用等比数列前n项和公式求7；25、设集合»=0,集合8=｛0｝,则下列关系中正确的是(C)(力)A=B(3)AgB(C)AuB(P)A^B点评：主要考核空集的概念、以及集合与集合的关系。26、已知直线/过点M(-1,0),并且斜率为1,则直线/的方程是(B)(A)x+y+1=0(3)x-y+1=0(C)x+y-1=0(Q)x-y-1=0点评：直线方程的点斜式。7T27、已知a-3=-,tga=3m,tg0二3一：则刃的值是(D)。6(力)2(3)—丄(C)-2(Z?)丄22点评：通过tanatar)0二1,以及tan(a—0)的公式进行求解。28、已知集合力=｛整数｝,3=｛非负整数｝,f是从集合力到集合B的映射，且f:xty=x(xG/l,yWB),那么在f的作用下象是4的原象是(D)(力)16(3)±16(Q)2(D)±2点评：主要考核象和原象的概念。1q1a29、有不等式①cos-0和tgx>0同时成立的角x的集合是(D)。(力){x|0与函数尸sin(arcsinx)的图象相同的的是(Q)。(力)尸x(3)尸arcsin(sinx)(C)j^arccos(cosx)(Z?)j^cos(arccosx)点评：考虑函数的定义域与值域。48、方程coswlgx的实根的个数是(C)。（力）1个（3）2个（03个（Q）4个点评：用图象法解题。\n49、一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（C）。（力）-2（B）-3（C）-4（P）-5点评：分析前6项为正，第7项起为负数。列出不等式解题。50、已知复数n满足|2z-/|=2,则|z+2/|的最小值是（3）。（/I）丄（3）-（C）1（Q）222点评：数形结合，通过图象解题。51、正三棱锥的侧棱长和底面边长比值的取值范围是（Q）。（力）[―,+oo]（刃（匣，+oo）66（C）[匣，+oo]（P）（旦,+oo）23点评：画图形，侧棱应比底边三角形的外接圆的半径大。2252、已知椭圆二+斗=1（*6>0）的离心率等于色，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转兀a2b252后，所得的新椭圆的一条准线的方程,则原来的椭圆方程是（C）。3?9?92997（力）二+工=1（3）二+工=12）乞+二=13）二+二=112948100642516169点评：旋转的过程中，焦点到准线的距离没有变，先找焦点。53、直线x—p—1二0与实轴在p轴上的双曲线x—y-m（刃工0）的交点在以原点为中心，边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部，则刃的取值范围是（Q）。（S）00）,那么厶的方程是（A）o（力）bx+ay+c=0（3）ax—by-\-c-0（C）bx-\-ay—c-0（D）bx—ay-\-c-0点评：联系反函数的概念。255、函数F（x）二+（x）（x=#0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（力）。2'—1（力）是奇函数（3）是偶函数（Q）可能是奇函数，也可能是偶函数（Q）非奇、非偶函数2点评：先讨论y二（1+^^）的奇偶性，再结合题目中的已知内容分析。T-1X_-X56、函数尸的反函数（C）。2（力）是奇函数，它在（0,+8）上是减函数(3)是偶函数，它在(0,+8)上是减函数\n(C)是奇函数，它在(0,+8)上是增函数(Z?)是偶函数，它在(0,+oo)上是增函数点评：先对给出函数进行分析，再运用反函数的概念解题。57、若彳b是任意实数，且日>6,则(Z?)。(S)48(3)-<1(C)lg(m—Q>0(Q)(-)X(-)6a22点评：运用平方数、分数、对数、指数函数的概念进行分析。58、若Iog2b>}(D)Z?>a>1点评：先确定对数符号(即真数和底数与1的关系一致时(同时大于或同时小于)，为正，不一致时,为负。)再用换底公式。59、已知等差数列{列的公差〃工0,且日，a3,/成等比数列，则山+如+均的值是(c)。^2++°10151213is(力)—(B)—(C)—(Q)—14131616点评：先求创和公比的关系，再化简。60>如果a,3E(―,n),且tga—22点评：先用诱导公式化成同名函数，再借助函数图象解题。61、已知集合|cos02(3)K-4(C)Q2或K-4(Q)-40,彳创+2越日5+2日6二25,那么越+日5的值为(力)。(S)5(3)10(C)15(0)20点评：用等比的性质：若数列为等比数列，m+m二k+l时，aman=日。70、设②Z?是满足力<0的实数，那么(B)o(力)|a+b\>\a—b\(3)|a+b\<\a—b\(6*)|a~b\<\|a|—|Z?||(P)|a—Z?|<|a|+|Z?|点评：从符号出发，取特殊值代入。71、如果4X0且BC<0,那么直线Ax+By+C^0不通过(C)。(力)第一象限(3)第二象限(Q)第三象限(D)第四象限点评：分析符号，找斜率和截距。亠.小fA：=^sin2(r+3…宀山z、72、直线彳的倾斜角是(C)。[y=-zcos20°(力)20°(3)70°(Q)110°(Q)160°点评：化参数方程为普通方程。73、函数产sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(Q)。(力)V2(3)V3(^)1+V2(0)丄+血2点评：用倍角公式和(sinx+cosx)的公式。74、函数尸0・2”+1的反函数是(C)。(A)y=log5x+1(3)尸log^+l(C)y^—log5(x—1)(Q)y^—Iog5x—1点评：反函数的定义，结合定义域、值域的变换情况进行讨论。\n75、设a、B都是第二象限的角，若sina>sin3,贝U(C)。（A）tga>tg0（5）ctgacos0（P）seca>sec0点评：结合特殊值，找出a、|3在［0,2n］上的大小关系。76、下列命题：①函数尸tgx是增函数；②函数j^sinx在第一象限是增函数；③函数尸3sin（2x+52Tt8）的图象关于P轴对称的充要条件是e二土hr+王，kwz；④若角a是第二象限的角，则角2a—定是210第四象限的角。其中正确命题的个数是（力）。（如0个（3）1个（02个（0）3个点评：紧扣定义，逐个分析。77、在中，是cos2B>cos2C的（力）。（力）非充分非必要条件（3）充分非必要条件（C）必要非充分条件（Q）充要条件点评：分若三种情况，取特殊值验证。78、若0lgx},则MQP=(3)。(力){2}(B){-1}(C)U|xW—1}(P)0点评：先用筛选法，再用验证法。96、已知函数f(x)二W—3+2)(日>0,a=#1)的图象不在二、四象限，则实数②b的取值范围是(力)。(A)a>1,6=-1(3)01,b=-2(Q)0—22点评：用诱导公式，取特殊值。99、函数尸sinxcosx+V3cos2%—乎的最小正周期等于(八。(力)n(B)2口(C)-(0)-32点评：先用倍角公式降次，合并，再用周期公式。100、函数ctgx,xE(0,口)的反函数为(3)。兀兀(S)尸一一arctgx(ff)/=—+arctgx22\n(C)产口一arctgx(P)产口+arctgx点评：运用反三角函数的值域进行分析。101、设②Z?是满足力<0的实数，那么(B)o(彳)|a+b\>\a—b\(5)|a+b\<\a~b\(Q)|日一b|〈|—|(P)|a—Z?|>|a|+|Z?|点评：特殊值法。102、设m,b,cWF,则三个数吕+丄，b+-fc+丄(Z?)。bca(力)都不大于2(3)都不小于2(C)至少有一个不大于2(Q)至少有一个不小于2点评：反证法。103、若一数列的前四项依次是2,0,2,0,则下列式子中，不能作为它的通项公式的是(0)。(力)箱1-(-1)°(3)/二1+(—1)”+1nn(C)/=2si『2(P)3,p(1—COS/7FI)+(/7—1)(/7—2)点评：验证法。104、复数zf-2+z的辐角主值为禹，复数z2=-1-3/辐角主值为02,则9,+02等于(Q)。(如1(3)互(C)虫(Q)—4464点评：辐角主值的概念。105、平行六面体ABCD—A'BGD、的体积为30,则四面体AB、CD\的体积是(C)。(力)15(3)7.5(C)10(Q)6点评：体积公式。106、不论k为何实数，直线(2A-1)x-(A+3)y-(A-11)=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是(B)。(力)(5,2)(B)(2,3)(Q)(5,9)(P)(-|,3)点评：对原式进行变形。107、方程0与方程2ax+2Z?y+c+1=0表示两条平行直线的充要条件是(Q)。(力)ab>0,c#=1(B)c#=1(C)/+/工o,©知(Q)壬竝二2点评：两直线平行的充要条件。108、与三条直线尸0,尸x+2,尸一“+4都相切的圆的圆心是(C)。(A)(1,2^3+2)(3)(1,3血一3)(C)(1,372-3)(P)(1,一3"-3)点评：用点到直线的距离公式进行验证。109、焦距是10,虚轴长是8,过点(3V2,4)的双曲线的标准方程是(力)。\n(力)—-^-=1(5)=1(C)—816916366422(0)丄亠13664点评：运用概念进行验证。110、函数尸Iog3(,+x—2)的定义域是(Q)。(力)[-2,1](3)(-2,1)(C)(一8,-2)U(1,+oo)(°)(-oo,-2)U[1,+oo]点评：解不等式。门1、若logA7>logA7>0,则(力)m>n>\(3)ri>m>\点评：先用对数符号的确定，112、函数尸sin(cox)cos(cox)(力)4(3)2(C)丄2m,/7的大小关系是(C)o(C)0〈水水1(Q)0〈水水1再用换底公式。(o)>0)的最小正周期是4口，则常数co为(Q)。(Q)-4点评：先用倍角公式，再用周期公式。113、若(1—2x)7=a0+x~\~a2x+a3x++昂>/,那么ai+a2+a3++g的值等于(力)。(力)-2(3)-1(Q)0(Q)2点评：取X=1O114.当冷20°，审25°时，(1+tg/l)(1+tg^的值是(3)。(S)V3(B)21+V2(Q)2+V3点评：公式变形。门5、满足|z+25/|^15的辐角主值最小的复数n是(C)。(力)10/(3)25/(C)-12-16/(Q)12+16/点评：画圆找切线。116.圆x+y=1±的点到直线3x+4p—25二0的距离的最小值是(3)。(力)6(3)4(C)5(0)1点评：点到直线距离减半径。117.函数j^cos(--2%)的单调递减区间是3(3)(力)[2/cn2/rn+-],kWZ26(P)(0)[2/cn+-,2/cn+—],kWZ63点评：图象法。[Zrn+—,斤口+却*],kWZ63[Zrn——,Zrn+—],kWZ36118.已知彳6是两个不等的正数，色Q+丄)3+丄)，沪(位+亠)：住+二―尸abJab2a+b数值最大的一个是(力)。\n(力)P(B)Q(£?)R(D)与a,b的值有关\n点评：特殊值验证法。116.关于x的方程J1—宀心+2有唯一解，则实数斤的取值范围是(Q)。(力)k=±V3(g)k<-2或k>2(C)-22或k=±^3点评：分析圆和直线相切的情况。120、满足｛1,2｝匸疋｛1,2,3,4,｝的集合厂的个数是(0)。(如1(B)2(C)3(P)4点评：从组合的角度分析题目。121、若函数y=f3的定义域是(0,2),则函数y=f(-2%)的定义域是(3)。(力)(0,2)(3)(-1,0)(Q)(-4,0)(Q)(0,4)点评：理解“定义域”的内涵。122、已知f(V7)=Igx,那么f(2)等于(B)o(S)Ig2(B)-Ig2(C)门Ig2(0)2"lg2n点评：指数与对数互化。123、已知0Iog„a(B)a>a(C)a-a>09则函数F(x)=f3+f(—力的定义域是(C)。(M)[日，b\(3)[―Z?,—a\(C)[a,—a\(Q)[—Z?,b\点评：函数奇偶性的前提条件以及公共区域的有关知识。127、“Iog3*=2”是“Iog3*=1”成立的(5)o(力)充要条件(3)必要而不充分条件(C)充分而不必要条件(Q)既不充分也不必要条件点评：对数的真数要为正。128、设彳bWR,则不等式Qb,丄〉丄同时成立的充分必要条件是(B)。cib(力)日>6>0或Ka<0(3)a>0,KO(C)Ka<0(0)04)M=a~\~b,m=2ab(B)M=a-\~lj,m=24oh(Q)M=a+b,m=2yjob(Q)M=a+t^fm=2ab点评：特殊值法。131.设\g2x-\gx-2=0的两根是Q、3,则logaB+log^a等于(0)。(力)1(3)-2(C)3(Q)-4点评：换底公式与韦达定理。132、若y=f(x)是周期为£的函数，则y=f(2x+1)是(C)。(力)周期为才的周期函数(3)周期为2才的周期函数(C)周期为丄的周期函数(Q)不是周期函数2点评：紧扣周期函数的概念。133>已知y=f(x)为偶函数，定义域是(一°°,+°°),它在[0,+°°)上是减函数，那么m=f(―—)2与n=f(a2—a+1)laWR)的大小关系是(3)。(>4)m>n(B)ni^n(C)mCn(P)mWn点评：配方以及偶函数在不同区间上的增减性不同。134、给关于x的不等式2x+ax0时，一**纟；②当日>0时，一2-已知f(x)=2\x\+3,g(x)=4x—5,f[q(x)]=g(x),则q(3)的值是(B)。(S)2(B)±2(C)-2(P)不能确定点评：结合内外层函数的知识，运用代入法。137>如果log2[log](Iog2“)]=logstlogj(Iog3y)]=Iog5[Iog,(log5z)]=0,则有(A)。235(力)z1(B)(C)Ig9•Ig11<1(0)点评：lg10•lg10=1140、方程|x|2-3|x|+2=0(力)4个(3)3个Ig9•Ig11=1不能确定(xWQ的根有(力)，(C)2个(0)1个点评：先把|则作为一个整体，再分析。141.若｛/｝是等比数列，^=-512,越+/=124,且公比g是整数，则冇等于(C)。(力)256(B)-256(C)512(Q)-512点评：用等比数列的性质，求出g与曰。142、已知数列｛2/7-11｝,那么有最小值的S”是(5)o(如S(B)£(C)£(P)5,点评：先求最大非正项。143、若Q0且a#=1,/^log/a+D,Z?=log,(a2+1),则只0的大小关系是(力)。(力)P>0(3)p0的解集是（3）。（彳）{灯*上逓或*>1±回}（召）R（C）0（°）以上都不对22点评：。因为x-x+]=（x-1/2）命3/4,所以无论x取何值，不等式均成立153、若复数1+2/的辐角主值为a,3-4/的辐角主值为B,则2a-3的值为（3）。（力）一兰（刃一口（O兀（°）n22点评：求1+2/的平方除3-4i所得复数的辐角主值。154、已知方程,+（*+2/）x+2+"=0至少有一个实根，那么实数斤的取值范围是（Q）。（力）k》2近U2忑（3）一2迈WkW2逅（C）k=±2迈（0）k=2迈点评：运用复数相等的定义解题。155、已知集合P={x\（x—1）（x—4）N0},Q=[n\（门+1）（门一5）W0,门WM与集合S,且50/^={1,4},snQ=S9那么集合S的元素的个数是（C）。（力）2个（3）2个或4个（0）2个或3个或4个（0）无穷多个点评：从自然数的角度分析。156、有四位司机，四位售票员分配到四辆公共汽车上，使每辆车分别有一位司机和一名售票员，则可能的分配方案数是（C）。（力）用（B）戌9P：P：（0）用点评：分步实施。157、有4个学生和3名教师排成一行照相，规定两端不排教师，那么排法的种数是（Q）。（S）P；（B）P：P；（C）厅尺（Q）p；p；点评：定位排列。158、在1,2,3,4,9中任取两个数分别作对数的底和真数，可得不同的对数值的个数是（力）。（力）9（3）12（C）16（0）20点评：1不能为底，注意2、4；3、9!159、下列等式中，不正确的是（B）。pm（力）（/7+1）P：=代T（8）C：=亠nl\n(C)=(/7—2)!n(n-l)(仍点评：排列、组合数计算公式。160、在(1+2x-x2)4展开式中，/的系数是(力)。(力)-8(3)12(C)6(0)-12点评：二项展开式的通项公式。161、如果(1+x)'+(1+x)°+(1+x)5++(1+x)50=a0+S]x+a2x++a5oX50,那么越等于(C)。S2C,(B)氏(C)C；(Q)C；°点评：先从3、4、5……50个中分别取3,然后再求和。162、2労除以9的余数是(Q)。(S)0(B)1(C)-1(0)8点评：原式可化为2"=(9-1)33o163、如果(0,2n),函数p=Jsinx+J-tgr的定义域是(0)。(力)[x\0tga(3)ctg2a>ctga\n(C)cos2a>cosa(Z?)sec2a>seca\n点评：特殊值法，注意角的符号。S(2柿+却1),nwz169、画在同一坐标系内的曲线y=sinx与y=cosx的交点坐标是(C)。(3)(nn+—,(_1)0,nWZ2SE+于，乎)，用Z点评：用图象法解题。170>若sina+cosa=V2,则tga+ctga的值是(3)。(力)1(3)2(C)-1(Q)-2点评：特殊值法。(P)b1)c2r,〃是底面圆周上任意一点，从〃拉一条绳子绕侧面转一周再回到饥那么这条绳子的最短长度是（C）。（力）2nr（3）2/（C）2/sin—（P）/cos—//点评：用平面展开图。190、a、0是互不重合的两个平面，在a内取5个点，在0内取4个点，这些点最多能确定的平面个数是（3）。（力）142（3）72（C）70（D）66点评：先不分条件进行组合，然后去除不符合条件的。191、圆台的轴截面面积是0,母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是（Q）。（彳）Q（刃旦q（c）Lq（°）邑Q2222点评：利用轴截面求圆台的高。192、直线--^-=-1在y轴上的截矩是（3）。23（力）2（3）3（C）-2（Q）-3点评：化成直线方程的一般式。193、各点坐标为力⑴1）、5（-1,1）.^（-1,一1）、27（1,-1）,则“点P在y轴”是“乙APD=乙BPC”的（A）o（力）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（0）充要条件（Q）不充分也不必要条件点评：利用四点共圆的有关知识。194、函数y=1—\x—x\的图象大致是（C）。点评：区间分析法或特殊值法。195>若直线p=x+Z?和半圆y=71-JV2有两个不同的交点,则b的取值范围是（Q）。(力)(-V2,V2)(3)[-V2,V2](C)(-oo,-72)U[V2,+oo](°)[1,V2]点评：图象法。196、已知函数y=ax+b和y=/+bx+c（日#=0）,则它们的图象可能是（3）。\n点评：从对称轴、顶点、截距等方面考虑。197、函数y=2sin（arccosx）的图象是（3）。（力）椭圆（0）半椭圆（C）圆（0）直线点评：先对三角关系式进行变形。198、点力（十，2》关于直线x+p=O的对称点的坐标是（Q）。（力）（t,-20（3）（—十，20（C）（2：-t）（Q）（—2：-t）点评：利用关于x+p=O的对称点的特点。199、已知两圆的方程x+y=4和x+y-6x+8y-24=0,则此两圆的位置关系是（Q）。（力）外离（3）外切（C）相交（Q）内切点评：找圆心和半径，用两点间距离公式，注意内切的情况。200、圆的一条直径的两个端点分别是（2,0）和（2,-2）,则此圆的方程是（力）。（力）x+y—4x4-2y+4=0（B）x+y—4x—2y—4=0（C）x+y-4x+2y-4=0（0）x+y+4x+2y+4=0点评：先考虑半径和圆心。201、双曲线9y-x-2x-10=0的渐近线方程是（Q）。（A）y=±3（x+1）（3）y=±3（x-1）（Q）y=±—（x+1）（Q）y=±—（x—1）33点评：先化成标准形式，再将1换成0,找渐近线。22202、设F是椭圆亠+斗=1的右焦点，P（x,y）是椭圆上一点，贝等于（Q）。a~b~（力）ex+a（3）ex—a（C）ax—e（D）a—ex点评：椭圆的定义：1、到两定点距离之和等于定值（大于两定点之和）的点的轨迹；2、到定点和定直线（交替）距离之比等于定值（小于1）的点的轨迹。203、已知M=｛（x,y）|y^x],N=｛（x,y）|x+（y—a）2^1｝,那么使MEN=N嵐立的充要条件是（力）。（力）（B）a=-（C）00）的位置关系是（D）。（力）恒相切（B）恒相交（C）恒相离（Q）相切或相离点评：根的判别式法。206、曲线y=—^X-x1与曲线y+\ax\=0laWR）的交点个数一定是（力）。（力）2个（3）4个（00个（Q）与日的取值有关点评：取特殊值法。22\n207、若F（c,0）是椭圆二+£=1的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为饥最小值为％则椭圆cr\n上与F点的距离等于字的点的坐标是,）。(力)(C,±—)(3)(-C,±—)(C)(0,±6)(Q)不存在点评：先考虑M+m=aa2a,然后用验证法。208、顶点在点（1,3）,焦点与顶点的距离为丄，准线平行于p轴，开口向右的抛物线的方程是（Q）。8⑷y-3=|u-D^(8)U-1)^|(y-3)S7（C）（y-3）2=-（x-1）（0）x-1=-（y-3）245点评：坐标平移的有关知识。209、如果抛物线y—/77x—2y+4/77+1=0的准线与取曲线x2—3y=12的左准线重合，则刃的值为（>4）。（力）28（3）14（C）-2（Q）4点评：先求准线，再求焦点。210、已知方程+=12-mm一1的图象是双曲线，则刃的取值范围是（Q）。（力）水1（B）m>2（C）12点评：双曲线的定义。211.在同一极坐标系中，点（p,6）与点（-p,一8）的位置关系是（Q）。（如关于极轴所在直线对称（3）关于极点对称212、极坐标系中,方程p=asinQ（日>0）的图形是（Q）。（0重合（〃）关于直线e专（p“对称点评：先定点，再考虑。点评：极坐标方程的化简。213、由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是（3）。（力）1（3）2（C）n（Q）4点评：先画图，后分析。214、若勿7<0,则方程刃"—my=n所表示的曲线是（Q）。（力）焦点在"轴上的等轴双曲线（Q圆（0焦点在卩轴上的等轴取曲线（Q）等轴取曲线，焦点位置依刃，门的符号而定点评：两边同除n,再找实轴。215、某林场原有森林木材存量为日，木材以每年25%的增长率增长，而每年冬天需砍伐木材量为”，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，且每年尽可能多提供木材，则x的最大值是（C）o(取/g2=0・3)z49(力)a196\n点评：找等量关系式，注意区分变量与定量。216、在复平面上，复数z满足吩（+）寻，则»6二zf的最大值是"）。（唁（Z?）与N的辐角有关点评：化求最大值为考虑最小值。217、将尸（加-1）兀+1的图象向下平移5个单位，向右平移5个单位后，与原函数的反函数的图象重x-m合，则m的值是（力）。（力）6（B）-2（C）5（Q）1点评：把握图象平移与变量的关系，结合反函数的求法解题。218、某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱子支撑，其中最长的柱子的高是（Q）。（力）1.48米（3）2.92米（C）3.84米（D）4米点评：在扇形中，解三角形。219、将一半径为/?的木球加工成一正方体木块，则木块的最大体积是（3）。点评：球内接正方体的体积，用轴截面的知识。220、要得到函数f（x）=cos（2x--）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（A）。4（如向右平移兰个单位8（C）向左平移冬个单位4点评：三角函数的图象平移。（B）向右平移兰个单位8（Q）向右平移兀个单位4221、无穷数列{丄sin—）的各项和为（C）。2"2（Q）不存在（力）丄（3）兰（Q）兰375则实数日的取值范围是（B）。点评：写出该数列的前n项。222、若极限lim{a-2a）n存在，(力)(1—V2,1+V2)(3)(1-V2,1)U(1,1+V2)（C）[1-V2,1]U（1,1+V2）（Q）[1-V2,1+V2]点评：解不等式Im'—2日|,卜于1。223、已知菱形的边长是1,ZDAB=60°,将这个菱形沿4?折成120°的二面角，则劭两点间的距离是（C）。3(C)-23(0)-4点评：用菱形性质和余弦定理。224、正三棱锥底面边长为日，侧棱与底面成60°角，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面在底面的射影面积为(C)。\n(力)3a(B)2a(C)(Q)—a164点评：先筛选，再验证。225、设有四个不同的红球、六个不同的白球，每次取出四个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，使得总分不小于5分，共有的取球方法数是(A)。(如(B)2C：+C：(C)C：+C：(D)3C：C：点评：分类、分步讨论。226、已知(1+2x)n的展开式中，所有项的系数之和等于6561,那么这个展开式中，的系数是(B)。(力)56(3)448(C)1120(Q)170点评：先求n,再用通项分式求解。227>常数c使sin(x+c)=cos(n+x)和tg(c—x)=—ctg(n—x)对于定义域内的一切实数x同时成立，则c的一个值为(B)。(力)-(3)--(Q)—口(Q)222点评：用验证法。228、设f(x)=x+1,那么f(x+1)关于直线x=2对称的曲线方程是(C)。(力)y=x—6(3)y=6+x(C)y=6~x(Q)y=—x—2点评：取特殊点。229、已知集合力={1,2,3,4,5},3={6,7,8},从力到3的映射f中，满足f(1)Wf(2)Wf(3)Wf(4)Wf(5)的映射有(C)。(力)27(3)9(C)21(P)12点评：对函数取值的情况进行讨论。230、若S”表示等差数列{/}的前门项和，已知$=18,S”=24,若乔4=30,则〃等于(A)。(力)15(3)16(C)17(Q)18点评：用通项、求和公式验证。231、现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同的方案，那么男、女生人数分别是(B)。(力)男生2人，女生6人(3)男生3人，女生5人(Q)男生5人，女生3人(Q)男生6人，女生2人点评：用验证法。232、已知集合A={x\,_3x+2=0},B={x\x~4ax+2=0]f若AUB=A,则由已的值组成的集合是(C)。(力){a\a=9}(B){a\a<8}(C)[a\a<8或a=9](Q)[a\0W*8或a=9]点评：要考虑B是空集的情况。233、函数y=|sin(——2x)+sin2x|的最小正周期是(B)。6(彳)1(g)1(c)n(Q)2n32点评：对绝对值符号内的式子进行变形或先不考虑绝对值，再减半。234、“ab<『是“不等式\a-b\^\a\+\b\的等号成立”的(A)。(力)充分条件(3)必要条件(C)充要条件(Q)不充分也不必要条件点评：后面不等式恒成立。\n235、用0,1,2,3,4这五个数字可组成没有重复数字且个位数字不是2的不同的五位偶数有(B)。(力)24个(B)42个(C)48个(0)60个点评：先定个位，再考虑首位。236、复平面内，向量丽对应的复数为一V3+/,将其绕原点逆时针旋转兰，再将模伸长2侖倍，得3到向量况，则况对应的复数是(B)。(力)-2^3/(3)-6-2^3/(C)-64-2^3/(Q)6-2^3/点评：将旋转与向量运算联系起来。237^设(1—V2x)10=a0+aix+a2x2++自其中越，自，a2f是常数，则(越+g++2—(□1+^3++日B,则sina设(1—3x)8=a0+aix+a2x2++a8x,那么|越|+|自|+|++I/I的值是(D)。\n咼考~~(/I)1(5)28({?)38(P)48点评：取X二-1O242、设(V3+/V是纯虚数，则门的可能值是(A)o(/I)15(B)16(C)17(P)18点评：化成复数的三角形式。243、能使点P(/77,77)与点0(/?+1,刃一1)成轴对称的位置关系的对称轴的方程是(C)O(力)x+y+1=0(3)x+y-1=o(C)x-y-1=0(0)x-y+1=0点评：垂直、中点代入验证。244、项数为2刃的等比数列，中间两项是方程^+px+q=O的两根，那么这个数列的所有项的积为(B)。(力)-mp(3)q(C)pq(P)不同于以上的答案点评：等比数列的性质。245、已知直线a,b,平面a,0,丫，以下四个条件中，①a丄丫，B丄Y；②a内有不共线的三点到0的距离相等；③吕ua,方ua,all,少/0;④日,6是异面直线，且a,a//dfbu0,b//ao能推出a//3的是(A)。(力)④(3)②和③(C)②(Q)①和②点评：线面垂直与平行的判定及性质。246、8次射击命中3次，且恰有2次连续命中的情况共有(B)。(力)15种(B)30种(C)48种(0)60种点评：组合与排列。247、函数f(x)=log“|兀一11在区间(0,1)上是减函数，q=f(log】丄)，q=f(tg0+ctg0),r=f(2s,n0)?4(e为锐角)，则(c)。(S)p1)求％及S〃・Sn_S-l=^an~(n-}yan-\•a\=••ci从而有n+\3214321cia——x—x_a气=——x_x——x_543'6543(n-1)(/?-2)••••x3x2x1_2(/7+l)n(n一1)…•x4x3n(n+1)・•・Sn=n2atJ2nn+15、已知Sfl=4-ane求a^afl+[^an的关系式及通项公式％n-2解：％=S]=4一％一缶=>如=1S=4—ci—n"2〃一2S“+]=4—an+]2（e）-2亠②—①：an+[=-an+]+an-H卩：an+]=£4?+吕将上式两边同乘以2"得：2"色+】=2心色+1〃+l即：2“a曲一2心％=1显然:{2%}是以1为首项，1为公差的AP・•・2n~'an=l+(/?-l)-l=n・n…an-刁h6、已知q=3且勺=St+2”，求an及S”•ss解：・.・a=Sn一S”]・・・S”—2S「=2"・・・」—一=1finfi-1nn-i2〃2"一设仇=—2n则彼｝是公差为1的等差数列••bn=b、4-n—1乂:*.*bx-3-•■⑷3.S”1-—.•—n+・・・S”=(2兀+1)2心2222"2当n>2时%=二S〃—S心=(2料+3)2心\nS”=(2n+l)2rt-1f3G=l)［⑵7+3)・2心(n>2)7、设a”=Jlx2+J2x3+J3x4J/2(n+l)求证:"("十“=nJn(n+1)W)22/i+122n+121+2+3+—n0,cd>0,|O,b+c>O,c+d〉O,试证明：f(a)+/(/?)+/(c)>0.解：(I)/(兀)是定义域/?上的奇函数且为增函数.(II)由a+/?〉0得a〉-b・由增函数，得f(a)>/(-Z?)由奇函数，得f(-b)=-f(b)/⑷+f(b)>0同理可得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0将上三式相加后，得/(a)+f(b)+/(c)>0・10、已知：如图，长方体ABCD—A^C^中，AB=BC=4,AA,=8,E为cq的屮点，0为下底面正方野OO|丄平面ABCD,A.Bi形的中心.求：(I)二面角C—AB—O｝的正切值；(II)异面直线A3与EQ所成角的正切值；(III)三棱锥q——ABE的体积.解：(I)取上底面的中心O,作OF丄AB于G,连OQ和FQ.白由三垂线定理，得QF丄\n则ZOFO\为二面角C一AB-O｝的平面严。尸冷心2,。。严仆8.\n在RtNO.OF屮，tg^OFO,=箸=4(II)取BC的中点G,连QG和EG.易证明qG//AB,则AEOfi为所求O｝G=丄AB=2・EG=竝+4?=2石・2在Rt'EO\G中，tgZEO、G=^~=24^O]G(III)连BG,AG,由OfillAB易证明QG〃平面ABE・"q-ABE=Vg-ABE=A-HGE~§*^ABGE*S、bge=32-|(2x8+2x4+4x4)=12且，bn>0(neN),若・•・％“冷124=1611、已知等差数列｛〜｝的公差为d,等比数列｛»｝的公比为qan-aY=log“bn-log“bx(n>1,neN,a>0,gH1),求d的取值.解：由乞>0得也>0,q>0由已知,得ax+(n-V)d-a｛=log(n-l)\ogaq*.*7?H1,・；cl=log,q由对数定义得ad=q当d=0,g=l吋，得a>0,ghI.当d^O,q=l时，得a=\.这与已知aHl相矛盾.\_当〃h0,qHl时，得a=q*・综上：当d=0,g=l时，a>0,QHl当〃工0,q=l时，a的取值集合为空集丄当〃工0,§工1吋，a=q^\n12、已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：B图①bc图②图①的过水断面为等腰△4BC,AB二BC,过水湿周/严AB+BC.图②的过水断面为等腰梯形ABCD,AB=CD,AD//BC,ZBAD=60°,过水湿周/2=4B+BC+CD.若AABC与梯形ABCD的面积都为S,（I）分别求厶和仏的最小值；（II）为使流量最大，给岀最佳设计方案.解（I）在图①中，设ZABC=0,AB=BC=a.则S=2/sin。・由于S、a、sin&皆为正值，可解得a=V25・2Vsin6>当且仅当sinO=l,即&=90。时取等号.所以/,=2a>242S・在图②中，设AB=CD=m,BC=n・ABAD=60°可求得173AD=m+n,S=—（〃+加+n）m22解得当且仅当爲晋即帯时取等号.（11）由于循，则“的最小值小于厶的最小值.所以在方案②中当厶取得最小值时的设计为最佳方案.13、已知：如图,射线OA为y=2x（x>0）,射线OB为y=-2x（x>0）,动点P（x,y）在ZAO尢的内部,PM1OA于M,PN1OB于N,四边形ONPM的面积为2..（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数的解析式;\n(II)确定)的定义域.解：(I)设M(g,2g),N(b-2b)(a>0,b>0).贝l\\0M\=^5a,\0N\=y/5h由动点P在ZAOx的内部，得0vy<2兀・，.阳1=中=沖，\P^=^±A=^±y1a/5V5V5V5A=-(\OM\-\PM\+|ON|・刖)=-[a(2x-y)+b(2x+y)]=丄[2(d+h)x-(a-b)y]=2•\2(a+b)x-(a-b)y=4又r—丄y_2°人KPM一c一2兀一d分别解得0=乞尹，bk丄g"2x-bx-2y5代入①式消去—b,并化简得x2-y2=5.・.・y>0,・\y=^x2-5.(II)由PftZAOx内部，W0075loga(x—?)+l(a>0,a壬1)a解：原不等式等价于]0亦2_X_2)>1o^ax-2)①\n1°当a>l时，①式可化为—x—2>0,vax-2>0,—x—2>cix—22从而『严o,即F>7，_—2>dx-2,xvo弧〉Q+i•:x>a+l2°当Osvl时，①式可化为*—x—2〉0,vax-2>0,—x—2201时，原不等式的解集为｛x|x>6/+1｝；当Osvl时，不等式的解集为①15、在三角形ABC中，三内角满足A+C=2B,cosAcosCcosB求cos竽的值解：・.・A+C=2B,・・・A+C=120°,B=60°又•/—J—4-—5—=一-呢-,.Icos4+cosC=一2血cosAcosCcosAcosCcosB/•2coscos2A-C2=一2血•一[cos（A+C）+cos（A-C）|2即2•（丄）cos匕=-V2（-丄+2COS2匕-1）2222c只2A_CA—C3^2A2v2cos+cos=0222令cos^=r,则上式为2血2+一丄血=（）22A-Ccos2l已知复数zi=2—73x+xi,Z2=V3y—1+（巧一y）i，x、y属于R,若|z]|=|z2l且argZ]/z2=90。,求/\10土竺的值I2丿W：丁IZ]1=1z2l,arg^-=^-Z22\n/•2-V3x+x/=[73y-l+(V3-y)z]z=y-73+(V3y-l)z1+V3x=解得21+V3v=・r匚1+V3.1+V3.1-73(1+V3.122227".1±匣_1+("一1±岛=0+互3222271••兀=cos——zsin—33，蔦W1071..\0n1V3.=cos+isin=1332222丄［（7+山）+（山+厲加显+逼,2222222217、如图，平行六面体ABCD—ABCD中，AC=2a/2,BC=AAf=A*C=2,ZABC=90°,点O是点（1）求侧棱AA，与（2）求侧面AADD（3）求四棱锥C-A，在底面ABCD±的射影，且点O恰好落在AC±.底面ABCD所成角的大小；底面ABCD所成二面角的正切值；A'ADD的体积.解：（I）连刍0,则州0丄平面ABCD于O1分（文1分）・•・0/0就是侧棱％与底面ABCD所成的角1分（文2分）B\n\n在AAjAC中，A|A=A]C=2,AC=2^2AjA^AfC2=22+22=8=(2y/2)2=AC2・・・aaac是等腰直角三角形AZAtAO=450,即侧棱A/与底面ABCD所成角为45°,(II)在等腰QAA/C中，40丄AC,AA,O=-AC=42，且0为AC中点,过0作0E丄血于E,连A^Eo・.・人0丄平而ABCD于0,由三垂线定理，知AE丄AD，・•・Z是侧面A.ADD,与底面ABCD所成二面角的平面角。VZABC=90°fAB=AC2-BC2=^(2^2)2-22=2,二底面ABCD是正方形。在Rt\A,EO屮,即所求二面角的正切值为V2。(III)由(II)知，人£丄AQ,A£)=BC=2,A、E=JA。+0E?=&逅卄卩=屁••^AiADDl~•£E=2羽oV\E丄ADOE丄AD,AAD丄平面4EO。VADu平面人/Dq,・・・平面A}ADD{丄平酗£0,它们的交线是人£。过0作OH丄AE,则OH丄平面AAPq。OH=匹込卑牟A.EV3V3又•，加C的中点，,.点C到平面A呵的距离"20H=警內ADD]y-Is・h丄2心•巫-匝仪-亦㈣_31_35羽_3\n另解:^C-\ADDX二趴BCG518、在工厂牛产中，若机器更新过早，则牛产潜力未能充分发挥而造成浪费；若更新过迟，老机器生产效率低，维修与损耗费用人，也会造成浪费.因此，需要确定机器使用的最佳年限(即机器使用多少年平均费用最小)某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费2千元，毎年投保、动力消耗固定的费用为2千元；每年的保养、维修、更换易损件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，……,即每年增加1千元，问这台机器的最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值.解：设使用〃年为最佳年限，则每年的平均费用y=丄｛7+0.2+0.2斤+[0.2+0.3+0.4+•••+(0.2+0—l)x0.1]｝n=-(7.2+0.35/2+0.05/i2)n72=—+0.05/?+0.35n>2J—x0.05n+0.35Vn=1.2+0.35=1.55(万元)o7977当且仅当仝=0.05/2,即川=厶=144,即〃=12时取等号。n0.05答：这台机器最佳使用年限为12年，且年平均费用的最小值为1.55万元。19、已知数列｛an｝满足如=2,对于任意的n^N,都有an>0,且(n+l)a^+anan+1—na^+1=0,又知数列｛bn｝：bi=2n_1+l⑴求数列伽｝的通项an以及它的前n项和Sn;⑵求数列｛bn｝的前n项和Tn;(3)猜想Sn和心的大小关系，并说明理由.解：(I)an>0(/1G7V),(n+l)q；+anan^}-=0-1土J1+4斤(斤+1)2(〃+1)・•・(H+1)(仏尸+(仏)-77=Oo色+1色+1-l±(2n+l)二彳n2(/7+1)斗l/?+1・・cifl>0,即如l=ZL±1。\nann二色％%一2..…生鱼••仏］an_2atl_3a2a{nn-\n-232n—\/7—2n~3210••3^.q=2,••ci“—2mo••Sfl=ci^+偽+•••+cin=2(1+2+3+•••+a?)c/?(/?+1)2=2・=T+72o2(II)・・•仇=2^+1,・•・Tn=b\+E+仇+…+®=(2°+公+2?+…+2"T)+〃2°(2H-1)=+兀2-1=2°4-n—1o(III)Tn-Sn=(2"+斤一1)—0?+兀)=2"—/一1当刃=1吋，7；-^=2!-12-1=0,・・・7；=&；当n=2时，7；-52=22-22-1=-1<0,：.T20,/.T5>S5；当n=6时，7；-S6=26-62-l=27>0,:.T6>S6.猜想：当〃'5时,Tn>Sno即2,?-n2-l>0o亦即2,?>n2+1o\n下面用数学归纳法证明：1。当n=5时，前面已验证成立；2。假设n=k伙25)时，2*＞疋+1成立，那么当M=k+g5)时,2知=“>2伙2+1)=疋+疋+2川+5/:+2=伙+l)?+1。・••当刃=£+1仏25)时，2曲＞(£+1)2+1也成立。由以上1。、2。可知，当〃丄5时，有Tn＞Sn；当刃=1时，7；=51；当2Snv5时，TnS2>S3表示）；（2）求证：cos2a+cos2P+cos2Y=l;丄丄丄解：设PA=a,PB=b,PC=c,则Si=2ab,S2=2be,S3=2ca,作PD丄BC于D,连AD,易证BC丄平面PAD,于是BC丄AD；1Saabc=2bcxad,在RtAAPD中，AD2=a2+PD2,在RtABPC中，PD?二BC2b2+C2,b2c2_a2b2+b2c2+c2a2/.SAAbc2=(2BCXAD)=4(a2b2+b2c2+c2a2)sj+s；+s；AAD^+b2+c2疋证明：由(1)知，PD丄BC,AD丄BC,・・・ZPDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设ZPDA=a,b2c2a2b2+b2c2+c2a2PD2=b2+c2,ad2=b2+C2\n；eCos2a=AD2a2b2+b2c2+c2a同理cos2P=a2b2+b2c2+c2aa2b2cosh二屏b?+b2c2+c2a230、如图，四棱锥P-ABCD的侧棱PA丄底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中ZDAB=ZCBA=90°,乂13AD二AB二2BC,ZAPB=arcsin5,试求侧面APB与侧面CPD所成的角。解：设AD二AB二2BC二3a,由RtAPAB^RtAPAD,ZAPB=arcsin5,得PD=PB=5a,PA=4a,延长CD、BA交于E,连PE,作BF丄PE于F,连CF,可证BC丄平面PBE,则CF丄PE（三垂线定理）,从而ZBFC是二面角B-PE-C的平面角，设其为（）；显然AD是AEBC的中位线，・・・EA二AB二3a,即EB=6a,可得PE=PB=5a在Z\PBE中，用面积关系得：PEXBF=BEXPABExPA6a-4a24乱BF=PE5a5由RtABCF,BF4arctg—4.本题还可以用射影面积法。31、多而体表而积为S,外切于表面积为36兀（平方单位）的球，求这个多面体的体积；分析：可仿照平面儿何类似问题，连结三角形的内切圆圆心和各个顶点的线段，将三角形面积分为三个1部分，且有S二2厂（a+b+c）；\n咼考解：球的半径R二3,连结球心和多面体各个顶点，得到的锥体体积Z和就是多面体的体积，这些锥丽高都是半径R,SXR1-3v=（立方单位）。32、给定一个圆锥和两个平面a、B,其屮a〃B,且它们与圆锥底面平行，若平面a把圆锥侧面分成面积相等的两部分，平面B把圆锥分成体积相等的两部分，求夹在a、（3间的几何体的体积与圆锥体积之比。分析：木题涉及到截锥性质：截面积与底面积的比为对应元素的平方比，截得的圆锥的体积与原圆锥的体积Z比是对应元素的立方比。1解：设给定圆锥的底面半径为R,高为H,则V毗二3kr2h；设平面a>B与圆锥侧面相交所得两圆半径分别为n和r2,由截锥性质得:1它?R--■■?1-2--3?1-2--2岡台=|口X(^-—±)HX(#+nr2+£)显然r2>r,,即平面B比平面a离圆锥底面近些，乂设截得的两圆锥的高分别是h和h?,则夹在a、B间的圆台的高h,有：=|(2-V2)x|itR2H圆台：V圆链壬（2-^2）33、在一个每边长均为1的正三棱锥内部有13个点，其中任三点不共线，任四点不共面，试证：其中至少有一个以这些点中的四个点为顶点的三棱锥，其体积V<密咼考证明：设棱长均为1的正三棱锥为A-BCD,A0是它的高，今在A0上取一点0”使0/二0出二0心二0”，可求得0B二3,A0二3,V6进而求得0iA=0iB=0,C=0iD=4；\n以0为点，以A-BCD得四个面为底面的四个三棱锥显然等积，V2且V'二花；在三棱锥内部的13个点，因为其中任三点不共线，任四点不共面，由抽屉原理，至少有四点落在以。为顶点的四个小三棱锥的同一个三棱锥内，那幺这四点为顶点的三棱锥的体积V48。34、进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，问售价应为多少时所获得利润最大？解：设售价为90+x元时利润为y,此时售量为400-20%.歹=（90+x）（400-20x）-（400-20x）x80=20（20-x）（l0+x）=20[-（x-5）2+225]・当x=5时，ymax=4500（元）。答：售价为95元时获利最大，其最大值为4500元。35、20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻。这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表。应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作口作物预计总产值达最高？作物劳力/亩产值/亩蔬菜1/20.6万元棉花1/30.5万元水稻1/40.3万元解：设种兀亩水稻（OvxW50）,y亩棉花（OvxW50）时，总产值为力且每个劳力都有工作。V11/.h=0.3尢+0.5y+0.6[50-（x+y）]且兀、y满足_+_y+_[50_（无+y）]=20.432即力=一一x+27,420(X1+1%)4,即兀>5(X1+1%)4-40.因1.014«1.0406故兀'50x1.0406-40=52.03-40=12.03.即x>12.03.故该城市每年至少要新增住房面积12、03万加r才可达人均住房面积10加2的目标。38、铁道机车运行1小时所需的成木由两部分组成，固定部分为血元，变动部分与运行速度V(千米/小吋)的平方成正比。比例系数为k(kHO)o如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省应以怎样的速度运行？解:设以速度v匀速运行成本最省，甲、乙两站相距米,则机车匀速从甲站到乙站所需时间为心令・总成木为y元。y=(m+KV2)^=S(KV+mV)>仅当U=y有最小值,\n故机车以速度｛貝千米/小时匀速运行时，成木最省。39、某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%,以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%o预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%,以后每年的费用M(t)与年数/满足关系式M⑴琲&$—7F+13(其屮a为鱼苗成本，t>21JgN)。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少(设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤)。解：设第料年鱼的产值色为最高。卩为鱼苗总重量，则/?=—.1^,=7p(l+4)(1-30110220=7/;(1+4)(1+-)(1-―)2310_i(1+l)(1_l)=63x2131020441a.20044141他=7/7(14-4)(1+-)(1+尹)(1一-)3=E(1+尹)(1—-)63x21x13441x13—p—CI2002000=@(1+2)(1-丄),3331049(1+戸)•尬当an+}<色吋,3">36,/.h>4.即第4年鱼的产值最高；另一方面，M(t)=—Vz2-7/+13=—j(r--)2+1010V24当23或4时,M(九.喘.下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用-的大小。10若GH0则取24；若GS盒，则取23.厂11911aa'：G=ad-a.=—a,=x<——.433020001010・••取n=3,即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。40、过椭圆259的左焦点F］的弦AB,过A,B分别向左准线引垂线，垂足分别为M,N,当线段MN最大时，求肓线AB的方程。解：由已知方程得Fi(-4,0),设直线AB方程：y=tg°(x+4),代入椭圆方程\n(9ctg2a+25)y2-72ctga•y-81=OJMN|=|y】-y?FJ(Yi+兀『一4丫】y909015<——’二一」一+16sina2^9x164^=315十二±色弟二sinof，当sin4时，|MN|最大4，此时7y=±-\/7(x+4)・・・育线方程为：7-2+~F=141、已知椭圆C：a&(a>b>0)的长轴两端点为A、B,(1)过焦点F作垂直于长轴的弦PP',当tgZAPB=_2^时，求C的离心率;(2)如果C上存在一点Q,且ZAQB=120°,求C的离心率的范围。匕2解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c,则纵坐标为2.kpA=«X°+C),kpB=a(a-C).吃阳_花FA-_2//.tgZAPB=1+^化ac1・•・e二菇(2)设0(x,y),由对称性，不妨设0在x轴上方，即y>0.y_y天-<2天+QJi1+此方程与椭圆方程联立，可求岀y=0或”2x/W2伍滴3/•由y=0,得Q与A或B重合，舍去.当时,由Q在椭圆上半部.1二tgZAQB二/3/Wb,・・42、按复利计算利息的一种储蓄，本金为d元，每期利率为厂，设本利和为y,存期为兀，写出本利和y随存期兀变化的函数式，如果存入木金1000元，每期利率2.25%,试计算5期后的木利和是多少？解：已知本金为Q元\n1期后的本利和为y=a+axr=a(\+r)；2期后的木利和为y2=c(l+厂)+q(1+r)r=a(l+r)2；3期后的本利和为儿=t/(l+r)3；X期后的本利和为y=6/(1+r)x将0=1000(元)，厂二2.25%,x=5代入上式得y=1000x(1+2.25%)5=1000x1.022$由计算器算得y=111768(元)答:复利函数式为y=d(l+r)”，5期后的本利和为1117.68元评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受。43、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么兀年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于兀的解析式。分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体解答可以依照例子。解：设该乡镇现在人口量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360Mo经过1年后该乡镇粮食总产量为360M(1+4%),人口量为M(1+1.2%)则人均占有粮食为36Wd+4%)；M(l+1.2%)经过2年后人均占有粮食为36叽+4%孑经过兀年后人均占有粮食36(M(1+4%)XM(1+1.2%T\n即所求函数式为:y=360(-^-1.012)v评述：这是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N,平均增长率为P,则对于时间x的总产值y可以用下面的公式，即y=Ml+〃）x解决平均增长率的问题，常用这个函数式。44、购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%,每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少（精确到1元）？解：设每期付款兀元，根据题意，得到x+1.00&+1.OO82X+…+1.00W=5000x1.00812.所以兀(1+1.008+1.OO82+…+1.008")=5000x1.00够.由等比数列前n项和的公式得x-1-1-008'2=5000X1.008-1-1.0085000xl.008,2x0.008X=~1.00812-1由计算器算得兀~439(元)・答：每期应付款约439元.解法二：设每期付款兀元，第72期后欠款数记作给那么,第1期后的欠款数为=500Q14-0.008)-x第2期后的欠款数为a2=ax(1+0.008)-x=50(XD00)g-x(l+1.00JE第3期后的欠款数为a3=<72(1+1.008)-a：=500Q1.008)3一兀(1+1.008+1.00乎).第12期后的欠款数为al2=坷］（1+1.00◎—兀=500Q1.008)12-x(l+1.008+1.OO82+•••+1.00811)・因为第12期全部付清，所以6/12=0即\n500Q1.00即2-XI+1.0084-1.OO82+…+1.008“)=0,・•・x=5000x1.00812,1-1.008解得兀~439(元).答：每期应付款约439元.五、高考考前指导第一部分(选择題丿1.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为a、B,则a+B的范围为：()(A)0n/2(C)0Wa+BW肌/2(D)01成立的是：()(A)0+F=()(D2+E2-4F>0)绕原点逆时针旋转120°所得\n的圆的方程为()(A)宀齐(呼2(牛)y+F=011.12.13.(B)(C)(D)宀产(呼”(呼)y+F“宀山警”呼)y+ZF+b+(^±^)x+(2z^)y+F=0停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位在一起，不同的停车方法有()(A)P；种(B)P：种函数y=f(x)存在反函数Y=f‘(x)针转动90。后是另一个函数的图象，这个函数是((A)y=f!(-x)三棱锥P-ABC中，(C)戌种(D)用・c；种,把Y=f(x)的图象在直角坐标平面内绕原点顺时)(B)y=f"(x)(C)y=-f'(x)ZAPC=90°,ZAPB=60°,PB=BC=4,(D)y=f(・x)PC=3,则二而角B-PA-C的平而角的余弦值为(14.15.16.17.18.(a)t(b)t(C)T(d)t函数y=sinx-cosx及y=sinx+cosx的图象关于((A)兀轴对称(B)y轴对称(c)直线V对称(D)x=-对称4在等差数列｛Q则其中((A)16}屮，a4+如+e()=17,勺+%+・・・+d[4=77，若色=13,)(B)18(C)20(D)22若人={刎兀2_4兀+3=0},B={x\ax-3=0},HAUB=A,则实数°的集合为()(A){1}(B){3}(C){1,3}(D){0,1,3}若A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，则下列不等式中恒成立的是()zAx./SinA、c.‘cosA、八(A)logCosc()〉°(B)>°geosc(—Z-)>°cosBsinB(C)lo漏c(叫)>0(D)10漏c(先)>0cosBsinB若a>b>c且a+方+c=0,则下列不等式中恒成立的是((C){],3}(A)ah>be(B)ac>he(C)ah>ac(D)a\b\>c\b\\n19.将直线/沿y轴的负方向平移d（dHO）个单位，再沿兀轴正方向平移Q+1个单位得直线心此时直线厂与/重合，则直线/'的斜率为（）(A)a(B)°(C)Ea(D)a+1aa+1a+120.集合心{z||z-l|51,zwC},B=71{z|arg(l-z)>—,zeC},在复平面内，AQB所表示的图形面积为（)3龙(A)71(B)—(C)-(D)7144221.1_nn已知lim-0（0为常数），则a的取值范围是（)宀1+a"(A)心-1(B)\a\>l(C)-l/（x2）,Mf（x{+x2）=/（^|）-/（x2）»满足这些条件的函数/（x）可以是（只需写一个）。\n1.矩形ABCD中，AB=4i,=，沿对角线AC将矩形折成直二面角B-AC-D,,则B与D之间的距离是o2.已知数列｛%｝的通项an=n~^99(neTV),则数列｛%｝的前30项中最大的项-10.5是O3.一个酒杯的轴截而是抛物线的一部分，其方程是x2=2y(0<^<20),在杯中放入一个球，要使球触及酒杯的底部，则球的半径厂的取值范围是o4.给出下列命题：①直线x=—是函数y=sin(2^+—)的图象的一条对称轴；74②函数y=sin(-2x+—)的单调递增区间是［炽-兰，炽+—］(ZrgZ)；188③函数y=孩兰一-的最小正周期是;T;2sinx④若a、0为第一象限角，且Q〉0,则tga>tgpo其中错误命题的序号是o5.已知关于兀的实系数方程A：2-2ax+cr-4^z+4=0的两个虚根为无］、x2,JzL|x.|+|x21=3,则d的值为o6.已知长方体A3CD—AQCQ中，A｝A=AB=2,若棱AB上存在一点P,使得D.PLPC，则棱AD的长的取值范围是o第三部分(复数与三角丿1.已知函数/(X)=Asinsr+Bcos亦(其中A、B、Q是实数，Hq〉0)的最小正周期是2,且当x=|时，/(劝取得最大值2；(1)、求函数才(兀)的表达式；7173(2)、在闭区间［竿岸］上是否存在/⑴的对称轴？如果存在，求出其对称轴的方程，44若不存在，说明理由。2.在Z\ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,己知/(B)=4sinBsin(-+—)+co£B；\n(1)、若对任意的AABC,有|/(B)-/h|<2,求实数加的取值范围；(2)、设Z［=d(cosA+isinA),z2=a(cosB+isinB),z3=6f(cosC+isinC),且Iz(|+1z3|=V3|z9I,当/(^-B)=2时，求arg—o■2Z2第叨部分(数列丿1・已知数列｛afl｝的前n项之和为S”，且满足5+2SJSw_,=0(/z>2),%=|乙(1)、求证:｛—｝是等差数列；S”(2)、求色的表达式；(3)、若bn=2(1-ri)an(n>2),求证：材+/+・••+仇？2.已知等比数列｛X”｝的各项为不等于I的正数，数列｛益｝的通项公式为K=log(2a2-3a+l),其中IVaV?为常数，对于k、t^N,kHt,满足nwn0二丄，是否存在自然数N°使得n>N°时，X〃>1恒成立？若存在求出相应的TV。，若不存在，请说明理由。第五部分(立体几何丿如图,桌上放有两个相同的正四面体P-ABD和Q-CBD；(1)、求证：PQ-LBD；(2)、求二面角P-BD-Q的余弦值;(3)、若正四面体的棱长为a,求点P到平面的距离。B\n2.在平行四边形A5CD中，AB=AC=CD=afZACD=90°,将该平行四边形ABCi沿AC折成一个60°的二面角；(1)、求B、D间的距离；(2)、求点D到育线AB的距离。第六部分(函数与不等式丿1.对于任意的xwR,均有x2-4«x+2t74-30>0(aeR),求关于x的方程X=|。一11+1的根的范围。a+32.已知函数/(x)=2a~t/U+C(b<0)的值域为［1,3］；疋+1(1)、求实数〃、c的值；(2)、判断函数F(x)=lgf(x)在兀丘［一1,1］上的单调性，并给出证明;71113(3)、若teR,求证：lg-b>c)，点A(X］，x)、B(x2,y2)是该函数图象上的两点,且满足/(I)=0,a2+y2)+yly2=0；(1)>求证：b>0；(2)、问是否能够保证f(x{+3)和/'(兀+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论。第七部分(解析几何丿1.r222椭圆—+^T=\(a>b>0)的离心率0=,A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点,alr3线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0).(1)设AB的中点为C(xo,yo),求鬆的值；(2)若F是椭圆的右焦点,且|AF|+|BF|=3,求椭圆的方程.\n2.已知直线/是半径为3的圆C的一条切线，P是平面上的一动点，作PQL,垂足为Q,K\PQ\=2\PC\；（1）、试问P点的轨迹是什么样的曲线C?求出该曲线的方程；（2）、过圆心作直线交P点的轨迹于A、B两点，^\AC\=2\BC\,求直线的方程。第八部分（应用题丿1・（南京市2002年二模）如图，建筑工地有一用细砂堆成的多面体，其上下两个底面平行且都是矩形,上底面矩形的两边分别为6米与3米，下底面矩形的长边为10米，若此多面体的四个侧面与底面所成的二面角都相等，则其下底面的短边边长为（）A.7米B.6米C.5米D.4米型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5克0.7克售价3.00克8.40克2.（南京市2002年三模）已知每生产100克饼干的原料和加工费为1・8元，某食品厂对饼干采用两种包装，其装费及售价如右上图表示，则下列说法中：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多.所有正确的说法是（）A.①②B.①③C.②③D.②④2.（南京市2002年三模）有一块长方形的窗台，尺寸为1米X0.2米，现有足够多规格相同的口色壁砖和蓝色壁砖（规模为0.2米X0.2米），用这些整块壁砖贴满窗台（空隙忽略不计），可以贴成种不同图案。3.（南京市2002年三模）如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图屮的•（把所有可能的图\n的序号都填上）。2.（2002东城区一模）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为50千米/小时，100千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元，且b4y=4(1-x)高中教育\n4贝ijx>—,贝ijy=1—兀<0,・*.x>1o7・选C。应用数形结合的思想：由图可知，x=l,y=l。第7题图应用异面直线上两点Z间的距离公式，作BD丄PA于D,又ZAPC=90°,故由的余弦值为芈14.15.16.17.ooOcBD选选选选B。在锐角三角形ABC中由A+B讶，得sinB>W,0<^<1,18.19.20.且0V8SCV1。故选B。选C。应用特殊值法，令。=1、b=0、c=-1即可。选B。选B。应用数形结合的思想：(八1)21.选A。1-1不存在(kd<1)(SI〉1)(q=-1)8.选C。f(x)=-[sinx-(a-1)]2+a2,故-lAD,01<77?<31sinA+sinC=sinB=>IA-C|=—,71则:arg—=Z2357T(A>C)(A2时，陽+2S“・S“_i=0,即S〃—S”t+2S〃・S〃t=0=>—=2,则数列｛丄｝是等差数列，求得丄=2h=>Sw=—S”S-S”S”2n(2)、l±l(l)=>a“=2)(3)、bn=2(1-n)an=-(n>2)nn呼+^+…+和=*+*+17AT<丄+丄+・・・+亠亠丄V1x22x3(/i-1)/?n32.解：当l0且§工1）,由儿12/+112k+1logq(2/-3°+1)=log,(2/_3q+1)=12r+l12k+l>0>0由于2q2—3g+1w(0,1),1]得:0k,：.x-2=（i2l+',q=2,JX>!,而当q〉l时，对于正项等比数列｛X”｝来说，一定存在自然数N。使得n>N。时,Xn>1恒成立。令xn=xkqn~k>1=>xfqWi)>i=>§-⑵⑷沪">j・・」>£+/+*,令N°=k+t,则有当n>7V()时，X〃>1恒成立。第五部分（丕体几何）1•解：（1）、取BD的中点E,先证明3D丄平面PEQ,得PQ1BD；(2)、即求ZPEQ,计算岀MN=PQ=^-=>msZPEQ=^；\n(3)、应用体积法，Vp_QBD=jS、pQE求B、D间的距离为辰;解(1)、(2)、点D到直线AB的距离为牛第夫部分(函数与不等式丿1.解：依题意，对于任意的xgR,均有兀$_4a兀+2g+3020(6/e/?),则△=(4a)2—4(2a+30)<0=>--<6z<3,224原方程化为x=(\a-l\+1)(q+3)5925(——<6Z<1)=>-<%<—244(1<<3)n4v兀518o则兀的范围是xgL-48J2•解：(1)、由于x2+1>0恒成立，xg/?,a人2对+bx+cz2ic令y=；n(y—2)牙.-bx+y-c=O9xz+1则^=b2-4(〉，—2)(y-c)<0的解集是[1,3],故1和3是h2-4(y-2)(y-c)=0的二根，应用韦达定理求得b=-2,c=2；2X(2)、由(1)知，/(劝=2-¥^,应用函数单调性的定义去判断函数F(x)=lgf(x)在xw[-1,1]上单调减;(3)应该注意到—-<|r--|-|r+则应用(2)的结论，3663F(l)<|/-1|-|Z+1|0^>b2>4q(q+c),又/(l)=a十b+c=0且a>b>c,贝iJa>0、cvO、b=-{a+c),贝0b2>-4ab=>b(b+4a)>0^>b(3a-c)>Q,由于3g—c>o,贝y/?>0；(2)、依题意，/(1)=0,即1是方程处2+/zx+c=0的一个根，则另一个根为£,且£—+3(♦)aciaz*1又由b二一(a+c)及ci>b>c得—2<—<—,a2Xj+3>二+3〉-2+3=1,a而函数/(x)在(l,+oo)上为增函数，・・・/(州+3)>/(I)>0,同理，若y2=-a，则有f(x2+3)>0,命题得证。第七部分(鮮析几何丿2.解：(1)、建系如图，令P(x,y)，依题意，有|兀+3|=2以+)，,化简得：设A(兀Qi)、B(x2,y2),由|AC\=2\3C|得州=-2x2,\n由韦达定理知:x}+x23+4疋-93+4/一吃把兀］=-2x2代入得<—2x9一3+4/2_—9一3+4疋1.Ao消去®得疋弓则直线AB的方程为:第八部分(应用题丿6米10米2.3.4.5.3wr°6.解：(1)依题意，第二年该商品年销量为(11.8-p),年销售收入为』，则1-/?%商场该年对该商品征收的总管理费为_2^(118_p)p%(万元).1-“％•故所求函数为：y=—Z—(118-10p)p.・・・4分由11・8—p>0及p>0100-/2(2)由八14,得誹严")44.化简，得“2—12p+20S0,即(“—2)0—10)50,解得2SpWlO,故当比率在[2%,10%]内时，商场收取的管理费将不少于14万元.(3)第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为70g(P)=~~(H.8-/?)(237Cl0-4-1/inAxirnizu—r—1t心nJ；2a,ria2516A】B.椭岡的焦点，则△F｝ABW积的最大值为()A.6B」2C.24D.4811.(1+a)6(1-a)展开式中x2项的系数是r\fx-\12.lim=3x-1二、陈题新讲jr-f-14•已知全集U二R,A={x\>0},则CyA=(X)在讲评过程中，部分例题在经过一次讲解之后，往往被放置一边，久而久之，造成A・{x|—l\七、深题浅讲有些例题，题型新颖、综合，难度较大，学生往往对此一等莫展。因此，例题教学吋，应根扌居题目特点，找准突破口，巧妙降低难大值为12,故小值3,那么实数R的值为（）度。将大题化小，深题化浅，让学生豁然开A.2B.-2C.|D.不存在明。题15.选校网www.xuanxiao.com高考频道专业人全历年分数线上力张人学图片人学视频院校库（按Ctrl点击打开）