高中数学函数完美归纳讲解-高中课件精选 42页

第一章函数概念导入1＞集合(子集，真子集、空集、补集、全集等表示和关系)2、映射(定义，——映射)3、增函数、减函数4、轴对称5、单调性定义设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x,变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y二f(x).自变量x、因变量y映射角度函数定义：定义在非空数集之间的映射称为函数要点1、对应法则和定义域是函数的两个要素2、函数是一种关系3、函数两组元素一一对应的规则(这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集合里的唯一元素；第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量)1、复合函数：y是u的函数，y=2(u),u是x的函数,u=f(x),y通过中间变量u构成了x的x—u-*y,注意定义域。y=lgsinx\n2、反函数：x—y,y-*x,性质：1、一一映射2、单调函数分类：一次函数y=kx+b★二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，aHO）反比例函数y=k/x（k为常数且kHO）指数函数y=aX（a>0,1）对数函数y=logax（a>0）無函数尸,★三角函数（正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）常用方法：待定系数法平移变换法数形结合法注：注意自定义（抽象）函数等学习应用，培养逻辑思维。第一节函数的一般化应用解析1-1-1函数的值域方法:\n1、巧用定理，整体变换。(1)函数y=-sin2x-3cosa:+3的最小值；(2)已知：3sin26Z+2sin2(3=5sin6r,a、3e/?，求w=cos2«+cos2(3范2、借题发挥，分式转化双曲线。『=ax+bc工qad工比)型求值域和画图的一般化应用。ex+d(1)作函数y=上仝的图象•2x+l(2)求函数y=上竺的值域2x4-41-1-2函数的奇偶性要点判断函数的奇偶性前提是：函数的定义域必须关于原点对称。(])若/(-X)=-.f(x)u>y=为奇函数/(-x)=f(x)oy=f(x)为偶函数(2)奇函数y=(x)在原点处有意义=>/(0)=0;(3)任一个定义域关于原点对称的函数/(劝一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即/(无)=/(力—/(一劝(奇)+/(劝+/(一兀)偶22(1)定义在(-8,+◎上的函数/(劝可以表示成奇函数g(x)与偶函数h(x)之和，若/(x)=lg(10v+l),那么()A、g(x)=x,h(x)=lg(lO'+10~v+2)B>g(x)=—Dg(10v+1)+兀]，力(兀)=—[lg(10A+1)-x]\nYrC、g(X)=-,/7(X)=lg(10r+l)--xxD、^(x)=--,/zW=lg(IOv+1)+-1-1-3函数的单调性★常见于证明类问题，单调性证明一定要用定义。定义区间D上任意两个值兀］，兀2，若xx/(兀2)，称/(X)为D上减函数。性质奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。证明办法:作差法:作商法:若xl0单调递减若xl0单调递减若xl0单调递增复合函数的增减问题V(x)为增函数，f(x)为减函数，y为减函数y=f(0(x)「厂(x)为增函数，f(x)为增函数，y为增函数®(x)为减函数，f(x)为增函数，y为减函数J(x)为减函数，f(x)为减函数，y为增函数\n(1)设/⑴为奇函数,且在区间［a,b］(0尸/(十)左加右减)_八兀丿右移°个单位〉y_于(无a)>y-b=f(x^y=f(x)+b上加右减)TWTgmfe>y+b=f{xUy=f{x)_b伸缩规则:横向变倒数纵能标不变，横坐标变为原来的丄倍y=f(x)>y=(co>o)纵向成倍数横朋标不变，纵*标变为原來的A倍>y=Af(x)(A>0)1-1-5函数的对称性中心对称y二阳关于中心(询对称=f(2a-x)轴对称若y=/(兀)对xwR满足f(a+x)=f(b-x)9则y=/(兀)关于直线\n求得)(由兀=函数y=f(a+x^y=f(b-x)关于直线兀二称。(由a+x=b-x解得)例题解析1、函数y=的反函数是()IW0-,x>02-y[^x,x<0A.yl，X-°B.y=y[-x,x<02x.x>0!—C・y=0—y/~X^X<02、函数/(兀)对于任意实数兀满足条件/(x+2)=,若/(1)=-5,则f\x)/(/(5))=。3、设函数/(x)=log©+b)(Q>(),dHl)的图像过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则Q+b等于(C)(A)3(B)4(C)5(D)64、求函数y=J口+腭刁的值域兀2_兀+]5、求函数,的值域2x2-2x+36、求函数y=3x2-12x+lS^4x-x2-23的值域7、给出四个函数，分别满足①f(x+y)二f(x)+f(y)②g(x+y)=g(x)g(y)③h(xy)二h(x)+h(y)④t(xy)二t(x)t(y),又给出四个函数图象甲/\y乙丙T\n正确的匹配方案是()(A)①一丁②一乙③一丙④一甲(B)①一乙②一丙③一甲④一丁(C)①一丙②一甲③一乙④一丁(D)①一丁②一甲③一乙④一丙8・若y=/(x)对满足f(2+x)=f(2-x),贝y=/(x)的对称轴为函数尸/(2+x)与y=/(2-x)的对称轴为9.f(x)为定义在(-也0)U(0,+s)上的偶函数，且在(0,+s)上为减,①求证f(X)在(—8,0)上为增函数；10・已知x>-，W(x)=^~4x+5有2'2x-4A.最大值丄B.最小值丄C.最大值1D.最小值14411.设函数/(x)UeR)为奇函数，/CD=!，/(%+2)=/(x)+/(2),则/(5)=A.0B・1C・丄D・5212./(切为定义在R上的偶函数，且/(5+%)=/(3-x)对川/?恒成立，则y=/(x)的一个周期为：13.设y=/(2x+l)为偶函数,则y=f(2x)的一条对称轴为第二节3d二次函数定义，解析式，条件，定义域，值域。\n一般地，自变量X和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c则称y为x的二次函数。判定公式，求根公式，韦达定理等回顾掌握。表达式类型：1、一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a7^0)2、顶点式：y=a(x-h)2+k［抛物线的顶点P(h,k)］对于二次函数y=ax2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b?)/4a)3、交点式：y=a(x~xi)(x-xz)［仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(X2,0)的拋物线］性质关系：1、a决定函数的开口方向，a〉0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。lai还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大2、图像为拋物线，是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a3、2•抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac~b2)/4a)4•一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当q与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)\n6.抛物线与x轴交点个数A=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。A=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。A=b2-4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点7、当a>0时，函数在x二-b/2a处取得最小值f(~b/2a)=4ac-b2/4,在｛x|x<-b/2a｝上是减函数，在｛x|x>-b/2a｝上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是｛x|x$4ac-b"2/4a｝。相反亦然。例题应用解析：1.如图13-28所示，二次函数y二x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C,则AABC的面积为()A、6B、4C、3D、12•心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(00,则0在()5.设tanu=1Q1—,tanP=—73,a、p均为锐角，则a+20的值是(A上B.-JiC.-JiD.匹或EJi444442.当—(itez)时,siz+tan兀的值是()2cosx+cotxA.恒正B.恒负c.非负D.无法确定)3.如果角〃满足条件sin〃＞0,cos〃＜0,则〃是()\nA.第二彖限角B.第二或第四象限角C.第四象限角D.第一或第三角限角3.若cot9=3,则cos'—sin20的值是()2A.--B.--C.-D.-65551-3-2三角因数衣式1•诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(7i/2+a)=cos(a)cos(7i/2+a)=-sin(a)sin(7i/2-a)=cos(a)cos(7i/2-a)=sin(a)sin(7i-a)=sin(a)cos(7i-a)=-cos(a)\nsin(7r+a)=-sin(a)cos(7i+a)=-cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos03)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)3.和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB4.积化和差公式2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)2sinAsinB=-cos(A+B)cos(A-B)5.二倍角公式sin(2a)二2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-l=1-2sin2(a)6•半角公式\na、sina、coq—丿2丿a、1—cosasina+cosa1—cosa—cosa1+cosasina7•万能公式sin0-2tan—21+tan'—2cos<9=—an号=土1+cosasinatana：l对角感两端互为例数。2.每个顶■于其相邻顶点的乘积。1且个例立且角形〔用圆标枳的丿上面画个顶点的平芳和等于下而顶点的平芳2a二1tan3-2tan—2l_tan'—2sin2a4-cosseccot2a4-1=8•辅助角公式Asina+Bsina=7a2+B2sin(a+t),其中,a=n9•降幕公式\n•21-cos2asin^a=221+cos2acosa=291-cos2atarra=1+cos2a10推导公式2tana+cota=sin2atana—cota=—2cot2a1+cos2a=2cofa1-cos2a=2sin2ai・‘aa、21+sina=(sincos—)22tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)二0例题1sinl5°sin30°sin75°的值等于()A.晅B晅C.丄D.丄48842、已知〔0,-]3VT5sin6+375cos6的取值范围()A.〔-3^5,3V5〕B.〔0,6V5〕C.〔375,6^5〕D.〔0,3^5〕3、tan300°+cot405°的值为()A.1+V3B.1-V3C.-1-73D.-1+V34•设a=sinl4J+cosl4,b=sinl6「+cosl6yQ—~~-M1]a,b,c的大小关系是(\nK.a0,a^l)性质：\n(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。（3）函数图形都是下凹的。（4）q大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的。（5）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。（6）函数总是通过（0,1）点（8）显然指数函数无界。（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。1-4-1-3指数函数的应用比较大小1、同幕不同底「、丁「一以y轴为分界线分情况讨论2、同底不同幕方法1、比（差）商法2、函数单调性应用法3、中值法\n第五节对数函数1-5-1对数定义及性质定义:一般地，如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幕等于N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,其中3叫做对数的底数，N叫做真数。底数a则要大于0且不为1对数的运算性质当a>0且aHl时,M>0,N>0,那么：(1)logaMN=logaM+logaNM(2)loga—=logaM-logaN(3)logaMn^nlo^M(neR)(4)换底公式：logaM=M^gbM(b>0且bHl)logba(5)lo%blog/,a(6)a%a:(7)log—="N-log°N1*—(8)log"M=-logaMr\n对数与指数之间的关系当a〉0且aHl时，aX=N^x=logaN\n对数函数的常用简略表达方式：（1）常用对数:lgb=log10b（2）自然对数：lnb=logebe=2.718281828...通常情况下只取e二2.71828对数函数的定义。1-5-2对数函数定义及性质对数函数的一般形式为y=log（a）x,它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y二x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ayo因此指数函数里对于a的规定（a〉0且aHl）,同样适用于对数函数。性质定义域：（0,+OO）值域：实数集R定点：函数图像恒过定点（1,0）o单调性：a>l时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；01时,中的)B.58C.89在同一坐标系中,D.Ill函数y=与y=logax的图象是图yD・/＞乃＞乃二次函数y=axz-\~bx~\~c与函数y=(-)v的图象可a能是)yjk8.已知函数代方的定义域是(0,1),那么/(2V)的定义域是2.设必“叫儿朋匕旳二©严，贝U(A・乃＞刀＞乃B.乃〉刀＞乃C./＞乃＞乃3.在下列图象中，()A.(0,1)B.(1,1)C.(—8,0)0.(0,+◎\n9.若a2x=V2-1,3jva+aax+q-3x-x等于(A.2V2-1B・2-2V2C・2V2+1D・V2+110.设O)满足=f(4—x),且当x>2时O)是增函数，则臼=A1.10-9),b=Ao.911),c=/(logl4)的大小关系是()2A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a11.若函数f(x)与g(x)=(^)x的图象关于直线y=x对称，贝Jf(4-x2)的单调递增区间是()A.(—2,2］B.［0,+00)C.［0,2)D.(—00,0］二.填空题12.已知+2_x=5,则+8"x=・13.若函数y=log2X+2的反函数定义域为(3,+8),则此函数的定义域为•14.已知y=loga(3-ax)在［0,2］上是x的减函数，则a的取值范围是.15•函数f(x)=ax(a>0,a^l)在［1,2］上的最大值比最小值大专，则a的值为.13.已知函数f(x)=2X-1的反函数为f-(x),g(x)=log4(3x+1)・(1)若f"(x)Sg(x),求X的取值范围D；(2)设函数H(x)=g(x)-lf,(x),当xgD时，求函数H(x)的值域.14.已知常数a>1,变数X、y有关系31ogxa+logax-logxy=3.(1)若x=al(tzO),试以a、t表示y；(2)若t在［1,+oo)内变化时，y有最小值8,求此时q和x的值各为多少？15.已知函数f(x)=9x-2-3\判断f(x)是否有反函数？若有，求出反函数；若没有，怎么改变定义域后就有反函数了？一丄219・设0W/W2,求函数尸4、2-a-2x+—+1的最大值和最小值.\n第六节函数与方程1-6-1理论思想1、函数与方程的思想方法是高中数学思想方法的主线，函数思想是指在解决某些问题时，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象出变量间的函数系，再利用函数的有关性质，使问题得以解决。2、方程思想是指将研究的变量设为未知数，根据题意布列方程，通过对方程的研究，使问题得以解决。方程与函数是两个不同的概念,但它们有着密切的联系。对于同一个问题，可以用不同的观点去分析,从而引出不同的方法。3、重要关系A、方程f(x)=g(x)的解是两函数y=于(兀)和y二g(x)图象交点的横坐标；B、不等式f(x)>g(x)的解集是函数y=/(兀)的图象在函数y二g(x)的图象上方的取值集合；C、不等式/(OEPr2—（m+n）t+m/?-16<0,•/10,x2+20x=8x-6a-3,即：x<-20或x>0,①x?+12x+6a+3=0・②令f(x)=x2+12x+6a+3.(1)若抛物线y二f(x)与x轴相切，有A=144-4(6a+3)=0,即a二(11/2).将(11/2)代入②，得x二-6,不满足①.・・・qH(11/2)・(2)若抛物线y=f(x)与x轴相交(如图2-12),注意到其对称轴为x二-6,故交点的横坐标有且仅有一个满足①的充要条件为图2-12f(—20)20,解得-(163/6)WaV-(1/2).\nf(0)<0,・•・当-(163/6)WaV-(1/2)时，原方程有惟一解.数型结合思想上面方程可以等价于x2+20x=8x-6a~3(xV-20或x>0).③问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8x-6a-3与抛物线y=x2+20x(x<-20或x>0)有且仅有一个公共点.虽然这两个函数的图象都很明确，但在什么情况下它们有且仅有一个公共点，却并不明显.如果把方程③稍作变形，如x2+12x+3=-6a(x<-20或x>0)・再在同一直角坐标系中分别作出抛物线y二x'+12x+3(x<-20或x>0)和直线y二-6a,如图2T3所示.当且仅当3<-6a^l63,即-(163/6)WaV-(1/2)时，直线与抛物线仅有一个公共点.・・・当-(163/6)WaV-(1/2)时，原方程有惟一的实根.第七节函数与不等式1-7-1理论思想1、不等式的性质及均值定理等重要不等式，是求解函数定义域、\n值域、判断函数单调性以及求解函数最值问题的有力工具\n2、利用函数的单调性，是求解比较大小问题或进行某些不等式证明的重要途径3、函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以及函数、方程、不等式之间的相互转化，是灵活处理函数与不等式问题的基本的思想和方法。例题解析1、解关于X的不等式J/-只>a+2x分析一：这是解无理不等式，一般思路是化无理不等式为有理不等式[2x+a<0[2x+a>0-a0时原不等式的解集为［—解一：原不等式或1.当a>0时:244a--a2xx=0此时解集为0分析二:用数形结合解不等式解二：在同一直角坐标系XOY中作曲线C：»二血-宀,作直线1：y=2x+ap=品2_，4由b=2x+a得77二7=2x+q・・・心"入=-产如图（3）得3〉0时，原不等式的解集为[~a,0]如图（4）得，a〈0时，原不等式的解集为"如当a二0时，解法同解法一（略）\n例3・若对于任意实数x,不等式aa+14a2怛成立,求a的取值范围。a+1分析一：系数较繁，但有联系，先换元，化简不等式。令t二勿石,则原不等式化为：(3+t)X2—2tx+2t>0令f(x)=(3+t)x2—2tx+2t考察3+1>0二次函数f(x)的图象知：［"(2t)2-4.2t(3+t)<0得t>0.a+1logo.・.2a>0得0=f((xl+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数xl,x2都有(f(xl)+f(x2))/2<=f((xl+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。同样，如果不等式中等号只有xl=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数