新课标高中数学必修二导学案-高中课件精选 111页

目录第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1多面体的结构特征11.1.2旋转体与简单组合体的结构特征61.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图101.2.3空间几何体的直观图.15§1.3空间几何体的表面积与体积第1课吋柱体、锥体、台体的表面积1927第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积23习题课空间几何体第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面292.1.2空间中直线与直线之间的位置关系332.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面Z间的位置关系372.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定402.2.3直线与平面平行的性质442.2.4平面与平面平行的性质472.3.1直线与平面垂直的判定502.3.2平面与平面垂直的判定532.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质57第二章复习课60第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率643.1.2两条直线平行与垂直的判定673.2.1直线的点斜式方程703.2.2直线的两点式方程733.2.3直线的一般式方程763.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离793.3.3点到直线的距离\n3.3.4两条平行直线间的距离82第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程854.1.2圆的一般方程884.2.1直线与圆的位置关系914.2.2圆与圆的位置关系944.2.3直线与圆的方程的应用974.3.1空间直角坐标系1003.3.2空间两点间的距离公式103章末复习106\n第一章空间几何体§1」空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征【学习目标】1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别.【知识梳理】1.空间几何体(1)概念：如果只考虑物体的和—，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出來的空间图形就叫做空间儿何体.(2)特殊的几何体①多面体：一般地，由若干个围成的儿何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的相邻两个面的—叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点.②旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的—2.多面体的结构特征(1)棱柱的结构特征：一般地，有两个面,其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)棱锥的结构特征：一般地，有一个面是,其余各面都是,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)棱台的结构特征：用一个—于棱锥底面的平面去截棱锥，之间的部分，这样的多面体叫做棱台.思考探究［情境导学］在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.本节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体.探究点一空间几何体的类型思考1观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？\n答：思考2如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型?答：思考3观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成儿何体的每个面的待点，以及面与面之间的关系,你能归纳出它们有何共同特点吗？答：［小结］我们把由若干个平而多边形围成的几何体叫做多而体.围成多而体的各个多边形叫做多而体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.思考4观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成儿何体的每个面有何共同特点？答：［小结1由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.探究点二棱柱的结构特征思考1我们把下面的多面体収名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗?答:思考2为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？答：思考3棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？答：思考4一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？答：\n思考5有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗?答：［小结］在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱思考1图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—AfB'CD'ErF'.例1试判断下列说法是否正确：⑴棱柱小互相平行的两个面叫做棱柱的底面；(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.答：［反思与感悟1概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例；(2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断.跟踪训练1根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体.(2)rfl8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.答：探究点三棱锥的结构特征思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗?思考2参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗?答：思考3类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表示思考1中的三个棱锥？答：思考4一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？答：高中教育\n思考5用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何?答：思考6棱柱、棱锥分别具有一些什么儿何性质？答：例2如图，几何体中，四边形AA^B为边长为3的正方形，CG=2,CCi^AApCC\//BB\,请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征.在立体图中画出截面.答:［反思与感悟］认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开.跟踪训练2若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2,底面周长为9,求棱锥的高.（过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离）答：探究点四棱台的结构特征思考1用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台.那么棱台有哪些结构特征？答：思考2仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？答：思考3根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？如何用字母表示棱台？答：思考4既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？答：例3有下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有（）A.0个B.1个\nC.2个D.3个［反思与感悟］一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判斷几何体是否为棱台的依据.跟踪训练3己知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4$的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为如，求四棱台的高.答：【随堂练习】1.下列说法中正确的是（）A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧而一定是平行四边形，但它的底而一定不是平行四边形2.下列说法中，正确的是（）A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的儿何体是棱锥B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形3.下列说法错误的是（）A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行以边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是•①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱.【课堂小结】1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析,多观察实物，提高空间想象能力.\n第2课时旋转体与简单组合体的结构特征【学习目标】1.认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；2•认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的儿何结构特征.【知识梳理】1.圆柱及其有关的概念以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做.叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的-2.圆锥的概念以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做3.圆台的概念用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截血之间的部分叫做与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.4.球及其有关的概念以半圆的直径所在直线为,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做,简称球.半圆的圆心叫做球的，半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的球常用表示球心的字母0表示.5.简单组合体(1)概念：由组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体而成，另一种是由简单几何体—或一部分而成.思考探究［情境导学］举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点•它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体.本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征.探究点一圆柱的结构特征思考1如图所示的空间儿何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的儿个概念是如何定义的？答:思考2如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形?答：高中教育\n探究点二圆锥的结构待征思考1类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗?答：思考2类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线？答：思考3经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？答：探究点三圆台的结构特征思考1用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成？答：思考2与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用字母表示？答：思考3圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？答：例1用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长.答：［反思与感悟］用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截而）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程组而解得.跟踪训练1将例1中“截去的圆锥的母线长是3cm”改为“圆锥SO的母线长为16cm”其余条件不变，则结果如何？答：探究点四球的结构特征思考类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示球？\n答:例2判断下列各命题是否正确：(1)三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；(2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(3)—直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的儿何体是圆台；(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形;(5)到定点的距离等于定长的点的集合是球.答：跟踪训练2下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3探究点五简单组合体的结构特征思考1现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.那么这些组合体是怎样构成的？答：思考2观察教材图1.1一11中(1)、(3)两物体所示的几何体，你能说出它们各Ftl哪些简单几何体组合而成吗？答：例3描述下列几何体的结构特征.(3)答:跟踪训练3数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名,下你所得的奖杯是由哪些简单儿何体组成的？被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一答:\n【随堂练习】1.下图是由哪个平面图形旋转得到的（）2.下列说法正确的是（）A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心3.下而儿何体的截面一定是圆面的是（）A.圆台B.球C・圆柱D.棱柱4.以下说法中：①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1.②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱.③过圆台侧面上每一点的母线都相等.正确的序号为.5.如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?\)2z(\厂【课堂小结】（1）圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台.（2）球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间.§1.2空间几何体的三视图和直观图121中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图【学习日标】1•了解投影、中心投影和平行投影的概念；2.能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型.【知识梳理】投影\n(1)投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做,把留下物体影子的屏幕叫做-(2)投影的分类①中心投影：光由向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于」②平行投影：在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做-2.三视图(1)三视图的分类①正视图：光线从儿何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做儿何体的②侧视图：光线从儿何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做儿何体的③俯视图：光线从儿何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做儿何体的(2)三视图的画法要求①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的、、看到的物体轮廓线的正投彫围成的平面图形.②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的,长度与的长度一样，侧视图放在正视图的右边，高度与的高度一样，宽度与的宽度一样.③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮扌肖部分用虚线画出.思考探究［情境导学］从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中.”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上.探究点一屮心投影与平行投影导引在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间儿何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个儿何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题.思考1什么是投影、投影线、投影面吗？答：思考2不同的光源发出的光线是有差异的，其屮灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同?答：\n［小结］我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影；把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.思考3用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？答：思考4用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？答：思考5用手电筒照射一个与投影而平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？答：思考6一个与投彫面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？答：例1如图所示，在正方体ABCD-AxByCxDx中，E、F分别是44】、CQ的中点，G是正方形BCCb的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的.(填序号)①AB③［反思与感悟］画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.跟踪训练1如图⑴所示,E、F分别为正方体面ADD'A'、而BCC'B'的中心，则四边形B/DE在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的.AB(1)①探究点二柱.锥.台.球的三视图导引把一个空间儿何体投影到一个平而上，可以获得一个平而图形.从多个角度进行投影就能较好地把握儿何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面.思考1如图，设长方体的长、宽、高分别为鸟方、C,那么其三视图分别是什么？\n答：思考2三视图，分别反映物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）?答：［小结］一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高,正俯等长，侧俯等宽.思考3圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？答：俯视图思考4球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体?答：探究点三简单组合体的三视图思考1在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？思考2如图所示，将一个长方体截去正左方答:例2如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.答：\n［反思与感悟］（1）在画三视图时，务必做到正（视图）侧（视图）高平齐，正（视图）俯（视图）长对正，俯（视图）侧（视图）宽相等.（2）习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方.跟踪训练2某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）AB探究点四将三视图还原成几何体思考下图是简单组合体的三视图,想象它们表示的组合体的结构特征,并画出其示意图.答:例3说出下面的三视图表示的儿何体的结构特征.答：正视图侧视图俯视图［反思与感悟］通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.跟踪训练3下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.侧视图俯视图口■【随堂练习】1.如图所示，在正方体ABCD—AiSGDi中，M,N分別是BB】，BC的屮点，则图屮阴影部分在平面ADDA上的正投影是（）\n2.)某儿何体的三视图如图所示，那么这个儿何体是（侧视图俯视图B.四棱锥D.三棱台三棱锥四棱台A.C.D\AB(1)GD]左视4⑵"DAB4.一个儿何体的三视图如图所示，则该儿何体可以是（）侧视图2.将正方体（如图⑴所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）5.如图，四棱锥的底血是正方形，顶点在底血上的射影是底血正方形的中心，试画出英三视图.【课堂小结】1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、髙平齐、宽相等”的基本特征.2.几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助\n坐标轴，在第二象限画出正视图；根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一象限画出侧视图.1.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.1.2.3空间几何体的直观图目标1.掌握斜二测画法的作图规则；2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.【知识梳理】1.画平面图形直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的兀轴和y轴，两轴相交于点0.画直观图时，把它们画成对应的*轴与轴，两轴交于点O',且使ZWO'y'=45°(或135。)，它们确定的平面表示水平面.⑵已知图形中平行于兀轴或y轴的线段，在直观图中分别画成他于H轴或$轴的线段.(3)己知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度—，平行于y轴的线段，长度为原来的2.立体图形的直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面卍O'y1垂直的轴O'z‘.且平行于O'z的线段长度其他同平面图形的画法.思考探究［情境导学］空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.空间图形能否在平面中画出来，使得既富有立感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系呢？这就是空间几何体的直观图.本节我们就来研究这个问题.探究点一水平放置的平面图形的画法导引用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图，要画空间儿何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.思考1把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？答:思考2把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？答：思考3阅读教材16页屮的例1,然后自主作出水平放置的正六边形的直观图.答：\n［小结］上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，斜二测画法的基本步骤和规则：(1)建坐标系，定水平面；⑵与坐标轴平行的线段保持平行：(3)水平线段等长，竖直线段减半.思考4斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？画出水平放置的圆的直观图.答：例1用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.答:［反思与感悟］此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便.跟踪训练1将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？答:探究点二空间儿何体的直观图的画法例2用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—AfB'CfDf的直观图.答：［反思与感悟］直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于尤轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于兀'轴、)』轴、zz轴的线段；(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的*.跟踪训练2如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.\n正视图侧视图俯视图答:例3如图，一个平而图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45。，两腰和上底边长均为1,求这个平而图形的而积.答:［反思与感悟］解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平而图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于尤轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍.跟踪训练3已知△4BC的平面直观图AA'B!C'是边长为。的正三角形，那么原AABC的面积为（）A.參B.爭"D.&a22【随堂练习】1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正方形的面积为（）A.16B.64C.16或64D.无法确定2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的（）\n3O1-5□1・5二^273333ABCD3・已知两个圆锥，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为（）A.2cmB・3cmC.2.5cmD.5cm1.如图所示，C‘是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.答:【课堂小结】1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.§1.3空间几何体的表面积与体积第1课时柱体、锥体、台体的表面积目标1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法；2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题；3.培养空间想彖能力和思维能力.【知识梳理】\n1.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的_-2.圆柱、圆锥、圆台的侧而展开图圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是—、—、-3.旋转体的表面积名称图形公式圆柱■2irr1底面积：s^=_侧面积:Sff!=表面积：s=圆锥移,底面积：s^=侧面积：Sff!=表面积：s=圆台上底面面积：S上底=下底而而积：S下底=侧面积：Sm=表而积：s=思考探究［情境导学］已知ABB/】是圆柱的轴截面，AB=b,P是BB、的中点、;一小虫沿圆柱的侧面从A爬到P,如何求小虫爬过的最短路程？要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开，本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积.探究点一棱柱、棱锥、棱台的表面积思考1在初屮我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？答：思考2几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，棱台的侧面展开图是怎样的?如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？答：例1己知棱长为°,各面均为等边三角形的四面体S—ABC,求它的表面积.［反思与感悟］在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用.跟踪训练1已知棱长为5,底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S—ABCD,求它的表面积.答：\n例2己知正四棱台（上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.答：［反思与感悟］解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决.跟踪训练2在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？D答:探究点二圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法思考1如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积?答：思考2如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积?答：思考3如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积?答：思考4圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?口•例3—圆台形花盆，盆口直径20cm,盆底直径15cm,底部渗水圆孔直径1.5cm,盆壁长15cm.为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？（兀取3.14,结果精确到1毫升）\n答:［反思与感悟］解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长.跟踪训练3圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么圆台的表面积是多少？（结果中保留兀）答：\n【随堂练习】1・一个儿何体的三视图（单位长度：cm）如图所示，则此儿何体的表面积是（21—4―*/\t41正视图1X俯视图侧视图B.84cm2D.96cm23-2A3-271V3+-兀A.(80+16V2)cm2C.(96+lgi)cm22•某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表而积为（1.—个咼为2的圆柱，底面周长为2兀•该圆柱的表面积为・2.表面积为3兀的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为-【课堂小结】1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面枳；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.高屮教育2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而\n对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.1.S田住衷=2兀心+/）；S旧瞬=兀心+/）;S图台表=兀（,+刃+/?/+尸）.第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表而积H标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关儿何体的体积；2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；3.会求简单组合体的体积及表而积.【知识梳理】1.柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体=（S为底面面积，力为高），V圆柱=（r为底面半径）锥体V惟休=S为底面面积，"为高），V関傩=（厂为底面半径）台体心体—；（S+V^+s，V2+rrfM理，S分别为上、下底面面积，力为高）,+/）",厂分别为上、下底面半径）2.球的体积球的半径为R，那么它的体积V=1.球的表面积S=球的半径为R,那么它的表面积5=思考探究［情境导学］上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题.探究点一柱体、锥体、台体的体积思考1我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式如何表示？答：思考2根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？答：思考3等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如何？答：\n思考4根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式？答：思考5台体的上底面积S',下底面枳S,高/?,则台体的体积是怎样的？圆台的体积公式如何用上下底面半径及高表示？答：例1如图所示的三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且PB=1,用=萌，PC=y^,求其体积.（一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直）P［反思与感悟］三棱锥的任一侧面都可以做为底面来求其体积；在已知三棱锥的体积时，可用等体积法求点到平面的距离•在本例中有Vp-/\f}c=匕^B-PAC=Uc-川B・跟踪训练1一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.271+2^3C.2兀+2^3H—2一正视图俯视图B.4兀+2萌D.4兀+爭侧视图探究点二球的体积和表面积思考球既没有底面，也无法像柱、锥、台体一样展成平而图形，怎样求球的表而积和体积呢？就目前我们学过的知识还不能解决，我们不妨先记住公式.设球的半径为那么它的体积：疋,它的表面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？答：例2如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:\n?(1)球的体积等于圆柱体积的亍(2)球的表血积等于圆柱的侧血积.答：［反思与感悟］(1)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长.(2)球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线.(3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.(4)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.跟踪训练2球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3：4,则球的体积与圆台的体积之比为()A.6：13B.5：14C.3：4D.7：15探究点三简单组合体的表面积和体积例3如图，梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90。，AD=a,BC=2a,ZDCB=60°,在平面ABCD内过点C作/丄CB,以/为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.答:［反思与感悟］求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.跟踪训练3如图所示，在多面体ABCDEF^,已知面4BCD是边长为3的正方形，EF//AB,EF\nEF与ABCD的距离为2,求该多面体的体积.答：\n【随堂练习】1.已知高为3的棱柱ABC—AXBXCX的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥Bi—ABC的体积为（）彳卯c¥A扌B2c也匕6D迈°-42.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为帀，那么它的体积为（）A.6^3B.a/3C.2y[3D.23.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥的体积为.4.如图，在三棱柱A^Q-ABC中，D,E,F分别是AB,AC,44】的中点，设三棱锥F~ADE的体积为三棱柱45G—A3C的体积为血，则匕：V2=.【课堂小结】1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为U拄体=S〃—V^=jh（s+7ss，+Sf）^^V^=^Sh・3V2.在三棱锥A-BCD中，若求点人到平而BCD的距离力，可以先求V4-bcd,h=—•SbBCD这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V—般用换顶点法求解，即Va-Dcd=Vb-acd=Vc高中教育\n-abd=Vd-abc,求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求.1.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.2.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.3.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.习题课空间几何体结构图类型题题型一三视图与直观图三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，正视图反映它的长和高，侧视图反映它的宽和高.例1已知某儿何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为()A.警B.3兀C晋D.6兀侧视图俯视图正视图8cm侧视图俯视图跟踪训练1一儿何体的三视图如图所示.(1)说出该儿何体的结构特征并画出直观图;(2)计算该儿何体的体积与表面积.答：高屮教育\n题型二柱体、锥体、台体的表面积和体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数臺之间的关系及各元素Z间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其屮矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用.例2圆柱有一个内接长方体AC|,长方体对角线长是loV2cm,圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是IOOttcm2,求圆柱的体积.答：跟踪训练2正四棱柱的対角线长为3cm,它的表面积为16cm2,求它的体积.答：题型三几何体中的有关最值问题有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题，一般是利用展开图中两点的直线距离最小来求解；有关面积和体积的最值问题，往往把面积或体积表示为某一变量的二次函数的形式，然后利用二次函数的知识求最值.例3如图，在底血半径为1,高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？答：跟踪训练3有一根长为3兀cm,底面半径为lcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.答：【课堂小结】研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决第二章点直线平面Z间的位置关系\n1.1.1平面目标1•掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系；2.掌握有关平面的三个公理；3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系.【知识梳理】1.平面的概念(1)几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.(2)儿何里的平面是的.2.平而的画法(1)通常把水平的平面画成一个,并且其锐角画成45。，且横边长等于其邻边长的_倍・(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来.3.点、直线、平面的位置关系的符号表示A是点，/,加是直线，a,“是平面.文字语言符号语言图形语言A在/上A在/外A■1A在a内/M/A在a外•A盘//在a内X1//在G外12/1，加相交于A/,a相交于A、人八乂a，0相交于I4.平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在4丘/,BWI,且AWa,B^a=>公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面Ate/4,B,C三点不共线今存在惟一的平面a使A,B,CWa\n公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的P^aM,IL思考探究［情境导学］在《西游记》中，如来佛祖对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛祖的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛祖的手掌像什么？探允点一平面的概念思考1观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？答思考2生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印彖，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？答思考3如何用字母表示平面，如何表示点在平面内或点不在平面内？答例1下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（）跟踪训练1下列命题:（1）书桌而是平而；（2）8个平而重叠起来要比6个平而重叠起来厚；（3）有一个平而的长是50m,宽是20m；（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽彖的数学概念.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4探究点二平面的基本性质导引如果直线/与平面。有一个公共点P,直线/是否在平面a内？如果直线/与平面a有两个公共点，直线/是否在平面a内？思考1实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌血上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上.从经验中我们能得到什么结论呢？答思考2如何用符号语言表示公理1?公理1有怎样的用途?答例2如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.跟踪训练2若点M在直线a上，a在平面a内，则M,a,a之间的关系可记为（）\nA・M^cba^aC.MUq,aUaB.MWa,aUaD.MU。，a^a思考3生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚.上述事实和类似经验可以归纳为怎样的公理？答思考4如何用符号语言表示公理2?公理2有怎样的用途？答例3已知G〃/?〃c,/Qa=Afmb=B,inc=C.求证：a,b,c和/共面.跟踪训练3已知：如图所示，厶门?2=久/2。厶=3,/|Q/3=C.求证：直线厶、H、厶在同一平面内.思考5把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？思考6如何用符号语言表示公理3?公理3有怎样的用途？答例4已知△ABC在平面a夕卜，ABHa=P,ACC\a=R,BCQa=Q・求证：P、Q、R三点共线.rbEB跟踪训练4如图所示，在正方体ABCD—AjBiCjDi中，E为AB的中点，F为A4]的中点.求证：CE、D\F、D4三线交于一点.课堂练习1.若4W平面a,平面a,CW直线A3,贝lj()A.C^aB.C^a\nC.D.ABnct=C1.平行六面体ABCD—A^QD^,既与AB共面也与CG共面的棱的条数为()A.3B.4C.5D.62.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平而把空间分成部分.3.如图，已知D,E是ZVIBC的边AC,BC上的点，平面a经过DE两点，若直线4B与平面a的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是•4.如图，在正方体4BCQ—A|B|CQi中，对角线A|C与平面BDC|交于点O,AC、BD交于点M,E为A3的中点，F为A4］的中点.求证：(1)G、0、M三点共线；(2)E、C、£>］、F四点共面；(3)C£、D\F、D4三线共点.【课堂小结】1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平而內的依据;公理2——定点共面、线共面的依据；公理3——>1定点共线、线共点的依据.2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上.3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线2.1.2空间屮直线与直线Z间的位置关系目标1.了解空间中两条直线的位置关系；\n2.理解异面直线的概念、画法；3.理解并掌握公理4及等角定理；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.【知识梳理】1.空间中两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数共面相交直线同一平面内公共点直线平行直线同一平面内公共点异面直线不同在公共点2.公理4(1)文字表述：的两条直线互相平行.(2)符号表述：(3)含义：揭示了空间平行线的.3.等角定理(1)研究对象：在空间中的两个角.(2)条件：两边分别(3)结论：这两个角4.异面直线所成的角定义前提两条异面直线a,b作法经过空间任一点O作直线R〃d,bf//b结论我们把R与bf所成的叫做异面直线。与b所成的角(或夹角)范围记异面直线d与b所成的角为0,则特殊情况当&=时，a与b互相垂直，记作思考探究［情境导学］在平而中没有公共点的两条直线一定平行，但在空间中就不一定成立.例如：在十字路口立交桥中，两条路线AB,CD既不相交，又不平行.今天我们就来研究空间中直线与直线之间的位置关系.探究点一空间两直线的位置关系思考1在同一平面内，两条直线有儿种位置关系？答\n思考2观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗?4Q答思考3如何判断两条直线是异面直线？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?答思考4为了体现异面直线不共面的特点，如何借助平面衬托來画异面直线呢?思考5下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？探究点二公理4思考1在同一•平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空I'可屮,是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.答思考2公理4有什么作用？如何用符号语言表示公理4?答例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是4B、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.跟踪训练1在例1中，如果再加上条件AC=BDf那么四边形EFGH是探究点三等角定理导引在平而上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间屮，结论是否仍然成立呢？思考1观察图，在长方体ABCD—A7B'CDf»P，ZADC与ZA'DrCrZADC与ZD'/TB'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答\n思考2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论?答探究点四异面直线所成的角GC思考1在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD-EFGH中，异面直线A3与HF的错开程度怎样來刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？答思考2异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？思考3异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直?思考4如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直吗？为什么？答思考5垂直于同一条直线的两条直线是否平行?例2如右图，已知正方体ABCD—AfBrCrDr.(1)哪些棱所在直线与直线是异而直线？⑵直线B4'和CC'的夹角是多少？跟踪训练2如图，在三棱锥A—BCD中，E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,ZGEF=120°,则和AC所成角的度数为.例3如图所示，正方体AC】中，E、F分别是A】®、5G的中点，求异面直线DBi与EF所成角的大小.跟踪训练3如图，在四棱锥O—ABCD中，底ABCD是边长为2方形，04丄底Ifij"ABCD,0A=2,M为OA的中点.⑴求四棱锥O—ABCD的体积；(2)求异面直线0C与MD所成角的正切值的大小.\n【随堂练习】1.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能2.若。和b是异面直线，b和C是异面直线，则Q和C的位置关系是()A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、平行或异面3.下列四个结论中假命题的个数是()①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线b,c满足q〃b,b丄c,贝！Jg丄o；④若直线厶，b是异面直线，则与厶，人都相交的两条直线是异面直线.A.1B.2C.3D.44.如图，已知长方体ABCD—AfB'CfD'中，AB=2心AD=2©AA'=2.(1)BC和4’C所成的角是多少度?(2)AA'和BC'所成的角是多少度？【课堂小结】1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一\n种常用的判定方法.1.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问題向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0。，90°］,解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.2.1.3空间中直线与平面Z间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系冃标1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系;2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系；3.掌握空间中平面与平面的位置关系.【知识梳理】1.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行aZ/2.平面与平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平而平行//无%/两平面相交斜交古有一条公共直线垂直a/a7有一条公共直线/b/思考探究［情境导学］一支笔所在的直线和一个作业本所在的平面有几种位置关系？即一条直线与一个平面有几种位置关系？今天我们就来研究这个问题.探究点一空间屮直线与平面Z间的位置关系A答4B思考2如何用图形表示直线与平而的位置关系？这种位置关系如何用符号语言表示?思考1如下图，线段A'B所在直线与长方体ABCD—A'B'CD'的六个面所在平面有几种位置关系？DLrf\n例1下列命题中正确的个数是（）①若直线/上有无数个点不在平面。内，贝IJ1//UA②若直线/与平面a平行，则/与平面a内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线/与平面a平行，则/与平面a内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3跟踪训练1己知直线a在平面a外，贝M）A.a//aB.直线a与平面a至少有一个公共点C・aC\a=AD.直线d与平面a至多有一个公共点探究点二平面与平面之间的位置关系思考1拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有儿种?答3思考2如图所示，围成长方体ABCD—AfBfCDr的六个面，两两之间的位置关系有几种？答思考3平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达?答例2依0是两个不重合的平面，下而说法中，正确的是（）A.平面a内有两条直线a、b都与平面”平行，那么a〃”B.平面次内有无数条直线平行于平面伤那么a//^C.若直线d与平面a和平面"都平行，那么a//fiD.平面a内所有的直线都与平面0平行，那么a//p跟踪训练2两平面a、0平行，aUa,下列四个命题：①°与0内的所有直线平行；②a与0内无数条直线平行；③直线a与0内任何一条直线都不垂直；®a与P无公共点.其中正确命题的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个例3下列说法中正确的个数是（）（1）平面匕与平面0,?都相交，则这三个平面有2条或3条交线.（2）如果a,b是两条直线，allb、那么a平行于经过b的任何一个平面.高中教育\n⑶直线a不平行于平面g则a不平行于«内任何一条直线.⑷如果a〃0,a//a,那么a//p.A.0个B.1个A.2个D.3个跟踪训练3过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（）A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个【随堂练习】1.若平而a,平面0,则g与0的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.不确定2.若平面么〃平面卩，lUa,则/与”的位置关系是（）A./与“相交B.I与”平行C./在"内D.无法判定3.若两个平而互相平行，则分别在这两个平行平而内的直线（）A.平行B.异面C.相交D.平行或异面4.下列说法中正确的序号为.①若直线/平行于平面。内的无数条直线，贝U//a；②若a〃“，c/Ua,bU0,则a与b是异面直线；③若a〃“，aUa,则°〃0；④若aCB=b,aUa,则d与0—定相交.\n【课堂小结】1.解决本节问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识,并借助于空间想象能力进行细致的分析.2.正方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.2.2.1直线与平而平行的判定2.2.2平而与平而平行的判定目标1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.会用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行；3.理解并掌握两平面平行的判定定理；4.会用两平面平行的判定定理证明两个平面平行.【知识梳理】1.直线与平而平行的判定定理(1)定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.⑵符号语言：2.平面与平面平行的判定定理(1)定理：一个平面内的两条担交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.⑵符号语言：(1)定理的推论(拓展)由两个平面平行的判定定理可以得出推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.思考探究探究点一直线与平面平行的判定定理思考1直线与平面有几种位置关系？分别是什么？答思考2将课本的一边紧贴桌面，转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何呢?思考3我们知道门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，此时门扇转动的一边与门框所在的平面有怎样的关系？为什么？答思考4如图，平面«外的直线a平行于平面a内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面«相交吗？\n思考5如何用符号语言表达直线与平血平行的判定定理?答探究点二直线与平面平行的判定定理的应用思考直线与平面平行的判定方法有哪些?例1如图，空间四边形ABCD'|>,E、F分别是AB,AD的中点.求证：EF〃平面BCD跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD—AiBiCiD屮，E、F分別是棱BC、CQ的中点，求证：EF〃平面BDDb・探究点三平面与平面平行的判定思考1平面与平面有几种位置关系？分别是什么？答思考2生活中有哪些平面与平面平行的例子？请举出.答思考3三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？答思考4三角板的两条边所在直线分別与桌面平行，情况又如何呢？答思考5如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？答思考6如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？答探允点四平面与平面平行的判定定理的应用思考平而与平面平行的判定方法有哪些？答\n例2如图，已知正方体ABCD—AiBiCQi，求证：平面ABQ|〃平面C0D跟踪训练2如图，在三棱柱ABC—A/C中，E,F,G,H分别是AB,AC,A"】，AC的中点,求证：(1)3,C,H,G四点共面;(2)平面E/儿〃平面BCHG.例3如图，在正方体ABCD-A]B]C]D|中，S是的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG〃平面BDD\B\；⑵平而EFG〃平面BDDb.跟踪训练3如图所示，在正方体ABCD—A/GD]中,0为底面ABCD的中心，P是DD】的中点,设Q是CG上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D、BQ〃平面PAO?\n1.A.C.2.A.C.3.若A是直线m外一点,存在无数个存在但只有一个直线gb为异面直线,有且只有一个至多一个下列说法屮止确的是（课堂练习过A且与加平行的平面（）B.不存在D.只存在两个过直线a与直线b平行的平而（）B.有无数多个D.不存在）①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行;②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平而平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④4.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的屮点.【课堂小结】1.判定直线与平面平行的方法：（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行;（2）判定定理：（线线平行今线面平行），a^aa//b.2.用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成.3.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.2.2.3直线与平面平行的性质\nli标1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想.【知识梳理】直线与平面平行的性质定理：_条直线与_个平面平行，则-(1)符号语言描述：d〃o，QU0,pna=b^a//b.(2)性质定理的作用：可以作为平行的判定方法，也提供了一种作的重要方法.思考探究［情境导学］直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件问题，反之，在直线与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？本节我们就来研究这个问题.探究点一直线与平面平行的性质定理思考1如杲直线和平而平行，那么这条直线与这个平而内的直线的位置关系是怎样的？答思考2若直线6/与平面«平行，那么在平面a内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？答思考3如果直线与平面平行，那么经过直线的平面与平面有哪几种位置关系？答思考4如果直线d与平面a平行，经过直线a的平面a与平面相交于直线b,那么直线d,b的位置关系如何？答思考5线面平行性质定理用符号语言如何表述？答例1如图，a//a,aU卩,aCp=b.求证：a//b.跟踪训练1如图，平面a、0、卩两两相交，a,b,c为三条交线，且a//b.那么，a与c,b与c有什么关系？为什么？\n探究点二线面平行的性质定理的应用思考1如果直线a与平面a平行，那么经过平面内一点P且与直线a平行的直线怎样定位？答思考2教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？答例2如图所示的一块木料屮，棱BC平行于面A'C.⑴要经过面屮C内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线?(1)所画的线与平面AC是什么位置关系？跟踪训练2如图，已知E,F分别是菱形ABCD边BC,CQ的屮点，EF与AC交于点O,点P在平面ABCD之外，M是线段刖上一动点，若PC〃平面试求PM：的值.例3己知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.已知如图，直线d、b,平面a,且a//b,a//a,a、Z?都在平面g外.求证b//a.跟踪训练3如图，在长方体ABCD—AiBQD屮，E,H分别为棱人向，DG上的点，且EH//A{Dy,过EH的平面与棱BB\,CCi相交，交点分别为F,G,求证：FG〃平面ADD^.\n【随堂练习】1.已知直线/〃平面a,/U平面“，a^p=m,则直线Z,加的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或异面2.直线d〃平面a,a内有〃条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有()A.0条B.1条C.0条或1条D.无数条3.已知直线a〃平面a,直线b〃平面a,则直线a,b的位置关系是：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直不相交.其中可能成立的有.4.如图所示，直线a〃平面a,A載，并且a和A位于平面a两侧，点3,AB,AC分別交平面a于点E,F,若BC=4,CF=5,【课堂小结】1.求二面角的步骤简称为“一作二证三求”.2.作二面角的三种常用方法⑴定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则ZAOB为二面角a—1—p的平面角.(1)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，ZAOB为二面角a—/—0的平面角.(2)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B,由点3向二面角的棱作垂线，垂足为0,连接AO,则ZAOB为二面角的平面角或其补角.如图③，ZAOB为二面角a—1—p的平面角.\n1.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.2.2.4平面与平面平行的性质目标1•掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.【知识梳理】1.平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，⑴符号表不为：(2)性质定理的作用：利用性质定理可证,也可用來作空间中的平行线.2.面面平行的其他性质(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于,即^a//p.(2)夹在两个平行平面间的平行线段:(3)平行于同一平面的两个平面思考探究［情境导学1两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们共同探讨这个问题.探究点一平面与平面平行的性质思考1如何判断平面和平面平行？答思考2如果两个平而平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？答思考3如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关系？答思考4在长方体ABCD—AfBfC中，平面AC内哪些直线与D1平行呢？答思考5当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？如何证明它们的关系？答\n已知如图，平面a,B，y满足a//P，aQy=a,00尸b.求证a//b.\n思考6如何用符号语言表示平面与平面平行的性质定理？这个定理的作用是什么？答探究点二平面与平面平行的性质定理的应用例1求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.已知如图，a//^ABHCD、且ce«,Bwp,D^p.求证AB=CD.跟踪训练1证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交.已知如图，a//p,!C\a=At求证/与”相交./例2如图所示，平面q〃平面0,点AWa,Ce«,点BW0,DW0,点E、F分别在线段AB、CD上，且AE:EB=CF:FD求证：EF//p,EF//a.跟踪训练2如图，正方体ABCD—A}BlClDl屮，侧面对角线AB】、±分别有两点E、F,且=C】F.求证：EF〃平面ABCD.\n【随堂练习】1.平而a〃平面”，直线aj,直线bu卩,下而四种情形：®a//b.@a丄Z?.③。与异而.④d与方相交.其屮可能出现的情形有()A.1不申B.2种C・3种D.4种2.已知g〃”，qUq,BWR,则在"内过点B的所有直线中()A.不一定存在与G平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线3.过正方体ABCD—A15GD的三顶点內、G、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为/,贝U/与A.G的位置关系是•4.已知直线g〃平面弘平面a〃平面0,则g与”的位置关系为.【课堂小结】1.常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.\n1.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图\n2.3.1直线与平面垂直的判定目标1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；3.应用直线与平而垂直的判定定理解决问题.【知识梳理】1.直线与平面垂直(1)定义：如果直线/与平面a内的直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直，记作—.直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线Z的(2)判定定理：一条直线与一个平面内的2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的—所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)当直线与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是—；直线与平面所成的角0的范围：思考探究［情境导学］生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理，那么判斷线面垂直又有什么好办法呢？本节我们就来研究这一问题.探究点一直线与平面垂直的定义思考1的移动，都垂直，则该直线与此平而垂直.如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳旗杆A3与影子BC所成的角度会发生改变吗？旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B'C'(如思考1的思考2图)的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论?答思考3观察圆锥的轴与底面内哪些直线垂直？为什么？B思考4若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，与平面的位置关系如何？答.探究点二直线与平面垂直的判定定理导引定义通常可以作为判定的依据，用线面垂直的定义判定直线与平面垂直就要验证直线垂直平\n面内所有的直线，这实际上是很困难的.那么怎样判断直线与平面垂直比较方便呢？思考1请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过AABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面a垂直？思考2由折痕AD丄BC,翻折之后垂直关系不变，即ADLCD,AD丄BDrfl此你能得到什么结论？答思考3如图，把AD、BD、CD抽象为直线1、m、n.把桌而抽彖为平而g,Z与a垂直的条件是什么？思考4如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理?例1如图，已知a〃方，a丄a.求证：b丄a.跟踪训练1一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）•如果这两点与旗杆脚距离6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么？思考5如图在直四棱柱"B1C'Dr—ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）屮，底面四边形满足什么条件时，A'C丄D'?为什么？答探究点三直线与平面所成的角导引我们知道，当直线和平面垂直时，该直线叫做平面的垂线.如果直线和平面不垂直，是不是也该给它取个名字呢？此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢？思考1平面的斜线、斜足是怎样定义的？斜线在平面上的射影是如何定义的?思考2直线与平面所成的角&的取值范围是什么？答例2在正方体ABCD—ABCDiA求①直线A"和平而A}B}CD所成的角.①直线AXB和平面BCC1BI所成的角.\n【随堂练习】1.空间屮直线/和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交D.不确定2.下列命题中正确的个数是（）①如果直线/与平面匕内的无数条直线垂直，贝I」/丄©②如果直线/与平面匕内的一条直线垂直，贝IJ③如果直线/不垂直于匕，则。内没有与/垂直的直线；④如果直线/不垂直于«,则«内也可以有无数条直线与I垂直.A.0B.1C.2D.33.直线/丄平面a,直线则/与加不可能（）A.平行B.相交C.异而D.垂直4.如图，在四棱锥P-ABCD中，必丄平ABCD,AB丄AD,AC丄CD,ZABC=60°且必=力3=BC,E是PC的中点.（1）证明：CD丄4E匚（2）证明：PD丄平面ABE.【课堂小结】1.线线垂直和线面垂直的相互转化\n线面垂Jt的定义线面垂直的判定定理如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如杲两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.2.3.2平面与平面垂直的判定目标1•理解二而角及其平而角的概念，能确认图形中的已知角是否为二而角的平而角；2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3.裳握两个平而互相垂直的概念，能用定义和定理判定而而垂直.【知识梳理】1.二面角的概念从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做,S叫做二面角的面.2.二面角的平血角的定义如图：在二面角a-1-p的棱/上任取一点0,以点0为垂足,在半平面a和0内分別作垂直于棱/的射线0A和0B,则射线0A和0B构成的叫做二面角的平面角.3.平面与平而的垂直的定义如果两个平面相交，且它们所成的二面角是,就说这两个平而互相垂直.4.面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直.即思考探究［情境导学］在学习了异而直线所成的角、直线和平面所成的角后我们自然而然就提出：两个平面所成的角该怎么定义？如何衡量它的大小？为此，我们需要引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.探究点一二面角的概念思考1平面几何中“角”是怎样定义的？答思考2在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？答思考3在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？\n思考4如何用字母來记作二面角？答思考5二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，那我们应如何度量二面角的大小呢？答探究点二两个平面垂直的概念思考1教室相邻的两个墙面与地而可以构成儿个二而角？分别指出是哪些二面角？这些二而角各是多少度？答思考2如何定义两个平面互相垂直？答思考3如何画两个相互垂直的平面？平面a与平面0垂直，记作什么？答探允点三两个平面垂直的判定思考1判定两个平面互相垂直，除了定义外，述有其它的判定定理吗？答思考2如何用符号语言表达血血垂直的判定定理?答例1如图，A3是OO的直径，必垂直于OO所在的平面，C是圆周上不同于4、3的任意一点,求证：平面MC丄平面PBC.跟踪训练1如图，在四面体ABCD中，CB求证：（1）EF〃面ACD；⑵面EFC丄面BCD.CD,AD丄BD,且E、F分别是AB、BD的中点.\n例2如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱中，AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.⑴求点C到平面的距离；⑵若45丄A]C,求二面角A.-CD-C,的平而角的余弦值.跟踪训练2如图所示，已知RtZXABC,斜边BCj,点朋a,AO丄弘。为垂足，ZABO=30°,ZACO=45°f求二面角A_BC一0的大小.A【随堂练习】高屮教育\n1.以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角.可能为钝角的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.直线/丄平面a,/U平面0,则a与〃的位置关系是（）A.平行B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直3.下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线d、b分别和一个二面角的两个面垂直，则0、方组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是（）A.①③B.②④C.③④D.①②4.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC,/\ABC都是等边三角形，且BC=1,SA=爭，则二面角S-BC-A的大小为•【课堂小结】1.求二面角的步骤简称为“一作二证三求”.2.作二面角的三种常用方法⑴定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则ZAOB为二面角a~l—p的平面角.（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，ZAOB为二面角a—1—p的平面角.（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B,由点B向二面角高中教育\n的棱作垂线，垂足为0,连接A0,则ZA0B为二面角的平面角或其补角.如图③，ZA0B为二面角a—1—p的平面角.1.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质目标1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；2.能运用性质定理解决一些简单问题；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.【知识梳理】1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线他符号语言图形语言ab2.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平而垂直，则垂直于交线的直线与另一个平面符号语育图形语言厶3.平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平而垂直，那么经过第一个平而内一点垂直于第二个平而的直线在第一个平而内.(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.思考探究［情境导学］直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直及平面与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直及平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？本节就来研究这个问题.探究点一线面垂直的性质定理思考1若一条直线与一个平血垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平血垂直呢？答思考2已知直线g丄血b丄〃，那么直线a、b—定平行吗？我们能否证明这一事实的正确性呢？答•\n已知：aLa,b丄a,求证：b//a.例1把直角三角板的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面a垂直，a是a内一条直线，若斜边AB与d垂直，则BC是否与a垂直？跟踪训练1如图，aQ0=/,朋丄a,PB邛,垂足分别为A、B,aJ,a丄AB.求证：a//1.探究点二平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?答例2设a丄“，a。卩=CD,ABUa,ABLCD,ABQCD=B,求证：ABLp.跟踪训练2如图，已知平面a,緘a丄0,直线。满足a丄伤Za,试判断直线a与平面a的位置关系.B例3设平面a丄平面〃，点P在平面。内，过点P作平面0的垂线°,试判断直线a与平面a的位置关系.跟踪训练3如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是ZD4B=6(T且边长为a的菱形•侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证：⑴BG丄平面FAD；(2)AD丄PB.\n【随堂练习】1.△ABC所在的平面为g,直线IA.AB,/丄AC,直线刃丄BC,m丄AC,则直线/,加的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.不确定2.平面qG平面卩=1,平面卩丄a,卩丄0,贝“)A.l//yB.勺C./与？斜交D./丄y3.在斜三棱柱ABC—AiBC中，ZBAC=90。，BC|丄AC,则点C|在底面ABC上的射影H必在4.如图，在三棱锥P-ABC屮，丄平面ABC,平面B4B丄平面PBC.求证：BCLAB.【课堂小结】1.垂直关系之间的相互转化面而垂立性质定理I面面垂直面面垂直判定定理1平面几何的定理线线垂直2.平行关系与垂直关系之间的相互转化高屮教育\n1.判定线面垂直的方法主要有以下五种①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面,平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面,第二章a//b],今b丄u;⑤如果一条直线垂直于两个平行a丄a复习课知识结构知识探究题型一儿何屮共点、共线、共面问题1.证明共面问题证明共而问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平而内;二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合.2.证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上.3.证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明\n点在直线上的问题.例1如图所示，空间四边形ABCD中，E,F分别为AB,AD的中点，G,H分别在BC,CD上,A且BG:GC=DH:HC=\:2.求证：（1）E、F、G、丹四点共面；（2）GE与HF的交点在直线AC上.跟踪训练1如图，0是正方体ABCD—A\BCD1上底面ABCD的屮心，M是正方体对角线ACi和截面A0D的交点.求证：0、M、Ai三点共线.c题型二空间中的平行问题1.判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）；（2）利用线面平行的判定定理（aS,bUa,a//b^a//a）；（3闲用面面平行的性质定理（a〃〃，dUa=>a〃0）；（4）利用面面平行的性质（a〃“,邮,a//a^a//p）.2.证明而面平行的方法：（1）利用面面平行的定义；（2）利用面面平行的判定定理：如果一个平而内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（3）垂直于同一条直线的两个平而平行;（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.例2如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—AiBtCiDt的棱BC、CC】、CQ、的中点，求证：⑴GE〃平面BBQD（2）平面BDF〃平面B\D、H.跟踪训练2如图，AABC为正三角形，EC丄平面ABC,DB丄平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的屮点，N是EC的屮点，求证：平面DMW〃平面ABC.\n题型三空间屮的垂直关系空间垂直关系的判定方法：（1）判定线线垂直的方法：①计算所成的角为90。（包括平面角和异面直线所成的角）；②线面垂直的性质（若d丄a,l）u（i,则a丄/?）.（2）判定线面垂直的方法：①线面垂直定义（一般不易验证任意性）；②线面垂直的判定定理（Q丄b,a丄c,bUa,cUq,^c\c=M^a丄a）；③平行线垂直平面的传递性质（c〃b,b丄宀1丄°）；④面面垂直的性质（a丄伤E卩=1,ciU卩,°丄少°丄a）；⑤面面平行的性质（g丄a,a//a丄0）；⑥面面垂直的性质@C0=l,a丄卩，0丄戸/丄刃.（3）面面垂直的判定方法：①根据定义（作两平面构成二面角的平面角，计算其为90。）；②面面垂直的判定定理（a丄0,a（^a=^a丄“）.例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，用丄底面ABCD,A3丄AD,AC丄CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.跟踪训练3如图，A,B,C,Q为空间四点.在ZVIBC中，AB=2,AC=BC=返,等边以AB为轴运动.（1）当平面ADB丄平面ABC时，求CD⑵当△ADB转动时，是否总有丄CD?证明你的结论.X\n题型四空间角问题1.求界面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）.2.求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）.3.二面角的平面角的作法常有三种：（1）定义法；（2）垂线法；（3）垂面法.例4如图，在四棱锥P—ABCD中，必丄底面ABCD,丄AD,AC丄CD,ZABC=60°fPA=AB=BC,E是PC的中点.⑴求“和平而PAD所成的角的大小;（2）证明：AE丄平面PCD；（3）求二面角A—PD—C的正弦值.跟踪训练4如图，正方体的棱长为1,B'CHBC'=O,求:（1）AO与"C所成角的度数；（2MO与平面ABCD所成角的正切值；D⑶平面AOB与平面AOC所成角的度数.【课堂小结】1.平行问题的转化关系性质线》线醫线〃面箸面;面性质性质I判定2.直线与平面平行的主要判定方法（1）定义法；（2）判定定理；（3）面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法（1）定义法；（2）判定定理；（3）推论；（4）臼丄a,臼丄第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率目标1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.【知识梳理】1.倾斜角的概念和范圉当直线/与兀轴相交时，我们取兀轴作为基准，兀轴……与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.当直线/与兀轴时，我们规定它的倾斜角为0。.直线的倾斜角a的范围是2.斜率的概念及斜率公式\n泄义倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为匕即k=取值范围当a=0°时，k=0；当0°<«<90°时，Q0；当90°<«<180°时,k<0；当a=90°时,斜率过两点的直线的斜率公式直线经过两点P\（X\,），］）,卩2（兀2，Y2）»其斜率比一’（兀］H%2）知识探究探究点一直线的倾斜角及斜率的概念思考1我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P,这些直线区别在哪里呢？答思考2怎样描述直线的倾斜程度呢?答\n思考3依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角a的取值范围吗？答思考4任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的儿何要素是什么？答思考5日常生活屮，还有没有表示倾斜程度的量？答思考6如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度（比）”,那么“坡度（比）”等于什么呢？答例1已知直线/向上方向与），轴正向所在的角为30。，则直线/的倾斜角为跟踪训练1己知直线/的倾斜角为0—15。，则下列结论中正确的是（）A.0°^<180°C.15°^<180°探究点二直线的斜率公式B・15°v0vl8O。D.15°W0vl95。思考1如下图1、图2,任给直线上两点P1（兀1，yi）,P2（X2,歹2）（其中兀1工兀2），过点P1作兀轴的平行线，过点戶2作y轴的平行线，答思考2设直线尺P2的倾斜角为«（«^90°）,那么RtAP.Pog中，哪一个角等于u?答思考3根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？思考4当的方向向上时，tan崔二也成立吗？为什么？答思考5当直线戶屮2与兀轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？答［小结］经过两点P|（X|,yi）,P2U2,歹2）（山工兀2）的直线的斜率公式k=―星.-兀2_兀1例2如图，已知人（3,2）,8（—4,1）,C（0,-1）,求直线AB,BC,C4的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.\n跟踪训练2经过A伽,3),B(l,2)两点的直线的倾斜角a的范围是(其中加31).例3在平面直角坐标系屮，画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及一3的直线厶，/2,I、及I®［反思与感悟1已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点.跟踪训练3己知点P(-季,1),点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°,则点Q的坐标为.【随堂练习】1.对于下列命题：①若a是直线/的倾斜角,则0°^a<180°；②若£是直线的斜率，则RGR；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.42.若经过卩(一2,加)和Q伽,4)的直线的斜率为1,则加等于()A.1B.4C.1或3D.1或43.若直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角为.4.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.(1)(1,1),(2,4);(2)(-3,5),(0,2)；(3)(2,3),(2,5)；(4)(3,-2),(6,—2).\n【课堂小结】1.求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法(1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，其斜率不存在；若不相等，可用公式来求.(2加=0。0£=0;0°<«<90°<^/:>0;90°«x<180°^<0;(z=9000斜率不存在；若求c(的具体值，可用公式R=tana求解.2.用斜率公式解决三点共线问题3.1.2两条直线平行与垂直的判定目标1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2.能根据己知条件判断两直线的平行与垂直；3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用.【知识梳理】1.两条直线平行与斜率Z间的关系类型斜率存在斜率不存在前提条件6t|=6(2工90°90°对应关系1\〃1用\=嘉1\〃申两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直与斜率之间的关系图示yh■Z二O/V对应关系厶丄两直线斜率都存在)01\的斜率不存在,11的斜率为0=>思考探究探究点一两条直线平行的判定思考1如图，设对于两条不重合的直线厶与12,其倾斜角分别为血与他，斜率分别为gk2,若/|〃/2，血与他之间有什么关系？山与层之间有什么关系？答思考2对于两条不重合的直线厶与4若k\=k2,是否一定有/1〃/2?为什么？答［小结］对于两条不重合的直线/|、12,其斜率分别为匕、处，有I\〃l20k\=k2.若直线和/2可能重合时，我们得到k\=k20l\〃l2或与/2重合.\n例1已知A⑵3),B(—4,0),P(—3,1),2(-1,2),试判断直线B4与P0的位置关系,并证明你的结论.［反思与感悟］判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等.一般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题.跟踪训练1⑴h的倾斜角为60。，经过点M(l，萌)，N(—2,—2羽)，则人与％的关系是•(2)经过两点A(2,3),B(—1,兀)的直线厶与经过点P(2,0)且斜率为1的直线“平行，则%的值为.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),BQ,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.［反思与感悟］熟记斜率公式：£=也三里，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标⑴工血)时，根X2~X\据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当X］=x2fy\^y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.7跟踪训练2求证：顺次连接A(2,-3),B(5,一㊁)，C(2,3),£)(—4,4)四点所得的四边形是梯形.探究点二两条直线垂直的判定思考1如图，设直线厶与D的倾斜角分别为a［与他，斜率分别为比1、k?,且«|<«2，若厶丄/2，«i与他之间有什么关系？为什么？思考2己知tan(90°+«)=--^-,据此，如何推出思考1中两直线的斜率匕、他之间的关系?idnu.思考3如果两直线的斜率存在且满足屮2=_\，是否一定有/1丄/2?为什么？答思考4对任意两条直线，如果厶丄仏，一定有总也=一1吗？为什么？答［小结］如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于一1;反之，如果它们的斜率之积等于一1,那么它们互相垂直，即冏层=一1=＞厶丄【2・\n例3已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(l,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.［反思与感悟1在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解.两条直线垂直与斜率之间的关系：厶丄12*炷=一1或一条直线斜率为零,另一条斜率不存在.跟踪训练3已知的三个顶点分别是A(2,2+2迈)、3(0,2—2迈)，C(4,2),试判断ZUBC是否是直角三角形.【随堂练习】1.已知A(2,0),B(3,3),直线/〃AB,则直线/的斜率&=()A.—3B.3C.-*D.*2.若经过点(3,a)、(—2,0)的直线与经过点(3,—4)且斜率为*的直线垂直，则g的值为()59A运B亏C.10D.-103.若不同两点户、Q的坐标分别为(gb),(3—b,3—①，则线段PQ的垂直平分线的斜率为4.试确定加的值,使过点A(加+1,0),B(-5,加)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.【课堂小结】1.代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线厶、＜2存在斜率Q、他，则l\〃I驴k\=k«其中厶,?2不重合）；若厶、＜2可能重合，则k\=煜ai\〃l2或厶与伍重合.h丄l^krk2=-\.2.判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为一1;三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行.3.2.1直线的点斜式方程目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.【知识梳理】直线的点斜式方程和斜截式方程\n类别点斜式斜截式适用范围斜率存在己知条件点P（Xo,），0）和斜率P斜率R和在y轴上的截距b图示方程截距直线1与y轴交点（0,b）的叫做直线1在y轴上的截距思考探允探究点一直线的点斜式方程思考1求直线的方程指的是求什么？思考2如图，直线/经过点P（）（x（）,刃）），且斜率为匕设点P（兀，y）是直线/上不同于点P（）的任意一点，怎样建立兀，y之间的关系？思考3过点心（皿，），o）,斜率是k的直线/上的点，其坐标都满足思考2屮得出的方程吗？为什么？答思考4坐标满足方程＞一为=如一也）的点都在过点厲（兀0,为）且斜率为&的直线上吗？为什么？答［小结］由上述思考2和思考3的讨论可知，方程y-y（）=k（x-x（｝）就是过点P（）（兀（），为）且斜率为k的直线的方程.方程y-y｛）=k（x~x｛｝）由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.思考5如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点Po（xo,为）且平行于x轴的直线方程？答思考6y轴所在的直线方程是什么？如何求过点Pod。，为）且平行于），轴的直线方程？答例1直线/经过点Po（—2,3）,且倾斜角«=45°,求直线/的点斜式方程，并画出直线/.［反思与感悟I由点斜式写直线方程时，由于过Pg为）的直线有无数条，大致可分为两类：（1）斜率存在时方程为y—为=陋尤一兀0）；（2）斜率不存在时，直线方程为x=x0.跟踪训练1一条直线经过点P（—2,3）,斜率为2,求这条直线的方程.探究点二直线的斜截式方程\n思考1已知直线/的斜率为匕且与轴的交点为（0,b）,得到的直线/的方程是什么？答［小结］我们称b为直线/在y轴上的截距.方程y=kx+b由直线的斜率R与它在y轴上的截距b确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程.思考2直线y=kx+b在y轴上的截距b是直线与）•，轴交点到原点的距离吗？它的収值范围是什么？答思考3一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同？答例2已知直线厶：y=k\x+b\,/?：y=k2x+b2f试讨论：⑴h〃b的条件是什么？（2）厶丄％的条件是什么？［反思与感悟］已知人：y=k\x+b\,/2:y=k2x+b2,则厶〃仏0冷=炖,且方1工仇；厶丄厶0匕他=—1.跟踪训练2已知直线/的斜率为右且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求/的方程.【随堂练习】1-方程y=k(x—2)表示()A.通过点(-2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于兀轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线1.已知直线/过点P(2,l),且直线/的斜率为直线兀一4)，+3=0的斜率的2倍，则直线/的方程为2.已知直线厶：y=2x+3afl2：y=(a2+l)x+3,若1\//则°=3.写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5),且与直线y=2x+l平行；(2)经过点C(-l,-1),II与x轴平行.\n【课堂小结】1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.直线的斜截式方程的求解策略（1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.（2）直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单，而且特点明显，£是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用b的几何意义进行判断.3.2.2直线的两点式方程目标1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.【知识梳理】1.直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1（X1，刃），卩2（兀2,力）（兀1总2,刃工力）A(a,O),B((),b)(aHO,狞0)方程2.线段的屮点坐标公式若点円、卩2的坐标分别为（Q，刃）、（兀2,力）,则线段卩屮2的中点坐标公式为.思考探究探究点一直线的两点式方程导引已知直线上两点P］（兀I，yj,兀2，肋（其中兀1工兀2，『1工力），如何求出过这两点的直线方程？思考1经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？答思考2能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样转化？答［小结］经过直线上两点P,（xi,yi）,P2U2,兀）（其中兀1工疋，才工旳）的直线方程■三三乂叫做直J7?-VlX2~X\线的两点式方程，简称两点式.思考3从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？答\n例1己知直线/与x轴的交点为A(g,O),与y轴的交点为3(0,b),其中qHO,bHO,求/的方程.答［反思与感悟］我们把直线与x轴交点@,0)的横坐标d叫做直线在兀轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是①方程》+扌=1由直线/在两个坐标轴上的截距Q与b确定，所以叫做直线的截距式方程.跟踪训练1三角形的顶点是4(-4,0),8(3,-3),C(0,3),求这个三角形三边所在的直线的方程.探究点二中点坐标公式思考如图所示，已知A(q,)7，B(兀2,乃)，M(兀，y)是线段的中点，如何用4,B点的坐标表示M点的坐标？答［反思与感悟］已知Pi,§的坐标分别为(兀】，刃)，(疋，力)，且线段的中点M的坐标为(x,y),兀=—2—，则<,这个公式称为线段的中点坐标公式.旳+)‘】2，探究点三两点式、截距式方程的应用例2已知三角形的三个顶点A(—5,0),BQ,—3),C(0,2),求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.［反思与感悟］当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.跟踪训练2已知的三个顶点坐标为4(一3,0),B(2,l),C(—2,3),求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上的高AD所在直线的方程；(3)BC边上的中线AE所在直线的方程.\n例3求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程.［反思与感悟］(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.跟踪训练3求过点(4,一3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线/的方程.【随堂练习】1•过两点(一2,1)和(1,4)的直线方程为()A.$=兀+3B.y=—x+lC.y=x~\~2D.y=—x—2B3+4=12.经过P(4,0),2(0,一3)两点的直线方程是()A-4+3=13.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为()A・x=2B・y=2C.3D.x=64.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是.5.直线/过定点A(—2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线/的方程.【课堂小结】1.求直线的两点式方程的策略以及注意点高中教育(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判斷是否满足两点式方程的适用条件：两点\n的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(1)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.1.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.2.对称问题的解决(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式.(2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决.(3)点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件，通过解方程组求解.(4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决.3.2.3直线的一般式方程目标1.掌握直线的一般式方程；2.理解关于x,y的二元一次方程A.x+By+C=O(A,B不同时为0)都表示直线；3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.【知识梳理】1.关于兀，y的二元一次方程(其中4,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.2.比较直线方程的五种形式形式方程局限点斜式不能表示斜率不存在的直线斜截式不能表示斜率不存在的直线两点式乳1工兀2，V1V2截距式不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式无思考探究探究点一直线的一般式方程思考1平面直角坐标系屮的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？为什么？答［小结］任何一条直线的方程都是关于兀，y的二元一次方程.思考2每一个关于兀，y的二元一次方程Ax+By+C=0(AfB不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？答［小结］直线方程都是关于兀，y的二元一次方程；关于x,y的二元一次图象又都是一条直线.我们把关于兀，y的二元一次方程Ax+By+C=0(AfB不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式.思考3直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？答思考4在方程加+B.y+C=O(A,B不同时为零)中，A,B,C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；⑵平行于y\n轴；(3)与兀轴重合；(4)与)，轴重合.答例1已知直线经过点4(6,-4),斜率为一专，求直线的点斜式和一般式方程.［反思与感悟］对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含兀项、含)，项、常数项顺序排列；x项的系数为正；兀，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式.跟踪训练1直线/与两直线)=1,x-y~7=0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1,-1),则I的斜率是.探究点二直线方程五种表达形式的转化例2把直线/的一般式方程x—2y+6=0化成斜截式，求出直线/的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.［反思与感悟1任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.跟踪训练2设直线［的方程为(g+l)x+y+2—d=O(dWR).(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程；(2)若/不经过第二象限，求实数d的取值范围.探究点三直线方程的综合应用例3已知直线/的方程3x+4y—12=0,求满足下列条件的直线厂的方稈:(1)过点(—1,3),且与/平行;(2)过点(一1,3),且与/垂直.\n［反思与感悟］一般地，直线Ar+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ar+By+m=（）,与直线Ax+By+C=O垂直的直线方程可设为Bx~Ay+n=O.这是经常采用的解题技巧.跟踪训练3已知A（2,2）和直线/：3x+4y-20=0.求：（1）过点A和直线/平行的直线方程；（2）过点4和直线I垂直的直线方程.【随堂练习】1.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A、3应满足的条件为（）A.AHOB.BHOC.ABHOD.A2+B2^O2.己知bc<0,则直线ax+by=c通过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.在直角坐标系中，直线x+y［3y~3=0的倾斜角是（）A.C.4.A.C.30°B.60°150°D.120°已知直线(a~2)x+ay~1=0与直线2x+3y+5=0平行，则a的值为()-64■5B.6高屮教育\n【课堂小结】1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则ky=k2且饬工力；若都不存在，则还要判定不重合.(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线/]：兀+5y+C|=0,12:A2x+B2y+C2=0.l\//l^AiB2-A2Bl=0,且BG—BqGHO,或A1C2—A2GHO.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则山他=一1.(2)—般地，设A：A】兀+Bj+C]=0,J：A2x+B2y+C2=0fh丄l^AxA2+BxB2=Q.第二种方法可避免讨论，减小失误.3.3.1两条直线的交点坐标1.3.2两点间的距离目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.【知识梳理】1.两直线的交点坐标已知直线：1\:A|兀+B])，+C]=0；I2：人2兀+〃2)，+C2=0.点/?).(1)若点4在直线/：Ax+By+C=0上，则有：.⑵若点4是直线/1与?2的交点，则有：.2.两直线的位置关系.方程组,加+陀+S0的解A2x+B2y+C2=0咖一组无数组无解直线厶与/2的公共点的个数一个零个直线h与/2的位置关系重合3.两点间的距离公式⑴条件：点恥1，刃)，卩2(兀2,旳)・(2)结论：|PHI=7(Q—兀2)2+5—力)2.⑶特例：点Pg刃到原点0(0,0)的距离|OP|=@+y2.思考探究探究点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系？答思考2已知两条直线厶与“相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标?思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系?答例1判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.\n兀一）=0,Z2：3兀+3），—10=0；（2）/1:3兀一y+4=0,/2：6x-2y-l=0；（3）/i：3兀+4），—5=0,Z2：6x+8j-10=0.［反思与感悟］判定两条直线的位置关系有两种方法：（1）通过解两直线对应方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方程能化成同一个方程两直线重合；（2）利用两直线方程的对应系数的比判断两直线的位置关系.跟踪训练1求下列两条直线的交点坐标：h：3x+4y—2=0；心2x+y+2=0.探究点二两点间的距离导引已知平面上两点凡（七，刃），卩2（兀2,力），如何求Pi，巴的距离IP1BI呢？思考1当匕工疋，），］=力时，1卩】卩21=?答思考2当x\—X2，时，1戶1戸2|=?答思考3当勺工也，只工力时，戸51=?请简单说明理由.答［小结］两点P.Ui,N）,P2（X2,力）间的距离公式1^1P2|=^（X2-Xi）2+（72-Ji）2.例2己知点A（—l,2）,BQ,箭），在兀轴上求一点P,使0|=|PB|,并求|俐的值.［反思与感悟］坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.跟踪训练2已知点4（3,6）,在兀轴上的点P与点4的距离等于10,求点P的坐标.探究点三坐标法证明儿何问题例3证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.tyD(b,c)C(a+bfc)A(0,0)B(a,0)尢\n［反思与感悟］用解析法证几何题的注意事项：（1）用解析法证明几何题时，首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；（2）再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；（3）另外，在证题过程中要不失一般性.跟踪训练3证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.探究点四最值问题例4某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A（l,2）,B（4,0）,—条河所在直线方程为/：兀+2），—10=0,若在河边/上建一座供水站P使之到A,B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时\PA\+\PB\为多少？［反思与感悟1这是一道数学实际应用题，先建立数学模型，转化为数学问题•求路程最小值问题,利用点关于直线的对称来解决，即在直线/上找一点P,使必|+|PB|最小.跟踪训练4函数〉=心一8卄20+心+1的最小值.【随堂练习】1.己知直线A：3x+4y~5=0与心3x+5y—6=0相交，则它们的交点是（）A.（―1,I）B.（|,1）C.（1,|）D.（—1,—亍）2.经过直线2兀一y+4=0与x~y+5=0的交点，且垂直于直线x~2y=0的直线的方程是（）A.2x+y—8=0B・2x—y—8=0C・2x+y+8=0D・2兀—y+8=03.已知4(T,0),B(5,6),C(3,4),则向|的值为()A.|B.*C.3D.24.设点4在x轴上，点8在)，轴上，43的中点是P(2,-1),则等于•5.当。取不同实数时，直线(2+a)兀+(a—l)y+3d=()恒过一个定点，这个定点的坐标为・【课堂小结】1.过两条直线交点的直线系方程：过两条直线/i：A]x+Biy+C]=O,/2：A2x+B2j+C2=O交点的直线系方程是\nA1A-+Biy+C1+/t(A2x+B^+C2)=0(AeR),但此方程中不含Z2；一般形式是m(Axx+Bjy+C))+n(A2x+B^y+C2)=O(//72+n20),是过/)与l2交点的所有直线方程.1.坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.2.平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明.用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系吋必须“避繁就简”.1.3.3点到直线的距离1.3.4两条平行直线间的距离目标1.了解点到直线距离公式的推导方法；2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题；3.初步掌握用解析法研究几何问题的方法.【知识梳理】1.点到直线的距离(1)定义：点至I」直线的的长度.(2)公式：点户(必，为)到直线人Ax+By+C=0的距离d=.2.两平行线间的距离(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的长.(2)求法：两平行线间的距离可转化为-(3)结论：两平行直线Ax+By+C^O与Ax+By+C2=^C^C^距离为d=三.思考探允探允点一点到直线的距离思考1两点间的距离公式是什么？答思考2什么是平面上点到直线的距离？答思考3你能说出求点P()g)，旳)到直线人Ax+By+C=0距离的一个解题思路吗？答思考4用代数的方法求点到直线/距离的思路十分自然，但不易得出点到直线的距离公式，如下图，如何利用三角形面积公式求出点到直线的距离d呢？\n［小结］点Po(必,为)到直线厂Ax+By+C=0的距离d=|Axo+Byo+C|例1已知点A(l,3),B(3,l),C(—l,0),求三角形ABC的面积.［反思与感悟1(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离.(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用.跟踪训练1求过点M(—2,1)且与A(—1,2),B(3,0)两点距离相等的直线的方程.探究点二两条平行直线间的距离导引设直线厶〃/2，如何求/i与仏间的距离？思考1两条平行直线间的距离是指什么线段的长?答思考2能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化?答思考3己知厶：Ax+By+C{=Ot/2：Ar+^y+C2=0,何推导出厶与仏的距离公式呢？［小结］若两条平行直线厶：X.r+Bv+C|=O,/2：Ar+Bv+C2=0(C1^C2),则/),/2间的距离为〃=G—GI例2已矢口直线/】：2兀一7y—8=0,人：6x—21y—1=0,厶与“是杏平行？若平行，求/】与“间的距离.\n［反思与感悟］⑴求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式.(2)应用两平行线间的距离公式d=华三里时，两直线方程必须是一般形式，而且尤，y的系数对应相等.跟踪训练2两平行直线3兀+4)，—1=0与6x+8y+3=0关于直线/对称，求/的方程.探究点三两距离公式的应用例3已知直线/经过直线厶：2x+y—5=0与4x—2〉=0的交点.⑴若点A(5,0)到/的距离为3,求Z的方程;(2)求点A(5,0)到I的距离的最大值.［反思与感悟］与直线Ax+By+C=O平行的直线可设为Ax+By+m=O(m^R且加HC);与直线4%+By+C=O垂直的直线系方程是&一细+加=O(〃?WR);过直线/(：Am+Bj+C|=O与/2：A2x+B2}+C2=0的交点的直线系方程为A}x+B}y+C|+X(A2x+B2y+C2)=0(2eR),但不包括/2.跟踪训练3已知点P(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线I的方程；(2)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.【随堂练习】1.点(1,一1)到直线x-y+\=0的距离是()\nC.*D.*1.两条平行线厶：3x+4y-2=0,/2：9兀+12y—10=0间的距离等于()A7门7A5B45C.令D-32.分别过点A(—2,1)和点3(3,—5)的两条直线均垂直于兀轴，则这两条直线间的距离是.3.两平行直线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d=.【课堂小结】1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.3.已知两平行直线间的距离，即可利用公式d=^==求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程目标1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.【知识梳理】1.圆的标准方程圆特殊情况一般情况圆心(0,0)(a，b)半径r(r>0)r(r>0)标准方程备注确定圆的标准Jj程的关键是确定圆心和半径2.点与圆的位置关系设点户到圆心的距离为〃，半径为厂，则点在圆内O点在圆上O；点在圆外0.思考探究［情境导学］在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线,那么在什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题.探究点一圆的标准方程思考1圆是怎样定义的？答思考2圆作为平面儿何中的基本图形，确定它的要素乂是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？答思考3设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其屮g、b>r都是常数，r>0)•设M(兀，y)为这个圆高中教育\n上任意一点，那么点M满足的条件是什么？答思考4如果把圆看成是点的集合，M(x,y)为这个圆上任意一点，那么圆心为A的圆如何表示？答思考5用坐标表示点M适合的条件并化简将得到什么等式？答思考6如何说明(A-—6/)2+(3'—b)2=r就是圆心坐标为A(a,b),半径为广的圆的方程？答思考7点M%旳)与圆(x—a)2+(y—b)2=P的关系如何判断？答探究点二圆的标准方程的应用思考从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？答例1写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程，并判断点Mi(5,-7),购(一帖，一1)是否在这个圆上.跟踪训练1已知点A(l,2)在圆C：(x+a)2+^~a)2=2a2的内部，求。的取值范围.例2△ABC的三个顶点的坐标分别是4(5,1),B(7,一3),C(2,-8).求它的外接圆的方程.跟踪训练2已知三点A(3,2),3(5,—3),C(—l,3),以P(2,—1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.例3已知圆心为C的圆经过点A(l,l)和B(2,-2),且圆心C在直线厶x~y+}=0上，求圆心为C的圆的标准方程.\n跟踪训练3用待定系数法求例3中的圆的标准方程.【随堂练习】1.圆心是0(—3,4),半径长为5的圆的方程为()A.(x-3)2+^+4)2=5B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5D.(x+3)2+(y-4)2=252.点P(—2,—2)和圆?+/=4的位置关系是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都不对3.若点(1,1)在圆(X—d)2+(y+d)2=4的内部，则实数d的取值范围是()A.—\l或a<—\D.a=±l4.已知圆C经过人(5,1),B(l,3)两点，圆心在兀轴上，则圆C的方程为【课堂小结】1.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断:点PJ),为)在圆C-h—ay+(y?o~b)2=r;点P(x°,为)在圆C内O(x0—a)2+(y?0—b)2r.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆內的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a,b,r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.\n1.1.2圆的一般方程目标1.掌握圆的一般方程及其特点；1.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小;2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.【知识梳理】1.圆的一般方程的定义⑴当时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，其圆心为,半径为.⑵当时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点(3)当时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表2.点与圆的位置关系已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2—4F>0),则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x0+y0+DxO+Ey0+F>0点M在圆上x0+y0+DxO+EyO+F=O点M在圆内x0+y0+DxO+Ey0+FvO思考探究［情境导学］把圆的标准方程(兀一ay+(y—b)2=r展开并整理，得x2+y2—2ax~2by+o'+/?2—/*2=0,取D=—2a,E=—2b,F=a2+b2~r，得x2+y2+Dx+Ey+F=0f显然这个方程也是圆的方程.反过来给出一个形如x1+f+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？本节就来探讨这个问题.探究点一圆的一般方程思考1方程?+/-2x+4y+l=0表示什么图形？?+/-2x+4y+6=0表示什么图形？答思考2把x2+yr+Dx+Ey+F=0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是表示圆?答思考3观察圆的一般方程，你能归纳出圆的一般方程的特点吗？答例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如杲是，请求岀圆的圆心及半径.⑴4兀2+4/一4兀+12y+9=0；(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.跟踪训练1判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程.(1)/+护+力+1=0；(2)x2+/+20x+121=0；(1)?+/+2or=0.\n探究点二待定系数法求圆的方程思考1求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？答思考2求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是怎样的?答例2求过三点4(0,0),3(1,1),C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.跟踪训练2已知圆C：x1+y1+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y~]=0上，且圆心在第二彖限,半径为迈，求圆的一般方程.\n探究点三与圆有关的轨迹问题例3已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+l)2+/=4上运动，求线段A3的中点M的轨迹方程.跟踪训练3设圆的方程为/+),2=4,过点M(O,1)的直线/交圆于点A、B,。是坐标原点，点P为的中点，当/绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.【随堂练习】1.圆jr+y2~2x+4y=0的圆心坐标为()A.(1,2)B.(1,-2)C.(—1,2)D.(—1,~2)2.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y—1=0B.x+y+3=0C.x—y+l=0D.x—y+3=03.方程x2+y2_x+y+/??=0表示一个圆’则加的取值范围是()A.mW2B・C.m<2D.mW*4.过原点O作圆x2+/-8x=0的弦OA,求眩OA中点M的轨迹方程.高屮教育\n【课堂小结】1.判断二元二次方程表示圆的“两看”一看方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，二看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看D2+E2-4F是否大于0;二是直接配方变形，看方程等号右边是否为大于零的常数.2.求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(兀，刃・(2)列出点M满足条件的集合.(3)用坐标表示上述条件，列出方程夬兀，y)=0.⑷将上述方程化简.(1)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.4.2.1直线与圆的位置关系目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；2.会用代数法和儿何法来判定直线与圆的三种位置关系；3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.【知识梳理】直线Ax+By+C=0与圆(x-«)2+Cv-W2=r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数_个个个判定方法几何法：设圆心到直线的距离\Aa+Bb+C\烟+炉———[Ax+By+C=0代数法：由仁疔+叶府"消元得到一元二次方程的判别式/—思考探允[情境导学1在初中我们判断直线与圆的位置关系时，是通过图形看直线与圆有几个公共点，当它们有两个共公点时，直线与圆相交；有一个公共点时相切；没有公共点时相离.现在我们学习了直线与圆的方程后，如何用直线和圆的方程判斷它们之间的位置关系？本节我们就来探讨这个问题.探究点一判定直线与圆的位置关系的方法问题一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的小心为圆心，半径为30km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处.如果这艘轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？思考1通过怎样的方法把这个实际问题转化为数学问题？答思考2如何表示问题屮的圆的方程及轮船沿直线返港时的直线的方程？思考3轮船沿直线返港是否会有触礁危险的问题归结为怎样的数学问题？\n答思考4怎样用几何法判断直线与圆的位置关系？答思考5如何用直线和圆的方程判断它们Z间的位置关系？答例1已知直线3x+y~6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线/与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.跟踪训练1已知圆的方程x2+/=2,直线y=x+b,当b为何值时:(1)圆与直线有两个公共点；(2)圆与直线只有一个公共点；(3)圆与直线没有公共点.探究点二圆的切线问题思考1过平面一点P可作几条圆的切线?思考2过圆C外一点户的两条切线与圆C相切于A、B两点，则P、A、C、B四点共圆吗?例2过点A(4,—3)作圆(x—3)2+®—1尸=1的切线，求此切线的方程.跟踪训练2由直线y=x+l上的一点向圆?-6x+/+8=0引切线，则切线长的最小值为()A.1C.羽探究点三圆的弦长问题B.2^2D.3例3已知过点M(—3,—3)的直线I被圆?+/+4y-21=0所截得的弦长为4近，求直线/的方程.\n跟踪训练3直线x+2y—5+逅=0被圆x2+y2—2%—4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.4-^6【随堂练习】1.直线y=x+\与圆?+/=1的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2.已知P=[(x,y)\x+y=2}9Q=[(x,y)k2+v2=2},那么戸门。为()A.0C.{(1,1)}B-(U)D.{(-1,—1)}3.直线〉=总+3与圆(x-l)2+(j—2)2=4相交于M,N两点,|MM$2萌,则k的取值范围是4.已知圆C和直线兀一6)，—10=()相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆C的方程.\n【课堂小结】1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.2.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长几弦心距d,弦长/的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于兀(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.4.2.2圆与圆的位置关系0标1•理解圆与圆的位置关系的种类；2.常握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.【知识梳理】1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为：_、_、_、—、—2.圆与圆的位置关系的判定(1)儿何法：若两圆的半径分别为n，厂2(口工厂2)，两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下：圆G方程］消元圆G方程j一元二次方程.位置关系外离外切相交内切内含图示©©d与□、厂2的关系3.代数法判定圆与圆的位置关系：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.当/>0时，两圆；当/=()时，两圆；当时，两圆思考探究［情境导学］同学们一定观看过“日食”现象，那么月亮与太阳的圆形轮廓有哪几种位置关系？又如何判断它们的位置关系呢？本节就来探讨这个问题.探究点一圆与圆的位置关系思考1圆与圆的位置关系有几类？答思考2如何利用几何设性质判断圆与圆的位置关系？答\n思考3判断两圆位置关系的步骤如何？答思考4已知两圆C］：x'+y'+D\x+E\y+F\=0和Cy,x2+j2+£>2x+E7>,-I~^2—0,如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答例1已知圆Ci：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：?+/-4x-4y-2=0,试判断圆C】与圆C?的位置关系.解跟踪训练1圆A：x+y2+4x+2y+\=0与圆B：x2+/-2x-6y+1=0的位置关系是（）A.相交B.外离C.外切D.内含探究点二与两圆相切有关的问题例2求与圆x2+/-2x=0外切且与直线x+V3y=0切于点（3,—筋）的圆的方程.跟踪训练2已知圆Ci：x2+y+Zr-6y+l=0,圆C2：,+）?—4兀+2丿一11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.探究点三求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程思考1若两圆G：^+/+Dxx+Exy+Fx=0和C2：^+^+D2x+E2y+F2=0相交，为）为一个交点，则点M（xo,为）在直线（D—6）兀+（&—色）），+戸一尸2=0上吗？为什么？\n思考2若两圆C|：r+y2+Dx+&y+F]=0和C2：^+y1+D2x+E2y+F2=0相交，它们的交点弦所在的直线方程是什么？为什么？例3求过直线x+y+4=0与圆2y—4=0的交点且与y=x相切的圆的方程.跟踪训练3求过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，且圆心在直线兀一厂4=0上的圆的方程.【随堂练习】1•两圆x2+y2—1=0和x2+y2—4x+2y—4=0的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离2.圆G：x2+y2=l与圆C2：3）2=1的内公切线有且仅有（）A.1条B.2条C.3条D.4条高中教育\n2.若圆C|：x2+/=16与圆C2：(x-67)2+/=1相切，则G的值为()A.±3B.±5C.3或5D.±3或±53.圆*+),2=1与圆(x—l)2+y2=i的公共弦所在的直线方程为.【课堂小结】1.判断两圆的位置关系的方法：(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去/和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.4.2.3直线与圆的方程的应用目标1.理解直线与圆的位置关系的儿何性质；2.会建立平面直角坐标系利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.【知识梳理】1.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”:2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：(1)若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.思考探究［情境导学］直线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.题型一直线与圆的方程在实际生活屮的应用例1如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度43=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱去巴的高度(精确到0.01m).\n跟踪训练1一艘轮船在沿直线返冋港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域.己知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？题型二用代数法证明儿何问题例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.跟踪训练2证明在圆屮直径所对的圆周角是直角.\n题型三直线与圆中的最值问题例3某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m.现有一船，宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过？跟踪训练3设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设4、B两人的速度一定，其比为3:1,问A、B两人在何处相遇？处.【随堂练习】5迄15^2B.lOjlD.2("1.在圆x+y~2x~6y=0内，过点E(0,l)的最长眩和最短眩分别为AC和3D,则四边形ABCD的面积为(A.C.2.若。0：?+/=5与(DO】：(x-/n)2+^=20(mGR)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段的长度是・3.如图所示，A,B是直线/上的两点，且AB=2.两个半径相等的动圆分别与/相切于A,B点,C是两个圆的公共点，则圆弧AC,CB与线段AB围成的图形面枳S的取值范围是.AB\n1.已知集合A={(兀，y)\x~y+m^}f集合B={(x,y)|,+『Wl}.若则实数加的取值范围是.【课堂小结】1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题.4.3.1空间直角坐标系目标1.了解空间直角坐标系的建系方式2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.【知识梳理】1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：,这样就建立了空间直角坐标系②相关概念：点。叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过的平面叫做坐标平面，分别称为—平面、平面、平面.(2)右手直角坐标系在空间直角处标系中，让右手拇指指向测的正方向，食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(兀，y,z)來表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作Mgy,z),其中兀叫做点M的,y叫做点M的,z叫做点M的一思考探究［情境导学1数轴上的点M可用一个实数x表示，它是一维坐标；平面上的点M可用一对有序实数(x,y)表示，它是二维坐标.对于空间中的点能不能也用有序实数表示？如何表示？本节我们就来探讨这个问题.探究点一空间直角坐标系思考1如图怎样确切地表示室内灯泡的位置？答思考2平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？思考3在平面上如何画空间直角坐标系？空间中的点M用代数的方法怎样表示？答思考4建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢?\n思考5兀轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何待点?答例1如图，在长方体OABC—D'AfB1C中，|0A|=3,|0C|=4,\0Dr|=2.写出，C,4’，B‘四点的坐标.跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCD—ASCQi中，E、F分别是DQ、BQ的中点，G在棱CD上，且CG=jcD,H为C】G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标.探究点二己知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系O°z中，作出点P(5,4,6).跟踪训练2在空间直角坐标系Oxyz屮，点P(—2,0,3)位于()A.兀Oz平而内B・yOz平面内C.y轴上D・z轴上探究点三空间中点的对称问题\n思考1平面中,两点P1（X1，yi）,P2（X2,旳）的中点坐标是什么？答思考2类比平面中两点的中点坐标,空间中两点Pi（Q,刃，Zi）、灼（兀2,力，Z2）的中点坐标是什么?答例3求点A（l,2,—1）关于坐标平Ifij"xOy及兀轴对称的点的坐标.跟踪训练3已知点P（2,3,-1）,求：（1）点P关于各坐标平面对称的点的坐标;⑵点P关于各坐标轴对称的点的坐标；⑶点P关于坐标原点对称的点的坐标.【随堂练习】1.点P(g,b,c)到坐标平面xO)：的距离是()A.yja+h2B.\a\C.\b\D.|c|2.A.C.点P(1,4,—3)与点Q(3,—2,5)的中点坐标是((4,2,2)B.(2,-1,2)(2,1,1)D.(4,-1,2)1.在空间直角坐标系中，已知点4（一1,2,-3）,则点A在）。z平面内射影的点的坐标是.2.如图，正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，A4i=24B=4,点£在CG上且C\E=3EC.试建立适当的坐标系，写出点B,C,E,Ai的坐标.【课堂小结】1.空间中确定点M坐标的三种方法：(1)过点M作MM]垂直于平面xOy,垂足为Mi,求出M|的x坐标和),坐标，再由射线的指向和线段MM]的长度确定z的坐标.(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标.(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件,再作轴的垂线即可确定点M的坐标.\n1.求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.4.3.2空间两点间的距离公式目标1•了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；1.会应用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离.【知识梳理】空间两点间的距离公式⑴在空间中，点P(x,y,z)到坐标原点。的距离\0P\=y[7+^+?・(2)在空间中，P](X|,)；1，Z])与戸2(兀2，Z2)的距离\P]P2\(%1—X2)24-(yi—>'2)2+(Z1—z2)2.(3)若点P](兀i，九0),P2(X2,『2,0),则戸P2I=^}-x2)2+(y-y2)2.⑷若点Pg,0,0),P2(x20,0),则IPQFM二aL思考探究[情境导学]我们已经学习了平面上任意两点Ag,力)，B(X2,乃)之间的距离公式\AB\=V(X1—也)2+(y1—旳)2.那么空间中任意两点A(X],yi,Z|),B(X2,『2,Z2)之间距离的公式是怎样的？本节我们就来探讨这个问题.探究点一空间屮点与坐标原点的距离公式思考1在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0),B(0,>;0),C(0,0,z),与坐标原点0的距离分别是什么？答思考2在空间直角坐标系屮，坐标平面上的点A(x,y,0),B(0,y,z),C(x,0,z),与坐标原点。的距离分别是什么？答思考3如图，在空间直角坐标系中，设点Pgy,z)在xOy平面上的射影为M,则点M的坐标是什么？\PM\,\OM\的值分别是什么？答思考4基于上述分析，你能求出点P（x,y,z）与坐标原点。的距离公式吗?探究点二空间两点间的距离公式问题在空间中,设点Pig,力,zi）,兀2,力，Z2）,如何求点P】、P2之间的距离IPiBI?思考1设点恥1，『I，Zi）,p2（x2f力，Z2）在兀Qy平面上的射影分别为M,N.那么M,N的坐标是什么？点、M、N之间的距离如何？答.思考2若直线卩屮2垂直于xOy平面，则点Pi，P2之间的距离如何？若直线PiB平行于xOy平面•答\n思考3若直线戸屮2是X0V平面的一条斜线，则点P|，P2的距离如何计算?答例1如图，正方体OABC-D'B‘C'的棱长为a,|AN|=2|CM，|BM|=2|MC‘|.求MN的长.解跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABC-A}B}Cx中，|C]C|=|CB|=|CA|=2,ACA.CB,D,E分别是棱AB,5G的中点，F是4C的中点，求DE,EF的长度.解探究点三求空间点的坐标例2设点尸在兀轴上，它到尺（0,迈，3）的距离为到点巴（0,1，—1）的距离的2倍，求点P的坐标.跟踪训练2已知点凡，B的坐标分别为(3,1，—1)，(2,-2,一3),分别在兀，y,z轴上取点A,B,C,使它们与戸，B两点距离相等，求A,B,C的坐标.探究点四空间两点间距离公式的应用例3已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1,且平面ABCD丄平面ABEF，点M在AC1.移动,点N在BF上移动，若CM=BN=a(O