高中数学_知识点总结_最全版-高中课件精选 114页

数学知识点总结\n引言必修课程由5个模块组成：必修1:集合、函数概念与基本初等函数（指、对、無函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个髙中学生所必须学习的。上述内容覆盖了髙中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2-2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3-1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3-3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3-6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4一1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4-4：坐标系与参数方程。选修4-5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线\n高考相关考点：⑴集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量(10)排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布(12)导数：导数的概念、求导、导数的应用(13)复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念K1.13集合[1.1.1]集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N表示自然数集，或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，7?表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象d与集合M的关系是aeMf或者a^Mt两者必居其一.(4)集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法:{xlx具有的性质},其屮兀为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图來表示集合.\n（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集•③不含有任何元素的集合叫做空集（0）・[1.1.2]集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集AqB(或B")A中的任一元素都属于B(l)AoA⑵0cA(3)若且B^C,则A^C(4)若AqB且ByA，则A=B（3◎或真了集AuB(或BoA)，且B中至少有•元素不属于A（1）0uA（A为非空子集）丰（2）若AuB且BuC,则AuCH工兴©集合相等A=BA中的任一元素都属丁B,B中的任一元素都属于A(DAoB(2)BoA（7）已知集合A有n（n>1）个元素，则它有2"个子集，它有2"-1个真子集，它有2"-1个非空子集，它有2"-2非空真子集.[1.1.3]集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB{x\x^A,且XE：B](1)AA=A(2)A0=0(3)ABeAAByBc®并集AB{x|xwA,或xeB}(1)AA=A(2)A0=A(3)AB^AAB=BGD补集{x\xeU,^x^A]1a(qx)=0积A3)=(,)(乞B)報A=QuB)2a^a)=u\©【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集Ix|0){x\-aa(a>0)x\x<-a^x>a}\n把ax+b看成一个整体，化成\x\c(c>0)Ix|>a｛a>0)型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式A=Z?函数的概念①设A、3是两个非空的数集，如果按照某种对应法则对于集合A中任何一个数X,在集合8中都有唯一确定的数/(兀)和它对应，那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到3的一个函数，记作②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.区间的概念及表示法①设a"是两个实数，且avb,满足a0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c{a>0)的图象4\0/u0一元二次方程ax1+bx+c=0(a>0)的根-b±y]b2-4ac兀12_c2a(其中兀]<^)bX\=X2=~—2a无实根ar2+/zr+c>0(d>0)的解集{x\xx2}(.b、{屈x^-—}2aRax2+/?x+c<0(6Z>0)的解集{x\x}}00H1.23函数及其表示[1.2.1]函数的概念\naf（X2）,那么就说f（x）在这个区间上是减函数.•••yy=f(x)twr-（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数0x.x2x②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.②对于复合函数y=f［g（x）］,令u=g（x）,若y=/（«）为增,u=g（x）为增，则y=f［g（x）］为增;若y=/(«)为减，u=g(x)为减，则y=f[g(x)]为增；若y=/(«)为增,u=g(x)为减，则y=f[g(x)]为减；若y=/（w）为减,u=g（x）为增,则y=为减.（2）打“函数/（x）=x+-（a>0）的图象与性质于（兀）分别在（-oo,-需］、［需,+00）上为增函数，分别在［—需,0）、（0,奶］上为减函数.（3）最大（小）值定义①一般地，设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在实数M满足：（1）对于任意的xe/,都有/（x）m；(2)存在x0e/,使得/(x0)=m・那么，我们称加是函数/(x)的最小值，记作fn^(x)=m.[1.3.2]奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有f(—X)=—f(X),那么函数f(x)叫做奇函数.•••y-a(a.厂f(a))(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)(-a.f(-a))oax如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么函数••••••••••f(x)叫做偶函数.•••y(-a.f(-a))_(a.f(a))(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y轴对称)-aoax②若函数/(劝为奇函数，且在兀=0处有定义，则/(0)=0.③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.K补充知识》函数的图象(1)作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性)；④画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例两数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等窗数的图象.①平移变换y=/(兀)«鴛:黑爲>y=于(兀+力)y=f⑴眾需监》歹=于(兀)+比②伸缩变换y=/(兀)Osvl,伸y=fM>y=Af(x)③对称变换\ny=/（x）原点=一/（一兀）y=f(x):^=x>y=P\x)去掉），轴左边图象|X保留评由右边图彖，并作其关丁丁轴对称图彖'）_八|兀I丿)'=/(兀)保留.诵1|上方图彖、v_|r（.|将人轴卜-方图彖翻折上去>尹t八兀丿|（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范圉、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式屮参数的关系.（3）用图函数图彖形彖地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数（I）K2.13指数函数（2.1.1］指数与指数幕的运算（1）根式的概念①如果=a.agR.xeR.n>1,且ne,那么兀叫做g的〃次方根.当〃是奇数时，a的〃次方根用符号丽表示；当几是偶数时，正数a的正的几次方根用符号砺表示，负的几次方根用符号-砺表示；0的“次方根是0；负数。没有〃次方根.②式子丽叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.当〃为奇数时，g为任意实数；当斤为偶数(a>0)(avO)时，a>0.③根式的性质：（丽）当〃为奇数时，历=a；当〃为偶数时,（2）分数指数幕的概念①正数的正分数指数幕的意义是：亦=折@>0,计屮,且〃>1）.0的正分数指数幕等于0._巴1兰厂j②正数的负分数指数幕的意义是：a〃=（_）〃=彳（一r（d〉0M23wN「且斤>i）.o的负分数指数幕aVa没有意义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.（3）分数指数幕的运算性质①ar•a'=N"(a>0,厂,swR)②(N)'=a"(a>0,厂,swR)③(aby=arbr(a>O,b>O,rwR)[2.1.2]指数函数及其性质(4)指数函数\n函数名称指数函数定义函数y=a\a>（）且aH1）叫做指数函数\na>\0<<1图彖定义域R值域(0,+g)过定点图象过定点(0,1),即当兀=0时，y=l.奇偶性非奇非偶单调性在/?上是增函数在/?上是减函数ax>1(x>0)ax<1(x>0)函数值的ax=\(x=0)ax=1(x=0)变化情况ax<1(x<0)ax>1(x<0)。变化对图象的影响在第一象限内，Q越大图象越高；在第二象限内，d越大图象越低.K2.2U对数函数[2.2.1]对数与对数运算(1)对数的定义①若Q”=N(d>0,且QH1),则x叫做以d为底W的对数，记作x=\ogaNf其中d叫做底数，7V叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化：x=log“Noax=N(o>0,ah1,N>0)・(2)几个重要的对数恒等式lognl=0,log^=l,\ogaab=h.(3)常用对数与自然对数常用对数:览N,即log10N；自然对数:InTV,即log,N(其中—2.71828…).(4)对数的运算性质如果a>0,QHl,M>0,N>0,那么M①加法：1og“A/+log“N=log“(MV)②减法：logaM—log“7V=log“~^~③数乘：n\og(lM=\ogaM\n^R)④alo^N=N\n⑤loghMn=-\og(iM(b^0.n^R)⑥换底公式：1og“N二啦丫@>0,且bH1)"blog。a[2.2.2]对数函数及其性质(5)对数函数函数名称对数函数定义函数y=log“x(a>0且aH1)叫做对数函数图象a>l0vav1y\X=1!y=log“兀厂彳(X=10/\(1，°)X0R;定义域(0,+00)值域R过定点图象过定点(1,0),即当x=l时，y=0.奇偶性非奇非偶单调性在(0,+oo)上是增函数在(0,+oo)上是减函数函数值的变化情况logax>0(兀〉1)log“x=0(兀=1)logwx<0(01)log“x=00=1)\ogax>0(00,则幕函数的图象过原点，并且在［0,4-00)上为增函数.如果cr<0,则幕函数的图象在(0,-f-oo)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近兀轴与y轴.④奇偶性：当Q为奇数时，幕函数为奇函数，当Q为偶数时，幕函数为偶函数.当a=l(其中pq互质，pP±£和qwZ),若p为奇数g为奇数时，则y=是奇函数，若p为奇数g为偶数时，则y=是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y=是非奇非偶函数.⑤图象特征：幕函数y=(0,+oo),当q>1时，若0<兀<1,其图象在直线y=x下方，若兀>1,其图象在直线y=X-L方，当时，若Ov兀<1,其图象在直线y=X-L方，若x>l,其图象在直线y=x下方.K补充知识11二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：/(x)=仮2+Zzr+c(aH0)②顶点式：f\x)=a^x-h)1+k(aH0)③两根式：/(x)=a(x-x})(x-x2)(<70)(2)求二次函数解析式的方法①己知三个点坐标时，宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③若已知抛物线与兀轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求/(力更方便.(3)二次函数图象的性质4ac-b24d①二次函数/(x)=cuc+bx^-c{ci0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为兀=--，顶点坐标是2a).②当。>0时，抛物线开口向上，函数在(-00,-—」上递减，在1-—,+oo)±递增，当x=~—时,2ala2a4ac—b，bbbZnin(x)=;当Q<0时，抛物线开口向下，函数在(—9———］上递增，在［——,+8)上递减，当尢二一一4a2a2a2a\n时J/max(兀)=4ac-b24a③二次函数/(无)=clx2+Zzr+c(dH())当△=b，—4ac>0时，图象与x轴有两个交点M](%!,0),M2(x2,0),|MlM2\=\xrx2\=(4)一元二次方程ar2+Z?x+c=O(«^O)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数屮的重要内容，这部分知识在初屮代数屮虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程or2+Zz¥+c=O(qhO)的两实根为西,兀2，且召5兀2・令fM=ax2+bx+c,从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：x=~—③判别式：△④端点函数值符号.2a\n②x・Wx2\n①有且仅有一个根兀|（或兀2）满足h<兀】（或兀2）O/（届）/（层）<0,并同时考虑/U1）=O或/（层）二0这两种情况是否也符合此结论可直接由⑤推出.①若一-则加=/()2a2a\n(II)当d<0时(开口向下)①若—则M=f(p)2ahh②若q.则M=f(q)la第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数y=/(x)(xgD),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xeD)的零点。2、函数零点的意义：函数丿=/(兀)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图彖与兀轴交点的横坐标。即:方程f(x)=0有实数根o函数y二/(%)的图彖与兀轴有交点o函数y二/(劝有零点.3、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：①(代数法)求方程f(x)=0的实数根；①(儿何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(%)的图象联系起来，并利用函数的性质找岀零点.4、二次函数的零点：二次函数y=ax1+bx+c(a丰0).1)A>0,方程ax2+hx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次函数有两个零占N八、、•2)A=0,方程ax2-^bx+c=O有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)A<0,方程ax2^bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.高中数学必修2知识点第一章空间几何体1・1柱、锥、台、球的结构特征侧F1下底面\n(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的儿何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE-ABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥P-ABCDE几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底血之I'可的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台P-ABCDE几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的儿何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧血展开图是一个矩形。(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；(2).平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度不变；(3)・画法要写好。5用斜二测画法画出长方体的步骤：(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图1.3空间几何体的表面积与体积(一)空间儿何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和\n2圆柱的表面积S=2mi+2^r23圆锥的表面积SfIW4圆台的表面积S=r7+岔？+冰/+加?25球的表面积S=4加?$（二）空间几何体的体积1柱体的体积V=S底x/z2锥体的体积V=|s底3台体的体积#=丄（S「+JS「Sf+Sf）x〃4球体的体积4.V=-7iRi3A上磁扩大I.A上底缩小|"A上底扩大上底缩小第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°,且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母a、（3、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为AeLB£LAeaBEa线。公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线二〉有且只有一个平面a,使AGa、BEa、Cea0公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直符号表示为：PEaQB=>aAP=L,且PeL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：自绪J相交直线：同一平而内，有且只有一个公共点；貝回线1平行直线：同一平而内，没有公共点；\n异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设纸b、c是三条直线二>d〃Ca〃bc〃b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來确定，与0的选择无关，为简便，点0—般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角0空0,）；③当两条界面直线所成的角老直角吋，我们就说这两条界面直线互相垂直，记作a丄b;④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内一一有无数个公共点（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点（3）直线在平面平行一一没有公共点指Hi：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a0a来表示2.2•直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aCa「bC3卜二>a〃aa//b」2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平僧平行。符号表示：C[3冷CPaAb=P>3〃ab〃a丿2、判断两平面平行的方法有三种:\n(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直于同--条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a〃ba〃aaCPaQB二b作用：利用该定理可解决直线问的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行c符号表示：a〃B[aCl丫=a>a〃bPOy=b丿作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L丄a,直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。如图，直线与平而垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形2、二面角的记法：二面角o-1-0或a-AB-B高中教育\n3、两个平而互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2・3・4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面(公理1、公理2、公理3、公理4)第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线1与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线1向上方向Z间所成的角a叫做直线1的倾斜角.特别地,当直线1与x轴平行或重合时，规定a=0°.2、倾斜角a的取值范围：0°<180°.当直线1与x轴垂直吋，a=90°.3、直线的斜率：一条直线的倾斜角a(a工90°)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,也就是k=tana⑴当直线1与x轴平行或重合时，a=0°,k=tan0°=0;⑵当直线1与x轴垂直吋，a=90°,k不存在.由此可知，一条直线1的倾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式：给定两点Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xlHx2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式：k=y2-yl/x2-xl3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反Z,如果它们的斜率相等，那么它们平行，即片"-Ok]=%注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果kl=k2,那么一定有L1//L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即\n3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线/经过点吒（兀（），几），且斜率为鸟y一X）=£（兀一兀））2、、直线的斜截式方程：已知直线/的斜率为且与y轴的交点为（0,b）y=kx+b3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点Px（xpx2）,P2（x2,y2）其中（无工Edi工北）y-yi/y-y2=x-xi/x-x22、直线的截距式方程：已知直线/与无轴的交点为A（€1,0）,与y轴的交点为b（0,/?）,其屮。工0上工0程：关于的二元一次方程Ax+Qy+C=0（A,B不同时为o）2、各种直线方程Z间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式33.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1:3x+4y-2=0L1:2x+y+2=0解：解方程组3兀+令一2=I2兀+即+2=得X二2,y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2,2）3.3.2两点间距离两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1・点到直线距离公式：+B2点P（x（）,y（））到直线/:Ax+By+C=0的距离为：d=—:"2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线厶和b的一般式方程为厶：Ax+By+G=0,11丄】2o=-—Okik2=-1/2Ax+C2=0,贝ij厶第四章圆与方程4丄1圆的标准方程1、圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程\n2、点Mg,%)与圆(x-a)2^(y-b)2=r2的关系的判断方法：(1)(x()—a)2+(y0—b)~>r"，点在圆外(2)(x()—a)2+(y()—b)2=厂，点在圆上(3)(x0-a)24-(j0-Z?)2r时，直线/与圆C相离；(2)当d=r时，直线/与圆C相切;(3)当da✓Po2QyrX2、有序实数组(x,”z),对应着空间直角坐标系屮的一点3、空间屮任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系屮的坐标，记M(x,y,z),x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z点M的竖坐标。P2X4・3・2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点片(兀i，x，zj到点P2(x29y29z2)之间的距离公式|斥鬥I=J（%1—兀2）2+O1一夕2）2+（Z]—Z2）2高中数学必修3知识点第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.\n（4）不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.（5）普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明來准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能V丿起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。//输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法屮处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。O判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下:1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和BA框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。高中教育\n2、条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构屮一定包含条件结构。循环结构乂称重复结构，循环结构可细分为两类：（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后,再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此吋不再执行A框，离开循环结构。（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循坏结构。v当型循环结构直到型循环结构注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输岀结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1输入、输岀语句和赋值语句1、输入语句（1）输入语句的一般格式1图形计算器:高中INPUT“提示内容”；变量:格式•14（2）输入语INPUT“提示内容”，变量\n句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量Z间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量Z间用逗号“，”隔开。2、输出语句（1）输出语句的一般格式PRINT“提示内容”；表达式I图形计算器i格式Disp“提示内容”，变量（2）输语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据;（4）输出语句可以输出常量、变暈或表达式的值以及字符。3、赋值语句1图形计算器（1）赋值语句的一般格式变量=表达式!格式!j►表达式T变量（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句屮的称作赋值号，与数学屮的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。女山2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。女口“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号与数学中的等号意义不同。1.2・2条件语句1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF—THEN—ELSE语句；（2）IF—THEN语句。2、IF—THEN—ELSE®句图2IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIF分析：在IF-THEN-ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。\n3、IF—THEN语句IF—THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4oIF条件THEN高中语句ENDIF（图3）\n注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足吋，结束程序；ENDIF表示条件语句的结朿。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。1.2.3循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图屮的两种循环结构，一般程序设计语言屮也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。1、WHILE语句（1）WHILE语句的一般格式是WHILE条件循环体WEND（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循坏体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循坏体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循坏。（1）UNTIL语句的一般格式是2、UNTIL语句DO循环体LOOPUNTIL条件（2）直到型循坏又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循坏结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行,直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循坏语句。分析：当型循坏与直到型循坏的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；\n在WHILE语句屮，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环例题：设计计算Ix3x5x...x99的一个算法(见课本乙］)SilSJlS/<-l/〜1ForIFrom3To99Step2WhileI<97WhileI<99S<-SxlI<-I+2S<-SxlEndForS<-SxlIjI+2PrintSEndWhileEndWhilePrintSPrintS❶❷❸SSJl/Ji/DoDoS<-SxlI<-I+2I<-I+2S<-SxlLoopUntilI>100（或者I>99）LoopUntilI>99PrintSPrintS❹❺SSDoWhileI<99（或者I<100）DoWhileI<97（或者Iv99）S<-SxlI〜1+2I〜1+2s—sxlLoopLoopPrintSPrintS❻❼颜老师友情提醒：1•一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。2.在具体做题吋，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出來，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！1.3.1辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：(1)：用佼大的数m除以佼小的数n得到一个商'和一个余数几；(2)：若凡=0,则n为m,n的最大公约数;若&H0,则用除数n除以余数凡得到一个商§和一个余数尺；(3)：若&=0,则尺为m,n的最大公约数；若尺工0,则用除数凡除以余数尺得到一个商：和一个余数尺；……依次计算直至出=0,此时所得\n到的昭即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：(1)：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。(2)：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.分析：(略)3、辗转相除法与更相减损术的区别：(1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an.ixn"1+....+a[x+a()求值问题■1aaaf(x)=anx+an.ix+....+aix+a()=(anxn+an.【x+....+a】)x+a()=((anx+an.\x'+....+a2)x+a))x+ao==(...(anx+an.i)x+an.2)x+...+a])x+ao求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v^anX+an^然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an.2V3=v2x+an.3……vn=vn.]x+a0这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置屮.(由于算法简单，可以举例说明)2、冒泡排序基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面，小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数，大数放前，小数放后.然后比较第\n2个数和第3个数直到比较最后两个数.第一趟结束，最小的一定沉到最后.重复上过程,高中教育\n仍从第1个数开始，到最后第2个数由于在排序过程屮总是大数往前，小数往后,相当气泡上升，所以叫冒泡排序.13.3进位制1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n,即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：色色_]...0禺0伙）（00),则sina=丄，cost/=—,tancz=丄(兀工0).rrx9、三角函数在各彖限的符号：第一彖限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.10>三角函数线：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.11>角三角函数的基本关系：(l)sin2€z+cos2tz=l(sin2a=1-cos2«,cos2a=1-sin2tz)；心\sin(7.sintz)/、，(2)=tanasina=tanacosa.cosa•.(3)倒数关系：tanacota=1cosa\tancr)12、两数的诱导公式：(1)sin(2k7r+6Z)=sincr,cos(2^+cr)=cosa,tan(2£;r+a)=tana(Z:wZ)•(2)sin(yr+a)=-sina,cos(+6r)=-cosa,tan(”+Q)=tana•(3)sin(-cr)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.口诀：函数名称不变，符号看象限.(\（、（5）sin71a<2丿=cosa,cos71a<2)=sina.(4)sin(;r—a)=sina,cos(”一a)=—cosa,口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.tan(”--a)=—tana•<\(\⑹sin71F(X<2丿=cosa,cos71—+a<2丿=-sina13、①的图象上所有点向左（右）平移岡个单位长度，得到函数y=sin（兀+0）的图象；再将函数y=sin（x+0）的图彖上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的+倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（亦+0）的图象；再将函数y=sin（亦+勿的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（亦+0）的图象.②数j；=sinx的图彖上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的丄倍（纵坐标不变），得到函数（01^1y=sinor的图象；再将函数y=sinor的图象上所有点向左（右）平移堕个单位长度，得到函数co）=sin（岔+硏的图彖；再将函数y=sin（亦+0）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（0r+0）的图象.\n14^函数y=Asin（亦+0）（A>Og>O）的性质：①振幅：A:②周期：T=—；③频率：/=—=—:④相位：cox+（p:⑤初相：（p.coT2兀函数y=Asin（Qx+0）+B,当x=x｝时，取得最小值为儿血；当无时，取得最大值为儿说，则11TA=3（）\ndx—ymi），+）【nin），刁=兀2一坷（兀1<尢2）•15.正弦函数.余弦函数和正切函数的图象与性质:y=cosxy=tanxy=cotxI\\«图象iy3开/!\/T2；JyL*y=cotx丫1T11\\\\\\thI\111111111•11■X、\0!\1/0•兀2\■111i0n\n2%•1(111♦•空\2k2\、11\1i}定义域RR\xk/r^—.keZ>I2J\xk/r^—.keZI2值域[-1,1][-1,1]RR最值当“兀x=2k兀——2(ZreZ)时，沧T；当x=2k/r-—2gz)时，Amin=—•当无=2k7i^kwZ)时，儿ax"；当x=2k兀+兀(ZZ)时，儿in=-l・既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值周期性2tt2龙7171奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在在[2Att一;t,2炽](氐wZ)在\nL22」(Z:gZ)上是增函数；在,713兀2k兀+—2k7T_22.(RwZ)上是减函数.上是增函数；在\2k7i.2k/u+tt]（EwZ）上是减函数."k兀一t,k兀+工\I22）（RwZ）上是增函数.对称性对称中心（炽,0）（keZ）对称轴x=畑+彳（ReZ）对称中心(rr\k7i■—,0[kgZ)\2丿对■称轴兀=k7v^keZ)对称中心（Ljr\（牛ojgz）无对称轴对称中心（Ljr、乎oj（/z）无对称轴第二章平面向量16>向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向塑.零向量与任一向量平行.相等向量：反度相等且方向相同的向量.C17>向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连.⑵平行四边形法则的特点：共起点.⑶三角形不等式：a-b0吋，2。的方向与a的方向相同；当；IvO吋，2。的方向与a的方向相反；当；1=0吋，Aa=O.\n（2）运算律：①/l（“a）=（2“）a；②（2+“）a=Qd+“G；③=+.⑶坐标运算：设a=（x9y）,则加=/l（x,y）=（/Lr,/ly）.20、向量共线定理：向量a（azO）与b共线，当且仅当有唯一一个实数久，使b=加.设。=（若，必），b=（^,y2）,其中方工0,则当且仅当x^y2-x2y{=0时，向量a、b（bHO）共线.21、平面向量基本定理：如果弓、勺是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量。，有且只有一对实数入、易，使。二入弓+入勺・（不共线的向量弓、勺作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P是线段Pf2上的一点，Pi、P2的坐标分别是（坷,刃），（召小），当P,P=APP2时,点P的坐标是仆+冬,"+5]・（当2=1时，就为中点公式。：、1+21+2丿23、平面向量的数量积：（l）a・b=GbCOS&（GH0,/?H0,0<180j.零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质：设。和Z?都是非零向量，则①a丄bu>ab=（）・②当a与b同向时，a-b=|^||^|;当a与b反向时,ab--|«||/?|；a•a=a2=\a2a=Ja•a.③a-bxxi2=0.设a、〃都是非零向量，d=（K]，x）,0=（兀2，%），。是a与b的夹角，贝0cos0=-^-^7=...+o.「\a\\b\屆+）彳屆+£知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量（1）.直线的方向向量：若A、B是直线/上的任意两点，则AB为直线/的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.（2）.平而的法向暈：\n若向量〃所在直线垂直于平而Q，则称这个向量垂直于平面记作斤丄如果Z2丄Q,那么向量斤叫做平面Q的法向量.（3）.平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系.②设平面&的法向量为n=（x,y,z）.③求出平面内两个不共线向量的坐标幺=（吗,％4）,b=（b\,b2，bj._,n-a=O④根据法向量定义建立方程组n-b=O⑤解方程组，取其中一组解，即得平面發的法向量.（如图）1、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线Z],厶的方向向量分别是a、b,则要证明/,///2,只需证明a//bf即a=kb（keR）.即：两直线平行或重合o两fl线的方向向量共线。⑵线面平行①（法一）设直线/的方向向量是d,平面Q的法向量是“，则要证明/〃q,只需证明Q丄u,即au=O.即：直线耳平血平行O直线的方向向量与该平血的法向量垂直瓦直线在平血外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面Q的法向量为平面0的法向量为「要证4〃0,只需证U//V,即证u=Av.即：两平面平行或重合O两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线厶律的方向向量分别是a、b,则要证明厶丄厶，只需证明。丄/?,即a-b=O.即：两百•线垂直0两ff•线的方向向量垂fb⑵线面垂直①（法一）设直线/的方向向量是a,平面Q的法向量是"，则要证明/丄Q,只需证明a//uf即a=Au.\n—Lz•m=0.②(法二)设直线/的方向向量是a,平面Q内的两个相交向量分别为m.n,若｛，贝"丄z[a-n=O即：直线与平面垂直O直线的方向向暈与平而的法向暈共线O直线的方向向暈与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面Q的法向量为平面“的法向量为V,要证Q丄0,只需证况丄V,即证U-V=O.即：两平面垂直O两平面的法向暈垂直c4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A,C与B,D分别是上的任意两点，所成的角为0,则cos0ACBDACBD⑵求直线和平面所成的角①定义：平血的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.②求法：设直线/的方向向量为d,平面Q的法向量为直线与平面所成的角为&,。与〃的夹角为0，则0为炉的余角或0的补角的余角.即有：ausinO=cos(p\-——.au⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面・二面角的平面角是指在二面角a-1-p的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作射线AO丄I.BO丄/,则ZAOB为二面角a—1—0的平面角.②求法：设二面角q—2—0的两个半平面的法向量分别为m、n，再设m、n的夹角为二面角&一2—0的平面角为&,则二血角&为m>n的夹角0或英补角7t-(p.报据貝体图形确定0是锐角或是钝角：\n♦如果0是锐角,贝ljcos0=■|cos(p\=m・n即&=arccostn・n♦如果&是钝角，则cos^=-|cos^|=mnm•n\mn丿即0=arccos一5、利用法向量求空间距离⑴点Q到直线(距离若Q为直线/外的一点，P在直线/上，。为直线/的方向向量，b二PQ,则点Q到直线/距离为"丄J(|d||b|)2-@切2⑵点A到平面仝的距离n,MPmMP\若点P为平面Q夕〕=一点，点M为平面Q内任一点,平血&的法向量为〃,则P到平面Q的距离就等于MP在法向量斤方向上的投影的绝对值.⑶直线纟与平面冬之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，r［线到平面的距离可转化为求丸线上任一点到平而的距离,即转化为点而距离。nMP即〃=n⑷两平行平面％0之间的距离利用两平行平面I'可的距离处处相等，可将两平行平血间的距离转化为求点血距离。nMP即〃=.n\n⑸异面直线间的距离设向量〃与两异面直线0“都垂直，MgPwb,则两异面直线间的距离d就是MP在向量/7方向上投影的绝对值。nMP即d=.n6、三垂线定理及其逆定理（1）三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.P0丄推理模式：PAa=Aaua,a丄OA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.（2）三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.P0丄a、0wa推理模式：PAa=A丄AOau丄AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面a内的任一条直线MD是a的一条斜线AB在q内的射影，且BD丄AD,垂足为D.设AB与a（AD）所成的角为仇，AD与AC所成的角为@，AB与AC所成的角为&・则cos0=coscos02.8、面积射影定理已知平面0内一个多边形的面积为S（S原），它在平面a内的射影图形的面积为S'（S纣），平面a与平面0所成的二面角的大小为锐二面角e,则COS&=丄=爼・ss原9、一个结论\n长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为厶、厶、厶，夹角分别为q、&2、G，则有I2=Z,2++目ocos2©+cos202+cos2仇Tosin，Q+sin迢+sin迢=2.(立体几何屮长方体对角线长白勺公式是英特例).「第三章三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：(1)cos(cr-/?)=cosacos+sinsin0；(2)cos(降幕公式cosa=,226、万能公式:ca2tan—2sina=;cosa1+tan—2小2tanatanla=.1-taira1—tan2—21+tarT227.半角公式:cos—=土211—COtGsina1—cog11+cog1+cosasinaatcin—=±2l+cog.a,1—coja—^;叫=±勺匚厂25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:(l)sin2a=2sin^coscr.=>1±sin=sin2dz+cos2a±2sinacosa=(sinc^cosa)，⑵cos2a=cos2(7-sin2a-2cos2a-\=]-2sin2a=>升幕公式1+cosa=2cos2—；1-cosa-2sin2—-2.21-cos2asina2=>(后两个不用判断符号，更加好用)28、合一变形二>把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y=Asin(©r+0)+B形式。Asina+Bcosa=Ja?+B?sin(a+0),其中tan.\nA29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提髙三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式,掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：\n高考丄12角的变块：在三角化简，求值，证明屮，表达式屮往往出现较多的相异角，可根据角与角Z间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：r/aci①是q的二倍；是的二倍；q是匕的二倍；匕是匕的二倍；22430"7171②15°=45"—30“=60"—45"=—:问：sin—=；cos—=；21212®oc=(a+0)—/3；④—Ct—(6();27TTT⑤2a=(6Z+0)+(6Z—0)=(—Fcz)—((X)；等等44(22函数名称变拱:三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为眩，变异名为同名。「(32常数代换:在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：1=sirrq+cos~a=tanacota=sin90°=tan45r?,4)幕的变换:降幕是三角变换吋常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处理的方法。常用降幕公式有：:o降幕并非绝对，有时需要升幕，如对无理式J1+COSQ常用升幕化为有理式，常用升幕公式有：；；Q)公式变形:三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如:1+tana1-tana1-tana1+tancrtana+tan/?=1-tantztan/?=tana-tanj3=1+tanatan/?=\n（一）解三角形：1、正弦定理：在厶ABC屮，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，则有^=上=亠=2尺sinAsinBsinC（R为AABC的外接圆的半径）2、正弦定理的变形公式：①g=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC；②sinA=—,sinB=—,sinC=—；③a"：c=sinA:sinB:sinC；2R2R2R3、二角形面积公式：S\arc=A=*a£>sinC=*acsinB•4、余弦定理：在AABC中，有2bccosA,推论：cosA=+c?2bc第二章数列1、数列中a..与S“之间的关系：:・⑸常用性质三①若m+n=p+qQn,n,p,q已N〕,贝0am+an=ap+a（/；②下标为等差数列的项（盘,,务，…），仍组成等差数列；③数列｛加“+切（2"为常数）仍为等差数列；④若｛色｝、｛仇｝是等差数列，贝I」｛肋”｝、｛kan^pbn｝（k、"是非零常数）、gJ（p,qwN、,…也成等差数列。⑤单调性：｛色｝的公差为d,贝9：）〃>0o血｝为递增数列;ii）〃v0o｛%｝为递减数列；iii）d=0^｛an｝为常数列；・‘‘ft“H:—‘‘‘‘5，（比=1）a=\1注意通项能否合并。2、等差数列：⑴定也如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即d”一e-二d,（n>2,nex+）,那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差屮项：若三数人、〃成等差数列0人=旦2⑶通项公式：a=ci+(n-l)ci=a+(n-m)d或％=pn+q（p、q是常数）•⑷前〃项和公式：\n⑤数列｛。”｝为等差数列oa”=pn+q(p,q是常数)⑥若等差数列｛%｝的前〃项和S”，则£、S2,-S,>Sg_S寸…是等差数列。3、等比数列⑴定乂一如果一个数列从笫2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。(2)等比屮项:…若三数a.G.b成等比数列nG—ab、(ab同号)。反之不一定成立。⑶通项公式：an==aqn-m⑷前〃项和公式：s”=°"'_q)=q_4M\-q\-q⑸常用性质①若m+n=p+q(m,n,p,qwN),则am-an=ap-aq:②色，色+恥务+2恥…为等比数列，公比为/(下标成等差数列，则对应的项成等比数列)③数列｛加”｝(久为不等于零的常数)仍是公比为g的等比数列；正项等比数列｛©｝；则｛lga〃｝是公差为lg@的等差数列;④若&〃｝是等比数列，贝9｛c%｝,｛%2｝,｛<｝(reZ)是等比数列，公比依次是q,/丄，qrq⑤单调性：q>(),q>l或吗<(),()<^<1=>｛色｝为递增数列；q>O,Ovqvl或qvO,q>l=>｛a”｝为递减数列；q=l=>｛a“｝为常数列；q<0=>｛%｝为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列仏｝的前〃项和S”，则乂、S2R—Sr、S3LS2攵…是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法\nqy/⑺-1)形如亿,=亿+fS)型的递推数列(其中/⑺)是关于几的函数)可构造：<"\-“2=了5-2)■■■■02-坷*(1)将上述川-1个式子两边分别相加,可得：an=/(h-1)+f(n-2)+.../(2)+/(I)+^,(^>2)①若/⑺)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若/⑺)是关于兀的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若/G)是关于"的二次函数，累加后可分组求和；④若/⑺)是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.可构造：V%乩二/⑺―2)°2累乘法：形如=久•f(n)血=f(n)型的递推数列(其中f｛n)是关于Ha-=/(I)将上述n-1个式子两边分别相乘,可得:%=f(n一1)•f(n一2)•.几2)/(1)州，⑺》2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型V|构造数列法：㈠形如4汩=PS+Q(其中pg均为常数且“工0)型的递推式：(1)若p=\时，数列｛a〃｝为等差数列；(2)若g=0吋，数列｛/,｝为等比数列；(3)若”工1且qzO时，数列｛色｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法_：设d“+i+/=p(cin+A),展开移项整理得色+1=pan+(/?-1)2,与题设a”+］=pan+q比较系数(待定系数法)得几=-^―,(pH0)=>仏］+-^―=p(a/t+-^―)=>an+-^―=p(%+-^―)，即“+丄;］构p-\p-1p-1p-\p-1［p-l)成以吗七丄为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出［d”+—9—1的通项整理可得卩一1Ip-11色.法二:由％+1=pcin+q得an=pan_x+q(n>2)两式相减并整理得—~—=p,即｛an+｝-an｝构成以色一4为\nan~an-l首项，以。为公比的等比数列.求出｛%+】一％｝的通项再转化为类型III(累加法)便可求出匕.㈡形如色+|=pj+f(n)W工1)型的递推式：(1)1/(«)为一次函数类型(即等差数列)时：法一：设an^An+B=p[a^+A(n-1)+B],通过待定系数法确定A、B的值，转化成以q+A+B为首项，以〃为公比的等比数列匕+/U+B｝,再利用等比数列的通项公式求出匕+加+B｝的通项整理可得％法二：当/0)的公差为d时，由递推式得：an+i=paH+f(n),an=pan_x+f(n-1)两式相减得：%=PS”_%)+〃，令bn=an+l-an得：bn=pbn_x+d转化为类型V㈠求出bn,再用类型HI(累加法)便可求出色.⑵兰/(/?)为指数函数类型(即等比数列)时:法一：设q?+2/(斤)=”[%1+兄/(比一1)]，通过待定系数法确定2的值，转化成以马+久/(1)为首项，以p为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出｛an+A/(h)｝的通项整理可得色.法二:当/⑺)的公比为q时，由递推式得:an+x=pan+f(n)①,an=pan_x4-/(n-1),两边同时乘以g得=p^n-x+0(〃一1)—②，由①②两式相减得。”+1-a“q=pa厂qa』，即—一—=卩，在色一也一1转化为类型V㈠便可求出色・杀三：递推公式为an^=pan+qn(其屮p,q均为常数)或an^=pan+rqH(其屮p,q,r•均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以qn+\得：鲁=2・*+丄，引入辅助数列｛仇｝(其屮仇二他)，得:qqqqqbn+l=%+丄再应用类型v㈠的方法解决。qq⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：在an+i=pall+f(n)两边同时除以卩⑷可得到第比+埠令辱",则仇利=仇+缥，在转ppppP化为类型in（累加法），求出仇之后得=Pnbn.|类型VI|对数变换法：形如=paUp>0,5>0）型的递推式：在原递推式色+i=两边取对数得lga“+i=qlgd“+lgp,令bn=lgan得：bn+i=qb”+\gp,化归为an+｝=pan+q型，求出仇之后得atl=]0b'.（注意：底数不一定要取10,可根据题意选择）。类型训倒数变换法：\n形如亿、=pa”a.（/?为常数且心0）的递推式：两边同除于atl_.an,转化为丄=」一+〃形式，化归—色陽一]为art+I=pan+q型求出丄的表达式，再求色；a”还有形如G,=-ma"-的递推式，也可采用取倒数方法转化成丄=巴丄+冬形式，化归为=pan+q型求叫+q%qanp出丄的表达式，再求类型制形如仏“=叫+也型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列d的形式求解。方法为：设勺+2—畑曲=/讹曲—畑“），比较系数得h+k=p-hk=q,可解得力"，于是｛a^-kcin｝是公比为力的等比数列，这样就化归为+q型。总之求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式C!"5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴|错位相减法①若数列｛%｝为等差数列，数列｛$｝为等比数列，则数列｛alt-btl｝的求和就要采用此法.②将数列｛%•$｝的每一项分别乘以｛$｝的公比，然后在错位相减，进而可得到数列｛atJ-bn｝的前〃项和.此法是在推导等比数列的前ti项和公式时所用的方法.（2）|裂项相消法一般地，当数列的通项色=W»c为常数）时，往往可将a”变成两项的差，采用（an^b｝）（an+b2）裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：2c设色=,通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得2=,从而可得an+b}an+优b2-b}-—).(cm+bjam+b?)(b2一bjcm+®an+b2常见的拆项公式有:Az(n+1)nh+1②=—()(2斤一1)(2川+1)22n-\2〃+1③厂I厂=—茁-丽)；mba-b\n①c;：YY；②n-n!=(/i+l)!-n!・⑶|分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为儿个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.⑷倒序相加法如果一个数列{%},与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：4+色=勺+色-1=・・・⑸记住常见数列的前斤项和:①1+2+3+…+心巴异②1+3+5+...+（2〃—1）=；®12+22+32+...+h2=-n（n+1）（2〃+1）.6第三章不等式§3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质①（对称性）a>b<=>h>a②（传递性）a>b,b>c=>a>c③（可加性）a>b<^>a+c>b+c（同向可加性）a>b,c>da+c>b+d（异向可减性）a>b,cb-d\n①（可积性）a>b,c>0=>ac>bea>b、c<0nacb>O,c>d>（）=>ac>hd（异向正数口J除性）6/>/7>o,O->-cd③（平方法贝ij）a>b>O^a">b'\neN.Rn>1）④（开方法则）a>b>0=>丽〉咖（nwN,fh>l）⑤（倒数法则）a>b>0=>—<丄;av方vO=>丄〉—abab2、儿个重要不等式①er^-kr>2ab（a,bwR）,（当且仅当a=b时取号）.变形公式：abB②_（基本不等式）旦n亦bw/T）,（当且仅当a=b时取到等号）.变形公式：a^b>2\fabah<用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大）,要注意满足三个条件“一正.二定.三相等”•③，三个正数的算术一几何平均不等式）竿土nM赢（d、b、ceR+）（当且仅当a=b=c时取到等号）.®a2+F+c2»ab+be+cci（a,bwR）（当且仅当a=h=c时取到等号）.①a"+戾+c3>3abc（a>0,>0,c>0）（当且仅当a=b=c时取到等号）.②若db>0,则◎+纟A2（当仅当a二b时取等号）ahh（i若ab<0,WJ-+-<-2（当仅当沪b时取等号）abbb+m一a+na③一<<1<<-aa+mb+nh英中（a>b>0,m>0,n>0）规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.④当d>0H寸祸>a<^>x2>a2<^x<-a^c>a\|x|<<=>x2-a（ac+bd）2@,b,c,dwR）.当且仅当ad=he时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：（ctj~+）（Z?|~+bj+bf）n（ci'b、+^2^2+©仪）2•⑥一般形式的柯四不等式：（州2+色2+...+色2）@2+/+...+仇彳）>（a}b}+a2b2+...+anbn）2・⑦向量形式的柯酋不等式：设⑦0是两个向量，则”・0卜”制，当且仅当0是零向量，或存在实数使a=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设q心）+/（"）则称f（x）为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：131①舍去或加上一些项，女U（Q+—尸+—〉《+—尸；242②将分子或分母放大（缩小），如1111\n——<——>k2砍—I)'k2心+1)_=)_L2\fk4k+\[k4k伙wN=k>\)等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式aj^+bx+c>0（或v0）⑺工0,△=戻—4处>0）解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切）,结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,贝IJ詈>0o/（x）・g（x）〉08Xr（“V或5”时同理）g（X）[g（X）H0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解!_-f/（X）>0（1）"（兀）〉d（a〉0）O{?[fM>a~⑵0)o][E-l/wvay(x)>o⑶a//(x)>g(X)o]g(x)no或UH\n/(X)>o⑷o,/W<[g(x)]2f/w>o⑸"(X)>Jg(x)og(兀)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：(1)当a>1时，af{x)>a^x}of\x)>g(x)(1)当0vav1时，af(x)>a8(x)<=>f(x)0⑴当G〉1时，log“/(X)>log“g(兀)O0fM>g(x)fM>0⑵当0VQV1时，logaf(x)>log“g(x)o0/(x)0)-a(a<0)⑵平方法：|/(x)|<|g(x)|o/2(x)-a0);®x>6/<=>x>d^x<-a(a>0);®|/U)|5g(x)<=>-g(x)Sf(x)0)@|/(x)|>g(x)of(x)>g(x)或f(兀)<-g(x)(g(x)>0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段屮取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ajc+bx^o0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:⑴讨论d与0的大小；⑵讨论△与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、fei成立问题⑴不等式o?+加+c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：\n①当。二0时=>/?=0,c>0;_[a>0②当QH0时二>彳[A<0.(2)不等式ax2+hx+c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当d=0时=>b=0,c<0;②当a^O时njdv。[A<0.⑶/(x)a恒成立u>/(x)inin>a\/O)>a恒成立o/(x)min>a.15、线性规划问题⑴二元-次不等式所表示的平血区域的判断：法一：取点定域法：由于直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点的坐标代入Ax+By^C后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(丸,旳)(如原点)，由缶+Byo+C的正负即可判断出Ax+Qy+C>0(或<0)表示直线哪一侧的平面区域.BP：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二根据Ax+By+C>0(或v0),观察3的符号与不等式开口的符号，若同号，Ax+Bj+C>0(或<0)表示直线上方的区域；若异号,则表示直线上方的区域・|即：同号上方，异号下无⑵二元一次不等式组所表示的平而区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z=Ax^By(A,B为常数)的最值：法一：角点法：如杲目标函数z=Ax+By（兀、y即为公共区域屮点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值\n法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线h：Ax+By=O,平移直线厶（据可行域，将直线厶平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解（x,y）；第四步，将最优解（兀，刃代入目标函数z=Ax+By即可求出最大值或最小值•第二步屮最优解的确定方法：21ZZ利用Z的几何意义：y=-一兀+—，一为直线的纵截距.BBB①若B>0,则使目标函数z=Ax+By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；②若B<0,则使目标函数z=Ax+By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.⑷常见的H标函数的类型：①“截距”型：z=Ar+》；②“斜率”型：z=2或z=』二xx-a③“距离”型：z=F+于或z=+y2;z=(兀一g)2+(y—b)2或z=J(x_d)2+(y_b)2.在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.数学选修2—1第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.冀命题：判断为冀的语句•假命题：判断为假的语句.2、“若p,则g”形式的命题中的p称为命题的条件，g称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分別是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.英川一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若〃，则q”，它的逆命题为“若q,则\n4、对于两个命题，如果-个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题•中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题•若原命题为“若〃，则gS则它的否命题为“若一归，则V・5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。英中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若”，则则它的否命题为“若一矽，则-p”。原命题若P则gIb互否，，否命题逆命题若g贝妝互若则-<0互否:逆否命题逆若则F6.四种命题的真假性：否命题逆否命题原命题逆命题真其真假假真假假四种命题的真假性Z间的关系：（1）两个命题互为逆否命题.它们冇相同的真假性;（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.7、若pnq,则#是g的充分条件，g是〃的必要条件.若poq,则〃是q的充要条件（充分必要条件）.&用联结词''且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p^q.当p、g都是真命题时，p/\q是真命题；当p、g两个命题屮有一个命题是假命题时，p/\q是假命题.用联结词''或”把命题"和命题g联结起来，得到一个新命题，记作p\/q.当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pvq是真命题；当°、q两个命题都是假命题时，p^q是假命题.对一个命题〃全盘否定，得到一个新命题，记作一©.若〃是真命题，则一归必是假命题；若〃是假命题，则一归必是真命题.9、短语“对所冇的”、“对任意一个”在逻辑屮通常称为全称量词，用“X/”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题"对M中任意一个兀，有卩（兀）成立”，记作“VxgM,“（X）”.短语“存在一个”、“至少冇一个”在逻辑屮通常称为存在量词，用“日”表示.含冇存在量词的命题称为特称命题.特称命题"存在M中的一个X,使p（x）成立”，记作“BxwM，P（X）”・10、全称命题〃：VxeM,#（无），它的杏定~^p:gM,―0（兀）。全称命题的杏定是特称命题。特称命题IxwM，p（x）,它的否定-yp:VxgM,-）p（x）o特称命题的否定是全称命题。第二章:锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化①建立适当的直角坐标系；②设动点M（兀,y）及其他的点；③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。两焦点的2、平面内与两个定点F2的距离之型等于常数（大于*尺|）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点,距离称为椭圆的焦距。M用=2d（2d>2c）3.椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在兀轴上焦点在y轴上\n图形yZ2A■.\A°X标准方程22务+斧2>b>°)22令+畚=l(d〉0〉o)第一定义到两定点存、耳的距离Z和等于常数2q,^\MF}\+\MF2\=2a（2a>\F}F2\）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数£,即竺=£（00">0)第一定义到两定点片、▲的距离之差的绝对值等于常数2a,即||M斥1-1砂||=2a（0v2o＜|斥打|）第二定义MF与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数6S即——=幺@〉1）a范围x<-a^x>a.yeRy<-a^y>a9xg/?顶点A](-Q,0)、A2(6Z,0)A](O,-a)、A2(0,«)轴长实轴的长=2。虚轴的长=2b对称性关于兀轴、y轴对称，关于原点中心对称隹占耳（-c,0）、骂（c,0）耳(0,-c)、坊(O,c)焦距F叵=2c(c2=a2+b2)离心率亠£十十：（小）准线方程x=±—cy=±c渐近线方程,by=±—xa亠ay=±—x“b焦半径W0.y0）[左焦^MF^ex^+aM在右支**[右焦：\MF2\=ex.-a(左焦：\ME\=-exQ-aM在左支1[右焦：\MF2\=-ex{}-}-ciM在上支＜M在下支＜"左焦：\MF}\=ey^a、右焦：\MF2\=ey()-a左焦：\MF]=-ey0-a右焦:|M引=-ey()+a焦点三角形而积90S^2=b2cot-=笃)\n7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。8、设M是双曲线上任一点，点M到尺对应准线的距离为必，点M到f对应准线的距离为〃2,则凹二止凹=0。'%“29、平而内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点尸称为抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的准线.10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”，W|AB|=2p.11、焦半径公式：若点Pg，%）在抛物线宀2四（#>0）上，焦点为F,则『刃一“十兀、若点P（k，%）在抛物线戸=-2四@>0）上,焦点为F,则円卜一兀+空；若点P（*Wo）在抛物线宀2砂（p>0）上，焦点为F,则『刃-％+2；若点P（*Wo）在抛物线X—（〃>0）上，焦点为F,贝严卜一儿12、抛物线的儿何性质:\n标准方程y2=2px3>o)y2=—2px(c>o)x2=2py(p>o)x2=—2py3>o)定义与一定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线/上）顶点(0,0)离心率e=1对称轴兀轴y轴范围x>0x<0ynoy<0隹占F（。勻准线力程x=-^2x=P-2y=——2焦半径Wo7o）mf|t+弓\MF\=-x.^MF=-y^通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：=2p焦点弦长公式AB=占+七+p参数p的几何意义参数〃表示焦点到准线的距离，〃越大，开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线，2=2e（c>0）焦点的弦，A3,刃）、3（兀2，力），直线AB的倾斜角为0,则9"2^2=—^y\y2=-p；4⑶以4B为直径的圆与准线相切；71⑷焦点F对A.B在准线上射影的张角为一;2112H——\FA\\FB\P第三章:空间向量知识点:1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.\n（2）向量可用一条冇向线段來表示.冇向线段的氏度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（3）向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作ab（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向屋称为单位向重・（5）与向最。长度相等且方向相反的向量称为d的相反向最，记作一a.（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量.2、空间向彊的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则.即：在空间以同一点0为起点的两个己知向量a、b为邻边作平行四边形OACB,则以0起点的对角线oc就是QB与/?的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.（2）求两个向量羞的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则.即：在空间任取一点0,作6=-OB=b‘贝llBA=a—b.3、实数2L空间向量d的乘积加是一个向量，称为向量的数乘运算・当久>（）时，Aa^jd方向相同；当；1<0时，/kz与a方向和反；当2=0吋，2a为零向量，记为0・2a的长度是a的长度的I彳倍.4、设久，“为实数，a,b是空间任意两个向：ft,则数乘运算满足分配律及结合律.分配律:兄（门+/?）=加+肋；结合律:兄（“Q）=（2“）Q.5、如果表示空间的冇向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a,b（bHO），a//b的充要条件是存在实数2,使a=Ab.7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.8、向呈共面定理：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在冇序实数对x,y,使俎=叭令c；或对空间任一定点o,有OP=OA+xAB+），AC；或若四点P，A,B,C共面，则oP=aOA+yOB+zOC（x+y+z=1）•9、己知两个非零向戢。和/?,在空间任取一点0,作OA=a，OB"，则ZAOB称为向虽d,的夹角，记作〈d,Z?〉.两个向量夹角的取值范围是：@,仍丘［0,刘.10、对于两个非零向量Q和b,若〈“上〉二彳，则向量d，b互相垂直，记作d丄/?.11、已知两个非零向量。和"，则同”|cos〈a,b〉称为a,方的数最积，记作ab.即皿=0制cos〈g,〃〉•零向最与任何向量的数量积为0.12、a-b等于a的氏度c2与/?在a的方向上的投影”cos〈d,b〉的乘积.13若a,b为非零向呈，e为单位向最，则有(1)ea=ae=|tz|cos〈a,幺〉；(2)a丄/?oa•b=0；\n同”险与Z?同向）一问问（Q与Z?反向）a\=\[cTa；（4）COS〈d,/?〉=14量数乘积的运算律：（1）ci'b=b■ci；（2）（加）•b=彳°•0=彳久）；（3）（a+方）.©=c+/?•15、空间向量基本定理：若三个向量d,b,C不共面，则对空间任一向最"，存在实数组｛x,〉，,z｝，使得〃=.也+）力+zc.16.三个向量Q,b,C不共面，则所有空间向量组成的集合是b,C生成的，｛a,b,c｝称为空间的一个基底，Q,b,C称为基向量.空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底.17、设弓，36为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以弓，S'匕的公共起点0为原点，分别以弓，勺，匕的方向为兀轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.则对于空间任意一个向量〃，一定可以把它平移，使它的起点与原点0重合，得到向ftOP=p.存在有序实数组｛x,y,z｝，使得卩二口+西匕勺.把兀，八Z称作向量卩在单位正交基底q,勺，勺卜的坐标，记作p=（x,y,z）.此时，向量卩的坐标是点P在空间直角坐标系Qy），2中的坐标（x,y,z）.18、设0=（西，刃,Z|）‘b=（x2,y2,z2）»则⑴a+b=（斗+花,必+%，召+乙2）・⑵a-b=（Xj-x>,J,-J2,Zj-z2）-（3）加=（2吞,2必,加］）.（4）ah=x｛x2+y｛y2+z,z2-（5）若a、b为非零向量，则g丄bu>d・b=0o西召+）'［歹2+z<2=0・（6〉若bHO,则a//bu>G=〃o西=Ax29yt=Ay2,z）=Az2.（7）\a=sta-a=+z：•（9）Ad」,zJ，B=（%,%,Z2），则=|AB|=^x2-x,）2+（y2-y,）2+（z2-zt）2•19、在空间中，取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量0P來表示.向量0P称为点P的位置向量.20、空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定•点A是直线/上一点，向量d表示直线/的方向向高屮教育\n量，贝9对于直线/上的任怠一点P,冇AP=ta,这样点A和向量a不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直线/上的任意一点.21、空间中平而Q的位置可以由Q内的两条相交直线來确定.设这两条相交直线相交于点0,它们的方向向量分别为Q,b•P为平面Q上任意-•点，存在有序实数对（兀,y），使得OP=xa+yb^这样点0与向量a,b就确定了平而Q的位置.22、直线/垂直取直线/的方向向量a,则向:fta称为平面&的法向:ft.23、若空间不重合两条直线d,方的方向向量分别为a,b,则allboailbo（：1=肪（入€口，a丄boa丄bod・b=0.24、若直线a的方向向量为a,平面a的法向量为兀，且a（za,则a//a<^>a//a<=>a丄刃oa・n=0,a丄tzoa丄aoa//noa=>ln.25、若空间不合的两个平面a,0的法向量分别为d,b,则a//0u>d//“oa=肋，Q丄0Od丄boa•b=0•26、设异血直线a,/?的夹角为0,方向向量为a,b,其夹角为0,则有.=||=12•''屮27、设直线/的方向向量为/,平面Q的法向量为",/与◎所成的角为0,/与“的夹角为0,则有sin&=|cOS0|=28、设n},n2是二面角a-1-p的两个面Q,0的法向暈，则向量q,佝的夹角（或英补角）就是二面角的平面角的大小.若二面角a-1-p的平面角为。，则|cos®H.PA・n29、点A与点B之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模AB计算.30、在直线/上找一点P,过定点A且垂直于直线/的向量为"，贝9定点A到直线/的距离为J=|pa||cos0f(x+^x)-f(x)Ax二•导数的计算基本初等函数的导数公式:1若f(x)=c(c为常数)，则f\x)=0；3若f(x)=sinx，则f\x)=cosx5若/(x)=ax,W'Jf\x)=axIna7若/(兀)=log爲则f(兀)=亠xina导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]f=ff(x)±gf(x)3丫=■"[巩兀)]22若/(x)=xa，则fr(x)=axa~[;4若f{x)=cosx,则J'\x)=-sinx；6若f(x)=ex，则f\x)=ex8若f\x)=In兀，则f\x)=-x2[/(x)•g(x)]f=ff(x)•g(x)+f(x)•gf(x)复合函数求导y=f(u)和u=称则y可以表示成为兀的两数，即y=/(g(Q)为一个复合函数#=/'(gO))・0Cv)三•导数在研究函数中的应用1•函数的单调性与导数：一般的，苗数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(“上)内(1)如果f(x)>(),那么函数y=f(x)在这个区间单调递增;(2)如果广(x)vO,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数=/(x)的极值的方法是：(1)如果在兀附近的左侧/心)>0,右侧/©)<()，那么/(忑)是极大值(2)如果在兀附近的左侧f(x)<0，右侧f\x)>0，那么/(x0)是极小值;2.函数的最大(小)值与导数求函数y=/(_x)在［仏切上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y=/(_y)在(么方)内的极值；(2)将函数y=f(X)的各极值与端点处的函数值g,/(历比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对彖具冇某种性质，退出这类事物的所冇对象都具冇这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或-•致)性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理.类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或--致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的.(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，和似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠.\n考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程，这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法.2.步骤:A.命题在n=l(或斤0)时成立，这是递推的基础；B假设在n二k时命题成立；C.证明n=k+l时命题也成立,完成这两步，就可以断定对任何自然数(或卩二斤。,且〃GN)结论都成立。考点三证明1.反证法：2、分析法：3、综合法：数系的扩充和复数的概念复数的概念(1)复数:形如a+bi(ciwR、bwR)的数叫做复数，G和b分别叫它的实部和虚部.⑵分类:复数a+bi(aeR,gR)中，当b=0，就是实数；bH0，叫做虚数;当a=0,方H0时，叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轨复数:当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轨复数.(5)复平面:建立直角坐标系来衣示复数的平而叫做复平而,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。复数的运算1•复数的加，减，乘，除按以下法则进行(3)单+(加+加)匕工0)z2c2+d22(3)若Z为虚数，则\z^z2设Zj=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dgR)则(1)±z2=(a±c)+(b±d)i(2)z^z2=(ac-bd)-\-{ad+bc)i2.儿个重要的结论(1)|z1+z2|2+|z,-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)⑵zez=|z|2=|z|23.运算律(1)z—"(2)(zw)w=zww；(3)(z1•z2)n=zfez2,,(7/2,ne/?)4.关于虚数单位i的一些尚定结论：(1)i2=-1(2)i3=-i(3)r=l(2)r+严？+严3+严4=0数学选修2—3第一章计数原理知识点:1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M】种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法,……，在第N类办法中有Mn种不同的方法,那么完成这件事情共有Mi+M2+……+Mn种不同的方法。2、分步乘法计数原理：做件乳完成它需要分成N个步骤，做第一步有计种不同的方法，做第二步有不同的方法,做第N步有Mn不同的方法•那么完成这件事共有N=IVhM2…Mn种不同的方法。3、排列：从”个不同的元索中任取m(m0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差.则英分布叫正态分布i己作：N(“,b),f(x)的图彖称为正态曲线。16、基本性质：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交.②曲线关于SL线对称，且在x=/z时位于最高点.③当时兀曲线上升；当吋尤>",曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以X轴为渐近线，向它无限靠近.④当“一定时，Illi线的形状由b确定.o•越大，|]||线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；”越小，仙线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.⑤当o相同时，正态分布曲线的位置由期望值U来决定.⑥正态曲线下的总而积等于1.17、3（7原则:从上表看到，正态总体在(“-2cr,“+2b)以外取值的概率只有4.6%,在(“-3b,“+3b)以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.第三章统计案例独立性检验假设有两个分类变最X和Y,它们的值域分另为｛xbx2)和｛**2｝，其样本频数列联表为：yiya总计Xiaba+bX2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d若要推断的论述为H(:“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量M2的值(即K的平方)K2=n(ad-be)2/f(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],-M中n=a+b+c+d为样本容量，K?的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。K2<3.841时，X与Y无关；K2>3.841时，X与Y冇95%可能性冇关；K2>6.635时X与Y冇99%可能性冇关回归分析回归直线方程y=a+bx\na=y-bx其中工（-无）（旷刃.工宀丄（I/）工（5n高中数学选修4-1知识点总结平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给11!过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延2线）相交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应屮线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面枳比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例屮项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆屮，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。\n圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质眩切角定理：眩切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线反是这点到割线与圆交点的两条线段反的比例屮项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。选修4-4数学知识点一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1.坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系屮给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2.参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：=2-x,（2>0）,（p:°），的作用下，点尸（兀y）对应到点P（兀；V）,称°为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平而内取一个定点°,叫做极点；自极点。引一条射线°兀叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆吋针方向），这样就建立了一个极坐标系。3.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点。与点M的距离l°M|叫做点m的极径，记为°；以极轴。兀为始边，射线为终边的ZQW叫做点M的极角，记为°。有序数对（卩“）叫做点M的极坐标，记为■极坐标S&）与S°+2炽）伙GZ）表示同一个点0极点O的坐标为（0,weR）.\n4.若QV°,则一Q>°,规定点（一"〃）与点（Q&）关于极点对称，即（一％）与（QM+&）表示同一点。如果规定°>0，°'&'2兀，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（°&）表示；同时，极坐标（°&）表示的点也是唯一确定的。5.极坐标与直角坐标的互化:000p=x+y,x=pcosO,yy=psinGtan0=—(x^0)x6-圆的极坐标方程:在极坐标系屮，以极点为圆心，厂为半径的圆的极坐标方程是在极坐标系中，以C（Q，°）（d>0）为圆心，0为半径的圆的极坐标方程是P=2acosO在极坐标系中，E1CS‘2）（g>0）为圆心，。为半径的圆的极坐标方程是P=2dsin〃7.在极坐标系中，〃二表示以极点为起点的一条射线；&=表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点A（a，°）（d>°）,且垂直于极轴的直线1的极坐标方程是=Ix=/（r）,8.参数方程的概念：在平面直角坐标系屮，如果曲线上任意一点的坐标兀）‘‘都是某个变数f的函数I歹=并目.对于『的每一个允许值，由这个方程所确定的点“（忑丁）都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数兀）'的变数『叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。'（劝参数）x=a^rcosdV9.圆(兀—a)2+(y-b)2=r2的参数方程可表示为b=b+rsin£H1［心［°8%为参数）椭圆/b2（a>b>0）的参数方程可表示为卜=bs\n（p.,为参数）抛物线y=2px的参数方程可表示为x=xo+tcosa,<经过点％（%，儿），倾斜角为Q的直线/的参数方程可表示为卜=儿+'sin°（/为参数）.10.在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范I韦I。在参数方程与普通方程的互化屮，必须使儿丿的\n取值范围保持一致.高中数学选修4-5知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a>bob>a②（传递性）a>b,b>c=a>c（3）（可加性）ci>b<^>a+c>b+c（同向可加性）a>b、c>dna+c>b+ci（异向可减性）^>b,cb、c>°nBe>bea>c<0acb>O,c>d>gcic>bda>b>0,0—>—（异向正数可除性）cd⑥（平方法则）o>b>0=>G">Z?"（A7wN,且n>l）⑦（开方法则）,n11,n1Id>/?>0n—v—;gv/?v0=>—>—⑧（倒数法则）abab2、儿个重要不等式&a2+^>2ab（a9吐尺），（当且仅当a=b时取”=”号）.变形公式：°一2———»\Jcib（口匕wR+\②（基本不等式）2\'丿，（当且仅当a=h时取到等号）.变形公式:a+b>2y/~ai用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定.三相等”.③（三个正数的算术一几何平均不等式）（。、b、CGR'）（当且仅当a=b=c吋取到等号）.a2+庆4-c2Aab+bc+ca（a,bwR）（当且仅当a=b=c时取到等号）.\n①a3+Z?34-c3>3abc(a>0,/?>0,c>0)(当且仅当a=b=c吋取到等号).若"〉0,贝上+佟2②ab（当仅当a二b时取等号）若abc0,贝J—+—<-2ab（当仅当沪b时取等号）bb+m千a+na—<<1<<—③aa+mb+nb,(其中a>b>°,m>09n>0)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.>a2<^>x<>a;|x|<6/<=>x2<«2<^>-a②幕平均不等式：972、1/+•••+Clf^2—+0+•••+0打）~・~n~③二维形式的三角不等式：+Jxf+才>J（州一兀2）2+（必一力）2（丙，H,吃，A2W斥）•④二维形式的柯西不等式：（/+Z?2）（c2+〃~）>（cic+bdy（a,b,c,deR）.当且仅当ad=be时，等号成立⑤三维形式的柯西不等式：（马~+）（Z?|~+bj+b；）n（ci\b\+cl^2+©仪）2•⑥一般形式的柯西不等式：（马2+O,2+・・・+町）@2+冴+...+$2）>（马q+a2b2+・・・+d0j2.⑦向量形式的柯西不等式：设久0是两个向量，则a'/3\-a当且仅当0是零向量，或存在实数使a=k卩时，等号成立.\n②排序不等式（排序原理）：设a}/（州）+/（兀）22〜•2一2•则称f（x）为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：(a+—)2+—>(a+—)2;①舍去或加上一些项，如242②将分子或分母放大(缩小)，11112212<>=zz><如/k(k-l)9k2k伙+1)'2y[ky/k+y/ky[k麻十岳K~l=>（kwN,£>1）QkQk++\等5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式or+fer+c>0（或vO）（dH0,△=F-4ac>0）解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四iffli：ifflitB对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则\n44〉（）o/（x）・g（x）〉（）g⑴g⑴[g⑴hO（，或w”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.fM>of(x)>a28、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解Jf(x)>a(a>0)<=>(1)J.f(x)0/(x)0I———/（x）>0J/（x）>g（x）o{g（x）、o或<以、「/yPlg（x）<（）⑶l/（x）>[g（x）rf（x）>0J./G）o⑷b（x）<[gs）F[/（x）>0V7w>JgO）OgO）规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当G>1时,RE><=>/(X)>gO)⑵当00曲)o/(x)0log“f(x)>logag(x)o0f(x)>g(x)fM>0log“f（x）>log“g（x）o0⑵当00)⑴定义法：a1一0(Q<°)°\n⑵平方法：1/(尢)1勻&(兀)1of。)-a0);②Mnao兀n<-a(a>0);③|/(兀)|0)④|/(x)|>g(x)<=>f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(g(x)>0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如cvr+bx^-O°且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:⑴讨论Q与0的大小；⑵讨论△与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题(1)不等式ci^+bx+O。的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当吋=>Z?=0,c>0;才>0②当ghO时l°vO.⑵不等式cvc2+bx+c<°的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当a=0时nb=0,cv0;异<0②当ghO时[AvO.⑶/(兀)a恒成立o/(x)inin>a；fM»a恒成立o/（x）min>a.15、线性规划问题（1）二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线山+Ey+c=。的同一侧的所有点的坐标代入加+Qy+c后所得的实数的符号相同.所以，在实际判\n断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（”。，九）（如原点），由缶+3旳+°的正负即可判断出A"+By^CMC或V0）表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据山+®'+C>°（或<0）,观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，Av+Qy+C>°（或vO）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z=SB为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z=（兀、y即为公共区域屮点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应Z值，最大的那个数为日标函数Z的最大值，最小的那个数为目标函数Z的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平而直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线厶：必+血=°,平移直线厶（据可行域，将直线厶平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解（兀"）；第四步，将最优解（兀/）代入目标函数z=Ax+Ry即可求111最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法：Azzy=x+——利用Z的儿何意义：BB,B为直线的纵截距.①若则使目标函数z=Ax^By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；②若则使目标函数z=所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：z=Ax+By^z=Zz=口；②“斜率”型：兀或兀\n①“距离”型：2=++：/或2=jF+y2；z=(x—ci)-知[阳]，/(叽=唤｛/(")，/⑷｝，/(兀)min=伽｛/(P)，/©)｝•/?h⑵当a<0时,若x=-—e[p,q],则/(.=m(n/p加｝,若x=-—^[p,q],则+(y—by或z=J(x-a)"+(y_b).在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.附：高中数学常用公式及常用结论1.元素与集合的关系xeix^CL1A,xelCl,A<^>A.2.德摩根公式Q(AB)=CVACuB;Cu(AB)=CUACVB.3.包含关系AB=A<=>AB=BoAuBoQBuCoA=B=R4.容斥原理card｛AB)=cardA+cardB-card(AB)card(ABC)=cardA+cardB+cardC一card(AB)-card(AB)-card(BC)-card(CA)+card(ABC).5.集合｛al9a2,，陽｝的子集个数共有2"个；真子集有2"个；非空子集有2”・1个；非空的真子集有2"-2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式/(x)=ax24-bx4-c(aH0);(2)顶点式/(x)=a(x-h)2+k(aH0);(3)零点式f\x)=a(x-x｛)(x-)(<2#0).7.解连不等式NI-l\n11<=>>./(x)-NM-N&方程/(x)=0在(任，為)上有且只有一个实根，与/(^W2)<0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程ax2-｝-bx+c=0(a^0)有且只有一个实根在&,心)内，等价于/伙J/伙2)<°，或k+k，或/伙2)=0且一8.闭区间上的二次函数的最值二次函数/(x)=g¥+4:+c(gh0)在闭区间［pq］上的最值只能在x=-—处及区间的两端点处取得，具2d体如下：⑴当a>0时，若x=-—e［阳］,则/(X)min=/(-—),/(x)max=max｛/("/⑷｝;\n/(兀)max=max{/(p),f(q)},/(x)min=min・10.一元二次方程的实根分布依据：若<0,则方程/(%)=0在区间(加/)内至少有一个实根.设f(x)=吃+px+q,则(1)方程/(X)=0在区间(m,+00)内有根的充要条件为/(m)=0或04nI2(2)方程/(x)=0在区间(加必)内有根的充要条件为f(ni)f(n)<0或/(«)=0af(m)>0(3)方程/(%)=0在区间(-00曲)内有根的充要条件为<0或/(m)>0f(n)>0p2-4q>0或m<0口p2-4q>0』0(%L).(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不等式/(%,/)>C&为参数)恒成立的充要条件是OOL\a>0⑶/(x)=6ZX4+用+c>0恒成立的充要条件是沁0或c>0a<0h2-4ac<012•真值表Pq非pP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13•常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(72-1)个小于不小于至多有并个至少有(77+1)个对所有X,成立存在某兀，不成立p或q-\pL=L-q对任何X,不成立存在某兀,成立P且g或一>q\n14.四种命题的相互关系15.充要条件(1)充分条件：若pnq,则p是g充分条件.(2)必要条件：若qnp，则〃是g必要条件.(3)充要条件：若pnq,且qn卩,则“是g充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16•函数的单调性(1)设X)•X2G兀]工冷那么3-勺)[/3)-/(兀2)1>°0/(西)一/(花)〉°o/(兀)在上上]上是增函数；坷一兀2(X,一吃)”(西)一/g)]vOo/3)一/(吃)voo/(无)在肚闰上是减函数.兀1一兀2(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果f\x)>0,则/(兀)为增函数;如果/(%)<0,则/(兀)为减函数.17.如果函数/(x)和g(Q都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(尢)+巩劝也是减函数；如果函数y=/(%)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数.18.奇偶函数的图彖特征奇函数的图彖关于原点对称，偶函数的图彖关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图彖关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.19.若函数y=f(x)是偶函数，贝0f(x+a)=f(-x-a)；若函数y=f(x-^a)是偶函数，则/(x+a)=/(-%+a).20•对于函数y=/(x)(xe/?),/(x+6z)=/0-x)恒成立，则函数/(兀)的对称轴是函数x=^-;两个函数y=fa+d)与y=f(b-x)的图象关于直线X=凹对称.221.若f(x)=—f(—x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(彳,0)对称；若/(x)=-f(x+a),则函数Jy=.f(x)为周期为2。的周期函数.22.多项式函数P(x)=anxn+++勺的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数oP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数y=/(x)的图象的对称性⑴函数=/(x)的图象关于直线x=a対称of(a+x)=f(a-x)<^>f(2a-x)=f(x).⑵函数y=f(x)的图象关于直线兀=匕对称Of(a+nix)=f(b一jwc)2\n<=>f(a-{-b-nu)=f(nu).23.两个函数图象的对称性(1)函数y=/(x)与函数y=/(一兀)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.(2)函数y=f{mx-a)与函数y=f(b-nvc)的图象关于直线x=a+^对称.2m(3)函数)y/(兀)和y=厂'(x)的图象关于直线y二x对称.24.若将函数y=的图象右移d、上移b个单位，得到函数y=f(x-a)+h的图象；若将曲线/(x,y)=0的图象右移上移b个单位，得到曲线/(x-a,y-h)=0的图象.25.互为反函数的两个函数的关系、f(a)=bo、f(2)an-—(a>0wwN*,且力>1).an31.根式的性质(b)=a.26.若函数y=f(kx+b)存在反函数，则其反函数为y二丄［/■*M-b］,并不是y=\p\kx^by而函数ky=［厂'(kx+b)是y=|［/(x)-b］的反函数.K27.几个常见的函数方程(1)正比例函数/(x)=ex,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.(1)指数函数/O)=ax,/(x+y)=(1)=aH0.(2)对数函数/(x)=log“x,f(xy)=/(x)+f(y\f(a)=1(g>0,aH1)・(3)幕函数/(x)=屮，f{xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.⑸余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,/(x-y)=/⑴/(y)+g(x)g(y)，xtOX29.儿个函数方程的周期(约定a>0)(1)/(x)=/(x+«),则/(兀)的周期T=a；(2)/(x)=/(x+d)=0,或/(x+a)=—(/(%)丰0),或/(兀+a)=(/(x)主0),或*+严(X)=/(x+tz),(/(x)e[0,1]),则/(%)的周期T二2a；(3)f(x)=1-(/(兀)H0),则广(兀)的周期T=3a；/(兀+。)(4)/(Xj+x2)=/(刃)+/(兀2)1-/U1)/(^2)且f(a)=1(/(西)•/(吃)工1,0<|x.-x2\<2a),则f(x)的周期TMa；(5)/(x)+f(x+a)+f(x+2d)f(x+3a)+/(%+4a)=/U)f(x^d)f(x+2d)f(x+3a)/(x+4a),则/(x)的周期T=5a；(6)f\x+a)=f(x)-f\x+d)，则f(x)的周期T=6a.30.分数指数幕巴1(1)an-{——(a>0，加屮wAT,且〃〉1)•(1)(五y=a.\n(1)当兀为奇数时，历=a；I—ja,°n0当〃为偶数时，=\a\=\-a,a<032.有理指数幕的运算性质(1)a-as=a"'(a>O,r,swQ).(2)(ay=afy(a>O,r,seQ).(3)(aby=ab'(a>0,b>0,厂w0.注：若a>0,p是一个无理数，则M表示一个确定的实数.上述有理指数無的运算性质，对于无理数指数慕都适用.33.指数式与对数式的互化式log“N=bo/=N(a>0,GHl,W>0)・34.对数的换底公式logN\ogaN=——-—(Q>0,口QH1,"2>0,口加H1,N>0)•log,”。fl推论loggbn=—log"b(a>0,Ha〉l，w>0,且加N>0).am35.对数的四则运算法则若a>0,aHl,M>0,N>0,则(l)log“(MN)=log“M+log“N;M⑵log"—=log“M一log“N;(2)log“AT=MSwR).36.设函数f(x)=log/n(ax2+bx+c)(aH0),idA=Z?2-4ac.若.f(x)的定义域为/?,则a>0,且Av0；若/(x)的值域为/?,则a〉0,且△'0.对于a=0的情形，需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若g>0,b>0,x>0,x^—，则函数歹=logav(hx)a⑴当a>b时，在(0,—)和(—,+oo)上y=logav(Z?x)为增函数.aa.(2)当am>\^/?>0»a>0，且ghI，贝〔J(1)logw(>7+P)l.45.同角三角函数的基本关系式Asin20+cos2&=1,tan0二,tan0•cotO=1.cos046.正眩、余弦的诱导公式n(-1)2s\na,n-\•J171sin(——+a)=<（n为偶数）(-1)2cosa,（n为奇数）（n为偶数）\n（n为奇数）\nco^—+a)2(-])2cosa,n+i(-1)2sina,47.和角与差角公式sin(cz±0)=sinacos(3±cosasin0；cos(a±0)=cosacos0sinasin0；吨±0)=350.1tanatan0sin(tz+p)sin(cr=sin2a—sin20(平方正弦公式);aacos(a+0)cos(a—0)=cosa-sirr0.asina+bcosa二+戻sin(a+0)(辅助角©所在象限由点(a,b)的象限决tan^=—).a4&二倍角公式sin2a=sinacosa.cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\=1-2sin2a.小2tanatan2a=；—1一tarra49.三倍角公式sin3&=3sin&-4sin"0=4sin0sin(y-&)sin(y+0).兀兀tan3&3tan-tan30l-3tan2^cos30=4cos3&一3cos0=4cos&cos(0)cos(—+3)7TTT-tan0tan(0)tan(—+&).50•三角函数的周期公式.2^函数y=sin(ex+0),xER及函数y=cos(qx+0),xWR(九w,/为常数，且AHO,a>0)的周期T=——；CDTT7C函数y=tan(ov+0),xhhzr+—wZ(A,3,©为常数，.RAHO,w>0)的周期T=—.2co51•正弦定理sinAsin3sinC52.余弦定理6z2=Z?2+c2-2bccosA;b2=c2+/-2cacosB;c2=a2+h2-2abcosC.53.面积定理(1)S=—aha=—bhh=—chc(包、%、人分别表示a、b、c边上的高).(2)S二丄ahsinC=—hcsinA=—easinB.222(3)S心b=*J(|041•|OBI)?_(04•OS)?54.三角形内角和定理在中，有A+B+C=7ru>C=;r—(A+B)C=£_A+B^2C=2^_+22255.简单的三角方程的通解\nsinx=aox=R7T+(-l)'arcsina(kgZJ^z|<1)・cosx=a<^>x=2kjr±arccosa{kgZJ6/1<1).tanx=tz=X：7r+arctana{kgR)・特别地，有sina=sin0»6Z=^+(-1)a/7(Z:gZ).cosa=cosJ3u>a=2k兀土/3(kgZ).tana=tan0=>q=kzr+卩(kgZ).52.最简单的三角不等式及其解集sinx>a(\a\<1)oxw(2k7i+arcsina.2上兀+zr—aivsina),kwZ.sinxa(\a\a(ag/?)=>xg(kjr+arctana,k兀H——),kwZ.271tanxxg(k/r,k/r+arctana),keZ.253.实数与向量的积的运算律设入、u为实数，那么(1)结合律：入(ua)-(A.u)a;(2)第一分配律：(入+u)a二入a+»a;(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.54.向量的数量积的运算律：(1)a•b=b•a(交换律)；(2)(Za)・b二A(a•b)=2a・b=$・(/lb);(3)(計b)•c=a•c+b•c・55.平面向量基本定理如果6、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数X、X2,使得a二入e+入6・不共线的向量&、s叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.56.向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且bHO,则ab(b^0)<^x{y2~x2y{=0.53.a与b的数量积(或内积)a*b=\a\|b|cos9.57.a・b的儿何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投彤|b|cos。的乘积.58.平面向量的坐标运算⑴设a二(兀]」)小二(兀2，力)，则a+b=(X|+与」+%)•(1)设a二(兀]」)小二(兀2，力)，则a-b=(x,-x2.y]-y2).(2)设A(Xj,y\),B(x2,y2),则AB=OB-OA=(x2-xry2-y}).(3)设a二(x,y),2e/?,则2a=(2x,Ay).(4)设a二(X],y[),b二(吃，％)，则a・"(兀內+刃％)・59.两向量的夹角公式coS&=严「冲(沪(比，刃)，b二(无2,丿2))•\n64.平面两点间的距离公式dAB=\AB\=ylAB-AB=yl(x2-xi)2+(y2-yj2(AO],/),B(x2,y2)).65.向量的平行与垂直设a=(x1,yl),b=(x2,y2),且bHO,贝ijA||bob二入aOX】％—花刃=0.a丄b(aHO)O$・b=0u＞兀居+)1%=0-66.线段的定比分公式设片(召,刃)，£(七,力)，P(X")是线段的分点，久是实数，且片P=2P£，则x+x=1+久OOP/*®1+2oOP=Q片+(1-.1+267.三角形的重心坐标公式AABC三个顶点的坐标分别为A(X],y】)、B(x2,y2)C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是C(州+花+“卩+力+乃)3，36&点的平移公式I兀=兀-h.,.oOP=OP+PPy=y—k注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP的坐标为(h,k).69.“按向量平移”的儿个结论(1)点P(兀,y)按向量a二(/?,k)平移后得到点P{x+h,y+k).(2)函数y=f(x)的图象C按向量a二(h,k)平移后得到图象C‘，则C'的函数解析式为y=f(x-h)+k.(3)图象C'按向量a二(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式歹=/(X),则C'的函数解析式为y=f(x+h)-k.(4)曲线C:/Uy)=0按向量a二(h,k)平移后得到图象C‘，则C‘的方程为f(x-h,y-k)=0.(5)向量m二(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m二(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要条件设0为\ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则222(1)0为\ABC的外心oQ4=OB=OC.(2)0为\ABC的重心oOA+OB+OC=0.(3)0为\ABC的垂心<^>OAOB=OBOC=OCOA.(4)0为\ABC的内心aOA+hOB+cOC=0.(5)0为AABC的ZA的旁心oaOA=bOB+cOC.71.常用不等式：(1)a,h^R^>cr+kr>2ah(S且仅当a=b时取“二”号).(2)=>^->y/ah(当且仅当s=b吋取“二”号).2\n(1)柯西不等式(6/2+b2)(c2+t/2)>(ac+bciy,a,b,c,dgR.(2)制一附5a+勺5问+问.69.极值定理已知兀y都是正数，则有(1)若积小是定值〃，则当x=y时和x+,y有最小值2y[p；1°(2)若和兀+y是定值s,则当x=y时积Ay有最大值-s2.推广已知x,yw7?,则有(x+y)2=(x-y)2+2xy(1)若积兀y是定值，则当\x-y\最大时，|兀+y|最大；当\x-y\最小时，|x+y|最小.(2)若和|兀+y|是定值，则当|x-y|最大时，|妙最小；当\x-y\最小时，|xy\最大.70.一元二次不等式ox?+/7兀+(?>0(或<0)(6Z^0,A=/?2-4(7C>0),如果d与ax2+/zr+c同号，则其解集在两根之外；如果Q与a^+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.XjCx-X])(兀一兀2)<0(兀1<兀2)；兀VX|,或％>兀20(兀一兀|)(兀一无2)>°(无1<兀2).71.含有绝对值的不等式当a>0时,有|x|<«<=>x2-atz<»x2>tz2<=>x><7或兀v—a.72.无理不等式/(x)>0(1)>Jg(Qo“g(x)>ofM>0ggvO/w>gO)f/(x)>o(2)J/(兀)>g(x)o[g(x)]2/(x)>0⑶J/(x)vg(x)o0/W<[^(x)J273.指数不等式与对数不等式(1)当。>1时，aJ(x)>^(v)of(x)>g(x);/W>0log“/(x)>log“g(兀)o0./(x)>g(x)(2)当0a8(x)o/(x)0log">log“g(x)oIg(x)>0/(x)vg(x)\n69.斜率公式k=）231（斥3,刃）、鬥（吃,％））•吃一西7&直线的五种方程（1）点斜式y-y^=k（x-xi）（直线/过点片（西,必），且斜率为R）.（2）斜截式y=Ax+b（b为直线/在y轴上的截距）.（3）两点式—~=XA|（X北旳）（斥（兀1，>1）、鬥（乳2，歹2）（兀1北兀2））.%—刃兀2一西（4）截距式兰+』=l（d、b分别为直线的横、纵截距，a、bHO）ab（5）一般式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）.79.两条直线的平行和垂直⑴若£:y=k}x+bl,/2:y=k2x+b2①Mok严心上严b?；②£丄厶<=>=—1-（2）若£:A«v+By+C]=0,&：4兀+y+Gz=0,且A]、A?、B]、B2都不为零,s.②厶丄厶0^4+302=0：80.夹角公式(1)tan<7=|—~—|.1+k?k\（A：y=k]X+bi，厶：歹二匕尤+仇心心Hj）⑵聞X爰謗(1[:4兀+By+C[=0,/2:Ax+B23^+C2=0,+B]5h0)・TT直线厶丄的直线心，2的夹角是丁81.厶到厶的角公式(l)tandz=比21+k°k\l2:y=k2x^b2,k}k2^-1)(2)tana-A]B9—A->BjA】A,+B]Br(/|:4兀+By+C]=0&:B2y+C2=0,44+8出2工0)・7F直线厶丄厶时，直线厶到/2的角是一•282.四种常用直线系方程⑴定点直线系方程：经过定点代（兀0，北）的直线系方程为y-%=k（x-x0）（除直线x=x0）,其中k是待定的系数；经过定点£（兀,北）的直线系方程为A（x-x°）+B（y-儿）=0,其中A,B是待定的系数.（2）共点直线系方程：经过两直线厶：4兀+3』+6=0,/2：Ax+B2y+C2=0的交点的直线系方程为（Ax+4y+CJ+兄（4x+3*+C2）=0（除厶），其中入是待定的系数.（3）平行直线系方程：直线y=kx^b^当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线\nAx+By+C=O平行的直线系方程是Ax+By+兄=0(几工0),入是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线A¥+B)+C=O(AHO,BHO)垂直的直线系方程是处―Ay+2=0,入是参变量.79.点到直线的距离〃=|Ar+3y()+C|(点pg」,。),直线/：Ax+By^-C=O).>/A2+B280.Ar+By+C>0或vO所表示的平面区域设直线l:Ax+By+C=O,则Ax+By+C>0或v0所表示的平面区域是：若BhO,当B与Ar+By+C同号时，表示直线/的上方的区域；当B与Ar+By+C异号时，表示直线/的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.若〃=0,当人与Ar+Qy+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ax+Qy+C异号时，表示直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.81.+++>0Wc<0所表示的平面区域设曲线C:(V+5i>，+Ci)(A^+B2>;+C2)=0(44302^0)，则(^x+Bly+Cl)(V+^23?+G)>()或<0所表示的平面区域是：(^x+Bly+Cl)(V+^23?+G)>()所表示的平面区域上下两部分；GVr+3y+G)(4x+B2y+C2)v0所表示的平面区域上下两部分.82.圆的四种方程(1)圆的标准方程(x—d)2+(y—b)2=F.(2)圆的一般方程x24-/+Dr4-£>+F=0(D2+E2-4F>0).(3)圆的参数方程=d+FCOS&[y=b+厂sin。(1)圆的直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是4(兀］切)、B(x2,y2)).87.圆系方程⑴过点A(x{,yj),B(x2,y2)的圆系方程是(x-^1)(x-x2)+(y-y1)(^-^2)+A((x-x1)(y1-y2)-(y->yI)(x1-x2)]=O«>(x-x1)(x-x2)+(^->y1)(y-j2)4-A(ar+Z?>,+c)=0,其中tzx+Z?y+c=O是直线AB的方程，X是待定的系数.(1)过直线/:Ax+By^C=Q与圆C:jC+Dx^Ey+F=Q的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+2(AY+By+C)=0,入是待定的系数.(2)过圆C]:x2+b+£)“+Ey+奸=0与圆C?:x2+j2+£)2x4-E2y4-Zs=0的交点的圆系方程是JC+)广+D]X++片+2(兀2++/)2兀+尽歹+坊)=0,入是待定的系数.88.点与圆的位置关系点Pg，%)与圆(x-a)2^-(y-b)2=r2的位置关系有三种若d=J(d—兀)2+@—)2,贝9d>厂o点P在圆外；d=ro点P在圆上；〃v厂o点P在圆内.89.直线与圆的位置关系直线Ar+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种：d>r0相离u>Av0;d=r0相切<=>A=0;dv厂o相交u>4>0.其中d=^Aci+Bb+C|\n90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为Oi,。2,半径分别为口，“，iQftl=d〃>斤+乙<=>外离<=>4条公切线；d=斤+2<=>外切O3条公切线；rx-r2\相交u>2条公切线;〃=|厂I-引o内切ol条公切线；Q内含<=>无公切线.91.圆的切线方稈（1）已知圆x~+y~4-Dx+Ey+F=0•①若已知切点（兀。,儿）在圆上，则切线只有一条，英方程是科+川+呼仲笔m+eo.当（x0,儿）圆外时，xox+儿y+Dg+Q++刃+F=0表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为y-y（）=k（x-x（））,再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.③斜率为k的切线方程可设为y=kx^-b,再利用相切条件求b,必有两条切线.⑵己知圆x2+y2=r2.①过圆上的EQo，%）点的切线方程为xQx+yQy=r2;②斜率为k的圆的切线方程为y=kx±r4\+k1•x=acos0y=bsin02292.椭圆亠+务=l（d>〃>0）的参数方程是CTO2293.椭圆亠+务=l（d>〃>0）焦半径公式CTO刊|5+牛）,I吩忙）•94.椭圆的的内外部2222（1）点P（XO,y0）在椭圆-V+"TV二1（。〉b〉0）的内部O—y+-yy<1•crb_crtr2222（2）点P（X°,%）在椭圆—+Y7-=1（（2>b>0）的外部O—y+-yy>1•crb~crb~95.椭圆的切线方程22（1）椭圆二+・=l（d>b〉0）上一点P（x°,y°）处的切线方程是菩+兽=1.cr°alr99（2）过椭圆—+=\（a>b>0）外一点Pg,北）所引两条切线的切点弦方程是cr/r2Y（3）椭圆飞2+「=l（G>b〉0）与直线Ar+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2.crlxx2y296•双曲线二一二=1（g>0"〉0）的焦半径公式crb「\n网|=|£(X+—『笃+—-兀)|.CC97.双曲线的内外部2222⑴点P(Xo,在双曲线一—厶■=l(d>0,b>0)的内部o—丄斗>1.crtrcrtr2222⑵点P(XO,)在双曲线一-—丄7=1(6?>0,/?>0)的外部O—y—<1•crb~crb~9&双曲线的方程与渐近线方程的关系2222(1)若双曲线方程为二一芈=1=渐近线方程：二一斗=0<=>y=±-x./lrcra22(2)若渐近线方程为歹=±2兀。兰±壬=0—双曲线可设为二_£=九.aabcry2可设为.=九(X>0,焦点在X轴上,(3)若双曲线与冷-气=1有公共渐近线,y轴上).99.双曲线的切线方程22(2)过双曲线一7—丄7a⑴双曲线二―・=l(d>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是迢空—卑=1.0/rkr=l(a〉0/〉0)外一点P(x^y())所引两条切线的切点弦方程是兀0兀x)y二1crb_乂2v2(1)双曲线--Ar=l(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=c2.ertr100.抛物线y2=2px的焦半径公式抛物线)，=2px(p>0)焦半径|CF|=勺+上.过焦点弦长|CZ)|=兀］+—+x2+—=Xj+x2+p.2101.抛物线y2=2px±.的动点可设为P(丄一,y。)或PQpt12pt)或P(x,y),其中y1=2px.2p102.二次函数y=ax?+加+c=q(x+2)2+__L(ah0)的图象是抛物线：(1)顶点坐标为2a4ah4ctc—/?2b4ac—b'+l4cic—h~,);(2)焦点的坐标为——)；(3)准线方程是y=—.2a4a2a4a4a103.抛物线的内外部(1)点P(x(),y())在抛物线y2=2px(p>0)的内部<=>y2<2px(p>0)・点P(x(),y())在抛物线y2=2px(p>0)的外部u>b>2px{p>0).(2)点P(x(),y())在抛物线y1=-2px(p>0)的内部o于<-2px(p>0)・点P(x(),y())在抛物线y1=-2px(p>0)的外部oy?>-2px(p>0).(3)点P(x(),y())在抛物线x2=2py(p>())的内部oFv2py(p>0).点P(x0,)在抛物线x2=2py(p>0)的外部ox2>2py(p>0).(4)点P(x(),y°)在抛物线x2=2py(p>0)的内部oF<2py(p>0).\n点P(x0,y°)在抛物线x2=-2py(p>0)的外部o尢2>-2py(p>0).101.抛物线的切线方程⑴抛物线b=2px上一点戶(兀0，儿)处的切线方程是yQy=卩(兀+兀0).(1)过抛物线),=2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是yoy=/?(x+xo).(2)抛物线y2=2px(p>Q)与直线Ar+By+C=0相切的条件是pB1=2AC.102.两个常见的曲线系方程⑴过曲线fl(x9y)=0>f2(x9y)=0的交点的曲线系方程是A(兀,y)+时2(兀,v)=o(2为参数).r22(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程一+=1,其中k皿诚/,/}时,表示椭cr_klr_k圆；当min{6t2,^2}0,a为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率).[F(x,y)=0107.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F(x,刃=0关于点Pg,y())成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y()-y)=0.(2)曲线F(x,y)=0关于直线加+By+C=0成轴对称的曲线是10&“四线”一方程对于一般的二次曲线Ax2-}-Bxy+Cy2^Dx^Ey^F=Of用兀代X,用北歹代F，用沁土也代Q，用迢于代兀，用丄导代),即得方程Axm+B•沁±^+Cy°y+D•弓上+E•丄心+尸=0,曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.110.证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.111.证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平而无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.112.证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.113.证明直线与平面垂直的思考途径\n(1)转化为该直线与平血内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平血的交线垂直.109.证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.110.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a+b)+c二a+(b+c).(3)数乘分配律：X(a+b)二入a+入b.111.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.112.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bHO),a〃bo存在实数入使a=Xb.P、A、B三点共线AP\\AB«AP=tAB«OP=(i-t)OA+tOB.AB||CDoAB、CD共线且AB、CD不共线oAB=tCD且AB、CD不共线.113.共面向量定理向量P与两个不共线的向量a、b共面的O存在实数对兀,y,使p=ax+by.推论空间一点P位于平面MAB内的o存在有序实数对兀,y，使MP=xMA+yMB,或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使OP=OM4-xMA4-yMB・114.对空间任一点0和不共线的三点A、B、C,满足=xOA^yOB+zOC(x+y+z=£),则当k=l时，对于空间任一点0,总有P、A、B、C四点共面；当RHi时，若Ow平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若0笑平面ABC,则P、A、B、C四点不共面.A、B、C、D四点共面oAD与AB、AC共面<=>AD=xAB+yAC<=>OD=(l-x-y)OA+xOB+yOC(0平面ABC).115.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向塑p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA-\-yOB+zOC.116.射影公式已知向^AB=a和轴/,e是/上与/同方向的单位向量•作A点在/上的射影A,作B点在/上的射影B',则IIAB=|AB|COSa=Ab(bh0)o2)—(BC2+D42)|2ACBD127.异面直线叮成角COS&=|COS（Q,»|i1=4^=|a.x2IdI•I纠J%：+yj+Z]2.+旳2+z：（其中0（0°<^<90°）为异面直线所成角，分别表示异面直线G0的方向向量）128.直线AB与平面所成角0=Bresin“（m为平面a的法向量）.\AB\\m\129.若\ABC所在平面若卩与过若AB的平面a成的角&,另两边AC,BC与平面a成的角分别是q、0,4、B为\ABC的两个内角，则sin20|+sin202=（sin，A+sin2fi）sin2特别地，当ZACB=90时，有sin2+sin202=sin20.130.若MBC所在平面若0与过若AB的平而Q成的角&,另两边ACfBC与平面a成的角分别是仇、0,A、F为"30的两个内角，则tan20\+tan202=(sin2A+sin2B)tan20.特别地，当ZAOB=90时，有sin2q+sin202=sin2^.131.二面角4一/一0的平面角YYl-yi7/7-yi0-arccos或7r-arccos（m,n为平面q,0的法向量）.Im||n||m||/?|132.三余弦定理设AC是a内的任一条直线，且BC丄AC,垂足为C,又设A0与AB所成的角为厲，AB与AC所成的角为&?，\nAO与AC所成的角为0.则cos0=cos0Xcos02.127.三射线定理若夹在平而角为0的二面角间的线段与二而角的两个半平而所成的角是仇，&2,与二面角的棱所成的角是0,则有sin2^?sin20=sin20x+sin202-2sin0}sin02coscp;$05180—（q+g）（当且仅当0=90时等号成立）.128.空间两点间的距离公式若A（x,,）［,Z］）,B（x2,y2,z2）,则dAB=|AB\=JABAB=-x,）2+（y2->02+（z2-z（）2.129.点Q到直线/距离力=丄JddllbiF-（宀防（点P在直线/上，直线/的方向向量a=PAf向量b=PQ）.|q|130.界血直线间的距离CM|（佔是两异面直线，其公垂向量为”，C、D分别是厶仏上任一点，d为厶仏间的距离）.\n\131.点B到平面Q的距离d=AB'^（"为平面a的法向量，A3是经过面Q的一条斜线，Aea）.丨刎132.异面直线上两点距离公式d=\/h2+ire+ir2mncos0.d=J#+nv+n2-2mncosEA.d=y]h2+m2+n2-2mncoscp((p=E-AA-F).(两条异而直线a>b所成的角为e,其公垂线段AA'的长度为h.在直线a>b上分别取两点E、F,AE=mtAF=n,EF=d).133.三个向量和的平方公式222(a+b+c)~=d+b+c+2a•b+2b•c+2c•acos("c)+2|c|・|a|cos(c,d222/\=a+b+c+2|a|・|b|cos(a,b)+2|纠・|c|134.长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为A、I?、〔3,夹角分别为G、I2=/,2+!；+!；<=>cos2q+cos202+cos2仇=1osin?0］+sin202+sin2仇=2.（立体儿何中长方体对角线长的公式是其特例）.135.面积射影定理COS&（平面多边形及其射影的面积分别是S、S：它们所在平而所成锐二而角的为&）.142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是/，侧面积和体积分別是S斜棱柱侧和V斜棱柱，它的直截面的周长和面积分別是c,和S,,①S斜棱柱侧=*•②岭棱柱•143.作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144.棱锥的平行截面的性质\n高考-~如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.145.欧拉定理（欧拉公式）V+F-E=2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.（1）E二各面多边形边数和的一半•特别地，若每个面的边数为斤的多边形，则面数F与棱数E的关系：E=-nF；2（2）若每个顶点引出的棱数为加，则顶点数V与棱数E的关系：E=-mV.2146.球的半径是R,则4了其体积V=-ttR\3其表面积S=4/rR2.147.球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.（3）球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为—af外接球的半径为—67.124148.柱体、锥体的体积岭体（S是柱体的底而积、力是柱体的高）.■‘嗨体=gs/2（S是锥体的底而积、/?是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）N=n片+叫++mn.150.分步计数原理（乘法原理）N=/n}xnt,xxmn.151.排列数公式yi!A!^=n{n-1）•-（/?-m+1）=.（卅，m且加＜”）.（H-777）!注：规定0!=1.152.排列恒等式（1）駕=（农_加+1）铲；n⑵A；,——A：.n-m(3)A：=阴;⑷试m⑸A：；〉=A：+mA；「(6)1!+2・2!+3・3!++/?•/?!=(/?+1)!—1.153.组合数公式C：二Kmm+1时，无解；当n0(z=l,2,);(2)斤+鬥+=1.169.数学期望砖=兀&+花£++兀化+170.数学期望的性质(1)E(ag+b)=aE(g)+b・(2)若歹〜B(n,p),则Eg=np.(3)若g服从几何分布，且P(g=k)=g&p)=q_'p,则丄P171.方差砖=(无厂砖)2“+(七-砖)2•几++(£-砖亍•几+172.标准差時压.173.方差的性质⑴D(ag+b)=/DS(2)若§〜B(n,p),则Dg=npQ—p)・(3)若§服从几何分布，且P^=k)=g(k,p)=qk-]pt则Dg=2P~174.方差与期望的关系D的砖2-(砖)1175.正态分布密度函数准差.(—")2，262，兀w(_8,+8),式中的实数u,b(b>0)是参数，分别表示个体的平均数与标176.标准正态分布密度函数\nXG(-00,4-00)•177•对于N（“,b2）,取值小于x的概率f心①i”丿P（X]00不存在|^|<19=1协|<1或纟=一1(2)恤绞"+a』++兔=In*/?”+/?_”」++b()bk不存在J(kf)aA\-qn]a,((2)S=lim=亠(S无穷等比数列\aiqn-1}(|g|勺X-»A0""182•函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在点xo的附近满足:(1)g(x)00lim—=丄・XT%XXoe(e=2.718281845—).185•函数极限的四则运算法则若limf(x)=aflimg(x)=hf则牙fXT心(1)lim[/(x)±g(x)]=a±b；(2)lhn[/(x)g(x)]=a-/?;⑶lim丿N=土(bH0)・A_>Abb186•数列极限的四则运算法则若liman=67,limbn=b9则Z/—>00/I—>00(l)hm(an±h}=a±h；⑵lim(d〃・bj=a・b；⑶li01仏=土(/?工0)hnb⑷lim(cq)=limc・lim色=c-a(c是常数)•/：—>CO'7H—>00H—>00187./（x）在兀o处的导数（或变化率或微I筍）广（兀（））7lim怂=1曲/（兀+心）一/（兀）.心山toAx18&瞬吋速度V=sf(t)lim竺=恤火+Ar—>0△/Ar—>0△/189•瞬时加速度,Avv(r+Ar)-v(r)a=v(t)=lim—=lim.A/->0△/A/tO△/190./(兀)在(d,b)的导数/V）=/=^=＜=limAy=lim/（z）7E.dxdx心t（）心axt（）心191.函数y=/（x）在点兀处的导数的儿何意义函数丿=/（X）在点兀处的导数是曲线y=/（X）在P（兀0JG。））处的切线的斜率.厂（勺）,相应的切线方程是丁一％=.八＞o）（兀一兀）•192.儿种常见函数的导数（1）C=Q（C为常数）.（2）（xw）=tvcn~l（nQ）.（3）（sinx/=cosx.\n(2)(cosx)'二一sinx.(3)(InxS=丄；(logoJ=》log,.xx(4)(ex)r=ex;(a')'=cixIn6/.193.导数的运算法则(1)(w±V)=U±V.I••(2)(wv)=wv+wv・9uv-uv(心0)194.复合函数的求导法则设函数a=(p(x)在点兀处有导数冷=0(兀)，函数y=/(w)在点x处的对应点U处有导数儿=/'(况)，则复合函数y=f((p(x))在点兀处有导数，且yx=yu-ux,或写作fx((p(x))=f\u)(p(x).195.常用的近似计算公式(当x充小时)(1)Jl+XU1+—兀；"1+X=1+—兀；2n(2)(1+x)a匕1+ax{aeR)；一-—«1-x；1+兀⑶“u1+兀；⑷/ZJ(l+x)«x；⑸sinx^x(兀为弧度)；(6)tanx«x(兀为弧度)；⑺arctanx«x(兀为弧度)196.判别/(兀。)是极大(小)值的方法当函数/(X)在点兀。处连续时，(1)如果在X。附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,则/(观)是极大值;(2)如果在X。附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,则/(兀。)是极小值.197.复数的相等a+bi=c-\-dioa=c,b=d・(a.b.c.dgR)198.复数z=a+hi的模(或绝对值)Iz\=\a+bi\=\Ja2+/?2.199.复数的四则运算法则(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(/?+〃”；(2)(a+bi)一(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)(a+bi)(c十di)={ac—bd)+(be十cid)i;(4)(a+b【)±(c+di)=—+—i(c+创H0).C+/L+/200.复数的乘法的运算律对于任何zpz2,z3gC,有交换律：Zj•z2=z2•Z,.结合律：(Z]-Z2)-Z3=Z]-(z2-z3).分配律：Z]・(Z2+Z3)=Z]•Z24-Zj-Z3•201.复平面上的两点间的距离公式d=|Z]-z21=yl(x2-X!)2+(y2-y,)2(^=x,+yxi,z2=x24-y2i).202.向量的垂直非零复数召=。+勿，Z2=c+di对应的向量分别是OZ「OZ2,贝ijOZ｝丄O乙O云*2的实部为零o玉为纯虚数o|Z]+zj2WZ||2+|z2|2"Z]"O|Zj-z212=|Zj|2+|Z2Fo|Z]+Z2HZj-z2Ioac+bd=0o可=Aiz2（入为非零实数）.203.实萦数一元二次方程的解\n实系数一元二次方程a?+加+c=0,①若△=甘_4ac>0,则%,2=“土血-仏；*2a②若△=b?—4ac=0,则兀]=x,=—――;-2a③若△"一4心0,它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共辘复数根=»±J—@jc"2_心<0）.2d2tana=；1-tan2a=；tan2(X,+tan4(y?+V^tan2(Ttan4(T=；sina+cosa==；asina+bcosa-=；(其中tan=；)1+cosa=；1-cos=；(6)二角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幕”四方面入手；基木规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。女口：sin5(r?(l+V3tanl(X>)=；tancr-cota=o高中数学必修5知识点第一章解三角形类型1|观察法：己知数列前若干项,求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写岀此数列的一个通项。类型11|公式法：若已知数列的前兀项和S..与仏的关系,求数列｛%｝的通项色可用公式[S.,(/7=1)an=\1构造两式作差求解。用此公式吋要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”,即分段式；另一-种是“合二为一”,即勺和终合为一个表达，(要先分乃=1和n>2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一)。类型m；累加法：(3)o'+戾+c3>3abc(a>0,Z?>0,c>0).