考研数学1压轴模拟-高中课件精选 30页

1•微分方程1•设X,%是一阶线性非齐次微分方程y^/Kx)y=qMx的两个特解，若常数Q,u使+uy2是该方程的解，-uy2是该方程对应的齐次方程的解，则()(B)宀二’//="222(D)A=-,A=-2.已知刃=€弘-牝巴-兀戶，％=-兀戶是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解｝-—。3.在下列微分方程中，以y=Qex+C2cos2x+Qsin2x(CPC2,C3为任意的常数)为通解的是()(A)ym+yn-4y-4y=0.(B)夕櫛十y"十4y'+4y=0.(C)歹济_〉'"_4〉''+4尹=0.(D)ym-yN4yr-4y=Q.4.设奇函数/U丿在上具有二阶导数，且几1)二1，证明：(I)存在矗(0,1)，使得f@)=l・(II)存在〃丘,使衛"(〃)+/'(")=1•5•若函数/(x)满足方程f(x)+f\x)-2f(x)=0及f(x)+f(x)=2ex,则f(-^)=°6.微分方程_/+y=e~xcosx满足条件y(0)=0的解为y=7.求微分方程/-?>y,+2y=2xex的通解8.若二阶常系数线性齐次微分方程yn^ay^by=0的通解为y=(C.+C2x)ev,则\n非齐次方程yn+ayf+by=x满足条件，(())=2,/(0)=0的解为y=。9(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数/(兀)在［a,列上连续，在(Q")可导，则存在介(a,b)'使得f(b)-f(a)=f(g)(b-a)(II)证明：若函数/(x)在兀=0处连续，在(0,可(/>0)内可导，且limr(x)=A，则於(0)存在，且〃(())=4。10.微分方程xy'+>?=0满足条件歹(1)=1的解是y=•11•二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4#+3y=2戶的通解为.12.(本题满分11分)设函数/U),g(x)在切上连续，在⑺，b)内具有二阶导数H存在相等的最大值，/(a)=g(a),y(b)=g@),证明：存在gw(a,b),使得f"©=g"©・13.微分方程V=理二卫的通解是()14.微分方程xyf+2y=x}nx满足y(l)=的解为()15.(本题满分12分)已知函数f(x)在［0,1］±连续,在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(l)=l.证明:(I)存在e(0,1),使得/©=1-/(II)存在两个不同的点",(0,1)，使得广(“)广(G=i・16•己知f(ex)=xe~x,且f(l)=0,则f(x)二().\n217.欧拉方程兀2与+4兀単+2“0(兀>0)的通解为().dxdx18.(本题满分12分)设函数y二y(x)在(-oo,+oo)内具有二阶导数，且=是y二y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程一+(y+sinx)(—)3=0变换为y二y(x)dydy满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y\0)=|的解.19.微分方程+=0的通解为『=.20.(本题满分11分)设/⑴是区间［0,+oo)上具有连续导数的单调增加函数，且/(0)=1.对任意的虫［(),丹0),肓线兀=0,兀"，曲线y=/(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体•若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数/(兀)的表达式.21.(本题满分10分)已知函数/(X)满足方程f\x)+f\x)-2/(X)=0及厂⑴+/(x)=2e“1)求表达式/(X)；2)求曲线的拐点歹=/(/)［/(一尸)力・22.(本题满分10分)设函数/(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2/(0)=ff(x)dx=兀2)4/⑶，(I)证明：存在G(0,2),使/(7)=/(0)(II)证明：存在兴(°〜)，使八§)=0\n17.(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理，若函数/(兀)在[d,列上连续，在仏b)上可导,则b),得证f(b)-f(a)=f©0-a)・(II)证明：若函数/(x)在兀=0处连续，在(O,b),(b〉0)内可导，且lim/(x)=A,则£(0)存在,且几(0)=A・x->0+18.微分方程xy'+y=0满足条件y(l)=1的解是y=.19.微分方程^=2--(2)3满足此一严1的特解为尸.clxx2x20.(本题满分11分)设函数/(x),g(_r)在[a,列上内二阶可导II存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明：(I)存在7]丘(a,b),使得/(〃)=£(〃)；(II)存在斤(a,b),使得厂©=g帖)o21.设非齐次线性微分方程j/+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y{(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解是()(A)C[y}(x)-y2(x)].(B)^(^)+C[>j(x)-y2(x)].(B)C[^(x)+y2(x)].(D)刃(兀)+0[刃(兀)+%(劝]22.微分方程抄+尸0满足初始条件y(l)=2的特解为.\n17.已知y=0-兀戶兀戶,乃=-兀戶是某个二阶常系数线性微分方程三个解，贝|」满足xo)=o,y(o)=i方程的解为18.(本题满分10分)设奇函数/(x)在［-1,1］上具有二阶导数，且/(1)=1,证明：(1)存在gw(o,i),使得广(2)存在7；e(-1,1),使得广(〃)+广(〃)=1・31微分方程ydx^(x-3y2)dy=0满足条件y\x=l=l的解为"32.微分方程y"-才)=於+旷加(兄＞0)的特解形式为()(A)g(严+/加)(B)亿4幺加+◎加)(C)x(ae^+b严)(D)x2(a/+be~Ax)33.微分方程y+y=e~xcos兀满足条件y(0)=0的解为y=34.设x，力是一阶线性非齐次微分方程/+pMy=q(x)的两个特解，若常数入“使石［+/夕2是该方程的解，丿级-Ah是该方程对应的齐次方程的解，则A/I=—,/z=—BA=——=---22222122C2=-,^=-DA=-,//=-333335.3阶常系数线性齐次微分方程＞'w-2/+y-2y=0的通解尸丄36•设函数f(x)在闭区间［0,11±连续，在开区间(0,1)内可导，且f(O)=O,f(l)=亍，证\n兵(0,1),7/G4,1),使得广⑷+广(〃)諾+帀2明：存在2237.(本题满分12分)\n龙)内过(・7171)的光滑曲线，当7C0)内可导，且1吨r(x)=A,jc则厂(0)存在，且f(O)=A。38.在下列微分方程中，以.y=C}ex+C2cos2x+C3sin2x(C^C^Q为任意常数)为通解的是()(A)y+y—4y-4y=0(B)j+y+4y-+4y=4(C)y-y一4y+4y=()(D)y-y+4y-4y=()39.二阶常系数非齐次微分方程/-4/+3y=2e2t的通解为)心40.(本题满分1o分)求微分方程/(x+y2)=#满足初始条件xi)=y(i)=1的特解.41.微分方程才=理二卫的通解是42.函数尸C0+C2e-2v+卅满足的一个微分方程是(A)yn-yr-2y=3xev.(B)y"-y'-2y=3e'.(C)/+y-2^=3xev.(D)y+y-2j=3ev.[]\n37.微分方程灯+2y=xlnx满足y⑴=--的解为38.(本题满分12分)用变量代换X=COSf(00.已知曲线y=/（X）与直线y=o,x=l及无=心>1）所围成的曲边梯形绕兀轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的加倍，求该曲线的方程.38.（木题满分8分）在妝乃坐标平面上，连续曲线厶过点M（l,0）,其上任意点P（兀y）（"0）处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于公（常数6/>0）o（I）求厶的方程；（II）当厶与直线y=ax所围成平面图形的面积为色时，确定a的值。39.（本题满分10分）设非负函数y=y（兀）（x>0）满足微分方程小"-#+2=0,当曲线y=y（无）过原点吋，其与直线兀=1及y=0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。\n1•二元微分1.(木题满分10分)r3求函数.f(x,y)=(y+—)e^的极值.2•如果/(兀刃在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是((A)若极限雹辎存在’则心在@。)处可微9T(B)若极限1曲半卑存在，贝在(0,0)处可微(C)(D)若心)在(。,。)处可微,则极限倍存在若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限lim存在3.(本题满分10分)求/(兀,歹)=疋_兀；『的极值。4.(本题满分9分)设z=f(xy,yg(x))f其屮函数/具有二阶连续偏导数，函数g(Q可导，且在兀=1处取得极值g(l)=l,求邑cxdy\x=\,y=5.设函数z=z(x,y),由方程F(上二)=0确定，其中F为可微函数，口可工0,XXmiIdzdz,.贝ijx—+v—=()oudy\nA>xB、zC、—xD-z6•设函数/（W,v）具有二阶连续偏导数，z=/（兀小），则韶=o6.（本题满分9分）求二元函数f（x9y）=（2+>,2）+yIn的极值。7.函数/（x,y）=arctan—在点（0,1）处的梯度等于（）.y（A）i（B）-i.（C）j.（D）—j・8.设Xs）为二元可微函数，z=f（x\yx）,则?二・ox9.（本题满分11分）求函数/（x,y）=X+2）?-xy在区域£>={（D）f+y2<4,y>0}±的最大值和最小值。10.设/（x,y）与°（兀,y）均为可微函数，且°,（兀，刃工0,已知（兀,％）是/（兀,丿）在约束条件0（兀刃=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）.（A）若./；（勺,儿）=0,则=0.（B）若/：0（）,儿）=0,则厶'（兀0，儿）工°・（C）若£'（%儿）工0,则/；（x0,儿）=0•（D）若/；'（弘儿）丰0，则厶'（心％）丰0.11.（本题满分12分）设函数/⑺）在（0,+oo）内具有二阶导数，且z=/&+），）满足等式d2zd2zn左+茨"\n(I)验证/"(〃)+上凹=0；u(II)若/(1)=0,广(1)=1,求函数/(u)的表达式.13.设函数w(x,y)=(p(x+y)+(p{x-y)+,其中函数0具有二阶导数，屮Jx—y具有一阶导数，则必有().(\\d2u82u(B)d2ud2udx2一dx2-(C)d2ud2u(D)d2ud2udxdy专'dxdydx214.(本题满分12分)设z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.15•已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx—>0.v—>0/(兀,刃一厂(F+b)2=1,则().(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.X12.设函数z=(l+—)v,则吐l(i,i)=13.(本题满分10分)已知函数/(w,v)具有连续的二阶偏导数,/(!,!)=2是/(〃*)的极值,求旦dxdy(1,1)•18•(本题满分10分)求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最人值和最小值\n19•设z=(x+ev)\W'J—(1.0)20.（本题满分9分）求二元函数/（x,y）=亍（2+y2）+yiny的极值.21.（本题满分10分）设z=z（x,刃是由方程F+b_z=0（无+y+z）所确定的函数，其中0具有2阶导数£L0H-1时.(I)求dz(II)记w(x,y)='dzQz、dy,22.设函数/仇）可微，且广（0）=*,贝0z=f（4x2-y2）在点（1,2）处的全微分dz（|,2）=■23.设f（x,y）与0（x,y）均为可微函数，且（兀,『）工0,已知（如,北）是/（兀，）0在约束条件仅兀，刃=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）（A）若/'（勺,％）"，则人'（兀odo）=°・（B）若＜（xo,yo）=O,则/,（心，北）H0.（C）若（兀0*0）工°，则Z/（xoOo）=°-（D）若./I'd。,％）",则厶'（兀0，儿）工0.\n24•函数/(w,v)由关系式f\_xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微,且g(y)HO，则a7=dudv25.设函数z与)，其中/可微，贝IJ-—+—=(xydxdy2(A)2yf(xy)(B)-2yf\xy)(C)-f(xy)X26.(本题满分10分)22求函数f(x,y)=xe2的极值.27.(本题满分9分)设函数z=/g,yg(Q),其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在兀=1处取得极值g(l)=l,求丄rooxoyx=i.28.设函数z=z(x,y)由方程F(—=0确定，其中F为可微函数，且几7(),则dz8zxFydxdyAxBzC-xD-z29.设函数八/(圮刃具有二阶连续偏导数，且满足等式I学+12要+5奧=().ox^oxoyo)厂确定a,b的值，使等式在变扌妬=兀+ay,〃=x+by下简化°"=0o^orj30.设函数z=.f(无,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点(0,0)()(A)不是/(兀y)的连续点.(B)不是/(x,y)的极值点.(C)是/(兀,对的极大值点.Q)是/(兀对的极小值点.31.（本题满分10分）设z=f\x+y.x-y.xy^,其中于具有2阶连续偏导数，求dz与邑~\ndxdy32.设/（x,y）与0（x,y）均为可微函数，且久'（兀』）工0,已知（兀。,％）是/（x,y）在约束条件0（兀刃=0下的一个极值点，下列选项正确的是[]（A）若./；（勺,儿）=0,则=0.（B）若/：0（）,儿）=0,则厶'（兀0，儿）工°・（C）若£'（%儿）工0,则/；（x0,儿）=0•（D）若/；'（弘儿）丰0，则厶'（心％）丰0.33.（本题满分10分）已知函数z=f（x,y）的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f（1,1,）=2.求f（x,y）在椭圆域£>={（兀,刃兀2<1}上的最大值和最小值.34.设函数y）=（p{x+^）+（p{x->'）+[,其中函数卩具有二阶导数，屮Jx—y具有一阶导数，则必有(A)d2ud~u刘・(B)d~udx2'82u(C)d2ud2u(D)82ud2udxdydxdy~8x21•二重积分1•设工={(无,y,z)尢+y+z=l,x>O,y>0,z>0),贝9jjy2ds=\nI\n2.(木题满分11分)己知函数/(x,y具有二阶连续偏导数，且Q/；兀(=,〕,||/(x,y^dxdy=a,其中D={(x,^)|0<^<1,0o|,计算二重积分jj1：厂，dxdy.°1+厂+厂6.(本题满分11分)设D={(x,y)x24-y20,y>0},[1+x2+b]表示不超过1+，十『2的最大整数.计算二重积分jjxy[l+x2+y2]dxdy,D7.设Dk是圆域D={(x,y)|x2+y20,C.I3>0,B.I4>08.设函数/(/)连续，则二次积分卩f(r2)rdr=(JOJ2cos0(A)£创爲yjx2+y2f(x2+b)dy\n(B)(C)(D)j:的*二^i+a/2x—x爲用+b妙［阿^4~X^x2+y2f(x2+y2)dyi+\/2x—9.（本题满分10分）计算二重积分JJexxydxdy，其中D为由曲线歹=長与y=^=所围区域10.（木题满分10分）于（切在［0,1］有连续的导数，/（0）=1,且{x+y）dxdy=\\f（tVxdy,0M{(x,y)\0x}.D13.设£>={(%,y)卜$+y2<1},则JJ(%2一y^dxdy=.D14.(木题满分11分)计算JJmax(Ay,l)rfxz级其中D={(x,y)|0'<2}.D\n15•设函数/（x,y）连续,则二次积分f>rJ2f(x9y)dy等于()(A)fdy[/(x,y)dxJoJ/r+arcsi叮“、flr/r+arcsiny(C)£dy^/(X,y}dx*7(B)[dyVf(x,y)dxJ()J^-arcsiny「1f,T-arcsiny(D)fdyLf(x,y)dx16.（本题满分11分）设二元函数x2.x+y<1.1斗|+|*2.计算二重积分Jj/tey）da.其中£）={（兀,刃卜|+卜卜2}。D17.（本题满分7分）计算二重积分JJ7y2-xydxdy,其中D是由直线y=x,y=},x=0所围成的D）〃O■，厶=jjcos”+），2）~db,其中D平而区域。I2=jjcos(x2+y2D则18•设/]=jjcosy]x2+y2d(y,DQ二{(x*)F+bg}，(A)厶>厶>£(B)£>厶>厶(C)12>1}>厶(D)/3>/.>1219.（本题满分9分）计算二重积分,其中D=|（X,y）|O0(B)/2>0(C)厶>0(D)/4>022.(本题满分10分)设平面区域D是由曲线尢=3y,y=3兀，兀+丿=8所围成，求jjx2dxdy-D23.设区域D由曲线^=sinx,x=±—=1围成，则(兀5y_l)dxdy=()2D(A)冗(B)2(C)-2(D)r24.(本题满分10分)计算二重积分JJxjdo-,其屮区域D为曲线厂=l+cos0(O"“)与极轴围成.25.设平面区域D由直线y二兀，圆/+b=2y及y轴所围成，则二重积分D26.(本题满分11分)已知函数/(匕刃具有二阶连续偏导数，且/(l,y)=0,/(x,l)=0,jj/(^y)dxdy=a,其中D={(a:,y)|0={(x,y)|(x-l)2+(y—l)252,y"}17.(本题满分11分)求二重积分JJmax(A-y,\)dxdy,其中£>={(%,y)|00},计算二重积分dxdy.\n32.(本题满分9分)计算二重积分JJ|x2+/-1衍,其中D={(x,y)|00,y>0},f(x)为D上的止值连续函数，a,b为常数，则『烂+懊％=(A)ab7i.(B)—7t.(C)(。+/?)%.(D)""冗.37.设函数/(况)连续，区域D=[(x,y)\x2^y2<2yy则jjf(xy)dxdy等于()D(A)匚严,_、r兀r2sin<2o(C)Jo/(a*2sin^cos0)dr.(D)/(r2sincos&)rdr4•级数1•设/U)=兀一*,bn=2[/(x)sinn7rxdx(n=1,2,),令S(兀)=E/?,sinmix,则n=\9s(-务(4C.D.AA42.(本题10分)设数列{an}满足条件：q)=3,Q]=l,an_2-n(n-V)an=0(n>2).S(x)是幕级数以兀”的和函数.n=Q\n（1）证明:S3-s（兀）=0；（2）求S（x）的表达式2.（本题满分10分）00的收敛域及和函数。求幕级数£n=（）4.设数列｛%｝单调减少,liman=0,"T8=……）无界，则幕级数）t=l00£色（_1）"的收敛域为（）71=1(A)(-1,1](B)[-1,1)(C)[0,2)(D)(0,2]2.（本题满分10分）求幕级数的收敛域及和函数心2^-13.已知幕级数$>,©+2）〃在兀=0处收敛，在x=-4处发散，则幕级数n=0£色（兀-2）的收敛域为n=04.（本题满分11分）8（[—1将函数/（x）=l-x2（00071=I(B)若级数收敛，贝ljlimn2aH=0.n—>ccn=\(C)若级数发散，则存在非零常数2,使得lim=A.”TOOn=l13.(本题满分11分)设有方程xn+nx-1=0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根00并证明当Q〉1吋，级数工忧收敛/:=!14•设兀2=工5COSAU（一兀l,使limnPan存在"=1"T98D.若存在常数p>l,使lim涉©存在，则工色收敛n-\17•幕级数”的收敛半径为.16.（本题满分10分）将函数mx宀展开成一的幕级数，并指叭收敛区间。017.若级数£匕收敛，则级数（）n=\8(A)£|%|收敛•n=\co(B)口-1)"色收敛.n=l00(C)工艸收敛.n=\(D)/+%收敛.n=\218.（木题满分10分）\n8求幕级数£n=l(-1厂严n（2n-l）的收敛域及和函数s(x)o000016.设色＞()/=1,2,，若£色发散，收敛，则下列结论正确的是n=ln=l8CO(A)£如一i收敛，发散n=\n=\CO8(B)收敛，£。2“一1发散n=\n=\(C)£(%+如)收敛71=1(D)£(%-纭)收敛n=l17.(本题满分9分)8/求幕级数£?1=1\12比+1-1V在区间(-1,1)内的和函数s(x)・/18.(本题满分9分)//V8设级数丄+二一+—+(Y0VXV+00)的和函数为S(x).求:2-42462-4-6-8'7v7(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(II)S(x)的表达式.5•空间解析几何1.曲面F+cos（Ay）+yz+x=0在点（0,1,-1）处的切平面方程为（）A.x-y-t-z=-2B.兀十y+z=0C.x-2y+z=-3D.x-y-z=02.(木题满分10分)设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点将L绕z轴旋转-一周得到曲面工，工与平而z=0,\nz=2所围成的立体为Qo（1）求曲面》的方程;（2）求Q的形心坐标。222.（木题满分11分）椭球面§是椭圆—+^-=1绕x轴旋转而成，圆锥面S是过43「22点（4,0）且与椭圆乞+丄=1相切的直线绕兀轴旋转而成。（I）求S|及S?的方程（II）求S]与S?之间的立体体积。3.（木题满分11分）己知曲线C>X+y~1Z求C上距离xoy面最远的点x+y+3z=5，和最近的点.4.点（2丄0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=5.曲面z=x2+b与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是6•三重积分，（曲）线面积分，三大公式1.设厶:x2+y2=1,:x2+y2=2,L,:x2+2y2=2,£4:2x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线，记厶（y+认x+（2x-斗）dy（心1,2,3,4）,则ma礼4厶脣A.7,B./2C./3D/42.（本题满分10分）己知曲线L:|X=/（O，（O0（00}内，函数/(%,y)具有连续偏导数，且对任意的/〉0都有f(txjy)=r2f(xjy)・证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线厶，都有j/)『年刃血一>')dy=0.8.设。是由锥面Z=J，+y2与半球面z=JF_/_『2围成的空间区域，S是Q的整个边界的外侧，则JJxdydz+ydzdx-\-zdxdy=z9.(本题满分12分)设函数0(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分嘗:;晋的值恒为同一常数.(I)证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有f(p(y)dx^2xydy_.纭—2x2+y4—_；(II)求函数©(y)的表达式.10.设厶为正向圆周x2+/=2在第一象限屮的部分，则曲线积分［xdy-lydx的\n值为6.(本题满分12分)计算曲面积分/=||2x'dyd壬2y3dzd^3(z讨论F⑴在区间(0,+8)内的单调性.2证明当t>0时，F(/)>-G(Z).-\)dxd^其中工是曲面z=l-x2-y2(z>0)的上侧.7.(本题满分10分)已知平面区域D={(x9y)\027V2.20.(本题满分12分)设函数f(x)连续口恒大于零，fJJ/(x2+/+z2)^vF(r)n(/)\\f(x2+y2)dcxGW=Sz+/WD⑴其中Q(Z)={(x,y,z)x2+y2+z2