《高中数学导数讲解》PPT课件 16页

导数的概念及基本函数的导数\n一、复习目标了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导数的概念,熟记常见函数的导数公式c,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数,并能熟练应用它们求有关导数.二、重点解析导数概念比较抽象,其定义、方法一般不太熟悉,因此对导数概念的理解是学习中的一个难点.本节要重点掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法.一方面,根据导数定义求导可进一步理解导数的概念,另一方面,许多法则都是由导数定义导出的.导函数(导数)是一个特殊的函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想,首先定义函数y=f(x)在点x0处可导,且在x0处有唯一的导数f(x0),然后定义函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,\n因而对于开区间(a,b)内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数f(x0).据函数定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新函数,即导数.三、知识要点1.导数的概念对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Dx,那么函数y相应的有增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0),比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+Dx之间的平均变化率,即=.xyxyxf(x0+x)-f(x0)xy如果当Dx0时,有极限,就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作:f(x0)或y|x=x0,即:xf(x0+x)-f(x0)f(x0)=lim=lim.x0xyx0\nf(x)=y=lim=lim.xf(x+x)-f(x)x0xyx0函数y=f(x)的导数f(x),就是当Dx0时,函数的增量Dy与自变量的增量Dx的比的极限,即:xy求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤:(2)求平均变化率:=;xf(x0+x)-f(x0)xy(1)求函数的增量:y=f(x0+x)-f(x0);(3)取极限:得导数f(x0)=lim.xyx0如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时,对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作f(x)或y(需指明自变量x时记作yx),即:\n函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即:k=tan=f(x0).相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).2.导数的意义(1)几何意义:(2)物理意义:函数S=s(t)在点t0处的导数s(t0),就是当物体的运动方程为S=s(t)时,物体运动在时刻t0时的瞬时速度v,即:v=s(t0).设v=v(t)是速度函数,则v(t0)表示物体在时刻t=t0时的加速度.f(x)=y=lim=lim.xf(x+x)-f(x)x0xyx0导函数也简称导数.当x0(a,b)时,函数f(x)在点x0处的导数f(x0)等于函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f(x)在点x0处的函数值.如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续,但要注意连续不一定可导.\n3.几种常见函数的导数(1)c=0(c为常数),(xn)=nxn-1(nQ);(2)(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx;(4)(ex)=ex,(ax)=axlna.(3)(lnx)=,(logax)=logae;1x1x典型例题1已知函数f(x)=(1)确定a,b的值,使f(x)在x=0处连续、可导;(2)求曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程.x2+x+1,x≤0,ax+b,x>0.解:(1)要使f(x)在x=0处连续,则需limf(x)=limf(x)=f(0).x0-x0+而limf(x)=lim(x2+x+1)=1,f(0)=1,x0-x0-limf(x)=lim(ax+b)=b,x0+x0+故当b=1时,可使f(x)在x=0处连续.\n又lim=limxy[(0+x)2+(0+x)+1]-(02+0+1)x0-x0-x=lim(x+1)=1,x0-x0+lim=limxy[a(0+x)+b]-(02+0+1)xx0+=limax+b-1xx0+=a+limb-1xx0+故当b-1=0且a=1即a=b=1时,f(x)在x=0处可导.综上所述,当b=1,aR时,f(x)在x=0处连续,当a=b=1时,f(x)在x=0处可导.(2)由(1)知,f(0)=1,又f(0)=1,故曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0.\n典型例题2若f(x)在R上可导,(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;(2)证明:若f(x)为偶函数,则f(x)为奇函数.(1)解:设f(-x)=g(x),则=-f(-a).∴f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.(2)证:∵f(x)为偶函数,∴f(x)为奇函数.g(a)=limx0g(a+x)-g(a)x=limx0f(-a-x)-f(-a)x=-lim-x0f(-a-x)-f(-a)-x=limx0f(x-x)-f(x)x=-lim-x0f(x-x)-f(x)-x=-f(x),x0f(-x+x)-f(-x)x∴f(-x)=lim注:本题亦可利用复合函数的求导法则解决.\n典型例题3已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.解:由已知直线l过原点且其斜率k=,x0y0∵点(x0,y0)在曲线C上,∴y0=x03-3x02+2x0.∴=x02-3x0+2.x0y0又y=3x2-6x+2,∴在点(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=y|x=x0.∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得2x02-3x0=0.解得x0=(∵x00).32这时y0=-,k=-.3814∴直线l的方程为y=-x,14切点坐标是(,-).3832注有关曲线的切线问题,可考虑利用导数的几何意义.曲线C在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题.\n典型例题4求曲线y=2-x2与y=x3-2的交点处切线的夹角(用弧度数作答).1214解:由y=2-x2与y=x3-2联立方程组解得交点坐标为P(2,0).1214∵y=2-x2的导函数为y=-x,12∴它在P处的切线斜率k1=-2,同理,曲线y=x3-2在P处的切线斜率k2=3,14由夹角公式tan=||=1得k2-k11+k2k14=.故两曲线的交点处切线的夹角为.4\n课后练习1已知函数f(x)=判断f(x)在x=1处是否可导.(x2+1),x≤1,(x+1),x>1.1212xy∴limlim,xyx0-x0+解:∵lim=limxyx0-[(1+x)2+1]-(12+1)x0-x1212lim=limxyx0+x0+(1+x+1)-(12+1)x1212=1,=,12∴f(x)在x=1处不可导.注判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果存在且相等,那么这点的导数存在,否则不存在.=lim(1+x)12x0-=lim12x0+xxx0xy从而lim不存在.\n课后练习2若函数f(x)=|x|,(1)试判断f(x)在x=0处是否可导;(2)当x0时,求f(x)的导数.解:(1)∵y=f(0+x)-f(0)=|x|,xyx0-x0+∴limlim,xyx0xy从而lim不存在.故函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.(2)当x>0时,可使x+x>0.f(x)=lim=limxf(x+x)-f(x)x0x|x+x|-|x|x0=limx(x+x)-xx0=1.同理可得,当x<0时,f(x)=-1.∴=.x|x|xy当x<0时,=-1,lim=-1;x0xyxy当x>0时,=1,lim=1,x0xyxy注函数在一点连续,但不一定可导;函数在一点可导,直观反映是函数的图象在这一点是平滑的.\n课后练习3一质点作直线运动,它所经过的路程S(单位:m)和时间t(单位:s)的关系是S=3t2+t+1.(1)求[2,2.01]这段时间内质点的平均速度;(2)当t=2时的瞬时速度.解:(1)∵S=32.012+2.01+1-(322+2+1)=0.1303.=0.13030.01∴v=tS=13.03(m/s).(2)∵S=3(t+t)2+(t+t)+1-(3t2+t+1)=3t2+(1+6t)t,tS∴=3t2+(1+6t)tt=3t+1+6t.∴v=limtSt0=lim(3t+1+6t)t0=6t+1.∴v|t=2=13.即当t=2时,质点运动的瞬时速度为13m/s.注(2)亦可直接对函数求导后解决.\n课后练习4如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.解:∵切线与直线y=4x+3平行,∴切线斜率为4.又切线在x0处斜率为y|x=x0∴3x02+1=4.∴x0=1.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12.∴切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).切线方程为y=4x-12或y=4x-8.=(x3+x-10)|x=x0=3x02+1.\n课后练习5已知曲线S:y=x3-6x2-x+6.(1)求S上斜率最小的切线方程;(2)证明:S关于切点对称.(1)解:由已知y=3x2-12x-1,∴当x=2时,y最小,最小值为-13.∴S上斜率最小的切线的斜率为-13,切点为(2,-12).∴切线方程为y+12=-13(x-2),即13x+y-14=0.(2)证:设(x0,y0)S,(x,y)是(x0,y0)关于(2,-12)的对称点,则x0=4-x,y0=-24-y.∵(x0,y0)S,∴-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6.整理得y=x3-6x2-x+6.∴(x,y)S.∴曲线S关于切点(2,-12)对称.\n课后练习6设直线l1与曲线y=x相切于P,直线l2过P且垂直l1,若l2交x轴于Q点,又作PK垂直x轴于K点,求KQ的长.解:设P(x0,y0),则kl1=y|x=x0=.2x01∵直线l2垂直l1,∴kl2=-2x0.∴l2:y-y0=-2x0(x-x0).令y=0,则-y0=-2x0(xQ-x0),即-x0=-2x0(xQ-x0).解得xQ=+x0.12又易得xK=x0,∴|KQ|=|xQ-xK|=,12即KQ的长为.12