高中全程复习方略配套课件：8.5椭圆 62页

第五节椭圆\n三年26考高考指数:★★★★★1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想.\n1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；2.直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；3.选择、填空题常考查椭圆的定义、标准方程、几何性质；解答题经常以两问的形式出现，第一问考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质，第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题、解决问题的能力.\n1.椭圆的定义(1)满足条件①在平面内②与两个定点F1、F2的距离之____等于常数③常数大于________(2)焦点：两定点(3)焦距：两_______间的距离和|F1F2|焦点\n【即时应用】判断下列点的轨迹是否为椭圆.(请在括号内填“是”或“否”)(1)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于2的点的轨迹()(2)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于4的点的轨迹()(3)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于6的点的轨迹()\n【解析】由椭圆的定义可知:(1)距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；(2)距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；(3)符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆.答案：(1)否(2)否(3)是\n2.根据图形写出相对应的椭圆的标准方程和几何性质标准方程A1xyoB2A2B1F1F2bac对称轴：坐标轴对称中心：原点长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b图形性质范围对称性顶点轴（a>b>0）（a>b>0）-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤aA1(-a，0),B1(0，-b),A2（a，0）B2（0，b）A1(0，-a),A2（0，a）B1(-b，0),B2（b，0）xyoA2B1B2A1F1F2bca\n图形性质焦距离心率a、b、c的关系xyoB2A1A2B1F1F2bacxyoA2B1B2A1F1F2bca\n【即时应用】(1)思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?提示：因为离心率所以，离心率越接近于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离心率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.\n(2)已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为则m的值为__________.【解析】的焦点在y轴上，所以a2=m,b2=2，离心率为又离心率为所以解得m=答案：\n(3)已知椭圆的短轴长为6，离心率为，则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为__________.【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3①又因为离心率为，所以②又因为a2=b2+c2③解①②③组成的方程组得：a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.答案：9或1\n椭圆的定义、标准方程【方法点睛】1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.\n2.椭圆焦点不确定时的标准方程的设法当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为(m>0,n>0,m≠n)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题时更简便.\n【例1】(1)(2012·合肥模拟)P为椭圆上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60°，则=()(2)已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=____.(3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.\n【解题指南】(1)已知向量的夹角为60°，选择公式计算从而把问题转化为求的值，然后利用椭圆的定义及余弦定理可解；(2)注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论;(3)可先设椭圆的方程为或(a>b>0)，再根据题设条件求出相应的参数值即可.\n【规范解答】(1)选D.由题意得在△PF1F2中，由余弦定理得\n(2)由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,又已知|F2A|+|F2B|=12，所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.答案：8\n(3)设椭圆方程为因为P到两焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)2=52-32=16，所以c2=4，因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：\n【互动探究】本例(3)将条件“过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点”改为“点P和两焦点构成的三角形为直角三角形”,结果如何？\n【解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，所以，椭圆方程为；当直角顶点为点P时，则有(2c)2=52+32=34，所以c2=，又因为a=4，所以b2=a2-c2=，所以椭圆方程为：；综上可知：所求椭圆方程为：或.\n【反思·感悟】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解，涉及到椭圆上的点与焦点构成的三角形时，还常用余弦定理求解.2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；⒊当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有a>b>0.\n【变式备选】已知F1、F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且若△PF1F2的面积为9，则b=__________.【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则∴2r1r2=(r1+r2)2-(r21+r22)=4a2-4c2=4b2,∴∴b=3.答案：3\n椭圆的几何性质及应用【方法点睛】1.椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.\n2.利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.【提醒】椭圆离心率的范围:0b>0)的两个焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且，tan∠PF1F2=2,则该椭圆的离心率等于___________.【解题指南】由得△F1PF2为直角三角形，再由tan∠PF1F2=2得出两直角边的比为2，而斜边长为2c，由勾股定理及椭圆的定义即可求出离心率.\n【规范解答】因为，所以PF1⊥PF2，得△F1PF2为直角三角形，又因为tan∠PF1F2=2，所以可设|PF1|=m，则|PF2|=2m，2a=3m，2c=m，所以离心率答案：\n【反思·感悟】1.求椭圆的离心率的值的问题，关键是依据题设条件寻找关于a、b、c的一个等式，或解方程求出离心率，或直接求出离心率；2.在解方程求椭圆离心率的值时，要注意椭圆离心率自身的范围，有增根要舍去.\n【变式训练】定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知E：(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0)，则E为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的()(A)既不充分也不必要条件(B)充分且必要条件(C)充分不必要条件(D)必要不充分条件\n【解析】选B.若E为黄金椭圆，则∴所以a,b,c成等比数列.若a、b、c成等比数列，则b2=ac⇒a2-c2=ac⇒e2+e-1=0，又0b>0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于______.\n【解析】依题设知：点C的坐标为()，又因为点C在椭圆E上，所以有解得a2=9b2，因此，a2=9(a2-c2)，即所以椭圆E的离心率等于答案：\n直线与椭圆的位置关系【方法点睛】1.直线与椭圆位置关系判断的步骤首先：联立直线方程与椭圆方程；其次：消元得出关于x(或y)的一元二次方程；得出结论：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离.\n2.直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2，y2),则(k为直线斜率).\n3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法\n【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.\n【例3】(2011·北京高考)已知椭圆过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.【解题指南】(1)根据标准方程可求出焦点坐标和离心率；(2)先讨论切线l斜率不存在时的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值.\n【规范解答】(1)由已知得a=2,b=1，所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为(2)由题意知，|m|≥1.当m=1时，切线l的方程为x=1，点A,B的坐标分别为此时当m=-1时，同理可得当|m|>1时，设切线l的方程为y=k(x-m).得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.\n设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).又由l与圆x2+y2=1相切，得所以\n由于当m=±1时，|AB|=当且仅当所以|AB|的最大值为2.\n【反思·感悟】1.通过本题的解答可知，已知椭圆的标准方程，可直接求出椭圆的焦点坐标、离心率，也可求出其顶点坐标、长轴长、短轴长等.求直线被椭圆截得的弦长的最值，关键是求出弦长的解析式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值；2.在求切线方程时，要注意讨论直线的斜率存在与不存在两种情况.\n【变式训练】若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且(1)求出这个椭圆的方程；(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使(其中O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由．\n【解析】(1)依题意，得2a=4,所以∴椭圆的方程为(2)显然当直线l的斜率不存在，即x=0时，不满足条件．设l的方程为y=kx+2，由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，\n消去y并整理，得(1+4k2)x2+16kx+12=0,∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12>0，得①\n由①②可知k=±2，所以，存在斜率k=±2的直线l符合题意．\n【满分指导】直线与椭圆综合问题的规范解答【典例】(12分)(2011·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.\n(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.【解题指南】(1)利用MN的中点在PA上即可求解；(2)先求点P的坐标，再求出AB的方程，就能求出距离d;(3)证明斜率之积为-1即可.\n【规范解答】(1)由题意知，a=2,b=故M(-2,0),N(0,).所以线段MN的中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以………………………………………………3分(2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得解得x=±，因此P(,),A(-,-),于是C(,0),直线AC的斜率为\n所以直线AB的方程为……………………5分因此……………………………7分(3)方法一：将直线PA的方程y=kx代入，解得x=±记μ=…………………8分则P(μ,μk),A(-μ,-μk)，于是C(μ,0)，故直线AB的斜率为，直线AB的方程为y=(x-μ)，代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0，解得或x=-μ，………………………………………………10分\n因此于是直线PB的斜率为因此k1k=-1，所以PA⊥PB.…………………………12分方法二：设P(x1,y1)，B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x1≠x2，A(-x1,-y1),C(x1,0).…………………………………………8分设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上，所以\n从而……………………10分因此k1k=-1，所以PA⊥PB.……………………………12分\n【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分:(1)解答第二问时，找不到AB的直线方程，其错误原因是只看到了点A，而忽视了点C在直线AB上这一条件；(2)计算直线PA、PB的斜率之积时，运算上出现错误.\n备考建议解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆方程联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.\n1.(2011·新课标全国卷)椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.直接求故选D.\n2.(2012·榆林模拟)已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为,短轴长为2，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A、B两点.若则k=()(A)1(B)(C)(D)2\n【解析】选B.方法一：横坐标法由题意得b=1,∴a=2,c=,F(,0)，C:,直线方程为y=k(x-),令A(x1,y1),B(x2,y2)，由得(1+4k2)x2-8k2x+12k2-4=0，\n∴①,②∵∴-x1=3(x2-),即x1=4-3x2代入①得代入②得即k2=2,∵k>0,∴k=.\n方法二：以上同方法一：纵坐标法由得①，②∵,∴y1=-3y2,\n代入①得代入②得解得,k2=2,∵k>0,∴k=.\n3.(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________.【解析】由△ABF2的周长等于4a=16,得a=4，又知离心率为即，进而c=，所以a2=16，b2=a2-c2=16-8=8，∴C的方程为答案：\n4.(2011·浙江高考)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若，则点A的坐标是_________.【解析】椭圆的焦点分别为F1(-,0),F2(,0)，设A点坐标为(m,n),B点坐标为(p,t)则m+=5(p-),即又且由上面两式解得m=0,n=±1,即点A的坐标是(0,±1).答案：(0，1)或(0,-1)\n\n