初中数学基础知识教案 23页

（一）基础知识：1．两角和与差的三角函数公式；二倍角公式；2．降次公式：，．（二）主要方法：1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等．（三）例题分析：例1．已知，，，求的值．解：∵，，∴，又∵，，∴，∵，又∵，，∴．例2．已知为一三角形的內角，求的取值范围．解：．∵为一三角形內角，，∴的取值范围是．例3．求值：．\n解：原式．例4．是否存在两个锐角满足（1）；（2）同时成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：由（1）得，∴，∴，∴或（∵，∴，舍去），∴为所求满足条件的两个锐角．\n2011年高考试题数学（理科）三角函数一、选择题:1.(2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为（A）0(B)(C)1(D)【答案】D【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.2.(2011年高考山东卷理科6)若函数(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（A）3（B）2（C）（D）【答案】C【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin,故选C.3.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（A）（B）（C）（D）【答案】C.【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知\n(A)(B)(C)(D)答案：D解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，故sinB=sinA，所以；5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin，则（）(A)(B)(C)(D)答案：A解析：6.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，则（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】：故选C7.(2011年高考全国新课标卷理科5)已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则，（）\nABCD解析：由题知,选B8.(2011年高考全国新课标理11)设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减（B）在单调递减 （C）在单调递增（D）在单调递增解析：，所以，又f(x)为偶函数，，，选A9.(2011年高考天津卷理科6)如图，在△中，是边上的点，且，则的值为（）A．　　　B．　C．　　D．【答案】D【解析】设,则由题意可得:,在中,由余弦定理得：\n=，所以=，在△中，由正弦定理得，，所以，解得=，故选D.10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数，若，则的取值范围为A.B.C.D.答案：B解析：由，即，解得，即，所以选B.11．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内（A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点【答案】B【解析】：令，，则它们的图像如图故选B12.(2011年高考重庆卷理科6)若的内角所对的边满足，且，则的值为（A）(B)(C)1(D)解析：选A。由得，由得，解得\n13.(2011年高考四川卷理科6)在ABC中．.则A的取值范围是()(A)(0，](B)[，)(c)(0，](D)[，)答案：C解析：由题意正弦定理14．(2011年高考全国卷理科5)（5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）（B）（C）（D）【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。【精讲精析】选C.由题,解得，令，即得15．(2011年高考福建卷理科3)若tan=3，则的值等于A．2B．3C．4D．6【答案】D16．(2011年高考福建卷理科10)已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B二、填空题:\n1.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=____________.答案：解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.2.(2011年高考安徽卷理科14)已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________【答案】【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.3.(2011年高考全国新课标卷理科16)在中，，则的最大值为。解析：,,；，故最大值是\n4.(2011年高考重庆卷理科14)已知，且，则的值为解析：。由题设条件易得：，故，，所以5.(2011年高考全国卷理科14)已知a∈(，)，sinα=，则tan2α=【答案】【解析】a∈(，)，sinα=则tanα=故tan2α=6.(2011年高考安徽卷江苏7)已知则的值为__________【答案】【解析】因为,而=-cot2x,所以,又因为,所以解得,所以的值为.7.(2011年高考安徽卷江苏9)函数是常数，的部分图象如图所示，则\n【答案】【解析】由图象知：函数的周期为，而周期，所以，由五点作图法知：，解得，又A=，所以函数，所以.8．(2011年高考北京卷理科9)在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。【答案】【解析】由，正弦定理可得。9.(2011年高考福建卷理科14)如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题.【答案】【解析】（法1）过A作AE⊥BC,垂足为E，∵AB=AC=2，BC=,∴E是BC的中点，且EC=，在中，AE==1,又∵∠ADE=45°，∴DE=1，∴AD=;(法2)∵AB=AC=2，BC=,由余弦定理知，\n===,∴C=30°，在△ADC中，∠ADE=45°，由正弦定理得，，∴AD===.10．(2011年高考上海卷理科6)在相距2千米的．两点处测量目标，若，则．两点之间的距离是千米。【命题意图】本题考查正弦定理及其应用，是简单题.【答案】【解析】如图所示，∠C=45°，由正弦定理得，∴AC==.11．(2011年高考上海卷理科8)函数的最大值为。【答案】【解析】将原函数解析式展开得=,故最大值为=.三、解答题:1.(2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（I）求的值；（II）若cosB=，,求的面积.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以\n=,即,即有,即,所以=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知:=2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.2.(2011年高考浙江卷理科18)（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c已知且.（Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ)若角为锐角，求p的取值范围；（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理，得解得或（Ⅱ）解：由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2accosB=p2b2-即因为得，由题设知，所以3.(2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）已知函数，（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若求的大小．【解析】本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.（Ⅰ）由得所以的定义域为\n.的最小正周期为.（Ⅱ）由得即,整理得:,因为,所以可得,解得,由得,所以,.4.(2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin（1）求sinC的值（2）若a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值解析：由，即，因为，所以，两边平方得．（2）由得，所以，所以，由得，由余弦定理得，又，即，所以，所以，所以．本题考查三角形、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及余弦定理．5.(2011年高考湖南卷理科17)（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.求角的大小；求的最大值，并求取得最大值时角的大小.\n解：由正弦定理得因为，所以.从而.又，所以，则由知，，于是===因为，所以.从而当，即时，取最大值2.综上所述，的最大值2，此时，.评析：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题.6.(2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）已知函数（1）求的值；（2）设求的值.【解析】解：（1）；（2）\n故7.(2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.(Ⅰ)求△ABC的周长；(Ⅱ)求cos(A—C.)本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.解析：（Ⅰ）的周长为（Ⅱ）故A为锐角...8．(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理【解析】：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积。或，，证法一，如图即同理可证，\n证法二：已知建立直角坐标系，则同理可证9.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分）设满足，求函数在上的最大值和最小值解析：由得，解得：因此当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在上的最大值为又因为，所以在上的最小值为10.(2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分）\n已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，求证：.解析：（Ⅰ）∵，∴的最小正周期是，当，即时，函数取得最小值-2.（Ⅱ），，..，，所以，结论成立.11.(2011年高考全国卷理科17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.【解析】：由正弦定理得，由，即\nA+B+C=1800，，即，由A-C=900得A=900+C即12.(2011年高考安徽卷江苏15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若求A的值；（2）若，求的值.【解析】（1）因为所以解得,即A的值为.（2）因为所以所以在△ABC中，由正弦定理得:,因为,所以,所以==,解得又因为,所以,解得的值为.13．(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分）已知函数。（Ⅰ）求的最小正周期：\n（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。解：（Ⅰ）因为所以的最小正周期为（Ⅱ）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值—1.14．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。（I）求数列{an}的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前项和公式以及三角函数的最值问题，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.【解析】（I）由=3，=得，=，解得=，∴数列{}的通项公式=.（II）由（I）可知=，∴=3，∴函数的最大值为3，∴=3，∵在处取得最大值，∴=1，又∵0＜＜，∴=，∴=.【点评】本题题目简单，但将等比数列与三角函数结合给人以耳目一新的感觉.\n立足课本抓住基础提高能力邹平县黄山中学数学组贾新\n三角函数是中学学习中重要的基本内容之一，它的定义和性质有十分鲜明的特征和规律性，它和代数、几何有着密切的联系，是研究其它部分知识的工具，在实际问题也有广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内容之一。从近几年高考来分析对这一部分内容的考查多以中低档题出现，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象和性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上来，在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质与图象的考查力度。这一部分命题蕴含的数学思想和方法主要体现在数形结合的思想上，它要求能根据三角函数式得到函数图像，利用函数的直观性和函数的性质进行分类讨论等变换，从而解决问题，在这个过程中有利于考生掌握函数的性质和图像，熟练运用数形结合的思想。考察运用三角函数概念解题近年高考中经常出现，主要考查对概念的理解水平，主要包括对定义的理解和运用，象限角及符号，运用诱导公式、同角三角函数关系式化简、求值等。灵活运用上述概念和各种三角公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象考查等是近几年的热点，其中求值问题是近几年的主要题型。三角形中的三角函数问题是近年高考重点内容，主要考查运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，应注意隐含条件的挖掘。这一部分内容公式繁多，即工具较多，要充分利用这些工具，除了立足课本，由推导公式掌握公式的内在联系外，还要注意通性通法，即发现差异（角度、函数名称、式子结构、技巧等），寻找联系（正用、逆用、变形用、灵活用公式），合理转化（由因导果、因果探索）。其技巧有：常值代换（特别是“1”的代换）；项的分拆与角的配凑；切与弦的互化；升幂与降幂；引入辅助角：。从近几年的全国高考题和各省市自主命题来看主要有以下考查内容：1、利用化为一个角的一种三角函数，进而求其最值，确定单调区间、周期、奇偶性、对称轴与对称中心以及图象变换。例如:’06上海卷（理17）’06辽宁卷17：06福建卷’07天津卷17，’07重庆卷17，’07辽宁卷17，07湖南16，08山东（17）08北京（15）08湖北（16）08安徽（17）08四川（17）08陕西（17）等几乎每年都有7－8个省市出了解答题，这还将是考查的重点和热点。2、考查三角函数图象，由图象所满足的特征（最值、周期等）求出解析式，进而再考查其性质。例如06山东卷（文17），05全国卷Ⅰ（17），07江西（18）08广东（16）它考查了识图能力和对三角函数图象的把握，仍然是今后考查重点。\n3、三角恒等变换的考查，主要式利用对公式的正用、逆用、变形运用，对三角函数进行化简、求值、证明等，三角式的恒等变形其实质就是一种结构式等价转化为另一种结构式，因此在转化过程中，要仔细观察等式两边结构上的差异，然后分析这些差异和联系，然后从解决这些差异入手，实行适当地变换。当然还会和图象与性质结合进行考查，从近几年的高考题来看不仅有选择题、填空题，还有解答题，也应是今后考查的重点。4、三角形中的三角函数问题，主要考查三角恒等变换，公式的运用及三角形中的角与边的关系，利用正、余弦定理实现边角的转化进而求角、边等。例如06全国卷（理17文18）07全国卷I（17）07全国卷II（17）08全国卷I（17）08全国卷II（17）08重庆（17）08辽宁（17）08江西（17）还会考察到实际应用问题，例如07山东（18）07海南、宁夏（17）5、三角函数与其它知识的结合，主要是指在知识的交汇点上考查，特别是与向量的结合，利用向量坐标形式的数量积转化为三角函数问题进行求解。例如06全国卷Ⅱ（理17），06湖北卷（16），06四川卷（理17文18），05山东卷（17）07湖北（16）07安徽（16）07陕西（17）08福建（17）等都是三角与向量的结合，这仍然是高考的重要内容。6、求值，主要考察三角公式，角的活用等，例如07四川（17）08江苏（15）08天津（17）总之，近年这一部分难度有所下降，只要我们立足课本，掌握好基本知识和基本方法，熟练最基本的变换，放弃复杂的三角变换及其技巧，注意弄清公式成立的条件，灵活运用公式间的内在联系及公式的变形、逆用等，不要死记硬背，要在“灵、活、巧”上下功夫，以变为主线，做好训练，复习时要强化变换意识，不易选择难度过大的的题目，提高自己分析问题、解决问题的能力。已知△ABC的面积且求三角形△ABC面积的最大值。\n由余弦定理：带入上式得：再结合得解得：时，不合题意，舍去。所以此时(当且仅当时取等号)