高中物理力学竞赛随谈课件 130页

高中物理力学竞赛随谈南京市金陵中学朱焱2009.7.19.\n★对高中物理竞赛辅导工作的看法组织安排、教学相长立足实际、保护兴趣训练适度、益于高考\n▼运动学参照系，质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。矢量和标量。矢量的合成和分解。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。刚体的平动和绕定轴的转动。★高中物理力学竞赛涉及的主要内容▼牛顿运动定律力学中常见的几种力牛顿第一、二、三运动定律。非惯性参照系。万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。\n▼物体的平衡共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。物体平衡的种类。▼动量冲量。动量。动量定理。动量守恒定律。反冲运动及火箭。▼机械能功和功率。动能和动能定理。重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式。弹簧的弹性势能。功能原理。机械能守恒定律。碰撞。\n▼机械振动简揩振动。振幅。频率和周期。位相。振动的图象。参考圆。振动的速度和加速度。由动力学方程确定简谐振动的频率。阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。▼波和声横波和纵波。波长、频率和波速的关系。波的图象。波的干涉和衍射（定性）。声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。▼流体静力学静止流体中的压强。浮力。\n物系相关（连接体）的速度求解非惯性系和惯性力的意义费马原理、追及和相遇模型有关天体运动的处理关于简谐运动问题关于质量均匀分布的球壳（球体）内引力计算★高中物理力学竞赛要点拾零\n[材料1]质量分别为m1，m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻绳AB和BC连接。其中∠ABC为，其中为锐角。今有一冲量I沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度。ABC话题1物系相关（连接体）速度求解方法I\n[材料2]绳子一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R，放在与水平面成角的光滑斜面上，如图所示。当绳子变为竖直方向时，圆筒转动角速度为（此时绳子未松弛），试求此刻圆筒轴O的速度、圆筒与斜面切点C的速度。（全俄中学奥赛试题）CO\n[材料3]直线AB以大小为的速度沿垂直于AB方向向上移动，而直线CD以大小的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动，两条直线夹角为，如图。求他们交点P的速度大小与方向。ABCDP是否为v1和v2的矢量合成呢？\n（1）由杆或绳约束的物系各点速度（2）接触物系接触点的速度（3）相交物系交叉点的速度同一时刻必须具有相同的沿杆或绳的分速度沿接触物法向的分速度必须相同，无相对滑动时，切向分速度也相同相交双方沿对方直线方向运动的合运动\n【例1】质量分别为m1，m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻绳AB和BC连接。其中∠BC为，其中为锐角。今有一冲量I沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度。【分析】设质点A开始运动时运动速度为v′，AB绳中的冲量为I2,BC绳中的冲量为I1,对A球，I2＝m1v′对B球，I1cosα－I2＝m2v′对B球，I1－I2cosα＝m2v设质点C开始运动时运动速度为v，对C球，I－I1＝m3v\n【演变】在光滑水平面上有四个等质量小球A、B、C、D，以质量不计、不可伸长的1、2、3三条细线相连。最初，细线刚好张直，如图所示，其中∠ABC＝∠BCD＝120°。今对A球施以一个沿着BA方向的瞬时冲量，使A球获得瞬时速度u后，四球同时开始运动，试求开始运动时球D的速度。设四球开始运动时球D的速度为v,则细线3中的冲量为mv,分析CD整体，细线2中的冲量为4mv设球C球沿着CB方向运动速度为v′,则对C球,4mv-mv/2=mv′,v′=7v/2.设细线1中的冲量为I,则对BC整体对B球v【分析】v=u/13.\n【例2】一平面内有二根细杆和，各自以垂直于自己的速度和在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。ab\nOAB\nOAB\nOAB\n【例3】图（a）中的AC、BD两杆均以角速度绕A、B两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图所示。当t=0时，60º，试求t时刻两棒交点M点的速度和加速度。ABCDM图（a）\nABMO图（b）\n【例4】合页构件由三个菱形组成。其边长之比为3：2：1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点B2的速度vB2是多少？A3A1A2vB1B3B2A0\n（1）惯性参照系：牛顿第一定律实际上定义了一种参照系，在这个参照系中观察，一个不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态，这样的参照系就叫做惯性参照系，简称惯性系。由于地球在自转的同时又绕太阳公转，所以严格地讲，地面不是一个惯性系。在一般情况下，我们可不考虑地球的转动，且在研究较短时间内物体的运动，我们可以把地面参照系看作一个足够精确的惯性系。（2）非惯性参照系：凡牛顿第一定律不成立的参照系统称为非惯性参性系，一切相对于惯性参照系做加速运动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球转动时，地球就是非惯性系。在非惯性系中，物体运动不遵循牛顿第二定律，但在引入“惯性力”的概念以后，就可以利用牛顿第二定律的形式来解决动力学问题了。话题2非惯性系和惯性力的意义\n在非惯性系中，为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程，引入惯性力的概念，引入的惯性力必须满足式中是质点受到的真实合力，是质点相对非惯性系的加速度。真实力与参照系的选取无关，惯性力是虚构的力，不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用，因此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内，它没有施力物体，不存在与之对应的反作用力．\n◇平动非惯性系相对于惯性系的加速度为。平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速度及质点的质量确定，与质点的位置及质点相对于非惯性系速度无关\n◇匀速转动系中的惯性力如图，圆盘以角速度绕竖直轴匀速转动，在圆盘上用长为r的细线把质量为m的点系于盘心且质点相对圆盘静止，即随盘一起作匀速圆周运动，以惯性系观察，质点在线拉力作用下做匀速圆周运动，符合牛顿第二定律．以圆盘为参照系观察，质点受到拉力作用而保持静止，不符合牛顿定律．要在这种非惯性系中保持牛顿第二定律形式不变，在质点静止于此参照系的情况下，引入惯性力\n为转轴向质点所引矢量，与转轴垂直，由于这个惯性力的方向沿半径背离圆心，通常称为惯性离心力．由此得出：若质点静于匀速转动的非惯性参照系中，则作用于此质点的真实力与惯性离心力的合力等于零．惯性离心力的大小，除与转动系统的角速度和质点的质量有关外，还与质点的位置有关（半径），必须指出的是，如果质点相对于匀速转动的系统在运动，则若想在形式上用牛顿第二定律来分析质点的运动，仅加惯性离心力是不够的，还须加其他惯性力。如科里奥里力，科里奥利力是以地球这个转动物体为参照系所加入的惯性力，它的水平分量总是指向运动的右侧，即指向相对速度的右侧。例如速度自北向南，科里奥利力则指向西方。\n这种长年累月的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，因而比较陡峭。双轨铁路的情形也是这样。在北半球，由于右轨所受压力大于左轨，因而磨损较甚。南半球的情况与此相反，河流左岸冲刷较甚，而双线铁路的左轨磨损较甚。\n【例5】如图所示，与水平面成θ角的AB棒上有一滑套C，可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的A端相距b，相对棒静止。当棒保持倾角θ不变地沿水平面匀加速运动，加速度为a（且a＞gtgθ）时，求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间。【分析】这是一个比较特殊的“连接体问题”，寻求运动学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面，只需要隔离滑套C就行了。\n【常规解析】定性绘出符合题意的运动过程图，如图所示：S表示棒的位移，S1表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直角坐标后，S1x表示S1在x方向上的分量。不难看出：S1x+b=Scosθ①设全程时间为t，则有：而隔离滑套，受力图如图所示，显然：mgsinθ=ma1x④解①②③④式即可。\n【另解】如果引进动力学在非惯性系中的惯性力，此题极简单。过程如下：以棒为参照，隔离滑套，分析受力，如图所示。滑套相对棒的加速度a相是沿棒向上的，故动力学方程为：F*cosθ-mgsinθ=ma相（1）其中F*=ma（2）而且，以棒为参照，滑套的相对位移S相就是b，即：b=S相=a相t2（3）解（1）（2）（3）式就可以了。\n【例6】一个质量为M、斜面倾角为θ的劈A放在水平地面上，斜面上放上一块质量为m的滑块B。现将系统由静止释放，求释放后劈A对物块B的压力、劈A相对地面的加速度各是多少？（不计一切摩擦）ABθ\n假设m相对M的加速度为a2，方向沿斜面向下。方法1：Mma1a2MgN地N’M：mgNm：axay———隔离法\nABθNmgaANsinθ=MaAN对A,解之得aBxaByNsinθ=maBx,mg－Ncosθ=maBy,aBxaByaAθaBy=(aBx+aA)tanθ（接触物系法向加速度相等）对B,A、B加速度关联,方法2：－牵连加速度\nABθNmgaAF=maANsinθ=MaA,N对A,以A为参照系,对B物引入惯性力F=maA（方向向左），在以A的坐标系中，物块B沿斜面加速下滑，垂直斜面方向加速度为零。（在地面参考系中并非如此）N＋Fsinθ=mgcosθ,F=maA,解之得方法3：－引入惯性力\nm1m2m3【例7】如图设通过滑轮组相连接，所有摩擦不计。滑轮及绳子质量不计。求的加速度和两根绳子的张力。AB\n话题3费马原理、追及和相遇问题\n【例8】如图所示，A船从港口P出发，拦截正以速度v1沿BC方向做匀速直线运动的B船，港口P与B所在航线的距离为a，B与港口P的距离为b（b＞a），A船的速度为v2，A船一启航就可认为是匀速航行。为了使A到B的航线上能与B迎上，问：（1）A船应取什么方向？（2）需要多长时间才能拦住B船？（3）若其它条件不变，A船从P开始匀速航行时，A船可以拦截B船的最小航行速度是多少？\n【分析】选择B船为参考系，则可认为A船一直向着B船做匀速直线运动，即合成速度沿着AB方向。【解析】设A船对地的速度v2与AB的夹角为α，作出速度关系矢量图如图\n选取B船为参考系，只要A相对于B的速度方向沿BP指向B，A船就可以拦截B船，如图，v＝v1＋v2，在这个矢量三角形中，要使v2最小，v2应与v垂直，所以【思考】在求A船从P开始匀速航行，拦截B船的最小航行速度时，用矢量三角形求解非常方便。即合矢量方向一定，其中一个分矢量已经确定时，另一个分矢量的最小值就是从已知分矢量末端向合矢量方向引出的垂线为最短。\n【例9】有一只狐狸以不变速率v1沿直线逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其追击方向始终对准狐狸。某时狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，如图所示。假设v2>v1，问猎犬追上狐狸还需多长时间?\n按照这种解法，设想把整个系统全部外加速度v1的话，即狐狸又回到了地面参考系中，此时猎犬的速度还是v2，然后猎犬沿速度v2所在的直线到达AB上追及狐狸。而题中的要求，猎犬的追击方向始终对着狐狸，此解违反题意。\n【解析】由于猎犬在追击狐狸的过程中始终指向狐狸，而狐狸又在向AB方向逃跑，猎犬将沿着一条曲线运动。这与沿直线运动追击不同。但稍加考虑，我们可以对猎犬和狐狸的相对距离给予关注。所谓追上狐狸，就是相对距离为零。设在追击过程中某一时刻，D到达D’，F到达F’。连0、F，此刻猎犬在D’的速度指向F’，狐狸在F’的速度仍指向B端。可以很自然地考虑到，此时沿相对位置方向的相互接近速度为：\n\n（1）（2）\n\n【例10】两两相距均为l的三个质点A、B、C，同时分别以相同的匀速率v运动，运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置、B始终指着当时C所在的位置、C始终指着当时A所在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？BC2AClA1A2B1B2C1l2l1【解析】三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻三个质点的位置分别在正三角形的三个顶点，但这个正三角形的边长不断缩小，现把从开始到追上的时间t分成n个微小时间间隔△t（△t→0），在每个微小时间间隔△t内，质点运动近似为直线运动。于是，第一个△t三者的位置A1、B1、C1如图。这样可依次作出以后每经△t，以三个质点为顶点组成的正三角形A2B2C2、A3B3C3、…设每个正三角形的边长依次为l1、l2、…ln。显然，当ln→0时，三个质点相遇。\n解法一：由前面分析，结合小量近似有：……由△t→0，n→∞，并有n△t=t，ln→0（三人相遇）。三个质点运动到原正三角形ABC的中心，需时间为BC2AClA1A2B1B2C1l2l1\n解法二：设t时刻三角形边长为x，经极短时间△t后边长变为x′。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得在△t→0时，可略去二阶小量△t2项，因此这表明等边三角形边长的收缩率为3v/2。从初始边长l缩短到0需时间为BC2AClA1A2B1B2C1l2l1\n解法三：因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置，所以此时质点A速度方向与AO连线的夹角恒为30°（O为中心点），即A的运动速度沿AO方向的分量vcos30°。质点B、C也是如此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方向条件如初，所以质点A、B、C的运动速度在质点与中心O连线方向的分量仍为vcos30°，且为定值。最终三质点相遇在O点，所以每个质点在质点与中心O的连线方向上运动了BC2AClA1A2B1B2C1l2l1·O\n解法四：以B为参照系，在两者连线方向上A对B的相对速率恒为v+vcos60°。最终相遇，相对运动距离为l，所用时间为BC2AClA1A2B1B2C1l2l1\n演变1：如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为l，结果如何？（答案：t=l/v）演变2：有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从正五边形ABCDE的五个顶点出发，以相同速率v运动，如图所示。运动中A始终朝着C，C始终朝着E，E始终朝着B，B始终朝着D，D始终朝着A，问经过多长时间五人相聚？（已知圆半径为R）ABCDE（答案：t=1.05R/v）\n【例11】在非洲有一种竞速运动，从某一点出发奔向同一个目的地。途中要经历两块不同的场地，一块是沼泽地，另一块是普通陆地。已知某运动员在普通陆地上奔跑速度为4m/s，在沼泽地上奔跑速度为3m/s，要求从A点跑到沼泽地中B点时间最短，请你为他设计一条合理的路线。陆地沼泽地AB30m40m70m132\n费马原理光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或费马原理，法国数学家费马于1657年首先提出。\n【演变】游泳池ABCD长50m,宽34.6m，某运动员在水中游速为3m/s，在岸边奔跑速度为6m/s。现从游泳池正中央的P点出发，设法到达岸边的B点，要求时间最短该如何选择路线？PABCD\n【例12】设想有一只老鼠在圆湖边碰上猫,它想回洞已来不及,只好跳入湖中企图逃走.已知猫在岸上跑的速率是鼠在湖中游的速度的4倍,湖边周围有很多鼠洞.问老鼠能否逃脱猫的捕抓.【分析】鼠、猫分别用S、M代表.如图所示,A、B、C是鼠逃命的三个方案,A/、B/、C/是猫根据老鼠的逃命方案所制订的追踪方案,由v猫=4v鼠,及圆中弦与弧的关系,易知老鼠到达上岸点时,猫已在那里恭候多时了.说明上述三个方案都不能使老鼠逃脱厄运.但实际上只要老鼠想点办法是可以逃脱的.方法是老鼠可以先在湖内绕湖心转圈,一旦老鼠、湖心、猫三点连成一条直线后再沿半径方向向外游就能顺利脱逃.\n设圆湖半径为R,作R/4同心圆K,如果这样来构造老鼠的运动过程:鼠下水后沿半径方向向湖心游去,到达R/4圆K内,然后转圈游,老鼠可以游到和猫不在同一半径而在同一直径的圆K的边界点P的位置上去,然后沿此直径游向湖岸,即可逃命.\n话题4有关万有引力与天体运动\n1、天体运动中机械能守恒天体运动中的机械能E为系统的引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故机械能守恒，E为恒量，如图所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有\n\n\n2、天体运动的轨道若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。i）椭圆轨道如图所示，设椭圆轨道方程为\n\nii)抛物线\niii）双曲线\n\n小结\n【例13】质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图所示，求（1）转移所需的最少能量；（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化各为多少？图4-10-4\n\n\n\n\n【例14】\n4-4\n\n\n\n\n【例15】火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，返回时落回力发射场不远处。空气阻力不计，试估算火箭飞行时间。地球半径取R=6400m。RO【分析】火箭向上发射又落回地面，它在地心力作用下的运动轨道是一个椭圆的一部分。其中地心为焦点，最高处为远地点。由于返回点和发射点很近，说明这个椭圆很“扁”。其焦点即地心离轨道近地点很近。则可以认为O、P两点为椭圆长轴的两个端点。P\n设椭圆长轴为r，根据机械能守恒（）再设火箭在长轴为2R的扁椭圆轨道运动周期为T0,椭圆面积为S0而在空中运动时间为t其中，S0是椭圆轨道面积，S是火箭飞行时间t内，矢径扫过的阴影部分面积。\n由开普勒第三定律，该半长轴与近地轨道半径相同，故周期也相同。\n话题5质量均匀球壳（体）内的引力\n兰色部分：不贡献引力红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M’（M’是红色部分的总质量）质量均匀球壳（体）内的引力M’RrmORFr对处于球体内部的质点m而言\n【例16】一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零。A·r1r2△s2△s1【解析】设想在球壳内任一点A处置一质量为m的质点，在球面上取一极小的面元△s1，以r1表示△s1与A点的距离。设此均匀球面每单位面积的质量为σ，则面元△s1的质量△m1=σ△s1，它对A点的吸引力为又设想将△s1边界上各点与A点的连线延长分别与△s1对面的球壳相交而围成面元△s2，设A与△s2的距离为r2，由于△s1和△s2都很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然它们是相似图形，因而面元面积比例关系为.面元△s2对A处质点的吸引力为△F1=△F2.\n【例17】假设地球半径为R，质量分布均匀，一隧道沿某条直径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为m的小球，求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。·O●rm设质点m位于r处，它受到的引力小球做简谐运动。F是小球受到的回复力，r为小球离开平衡位置O的位移大小，O为小球的平衡位置。F∝r（方向相反）周期\n【例18】（第20届全国物理竞赛复赛试卷）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量M为的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径＝6400km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．\n位于通道内、质量为m的物体距地心为r时，它受到地球的引力可以表示为（1）式中是以地心为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为（2）于是，质量m为的物体所受地球的引力可以改写为作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为（4）（5）x为物体位置到通道中点C的距离，力的方向指向通道的中点C。在地面上物体的重力可以表示为\n式中是地球的质量。由上式可以得到（7）由以上各式可以求得（8）可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为（9）物体将以C为平衡位置作简谐运动，振动周期为。\n取x=0处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x=0处的速度为v0，则根据能量守恒，有式中h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得（11）可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。\n设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是v0，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有\nu的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有已知M=20m，则得\n●解析：火车在巴黎和伦敦的地下铁道中作简谐运动。巴黎到伦敦的时间在铁道中点C处速度最大。【例19】假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km,地球的半径为6400km，忽略摩擦力。\n判定运动模型是否为简谐运动求解非典型简谐运动的周期求解与简谐运动相关的时间求解与简谐运动相关的能量描写振子作简谐运动的振动方程话题6关于简谐运动\n一．简谐运动的定义如果物体所受的回复力大小总与位移大小成正比，方向总于位移相反，物体的运动叫做简谐运动。简谐运动的运动学特征简谐运动的动力学方程其中的F为简谐运动中物体所受的回复力，x为振动物体相对于其平衡位置的位移，为与间的比例系数，负号表示回复力的方向与位移的方向相反，a为振动物体在位移时的加速度。\n二．简谐运动的方程描述令由解微分方程易得：\n回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A。三．简谐运动与参考圆参考圆的圆心就是简谐运动的平衡位置，半径是简谐运动的振幅，圆周运动的周期和简谐运动的周期相同，圆周运动的角速度在简谐运动中称为圆频率anvmt=0OxxAt\n【例20】质点以角速度沿半径为A的圆轨道做匀速圆周运动，试证明质点在某直径上投影的运动为简谐运动。显然，满足形式。\n在图中，同时得到：其中：(ωt+φ)称相位，φ称初相。\n（需要注意的是时,φ0可在Ⅰ、Ⅲ象限,时,φ0可在Ⅱ、Ⅳ象限,因此还需结合x0或v0的正、负才能确定φ0所在的象限.）\n\n④能量法:如果质点在运动过程中具有形式为的势能,且其中v=以上各判定简谐运动的方法是完全等价的.以上各表达式中x既可以是线量(线位移),又可以是角量(角位移),对应的速度相应的是线速度和角速度,对应的加速度可以是线加速度和角加速度.\n五、关于弹簧振子弹簧振子\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n【例20】三根长度均为l=2.00m，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC．C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是—种什么样的运动．分析：(1)框架静止不动的条件分析．松鼠对它的压力及沿杆方向作用力的合力必通过悬点C．(2)根据(1)中两个力满足的条件分析得出松鼠沿杆方向受到的外力特征，从而确定松鼠的运动为简谐运动这一结论．\n解：先以刚性框架为研究对象．当框架处于静止状态时，作用于框架的各个力对转轴C的力矩之和在任何时刻；郎应等于零．设在某一时刻，松鼠离杆AB的中点O的距离为x，如图所示．松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg，m为松鼠的质量．此重力对转轴C的力矩的大小为mgx，方向沿顺时针方向．为使框架平衡，松鼠必须另对杆AB施一水平方向的力F，且F对转轴C的力矩应与竖直方向的重力产生的力矩大小相等，方向相反．即当表示松鼠位置的坐标x为正时，F沿x的正方向．当x为负时，F沿x的负方向，如图所示，并满足平衡条件\n\n当松鼠运动到杆AB的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅应小于或等于l/2＝1.00m．(振幅等于1.00m与把松鼠视做质点相对应)由以上论证可知：松鼠在导轨AB上的运动是以AB的中点O为平衡位置，振幅不大于lm，周期为2.64s的简谐运动．\n【例21】如图所示，一个倔强系数为k、竖直放置的轻质弹簧，下端固连于地面，上端连一质量为M的物块A，处于平衡状态。另有一质量为m的小物块B自物块A上方h高度处自由下落，并与A作完全非弹性碰撞，然后A和B在弹力和重力的共同作用下，作简谐振动。若把新的平衡位置作为坐标原点，竖直向上为x轴正向，试写出这个简谐振动的振动方程。设B和A碰后瞬间作为时间起点，即t＝0。分析：当B落在A上作完全非弹性碰撞，然后B和A共同参与简谐振动。根据能量、动量关系可求出两物体共同运动的初速度、位移（相对平衡位置）及共同振动的振幅，从而求出振动方程。\nB和A碰后的共同速度就是简谐振动的初速度。当m下落h高度，则速度为考虑竖直向上为x轴正向。B和A成为一个整体后，新的平衡位置作为坐标原点，那么初始位移的大小就是B和A相碰处(即M的初始位置)离新平衡位置的距离。这个距离x0满足在x轴正向取为竖直向上，初位移就是一个正值。根据前面分析，初相位可以写成\n其中已利用，系统谐振动方程为\n【例22】一根弹性轻绳AB自然长度为L0，A端固定，B端挂质量为m=0.2kg的小球。则小球的平衡位置在B的下方O点，BO=L/=1m，现把小球托到A点，然后放手任其下落，问经过多长时间，小球返回A点。解：本题可以分两个过程解。第一阶段：物体A到B段作自由落体运动第二阶段：物体在BC段作简谐运动ABOCxA到BB到C,以O为原点，取向下为X轴，当小球坐标为x时，显然，小球在B点以下以O为平衡位置做简谐运动，其中，k=2N/m\n由初始条件，确定A和，小球落到B时，有正余弦值，容易确定初相位在第三象限。\n由B到C，相位由则，小球由A到C，再返回到A。所用时间为\n【例23】如图质量为M的匀质细棒置于两只相同的水平转动的圆柱上，两圆柱转动的速率相等，但方向相反，设圆柱与棒的动摩擦因数为μ。开始时，棒的重心C偏离两轴连线的中点O的距离为L，两圆柱中心相距为2d。（1）证明棒的运动为简谐运动，（2）求棒的运动周期（3）求棒的最大速度（4）如在棒上放一质量为m的小物体（m<