高中数学教学课件：反函数 17页

1.反函数的概念设v=2千米/小时,t表示时间,s表示位移.时间t(小时)位移s(千米)1234…位移s(千米)时间t(小时)2468…2468…1234…根据条件填图,并写出对应的关系式.假如观察两式×2÷2匀速运动\n1.反函数的概念观察这两个关系式发现：①②在①中t是自变量，s是自变量t的函数．在②中s是自变量，t是自变量s的函数．除此之外,我们还可发现②的表达式可由①的表达式变换而得,即从①式中求出t即可.\n1.反函数的概念\n概念反函数一般地，函数y=ƒ(x)(x∈A)中，设它的值域为C．我们根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y)，在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数．这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=ƒ(x)(x∈A)的反函数，记作X=ƒ-1(y)(y∈C)．在函数x=ƒ-1(y)中，y是自变量，x表示函数．但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们对调函数x=ƒ-1(y)中的字母x，y，把它改写成y=ƒ-1(x)(x∈C)(在书中，今后凡不特别说明，函数的反函数都采用这种经过改写的形式)．ƒ-1(x)是表示反函数的符号,ƒ–1表示对应关系,ƒ-1(x)为一个整体符号.(课本第61页)\n概念反函数返回概念\n⑴从反函数的概念可知,⑴从反函数的概念可知,如果函数y=ƒ(x)有反函数y=ƒ-1(x),那么函数y=ƒ-1(x)的反函数就是y=ƒ(x),这就是说,函数y=ƒ(x)与y=ƒ-1(x)互为反函数.1.反函数的概念概念表明比如,函数与函数互为反函数.\nACyƒxƒ-11.反函数的概念概念表明⑵从映射的概念可知,函数y=ƒ(x)是定义域集合A到值域集合C的映射,而它的反函数y=ƒ-1(x)是集合C到集合A的映射.x表明:函数y=ƒ(x)的定义域和值域与反函数y=ƒ-1(x)的定义域和值域的关系如何?\n注意：2.函数y=ƒ(x)的定义域,正好是它的反函数y=ƒ-1(x)的值域;函数y=ƒ(x)的值域,正好是它的反函数y=ƒ-1(x)的定义域(如下表).函数y=ƒ(x)反函数y=ƒ-1(x)定义域AC值域CA1.并不是所有函数都有反函数的,判断一个函数存在反函数的条件是:对定义域内任意这样的函数就存在反函数\n知识应用与解题研究[例1]求下列函数的反函数:(1)(x∈R)(2)(x∈R)(3)(x≥0)(4)(x∈R,x≠1)想一下如何解?请看解答\n1.反函数的概念知识应用与解题研究[例1]求下列函数的反函数:(1)(x∈R);解:由(x∈R),故,所求的反函数为(x∈R)..(4)的解现在,请同学们看书上对(1)、(2)、(3)、(4)的解答.首先,将y=f(x)看作方程,解出x=f-1(y)(y∈C);其次，将x,y互换,得到y=f-1(x)(x∈C).最后,指出反函数的定义域得\n知识应用与解题研究[例1]求下列函数的反函数:(4)(x∈R,x≠1)解:由(x∈R,x≠1)得故,原函数的反函数为:.首先,将y=ƒ(x)看作方程,解出x=ƒ-1(y)(y∈C);其次，将x,y互换,得到y=ƒ-1(x)(x∈C).最后,指出反函数的定义域即,又由\n求反函数的方法步骤:①判定原函数的值域;②用y表示x,得x=(y)（即反解）③交换x,y得y=f-1(x)(即对调）④∴原函数的反函数是:或写反函数后要写出定义域\n例2（3）y=x2(x<0)的反函数是__________（2）y=x2(x≥0)的反函数是________（1）y=x2(x∈R)有没有反函数?没有×\n例2：求函数（1≤x<0）的反函数.∵1≤x<0∴解：∴0≤<1∴0