初中升高中数学衔接最全经典教材-高中课件精选 113页

初高中数学衔接教材典型试题理解记忆成功衔接第一部分如何做好初高中衔接卜3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节”4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点5"9页第四部分分章节讲解10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练67T00页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接•第一讲如何学好高中数学•初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段吋I、可，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习吋，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。\n相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。一高中数学与初中数学特点的变化1数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高--数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。2思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等，分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。3知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级笫一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化,使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一：使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。二不良的学习状态1学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”;第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。2思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中來。他们认为自己在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。3学不得法。老师上课一般都要讲清知识的來龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能\n及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。4不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高彗远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。5进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空问概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采収补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。三科学地进行学习高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。1培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习儿个方面。(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。(3)±课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下來，而不是全抄全录，顾此失彼。(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴盟出來对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿來复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。(8)\n课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。2循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，冏应吞枣；有的同学想靠儿天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。3注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出來，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而口对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为\n重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。1.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。\n第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。a(a>0)⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0,即\a\=l0(6/=0)-a(ci<0)⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式：|兀|va(ci>0)o—avxva；\x\>a(a>0)oxv-a或兀>a2乘法公式：⑴平方差公式：cr-b2=(a+b)(Q-b)⑵立方差公式：/一戾=(a-b)(a2+a/?+Z?2)(3)立方和公式:a3+戻=(a+b)(a2-ab+b2)⑷完全平方公式：(Q土b)2=6f2+2ah4-b1,(a+Z?+c)2=a2+b2+c2+2ab+lac+2bc⑸完全立方公式：(。土=^±3a2b+3ab2±b33分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。4一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。⑶关于方程cix=b解的讨论\n①当ghO时，方程有唯一解x=—；a②当a=0fbHO吋，方程无解③当。=0,b=0吋，方程有无数解；此吋任一实数都是方程的解。5二元一次方程组：(1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。(3)二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。(4)解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。6不等式与不等式组(1)不等式：①用符不等号(>、工、〈)连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。(2)不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。(3)一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。(4)一元一次不等式组：①关于同一个未知数的儿个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组小各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。7一元二次方程：OX2+Zzx+C=0(<7^0)①方程有两个实数根O△=夕—4qcn0A>0②方程有两根同号o0“aA>0③方程有两根异号O・Cx}x2=—<0\n~ahc①韦达定理及应用：X)+兀>=—,x,x2=—a~a\nVa_\Jb2-4ac问问尢：+€=（尢］+吃）（彳~X\X2+W）=（尤1+兀2）（X|+兀2）2—3兀］兀28函数（1）变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量y,兀间的关系式可以表示成y=kx-^b（b为常数,£不等于0）的形式，则称），是尢的一次函数。②当b二0时，称y是兀的正比例函数。（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量兀与对应的因变量y的值分別作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k<0,h<0,则经2、3、4象限；当£<0,b〉0时，则经1、2、4象限；当k>0,bVO时，则经1、3、4象限；当k>0,b〉0时，则经1、2、3象限。④当k>0时，y的值随x值的增大而增大，当kvO时，y的值随兀值的增大而减少。（4）二次函数:①一般式:y=cix1+bx+c=a{x+—f+°"一"丿la4a(心0),对称轴是顶点是（-厶如兰）;2a4a②顶点式：y=a（x+m）2+k（qhO）,对称轴是x=-m.顶点是（-叫k）；③交点式：y=a(x-xl)(x-x2)(a^0)9K1!1(xp0),(x2.0)是抛物线与x轴的交点（5）二次函数的性质①函^y=ax2+/?%4-c（a工0）的图象关于直线x=一■—对称。2abb②g>0时，在对称轴(x=——)左侧，y值随尢值的增大而减少；在对称轴(x=——)右侧；丿的2d「2ab4cic—b2值随兀值的增大而增大。当%=-—时，y取得最小值2a•4a\nbb②gvO时，在对称轴(x=)左侧，y值随尢值的增大而增大；在对称轴(x=)右侧；y的2a2ab4cic—b~值随尢值的增大而减少。当%=-—时，y取得最大值2a•4a9图形的对称(1)轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对•称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。(2)中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。10平面直角坐标系(1)在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做兀轴或横轴，铅直的数轴叫做);轴或纵轴，x轴与);轴统称坐标轴，他们的公共原点0称为直角坐标系的原点。(2)平面直角坐标系内的对称点：设M3」)，Mf(x2,y2)是直角坐标系内的两点,①若M和关于y轴对称，则有②若M和关于兀轴对称，则有]Xl=%2V严一力③若M和关于原点对称，则有P1=_%2另=_旳③若M和关于直线y=x对称，则有\Xi=y2〔刃=兀2④若M和M'关于直线x=a对称，则有=2a~x^或|召=2a-x,[>\=^2〔刃=力11统计与概率：(1)科学记数法：一个大于10的数可以表示成AxlO“的形式，其中A大于等于1小于10,N是正整数。(2)扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图屮，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。(3)各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。⑸平均数：对于N个数我们把存占+召++和）叫做这个N个数的算术平均数，记为兀。\n（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。（7）中位数与众数：①川个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的屮位数。②一组数据屮出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值彫响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等吋，众数往往没有特别的意义。（8）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时I'可，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样吋要主要样本的代表性和广泛性。（9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值吋，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。（10）数据的波动：①极差是指一•组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。（11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。（12）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1,记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0,记作P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么00,|a|=v0,a=0,-a.a<0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：0-刈表示在数轴上，数。和数b之间的距离.例1解不等式:|x-l|+|x-3|>4.解法一:由兀一1=0,得x=l；由x-3=0,得x=3；①若xvl,不等式可变为一（兀一1）一（兀一3）>4,即-2x+4>4,解得x<0,又兀<1,②若1<%<2,不等式可变为（x-l）-（x-3）>4,即1>4,・••不存在满足条件的兀；③若不等式可变为（兀—1）+0-3）>4,即2x-4>4,解得兀>4.又兀23,/.x>4.综上所述，原不等式的解为兀V0,或x>4.解法二如图1.1—1,卜-1|表示兀轴上坐标为兀的点P到坐标为1的点A之间的距离BP|M|=|x-l|；|x-3|表示兀轴上点P到坐标为2的点B之间的距离1PBI，即|PB|=|x—3|・所以，不等式卜-1|+卜-3|>4的儿何意_义即为\PA\+\PB\>4.°月PCABD—I__I__II_IAx0134x|x—1|图］.1-1\n由\AB\=29可知点、P在点C（坐标为0）的左侧、或点P在点D（坐标为4）的右侧.%<0,或x>4.练习1.填空：（1）若凶=5,则尸；若凶=|一4|,则x二.（2）如果”+冏=5,且6/=-1,贝ijb=；若|l-c=2,贝9c=2.选择题：()(B)若\a\>\b\,则a>b(D)若问=制，则a=±b1.1.2.乘法公式下列叙述正确的是(A)若问=”|,则a=b(C)若a5).我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式（d+Z?）（d-/?）=/-F；（2）完全平方公式（a±bj=a±2abi-・我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（2）立方差公式（3）三数和平方公式（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式(a+b)(方一a42©=-q+；(a—b)(a+ci~b)=a—；(a+Z?+c)?=cT+b~+c?+2(ab+be+cic)；(a+bj=d+3dIh-3a2b+；(a—b)^—er—3crb+3cib~—b'・对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.例1计算：（兀+1）（兀一I"/?一兀+1）（兀2+X+1）・解法一：原式=（兀彳-1）［（兀彳+1尸一兀2=(%2—1)(X44-X~+1)=x解法二：原式二(X+1)0?—兀+1)(兀一1)(兀2+兀+1)=(x3+l)(x3-l)=x6-1.例2已矢口a+b+c=49ab+be+ac=4,求的值・ft?:u~+b~+=(a+b+c)2—2(ab+be+ac)=8・练习1.填空：)；)；)・(1)(2)(3)—a~——b~=(—/?+—6f)(9423(4m+)2=16m2+4m+((a+2b-cy=6z24-4/22+c24-(2.选择题：(1)若x2-v-nu+k是一个完全平方式，则k等于()2mX17A9-m1-4XJZB2IP\7\n（2）不论a,方为何实数,（A）总是正数（C）可以是零2a—4b+8的值（B）总是负数（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如^>0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如++J/+，等是无理式，而近£+旦+\,+2疑等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如血与血，3而与需，V3+V6与亦-乔，2a/3-3>/2与2巧+3血，等等.一般地，a長与長,a\/~x+by[y与口長-匕五,a4x+b与a^-b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算屮要运用公式丽丽=亦（。》0,方》0）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.解法a,a>0,-a,a<0.例1将下列式子化为最简二次根式：(1)4l2b；(2)y[^b(a>0)；解：(1)y/Ub=2y/3b；(2)\{a2h=\a\\[h=a\[b{a>0)；(3)J4x&y=2卜]@=-2x3y[y(x<0).例2计算：>/3-(3-V3)・V3-(3+V3)_(3-V3)(34-a/3)_3巧+3_9-3_3(73+1)6-(3)<0)._^+12解法二：a/3-(3-aT片二偉3-V3-V35/3(5/3-l)_1V3-1\n_>/3+1(a/3-1)(73+1)例3试比较下列各组数的大小：V3+12解:(1)辰"和皿皿⑵漬7和2圧広(1)・・・辰应伍-石=(屁-便(誓+術1V12+V11]辰+VTTVFi-厂』1-皿乂町怛MTi1VII+a/I0又Vi2+VH>VH+V10,/.7i2-VTT2迈，・••托+4>&+2迈，•*•—j=V2\/2—>/6.V6+4例4化fnl：(V3+V2)2004.(V3-V2)2005.解：(V3+V2)2004-(V3-V2)2005=(V3+V2)2004-(V3-V2)2004«(a/3-V2)=[(a/3+>/2).(V3-x/2)]20Q4•(巧-0)=]2004.(巧—血)=>/3--\/2.例5化简：(1)丁9—4厉；(2)Jx2+-!r-2(0/5|=>/5-2・(2)原式二(X--)2VO1〉X,X所以，原式=丄-兀・X例6解：已矢口尢=~,y=£+容'求3/一5身+3b的值.卑芈+舉兽羽一厨+皿迈心,丁3+丁2>/3-a/2^3->/2^3+>/2・・・3X2一5马+3b=3(%+y)2_11马=3XIO?-11=289.\n1.填空:(1)(2)(3)(4)1-a/3_■■1+V3'若7(5-x)(x-3)2=(x-3)75^7,则兀的取值范围是4^24-6^54+3^96-2V150=*>/5.>/兀+]-y/X—1>/兀+1+yjX—1右兀二一，则——+—=2>/兀+1+\/尢一1yjX+\—\lX~\2.选择题:等式x-2X成立的条件是3.(B)x>0JcT-I+J\-CT十.>AAi/*,求a+b的值.(C)x>2(D)01,2c?—5ac+2/=0,求丘的值.a解：在2c2—5ac+2/=0两边同除以/,得2『一5卄2=0,.*•(2e~l)(e—2)=0,2<1，舍去；或幺=2.•I幺=2.练习1.填空题：对任意的正整数弘一!—=—(丄-一)；n(n+2)nn+22.选择题：若2"儿2二—9则兰=(兀+y3y46(D)一(A)15(B)—(C)4753.正数满足x2-y2=2xy,求一的值.x+y2.计算」一+」一+—!—+...+——!——.1x22x33x499x100\n习题1・1A组1.解不等式：(1)x—1|>3；(2)|?r+3|+x—<7；(1)%—1|+|x+1|>6.2.已知兀+歹=1,求x3+y3+3xy的值.3.填空：(1)(2+a/3)18(2-a/3),9=:(2)若J(1一a)?+J(1+a)?=2,则Q的取值范围是]]]]]1+>/2V2+V3V3+V4V4+V5亦+亦1.填空：、1,1rll3a2一ab(1)a=—,b=—,贝I」=233/+5“-2贸⑵若X2+^-2/=0,则*2.x2+y2c知：求右的值.1.2.3.选择题：(1)若\j_a-b-2\[ab-4~b一,则(A)ab(B)4a14.H9x111试证：对任意的正整数弘有古+(C)(C)F2x3x4a\n1.2.B3・V2-14.1.1.4.分式991.2.(1)1兀<一2或兀〉4(2)-43(3)a/6-IB组1.(1)2.4.1.(1)(2)C4.提示:c12.x=—，兀>2-丄=23.C组3655/?(/?+1)(〃+2)2°/?(/?+1)(/:+1)(/?+2)I1.2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1分解因式：(1)x2~3x~h2；(2)x2+4x—12；(3)x2-(a+b)xy+aby1；(4)巧-l+x-y・解：(1)如图1.2-1,将二次项/分解成图中的两个兀的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是?-3x+2中的一次项，所以，有x2—3x+2=(x—1)(%—2).-1-216—ay图1.2-1图1.2-2图1.2-3图1.2-4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式吋，可以直接将图1.2-1中的两个无用1来表示(如图1・2—2所示).(2)由图1.2-3,得x2+4x—12=(x—2)(x+6).(3)由图1.2-4,得x2-(<7+b)xy+aby1—(x-ay)(x-by)vx_1(4)xy-l+x-y=a>?+(x—>0—1图1.2-5=(兀一l)(y+l)(如图1・2—5所示).2.提取公因式法与分组分解法例2分解因式：(1)兀"+9+3对+3兀；(2)2x~—y~—4x+5y—6.\n解：(1)xb2+c2+2ab-\-2ac^-2bc:+94-3x24-3x=(x34-3x2)4-(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)・或x3+9+3x2+3x=(x34-3x2+3兀+1)+8=(x4-l)3+8=(x+l)3+23=[(x+l)+2][(X4-1)2—(x+1)X2+2勺=(x+3)(x~+3)・(1)2x2+xy-y2-4x-k5y-6=2x2-h(y-4)x-y2+5歹一6=2x2-k(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x-ky-3).或2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(x+>')-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(x+y-3)・3・关于x的二次三项式ax2+bx+c(a^O)的因式分解.若关于x的方程gF+bx+c=O(aH0)的两个实数根是恥d，则二次三项式ax2+bx+c{a0)就可分解为a(x-兀|)(兀-兀2)・例3把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2+2x-1；(2)x24-4心一4y2・解：(1)令x2+2x-1=0,则解得x,=-l+V2,^=-1-72,x24-2x—1—兀—(―l+V^)x—(—1—>/2)J=(X+1—(兀+1+5^)•(2)令x2+4xy-4y2=0,则解得州=(—2+2血)丁，州=(—2-2血)y,•Ix24-4xy-4y2=[x+2(1-a/2)yj[x+2(1+a/2)yj・练习1.选择题：多项式2+—xy-i5y2的一个因式为()(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y2.分解因式：(1)x2+6.r+8；(2)如一戾；(3)x2—2x—1；(4)4(兀一歹+1)+丁(歹一2兀).习题1・21.分解因式：(1)R+1；(2)一13x~+9；\n(1)3兀2+5马一2y2+兀+9，_4.\n(2)x~-2\[^x-3；(4)(%2-2x)2-7(x2-2x)+12.1.在实数范围内因式分解:(3)3x2+4xy一y2:（1）x~—5兀+3；2.AABC三边a,h,c满足/+戻+0.于是（1）当b2~4ac>0吋，方程①的右端是一个正数,-b±yjb2-4ac（2）当y—4ac=0时，方程①的右端为零，因此b兀】=疋=_亍；2a因此，原方程有两个不相等的实数根原方程有两个等的实数根（3）当b2~4ac<0时，方程①的右端是一个负数,而方程①的左边（兀+b9工尸一定大于或等于零,2a因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（好0）的根的情况可以由/_4ac来判定，我们把b2~4ac叫做一元二次方程a^+bx+c=0（狞0）的根的判别式，通常用符号W来表示.综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（殍0）,有（1）当A>0时，方程有两个不相等的实数根\n-b±yjb2-4ac(1)当A=0时，方程有两个相等的实数根bX\=X2=~—；2a(2)当AVO时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中d为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)j?—3兀+3=0；(2)%2—ax—1=0；(3)血+⑺―］)=o；(4)^—2x+a=0.解:(1)VA=32-4xlx3=-3<0,A方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式4xix(T)=/+4A0,所以方程一定有两个不等的实数根_d+J/+4_a-^la2+4(3)由于该方稈的根的判别式为△=/—4xlx(a—1)=/—4a+4=(a—2)2,所以，①当d=2时，△=(),所以方程有两个相等的实数根X\=兀2=1;②当狞2时，A>0,所以方程有两个不相等的实数根兀］=1,X2=Cl—1.(1)由于该方程的根的判别式为A=22—4xlx«=4—4«=4(1—a),所以①当△>(),即4(1~a)>0,即dVl时，方程有两个不相等的实数根若=1+s/1—ci,七=1—Jl—a；②当△=(),即。=1时，方程有两个相等的实数根兀］=疋=1；③当△<(),即Q>1吋，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值悄况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题屮会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系《韦达定理》若一元二次方程ax2+bx+c=O(f/#))有两个实数根西=-h^yjh2-4ac-b-ylh2-4ac—,X-y—,2a~2a则有X]+x2-b+Jb，-4ac-b-^lb2-4ac-2bbi==2a2a2aa-b+y/b2-4ac-b一\lb2-4acb1一（b2一4ac）4acc所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:bc如果ax2+bx+c=0(a#0)的两根分别是心，x2>那么xi+x2=,xvx2=—.这一关系也被称为韦达定理.aa特別地，对于二次项系数为1的一元二次方程^+px+q=O,若Q,Q是其两根，由韦达定理可知\n兀］+兀2=—P9兀］•兀2=q，即P=—(兀1+兀2)，纟=兀1・兀2，\n所以，方程^+px+q=OnJ*化为（心+兀2）乳+兀］.兀2=0,由于七，忌是一元二次方程^+px+q=0的两根，所以,Xi,X2也是一元二次方程X2—（X］+x2）A-+xrX2=0.因此有以两个数曲，兀2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2—（xi+x2）x+x|*x2=o.例2己知方程5%2+Ax-6=0的一个根是2,求它的另一个根及R的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再rti方程解出另一个根.但rti于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出R的值.解法一：T2是方程的一个根，A5x22+Z：x2-6=0,:.k=-7.2所以，方程就为5x2—7x—6=0,解得七=2,也=一一.53所以，方程的另一个根为一一，£的值为一7.5解法二：设力程的另一个根为X|,贝ij2xi=——,.*.X|=——.3k由（一一）+2=——,得k=—1.553所以，方程的另一个根为一一，£的值为一7.5例3已知关于x的方程7+2（加一2）x+加2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求加的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设兀|，也是方程的两根，由韦达定理，得2兀1+兀2=—2（加—2）,X\-X2=m+4.*•*—七・兀2=21,（X|+也）?一3X］•兀2=21,即［一2（加一2）］2—3（/异+4）=21,化简，得m2—16/7?—17=0,解得m=—1,或m=17.当〃?=—1时，方程为<+6x+5=0,A>0,满足题意；当加=17吋，方程为7+30x+293=0,A=302-4xlx293<0,不合题意，舍去.综上，加=17.说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的加的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可.（1）在今后的解题过程中，如杲仅仅由韦达定理解题吋，还要考虑到根的判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4己知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为兀，％利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是兀，y,贝ijx+y=4,®xy=~\2・②由①，得J=4—x,代入②，得x（4—x）=—12,即x2-4x-12=0,•=—2,疋=6・.=-2,=6,丁2=—2.\n因此，这两个数是一2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程?-4x-12=0的两个根.解这个方程，得X\=—2,兀2=6・所以，这两个数是一2和6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷.例5若Q和也分别是一元二次方程2?+5x-3=0的两根.（1）求|易的值；（2）求-4+-^的值；X/兀2_（3）X|3+%23«解：Tv和兀2分别是一元二次方程2?+5x-3=0的两根，(1)52593*•*I兀|—刈2=兀］2+云一2七兀2=（兀I+疋）2—4X\X2=（——）2—4x（——）・7・・|兀|—对=—•（5.9c（325々1_V+x22_（x1+x2）2-2x1x2_（_2）■2X（~2）_Z+3_37兀|'+兀2?=（兀1+兀2）（X\2—X\X2~^X^）=（X\+%2）［（X\+兀2）'—3兀|疋］55°3215=（--）x［（—-）2-3x（--）］=-—.2228说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重耍的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设兀i和无2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0（狞0）,贝lj-b+Qb1-4ac-b-\lb2-4ac(2)(3)（兀“2）2-b+Jb1-4ac-b-\lb2-4ac2^b2-4ac2a2a2a2a•'•IX\~X2\=y/b2-4ac_a/a\ci\丨。于是有下面的结论:-（其中Ah/—4ac）.|d|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的一元二次方程?-x+t/-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数。的取值范围.解：设疋是方程的两根，则X\X2=Cl—4<0,且/\=（一1）2—4（°一4）>0.由①得若小和*2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0贝i\xi—x2\=g<4,17由②得a<-^~.・・・a的取值范围是d<4.\n1.选择题：(1)方程JC-l^Zkx+Zk1=0的根的情况是(A)有一个实数根(C)有两个相等的实数根(2)若关于X的方程nvc+(B)有两个不相等的实数根(D)没有实数根(2m+l)x+加=0有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是(A)加V—4(B)m>~-(C)加＜丄，且m/04填空：(1)若方程P—3x—1=0的两根分别是q和兀2,则丄+丄=X]x2(2)方程nvc2+x~2/?2=0)的根的情况是•(3)以一3和1为根的一元二次方程是.3.已知如+8g+16+“—1|=0,当R取何值时，方程lce+ax+b=0有两个不相等的实数根?4.已知方程X2—3x—1=0的两根为兀i和兀2，求(Xj—3)(%?-3)的值.习题2・1A组1.选择题：(1)已知关于x的方程jc+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3(B)3(C)-2(2)下列四个说法：①方程,+2兀一7=0的两根Z和为一2,两根Z积为一7；②方程X2—2x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；7③方程3X2—7=0的两根之和为0,两根Z积为-亍；④方程3?+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是(A)1个(B)2个(C)3个(3)关于x的一元二次方程ax2~5x+a2+a=0的一个根是0,(A)0(B)1(C)-1(D)2()(D)4个则Q的值是()(D)0,或一12.填空：(1)方程Ax2+4x—1=()的两根Z和为一2,贝9R=.(2)方程2?—兀一4=0的两根为a,卩，则a2+p2=.(3)已知关于x的方程X1-ax~3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程2x2+2x—1=0的两根为兀1和兀2，贝Olxj—x2\=3.试判定当加取何值时，关于兀的一元二次方程m\2-(2/7/+l)x+\=0有两个不相等的实数根?根？没有实数根？4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程?-7x-l=0各根的相反数.有两个相等的实数B组I.选择题：若关于X的方程/+伙2_1)兀+R+1=°的两根互为相反数，\n()(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0填空：(1)若加，n是方程x2+2005%—1=0的两个实数根，则irTn+mir~mn的值等于.(2)如果a,b是方程?+x-l=0的两个实数根，那么代数式/+局+/+沪的值是一己知关于x的方程2—也一2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为X]和兀2,如果2(兀]+兀2)＞兀1兀2,求实数比的取值范围.—元二次方程ax2+bx+c=0(狞0)的两根为七和X2-求：(1)|xi—x2\和x{+x2(2)Xi3+%23-求实数刃的值.关于兀的方程＜+4兀+加=0的两根为X],兀2满足|兀疋1=2,选择题：(1)己知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2?—弘+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()(A)y/3(B)3(C)6(D)9(2)若也是方程2?-4x+l=0的两个根，则玉+理的值为()x2X](A)6(B)4(C)3、3(D)一2(3)如果关于x的方程?-2(1—m)x+in=0有两实数根a,卩，则a+卩的取值范围为()(A)a+P>丄2(B)a+p<—2(C)a+p>l(D)a+p0,・・・方程一定有两个不相等的实数根.(2)・・・兀]+也=匕XiX2=-2,：.2k>~2,即k>~\.z、^b2-4acx.+x.b,、「？3abc—b'-\a\22aa3V|x\—x2|=716-4m=2\l4-m=2,・••加=3.把m=3代入方程，△>(),满足题意，.*./??=3.(1)B(2)A(3)C提示：由ANO,得加冬丄，・・・a+卩=2(1—加)21・2(4)B提不：•:ci,b,c是AABC的三边长，/.A=(6f+/?)2—c^X).(1)12提zN：*•*X]=8>・*•3尤]+2也=2(兀1+兀2)+兀1=2x8+兀]=18,・；X]=2,X2=6,X]X2=12.3假设存在实数k,使(幼一兀2)(兀2兀2)=—亍成立.•・•一元二次方程42—4也+比+1=0有两个实数根,•:舜0,且厶=16疋一162伙+1)=—16Q0,:.k<0.X\X2=4k：•(2xi—x2)(x\—2x2)=2Xj2—5ix2+2x229(k+l)4k\n9(£+1)793即4k'解得k=_,与£<0相矛盾，所以，不存在实数匕使(2q—Q3—2兀2)=—一成立•152(2)・.•壬|吃_2_西2+兀222=3+花)2_2兀“22=3+吃尸彳x2x}x}x2xlx2x}x24kA4比一4伙+1)4=4=£+1k+\・・・要使玉+巴一2的值为整数，只须£+1能整除4.而£为整数，:.k+1只能取±1,±2,±4.又・・・R<0,・・・P+1V1,:.k+1只能取一1,-2,-4,:・k=_2,一3,-5.・・・能使玉+玉-2的值为整数的实数k的整数值为一2,-3和一5・x2兀1(3)当k=—2时，X]+x2=1，①X\X2=—,②8v-V1①J②，得玉+么+2=8,即久+―=6,・••兄彳―62+1=0,x2X]2/.A=3±2a/2.1.(1)A=2(/7?—I)2+2>0；7722(2)*.*xiX2=~<0,.*.xi<0,兀2彳0，或xQO,xo<0.4①若兀芒0,兀2仝0,则兀2=—xi+2,.•・兀1+兀2=2,・•・/“一2=2,.•・〃?=4.此时，方程为X2—2a—4=0,=1+JM,兀2=I-Vs•②右兀兀2SO,则一兀2=门+2,XjH-X2=—2,m—2=—2,.*.777=0.此时，方程为,+2=0,.•.X]=0,兀2=—2.2.设方程的两根为X],兀2，则兀|+兀2=—1»X\X2=Cli由一根大于1、另一根小于1，得(兀]—1)(兀2~'1)<°，即兀1兀2一(兀1+兀2)+1<0，・：Q—(—1)+1<0,.*.«<—2.此时,A=12-4x(-2)>0,・・・实数a的取值范围是6/<-2.2・2二次函数2.2.1二次函数y=ax+bx+c的图像和性质问题1幣数y=a/与）,="的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画illj=Zr2,丿=一2?的图象，通过这些函数图象与函数）.，=/的图象Z间的关系，推导出函数）=/与尸/的图象Z间所存在的关系.先画出函数y=x2,y=2x1的图彖.先列表：X•••-3—2-10123•••2X•••9410149•••2r•••188202818从表中不难看出，要得到2异的值，只要把相应的X的值扩大两倍就可以了.\n再描点、连线，就分别得到了函数〉=/,)=27的图象(如图2—1所示)，从图2-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2/的图象可以由函数歹=兀2的图彖各点的纵坐标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数)=丄兀2,),=_加2的图象，并研究这两个函数图象与函数y=?的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=ax2(a^)的图象可以由j=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax\^沖，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a(x+h)2+k与)=a?的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数》=2(兀+1尸+1与y=2采的图象(如图2-2所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图彖向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+l)2+\的图象.这两个函数图象之I'可具有“形状相同，位置不同''的特点.类似地，还可以通过画函数歹=一3异，y=-3(x-l)2+l的图象，研究它们图彖之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+h)2+k(a/0)^ta决定了二次函数图象的开口大小及方向；力决定了二次函数图象的左右平移，而且％正左移，力负右移”；R决定了二次函数图象的上下平移，而且他正上移，&负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=a^+bx+c(a^)^］图彖的方法：由于y=ax1+bx+c=+—x)+c=a(x1+—x+—7)+c———aa4d~4azb二b2-4ac=a(x+—)2+—-——，2a4a所以，y=a^+bx+c(a/0)的图象可以看作是将函数的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数>=/+加+火/0)具有下列性质：(1)当宀时’函数~+十图象开口向上；顶点坐标为(士畔)，对称轴为直线一冷当xV-f■时，y随着兀的增大而减小；当兀>-上时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值丿=2a2a2a4ac-方$~4^-•(2)当aVO时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为(——,°),对称轴为直线x=-—；2a4a2a当x<-^-时，y随着兀的增大而增大；当兀>-上时，y随着兀的增大而减小；当x=-^-时，函数取最大值y=2ci2a2a4ac-b24a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2・2—4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1求二次函数y=-3x2-6x+1图彖的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指岀当兀取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.解：-3x1~6x+1=-3(x+1)2+4,・••函数图象的开口向下；对称轴是直线x=-l：顶点坐标为(一1,4)；\n当x=—1时，函数y取最大值y=4；\n当xV—l时，y随着x的增大而增大；当兀>一1时，y随着兀的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(—l,4)),与x轴交于点B(2^~3,0)和C(—"+3,0),与y轴的交点为D(0,1)，过这五点画岀图彖(如图2-5所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图彖，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图彖更精确.例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价兀(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日销售量)，是销售价兀的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量N(销售价兀一120),日销售量y又是销售价兀的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设y=kx+(B)将兀=130,y=70；兀=150,y=50代入方程，有j70=130k+b,[50=150/:+/?,解得k=T,/?=200.・°・y=—兀+200.设每天的利润为z(元)，则z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600,・・.当兀=160时,z取最大值1600.答:当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.例3把二次函数y=jc+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数的图像，求/力c的值.解法一：y=x1+bx+c=^-)2+C-—,把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到24『=(兀+彳+4丫+c—冷+2的图像，也就是函数)=<的图像，所以，“解得b=—&c=14・i。，\n解法二：把二次函数y=/+加+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数，=/的图像，等价于把二次函数y=x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=x2+bx+c的图像.由于把二次函数的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数尸（x—轩+2的图像，即为y=x2—8x+14的图像，.••函数y=x2—8x+14与函数y=j?+bx+c表示同一个函数，:小=一8,c=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律來解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大;而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法來解决问题.例4己知函数y=x2,-2'=2（x—1）2+2是将函数y=2.（A）向左平移1个单位、（B）向右平移2个单位、（C）向下平移2个单位、（D）向上平移2个单位、再向上平移2个单位得到的再向上平移1个单位得到的再向右平移1个单位得到的再向右平移1个单位得到的填空题（1）二次函数y=2x-mx-\-n图象的顶点坐标为（1,一2）,则加=,n=.（2）已矢口二次函数y=/+（加一2）兀一2加，当〃?=时，函数图彖的顶点在y轴上；当加=时，函数图象的顶点在兀轴上；当加=时，函数图象经过原点.（3）函数y=-3U+2）2+5的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标为:当x=时，函数取最值）=；当x时，y随着兀的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及），•随兀的变化情况，并画出其图象.\n（1）y=x2—2x—3；（2）y=1+6x~x2.3.己知函数），=—2尤+3,当自变量a•在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最（小）值时所对应的自变暈x的值:(1)x<~2；(2)x<2；(3)一2乂1；(4)00时，抛物线y=ax2+bx+c(a/O)^x轴有两个交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a^0)^x轴有两个交点，则A>0也成立.(2)当A=0时，抛物线y=ax2+bx+c(a^)^x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(aHO)与x轴有一个交点，则A=0也成立.(3)当AVO时，抛物线y=ax2+bx+c(a^)^x轴没有交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a/0)^x轴没有交点，则AVO也成立.于是，若抛物线y=ax1+hx+c(a^O)^x轴有两个交点A(xP0),B(x2,0),贝ljx\,x2是方程a^+bx+c=0的两根，所以hcX\+X2=，兀1兀2=—，aa“b.c即一=—(XjIX2)y—=无1也・aabc所以，y=aj?~^rbx-\-c=x~H—xH—)aa=+x2)x+x\X2\=d(x—Xi)(X—X2).rti上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y=ax2+bx+c(a^0)^x轴交于A(xif0),〃(也，0)两点，则其函数关系式可以表示为y=a(x—x{)(x—x2)(的)・这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：2.交点式：y=a(x—xi)(x—x2)(«^0),其中曲，勺是二次函数图象与兀轴交点的横坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题冃所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.\n例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+\±,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.分析：在解本例时，要充分利用题目屮所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图彖过定点来求解出系数a・解：・・•二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，・••顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+l上，所以，2=x+l,*.x=1.・：顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为y=“(兀-2尸+1(匕vO),・・•二次函数的图像经过点(3,-1),.\-1=67(3-2)2+1,解得a=—2.・・・二次函数的解析式为y=-2(x-2)2+l,即^=-Zr2+8x-7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题.例2已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到兀轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图彖与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一：•・•二次函数的图彖过点(一3,0),(1,0),・••可设二次函数为y=a(x+3)(x~\)佑0),展开，得卩=衣+20¥—3a,一12；-4tz2顶点的纵坐标为=-4g,4a由于二次函数图象的顶点到兀轴的距离2,.•J—4a|=2,即a=±—.213I3所以，二次函数的表达式为y=—X2+%-—,或y=——x2-X+—.2222分析二：由于二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),所以，对称轴为直线兀=—1,又由顶点到兀轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(一3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.解法二：•・•二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),・•・对称轴为直线x=-\.又顶点到兀轴的距离为2,・••顶点的纵坐标为2,或一2.于是可设二次函数为y=a(x+\)2+2f或尸心+1)?—2,由于函数图象过点(1,0),・・・0=a(l+1尸+2,或0=。(1+1)2—2.1122所以，所求的二次函数为—y(x+1)2+2,或(x+1)2—2.说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.例3已知二次函数的图象过点(一1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.解：设该二次函数为y=ax2+bx+c(a^O).由函数图象过点(一1,-22),(0,-8),(2,8),可得-22=a-b+c,\n<—8=c,7=4。+2b+c,解得a=—2,/?=12,c=—8.所以，所求的二次函数为y=-2x2+12x-8.通过上面的儿道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式來求二次函数的表达式？练习1.选择题:\n()(D)无法确定()(1)函数y=-x2+x一1图象与兀轴的交点个数是(A)0个(B)1个(C)2个(2)函数y=~2U+l)2+2的顶点坐标是(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)2.填空：(1)己知二次函数的图象经过与x轴交于点(一1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=d(亦0)・(2)二次函数『=—7+2萌x+1的函数图象与兀轴两交点之间的距离为•3.根据下列条件，求二次函数的解析式.(1)图彖经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；(2)当x=3吋，函数有最小值5,且经过点(1,11)；(3)函数图象与兀轴交于两点(1一返，0)和(1+応，0),并与y轴交于(0,-2).2.2.3二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1-平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移吋，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变英形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.例1求把二次函数y=/一4兀+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；(2)向上平移3个单位，向左平移2个单位.分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图彖的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式.解：二次函数4兀一3的解析式可变为)，=2(兀一1)2—1,其顶点坐标为(1,一1)・(1)把函数y=2(兀一I)?—1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图彖的顶点坐标是(3,-2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(兀_3)'_2.(2)把函数y=2(x-l)2-l的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(一1,2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为)，=2(兀+1)2+2.2.对称变换问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图彖平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换吋，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向來解决问题.\nV图2.2-7例2求把二次函数y=2r-4x+l的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：(1)直线x=~\；(2)直线y=l.解：(1)如图2.2-7,把二次函数)=2『一4无+1的图象关于直线兀=—1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状.由于y=2^~4x+1=2(x—I)2—1,可知，函数y=2x2—4x+l图彖的顶点为A(1-1),所以，对称后所得到图象的顶点为A|(-3,1),\n所以，二次函数丿=2?—4兀+1的图象关于直线x=—l对称后所得到图象的函数解析式为y=2（x+3）2—1,即y=2?+12x4-17.（2）如图2.2—8,把二次函数y=2?—4x+l的图象关于直线兀=—1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状.由于y=2^~4x+1=2（x—l）2—1,可知，函数y=2^~4x+\图象的顶点为A（l,—1）,所以，对称后所得到图象的顶点为B（l,3）,且开口向下，所以，二次函数》，=Zx2-4x+1的图象关于直线）对称后所得到图象的函数解析式为2（兀—1尸+3,即y=-2x2+4x+l.二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范闱内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数.例3在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg（0＜疋100）的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象.分析：由于当白变量兀在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的.所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式.在解题吋，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜疋40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）.解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是尤的函数.这个函数的解析式为80,xg(0,20]160xg(20,40]y=J240,xg940,80]320xg(60,80]400,x6(80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2.2—9所示.:K分)」400.-320.-20….如…60…80…10S」加克»」图2.2-9o'240160.-80.例4如图9-2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P,从点A岀发沿折线ABCD移动一周后，冋到A点.设点4移动的路程为x,EC的面积为y.（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围.分析：要对点P所在的位置进行分类讨论.解：（1）①当点P在线段上移动（如图2.2-10①），即0V疋2吋，即23时，y>0,即/・兀・6>0；当・23；一元二次不等式%2-X・6V0的解是・20(6/#0)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y=ajc+bx+c{a^的图彖来解一元二次不等式cuc+bx+c>0(^0).为了方便起见，我们先來研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解.我们知道，对于一元二次方程ajc2+bx+c=0(a>0)f设厶=产一4处，它的解的情形按照△>(),△二()，△<()分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y=cix2+hx+c(6/>0)与兀轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3-2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式a^+bx+cX)(6t>0)与cvc2+bx+c<0(a>0)的解.(1)当△>()时，抛物线y=ax+bx+c(^>0)与x轴有两个公共点(兀i,())和(七，0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根Q和x2(xi0的解为X兀2；不等式ax'+bx+c^的解为Xi<兀<兀2・(2)当4=0吋，抛物线y=ax2+bx+c(a>Q)与x轴有且仅有一个公共点，方程cur+bx+c=0有两个相等的实数根匕=兀2=—导，由图2.3—2②可知不等式ax+bx+c>0的解为仔_2°；不等式ajC+bx+c<0无解.(3)如果△<(),抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与兀轴没有公共点，方程a^+bx+c=0没有实数根，由图2.3-2③可知不等式av+bx+c>0的解为一切实数；不等式tzx2+Z?x+c<0无解.今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以一1,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式.例3解不等式：\n(1)?+2x-3<0；(1)4?+4x+l>0；(5)-4+x-x2<0.(2)x—x2+6<0；(2)x2—6x+9<0；解：(1)VA>0,方程x2+2x-3=0的解是X\——3,兀2=1・・・・不等式的解为_3逅1.(2)整理，得X2—X—6>0.VA>0,方程X2—X—6=0的解为X\——2,兀2=3..・.所以，原不等式的解为x<-2,或x<3.(3)整理，得(2x+l)2>0.由于上式对任意实数x都成立，原不等式的解为一切实数・(4)整理，得(%・3)2<0.由于当x=3时，(x・3)—0成立；而对任意的实数x,(%・3)2v0都不成立，.••原不等式的解为(5)整理，得A<0,所以，原不等式的解为一切实数.\n例4已知不等式似2+加+c<0（GH0）的解是兀v2,或兀>3求不等式bjc+0x^-00的解.解：由不等式ax2-{-bx+c<0（6f0）的解为兀<2,或x>3,可知avO,且方程ax2+bx+c=0的两根分别为2和3,由于。<0,所以不等式bjc+ax+o0可变为—x2+%+—<0,aa即整理，得5兀~—x—6>0,所以，不等式bx^+cix—o0的解是x<—1,或兀>§.说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题•例5解关于兀的一元二次不等式++祇+1>0（。为实数）.分析对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解，要讨论根的判別式△的符号，而这里的A是关于未知系数的代数式，A的符号取决于未知系数的取值范围，因此，再根据解题的需要，对A的符号进行分类讨论.解：A=—4,①当△>0,即dv-2或a>2时，方程？+q+1=0的解是22②当△=（）,即。=±2时，原不等式的解为③当A<0,即-2vgv2I]寸,原不等式的解为一切实数.综上，当«<-2,或必2时，原不等式的解是当-2<«l时，由图2.3・3③可知,当兀=1时，该函数取最小值n=-2a+2.综上，函数的最小值为23方程与不等式1.(1)(2)是方程的组解;2.(1)(3)西=15,J=20,f54尸一亍亍；(2)—3<¥<4；(3)x<—4,或x>1:(4)不等式可以变为(兀+1+d)(x+1-t/)<0,(1)当一1—c/V—1+d,即d>0时，—1~a—1+af即qVO时，/.—1+^0时，当a=0时，当gVO时，原不等式的解为一1~a1时，原不等式的解为l0就为一4F+6x+4N0,即2x2—3x—2<0f2,即m>4吋，k=2m~2.2,m<0,tn~:.k=\——+2,04.\n3.1相似形3.1.1,平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线S(如图3.1-1),直线a交/p/2,/3于点A,5C,AB=2,BC=3,另作直线b交41AR9也丄于点船歹C，不难发现器二器养我们将这个结论--般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2,IJIlJg有但二些.当然，也可Ofc1—=—.4运用该1-BCEFACDF定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应"线段成比例.例1如图3.1-2,IJWH.AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF・解QM//供普|7QQ17DE=——DF=-,EF=——DF=—.2+352+35例2在ABC屮，0E为边A5AC上的点，DE//BC.求证:AD_AE_DE~AB~~AC~~BC证明(1)DEHBC.:.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB.ADEsABC,AD_AE_DE~AB~~AC~~BC证明(2)如图3.1-3,过A作直线IHBC,IIIDEHBC..AD_AEAB~AC'图3.1-3过E作EF//AB交AB于D,得BDEF,因而DE=BF.\nEFIIAB;AEBFDE~AC~~BC~~BCADAEDE~AB~~AC~~BC从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3己知ABC,D在AC上，AD:DC=2A,能否在AB上找到一点E,使得线段EC的中点在BD上.解假设能找到，如图3.1-4,设EC交BD于F,则F为EC的中点，作EGIIAC交BD于G.EG//AC,EF=FC,EGF=CDF,H.EG=DC,BAD,HBE~BA~EG~AD.・.E为AB的中点.可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之,无解或矛盾则不存在.例4在VABC中，AD为DB4C的平分线，求证:AB_BD~AC~DC证明过C作CE//AD,交BA延长线于E,QAD〃CEFBD~DCQAD平分藐AC,1BAD2DAC,由AD!ICE知？BAD彳正，DAC=?ACE,\?E?ACE,BPAEAC,、AB_BD~AC~~DC'例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11.如图3.1-6,ABC于D・求证：（1）AB2=BD1BC,AC2=CD2CB；（2）AD2=BD1CD证明（1）在RtNBAC与R2BDA中，?B2B,\VBACsV则，\鈴=鈴即同理可证得AC2=CD2CB.(2)在RZABD与心VCAD中，？C90=?CAD2BAD,\RZABDsrzcAD,\—=—,E|UO2=BD1DC.BDAD我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7在VABC中,AD'BC于D,DE八AB于E,DF八AC于F,求证：AE7ABAF2AC.证明QA2B、,\VADB为直角三角形，又DERAB,由射影定理，知AD2=AE1AB.同理可得AD2=AF7AC.\AE?ABAF2AC・图3.1・13例8如图3.1-14,在VABC中，D为边BC的中点，E为iiAC上的任意一点,BE交AD于点0.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：\n图3J-14当等十占时'(1)有第号启•（如图彳皿）(2)(3)在图—时，有AC31+2ADAE1_1时，有A0AC41+3ADAE1当当AC2_5~2•(如图3.1-14b)2+22玄.（如图3+）卄时，参照上述研究结论，请你猜想用〃表示鈴的-般结论，并给出证明（其中心正整数）.解依题意可以猜迪当菩右时，有等丘成立.证明过点D作DF//BE交AC于点F,QD是BC的中点,、F是EC的中点,AEAC~1+n可知备AO_AE_2~AF~2+n想-想，图3Ed中,若等+，则卷?本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定.数学的发展史就是不断探索的历史.练习21.如图3」-15,D是VABC的边A3上的一点，过D点作DEHBC交AC于E.已知ADDB=2：3,则沁•：S四边形遊等于（）A.2:3B.4:9C.4:5D.4:21\n2.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是・3.已知：VABC的三边长分别是3,4,5,与其相似的VA'B'C1的最大边长是15,求A'BC'的面积Sv“c・4.已知：如图3.1-16,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、D4的屮点.(1)请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；(2)若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时,EFGH是菱形?是正方形？5.如图3.1J7,点C、D在线段上，VPCD是等边三角形，(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，7ACPs\jpdb2图3.1-17(2)当VACPsVPDB吋，求D4PB的度数.习题3・1A组1.如图3.1-18,VABC中，AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,贝ij()A.DE=\,BC=1B.DE=2,BC=6C.DE=3,BC=5D・DE=2,BC=82.如图3.1-19,BD、CE是VABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点,则PQ\BC等于()A.1：3B・1：4C.1：5D・1：61.如图3.1-20,\ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F,已知BE：AB=2t3,REF-4,求Sycm•\n4.如图3.1-21,在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE八AC交AC于F,过F作FG//AB交AE于G,求证：AG?=AF2FC.C1.A.如图3.1-22,己知VABC中,AE：相交于F,则—的值为（FCFD3B.1C.-22.A.3.B组EB=\：3,BD：DC=2：1,AD与CED.如图3.1-23,已知V4BC周长为1,连结VA3C三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边屮点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（12002C・220021220031115A.-B.-C.-D.34612如图3.1-24,已知M为XABCD的边AB的中点，CM交BD于点E,则图中阴影部分的面积与YABCD面积的比是（）BAS3.1-23'/W图3.1-244.如图3.1-25,梯形ABCD中，AD//BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF//AD.图3.1-25(1)求证：OE=OF；(2)七OEAK-—OE，内/十+—的值；ADBC(3)求证：11+二2ADBCEF\nA图3.1-26c组1.如图3.1-26,VABC中，P是边AB上一点，连结CP.(1)要使VACPs7ABC,还要补充的一个条件是(2)若VACPsVABC,HAP:PB=2:1,则BC:PC=・2.如图3.1-27,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且X/\\2BAC1BDC2DAE.//\\(1)求证：BE2ADCD2AE；d~I~~A(2)根据图形的特点，猜想鲁|可能等于那两条线段的比(只须、\[/写出图中已有线段的一组比即可)？并证明你的猜想.图3.1-273.如图3.1-28,在RtNABC+,AB=ACf?A90",点、D为BC上任一点，D"4B于F,DE'AC于E,M为BC的中点，试判断VMEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.4.如图3.1-29a,BD,CDABD,垂足分别为3、D,AD和BC相交于E,EFTD于F,我们可以证明挣挣吉成立.若将图3.1-296?中的垂直改为斜交,如图3.1-29ft,ABHCD,AD、BC相交于E,EF//AB交BD予F,贝山(1)丄+丄二丄还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请ABCDEF说明理由；图3.1-29\n3.1相似形练习11.D2.设BF=x,DEADx510=■=—x=—BCAB'^x+2L3即BF=—33.ABBD5”35—BD=—cm.ACDC49AB_B4.作CF//AB交AD于F,则CFDACABBD=C0,■•―•ACDC5.作EGIIAB交BC于G9ACCEDBDF•—ACAB一EG「"EG'••EFAB•又ZAFC=ZFA&Z.得EGCECEGg••矿疋即练习21.C2.12,183.J…=(12)2x6=54.4⑴因为盹期缈所以EFGH是平行四边形；⑵当胚亠时，EFGH矢菱形；当AC=BD,AC丄BD时，EFGH为正方形.5.(1)当CD2=ACBD时，PDB；(2)ZAPS=120".习题3.1A组1.B2.B3.Scdf=94.BF为直角三角形ABC斜边上的高，BF?=AF•FC,AG=BF,:.AG2=AFFC.B组1.C4.(1)（3）由2.C3.AE0AEDE°F阳cu“、OEOEAEAD//BC.:.——=——=——=——、EO=OF.(2)——+——=——BCABDCBCADBCABAB—1112ADBCOEEF\.(l)AC2=APAB或ZAWB.⑵BC:PC=y/3：y/2.\nBFAF2•⑴先证■初C,可得矿厠⑵ADEBCAB_AD~DE~~AE~~AC3.连AD交于O,连OM,ABC为等腰直角三角形，且AEDF为矩形,RtAMD斜边的中线，MEF为直角三角形•又可证BMEAM得MF=ME，故MEF为等腰直角三角形.4.(1)成立,EFEFFDBFA111、111~AB+~CD~~BD^~BD~"~AB+~CD~~EFA2~SEIiD证略.3.2三角形3.2.1三角形的“四心”三角形是最重要的基木平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1，在三角形VABC中，有三条边AB,BC,CA，三个角行1,B,?C,三个顶点A,B,C,在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为厶D、E、F分别为VABC三边BC、CA、AB的中点，AD.BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.连结DE,设AD、BE交于点G,QD.E分别为BC、AE的中点，则DE//AB,^DE=-AB,2\7GDEs\fGAB,且相似比为1：2,图3.2-4\AG=2GD,BG=2GE.\n设AD、CF交于点G,同理可得，AG‘二2G*D,CG-2GF则G与&重合，\AD.BE、CF交于一点,口都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等・（如图325）例2已知VABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c,I为VABC的内心，JLI在V43C的边BC、AC.A3上的射影分别为D、E、F,求证：AE=AF=b+C~a・2证明作VABC的内切圆，则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点，QAE,AF为圆的从同一点作的两条切线，\AE=AF,同理，BD=BF,CD=CE.\b+c-a=AF+BF+AE+CE・BD・CD=AF+AE=2AF=2AE即—牛例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知0为三角形ABC的重心和内心.求证三角形ABC为等边三角形.证明如图，连40并延长交BC于D图3.2-6、AB_BD~AC~~DC（角平分线性质定理）图3.2-7Q0为三角形的内心，故AD平分DBAC,Q0为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.AR\——=1,即AB=AC,AC同理可得，AB=BC.\VABC为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）\n例4求证：三角形的三条高交于一点.已知VABC中，AD^BC于DBEAACTE,AD与BE交于H点.求证CMA..证明以CH为肓径作圆，QAD^EC,BE^AC,\2HDC1HEC90",\D、E在以CH为直径的圆上，\?FCB?DEH.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得？BED?BAD.\?BCH?BAD,又VABD与VCBF有公共角EB,\?CFB?ADB90",即CH八AB.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心•三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2.(1)若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为a、b、c,则三角形的内切圆的半径是；(2)若直角三角形的三边长分别为么b、c(其中c为斜边长)，则三角形的内切圆的半径是・并请说明理由.3.2.2几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一•因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心/、重心G、垂心H必然在一条直线上.\n连1A,IB,IC,即2屁护•呜心+扫「图3.2-10图3.2-11图3.2-12图3.2-13AD.例5在ABC中，AB=AC=^BC=2.求(1)ABC的面积SABC及AC边上的高BE；(2)ABC的内切圆的半径厂；(3)ABC的外接圆的半径R.解(1)如图，作AD丄BC于D.AB=ACy:.D为BC的中点，・•・AD=4AB--BD1=2^2,Sabc=丄x2x2^2=2>/2.乂s=-AC•BE,mBE=・(2)如图，/为内心，则/到三边的距离均为厂,解得峠(1)ABC是等腰三角形,・•・外心0在AD上，连BO,则RtOBD屮，OD=AD—R,OB2=BD2-}-OD\.・.R2=（2>/2一R）2+解得R=座.8在直角三角形ABC中，D4为直角，垂心为直角顶点A,外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为"+_°(其中a,b,c2分别为三角形的三边BC.CAAB的长)，为什么？该直角三角形的三边长满足勾股定理：AC2+AB2=BC2.例6如图，在VABC中，AB=AC,P为BC上任意一点.求证:AP2=AB2-PB3PC.图3.2-14\n证明：过A作AZ)ABC于D.在RZABD屮，AD2二AB2・BD2.在RtNAPD中，AP2=AD2-DP2.\AP2=AB2-BD1+DP2=AB2-(BD+DP)(BD・DP).QAB=AC.AD^BCSBD=DC.\BD・DP=CD-DP=PC.AaMAbA\AP2=PB1PC.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7已知等边三角形ABC和点P,设点P到三边AB,AC,BC的距离分别为图3.2-15,二角形ABC的咼为力,“若点P在一边BC上,此时囤=0,可得结论：％+包+宓=力.”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P在VABC内（如图b）,（2）点在VABC外（如图c）,这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，氐饨池与力之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解（1）当点P在VABC内时，法一如图，过P作歹。分别交AB,AM,AC于3；AT,C,由题设知AM'=PD+PE,而AM'=AM・PF,故PD+PE+PF二AM,即/片+心+包=法二如图，连结,Q他~S^pab+S、pm+S、pBc\n\丄BC1AM-AB?PD-AC?PE-BC2PF,2222又AB=BC=AC,A\AM=PD+PE+PF,（2）当点P在VABC外如图位置时，九+冋+闵二〃不成立,猜想：说+心-饨=h・注意：当点P在VABC外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如爲+尽=h,人.h.-%=h（如图3.2-18,想一想为什么？）等.在解决上述问题吋，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二"中灵活地运用了面积的方法.练习21.直角三角形的三边长为3,4,兀,则兀=・2.等腰三角形有两个内角的和是100°,则它的顶角的大小是•3.满足下列条件的VABC,不是直角三角形的是（）A.b2=a2-c2B・？C?A?BC.彳站：B:?C3:4:5D.a:b\c=12:13:54.已知直角三角形的周长为3+巧，斜边上的中线的长为1,求这个三角形的面积.5•证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题3.2A组1.已知：在ABC中，AB=AC,ZBAC=12O\AD为BC边上的高，则下列结论中，正确的是()A.AD=—ABB.AD=-ABC.AD=BDD.AD=—BD2222.三角形三边长分别是6、8、10,那么它最短边上的高为（）\nA.6B.4.5C・2.4D.81.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于・2.已矢II：a,b,c是ABC的三条边，tz=7,Z?=10,那么c的取值范围是。3.若三角形的三边长分别为1、d、8,且Q是整数，则Q的值是1.如图3.2-19,等边ABC的周长为12,CQ是边A3上的中线,E是延长线上一点，且BD二BE,贝UCDE的周长为（）A.6+4巧B.18+12命C.6+2巧D・1X+4巧2.如图3.2-20,在ABC中，ZC=ZABC=2ZA,3D是边AC上的高，求ZDBC的度数。\n3.如图3.2-21,RtABC,ZC=9Q(\M是4B的中点，AM=AN,MN//AC,求证:MN=AC。4.如图3.2-22，在ABC中，AD平分ABAC,AB+BD=AC.求的图3.2-22值。\n5.如图3.2-23,在正方形ABCD中，F为DC的中点,EC=-BC,求证：3EFA90".4图3.2-231.已矢flk>lyb=2k,a^c=2k2,ac=k4-1,则以a、Zxc为边的三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C・直角三角形D.形状无法确定2.如图3.2-24,把ABC纸片沿DE折叠，当点人落在四边形BCDE内部时，则厶与Z1+Z2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2C・3ZA=Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)图3.2-253.如图3.2-25,已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD,求证：?C90\4.如图3.2-26,在等腰心ABC中ZC=90",D是斜边AB上任一点，AE丄CD于E,BF丄CD交CD的延长线于F,CH丄AB于H,交AE于G.求证:BD二CG.3.2三角形练习1(2)2S1.证略2.(1)a+b+c练习2\n1.5或"2.20"或80“3.C4.设两直角边长为a,b,斜边长为2,贝ija+b=l+胎，且tz2+Z?2=4,解得ab=£,:,S=-ab=2^.5.可利用面积证.2习题3.2A组1.B2.D3.120"4.3c,可得a=k2-}-l,c=k2-l,a2=b2+c2,为直角三角形.2.B3.在AB±取E使BE=BC，贝ijBC©3,且AE=ED=DC,ZC=ABED=2ZA=ZA+ZB=180"-ZC,.\ZC=90".4.先证明ACE兰CBFt得CE二BF,再证CGEmBDF,得BD=CG.3.33.3.1直线与的位置关系设有肓线/和圆心为0且半径为厂的圆，怎样判断宜线/和圆0的位置关系?图3.3-1图3.3-2观察图3.3-1,不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d>r时，直线和圆相离，如圆0与直线厶；当圆心到直线的距离d二厂时，直线和圆\n相切，如圆0与直线厶；当圆心到直线的距离dv厂时，直线和圆相交，如圆0与直线/3・在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B若直线经过圆心，则AB为直径;若直线不经过圆心，如图3.3-2,连结圆心0和弦的中点M的线段垂直于这条弦AB.且在RtNOMA中，OA为圆的半径厂，OM为圆心到直线的距离d,为弦长AB的一半，根据勾股定理，有2»2/AB、，厂・d（vr・当直线与圆相切时，如图3.3-3,为圆0的切线，可得PA=PB,OA丄PA.,且在川POA中，PO2=PA2+OA2.如图3.3-4,PT为圆0的切线，为圆0的割线，我们可以证得秤年rPTB,因而PT2=PAPB.例1如图3.3-5,已知OO的半径OB=5cm,弦AB=6cm,£＞是AB的中点，求弦BD的长度。解连结OD,交AB于点E。=是圆心,/.OD丄B,BE=AE=丄AB=3cm在RtBOE中，OB=5cm,BE=3cm,OE=VOB2-BE2=4%OD=5cm,:.DE=lcm.在RtBDE中，BE=3cm,DE二1cm,BD=\fiOctn.例2已知圆的两条平行弦的长度分别为6和2&,且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.解设圆的半径为”分两种情况（如图3.3-6）：（1）若0在两条平行线的外侧，图3.3-6如图（1）,AB=6,CD=2^6,则由OM-ON=3,得、/厂2.9・d24=3,解得厂二5.（2）若0在两条平行线的内侧（含线上），AB=6,CD=2y/6,则由OM七ON=3,得7r2-9+Vr2-24=3,无解.\n综合得，圆的半径为5.设圆q与圆@半径分别为R,心>r),它们可能有哪几种位置关系?交点，试求两圆的公共弦初的长度.8解得兀=观察图3.3-7,两圆的圆心距为qq，不难发现：当O.O2=R-r时，两圆相内切，如图(1)；当O.O2=R+r时，两圆相外切，如图(2)；当qO2/133cm.13132.AB=120cm.3.先证ZBAO=ZEAC，再证ZOAD=ZDAE.4.先证明ZAEC=ZACE=75°,再证AE=BF=AC=CD.5.有2个，图略.4q+5,a<一2,n—-11—g~,—21.练习1.解下列不等式：(1)3x2•兀・4>0；(3)?+3x・4>0;(2)x2-x・1200；(4)16・8x+x2<0.2.解关于兀的不等式x2+2x+1—a2<0（a为常数）.习题2・3A组1.解下列方程组：X2|才―y=1,兀_y_2=0;x2+/=4,x2-b=2.(3)(2)](5+宀9,[x+2y=0;2.解下列不等式：(1)3?-2x+l<0；(2)3x2~4<0；(4)4-x2<0・(3)2x-?>-1；1.加取什么值时，方程组[y2=4兀\n[y=2x+m有一个实数解?并求出这时方程组的解.1.解关于兀的不等式（l+a）x+a<0（a为常数）.C组1.已知关于x不等式2jc+hx-c>0的解为x<-l,或兀>3.试解关于兀的不等式/?x2+cx+4>0.2.试求关于x的函数y=—?+加+2在03W2上的最大值k.\n第五部分衔接知识点的专题强化训练★专题一数与式的运算【要点回顾】1.绝对值[1]绝对值的代数意义：.即IQ1=-[2]绝对值的几何意义：的距离.[3]两个数的差的绝对值的几何意义：0-刈表示的距离.[4]两个绝对值不等式：|x|va(d>0)o；|x|>a(a>0)<=>・2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：;[3]完全平方差公式：.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1](a+b+c)2=[公式2]=/+2(立方和公式)[公式3]=亍-戾(立方差公式)说明：上述公式均称为“乘法公式”.3.根式[1]式子丽@no)叫做二次根式，其性质如下：(1)(>Az)2=；(2)=；(3)yfab=；(4)[2]平方根与算术平方根的概念：叫做d的平方根，记作\nX=±V^(6Z>O),其中(a>Q)叫做。的算术平方根.\n[2]立方根的概念：叫做a的立方根，记为x=\fa1.分式AA[1]分式的意义形如一的式子，若〃屮含有字母，且BH0,则称一为分式.当JMOBBA时，分式一具有下列性质：（1）；（2）BAA[2]繁分式当分式一的分子、分母中至少有一个是分式时，一就叫做繁分式，如BBm+n+p2m'n+p说明：繁分式的化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1解下列不等式:（1）|%-2|<1（2）卜一1|+卜一3|>4.例2计算:111?(2)(―m——〃)(一m+1iomn+—n2)4(3)(a+2)(a—2)3+4/+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)25225\n例3已知x2-3x=1=0,求的值.\n例4已知d+b+C=O,求^(-+的值.bccaab计算（没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数）:零_2+V3_设2匚厅八2+巧化简：（1）X\^xx+ox2-l(2)X\-xx+rX——X)X(1-X)•Xx+———(x+l)(x_l)解法二7(1-x)2+7(2-x)2(x>1)(4)x3(2)x2+3x+96xx-\+9x-x2_6+2xx2-27XX—兀+1法X~~22x+x-xX兀+1兀(兀+1)兀+1原式二——兀+1(X—)•XX)(l-x)-xXx(l-x)X+2[X~1X—X+1x(x+1)x+1无？+X-X\nx2+3x+96xx-\16x-\«i(兀一3)(/+3兀+9)x(9-x2)2(3+x)x-3(兀+3)(x—3)2(x-3)2(x+3)—12—(x—l)(兀一3)_—(兀—3)2_3—x2(兀+3)(x—3)~2(x+3)(x-3)~2(x+3)说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式.【巩固练习】1.解不等式X+3+X-2<72.设无=]1a/3-2，>_V3+2求代数式"+小+厂的值.,2»23.当3—求的值.baab4.设宀，求"2—的值.1.计算(x+y+z)(-x+y+z)(x—y+z)(x+y-z)2.化简或计算:(1)(a/18-4+1亦+2\nx\fx+Xyfyx+y/xy+yxy-y2x長一y^[y（丽a>Jab+b★专题二因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多，除了初屮课本涉及到的提収公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.1.公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：;[3]完全平方差公式：.[4]（d+方+C）2=[5]/+b3=（立方和公式）⑹戾=（立方差公式）由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过來写，运用上述公式可以进行因式分解.2.分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如tnci^mb+na^nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此可以先将多项式分组处理.这种利用分组來因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3.十字相乘法(1)x24-(p+(/)x+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.*/x2+(p+q)x+pq=x24-px-\-qx-\-pq=x(x++g(兀+/?)=(%+〃)(兀+q),x2+(/?+今)兀+pq=(x+p)(x+q)\n运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.(1)一般二次三项式cve^bx^c型的因式分解由a^a^jc+(坷(?2+029)兀+c&2=(^lA：+cl)(6f2^+c2)我们发现，二次项系数a分解成马常数项Q分解成g,把吗gee写成甞X：；,这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到如果它正好等于cue2+bx+c的一次项系数b,那么ax1^bx+c就可以分解成,其中q,C］位于上一行，色，：位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.1.其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添项法【例题选讲】例1(公式法)分解因式：(1)3咼_81決;(2)a7-ab6例2(分组分解法)分解因式：(1)ah(c2-d2)-(a2-h2)cd(2)2x2+4xy+2y2-8z2例3(十字相乘法)把下列各式因式分解：(1)x2+5x-24(2)%2-2x—15(3)x~4-xy—6y~(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12\n解：(1)—24=(—3)x8,(—3)+8=5・•・x2+5x-24=[x+(-3)](x+8)=(x-3)(x+8)(2)—15=(—5)x3,(—5)+3=—2/.x2-2x-15=fx+(-5)](x+3)=(兀一5)(兀+3)(1)分析：把x2+xy-6y2看成x的二次三项式，这时常数项是-6才，一次项系数是y,把一6尸分解成3y与一2丿的积，而3y+(-2y)=yf正好是一次项系数.解：x2+xy-6y2=x2+yx-62=(x+3y)(x-2y)(2)由换元思想，只要把F+兀整体看作一个字母可不必写出，只当作分解二次三项式解:(x2+x)2-8(x2+兀)+12=(F+无—6)(X2+兀一2)=(x+3)(x-2)(兀+2)(兀-1)例4(十字相乘法)把下列各式因式分解：(1)12x2-5x-2；(2)5x2+6A>-8y2c3—2解：(1)12x2-5x-2=(3x-2)(4%+1)4Xi12y(2)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)5^-4y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解吋，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.例5(拆项法)分解因式兀彳―3^+4【巩固练习】1.把下列各式分解因式：(2)x2-4/rvc+8mn—An2(1)ab(c2-d2)-^-cd(a2-b2)\n⑶/+64⑷八11宀31尢一21x^-4xy2-2x2y^-Sy322-己知处"訐"2求代数式crb+lcrb1+a戻的值.3.现给出三个多项式,新7请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4.已矢Ua+b+c=O,求证：o'4-tz2c+trc-abc+Z?3=0.★专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1.一元二次方程的根的判断式一元二次方程加+c=O(qhO),用配方法将其变形为：.由于可以用h2-4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把1T-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=O(a^O)的根的判别式，表示为：△二戸一牝^对于一元二次方程ax+bx+c=Q（日HO）,有\n[1]当△_（）时，方程有两个不相等的实数根：[2]当△_0时，方程有两个相等的实数根：[3]当A_0时，方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程OX2+/?X+C=O（＜2^0）的两个根为兀1，无2，那么:西+乞=，西七=说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是△»（）.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程#+m+q=0,若力卫是其两根，由韦达定理可知X}+xi=—pf匕・X2=q,即p=—（山+曲）,q=・X2,所以，方程x+px+q=0可化为x—（%i+%2）x+%i•^2=0,由于加，益是一元二次方程++px+q=0的两根，所以，%i,应也是一元二次方程（X1+&）x+xi•曲=0.因此有以两个数恳，卫为根的一元二次方程（二次项系数为1）是#一（&+卫）/+更•卫=0・【例题选讲】例1己知关于兀的一元二次方程3x2-2x+Z:=0,根据下列条件，分别求出k的范围:（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根.例2已知实数兀、y满足兀2一巧+2兀一歹+1=0,试求兀、y的值.例3若占，兀2是方程F+2x-2（X）7=0的两个根，试求下列各式的值:9911仃)X|~+x2~；(2)—I；(3)(X|—5)(x2—5)；(4)\—x9\»%)x2\n例4已知占，兀2是一元二次方程4圧—4尬+比+1=0的两个实数根.3(1)是否存在实数使(2x,-x2Xx,-2x2)=—㊁成立？若存在，求出R的值；若不存在,请说明理由.(2)求使乞+玉-2的值为整数的实数R的整数值.3解：(1)假设存在实数£,使(2x}-x2)(x-2x2>-成立.・・・一元二次方程4kx若f是一元二次方程o?+加+c=O(ghO)的根，则判别式△=夕一4心、和完全平方式M=(2m+疔的关系是()-4kx+k+\=0的两个实数根，・・・\4k^QnkvO,△=(_4灯2一4.4心+1)=-16£»0又召,兀2是一元二次方程4尬2_4也+£+1=0的两个实数根,R+14k\n£+939(2召一兀2)(西-2x2)=2(xt2+^22)-5^=2(若+x2)2_9%!兀2=莎=-~=>^=-・・・不存在实数R,使(2xl-x2)(x{-2x2)=~成立.(2)•・・玉+理_2=尢「+召__2=(召+心)「_4=4=—X2XjXtX2k+\E+l•••要使其值是整数，只需£+1能被4整除，故£+1二±1，±2，±4,注意到Zr<0,要使兰L+鱼_2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.x2X]【巩固练习】1.若西宀是方程2无2—6兀+3二0的两个根，则丄+丄的值为(-x,兀2、1C.—2A.2B.—29D.-2A.A=A/B.A>A/C.A0)交于人B两点,且点4的横坐标为4・2x(1)求k的值；k(2)过原点0的另一•条直线/交双曲线y=-(k>0)于P,0两点(P点在第一象限)，x若由点P为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.★专题五二次函数【要点回顾】\n1.二次函数y=a^+bx+c的图像和性质问题［1］函数尸豪与尸彳的图象之间存在怎样的关系?问题［2］函数y=a^x+H）2+k与尸曰，的图象之间存在怎样的关系?由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=^+bx+c{^）的图象的方法：bbb2由于y=ax+bx+c=+—X）+c=a{x+—X+——-）+c—aa4a~伫=d（x+_L）2+_L二羊竺，所以，尸/+m+c@HO）的图彖可以看作是将函数4a2a4a的图彖作左右平移、上下平移得到的，二次函数y=a^+bx+c@HO）具有下列性质：［1］当日＞0时，函数y=ax+bx+c图象开口方向；顶点坐标为,对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而:当时，函数取最小值.［2］当臼＜0吋，函数y=ax+bx+c图象开口方向；顶点坐标为,对称轴为直线;当时，y随着/的增大而;当时，y随着丸的增大而—;当时，函数取最大值•\nAyh4ac-Zr2a'4abx=———2abx=———2ab4ac-b\心？飞厂）上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.2.二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式:（1）._般式：（2）.顶点式：（3）.交点式：说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点（%,,0）.（花，0）时可利用交点式来求.3.分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数.【例题选讲】例1求二次函数y=—3/—6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当/取何值时，F随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价/（元）与产品的日销售量y（件）Z间关系如下表所示:X/元130150165y/件705035若口销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？\n例3已知函数y=x2,-2<^<«,其中6/>-2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.例4根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线上，并且图象经过点(3,—1);(2)己知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到/轴的距离等于2；(3)已知二次函数的图象过点(一1,-22),(0,-8),(2,8).例5在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封昭(OC/WIOO)的信应付多少邮资(单位：分)？写11!函数表达式，作出函数图象.分析：由于当自变量才在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的.所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式.在解题时，需要注意的是，当x在各个小范阖内(如20V/W40)变化时，它所对应的函数值(邮资)并不变化(都是160分).解：设每封信的邮资为y(单位：分)，则y是/的函数.这个函数的解析式为80,xe(0,20|160xe(20,40]y=<240,xg(40,60]320xg(60,80]400,xg(80,100]H分）'400-320・240-160・o80—e020406080100丫（克）由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示.【巩固练习】1.选择题：(1)把函数y=—(/—1)"+4的图象的顶点坐标是\n(A)(-1,4)(B)(-1,-4)(1)函数y=-Z+4%+6的最值情况是(A)有最大值6(C)有最大值10(2)函数y=2#+4x—5中，当一3Wx<2时，(A)—3WyWl(C)—7WyWll2.填空：(1)已知某二次函数的图象与x轴交于J(-2,次函数的表达式为•(2)已知某二次函数的图象过点(一1,0),为.(C)(1,-4)(D)(1,4)()(B)有最小值6(D)有最大值2则y值的取值范围是()(B)—7WyWl(D)—7WyVll0),B(\,0),且过点C(2,4),则该二(0,3),(1,4),则该函数的表达式1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1),B(1,0),C(-1,2)；(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1)；(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0),(5,0),且与y轴交于点(0,-3)；(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与无轴两交点间的距离为4.2.如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边|韦|出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡.已知墙的反度为6n),问怎样围才能使得该矩形面积最大?3.如图所示，在边长为2的正方形力饥力的边上有一个动点"，从点出发沿折线力傥刀移动一周后，回到力点.设点力移动的路程为从'PAC的面积为y.(1)求函数y的解析式；(2)画出函数y的图像；DC(3)求函数y的取值范围.\n★专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1.二次函数y-a）c-vbx+c的最值.二次函数在自变量兀取任意实数吋的最值情况（当。〉0吋，函数在x=-^-处取得最2a—h~h4-cic—b~小值，无最大值；当ovO吋，函数在x=-^-处取得最大值，无最小4a2a4a值.2.二次函数最大值或最小值的求法.第一步确定日的符号，日>0有最小值，日<0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.3.求二次函数在某一范围内的最值.如：y=ax2-\-bx+c^.m0时求最小值或av0时求最大值，需分三种情况讨论：①对称轴小于m即x0n,即对称轴在m0时求最大值或。<0时求最小值，需分两种情况讨论：m+n①对称轴x（）<,即对称轴在m七上，即对称轴在m0吋，求函数y=-x(2-x)的取值范围.例4当V时,求函数厲宀-|的最小值(其中(为常数).分析：rti于兀所给的范圉随着r的变化而变化，所以需要比佼对称轴与其范围的相对位置.1°5解：函数y=-X2-X一一的对称轴为X=\.画出其草图.22(1)当对称轴在所给范围左侧.即/>1时：当X=t时，血=『一/-*；(2)当对称轴在所给范围之间.即UlG+lnOGSl时：当x=l时，⑶当对称轴在所给范围右侧.即/+1<1=>/<0时：当x=t+\时，19519ymin=-(^D2-(^l)--=-r2-3.\n-r2-3,r<02综上所述：y=<-3,00（或vO）与二次函数y=cvC+Zzx+c（d工0）及一元二次方程c^+bx+c=0的关系（简称：三个二次）.（i）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：（1）将二次项系数先化为正数；（2）观测相应的二次函数图象.①如果图象与x轴有两个交点（西,0），（花,0）,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根西,勺（也可由根的判别式4〉0来判断）.则②如果图象与兀轴只有一个交点（-—,0）,此时対应的一元二次方程有两个相等的实2a数根xv=x2=-—（tk可由根的判别式△=（）来判断）.贝归2d+&1；+£>0°③如果图彖与兀轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式△<0來判断）.贝ij：+fa;+£>0<=>+te+c<0(a>(9Q(ii)解一元二次不等式的步骤是:(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根西,£•那么“>0”型的解为兀v石或r>兀2(俗称两根之外)；“<0”型的解为x,b的形式.[1]当。〉0时，不等式的解为：%>-；a[2]当ovO时，不等式的解为：%<-；a[3]当a=0时，不等式化为：O・x>b；①若b>0,则不等式的解是全体实数；②若b<0f则不等式无解.【例题选讲】例1解下列不等式：(1)x2+x-6>0(2)(x-l)(x+2)>(兀一2)(2x+1)fx+3<0⑴解法一：原不等式可以化为：(x+3)心2),于是：\或[x-2<0[x+3>0fx<-3rf%>-3„亠<或彳=>x<—3或x>2所以，原不等式的解是xv—3或x>2.[x-2>0[x<2[x>2解法二：解相应的方程x2+x-6=0得：舛=—3,兀2=2,所以原不等式的解是x<一3或x>2.(2)解法一：原不等式可化为：—F+4XW0,即+—4兀20=>班兀—4)»0于是：\n或1"'°n兀<0或r\4,所以原不等式的解是x<0^x>4.[x-4<0[x-4>0解法二：原不等式可化为：—〒+4兀50,即x2-4x>0，解相应方程x2-4x=0,得^=0,^=4,所以原不等式的解是xWO或兀二4.说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断岀不等式的解.例2解下列不等式：⑴x2-2x-8<0(2)兀2_4兀+450(3)jc—x+2v0己知对于任意实数兀,kx1-2x^k恒为正数,求实数R的取值范围.(2)士今2兀一3例4解下列不等式：(1)——<0兀+1例5求关于兀的不等式rrrx+2>2mx+m的解.解：原不等式可化为：m(m-2)x>m-2(1)当m-2>0即m>2时，ntx>\t不等式的解为兀>丄；m(2)当m-2<0即加<2时，mx<1.①0丄；m③加=0时，不等式的解为全体实数.\n(3)当m-2=0即m=2时，不等式无解.综上所述：当加<0或m>2时，不等式的解为兀〉丄；当03(兀一3)2.解下列不等式:⑴二。x-\3x+l2x-l<2(3)->-1X>03.解下列不等式：(1)x2-2x>2x2+2⑵4.解关于x的不等式(m-2)x>l-m.\n2.已知关于兀的不等式机X-x+m<0的解是一切实数，求加的収值范围.6.若不等式斗2〉1+害k的解是x>3,求k的值.7.。取何值时，代数式(q+1)2+2(q—2)—2的值不小于0?•各专题参考答案•专题一数与式的运算参考答案例1(1)解法1：由x-2=0,得兀=2；①若兀〉2,不等式可变为x-21.综上所述，原不等式的解为1<兀<3・解法2：|x-2|表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式|%-2|<1的几何意义即为/轴上坐标为/的点到坐标为2的点之间的距离小于1,观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧.所以原不等式的解为l4,即-2x+4>4,解得^<0,又・"<0；②若1Wxv2,不等式可变为(x-l)-(x-3)>4,即1>4,・・・不存在满足条件的总③若兀》3,不等式可变为(兀―l)+(x—3)>4,即2兀—4>4,解得Z>4.又^3,・=>4.综上所述，原不等式的解为x<0,或x>4.解法二：如图,|x-l|表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点力之间的距离\PA\,^\PA\=1^-11；|a-3|表示/轴上点P到坐标为2的点B之间的距离I朋I，即1绚=才顷！所以，不等式|x-l|+|x-3|>4的几何意义即为|別+|阳>4.由|初|=2,f?可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点〃(坐标为4)的右侧.Q134所以原不等式的解为^<0,或%>4.例2(1)解：原式=[x~+(—兀)H—]2—(x~)2+(—■\/2x)2+(_)2+2%2(―\/2)x+2x2x—2x—x(—■\/2x)13334。厉3丄821—x—2v2xH—XXH—339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幕或升幕排列.(2)原式=(丄/7i)3-(-n)3=—521258(3)原式=(a2-4)(a4+4a2+42)=(a2)3-43=a6-64(4)原式=(x+y)2(x2-xy+y2)2=[(x-l-y)(x2—xy+y2)f=(x^+y3)2=x6+2x3y3+y6例3解：x2-3x=1=0x^Qx+—=3X1.11199原式二(x+-)(x2-1+—)=(x+-)r(x+-)-3]=3(32-3)=18XXXX例4解：a+b+c=O,.\a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b原式二d•上上+/?•bed+ca+b+cacaba{-a),b(-b)(c(-c)a2+b2+c2abc-—+beac+—aba?+/?—(a+/?)[(6Z+by—3ab\——c(c~—3ab)——+3cibc・•./+戾+疋=3口力②，把②代入①得原式二—卫竺=一3abc例5解：(1)原式二3(2-巧)(2+73)(2-73)3(2-73)22-3=6-3a/3(2)原式=|兀一1|+|兀一2|=J(兀一1)+(兀一2)=2兀一3(x>2)[(x-l)-(%-2)=l(l/2x—x\fx+2j2x—3j2x—x\[xV2x2例6解：严）~=7+4巧7_4巧nx+14—2-V32--3原式二（x+y）（x2一卩+），）=（兀+y）[（兀+y）2-3巧]=14（142-3）=2702说明：有关代数式的求值问题：（1）先化简后求值；（2）当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推儿步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量.【巩固练习】]31•-40=>A:<-；(2)4-12*=0=>Jt=-；(3)4-12A:>0=>*>-；(4)4-12Jt<0=>it<-.133例2解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：/—(y—2)x+b—y+i=o由于兀是实数，所以上述方程有实数根，因此：A=[-(^-2)]2-4(/-j+l)=-3y2>0=>y=0,代入原方程得：X2+2x+l=0=>x=—1.综上知：x=-1,=0例3解：由题意，根据根与系数的关系得：西+花=—2,西七=一2007\n(1)器+吃2=(旺+吃)2_2兀匹=(_2尸一2(-2007)=4018\n⑵⑶(4)11X］+左一22—I=———Xjx2x,x2-20072007(兀］一5)(x2一5)=兀］吃一5(Xj+召)+25=-2(X)7一5(-2)+25=-1972|x,-x21=J3—兀2)，=J("i+兀2)'_4无1兀2=J(-2)2-4(-2007)=2J200811X,+x21=-兀］x2XxX2说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：器+审二貼+召尸—：兀內，,(西一勺)？=(无1+兀2)2_4无1兀2，M_%21=J(兀I+兀2)2—4西兀2达定理体现了整体思想.【巩固练习】1.A；2.A；3./?=—l,g=—3；4.6f=3,Z?=3,c=0；5.m=1(1)当k=3时，方程为3x+l=0,有实根；(2)当£工3时，△〉()也有实根.6.(1)3(2)k=l.4专题四平面直角坐标系.一次函数.反比例函数参考答案例1解：⑴因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以x2=2,刃=3,则A(2,3)、B(2,—3)・(2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，$=—2,y}=-3,则A(2,-3)、3(-2,-3).(1)因为4、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以呂=-2,刃=3,则A(2,3)、B(-2,-3).例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0,又因为b=2,所以直线与y轴交于(0,2),即可知0B=2,而AA0B的面积为2,由此可推算出0A=2,而直线过第二象限，所以A点坐标为(一2,0),由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。解：TB是直线y=kx+2与y轴交点，AB(0,2),A0B=2,又S^ob=-AOBO=2,:.AO=2乂y=kx+2,过第二象限，/.A(—2,0)扌Ex,=—2x=()代入y=Ax+2中得£=Ly=x+2\n【巩固练习】1.B2.D(2,2)、C(8,2)、B(6,0).3.(1)R=8.(2)点P的坐标是P(2,4)或P(8,l).专题五二次函数参考答案例1解：・・・_/=一3*—6；1+1=—3(无+1)2+4,・・・函数图彖的开口向下；对称轴是直线/=—1;顶点坐标为(一1,4)；当x=—l时，函数y取最大值y=4；当/＜一1时，y随着x的增大而增大；当乳＞一1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点水一1,4)),与x轴交于点〃(驾-3,0)和久_2月+3,0),与y轴的交点为〃(0,1),过这五点画出图彖(如图2-5所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.例2分析：由于每天的利润=日销售量yX(销售价x—120),日销售量y又是销售价%的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最人值，首先需要求出每天的利润与销售价/之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设y=kx+(B),将x=130,y=70；x=150,y「70=130k+b,=50代入方程，有2解得k=—\,b=200.y=—%+200.[50=150上+b,设每天的利润为z(元)，贝！Jz=(—x+200)(x—120)=—#+320x—24000=—0—160)'+1600,・••当^=160时,z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.例3分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对日的取值进行讨论.解：(1)当日=—2时，函数尸/的图象仅仅对应着一个点(一2,4),所以，函数的最大值和最小值都是4,此时x=~2；(2)当一2＜臼＜0时，由图2.2-6①可知，当x=_2吋，函数取最大值y=4；当％=日时，函数取最小值y=a\(3)当0W曰＜2时，由图2.2—6②可知，当x=—2时，函数取最大值卩=4；当/=0时，函数取最小值y=0；(4)当心2时，由图2.2—6③可知，当/=臼时，函数取最大值当尸0吋，函数取最小值y=0.说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对日的所有可能情形进行讨论.此外，本例屮所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.例4(1)分析：在解本例时，要充分利用题目屮所给出的条件一一最大值、顶点位置，从\n而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数曰.解：・・•二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，.••顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+1上，所以，2=%+1,・==1.・•・顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为Q心2)+1匕V,・・•二次函数的图像经过点(3,-1),・・・—l=a(3—2尸+1,解得日=—2.・・・二次函数的解析式为>'=—2(x—2)2+1,即y=-2/+8x-7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题.(2)分析一：由于题目所给的条件屮，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一：・・•二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),・・・可设二次函数为尸=仪匕+3)匕-\2a2-4a2—1)(日HO),展开，得y=$,+2站一3a,顶点的纵坐标为=-4(7,由4a于二次函数图象的顶点到jv轴的距离2,・・・|—4日|=2,即曰=±丄.所以，二次函数的表达2I、斗_】23._123式为_兀+工—,或一_x—xh—•2222分析二：由于二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),所以，对称轴为直线—1,又由顶点到/轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式來解，然后再利用图象过点(一3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.解法二：・・•二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),・・・对称轴为直线％=—1.又顶点到jv轴的距离为2,・••顶点的纵坐标为2,或一2.于是可设二次函数为尸$匕+1)2+2,或尸弧+1)2—2,由于函数图象过点(1,0),・・・0=臼(1+1F+2,或0=a(l+l)2-2.Aa=—丄，或臼=丄・所以，所求的二次函数为y=—丄(%+1)::+2,或『=丄(%+1)2—2.2222说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.(3)解：设该二次函数为y=曰#+&+c(曰HO).由函数图象过点(一1,-22),(0,-8),(2,8),可得-22=a-b+c<-8=c解得白=一2,方=12,c=—8.所以，所求的二次函数为y=—2x~+12x8=4a+2b+c—8.【巩固练习】\n1.(1)D(2)C(3)D2.(1)y=x+x~2(2)尸一#+2卄33.(1)y=2x2-2x-l.(2)y=4(x-l)2-3=4.r-8x4-1.11o(3)y=-(x+3)(x-5)=—x2——x-3-(4)5554.当长为6叫宽为3m时，矩形的面积最大.\n00,所以抛物线y=2x2-3x-5有最低点,即函数有最小值.因为y—产-怡所以当兀蔦时，函数y=2x2-3x-5有最小值是-竺.*8(2)因为二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-1V0,所以抛物线y=_〒_3x+4有3o最高点，即函数有最大值.因为y=—F—3尤+4二一(兀—)",所以当X=――时，函24225数尸_疋_3兀+4有最大值于.例2解：作出函数的图象.当兀=1时，儿曲=一1，当%=2时，=-5.说明：二次函数在自变量兀的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变暈尢的范I韦I的图象形状各异.下面给出一些常见情况：例3解：作出函数y=-x(2-x)=x2-2x在内的图彖.\n可以看出：当兀=1时，jmin=-1,无最大值.所以，当xno时，函数的取值范围是y>-l.例5解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(兀-30)元，那么加件的销售利润为y=m(x-30),又m=\-x.y=(x-30)(162-3^)=-3x2+252%-4860,3()0时，=2+2r,此时x=-l.专题七不等式答案例2解：(1)不等式可化为(兀+2)(兀—4)<0・・・不等式的解是-20卩〉0[(—2)2—4疋v0n]疋—1〉0nv—1或£>1n>例4分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解.(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数.解：(1)解法(一)原不等式可化为：\n2兀—3vO_J2x—3>0x+l>0叫卄1<0=.3X<—2或彳解法(二)原不等式可化为：(2x—3)(x+l)vOn—lvxvf.⑵解：原不等式可---30十(x+QC<3=>J或2兀+2〔3«+Z)px+3(<【巩固练习】1.(l)-y1(2)兀v丄或兀>3(3)兀<一2或兀>0(4)兀〉一丄；223.(1)无解(2)全体实数1—7/71—；774.(1)当772>2时，x>:(2)当m<2时，x<；(3)当m=2时，x取全体m-2m-2实数.5.m<；6.k=57.a<-5^a>1.22.二次根式疑的意义