高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解-高中课件精选 22页

高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解1.已知数列M是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sf,，且他.创=S\=16・（I）求数列S”｝的通项公式；fl1»®+l■（II）数列满足1=ai,①求数列｛bt（｝的通项公式；-九=.②是否存在正整数g丰n），使得4,几，叽成等差数列?若存在，求出m,n的值;若不存在,请说明理由.解:⑴设数列M的公差为d,则d>0(«i+d)(ai+2d)=15+()(1=1601=1(1=2（舍去）.计算得出(II)®Ti=九+if)n~at"，“+i（如一1爲+1）詔（召-召）-()2v2n-32n-17(n>2)\n累加得:则丰n)，使得s,bm,bn成等差数列,乂1E),即4,3A3+(24r?，即时,二,当，即时,化简得:「存在正整数(舍去);符合题意.，使得62,bm*成等差数列.解析(I)直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；(i_九=——(II)①把数列W汀的通项公式代入s，然后裂项，累加后即可求得数列仏'｝的通项公式；\n②假设存在正整数m、丰n)，使得如，6w,6fl成等差数列，则b2+以=2bm•由此列关于m的方程，求计算得出答案.2•在数列M中，己知01=2=3a“+2n—1.(1)求证:数列仏+"｝为等比数列;(2)记bn=如+(1-小，且数列佃｝的前n项和为耳，若乃为数列㈣中的最小项，求的取值范围.解:⑴证明:若T：i为数列｛Tn｝中的最小项，则对I专(3n-1)-"SjUA>39一6A有2"恒成立,“+1即d-81>(n2+n-12)A对|_恒成立归时，有T*"普:羿当n=2时，有毘恥=>*9.0況24时n£+n-12=(n+4)(n-3)>0恒成立\n•疋3小-81…—护+77_12对I—恒成立.令心篇毘则心—⑴:;监紡豐+加恒成立,二伽=眷|-81*加+n一I?在n>4吋为单调递增数列.综上,••.入今⑷，即解析⑴由°冲=3®+2—1,整理得:由an+n>0a“+i+刃+1_§叫+"，可以知道仏+n｝是以3为首项，公比为3的等比数列;(2)由⑴求得数列｛bn｝通项公式及前n项和为Tn，由乃为数列｛Tn｝中的最小项，则对舟(3“_1)_JJA>39-6入22恒成立，分类分别求得当时和当n=2入的取值范围，伽)=3“+】-81当n-4时，沪+"-12，利用做差法，根据函数的单调性，即可求得入的取值范围._1_123.在数列M中，已知如飞,7_3心严Nx，设S"为M的前n项和.(1)求证:数列｛3^"｝是等差数列；(2)求5n；\n⑶是否存在正整数p,q,r(I)°,4(n+1曲一叫〃=°，设数{6fl}满足⑴求证擞列为等比数列;(2)若数列仏“｝是等差数列,求实数t的值；(3)若数列卩“｝是等差数列，前n项和为凡,对任意的均存在"E，使得沁…】卅=呱,成立，求满足条件的所有整数创的值.(1)证明：二数列M满足4(n+l)aft2—nan+\2=0泌+i=4盛=2—n+1.n\/n+1.\[ri-二数列—为等比数列,其首项为迥，公比为2;(2)解:由⑴可得:v数列｛bn｝是等差数列,皿=&l+%"ft—f==«1y/n、a?x4x2a?fl?x42x3A2x亠^—=寸+1\n计算得出t=4或12.石af4n-1nna\t=°时，"—炉~4，是关于n的一次函数，因此数列｛bn｝是等差数列.na\aj(l—2n)t=12时，”4x3","+】"4x3"+】，不是关于*的一次函数,因此数列卩"｝不是等差数列.综上可得＜=4;rmf叽=彳⑶解:由⑵得4对任意的*NX，均存在m€jVX，使得曲凡一曲=16&m成立,mac即有如.M+U宀16.4n(i\化简可得44fc2n2当卄2k,底小m-—-n，对任意的ng，符合题意;当«!=-1t€Arx当九=1时对任意的nZ，不符合题意.综上可得，当°1=2fc,MN，对任意的衣小，均存在哄小，使得8血匕-仇W=16几成立.\n(1)根据题意整理可得，皿1•闪，再由等比数列的定义即可得证；⑵运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，可得纯=61+対懈方程可得t,对t的值，检验即可得到所求值；brl=瞬(3)由(2)可得"4，对任意的n€jVX,均存在m€AFX,使得1-8/A16=2n«14丿77为偶数和奇数，化简整理，即可得到所求值.5•已知常数，数列»茹足^偽t+i=\p—a“|+2a“+pn^Nx•①求血的值;②求数列M的前n项和Sn;(2)若数列M中存在三项5,偽，gEANx,reset)依次成等差数M是以1为首项，以3为公比的等比数列,\n(心2)二数列M的前n项和显然当n=1时,上式也成立,1Q£=2x3n_l-5⑵5+1，即仏｝单调递增.^>1(i)当P时，有«i>POn=3^_1•fli若数列M中存在三项4,5,agtWN"P.从而若数列M屮存在三项st同(i)可以知道:厂=1.于是有2X：r伽+勿)=创+3,伽+2p)\^21「I⑴当P-时，有O1-P，于是山&，可得_［如=3"・创•利用反证法即可得出不存在.-1<—<1r―I的当P时，有一p<(l{P・从而•假设存在m0+如，同⑴可以知道：r=1•得出矛盾，因此不存\n在..即可得出结论.—<-1(迪)当P-时有«1<-p<+曲)于是6•已知两个无穷数列M和｛l)u｝的前n项和分别，都Sn>几・证明:%>6,1为S„,耳，如=1,®=4，对任意的心X有35„+1=2Sn+Sn+2+砌.(1)求数列M的通项公式;(2)若｛hn｝为等差数列，对任意的neNX，都有如+2召=収-(血€7\皿)⑶若｛6，，｝为等比数列，f，｛=如，加=创，求满足叽+2&亠的n值.解.(])由3S“+i=2Sn+S“+2+a”彳口2(Sn+i—Srt)=S“+2—S“+i+a”即=a”+2+a”所以""+?—^n+i=叫+1a“・由如=1,S・2=4,可以知道他=3所以数列M是以1为首项,2为公差的等差数列.故M的通项公式为°"=1+2®-l)=2n-lneNx(2)证法一:设数列｛bti｝的公差为d,Tn=nbi+舟n{n—l)d则2由⑴知，=-71(1+In—1)=n2.因为凡皿n2>nbi+-n(n—l)d所以2即(2-咖+d-2析＞0恒成立,\n｛2-d>()(d<2]d—2b]>0]2()iV(1所以1，即I,又由S1>T1，得bl<1,所以cin—bn=2n—1—%—(n—1)〃=(2—d)n.+〃一1—%22—〃+〃一1—%=1—>0.所以％>bn，得证.证法二:设｛bn｝的公差为d,假设存在自然数"此2，使得5芒咕,pilj+2(n%时,耳-S„>0恒成立.这与“对任意的neNX，都有Sn>Tn"矛盾！所以％>bn，得证.(2)由⑴知,Sn=n\l3为｛bn｝为等比数列，且61=1&2=3所以｛bn｝是以1为首项,3为公比的等比数列._tu=|(:r-1).所以％一‘，2arl+2Tn2n-1+3n-13"+2n-26n2一2n+2则bn+2S„=3“j+2Q=:r-1+2n2=1_3“一i+2以a”+2几v§因为neNx，所以6n2-2n+2>0,所以九十2S“\n而％=2k-1,所以5+2耳_bn+2Sn=gn3n_1-n2+n-l=O(x).当n=1,2时，("式成立；当心2时设/(n.)=3n_1-n1+n,-1f(n+1)-y(n)=3"一(n+l)2+n一(3R_1-n2+n-1)=2(3n_1-n)>0所以0=/(2)V/(3)V・・・V/(n)<故满足条件的n的值为1和2.解析(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；(2)方法一、设数列的公差为d,求出&,Tn•由恒成立思想可得&1<1,求出5_»,判断符号即可得证；方法二、运用反证法证明，设｛6f，｝的公差为d,假设存在自然数"此2,使得叫，推理可得d>2，作差Tn~9，推出大于0,即可得证;%+2耳(3)运用等差数列和等比数列的求和公式，求得&,Tn，化简九+2Sn，推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值.7.已知数列M,｛bn｝都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项)，则得到一个新数列仏｝(1)设数列M,｛l)n｝分别为等差、等比数列，若ax=bx=1oo=&34=亠求C2()(2)设M的首项为1,各项为正整数，叽=刘，若新数列｛C"｝是等差数列，求数列M的前n项和Sn;\n⑶设bnww是不小于2的正整数)，°=b｛，是否存在等差数列M，使得对任意的neNX，在叽与九+】之间数列M的项数总是叽？若存在，请给出一个满足题意的等差数列M；若不存在，请说明理由.解:⑴设等差数列M的公差为d,等比数列｛bli｝的公比为q,Jl+d=q2根据题意得，I1*"=(l，计算得出°或3,因数列M,｛bn｝单调递增，所以d>0q>l所以心，心所以=翫一2bn=2n_1..因为ai=bi=1a-)=b?%=&5g>4)=«i7=49⑵设等差数列｛c"｝的公差为d,又fll，且bn=3",所以5=1,所以环=血+1_圧因为61=3是｛C"｝中的项，所以设61=C"，即d｛n_1)=2・2d=<1当吋，计算得出n-1，不满足各项为正整数；•…当山=Q=3时d=l，此时5=n，只需取%=n，而等比数列M的项都$=几5+1)是等差数列M，中的项，所以…—2；…当们=G=3吋,d=2，此吋5=2n-1,只需取%=2n-l由「I,得,—是奇数,是正偶数,m有正整数解，\n所以等比数列｛,）t（｝的项都是等差数列M中的项，所以％="•・・・s=九5+1）o综上所述，数列©｝的前口项和7—2，或几=/…（3）存在等差数列M，只需首项"l€（1,9），公差口一'…下证6,1与&n+1之间数列M的项数为6,1•即证对任意正整数n,都有J仏V偽］+虹+…也i计1bnVai+g+七“2十］bfi+i>ai+g+・・.+于1成立.由1bfi+i>弘+加+…+几bn一如+勺+…+于2+1=qn~l一如一(1+g+..・+q"T)(q-1)=1-<0_口］七+.・.+于］=严_血_(1+q+■…+q"-i—］)(q_1)=q_>0..所以首项"疋（10，公差"=Q-1的等差数列M符合题意…解析⑴设等差数列M的公差为d,等比数列｛，）（（｝的公比为q,根据题意得，（1+d=（I2'1+呪"，计算得出（/=0或3,因数列8｝,｛九｝单调递增/>0,9>1，可得a，t=3n一2,bn=$心，利用通项公式即可得出.（2）设等差数列｛Cn｝的公差为d,又01，且bn=:所以5=1，所以cn=dn+l-d因为5=3是｛&｝中的项，所以设5=c„,即皿”-1）=22d=<1当-时，计算得岀n-1，不满足各项为正整数当1=切=3时，当6l=c-=3时，即可得出.⑶存在等差数列S”｝，只需首项创€（1间，公差rf=9_1•下证叽与*+】之\nbnV偽］+虹+..+^“1+1叽+1■%+加+...+仏解：(1)根据题意可得卩J，＞2，两边平方可得x1一2北+1>护一仏+4(2)证明:由已知，设故对任意的k>2，都有间数列M的项数为6f，•即证对任意正整数n,都有作差利用通项公式即可得出.(IF\ak)=77(|«1一切|+|«2一如|+・・・+|«A--1-«A-|)8•对于数列歸，称H(其中k~2,3为数列M的前k项“波动均值”.若对任意的空2,都有巾山)v只咖，则称数列M为“趋稳数列”.(1)若数列l,x,2为“趋稳数列”，求x的取值范围；(2)若各项均为正数的等比数列｛hn｝的公比胆(°，1),求证：是“趋稳数列”；⑶已知数列M的首项为1,各项均为整数，前k项的和为％•且对任意k>2C；P(a2)+2C；：P(m)+…+(rz-l)C；；P(art)(n>2.n€Ar)\nF(加+1)=切(1+q+『+・・・+qk~l)-.(}<(!ql©qk~lq>qk~xq2>qk~l.q">『-】,,,,y二1+q+(f+・・・+qk~2>(A--l)gA-1.认(1+q+丁+・・・+q~>(fc-1)(1+q+孑+...+qk~-+.(1+q+(f+・・・+泸一2)、(i+q+q2+..・+/—2+j—1)二k^i>k.加(l-q)(l+q+¥+・..+/-2)>加(1-q)(l+(/+，+•••+严十严)即对任意的空彳，keNX，都有曰加）>日也），故｛6n｝是“趋稳数列'；玖S,=无_](1$-S』+區一创+・・・+|5a-_i-SjJ)=氐_](|创|+如+…+|«a-|)真迈(|包|+GI+•・・+hll)二伙-1)凡头)-伙-2)F(Sk-i)=|如同理(k一l)P(ajt)一伙一2)Rai)=|ajt_i一ak\因3閘)=2Rg),二3伙一1)P(SA)=2(fc-l)HflA)3(fc一2)P(Sa-_i)=2仏一2)只心)所以或因为如=1，且WZ，所以%=亠―，从而叫=(-2)-,所以畑=占(|1-(-2)1+|(-2)-(一2尸|+...+|(-2)_-(-2/1)=逬屮\nC沁D+2C和小+3G；H5)+・・・+(n-l)G；P(s)=3[(C；*2+C；>22+C卜2第+・・・+C?2n-1)-(C：+点+G；+・・・+C：；)]i3=3[-(3n一2n一1)一(2n-n一1)]=-(3f,一2n+1+1)厶厶■解析|1一工|+—2|1—x|>(1)由新定义可得2，解不等式可得x的范围；⑵运用等比数列的通项公式和求和公式，结合新定义，运用不等式的性质即可得证；⑶由任意k~2,keN，都有阳旳=2巾*)，可得(fc-1)P(Sa-)-依-2)环也)=闻，由等比数列的通项公式，可]3=("2)A_l，结合新定义和二项式定理，化简整理即可得到所求值.52少一9•已知首项为1的正项数列｛%｝满足％+%<2an+1an,nEN*.3(1)若迦二"，a3=x,a4=4,求x的取值范围；1(2)设数列｛a“｝是公比为q的等比数列，Sn为数列｛%｝前n项的和，若？s“3)成等差数列，且a1+a2+...+ak=120,求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列给，a2,ak(k>3)的公差.\n解：(1)由题意，°an0,qn-1(q-2)<0,・・・qW(“，1)・T-Sn-lg(2q-l)3)的公差为d・1•:2an-1\〃(2—rz)<1••，1Ade(■人,1)・•/ai+a2+...+ak=120,)k=-112k)k=120,21()-2/c240-2/t1KFe(+Ake(15,239),k$N*,13・・・k的最小值为16,此吋公差d=15.解析【解题方法提示】1分析题意，对于(1),由已知结合完全平方公式可得2an