高中数学笔记精华版--使用版-高中课件精选 128页

高中数学第一章■集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.§01.集合与简易逻辑知识要点一、知识结构：本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：二、知识回顾：(―)集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为AoA；②空集是任何集合的子集，记为0gA；③空集是任何非空集合的真子集；如果AqB，同时BeA,那么A=B.如果AcB,BuC,那么AyC.［注］:①Z=｛整数｝(V)Z二｛全体整数｝(X)②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,则QA=｛()｝)③空集的补集是全集.④若集合A二集合B,则切=0,0^=0\nCs（Ca^）=D（注：Cd=0）・3.①殳（兀，y）\xy=0,x^R,y^R］坐标轴上的点集.@｛（兀，y）\xy<0fx€R,yWR｝二、四象限的点集.®｛（x,y）\xy>0,xWR,y^R｝一、三象限的点集.［注］:①对方程组解的集合应是点集.例：：+叮二解的集合｛（2,1）｝.2x-3y=1②点集与数集的交集是0.（例：A=｛（x,y）|y=龙+1｝B二｛）》=/+］｝则aqb=0）4.®n个元素的子集有2〃个.②n个元素的真子集有2"-1个.③〃个元素的非空真子集有2"—2个.5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题O逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题O逆否命题.例：①若Q+Z7H5,贝肠H2或0H3应是真命题.解：逆否：a=2且b=3,则a+b=5,成立，所以此命题为真.②xH1且yH2,廿兀+yh3.解：逆否：x+y=3=^>x二1或y=2.xh1目.yH2扫*x+y工3,故x+y工3是兀工1且y工2的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.1.例：若兀a5,=>xa5^xy2.2.集合运算：交、并、补.交：ABowB｝并：AB<=>［x\xeA^xeB｝补：貝"A｝3.主要性质和运算律（1）包含关系:AcA,①匸A.A^U.Q,A匸U,BoA,AB(^B\AB^A.ABqB(2)等价关系：A^B^AB=A^AB=BoQAB=U(3)集合的运算律：交换律：AC\B=BnA;A\jB=B\jA,结合律：（Anfi）nc=An（Bnc）；（AUB）uc=Au（BUc）分配律：.An（BUc）=（Ans）u（Anc）；AU（Bnc）=（AUB）n（Auc）0-1律：①A=A=A,UA=A,UA=U等幕律：AC\A=A,A\JA=A.\n求补律：AGGA=“AUCuA二UgU=eDCu*=U反演律：Cl：(AnB)=(C.A)U(C.B)Cl(AUB)=(GA)A(C.B)1.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card()=0.基本公式：⑴cqM(AB)=card(A)+card(B)一card(AB)(2)card(ABC)=card(A)+card\B)+card(C)-card(AB)-card(BC)-card(CA)+card\ABC)(3)card(DrA)=card(U)-card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法(零点分段法)①将不等式化为a(1(x-x.)(x-x2)-(x-xm)>0«0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出來；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；④若不等式(X的系数化“+”后)是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“〈0”，则找“线”在x轴下方的区间.—£+1/+、X1X2X3XI)-3-jXm-2xn-1一Xm「X(自右向左正负相间)则不等式勺0+axxn~x+a2xtl-2+•••+©>O(0)的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax〉b解的讨论；②一元二次不等式ax：+box>0(8>0)解的讨论.A>0A=0A<0二次函数°y=ax+bx+c(G>0)的图象\o\LuX一元二次方程ax^+hx+c=0G>o削根有两相异实根xx.x2(X,0(d>0)的解集xxx2}Rujc+Z?x+c<0(d>0)的解集xx{0（或/血<0）；旦$0（或加冬0）的形式,gMgMgMg（兀）⑵转化为整式不等式（组）储>oo/（叽）>。；筒，0。｛»'°2.含绝对值不等式的解法（1）公式法：ax+bc（c>0）型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）儿何法：根据绝对值的儿何意义用数形结合思想方法解题.3.一元二次方程根的分布一元二次方程ax'+bx+c二0（aHO）（1）根的''零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”:作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。）;非P（记构成复合命题的形式：P或q（记作“pVq”）;P且q（记作“p/\q”作“1q”)o原命题若p则q否命题若1p则C互逆〉逆否命题若1q则1p逆命题若q则p八互\声3、“或”、“且”、“非”的真值判断（1）“非P”形式复合命题的真假与F的真假相反；（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.4、四种命题的形式：原命题：若P则q；逆命题：若q则p；否命题：若「P则「q；逆否命题：若「q则「Po（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.\n5、四种命题Z间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：（原命题O逆否命题）①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。②、原命题为真，它的否命题不一定为真。③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知pdq那么我们说，p是q的充分条件，q是P的必要条件。若P=>q且q=>P,则称P是q的充要条件，记为pQq.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引111（与已知、公理、定理…）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章•函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数幕的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念.（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，常握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.（4）理解分数指数幕的概念，掌握有理指数幕的运算性质，掌握指数甫数的概念、图像和性质.（5）理解对数的概念，学握对数的运算性质；学握对数函数的概念、图像和性质.（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.§02.函数知识要点-、本章知识网络结构:定义映射研究反函数图傢具休函数性质二次函数对数对数函数二、知识冋顾:\n(一)映射与函数1.映射与—映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数y=7(x)(%GA)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出,得到x=0(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=0(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么,x=0(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x=(p(y)(yeC)叫做函数eA)的反函数，记作习惯上改写成y=f~x(x)(二)函数的性质函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X|,X2.⑴若当X]VX2吋，都有f(X])Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数；⑵若当X02时，都有f(xJ>f(X2),则说f(X)在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数f(X)的定义域内任意一个人都有n-x)=f(x),那么函数t(x)就叫做偶函数.妙是偶函数O心5)0心)-如。船奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)s®么函数f(x)就叫做奇函数.他是奇函数nw®加皿船s旳\n正确理解奇.偶函数的定义。必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数/(劝为奇函数或偶函数的必要不充分条件；(2)/(-X)=/(X)或/(-劝=-/(劝是定义域上的恒等式。2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于V轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3•奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反.4.如果是偶函数，则/(x)=/(|x|),反之亦成立。若奇函数在x=0时有意义，则/(0)=0o1.奇函数，偶函数：⑴偶函数:f(-x)=/(x)设(a,b)为偶函数上一点，贝I」(-a.b)也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y轴对称，例如：y=x2+l在上不是偶函数.②满足J\-X)=/(x),或_/(-x)-/(x)=O,若f(x)0时,-^-=1.f(~x)⑵奇函数：/(-X)=-/(X)设(a,b)为奇函数上一点，则(-°,4)也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：y二/在上不是奇函数.②满足心)5,或心+心=0,若心时,為=一1.2.对称变换：®y=f(x)$轴对称》〉,*(_兀)®y=f(x)X轴対称>>，=—/(兀)@y=f(x)>y=-fC-x)3.判断函数单调性(定义)作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：沪审-莎二::“鋼节二yjx：+b「+屆+b~在进行讨论.4.外层函数的定义域是内层函数的值域.X例如：已知函数/(x)=1+——的定义域为A,函数fifCx)］的定义域是3,则集合A与1-x集合B为可的关系是.解：/(x)的值域是/(/«)的定义域B,fM的值域wR,故BwR，而A={x\x^l}，故B^A.11・常用变换：①/(尤+)')=/(兀)/(〉')o/U-.v)=络・\n证：心沪需oW"(r)+yH)E)②/(-)=fM-/(y)o/(兀•y)=/(x)+/(刃y证：f(x)=/(—•y)=/(—)+f(y)yy12.⑴熟悉常用函数图彖：例：y=2w—|x|关于y轴对称.⑵熟悉分式图象：、例：y=2^+1=2+—=>定义域｛兀|心3,"R],x-3x-3值域｛y\y工2,yw/?｝->值域丰兀前的系数之比.(一)指数函数与对数函数(4)x〉0时，y〉l;x〈O时，O〈y0时，0l.(5)在R上是减函数指数函数V=ax(a>0且a丰1)的图彖和性质a>l0l0I。Sa、a2•I。爲2a3・・・・・10&an=10&,an(以上M»0，NAO,aA(\aHl，bAO,bHl,cA0，cHl,a“a2・・・an»°且工1)\n图彖yzO性质（1）定义域：（0,+8）（2）值域：R(3)过点(1,0),即当x=l时,y=0⑷%g(0,1)吋yv0兀G(1,+00)时y〉°兀e(0,1)时y>°兀e(i,+oo)时y<0（5）在（0,+8）上是增函数在（0,+8）上是减函数注⑴：当a,bY0时,log^-b）=log（-（7）+log（-Z?）.（2）：当M»0时，取“+”，当死是偶数时且MyO时，M"aO,而MyO,故取“一”.例如：10&/兀2工210&/・・・（210氐兀中x>0而1O&F中兀ER）.（2）y=ax（o》0,aHl）与y=log“x互为反函数.当CA1时，y=logrt的a值越大，越靠近x轴；当OygyI时，则相反.（四）方法总结（1）.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.⑴对数运算：\n换底公式：lo&N=lo劭Nlo劭Qlo&(M•TV)=lo&M+lo&N⑴,Mlog.—JNio&M=lo&M一lo&N=nlo^(±A/)12)推论：lo&?b•log,c•lo&、a=1=lo囱。2•I。％如•…•lo&心4=I。囱a(以上MA0,NA0,aA0,aH1,bA0,b工1,cA0,c工1,apa2...anA0且H1)注⑴：当a、by0时，log^Z?)=log(-a)+log(-Z>).(2)：当MAO时，取“+”，当〃是偶数时且MyO时，M”aO,而MyO,故取“一”.例如：log^F工210£“兀I(21O&/X中兀>0而lo^%2屮兀WR).(1)y=d“(QKO,GH1)与y=lognx互为反函数.当GA1时，y=logax的a值越大，越靠近兀轴；当OYdYl时，则相反..(2).函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.(3).反函数的求法：先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).(4).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式屮被开方数不小于0；③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1；④零指数幕的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.(5).函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.(6).单调性的判定法:①设x,,x2是所研究区间内任两个自变量，且x,2,d为常数）②2an=aH+i+an_x（/?>2）③a”=kn+b为常数）.⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法:①a”=at1_｝q（n>2,q为常数且HO）②an=给+1-«n-i5»2,anan^an_xH0）①注①：i.b=4cic,是a、b、c成等比的双非条件，h=^[acb、c等比数歹lj.ii.b=4^（必>0）—为G、b、C等比数列的充分不必要.iii.b=MHb、c等比数列的必要不充分.iv.b=且dOO-*为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数d、c不一定有等比中项，除非有">0,则等比中项一定有两个.③=cg气c,§为非零常数）.④正数列｛5｝成等比的充要条件是数列｛logx｝（XA1）成等比数列.⑷数列｛an｝的前八项和》与通项〜的关系:=G］（72=1）一片15»2）[注]:①勺严0+©_1"=加+（6_〃）（d可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）一若d不为0,则是等差数列充分条件）.②等差｛〜｝前n项和S=An2+Bn=厂彳》可以为零也可不为零-为等差的充要条件一若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）••2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的疋倍Sk，S?k~Sr,S3k-S2ic...;②若等差数列的项数为2n（neN+）,则S偶一S奇=讹,产二严Q偶UH+1S偶”_1②若等差数列的项数为2—1丘N+）,贝1打2“_]=（2—1九，且s奇-S偶=5,n代入九到加-1得到所求项数.3常用公式：6+2+3•••+“=警②12+22+32+n（n+1）（2刃+1）\n[注]:熟悉常用通项：9,99,999,...=>°”=10"-1；5,55,555,...=>a”=«|(10”-1).1.等比数列的前n项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为Q，年增长率为"则每年的产量成等比数列，公比为1+厂其中第〃年产量为°(1+厂)曲，且过〃年后总产量为：a+a(l+厂)+a(l+厂尸+...+°(1+厂)"“=_"+')_.⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存。元，利息为广，每月利息按复利计算，贝U每月的。元过〃个月后便成为曲+门"元.因此，第二年年初可存款：&(1+卅2+&(1+肝+处+』。+...+曲+厂)/(1+d厂)5.l-(l+r)⑶分期付款应用题："为分期付款方式贷款为。元；加为加个月将款全部付清；厂为年利率.6/(1+r)w=x(l+r)/w_,+x(l+r),/,_2+x(l+r)十x=>a(l+r),w=""')=>x="""十')—r(1+r)w,-12.数列常见的几种形式：(l)a“+2=P%i+ga“(P、q为二阶常数)->用特证根方法求解.具体步骤:①写出特征方程X2=Px+q(X2对应d“+2，x对应G“+])，并设二根"],兀2②若X]工兀2可设an=cxxnx^rc2x\,若X|=X2可设a,={c^c2n)x\；③由初始值⑷心确定55.⑵a=Pan_x+r(P、尸为常数)T用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an+2=Pan+i+qan的形式，再用特征根方法求g“；④an=cl+c2Pn~}(公式法),c19c2由4],02确定.①转化等差，等比：an+}=P(cin+x)=Pan+Px-x=>x=-②选代法：an=Pan_l+r=P(Pan_2+r)+r=…=>。“=(切+—)Pn~l=(al+x)Pn~]-xp—1p=P"Td]+P"-2.厂+...+pr+厂.③用特征方程求解：e"[相减，=>勺卄]--P%i=>a〃+]=(P+1)a”-P%]•an=Pan^+r\④由选代法推导结果：C|=—-—,C°=G]+—,an=C-)Pn"+C[=(d]—-—)P"1H—-—.1]-p1p-\n11p-\\-p3.儿种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前八项和为S”，在C/YO时，有最大值.如何确定使S”取最大值时的,2值，有两种方法：一是求使an＞O,an+lY0,成立的〃值；二是由S“=2〃2+（4_2）n利用二次函数的性质求〃2的值.\n⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前〃项和可依照等比数列前〃项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1•丄,3-,...（2n-l）—242n⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差£，心的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：⑴定义法:对于心2的任意自然数,验证％-①J上匚）为同一常数。⑵通项公式法。⑶中项公式法：验证2勺=cin4-an_2（爲几+2）nuN都成立。3.在等差数列｛色｝中，有关Sn的最值问题：⑴当％＞o,dvo时，满足rtn~Q的项数m〔％」S0使得几取最大值.⑵当4＜（）,d＞（）时，满足严的项数m使得几取最小值。在解含绝〔％X（）对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。\n5)111n(n+1)nn+11n(n+2)1n+2pqq_ppq(p/(x)=CSC兀{x\xe/?J0LxhSkez}8、同角三角函数的基本关系式：迴中血&coUmcosasinztana・8ta=]a・sina=1seca・8sa=1sin2«+cos2a=1sec2a-tan2a=1esc2cr-cot2a=19、诱导公式:把亍渊三角函数化如的三角函数，概括为:“奇变偶不变，符号看象限”公式组一公式组二sirtv•cscx=\sinxtaov=sin2.r+cos2x=lsinQk/r+x)=sinxcosxcos(2br+x)=cosxcosx•secx=1cosxcotx=———1+tan2x=sec2xtan(2^+x)=tanxsmxtaar•cotv=ll+cot2,¥=csc2xcot(2br+兀)=cotx公式组四公式组五公式组六三角函数的公式：（一）基本关系sin(r+x)=-sinxcos(?r+x)=-cosxtanCr+x)=tanxCOt(7F+X)=cotxsi-x)=-siirco©倉-x)=coxtar£炉一x)=—tarrco2^-x)=-cotsinr$x)=sirecosr卜x)=-coxtanr(-x)=-1arrcoir(-x)=-coX公式组三sin-g)=-siircos-«)=coxtan-«)=-1airco卜仗)=-cot（二）角与角之间的互换公式组一cos(a+p)=cosacos0-sinasin0cos®-0)=cos&cos0+sinasin0公式组二sin2a=2sinacosasin&+0)=sinacos0+cosasin0sin©-0)=sinacos0-cosasin0tan2€Z=2tana1-tan*"a.a,/1-coscrsin—=±J2V2I-tanatan0a,(1+cosacos—=±-2V2tan®_0)=3_lan01+tan«tan0a,/1-cosiztan—=±J2Vl+coscrsina1+cosq1-coscrsin«cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\=1-2sin2a公式组三公式组五公式组罕sinacos0=—[sin(6f+0)+sin(a-0)]costzsin0=—[sin(Qr+^)-sin(tz-y9)]cosacos0=—[cos(«+0)+co\n2\nca2tan—sina=—1+tan^—2cos(—7r-a)=sina■2a1-tan—coscr=-t9a1+tan—2ca2tantans=—i2Q1-tarT2ec・a+0a_psina+sinp=2sincos22・a+0・a-psincr-sinp=2cossin22n+0cc—Bcosq+cos"=2cos—-—cos—-—•a+p•a-pcoscz-cosp=-2sinsin22tan(^^--a)=cota8S(*”+a)=-sinatan(—^-4-cr)=-cotasin(—^4-a)=cosasinl5=coS75=^~^-sin75°=cosiy=^l^,tan1S=cot7S=2—希，Um75'=cotl5?=2+VL44Xy=sinxy=cosxy=tanxy=cot兀y-Asin(e+0)(A、0>O)定义域RRx\xeRILjvhk托七丄兀、keZ>{xIxe/?FLxmkjv、keZ}R值域[-1,+1][-1,+1]RR[一A,A\周期性2龙2tt7t7tInCO奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0工0,非奇非偶当0=(),奇函数单调性r71c.[F2炽，2-+2te]2上为增函数；吟+2炽，竺+2切2上为减函数(kwZ)[(2«-1)龙,.2切；上为增函数[2灯T,Qk+1>]上为减函数(az)/、-—+k7T.—+k7UI22丿上为增函数(az)伽,(k+lb)上为减函数("z)2k冗-巴-(p3),0)“12k兀+—兀一(p(-A)上为增函数；2K7T+(1)2(A),0)“3七一兀一(p2(-A)(0_上为减函数JkeZ)10.正眩、余眩、正切、余切函数的图象的性质:注意：①y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地，若y=/(x)在上递增(减)，贝ijy=-/(x)在[a,®上递减(增).sin(—=cosa2\n②y=|sin,v|与尹=cosx|的周期是龙・y=tan兰的周期为2兀5=匸=丁=讨如图，翻折无效）•2岡②y=sin@r+0）的对称轴方程是x=k7T+—（kwZ）,对称中心（kjrfi）;y=cos伽:+©）的对称轴方程是x=krr(keZ),对称屮心(転+丄兀°)；y=tan@r+0)的对称屮心2，(竺,0).2y=cos2.v—y=-cos(-2x)=-cos2x③当tana•tan^=1,。+0=比兀+兰伙gZ)；tana-tan/?=-l,a-p=k7r+—伙wZ).x+兰+2仪是同一函数，而尸伽+0）是偶函数，则2>y=(亦+0)=sin(e+Atf+—7F)=±cos(亦)•⑦函数^=tanx在R上为增函数.（x）［只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f（力具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f（-x）=f（x），奇函数：f（-X）=-f（x））奇偶性的单调性：奇同偶反.例如1：y—tnnx是奇函数，=丫311（兀+丄龙）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若Owx的定义域，则于（兀）一定有/（o）=o.（00x的定义域，则无此性质）V=cos2x+丄的周期为龙⑨）=si咽不是周期函数；y=|sin^为周期函数（丁=龙）;「"y=co弭是周期函数（如图）；（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:y=f(x)=5=f(x+k\keR.11、三角函数图象的作法:1）、几何法:\n2）、描点法及其特例—五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin（a）x+（p）的振幅|A|,周期卩=互，频率心丄=回，相位cox+（p\初相0|e|T2兀（即当x=0时的相位）.（当A>0,3>0时以上公式可去绝对值符号），由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1）或缩短（当OV|A|<1）到原来的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|g）|<1）或缩短（|3|>1）到原來的I丄I倍，得到y=siCOsin(QX的图象，叫做周期变换或叫做沿X轴的伸缩变换.（用3X替换X）由y=sinx的图象上所有的点向左（当（p>0）或向右（当（p<0）平行移动丨（P丨个单位,得到y=sin（x+（p）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.（用x+（p替换x）由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动丨b丨个单位,得到y=sinx+b的图彖叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b）替换y）由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin（3x+（p）（A>0,>0）（xWR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数y=sinx,〔兀穴］）的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx,它的定义域是［—1,1L22」丿1］,值域是「_兀兀］・922函数y=cosx,（用［0,兀］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx,它的定义域是［一1,1］，值域是［0,兀］.函数的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanr,它的定义域是（一8,+OO）,值域是（兀兀）.9—I22丿函数）；=ctgx,［xW（0,刀）］的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgx,它的定义域是（一8,+8）,值域是（0,穴）.II.竞赛知识要点一、反三角函数.1.反三角函数：⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin^）=-arcsinx,xe［-l,l］（—定要注明定义域，若X€（-oo,+oc）,没有兀与y对应，故y=sinx无反函数）\n注：sin(arcsinx)=arcsinxg-—•12■■⑵反余弦函数y=arccosx非奇非偶，但有arccos^x)+arccos(r)=■+2k/r,[-1,1].注：®cos(arccost)=x,xg[-1,1]>arccosxg[o,^].②y=cosx是偶函数，y=arccos兀非奇非偶，而y=sin兀和y=arcsinx为奇函数.TTTTy=airtanx是奇函数,⑶反正切函数：尸aiutan兀，定义域(-oo,+oo),值域(-二冬)arctan(-x)=-arctaav，XG(—oo,+oo).注：tan(arctaix)=兀，XG(-oo,+oo)・⑷反余切函数:y=arccotx定义域(_oo,+oo),值域(-|,|)y=arccotx是非奇非偶.arccot(rx)+arccot(x)=兀+2k/r,Xe(-oo,+oo).注：©cot^rccotx)=XG(-oo,+oo).②y=arcsinx与y=arcsinO-x)互为奇函数，y=arctanx同理为奇而y=aircosx与y=arccotxWE奇WE偶但】酋足arccos+arccosx=7r+xe[-1,1]^/rccotx+arccot(-x)=7r+2kjr、xe[-L1]•⑵正眩、余弦、正切、余切函数的解集：。的取值范围解集①sinx=a的解集cz\>10d=1{x|x=2Z:^+arcsine,/:eZ}QV1£|兀=Avr+(—1)*arcsina,kwZ③tanx=a的解集：{x\x=k7r+arctank。的取值范围解集②cosx=a的解集6/|>l0\ci=1{x\x=2k7t4-arccosc/,k^Z]Q<|{x\x=k7i±arccos6f,keZ}③cotx=a的解集：{x|x=br+a『ccota*wZ}二、三角恒等式.绘osacos2acos4a・・.cos2"tz=sin2w,1a2""sincrsin3a=3sina-4sii?acos3a=4cos3cr-3cosasin2cr-sin2p=sin(a+/?)sin(«-/?)2c?=cos//-cosa组二m畤*=1厶aaaa=cos—cos—coscos——=2482"sina2nsina2nsin(仇+l)d)cos(r+nd)sindn\n工cosd+kd)=cosx+cos(r+d)+・・・+cosa+nd)=k=0，sina+阳)=sinx+sina+/)+…+sin(r+M)=si吨+l)d)s吨+加)1sind\nzc、tana+tanB+tany-tanatanBtan/tan(a+/?+/)=———1-tantztan/7-tan/7tan/-tan/tancr组三三角函数不等式■sinx2yzcos+2xzcosB+2xycosC高中数学第五章•平面向量考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向虽的积.平而向虽的坐标表示.线段的定比分点.平而向量的数量积.平面两点I'可的距离、平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)常握实数与向星的积，理解两个向塑共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，常握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式.§05.平面向量知识要点1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法字母表示：a；坐标表示法a=xi+yj=(x,y).(1)向量的长度：即向量的大小，记作丨a丨.(2)特殊的向量：零向量a=0oIaI=0.单位向量饷为单位向量OII=1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)相反向量：a二-bU>b二-aU>a+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//b.平行向量也称为共线向量.\n3.向量的运算运算类型儿何方法坐标方法运算性质向量的1.平行四边形法则a+b=b+aa+b={x}+冷，丁1+力)加法2.三角形法则(d+Z?)+c=a+(/?+c)AB+BC=AC向量的减法三角形法则a-b=(xl-x2,yi-y2)ci—b=a+(—/?)AB=~BA,OB-OA=AB数乘向里1.加是一个向量，满足：\Aa\=\A\\a\2.2>0时，/la与q同向；Q〈0时，兄°与Q异向；2二0时，Aa=0.加=(銘Ay)久(“a)=(S)q(A+小a=+/na2(a+b)=>la+肋allb<^>a=Xb向量的是一个数a^b=b^a1.a=0或Z?=0时，(加)・b=a・(肋)=2(a•b)a・b=斗儿2+W2数量积6/•Z?=0.(a+b)^c=a^c+b^cghO且QhOB寸，9a=\a即|a|二J兀$+尹2aab=|d||b|cos(a")4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理创，的是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数儿，人2,使。=人1©+久202.(1)两个向量平行的充要条件a//b<^>a=b(b^0)<^>Xiy-2~xzy\=0.(2)两个向量垂直的充要条件a丄方Od•方=0<=>兀M：2+yiy2=0.(3)线段的定比分点公式设点P分有向线段片鬥所成的比为久，即片P=入P匕，则\n―1—>1——>=(线段的定比分点的向量公式)%!+AX,x=—(线段定比分点的坐标公式)1+21+A当久=1吋，得中点公式:丽冷(丙+亦)或y=x}+x2x+儿2(1)平移公式设点P(x,y)按向量a=(力，k)平移后得到点PW,)，'),则OP'=OP+a或x=x+h,y‘二y+k.曲线y=/(Q按向量a=(力，A)平移后所得的曲线的函数解析式为:y—k=f(x—力)(1)正、余弦定理正弦定理：-^―=-^―==2R.sinAsinBsinC余弦定理：/=//+(?—2比cos/1,b~=c+a2—2cacosB,c=a+h"—labcosC.（7）三角形面积计算公式：设AABC的三边为弘b,c,其高分别为几“为R，r.®S^=\/2aha=\/2hhb=1/2ch（.@Szs=l/2sinC•ab=l/2ac•sinB=l/2cb*sinAhb，he，半周长为P，外接圆、内切圆的半径②S△二P厂③S、=(ibc/4R⑤屁=y］P(P-a\P-bXP-c)［海伦公式］@Sa=1/2(b+c-a)5［如下图1=1/2(b+a-c)rc=l/2(a+c・b)m［注］:到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心f如图：』IE图2图3图4图1中的/为S^abc的内心，S—Pr\n图2中的/为S/mbc的—个旁心，S^=l/2Cb+c-a)ra附：三角形的五个“心”:重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸己知<90是AABC的内切圆，若BC=a,AC=b,AB=c[注：$ABC的半周长，即a+b+c]2贝9：®AE=s-a=\/2(b+c-a)®BN=s-b=1/2Ca+c-b)@FC=s-c=\/2Ca+b-c)综合上述：由己知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边(如图4).特例：已知在Rt'ABC,c为斜边，则内切圆半径"(如图3).2a+b+c⑹在△ABC屮，有下列等式成立tan44-tantanC=tan4tanBtanC.证明：因为A+B=;r—C,所以lan(A+B)=lan(/r—C),所以tanA+tanB=-tanC,二结论！I-tanAtan/?(7)在zMBC中，D是BC上任意一点，贝UD2=AC~BD+AB~BC-BD-DC.BC证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2=AB2+BD2-2-AB-BDcosB--®在AABC中，由余弦定理有cos』E七C?…②，②代入⑪化简2ABBC可得，AD2ac2bd^b2bc-bddc(斯徳瓦定理)A»BC/I\囹I5①若仙是BC上的中线，ma=^lb2+2c2-a2；//\②若AD是ZA的平分线，ta=—^bc^p-a),其屮p为半o°b+c③若AD是BC上的高，ha=-ylp(p-a\p-b\p-c),其中卩为半周长.a⑻ZXABC的判定：c2=a2+b2<^>/\ABC为直角△<=>ZA+ZB=!L2c2/\ABC为钝角△U>ZA+ZB<-2c2>a2+b2^>/\ABC为锐角△OZA+ZB>-2附：证明：cosC=""一",得在钝角ZvlBC中，cosC0<=>a2+b2-c2-a2+b2^c22ab⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.\n空间向量1.空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB=OA+AB=a-^bBA=OA-OB=a-bOP=Aa(A^R)运算律：⑴加法交换律：a+b=b-^a(2)加法结合律：(5+^)+c=3+(^+c)⑶数乘分配律：2@+万）=巫+疝1•共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.Q平行于卩记作alib.当我们说向量刁、5共线（或a//b）时，表示厅、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.2.共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量矗、b（5工0）,a//b的充要条件是存在实数几使万=Xb・推论：如果/为经过已知点A且平行于已知非零向量&的直线，那么对于任意一点0,点P在直线I上的充要条件是存在实数t满足等式OP=OA+ta・其中向量N叫做直线/的方向向量.3.向量与平面平行：已知平面Q和向量作OA二d,如果直线0A平行于q或在a内，那么我们说向量a平行于平面a,记作：alia.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.说明：空间任意的两向量都是共面的.4.共面向量定理：如果两个向量d"不共线，"与向量d#共面的充要条件是存在实数兀丿使p=xa+yb・推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对使\nMP=xMA+yMB或对空间任一点0,有OP=OM+xMA+yMB①①式叫做平面MAB的向量表达式.7•空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量卩，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使〃二m+yb+zc・推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数兀,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC・8•空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,在空间任取一点0,作OA=ci,OB=b,则ZAOB叫做向量。与b的夹角,记作；且规定0<<7V,显然有=；若JI=—,则称d与b互相垂直，记作：a丄b・29.向量的模：设=则有向线段04的长度叫做向量a的长度或模，记作:|^|.10.向量的数量积：ab=\a\-\b\cos.已知向量AB=a和轴/,£是/上与/同方向的单位向量，作点A在/上的射影A',作点B在/上的射影B,则A'B'叫做向量AB在轴I上或在€上的正射影.可以证明A!Bf的长度\AfBfHAB\cos=\a-e\.11.空间向量数量积的性质：(1)a-e=\a\cos・(2)a丄bu>ab=0・(3)|a^=a-a・12.空间向量数量积运算律：(1)=A(a-b)=a-(Ab)・(2)ah=ha(交换律)(3)a•(方+c)=(分配律)•空间向量的坐标运算一.知识回顾:\n（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的兀轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令0二（0|,02,。3）必=（仇"2，仇），贝IJa+b=(a〕±Z?[,ci2±b2心±/?3)a-b=aibl+a2b2+ciiib3a//b<^>ax=Abx,a2=Ab2,a3=Ab3(AeR)d丄b<=>«1Z?1+6Z2^2+6Z3^3=^:卜后二斤+才+叮（用到常用的向量模与向量之间的转化：開=打斗卜后）cos=db|万|・|亦a[b[^a2b2+a3b3Jaf+a；+a]•Jbf+炭+/?孑②空I可两点的距离公式：d=yj(x2-x1)2+(y2—.Vj)2+(z2-2j)2.（2）法向暈：若向量a所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作：丄如果a丄a那么向量a叫做平面a的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到而的距离定理：如图，设n是平面a的法向量，AB是平而cr的一条射I•■»线，其中Awa,则点B到平而。的距离为辱Ml②利用法向量求二面角的平面角定理：设〃"2分别是二面角«-/-0屮平面"0的法向量,则n},n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同’则为补角，〃|丿反方，则为其夹角）.②证直线和平面平行定理：已知直线aHU平面a,且CDE三点不共线,则a〃&的充要条件是存在有序实数对2•“使AB=ACD+juCE.（常设~AB=ACDjliCE求解2,“若2,“存在即证毕，若2,“不存在，则直线AB与平面相交）.Pnia高中数学第六章-不等式考试内容：不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明.（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数的定理，并会简单的应用.\n（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.（4）掌握简单不等式的解法.（5）理解不等式|a|-|b|^|a+b|^|a|+|b|§06•不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：a-b>0oa>b;a-b=0oa=b;a-b<0oab<^bbda+c>b+c（加法单调性）（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）⑸a>b,ca-c>b-d（异向不等式相减）（6）a.>b,c>0=>ac>be（7）a>byc<0=>acb>0,c>d>0^>ac>bd（同向不等式相乘）⑼心b>0,0vcvd„（异向不等式相除）cd（10）a>^ab>0=>-<-（倒数关系）ab（11）a>b>0^>an>b'\n^Z^n>\）（平方法则）（12）a>h>0=>^>^[h（ne乙£Ln>l）（开方法则）3.儿个重要不等式（]）若awR,!J!lJ|«|>0,«2>0（2）beR+,KiJf/2+b2>lalA^a2+Z?2>21ah\>2ctb）（当仅当a二b时取等号）（3）如果Q0都是正数，那么4^b<—（当仅当3二b时取等号）2极值定理：若x9y^R',x+y=S,xy=P9则：①如果P是定值，那么当兀时，S的值最小；②如果S是定值，那么当时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.⑷若°、人cw/T,则空业n痂（当仅当a二b二c时取等号）3\n（5）若仍>0,则？+牡2（当仅当沪b时取等号）ab(6)^7>00寸jxAaor2>crx<-a或x>a;\x\W/?卫=方=（?时取劄1I3丿二>幕平均不等式：a；+dj+...+G：丫一（6Z|+CI-）+...+g“）2n注：例如：（ac+bd）2<（a2+Z?2）（c2+tZ2）.常用不等式的放缩法：①丄—丄丄—^=-L-1（h>2）n/7+1n（n+l）/广«（/?-!）n-ln②Jn+l-\[n=1眉+Jn+114n+4n-\=y[n-4n-\(n>1)（2）柯西不等式：若。]卫2山3，・・・4W尺也厶厶；•也WR；缨）°（a、b、+勺仇+。3仏+…+①/门）~S（ci\+a?+a亍+…+a；）（b「+b[+b；+・••/?；）当且仅当鱼=玉=空=…=玉时取等号%方2“3叽（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数F（X）,对于定义域中任意两点心七3北兀2），有川+疋）三）+/（%）或/（旺）+/（兀2）~Y则称f（x）为凸（或凹）函数.2.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.3.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式姒”解的讨论；②一元二次不等式d+bx+c>0（aHO）解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则44>()o/(Qg°)>();g(x)^>0<=>pww-°g(X)[g(x)H0\n（3）无理不等式：转化为有理不等式求解\n<=>©皿腮a或阴③加ygo悶劈°/（X）V[g（X）]2（4）・指数不等式：转化为代数不等式af(x)>ag{x\a>1)of(x)>g(x);aJ(x)>ag(x)(0f(x)b(a>0,乃>0)o/(x)lg<7>lg/?(5)对数不等式：转化为代数不等式7w>oIog«f(x)>log“gCv)(d>1)o{g(x)>0fM>g(x)/U)>0log“f(x)>log“g(x)(OVGV1)o0/(x)vg(x)（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想;③应用化归思想等价转化|/（X）|g（x）og（兀）&（兀）注：常用不等式的解法举例（X为正数）：®x（1-x）2=1.2x（1-x）（1-x）<1（|）3=±②）（―）斗|）諾手类似于y=sinxcos2x=sinx(l-sin2x),③|兀+丄冃兀|+|丄|(x与丄同号，故取等)X2XXX高中数学第七章-直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角•点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题.曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.圆的标進方程和一般方程.圆的参数方程.考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.（3）了解二元一次不等式表示平面区域.（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用.（5）了解解析儿何的基木思想，了解坐标法.（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程.\n§07.直线和圆的方程知识要点一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与I轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为o,故直线倾斜角的范围是y180°（00）则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程y=+当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果R"变化时，対应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0,b）的直线束.②当R为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：2。鸟产紅两条直线平行的条件是：①“和心是两条不重合的直线•②在“和匚的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提"都会导致结论的错误.（一般的结论是:对于两条直线屮2,它们在y轴上的纵截距是b,2,则l\〃Rok尸灯，且b严心或/］丿2的斜率均不存在，即A}B2=B}A2是平行的必要不充分条件，且C］工C2）推论：如果两条直线/］丿2的倾斜角为。|，。2则“〃/2clfl=a2-⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线人和仇的斜率分别为你和紅，则有/屮2。卅2=-1这里的前提是人厶的斜率都存在•②/］1/2<=>^1=0,且?2的斜率不存在或紅=0,且“的斜率不存在.（即A）B2+A2Bi=O是垂直的充要条件）4.直线的交角：⑴直线人到0的角（方向角）；直线人到的角，是指直线人绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角0，它的范围是（0皿），当&工90。时ta心斗字.［+k}k2⑵两条相交直线/】与匚的夹角：两条相交直线“与4的夹角，是指由人与仏相交所成的四个角中最小的正角&,又称为“和4所成的角，它的取值范围是［0,yl,当。工90°,则有1+k}k2\n1.过两直线/,：A,X+B，y+C,=°的交点的直线系方程+C1+a（A^+B2J+C2）=0（2l2:A2x+B2y^C2=0为参数，A2x+B2y+C2=0不包括在内）2.点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点戶（勺,），（）），直线l:Ax+By+C=0.P到/的距离为d,则有\AxQ+ByQ+C\d=—.注：1.两点Pi（Xi,yJ、P2（X2,y2）的距离公式：|P}P2|=^（x2-x}）2+（y2-y}）2.特例：点P（x,y倒原点O的距离：|OP|=Jx?+b2.定比分点坐标分式。若点P（x,y）分有向线段丽所成的比为腿吒―久⑦，其屮Pi（xi,yJ,P2（X2,y2）.贝iJ兀=曲+亠,y='+/1+21+2特例，屮点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0°Wq<180°）、斜2?:A:=tancr4.过两点片（西,必）,只（兀2，乃）的直线的斜率公式：Z：=AZ21.（旺工花）x2-X］当西=尢2，必工丁2（即直线和兀轴垂直）时，直线的倾斜角4=90。，没有斜率.⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线:Ax+By+C>0厶：心+By+C2=0（C^C2）,它们之间的距离为d,则有J=j£iz£i^3+b2注；直线系方程1.与直线：Ax+By+C二0平行的直线系方程是：Ar+By+加=0.(加R,C去加).2.与直线：Ax+By+C二0垂直的直线系方程是：B.r-Ay+/?7=0.(加R)3.过定点(兀』)的直线系方程是：A(x-X|)+B^-y])=0(A,B不全为0)4.过直线厶、<2交点的直线系方程：(Apr+Biy+Ci)+A(A2a-+B2>'+C2)=0(AeR)注：该直线系不含/2.3.关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上(方程①)，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.\n注：①曲线、直线关于一直线(y=±x+b)对称的解法：y换x,x换y.例：曲线f(xj)=0关于直线y=x-2对称曲线方程是fiy+2-2)=0.②曲线C:./(x,j)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是2b-)，)=().二、圆的方程.1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程/(x,y)=()的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形).⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(兀,y)其坐标与方程/(a;j)=()的一种关系，曲线上任一点(兀,)，)是方程/(x,y)=0的解；反过來，满足方程/(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点Po(xo,y)线C上的充要条件是f(x0,y())=02.圆的标准方程：以点C(a.b)为圆心，厂为半径的圆的标准方程是(x-a)2^y-b)2=r2.特例：圆心在坐标原点，半径为厂的圆的方程是：x2+y2=r2.注：特殊圆的方程：①与I轴相切的圆方程(x-a)2+(y±b)2=b2k=|4圆心(％)或(么-方)]②与y轴相切的圆方程(x±a)2+(y-b)2=a2[r=圜心'(g,Z?)或(-③与I轴y轴都相切的圆方程(x±«)2+(y±a)2=a2[r=问,圆心(土d,土cz)]3.圆的一般方程：x2+>2+Dx+Ey+F=0.当Z?2+£2-4F>0时，方程表示一个圆，其中圆心cf,半径[222当£>2+左2_4尸=0时，方程表示一个点-二-土.I22；当D2+E2-4F-<()吋，方程无图形(称虚圆).注：①圆的参数方程：f=f+rC0Sf(0为参数).y=b+rsm0②方程Ax24-Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：3=0且A=ChO且D2+E2-4AF^0.③圆的直径或方程：己知A(x^yi)B(x2,y2)=>(尤-小)(兀-兀2)+(歹-丁|)(，-)々)=0(用向量可征).4.点和圆的位置关系：给定点愀必』0)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2.①M在圆C内o(勺一。)2+0()-仍2y/*2②M在圆C上o(x0-6/)2+(>'0-Z7)2=r2③M在圆C外O(Af0-iz)2+(>\)-/?)2>r25.直线和圆的位置关系：设圆圆C：(x-^)2+(>'-^)2=r2(r>0)；直线/：Ax+By+C=O(A2+B2^O)；\n圆心c(a.b)到直线/的距离d=仔恥.Jf+B?①〃=厂时，/与C相切；附：若两圆相切，则r?y7D,x+£,y+F,=0=相减为公切线方程.x^+y2+D2x+E2y+F2=0②dYT•时，/与c相交；附：公共弦方程：d^x2+.y2+P1x+E1.v+F1=0C2,.x2+y2+D2x+E2y+F2=^有两个交点，则其公共弦方程为(D1-D2)^+(E1-E2)j4-(F1-F2)=o.③da厂时，/与c相离.附：若两圆相离，则=>相减为圆心0。2的连线的中与线方程.x2^y2+D2x+E2y+F2=0由代数特征判断：方程组[(—d)2+(y")2*用代入法，得关于X(或y)的一元二次方[Ax+Bx+C=0程，其判别式为△,贝9：A=0o/与C相切；△AOO/与C相交；△yOo/与C相离.注：若两圆为同心圆则x24-y24-£)1x+F|/?>0).ii-中心在原点，焦点在y轴上:(Cb-29②一般方程：AF+3y2=l(AA0,3»0).③椭圆的标准参数方程：二+匚“的参数方程为CT『产(COS?(一象限&应是属于0y&yS.y=bsinu2⑵①顶点：(±40)(0，土仍或(0,±0)(±方,0).②轴：对称轴：兀轴，y轴；长轴长加，短轴长”.③焦点:(—c,0)(c,0)或(0-c)(0,c).④焦距:\F{F^=2c.c=2=程2」2.⑤准线：X=±—或C2y=±—.©离心率：e=£(OY0Yl).⑦焦点半径：Car2v2i.设P(x0,y0)为椭圆S+g=l(d"A())上的一点，Fl，®为左、右焦煦Fi|眇+%，『F2|=g由椭圆方程的第二定义可以推出.22ii•设PCT。J。)为椭圆耳+―=l(aAba0)上的一点，FhF2为上、下焦点|尸唧二。+%|“2|=cr由椭圆方程的笫二定义可以推出.由椭圆第一定义门」知：|/巧|=e(x0+—)=a+%(心Y0),I/?F2|=e■-x0)=exQ-a(x^-0)归结起來为%=>b2门_纱0=>“左加右减二注意：椭圆参数方程的推导：得N(dcosgbsinO)->方程的轨迹为椭圆.⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d二吗一c,巴)和(°£)crcia\n27⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆W+W/?"=l@AbA0）的离心率是e=-（c=yla2-b2）,方ax2程討召M是大于。的参数’小7的离心率也是唁我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.22⑸若P是椭圆：斗+耳=1上的点4，尸2为焦点，若ZF\PF2=&，则厶PF产的面积为CTb-（用余弦定理与\PF^\PF2\=2a可得）.若是双曲线，则面积为/cotf.Z?tan—2二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义：1“2卜2dY|F]F2|方程为双曲线||pf1|-|pf2||=2«>|f1f2|S轨迹⑴①双曲线标准方程：2”計T°）•一般方程：||PF1|-|PF2||=2fl=|F1F2|y>Fl,F2lW-个端点的一条射线2?方和污“吟手"参数方程:x=btan&y=asecOaF+g2=i（acyo）・⑵①i.焦点在x轴上:2顶点：（d,0）,（-d,0）焦点：（c,0）,（-c,0）准线方程x=±—渐近线方程：兰±丄=0或Cab2b2②轴兀y为对称轴，实轴长为2°,虚轴长为2b,焦距2c.③离心率e=-.④准线距加'a9线方程Wcr（两准线的距离）；通径么.⑤参数关系cii.焦点在y轴上：顶点：（0,-d）,（0,a）.焦点：（0,c）,（0-c）.准线方程：y=±「.渐近线C=a2^h\e=-.⑥焦点半径公式：对于双曲aa2r=1（FPF2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：司，椭圆焦半\n\MF2\=eyQ+af=-ey（）+a=-ey（）-a⑶等轴双曲线：双曲线兀2_),2=±护称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±X,离心率幺=血.⑷共觇双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轨r222222双曲线•二“与二一与“兄互为共轨双曲线，它们具有共同的渐近线：―-笃=0.a2b2a2b2a2b2⑸共渐近线的双曲线系方程：筈-笃"(2^0)的渐近线方程为二-耳=0如果双曲线的erXcrb~渐近线为-±^=0时，它的双曲线方程可设为笃-—=2"工0).aba2b2例如：若双曲线一条渐近线为y=^x且过0(3,-*),求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：--^2=2(2^0),代入(3--)得手-一=1.4282⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数H可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“△”法与渐近线求交和两根之和与两根Z积同号.⑺若P在双曲线则常用结论1：P到焦点的距离％m=n,则P到两准线的距离比为m:n.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三.抛物线方程.3•设抛物线的标准方程、类型及其几何性质:\n注：①6|F]F2l)的点的轨迹1.到两定点F|,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|FiF2|)的点的轨迹2•与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0l)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程x2y2厂2>0>0)x2y2厂;⑴<-0,b>0)y?二2px参数方程[x=acos0[y=bsin0(参数劝离心角)(x=aseed[y=btan0(参数劝离心角)[X=纠:(t为参数)[y=2刃范围—aa,yeRx>0屮心原点O(0,0)原点0(0,0)顶点(a,0),(一a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(—a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.X轴住占八八八、、Fi(c,0),F2(-c,0)Fi(c,0),F2(~c,0)F(彳,0)焦距2c(c=Jd?—b2)2c(c二Ja，+/?，)离心率£=£(O"V1)ae=—(e>l)ae=l准线9x=±—c9vx=±——c2渐近线.by=±—xa焦半径r=a±exr-±(ex±a)r=x^2通径2b2a2b2a2p焦参数9CTCa2cP1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2.等轴双曲线3.共辄双曲线5.方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.6.共渐近线的双曲线系方程.\n高中数学第九章-立体几何考试内容平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.对应边分别平行的角.异血直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角•两个平面垂直的判定与性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系.（2）掌握两条直线平行与垂直的判泄泄理和性质左理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线吋的距离.（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理.（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面I'可的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.（5）会用反证法证明简单的问题.（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.（7）了解棱柱的概念，学握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.（8）了解棱锥的概念，常握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.9（B）.直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基木性质.平面图形直观图的画法.平行直线.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理.两个平面的位置关系.空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向量的数量积.直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面垂直的性质.平面的法向量•点到平面的距离.直线和平面所成的角.向量在平面内的射影.平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定和性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求：（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出\n空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系.（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理.（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算.（5）掌握空间向暈的数暈积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空I'可两点I'可距离公式.（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理.（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念.（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图.（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式.（考生可在9（A）和9（B）中任选其一）§09.立体几何知识要点—、平面.1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2.两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3.过三条互相平行的直线可以确定1或3个平血.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）［注］:三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4.三个平面最多可把空间分成部分.（X、Y、Z三个方向）二、空间直线.1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线一共面有反且有一个公共点；平行直线一共面没有公共点；异面直线一不同在任一平面内［注］：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（X）（可能两条直线平行,也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线°、b异面,。平行于平面a,b与a的关系是相交、平行、在平面&内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条肓线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（X）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（X）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦“是夹在两平行平面间的线段，若Cl=b,则zb的位置关系为相交或平行或界面.2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异而直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角\n相等（如下图）.\nX/z<2方向相同（二面角的取值范围<9g［o,180））（直线与直线所成角0w（（y,9O」）（斜线与平面成角&w（0。,9（T））（直线与平面所成角&g［0\90u］）（向量与向量所成角0g［0;,18CT］）推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.1.两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.厶」2是异面直线，则过也外一点P，过点P且与厶」2都平行平面有一个或没有,但与也距离相等的点在同一平面内.（「或厶2在这个做出的平面内不能叫厶I与厶2平行的平面）三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平而平行.（“线线平行，线面平行”）［注］:①直线d与平面&内一条直线平行，则a//a.（X）（平面外一条直线）②直线°与平面a内一条直线相交，则°与平面q相交.（X）（平面外一-条直线）③若直线。与平面a平行，则Q内必存在无数条直线与d平行.（J）（不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平而，那么另一条也平行于这个平面.（X）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（X）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（X）（两直线可能相交或者异面）⑦直线/与平面0所成角相等，则a//P.（X）（y、0可能相交）3.直线和平而平行性质定理：如果一条直线和一个平而平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.•若PA丄。丄AO,得。丄PO（三垂线定理），得不出a丄PO.因为°丄PO,但PO不垂直OA.•三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平而.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.［注］:①垂直于同一平面的两个平面平行.（X）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平•••••••••面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（V）（—条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平而）③垂直于同一平面的两条直线平行.（J）5.⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段川，①射影••相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线\n段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.［注］:垂线在平面的射影为一个点.［一条直线在平面内的射影是一条直线.（X）］⑵射彫定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、平面平行与平面垂直.1.空间两个平而的位置关系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.［注］:一平而间的任一直线平行于另一平而.3.两个平面平行的性质定理：如果两个平而平行同时和第三个平而相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.P推论：如果两个相交平面都垂直于笫三平面，则它们交线垂直于笫三平面.证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于因为PMu0、OA丄丄a则PM丄OA,PM丄08.Pa6.两界面直线任意两点I'可的距离公式：I=+^2+〃2+2加刃cos〃（&为锐角取加，&为钝取减，综上，都取加则必有&屮,壬）7.⑴最小角定理：cos0=cosQ］cosg（勺为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（ZPB7为最小角）Mi(ho图1简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，成角比交线夹角一半大，成角比交线夹角一半小，五、棱锥、棱柱.又比交线夹角补角小，一定有2条.又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.1.棱柱.⑴①直棱柱侧面枳：S=Ch（C为底面周长，力是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得111的.②斜棱住侧面积：s=C|/（G是斜棱柱直截面周长，/是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.（2）｛四棱柱｝二｛平行六面体｝二｛直平行六面体｝二｛长方体｝二｛正川棱柱｝二｛正方体｝.｛直四棱柱｝c｛平行六面体戶｛直平行六面体｝.EL+4底面是\卄'-石/丄侧棱垂直底面是膿柱帀而萨平仃八醉飞厂用千仃価F»长方体峠計正醱噓討正方体⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱\n\n柱的各个侧面都是舍等白•勺粗丿族②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.••③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（X）（直棱柱不能保证底面是钳形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：乎彳亍木即作白•勺对角线交于二点，并且在交点处互相平分.［注］:四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线氏的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为疣,0』，则CO^ar4-CO%/?4-CO%/=l.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为a.p.y,则cosa+cos/7+cos/=2.［注］:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（X）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）■③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（X）（只能推出对角线相等，推不出底而为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必婆不充分条件是棱柱有•条侧棱耳底血的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.［注］:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱=Sh=3V棱柱.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的屮心.［注］:i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）i.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等ii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：S=2Ch（底面周长为c，斜高为力'）③棱锥的侧而积与底而积的射影公式:（侧面与底面成的二而角为Q）以知C丄cosa-a=b9a为二面角a-1-b.则S]①,cosa-a=b③亠①②③\nCOSQ\n注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧血都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，•正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底而各边距离相等，则顶点在底而上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心/是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.［注］:i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（X）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）;ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.7r\B简证：AB丄CD,AC丄BD=>BC丄AD.^AB=a,AD=cyAC=bBV得BC=AC—AB=b—a,AD=c=>BC-AD—bc—ac，已知d£-b）=O,/?£-（?）=（）ffff_-^>ac-bc=O贝ljfiCiii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC中点O,则oofVAC.BOf丄丄平面OC丄BOnZFGH=90°易知EFGH为平行四边形=>EFGH为长方形.若对角线等，则EF=FGnEFGH为正方形.2.球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：S=4ttR2.②球的体枳公式：V=-7rRi.3⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上4,3两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.附：①圆柱体积：V=m-2h（厂为半径，为高）②圆锥体积：V=-m-h（厂为半径，力为高）3③锥形体积：力（S为底面积，h为高）3\n2.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a,h=^-a,S萨込宀344得a-^-a2R+434344344注：球内切于四面体：Vb_acd=§%・R・3+§S底・R=S底・h②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六.空间向量.1.（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若：与&共线，&与：共线，则：与;•共线.（X）［当&=6时，不成立］②向量亦,；共面即它们所在直线共面.（X）［可能异面］②若a//b,则存在小任一实数2,使a=Ab.（X）［与&=6不成立］③若方为非零向量，贝lJO-«=O.（V）［这里用到积仍为向量］（2）共线向量定理：对空间任意两个向量ai（b0）,a〃：的充要条件是存在实数兄（具有唯一性）,使：=妨・（3）共面向量：若向量：使之平行于平面&或：在a内，则：与伐的关系是平行，记作a//a.（4）①共面向量定理：如果两个向量：，&不共线，则向量P与向量共面的充要条件是存—*ff在实数对兀、y使P=xa+yb.②空间任一点O和不共线三点A、B、C,则丽=xOA+zOC{x+y+z=\）是PABC四点共面的充要条件.（简证：OP=（\-y-z）OA+yOB+zOC=AP=yAB+zAC^P.A、B、C四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2.空间向量基本定理：如果三个向量•不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一•••••••的有序实数组兀、y.z,®p=xci+yb+zc.推论：设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯-的有序实数组儿八z使OP=xOA+yVB+zOC（这里隐含x+y+z^l）.注：设四面体ABCD的三条棱，I•I—>ffI••.中Q是Z\BCD的重心，则向量AQ=-（a^rb+c）用A0=AM+MQ即证.3.（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的兀轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令。二（％,°2,。3）必=（勺"2“3），贝U\nff—#ffa+b=（a}±bl,6r2ztZ?2,（73ztZ?3）Aa=（加］，加2,加3）（久G/?）a•b=a、b、+a2b2+a3b3a//l）<=>a}=Abx,a2=Ab2,a3=gR）<=>—=-^-=—d丄7oa、b】+a?bq+a363=0UjU9D3:卜后二/十+〜彳刊/（用到常用的向量模与向量之问的转化：卜后）_raba}b}+aob2+a3b3cosva,/?>=—=/—:/''帀卜1纠Jaf+泾+屋•肩+b孑+员①空间两点的距离公式：d=Jg-"）2十（『2一>'1）2+（乂2-Z］）2.（2）法向量：若向量：所在直线垂直于平面。，则称这个向量垂直于平面。，记作：丄&,女U果a丄a那么向量a叫做半面a的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平而a的法向量，AB是平面。的一条射线，其中Aea,则点B到平面a的距离为堂賀.②利用法向量求二面角的平面角定理：设入，云分别是二面角a-l-0中平面a,0的法向量,则®宀所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（①宀方向相同，则为补角皿"2反方，则为其夹角）•②证直线和平面平行定理：己知直线0«:平面a,ABea.CDea9且CDE三点不共线,则a〃a的充要条件是存在有序实数对久•“使~AB=Xcb-^jL^CE.（常设~AB=WD+piCE求解2,“若2,“存在即证毕，若2,“不存在，则直线AB与平面相交）.II.竞赛知识要点\n1.对照平面儿何屮的三角形，我们不难得到立体儿何屮的四而体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3：1；④12个面角之和为720。,每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.2.直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面儿何的直角三角形.（在直角四面体中，记V、1、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2aabc+S\bcd+SNabd=SNacd.3.等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形•根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.D2A2777J2*>I2^-crcr+cr—trcr+b^-c^22①等腰四面体的体枳可表示为宀■'（在等腰四面体ABCD中，记BC二AD二a,AC=BD=b,AB=CD=c,体积为V,外接球半径为R,内接球半径为r,高为h），则有②等腰四面体的外接球半径可表示为③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为m=^-^a2+b2+c2:@h=4r.二、空间正余弦定理.空间正弦定理：sinZABD/sinZA-BC-D=sinZABC/sinZA-BD-C=sinZCBD/sinZC-BA-D空间余弦定理：cosZABD=cosZABCcosZCBD+sinZABCsinZCBDcosZA-BC-D立体几何知识要点一、知识提纲（一）空间的直线与平面1•平而的基本性质⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途.⑵斜二测画法.2.空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异而直线.⑴公理四（平行线的传递性）.等角定理.⑵异面直线的判定：判定定理、反证法.⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围.3•直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质.4•直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理.⑵三垂线定理及逆定理.2.平面和平面平行\n两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质.2.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理.（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离3.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余眩公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角.⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角.②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理.&距离⑴点到平面的距离.⑵直线到与它平行平面的距离.⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段.⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段.（四）简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑴多面体.⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质.⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质.⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质.⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法.10.多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式.⑵正多面体.11.球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离.⑵球的体积公式和表面积公式.二、常用结论、方法和公式1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若ZAOB二ZAOC,则点A在平面ZBOC上的射影在ZBOC的平分线上；2.已知:直二面角M-AB-N中，AEuM,BFuN,ZEAB二&PZABF=6^2,异面直线AE与BF所成的角为0,则cos〃=cosqcos<92;3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是仇，AC在平面内，BC和AB的射影BA】\成&2，设ZABC=&3，则COSCOS&2二COS03；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另i条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方\n体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；\n1.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；2.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：己知二而角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S尸S原cos0,其中〃为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。3.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；4.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为&,则S侧cos&二S底;5.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2^+cos2^+cos2/=l;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为a,0,儿则有cos2a+cos2/}+cos2y=2;6.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；7.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F—E=2；并且棱数E=各顶点连着的棱数和的一半=各而边数和的一半；8.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体二Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.9.直棱柱的侧面积和全面积S宜极柱侧二cP（c表示底面周长，0表示侧棱长）S棱柱全=S底+S侧10.棱锥的体积:V检惟电S/2,其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。311.球的体积公式V=-^?3,表面积公式S=4加？S学握球面上两点A、B间的距离3求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角ZAOB的弧度数；（3）用弧长公式计算劣弧AB的长；高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.\n二项式定理.二项展开式的性质.考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.§10.排列组合二项定理知识要点—、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可IUWMMtgM的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二......第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m=例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？(解：加”种)二、排列.1•⑴对排列定义的理解.定义：从/?个不同的元素中任取加伽9)个元素，营欝二建丿卿予排成一列，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素屮取出m(nim,即叱吐1时有意义.2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲，对问题屮的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置•即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有£；种，加⑷y〃）个元素的全排列有£；；种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中加个元素次序Arl一定，共有仏种排列方法.\n例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+l）（m+2）...n=n!/m!:解法二（比例分配法）&；/&；；.cnCC"①平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.例如：从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有儿种分法？有5=3（平均分组2!就用不着管组与组Z间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其屮两名种子选手必在一组的概率是多少？（P__^£L）/2!注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有船,当n_m+l沁即叱吐L时有意义.2②隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：册+兀2+七+兀4=12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为",兀2,兀3,兀4显然X1+X2+X3+X4=12＞故（XpX2,X3,X4）是方程的一组解.反之,方程的任何一组解（”』2,儿，儿），对应看'惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图；：卜:;•卜：3•卜:•所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数C；.注意：若为非负数解的X个数，即用d,,"2，・“”中①等于兀.+1，有兀］+可+“…十£=A=＞q-1+勺-1+…劣-1=A,进而转化为求a的正整数解的个数为A+n•③定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有人；人匸；.例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：A：：；:不在某一位置上：«；—＜；］或以；+九_冷第：（一类是不取出特殊元素a,有A/；,—类是取特殊元素a,有从nvl个位置取一个位置，然后再从n・l个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的）④指定元素排列组合问题.i.从n个不同元素屮每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某「个元素都包含在内。先C后A策略，排列C；*A轨组合C；C二.ii.从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某I•个元素都不包含\n在内。先C后A策略,排列CjA：；组合C”：・iii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列C；C壮A；；组合C；C二.II.排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列)；④正难则反，等价转化策略;①相邻问题插空处理策略；②不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团''排列问题屮先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.1.组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中I•组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/A；(其屮A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组均匀分组应再除以盂.例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4,其分法种数为霍=1575.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为②非均匀编号分组：n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为4A；；：例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动，其安排方法为：崔种.若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4,参加不同的劳动，则安排方法有种③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，英屮「组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A/A；・A；；；・例：10人分成三组，人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动，分法种数为④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组I、可顺序，不管是否分尽，英分法种数为A=C黑Cn-nij…Cn_(m|+m2+...+mkj)例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5,其分法种数为C|(C；C；=252C若从10人屮选1116人分成三组，各组人数分别为1、2、3,其分法种数为g12600-五、二项式定理.1.⑴二项式定理：(a+b)"=C；忆”b°+Ch"—'b+…+CQi+…+C；；Jb”.展开式具有以下特点：①项数：共有斤+1项；\n①系数：依次为组合数c》，W，…,c：,…,c;;；②每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.a+历”展开式中的第r+l项为：Tr+i=C；Jan-rhr(OAk^[Ak2+C>34---+C>n很小，可以忽略不计。类似地，有(l-d)"=l-加但使用这两个公式吋应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.高中数学第十一章•概率考试内容：随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同吋发生的概率.独立重复试验.\n考试要求：(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.(2)了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.§11.概率知识要点1.概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2.等可能事件的概率：如果一次试验屮可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是丄，如果某个事件A包含的结果有m个，那n么事件A的概率P(A)=—.n3.①互斥事件：不可能同吋发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)二P(A)+P(B),推广：P(Al4-A2+---4-An)=P(A,)+P(A2)+---+P(An).①对立事件：西个个孩生旳耳斥事什叫对立事件.例如：从1〜52张扑克牌屮任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃'‘互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但乂不能保证英中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽其中一个必发生.__注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A4-A)=1.ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.②相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响•这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B).由此，当两个事件同时发生的概率P(AB)等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌(52张)中任抽一张设A：“抽到老K”；B：44抽到红牌”则A应与B互为独立事件［看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A)=—=丄,P(B)=^=~Lp(A》P(B)=丄.又事件AB表示“既抽到老521352226K对抽到红牌叫卩啪到红桃老K或方块老K"有p(a・B)=^=存因此有P(A}P(B)=P(AB).推广：若事件A4八4相互独立，则P(A1-A2---An)=P(A,)P(A2)--P(A11).注意：i.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与E忆与B,7与万也都相互独立.i.必然事件与任何事件都是相互独立的.ii.独立事件是对任意多个事件來讲，而互斥事件是对同一实验來讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互Z间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.③独立重复试验:若n次重SZ试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：pn(k)=C^Pk(l-P)n\n1.对任何两个事件都有P(力+B)=P(A)+P(B)-P(A・B)第十二章•概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计.总体期望值和方差的估计.考试要求：(1)了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样.(2)会用样本频率分布估计总体分布.(3)会用样本估计总体期望值和方差.§12.概率与统计知识要点一、随机变量.1.随机试验的结构应该是不确定的•试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个;②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列115,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若g是一个随机变量，a,b是常数.则n=a^b也是一个随机变量.一般地，若g是随机变量，/(X)是连续函数或单调函数，则/(歹)也是随机变量.也就是说,随机变塑的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量g可能取的值为："，无2,…心，…g取每一个值小(，二1,2,…)的概率P(§,则表称为随机变量§的概率分布，简称§的分布列.§xlX2••••••pPlP2•••Pi•••有性质①Pj>0,/=l,2,••-；②卩］+”2+・・・+几+・・・=1•注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如:匕［0,5］即§可以取0〜5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3.(1)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：Pg=k)=C^pkqn-krM中R==于是得到随机变量g的概率分布如下：我们称这样的随机变量§服从二项分布，记作§〜B(mp),其中n,p为参数，并记C：pkqn_k=b(k;np).⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体來说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.儿何分布:十k"表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为事A不发生记为Ak,P(Ak)=q,那么Pg=k)=P(A,A^---A^Ak)据\n相互独立事件的概率乘法分式：P^=k)=P(A1)P(A2)---P(Ak_1)P(Ak)=qk~'p伙=1,2,3,…)于是得到随机变量g的概率分布列.§123•••k•••pqqpq2p•••q''p•••我们称g服从儿何分布，并记g(k,p)=qk_lp,其屮q=1-p.k=1,2,3…1.⑴超儿何分布：一批产品共有N件，其中有M(Mp时，曲线下降，并II当曲线向左、向右两边无限延伸时,以X轴为渐近线，向X轴无限的靠近.⑤当“一定时，曲线的形状由<7确定，<7越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；(7越小，曲线越“瘦高"，表示总体的分布越集中.3.(1)标准正态分布：如果随机变量g的概率函数为0(X)=T=W2(_8YXY+O0),则称g服从标准正态分布.即§〜N(O,1)有從龙)=P(g<兀)，俶兀)=1-0(-兀)求出，而P(a<§(x)=0.5当①(力的X取大于0的数时，有标准止态分布曲线Sra=0.5Sa=0.5+S①(兀)a0.5.比如①(°5_“)=0.O793yO.5则"必然小于0,如图.<7CF⑵正态分布与标准正态分布I'可的关系：若歹〜则g的分布函数通常用尸(兀)表示，且有PgWx)二F(x)=0(乞史).o假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布NS，/).②确定一次试验中的収值d是否落入范围O-3(r,“+3b).③做！1!判断：如果ag(//-//+3n0)时，PG)成立，推得n=k+\时，P(n)也成立.那么，根据①②对一切自然数n>n0时，P(n)都成立.2.⑴数列极限的表示方法：①\iman=a打一>00②当n—>00时，an->a.⑵儿个常用极限：®limC=C(C为常数)71—>00②lim-L=0伙是常数)"Toonk③对于任意实常数，当|a|Yl时,lima"=O当0=1时，若a=1,贝lj\iman=1；若°=一1,则lima"=lim(-1)"不存在7J—>0071—>0O>00当"1时,lima”不存在1W->00⑶数列极限的I丿L|则运算法则：如果lima〃=a,limZ?b=b,那么H—XXOKO①1im(an±bn)=a±b>00②lim(67z?bn)=abH—>00(3)lim-=—(b^0)"gbnb特别地，如果c是常数，那么lim(C・a〃)=limC-limcq=Ca.〃一〃一>OC>oo⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|Yl时，无穷等比数列的各项和为S==JW|Y1).\-q(化循环小数为分数方法同上式)注：并不是每一个无穷数列都有极限.\n1.函数极限；⑴当自变量兀无限趋近于常数心(但不等于几)吋，如果函数/(x)无限趋进于一个常数°,就是说当兀趋近于“时，函数/(x)的极限为a.记作limf(x)=a或当时，■v->-r0注：当XTXo时，F(x)是否存在极限与/(x)在“处是否定义无关，因为并不要求X=XQ.(当然，/(X)在兀0是否有定义也与/(X)在兀0处是否存在极限无关.=>函数/(X)在心有定义是limf(兀)存在的既不充分又不必要条件.)XT*。如PM=\X~i/>l在x=l处无定义，但limP(x)存在，因为在x=l处左右极限均等于零.-X+1XY1XT1⑵函数极限的四则运算法则：如果limf(x)=a,limg(x)=b,那么x—>jv0x—>x0①g(x))=a±bXT®②lim(/O)g(x))=ab③lim^^=-0^=0)mmg(x)b特别地，如果C是常数，那么lim(C-/(x))=Climf(x).A->A0XfXolim[./3]J[lim/M(〃N+)A—JV—注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.⑶几个常用极限：①lim—=0"->8x②lim=0(01)x—>+-lim———=1xt()xa—>0sinx④lim(l+-/=e,lim(l+x)^=e(^=2.7182818：)XTOOXatO2.函数的连续性：⑴如果函数/(兀),g3在某一点兀=心连续，那么函数/⑴土g(X)J(X)・g(X),/S(g(X)H())g⑴在点兀=必处都连续.⑵函数/(X)在点X=Xo处连续必须满足三个条件：\n①函数/(兀)在点处有定义；②lim/(X)存在；③函数/(兀)在点x=Xo处的极限值XT%等于该点的函数值,即lim/(x)=/(x0).X»o⑶函数fCx)在点兀=兀()处不连续(间断)的判定：如果函数/(X)在点处有下列三种情况之一时，则称r为函数/(兀)的不连续点.®f(x)在点兀=兀0处没有定义,即f(xQ)不存在；②limf(x)不存在；③limf(x)存在，A—>A0x—>X0但limXfo1.零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数/(x)在闭区间S,甸上连续,且那么在开区间(a,b)内至少有函数/(兀)的一个零点，即至少有一点§(a<^Xqa—>Aq必有lim/(x)=A注:|A-X0|：表示以“为的极限，贝忙-兀ol就无限趋近于零•(§为最小整数)2.几个常用极限：①limg"=O,|g|Y1②lim—=O(a>0)h->-kon!k③lim—=0(c/>-1^为常数)>100Cl"④1曲=0h->+oonk⑤lim=O(£AOM为常数)/I—>-KO\n高中数学第十四章导数考试内容：导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景.（2）理解导数的几何意义.（3）掌握函数，尸c（c为常数）、尸xn（nWN+）的导数公式，会求多项式函数的导数.（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区I'可、极大值、极小值及闭区I'可上的最大值和最小值.（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.§14.导数知识要点1.导数（导函数的简称）的定义：设必是函数,y=f（x）定义域的一点，如果自变量x在必处有增量山，则函数值y也引起相应的增量△『=/（%（）+Aa-）-/（x0）；比值鱼=/（"）+心）7（勺）称为函数尸/（劝在点心到X。+心Z间的平均变化率；如果极限AxAxlim^=］曲/（必+心）一/（兀0）存在，则称函数）,=/（劝在点牝处可导，并把这个极限叫做Ax->oAxatt（）Ary=/（x）在必处的导数，记作/（X。）或"即八曲）=1曲生=1加/（必+山）—/（"）.Ar->oAxAv->oAx注：①Ar是增量，我们也称为“改变量J因为Ar可正，可负，但不为零.②以知函数y=/（兀）定义域为A,y=f\x）的定义域为则A与B关系为A^B.2.函数=/（x）在点心处连续与点“处可导的关系:\n⑴函数y=/(x)在点x0处连续是y=/(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)匸/(兀)在点心处可导，那么)匸/(兀)点“处连续.事实上，令兀=必+心，则XT%相当于Ar—>0.于是limf(x)=lim/(x0+Ax)=lim[/(x+x0)-/(x0)+/(x0)]A->A0心一>0心TO•Ar+/(x0)]=lim…lim+1im/(x0)=f(x0)•0+/(x0)=/(x0).Av^OAv—>0是不成立的.因为鱼二空，当心>0时,AxAr=鹦座严2.3如仙込严2⑵如果y=/(X)点x()处连续，那么y=/(x)在点“)处可导，.例：f(x)=\x\在点“o=0处连续，但在点“)=0处不可导,生=1；当ArVO时，—=-1,故lim^-不存在.AxAxaxtO心注：①可导的奇函数函数英导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.2.导数的几何意义：函数3=fM在点心处的导数的儿何意义就是曲线y=/(.¥)在点(勺,/(兀))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=fM在点P(x0,/(x))处的切线的斜率是/'(勺)，切线方程为J-Jo=/W(x-x0).3.求导数的四则运算法则：(w±v)*=u±v=>y=J\O)+f2(x)+...+f„(x)=>y'=/；(x)+兀(兀)+...+fn(x)IItIVtV(wv)=vu+vu^>(cv)=cv+cv=cv(c为常数)注：®W,y必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.22.例如：设/(x)=2sinx+—,g(x)=cosx——，则/(x),g(x)在兀=0处均不可导，但它们和XXf(x)+g(x)=sinx4-cosx在无=0处均可导.4.复合函数的求导法则：人@(兀))=f\u)(p\x)或yx=yuux复合函数的求导法则可推广到多个屮I'可变量的情形.5.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/(.r)>0,则y=/(x)为增函数；如果/(x)<0,则y=f(x)为减函数.⑵常数的判定方法；\n如果函数），=/（x）在区间/内恒有f⑴=0,则y=f（x）为常数.注：①/（X）A0是/（X）递增的充分条件，但不是必要条件，如尸2丘在（-00,+8）上并不是都有f（x）>0‘有一个点例外即x=0时f（兀）=0,同样f（x）-<0是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果丿在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么/&）在该区间上仍I口是单调增加（或单调减少）的.2.极值的判别方法：（极值是在"附近所有的点，都有/U）0,右侧/'（X）VO,那么/（必）是极大值；②如果在心附近的左侧/'（x）<0,右侧f\x）>0,那么/（勺）是极小值.也就是说必是极值点的充分条件是必点两侧导数异号，而不是f'M=0®.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点“是可导函数/（力的极值点，则/W=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，英一点心是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y=f（x）=x3,兀=0使f（X）=0,但x=0不是极值点.②例如：函数v=/U）=|x|,在点兀=0处不可导，但点兀=0是函数的极小值点.3.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.4.儿种常见的函数导数：I.C=0(C为常数)f(sinx)=cosxI(arcsinx)=1(cosx)=-sinx(arccosx)1II.(lnx)=—X,1(lo&x)=-\ogaex(arctanx)=1X2+1(d入)=axln«•i(arccotx)=——x2+lIII.求导的常见方法：①常用结论：（ln|jc|）'=丄.X②形如y=U-^)U-^2)...(X-^)或y="A,)•••◎-/)两边同取自然对数，可转化\n求代数和形式.①无理函数或形如y=*这类函数，如y=xv取自然对数之后可变形为lny=xlnx,对两边y1,求导川得一=lnx+jc・一=>y=y\nx^-y^>y=xx\nx^xx.y兀高中数学第十五章复数考试内容：复数的概念.复数的加法和减法.复数的乘法和除法.数系的扩充.考试要求：(1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和儿何意义.(2)掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.(3)了扁从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.§15.复数知识要点1•⑴复数的单位为i,它的平方等于一1,即i2=-l・⑵复数及英相关概念：①复数一形如d+bi的数(其中a,bwR)；②实数一当b二()时的复数d+bi,即a；③虚数一当方工0时的复数a+bi；④纯虚数一当a=0且“工0时的复数a+bi,即bi.⑤复数a+bi的实部与煨部一g叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a,b都是实数)⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：abi=c+dia=c.RZ?=d(其中，a,b,c,d,w/?)特另ljJOkz+bi=O<^>ci=h=O.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若引七为复数，则1°若Z1+Z2AO,则z,>-z2.(X)lzlfz2为复数，而不是实数］2°若Z]YZ2,贝ljZ]—Z2Y0.(J)②若a,b,cwC,则(a-b)2+(Z?-c)24-(0）.z{+z2,,+14-z+z=0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同-复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.ft：|zHz|.6.⑴复数的三角形式：z=r(cos^+zsin^).辐角主值：〃适合于0W〃V2n的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取［0,2兀)内任意值.②辐角是多值的，都相差2兀的整数倍.、7T3③设ae/?+,则arga=0,arg(-a)=zr,argai=—.arg(-ezz)=—tt⑵复数的代数形式与三角形式的互化:a+bi=r(cos&+isin&),r=^la2+b2,cos0=£,sinO=—⑶几类三角式的标准形式:r(cosi9-isin^)=/(),则有二不等实数根"2=_佇亦；若X0,则有二相等实数根2a勺2二-舟；若AVO,则有二相等复数根几2=弋严(小.2为共觇复数).②当么处不全为实数吋，不能用△方程根的情况.③不论°,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.5.复数的三角形式运算：厂I(cos&i+,sin&2)•厂2(cos&2+「sin&2)=r1r2[cos^91+02)+?sin©+02)1牟呼型瞑亠[cos©-02)+jsin(0「02)]厂2(cos&2+zsin^2)r2棣莫弗定理：lz(cos&+isin&)r=厂"(cosnO+isirm。)高中数学高考知识练习1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如:集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},C={(x,y)|y=lgx},A、B、C中元素各表示什么？2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。女口：集合A={x|x?—2x-3=0},B=(x|ax=1}若BuA,则实数a的值构成的集合为(答:*—1r0，一》)33.注意下列性质：(1)集合{a「a2,……，知}的所有子集的个数是2"；(3)德摩根定律：Cu(AUB)=(CuA)n(CuB),CU(APB)=(CUA)U(CL,B)\n4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（v）,“且”S）和“非”㈠.若p/xq为真，当且仅当p、q均为真若pvq为真，当且仅当p、q至少有_个为真若Jp为真，当且仅当p为假6.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7.对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B屮与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9.求函数的定义域有哪些常见类型?10.如何求复合函数的定义域？如：函数f（x）的定义域是［a,b］,b>-a>0,则函数F（x）=f（x）+f（-x）的定义域是（答：［a,-a］）11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗?\n如：f(jx+1)=0+X,求f(x).mat5.反函数存在的条件是什么？(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)1+x(x>0)如k求函数f(x)=9；〈的反函数I-/(XV0)x-1-a/^x(x>1)(x<0)6.反函数的性质有哪些？①互为反函数的图彖关于直线y=x对称;②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,beC,贝ijf(a)二boL(b)二a7.如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负)如何判断复合函数的单调性?\nNN•I……)5.如何利用导数判断函数的单调性？在区间(a,b)内,若总有F(x)>0则(、(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反Z也对，若f*(x)<0呢？值是()a由已知f(x)在［1,+00)上为增函数，则J|<1,BPa<3Aa的最大值为3)6.函数7U)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)若f(-x)=-f(x)总成立of(x)为奇函数O函数图象关于原点对称若f(-X)=f(x)总成立of(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称注意如下结论:\n(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。xgQ?^=O1)5.你熟悉周期函数的定义吗?函数，T是一个周期。)\n如:5.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(-x)的图彖关于y轴对称f(x)与—f(x)的图象关于上赴对称f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称f(x)与fJ(X)的图象关于直线y=x对称f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称f(x)与一f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称将尸f(x)图象左移火＞°)个单位＞丫=宓+町右移a(a＞0)个单位y=f(x-a)上移b(b>0)个单位/y=f(x+a)+b下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b注意如下“翻折”变换:f(x)—f(x)|f(x)——f(|x|)\ny二log?x5.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?(1)一次函数：y=kx+b(kHO)(2)反比例函数：y=-(k^o)推广为y=b+上(kMO)是中心O'(a,b)的双曲线。xx-a(3)二次函数y=ax2+bx+c(aHO)=ax+—+赵一°图象为抛物线v2a丿4a应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系一一二次方程②求闭区间［口n］上的最值。\n①求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。②一元二次方程根的分布问题。由图象记性质!（6）“对勾函数”x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？\n5.你在基本运算上常出现错误吗?10ga里=logaM-logaN,logaVm=-logaMNn6.如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)如:(1)xwR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。(2)xwR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。7.掌握求函数值域的常用方法了吗？\n（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：C2)y=2jx-4Vx+3/.17^35.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为（「半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义\n又如：求函^y=J1-V2的泄义域和值域。(V1-V2)=1-V2sinx>0/•sinx<——，如图:25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、刈称点、对称轴吗?\no),y=sinx的土曾区间为21＜兀一匹，2kn+—(kwZ)减区间为［2k7t+-,2k7T+—l(keZ)22」''图象的对称点为(k兀，0),对称轴为x=k;i+中(kwZ)y=cosx的增区I'可为［2kju,2kjt+7i］(kwZ)减区间为［2k7i+k,2k兀+2兀］住eZ)图象的对称点为仏+号，0),对称轴为X=k7T(kwZ)y=tanx白勺土曾区I'可为(k7i-中,k7t+可kwZ25.正弦型函数丫=Asin(cox+(p)的图象和性质要熟记。［或y=Acos(cox+(p)］(1)振幅IA|,周期T=g若f(x())=±A,贝ijx=x()为对称轴。若f(x°)=0,则(x°,0)为对称点，反之也对。(2)五点作图：令cox+(p依次为0,—,兀，—,2兀，求出x与y,依点(x,y)作22图象C(3)根据图象求解析式。(求A、3、＜p值)\n&X])-Hp=O解条件组求3、（P值△正切型函数y=Atan（cox+（p）,T=-―j25.在三角函数屮求一个角时要注意两个方面一一先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗?29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?（平移变换、伸缩变换）x'=x+hy'=y+k平移公式：（1）点P（x,y）芜5，k）》p,（X，,,）平移至（2）曲线f（x,y）=0沿向暈；=（h,k）平移后的方程为f（x-h,y-k）=O30.熟练常握同角三角函数关系和诱导公式了吗?\n“k•牛a”化为a的三角函数一“奇变，偶不变，符号看象限”‘“奇“偶”指k取奇、偶数。如:9k(7kcos1-tan——4<6+sin(217t)=又如：函数y=sinoc+tana,贝収的值为cosa+cotaA.正值或负值D.正值B.负值C.非负值29.熟练掌握两角和、差、倍、降幕公式及其逆向应用了吗?理解公式Z间的联系:oa^oc±p)=ooso(£x^p+sino(sin|3g土砂=—g土叽、丿1+tancc•tanpoc—sin2oc=200^oc—1=1—2sin2oc=>Vtan2cx=2tancc1—tan2oc°l+cos2ocOCKOC=2.21—cos2cxsirroc=2应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法:\n（1）角的变换：如I卩=（a+卩）—（x,（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幕公式(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。己知sinacosa1-cos2az-”如sinacosa(由已知得：Z—2sirra5^r(p-<^=-如:2=Ltan(a-p)=——，求tan(p-2a)的值。cosa=1,2sina・•・tana=-2・・・tan(P-2a)=tan[(P—ib=2RsinBsinAsinBsinCc=2RsinCA+R如AABC中，2sin2+cos2C=12（1）求角C；((1)由已知式得：1-cos(A+B)+2cos2C-1=1\n(2)由正弦定理及a确3上33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦：circsinxg712xg[-1,1]反余弦：arccosxg[0,7i],xe[-l,1]反正切：arctanxg——,\2打，(xwR)34.不等式的性质有哪些?答案：c\n35.利用均值不等式:\na2+b2>2ab(a,beR+)；a+b>2Vab；ab<(筈弓求最值时，你是否注意到“a,beR+”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定值？(一正、二定、三相等)注意如下结论:当且仅当a=b时等号成立。t>.a+ns—wwaattTTLt4如：若x>0,2-3x——的最大值为当且仅当3x=-,又x>0,・・・x=^§时，儿环=2-4語）x3（•・2+2®>2丁2皿=2妊,・••最小值为2^2）35.不等式证明的基本方法都掌握了吗？(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)1HF1x22x3=1+11....H223n~1n=2^V〉n\n35.解分式不等式器>a（ah0）的一般步骤是什么？（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1,穿轴法解得结果。）36.用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始1杲偶重根空手箕与Y37.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论38.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如:解不等式|x—3|_|x+1|<1（解集为|x|x>||）39.会用不等^|a|-|b|<|a±b|^aHb|证明较简单的不等问题如:设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|f(x)"|3成立oa>f(x)的最大值a>f(x)能成立oa>f(x)的最小值例如：对于一切实数x,若卜-耳+用+2|>打亘成立，则a的取值范围是(设u=|x-耳+用+2|,它表示数轴上到两定点-2和3距离之和36.等差数列的定义与性质定义：an+I-an=d(d为常数)，an=a,+(n-l)d等差中项：x,A,y成等差数列o2A=x+y前n项和Sn=色也=呵+独匸2122性质：｛%｝是等羌数列(2)数列{a2n_,},{a2n},{kan+b}仍为等差数列;(3)若三个数成等差数列，可设为a-d,a,a+d；(4)若％,6是等差数列S“，T"为前口项和，则％=_^2m-l_T2m_.'(5)何｝为等差数列oSn=ai?+bn(a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数)S.的最值可求二次函数.严亦+亦的最值；或者求出何｝中的正、负分界项，即:\na>0当a,>0,d<0,解不等式组n_c可得Sn达到最大值时的n值。lan+i<0%<0,d>。,由｛；［的达到最小值时的區如：等差数列｛a｝Sn=18,an+an_j+an_2=3,S3=L贝！Jn=35.等比数列的定义与性质等比中项：x、G、y成等比数列=>G2=xy,或3=±低7na,(q=1)前n项和：Sn=-a^l-q“)(要注意!)I厶qHl)i-q仍为等比数列性质：他｝是等比数列(2)SnS2n—Sn,S3n—S2n36.市S"求毎时应注意什么？(n=1时，a,=S],n\2时，an=Sn-S^)37.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?例如：（1）求差（商）法如：｛a“｝满足~a\+^a2++*£=211+5<1>\nan-l°n-l=2n-l+5<2>(n=D(n^>［练习］数列｛aj满足Sn+Sn+1=|an+pa】=4,求a“(注意到an+严Sn+厂Sn代入得：护=4又S|=4,・・・｛Sn｝是等比数列，Sn=4nn>2时，an=Sn-Sn_1=……=3十(1)叠乘法例如：数列｛a*｝中，a】=3,也■=—!］—,求a“ann+1解：皂』亠D三一(1)等差型递推公式由an_an-l=f(n)yai=a0»求％，用迭加法n>2时，a2-a］=f(2)r3-&2=f⑶•两边相加，得：an-an-l=Hn)_［练习］数列{an},a,=1,an=3n_,+an_)(n>2),求a“\n(1)等比型递推公式an=can_,4-d（c>d为常数，chO,chI,d工0）可转化为等比数列，设％+x=c(az+x)G-i.•Jan4-^-1是首项为[c-1Jc-1c为公比的等比数列［练习］数列｛%｝满足=9,3an+1+an=4,求n-l+1）(1)倒数法例如ka,=1,^n+l由已知得：J十i心丄丄2an2ani_2an+lan2•丄an为等差数列,严公差坞2・_2•叫'_n+l\n47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：他｝是公差为d的等差数列，求工一k=lakak+l［练习］求和：1+占+詁刁+……+1+2+3：……+n（2）错位相减法：若｛a”｝为等差数列，｛»｝为等比数列，求数列｛anbn｝（差比数列）前n项和,可由Sn-qSn求Sn，其中q为｛»｝的公比。（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。\n+an-l+J、相加Sn=ai+a2+・•Sn=an+3n-l+++a]［练习］(由f(x)+丄lx,丄+」£1+x2+—1+X7Ix21—=11+x21+x2=1原式=f(l)+f(2)+f(导+f⑶+f+■f(4)+f12丿■■■J4丿=丄+1+1+1=3丄）2247.你知道储蓄、贷款问题吗？△零存整取储蓄（单利）木利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为门n期后，本利和为:△若按复利，如贷款问题一一按揭贷款的每期还款讣算模型（按揭贷款一一分期等额归还木息的借款种类）若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款口，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足W1贷款数,r——利率，n还款期数47.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。\n（g为各类办法中的方法数）分步计数原理：N=iri[•m2mn（叫为各步骤中的方法数）（2）排列：从n个不同元素中，任取m（mWn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A：.sfeWa=i（3）组合：从n个不同元素中任取m（mWn）个元素并组成一组，叫做从n个不规定：eg（4）组合数性质:47.解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A.24B.15C.12D.10解析：可分成两类：（1）中间两个分数不相等,□口□口<北2\n（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。A与B独立，A与瓦与B,瓦与直也相互独立。47.对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常釆用排列组合的方法，即…a、A包含的等可能结果m'〉一次试验的等可能结果的总数n（2）若A、B互斥，贝l」P（A+B）=P（A）+P（B）（3）若A、B相互独立,则P（A・B）=P（A）・P（B）(4)P(A)=1-P(A)（5）如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取2件都是次品；I1U）15丿（2）从中任取5件恰有2件次品；严-2J（3）从屮有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放冋地抽取3次（每次抽1件），・・・n=l（P\n而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”・4?・6+43・・・匕=£144~V25（4）从中依次取5件恰有2件次品。解析：•・•一件一件抽取（有顺序）1O—习分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。47.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。48.对总体分布的估计一一用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样木频率直方图的作法：（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。其中，频率=小长方形的面积=组距X弊组距样本平均值：x=-（x,+x2+……+xjnv7样本方差：S2=-［（x,-x）2+（X2-X）2+……4-（xn-x）2'n女口：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为。（虫）\n47.你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。\n（2）向量的模——有向线段的长度，|a|（3）单位向量|a（）|=Lao=—|a|（4）零向i：0,|0|=0（5）和等的向量o长度相等方向相同a=b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规泄零向量与任意向量平行。存在唯一实数九，使b=Xa（7）向量的加、减法如图：B（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。（9）向量的坐标表水\ny*T,了是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,称(x,y)为向量a的坐标，记作：a=(x,y),即为向址的坐标表示。\n47.平面向量的数量积（1）a•b=|a|•|b|cos0叫做向量a与b的数量积（或内积）。数量积的儿何意义：-》-》―》—>―>a•b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos0的乘积。（2）数量积的运算法则注意：数量积不满足结合律（a•3）・cHa・（3•c）（3）重要性质：设a=（x],yj,6=（x2，y2）TTTTTTTT->->\n②a〃boa•b=|a|•|b|或a•b=-|a|•|b|—>—>—><=>a=Xb(b^O,九惟一确定)［练习］(1)已知正方形ABCD,边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则答案：(2)若向量a=(x,1),b=(4,x),当只=时a与3共线且方向相同答案：2―>――>—>(3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60。,那么|a+3b|=\n答案:47.线段的定比分点设P］（X］,yj,P2（x2,y2）,分点P（x,y）,设片、P?是直线/上两点，P点在/上且不同于R、P2,若存在一实数入，使=,则入叫做P分有向线段RP?所成的比（九＞0,P在线段RP?内，X＜0,P在PE外）,且如：AABC,A（X],yj,B（x2,y2）,C（x3,y3）则AABC重心G的坐标是［'3y】+y2+y.33,浓你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?48.立体几何屮平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线〃线——线〃面——面〃面判定»线丄线—线丄面一面丄面＜件质线〃线——线丄面——面〃面线面平行的判定:a〃b,butftia,aa//[fl]a线面平行的性质:三垂线定理（及逆定理）：PA丄面a,AO为PO在a内射影，au面a,则\n线面垂直:而面乖直：a丄面a,acz®p^>p±a面a丄面B，aAP=baua,a±/=>a±Pa丄面a,b丄面a=>a〃b而a丄a,面卩丄a二>a〃p47.三类角的定义及求法(1)异面直线所成的角6,0°<0W90°(2)直线与平面所成的角0,0°W()W90°\n(1)二面角：二面角cc一/一卩的平面角0,0°<0<180°(三垂线定理法：Aea作或证AB丄B于B,作BO丄棱于O,连AO,则AO丄棱2,ZAOB为所求。)三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。［练习］(1)如图，0A为a的斜线0B为其在Q内射影，0C为a内过0点任一直线。(8为线面成角，ZAOC=y,ZBOC=p)(2)如图，正四棱柱ABCD—A,B|C|D|中对角线BD|=8,BD|与侧面B|BCC|所成的为30°。①求BD］和底面ABCD所成的角；②求异而直线BD】和AD所成的角；③求二面角C—BD,—Bj的大小。\n(1)如图ABCD为菱形，ZDAB=60°,PD丄面ABCD,且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二血角的大小。(・・•AB〃DC,P为面PAB与面PCD的公共点，作PF〃AB，贝I」PF为面PCD与面PAB的交线……）47.空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法,或者用等积转化法）。如正方形ABCD—A1BQD1中，棱长为a,贝lj：（1）点C到面ABIC1的距离为；（2）点B到面ACB|的距离为；（3）直线A]D|到面AB]Ci的距离为；（4）面AB]C与而A】DC]的距离为；（5）点B到直线AiG的距离为o48.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱一一底面为正多边形的直棱柱正棱锥一一底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。\n正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：RtASOB,RtASOE,RtABOE和RtASBE它们各包含哪些元素？S疋棱锥侧=|c-hf（C——底面周长，N为斜高）V锥底面积X高47.球有哪些性质？(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r=VR2-d2(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角!(3)如图，0为纬度角，它是线面成角；ci为经度角，它是面面成角。4(4)S球=4kR2,(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四血体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r=3：1。女山一正四面体的棱长均为VL四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为()A.3兀B.4兀C.3V3kD.6兀答案：A48.熟记下列公式了吗？(1)/直线的倾斜角aw[O,兀)，k=tana=——Ia^―,X]HxjLx2-x,\2R(X[,yj,P2(x2,y?)是/上两点，直线/的方向向量a=(1,k)(2)直线方程：点斜式：y-y0=k(x-x0)(k存在)斜截式：y=kx+b\n截距式：-4-^=1ab一般式：Ax+By+C=O(A、B不同时为零)(1)点P(x°,y°)到直线/：Ax+By+C二0的距离d二皿(^^C|a/A2+B2v—k(2)/,到厶的到角公式：tane=K2K1l-k,k2\n/［与匚的夹角公式：tan0=65.如何判断两直线平行、垂直?A)B2=A2B1A,C2工A2C,>0厶〃厶kj=k2nW（反之不一淀成立）A]A°+B]Bc=0<=>/)_L/266.怎样判断直线/与圆C的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？联立方程组=>关于x（或y）的一元二次方程=>“△”△>0o相交；"Oo相切；AvOo相离68.分清圆锥曲线的定义椭圆o|PF1|+|PF2|=2a,2a>2c=|耳F2I第一定义<双曲线o||PF1|-|PF2||=2a,2av2c=|F|F2抛物线o|PF|=|PK|笫二定义:e—1\——|PK|aOvevlo椭圆；e>lo双曲线；e=lo抛物线\n69.与双曲线斗―£=1有相同焦点的双曲线系为耳—与=九（九hO）a2b2a2b2v770.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零?△20的限制。（求交点，弦长，小点，斜率，对称存在性问题都在△$（）下进行。）弦长公式RP』=J（l+k?）（X]+x2）2-4x^271.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?如：\n通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。69.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。如I：椭圆mx2+ny2=1与直线y=l-x交于M、N两点，原点与MN中点连线的斜率为』I,则巴的值为2n答案:70.如何求解“对称”问题？(1)证明曲线C：F(x,y)=0关于点M(a,b)成屮心对称，设A(x,y)为曲线C上任意一点，设A，(x\y*)为A关于点M的对称点。(由a=x+x,匕二‘+‘=>x'=2a-x,y*=2b-y)22只要证明A*(2a-x,2b-y)也在曲线C上，BPf(x,)=y,\n（2）点A、A，关于直线/对称oAA」/AA，屮点在/上^AA**人=-1AA，中点坐标满足I方程x=rcos069.圆x2+y2=r2的参数方程为~.八（0为参数）y=rsin0椭圆4+4=啲参数方程为$=:光（°为参数）ab~[y=bsin070.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。（直接法、定义法、转移法、参数法）71.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线,求出目标函数的最值2.裂项相消法:适用于［―^―］其中｛色｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部［anan+\分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于｛①仇｝其中｛%｝是等差数列，｛仇｝是各项不为0的等比数列。\n4.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1):l+2+3+...+n=2)1+3+5+…+(2n・l)=/『3)1"+...+宀*(“+1)4)I23+22+32+---+H2=丄n(n+l)(2n+l)6