高中数学公式定理定律概念大全-高中课件精选 26页

第一章集合与简易逻辑1集合的概念与运算1.1集合的有关概念（1）定义：某些指定的対象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{}。（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法；（4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作0；（5）元素臼和集合A之间的关系：aEA,或匹弭；（6）常用数集：自然数集：N；正整数集：N*或"+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：RoN*uNuZuQuR1.2子集（1）定义：A屮的任何元素都属于B,则A叫B的子集；记作：AcB,注意：AqB时，A有两种情况：A=4）与AH4）（2）性质：①AuA,0uA；②若AyB,BuC，则A匸C；③若AoBcA则A二B；1.3真子集（1）定义：A是B的子集,且B中至少有一个元素不属于A；记作：AuB；（2）性质：①Ah0,0uA；②若AuB,〃uC,则AuC；1.4补集：（1）定义：记作：Cg,A={x|xg[/,_Sjc^A}；（2）性质：A^CVA=（/）,A\JCUA=U,Cu（QA）=A；1.5交集与并集（1）交集：A〃={兀|兀wA，且xeB}性质：①4门4=人人门。=0②若A[}B=B,则（2）并集：AB={x\xexgB}性质：①AU4=A,AU0=A②若A\JB=B，则A^B1.6集合运算中常用结论（1）德摩根公式：q（AB）=CcrAC^C^AB）=CljACvB.（2）AB=Au>AB=B^>A^B<^CLIBoCbAAQB=O^>CL,AB=R\n（3）含n个元素的集合的所有子集有2“个\n2一元二次不等式的解法2.1一元一次不等式的解法通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax>h的形式，若a>0,则x>-；aXG/?；当b>0时，XG0O如h己知关于兀的不等式（d+b）兀+（2。一3仍<0的解集为（yo,—丄），则关于兀的不等式(a-3b)x+(b-2a)>0的解集为(答：{x|x<-3})2.2二次函数.一元二次方程.一元二次不等式三者之间的关系:判别式：△二-4$cA>0A=0A<0二次函数/(x)=ax2+b兀+c(a>0)的图象\lo/.yj\\/\7X|\Vx"0X|=X20一元二次方程ax1+bx-\-c=0(a>0)的根有两相异实数根兀1，兀2（兀1V兀2）有两相等实数根bXi==♦2a没有实数根一元二次不等式ax2+bx+c>0（q>0）的解集{x\xx2}“>”取两边{x\x^-—}2aR一元二次不等式tzx2+bx+c<（）（d>0）的解集{x|X]0（<0）的解集的端点值，也是二次函数y=cix1^bx^c的图象与无轴的交点的横坐标。如（1）不等式低〉处+彳的解集是（4"）,则“（答：|）；（2）若关于无的不等式28tzx2+bx+cV0的解集为（-co,m）U（仏+8）,其中m0恒成立问题o含参不等式ax2+bx+c>0的解集是R；其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a^O(乳0且△〈())两种情况。3绝对值不等式的解法(1)去绝对值的方法：定义、等价转换、平方(2)当d>0时，|x|〉a的解集是{x\x<-a9^x>a],\x\0时，戒片V#,|ax+bl2(5)绝对值的几何意义：数轴上的距离，例：|兀一1|+|兀一2$34简易逻辑4.1命题的有关概念(1)命题：可以判断真假的语句；逻辑联结词：或、且、非；(2)简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题；三种形式：P或q、P且q、非P；(3)判断复合命题真假：(1)思路：①确定复合命题的结构，②判断构成复合命题的简单命题的真假，③利用真值表判断复合命题的真假；(2)真值表：p或q,同假为假，否则为真；p且q,同真为真；非P，真假相反。如：在下列说法中：①“〃且g”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；②“〃且g”为假是“P或q”为真的充分不必要条件；③''"或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；④“非卩”为真是“〃且g”为假的必要不充分条件。其中正确的是(答：①③)4.2(1)(2)四种命题命题的四种形式：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若』则，q；逆否命题：若「q则』；注意：-①互为逆否的两个命题是等价的；②“命题的否定”与“否命题”；“命题的否定”不是简单的否定结论L③在写汕一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意"非或即且，非且即或”。反证法步骤：假设结论不成立一推出矛盾一否定假设。充分条件与必要条件：若pnq,则°叫q的充分条件；若puq，则刀叫g的必要条件；原命题若p则q-A互否互逆逆命题若q则PA互否▼否命题□Y逆否命题若「P则「q互逆若「q则「P\n若POq，则。叫Q的充要条件；(1)利用集合之间的包含关系判断命题之间的充要关系设满足条件P的元素构成集合A,满足条件q的元素构成集合B①若AcB,则p是q成立的充分条件；②若A=B,则p是q的充要条件；③若Acfi,则p是q的充分不必要条件；④若AgB,且则P是q的既不充分也不必要条件。第二章函数1、函数的定义：(1)映射的定义:⑵映射的定(二)义:上面是映射的是—，是一_映射的是「_(二)一(1)函数的定义：定义1给定两个实数集D和若有对应法则使对D内每一个数兀,都有唯一的一个数y^M与它相对应，则称/是定义在数集Q上的函数，记作「・DtM,(1)兀一数集D称为函数/的定义域，兀所对应的数y,称为/在点兀的函数值，常记为/(%)./(£>)=[y\y=f(x\xgD}(uM)称为函数f的值域.(1)屮第一式“D—M”表示按法则f建立数集D到M的函数关系；第二式“兀—y”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“习惯上，我们称此函数关系中的兀为自变量，y为因变量.(2)在函数定义中，对每一个xeD,只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为单值函数.若同一个兀值可以对应多于一个的y值，则称这种惭数为多值函数.在本书范I\n詞内，我们只讨论单值函数.2、函数的性质(1)定义域：(2)值域：(3)奇偶性(在整个定义域内考虑)①定义：②判断方法：I.定义法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求/(-x)；d.比较或/(一兀)与一/O)的关系。II图象法③已知：H(x)=f(x)g(x)若非零函数f(x).g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内H(x)为偶函数若非零函数/⑴,g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(兀)为奇函数④常用的结论：若/(兀)是奇函数，且Ow定义域，则/(0)=0或广(一1)=—/⑴；若/(兀)是偶函数，贝iJ/(-l)=/(l)；反Z不然。(4)单调性(在定义域的某一个子集内考虑)①定义：②证明函数单调性的方法：I.定义法步骤：a.设坷,兀2wA且X]0,b>0)在(一oo,-7^風上单调递增；在X[-V^,o^(o，V^]±是单调递减。(3)函数的周期性定义:若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。3、函数的图象3.1、基本函数的图象：(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、(1)对数函数、(6)三角函数。3.2、图象的变换(1)平移变换①函数y=f(x+a),(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向左移。个单位得到的；②函数y=f(x^-a),(a<0)的图象是把函数尸的图彖沿x轴向右平移胡个单位得到的；③函数y=f(x)^a,(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向上平移Q个单位得到的：④函数y=f(x)^af(a<0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向一K平移同个单位得到的。(2)对称变换①函数丁=/(x)与函数》，=/(-x)的图象关于直线x=0对称；函数y=/(朗与函数y=~f(x)的图象关于直线)=0对称；函数丁=.f(兀)与函数y=-/(-x)的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=f(x)对于一切xeR,都有f(x+a)=f(a-x),那么y=f(x)的图象关于直线x=a对称。如果函数对于一切xG/?,都有f(x+a)=f(b-x),那么y=f(x)的图象关于直线x=对称。③函数y=/(G十Q与函数y=/(d—兀)的图象关于直线X=()对称。函数丁=f(a+兀)与函数y=f(b-x)的图象关于直线y-\y-/(x)/\丿\0OX④y=fW^y=\f(x^[b-a2对称y\y■|/(R|/0X\n直线)'=x对(3)伸缩变换®y=好(兀),(。>0)的图象，可将y=/(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0vav1)到原来的a倍。②y=f(ax),(a>0)的图象，可将y=f(x)的图象上的每一点的横坐标伸长(0<<1)或缩短(a>1)到原来的丄倍。a4、函数的反函数4.1、求反函数的步骤：①求原函数y=/(x),(xgA)的值域B②把y=/(x)看作方程，解出x=(p(y)；③x,y互换的y=/(x)的反函数为y=f-\x),(xwB)。4.2、函数与反函数之间的一个有用的结论：/-1{d)=b^>f(b)=a4.3、原函数》=/(尢)在区间[-上单调递增(减)，则一定存在反函数，且反函数y=l—23(x50)5、函数、方程与不等式y=/T(X)也单调递增(减)；但一个函数存在反国数，此函数不一定单调。5.1、“实系数一元二次方程a^+bx+c=0有实数解”转化为“△=，—4毗\0”,你是否注意到必须QH0；当a=0时，“方程有解”不能转化为△=戻一4心20。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？5.2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。设X],兀2为方程/(兀)=0,(G>0)的两个实根。\n①若xxm,则of(m)<0；①当在区间(加,对内有且只有一个实根时,<］⑵考虑端点，验证端点。③当在区间("〃)内有月•只有两个实根时,A>0bm<2a/O)>of(n)>0①若mvoU(p)-/(^)l时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+8)的值为正；在定义域内单调增.\n幕函数»=兀二为任意实数11这里只yy=x61y=xo1xr画出部分函数图形的一部分。令a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数；b):当m,n都是奇数时,y是奇函数；c):当m奇n偶时,y在(-°°,0)无意义.三角函数^=SinX(正弦函数)这里只写出了正弦函数HIy=sinx5A./2^G：正弦函数是以2兀为周期的周期函数b):正弦函数是奇函数且|sinx<1反三角函数尹-arcsmx(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数h131幼A°ll1\11a):由于此函数为多值函数，因此我们此函数值限制在[-兀/2,兀/2]上,并称其为反正弦函数的主值.初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并11能用一个解析式表出的函数称为初等函数.第四章基本初等函数(II)K角的换算1Q()(1)换算关系:180°=兀(弧度)1弧度=(―)°«57°18'7111。(2)弧长公式:1=a-r扇形面积公式:S=-lr=-ar2222>特殊角的三角函数值a030°45°60°90°18tf27(fsincr012V22V3210-1COSOf1a/3V22120-10tancr0a/331不存在0不存在\ncotcr不存在1昼30不存在0\n3、任意角的三角函数yxyxrrsin^z=—,cosa=—，tancr=—,cot«=—,secor=—,csca=—rrxyxy三角函数值的符号规律：“一全二正拓三切四余弦”sin(^-6z)=sina,cos(/r-a)=-cosa,tan(r-6r)=-tancrsin(^+cr)=-sina,COS(7T+a)=-COS6Z,tan(r+6z)=tanasin(2^-a)=-sina,co斬一a)=co&,tan0r-a)=—tanasin(2A7T+a)=sina,coj2Qt+q)=co&,tanQATr+q)=tanorsin(-6z)=-sina,cos(-a)=cosa,tanker)=-tanasin(y-af)=cosa,cos(y-cr)=sintz,tan(y-a)=cotasin(彳+a)=cosa,cos(—+«)=-sina,2tan(彳+a)=-cotasin(乎一a)=—8sa,cos誓—a)=—sinz,/3龙、tan(a)=cotersin^+a)=-cos7,COS-P-+6Z)=S1MZ,/3"、tan(——+a)=-cota2k•—±(X4.诱导公式：“2,奇变偶不变，符号看象限”5.同角三角函数的基本关系式：①平方关系sin2a+cos2a=1；1+tan2a=sec2a；1+cot2a=esc2a丹a—sinacosq—・②商式关系=tantz；=cotacosasina③倒数关系tan«cot«=1；sinaesca=1;cosaseca=l。6.两角和与差公式sin(cr±0)=sinacos/?±cosasin0cos(6z±/?)=cos(7cos^+sin€ZSin0变形：asina+bcosa=Ja?sin(a+0)(辅助角公式)7、倍角公式sin2a=2sinacos0TOCocos2cr=cosa-sin^a=2cos〜a—1=1—2sirratan2a=2tana1一tan2a22：2RS=—feesinAa_b_c_&正弦定理:sinAsinBsinC92余弦定理：a2=b2+c-2/?ccosAcosA=b2^c2-a22bcb2=a2+c2-2ciccosBcosB二a2^c2-b22ac变形：sii?Q=1一皿加,m^a=l+cos2a(降幕公式)\n2=a2+b2-2accosCa2+b?-c2cosC=lab9、三角函数的图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图像定义域RRX^k7T+7T/2x主k兀值域[-1,1][-1,1]RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数周期性2龙2龙7171单调性对称轴x=k兀——2X=k7T无无对称中心(拆,0)71(knH——,0)2（；，0）（；，0）第五章立体几何1、平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那它们还有其它公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论仁经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平而。推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行2、・空间两条直线的位置关系:21、位置关系：平行、相交、异面2.2、异面直线所成的角：关键是选点平移，范围是（0,n/2）o求两条异面直线所成的角的大小一般方法①找角。一般点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形）；②证角；③求角。3、直线与平面3.1、位置关系：在而内、相交、平行3.2、直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。3.3、直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这\n个平面性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行4、直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{0°.90°}5、三垂线定理及其逆定理：定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；逆定理：和平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。4、平面与平面4.1、位置关系：平行，相交4.2＞两个平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行.另：垂直于同一条直线的两个平而平行.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.另：一条直线垂直于两个平行平面屮的一个平面，必垂直于另一个平面.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面两平面间的距离问题一＞点到面的距离问题一4自接法体积法4.3、两个平面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。4.4、二面角①定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角。②三垂线法：找二面角的一个面的垂线，再由垂足向棱作垂线得斜足，连斜足与另一面上点。5、简单几何体5.1棱柱(1)棱柱的性质①侧棱都相等，侧面是平行四边形②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截血是平行四边形(2)相关计算：长方体的对角线=』/+圧+疋,U棱柱二S/25.2棱锥(1)正棱锥的定义(底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心)(2)正棱锥性质①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。(3)相关计算：V棱锥=hh5.3球4(1)相关计算：S圆=兀厂2C岡=2兀厂，S球=4祁2,V^=—nR3(2)球的截面的性质：①球心和截面圆心的连线垂直于截面\n①球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r=^R2-d2(1)两点的球面距离：经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度.5.4正多面体：正多面体的种数有欧拉公式：V+F・E=2其中：V顶点数E棱数F面数5.5空间向量在立体几何中的应用：(1)两异面直线所成角0:COS0=cos(2)直线与平面所成角&：sin6^=cos(3)二面角0：先求cos<>在根据图形情况作答ABn(4)点到平面的距离：d=(A为所给点，B为平而内任意一点)n第六章平面向量1、加法与减法的代数运算：(1)向量加法满足：平行四边形法则……“同一起点'、三角形法则……“首尾相接”。向量减法满足：三角形法则……“同一起点,指向被减数'(2)若吐(兀I」),b=(x2,y2)贝>Ja±b=(±x2,y{±y2)2、实数与向量的积：2:⑴长度：丨2：丨=丨久丨・丨：1;方向：当A>0时，2a与a同向；当久<0时，2a与a反向：当久=0时，2a=0.(1)若°=(兀|,必)，则2•67=(Axl9/tyt).(2)两个向量共线的充要条件：①向量b与非零向量：共线o有且仅有一个实数2,使得b=2a.②若。=（兀1，）））,b=（x29y2）则a//b<=>xly2-x2y{=0.3、向量的数量积：⑴定义：已知两个非零向量：与亍，它们的夹角为0,则a-h=\aI-IhIcosO.其中IbIcos&称为向量&在a方向上的投影.⑵若“(兀1，必)，b二(七，％)则3-b=XjX2+yxy2(3)性质：a丄乙oa・^=0oXjX2+『］旳=0(a,b为非零向量)；IaIa+)/;COS0=a-ba•b+y』27X12+^|2-VX2+3?22(4)运算律：不满足消去律、乘法结合律4.P分有向线段片鬥所成的比：⑴若点P分有向线段巫成定比入，则入二帶(2)定比分点坐标公式：-\n若点斥(兀1小),马(兀2宀)，BXy)，点p分有向线段占£成定比入,则」1+加2—1+几尸X+刘21+/L(AH—1)>中点坐标公式:力+『2>?=Xi+x9x=(1)若点A(x},y),B(x2,y2)则\AB\=yj(x2-x2)5.平移公式：将F(x,y)按a=d平移后得到F(x\y),则有第七章平面解析几何1、直线和1.1直线的倾斜角与斜率：直线的倾斜角范围是[0,)1],直线的斜率：k-tantz,k=——，k-x2-x,B1.2直线方程的几种形式：点斜式：y-yQ=k(x-x0),斜截式：y=kx^b两点式：上13_=送二兰L,截距式：兰+g=l旳一风兀2一兀1ab一般式：Ax+By+C=O1.3两条直线的位置关系平行：若斜率存在：li：y=kix+bi；12：y=k2x+b2有14〃12ki二k2且bi#b2;垂直：若斜率存在：li：y=kix+bi；12：y=k2x+b2有11丄12U>ki•k2=-111丄12Oki・k2=-1相交:h到/2的角0:tan^=也一人,eG〔o’龙)\+k\k°k—kitlx与/2的夹角()：tan&=「J,ae10,—]-1+卒221.4点到直线的距离公式Ax(\+By。+C点P(x0,y0)到直线厶Ar+By+C=0的距离：d=—:川VA2+B21.5两平行直线间的距离：|C-Cd两条平行直线从Ar+By+G=0,/.：Ax+By+G=0距离：「讥a/A2+B21.6圆的方程+(y2-y()2\nx'=x+hy'=y+k⑷若A(x(,yj),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标是\n①圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2其屮「为圆的半径，(a,b)为圆心。②圆的一般方程：%2++Dr+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)(rx77、1其中圆心为,，半径为一JD°+E~—4FI22丿2—*丿、*[x=a+rcosO③圆的参数方程：\[y=b+厂sin0④二元二次方程表示圆的充要条件A二CHO,B=0,D2+E2-4AF>0o1.7直线与的位置关系:相离、相切和相交。dv厂o相交判断方法(几何法)：圆心到直线的距离\d=r。相切d>ru>相离过圆x2+y2=尸上一点pg,%)的切线方程是：x()x+yQy=r2弦长问题：利用垂径定理，构造直角三角形解决切线长问题：构造直角三角形解决2、圆锥曲线2.1椭圆(I)椭圆的定义：第一定义：平面内与两定点F2的距离的和为常数(大于\F}F2\)的点的轨迹。其屮两定点Fi，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。第二定义：平面内到一个定点F和一定直线/的距离的比等于常数(00）ery2x2*+产1（5〉°）(2)椭圆的几何性质:a2=b2+c2ZWX/WVk/XA/Wk/WWVXA/WVWX^2.2双曲线:(1)双曲线的定义:第一定义：平面内与两个定点耳，坊距离的差的绝对值等于2a(2a<|F,E|)的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线/的距离的比等于常数(幺>1)的动点的轨迹。(2)双曲线的几何性质：c2=a2+Z?2方程图像离心率顶点焦点准线渐近线22二=1（。>0力>0）crb"V2r2=l（a>0,/7>0）ertr2.3抛物线及其标准方程：(1)抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的动点的轨迹（2）抛物线的儿何性质:方程图像隹卢八•、八准线\ny2=2pj((p>0)停〕X=-P-2y2=-2p如>o)仁,。/2宀2p〉(p>0)y=-^2x2=-2py^p>0)<°-f')•22.4直线与圆锥曲线的位置关系：（1）判定方法：联立直线与圆锥曲线方程，消元得关于x（或y）的一元二次方程，求出△,根据△判定直线与圆锥曲线的位置关系（2）弦长公式：直线y=kx+b和圆锥曲线f（x,y）=O交于两点卩心胡。巳他肌）则弦长Pl卩2=Jl+Q2|旺_兀2丨=J（1+£2）［（禹+兀£）2—4兀］吃］第八章不等式1、不等式的基本性质：此类选择题多采用取特殊值法处理2、均值不等式：若ci,bwR,则a2^-b2>2ab（当且仅当a=h时取等号）若ci,b>0,则凹nJ石（当且仅当a=h时取等号）2基本变形：®a+b>:（£±^）2>:2①若a,bwR,贝\\a2^b2>Zab,a~+b~>（^^）222应用条fk"⑦一正二定三取等；②积定和小,和定积大”。3、绝对值不等式:制一0卜|d土引<问+0|4、证明不等式常用方法：（1）比较法：步骤：⑴作差；⑵变形（对差进行因式分解或配方变成几个数（或式）的完全平方和）。⑶判断差的符号（2）综合法：由因导果。（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……5、不等式的解法：注意“逐数竝，（1）一元一次不等式：处>施/工0）；axQ{a^O）先“系数化正J再根据的三种情况即写岀解集，（3）绝对值不等式：若6/>0,贝iJ|x|a^:注意：（1）.通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。（2）.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。（4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；\n（1）ZW>o<=>；（2）/^>0<=>g（兀）gW（5）高次不等式：穿根法：）/第九章数列1・数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，……，第n项，数列也可以看作一个定义域为自然数集N（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.2.数列的表示法数列的表示法与函数的表示法相同.①列表法：把数列表示成a2,a3,,an,・②图象法：在直角坐标系中，数列可用一群坐标为（1,al）,（2,a2）,（3,a3）,,（n,an）,分散的弧立的点表示.③解析法：用通项公式来表示或用递推公式来表示.3.数列的通项公式如果数列b｝的第n项a与n之间的函数关系可以用一个公式来表nn示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.4.数列的前n项和已知数列｛an｝,Sn=&+&+a++&,称为数列的前n项的和，注意在SlS「的表达式中令n=l不一定与S.相同.5.数列的分类（1）按项数分：有穷数列，无穷数列.（2）按项与项之间大小关系分：递增数列，递减数列，摆动数列.（3）按罔」的取值范围分：有界数列，无界数列\n2.等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做（一阶）等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.3.等差数列的通项公式等差数列｛%｝的首项是创，公差是d时，该数列的通项公式是&二ai+（n—1）d.&等差数列｛an｝的前n项的和的公式等差数列｛a｝的首项是创，公差是d时，该数列的前n项的和的公式n是沫=呼Q或s「叽+忖d9•等比数列如果一个数列从第2项起，第一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.10.等比数列的通项公式等比数列创的首项是创，公比是q时，该数列的通项公式是缶二眄心11・等比数列伽｝的前n项的和的公式等比数列｛an｝的首项是31,公比是q时，该数列的前n项的和的公式当卄1时s『芈空或S厂丄土1-q1-q是：当q=l时Sn=nax12•排列组合与二项式定理12.1计数原理①加法原理：N=ni+n2+n3+•••+nM(分类)②乘法原理：N=nrn2Bn3B—nM(分步)12.2排列(有序)与组合(无序)排歹U数公式是:A：=n(n-l)--(n-m+l)=；(n-m)!\n组合数公式是：c；："T)…(i+叭—2—；1x2x•••xmm)!组合数性质：C：=C；："C；+C；「=C；；；12.3.二项式定理：®(a+by=cy+C]nan-]b+C；aH-2b2+…+C；；af+…+C：h特别地：(1+x)n=1+Cn1X+Cn2X2+-+CnrXr+-+CnnXn②通项为第r+1项：Tr+l=Cnan-rbr③主要结论：所有二项式系数的和：Cn°+Cn1+Cn2+Cn3+昭…+曲…+心-2“奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和C02z->4厂6厂Cn+Cn+Cn+Cn+C；「+・・・=Cj+C「+C「+(V+Cn9+・y第十章概率统计1.必然事件：P(A)=1,不可能事件：P(A)=O,随机事件：00,解集在定义域内的部分为增区间；解不等式/'(兀)<0,解集在定义域内的部分为减区间。③求极值、求最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)屮最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。④常见话语：Sx=x0时，函数有极值m=>*(Xo)=O；f(x())=m第十二章算法初步1・秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：anxn+an_xx,l~]+...+e=((((%x+an_})x+色_2k+••+勺k+⑷2.理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，\n其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…(algorithm)2.1.描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言(本书指伪代码).2.2算法的特征：①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度2.3.算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构3・流程图：(flowchart):是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。注意：3.1.画流程图的吋候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯3.2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过來再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范圉或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。3.3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结环I・顺序结构(sequencestructure)：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。II•选择结构(selectionstructure)：或者称为分支结构。其屮的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立吋，执行某语句，至于不成立吋，不执行该语句，也不执行其它语句。III.循环结构(cyclestructure)：它用來解决现实生活中的重复操作问题，分直到型(until)和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数时)用当型循环。5•基森法语句：本书中指的是伪代码(pseudocode),且是使用BASIC语言编写的，是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单\n而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用,也可以用xjy;表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“x”1・赋值语句(assignmentstatement)：用