人教版数学高中必修5课件 (62) 18页

------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx人教版数学高中必修5课件(62)\n【精品文档】[学习目标]　1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用．知识点一　三角形常用面积公式及其证明1．公式(1)三角形面积公式S＝ah.(2)三角形面积公式的推广S＝absinC＝bcsinA＝casinB.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．2．证明(1)三角形的高的计算公式在△ABC中，边BC，CA，AB对应的边长分别为a，b，c，边上的高分别记为ha，hb，hc，则ha＝bsinC＝csinB，hb＝csinA＝asinC，hc＝asinB＝bsinA.借助上述结论，如图，若已知△ABC中的边AC，AB，角A，那么AB边上的高CD＝bsin_A，△ABC的面积S＝bcsinA.【精品文档】\n【精品文档】(2)三角形的面积与内切圆已知△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积为S＝r(a＋b＋c)．如图，设△ABC内切圆圆心为O，连接OA，OB，OC，则S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝cr＋br＋ar＝(a＋b＋c)r.思考　(1)已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A＝________.(2)在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________．答案　(1)60°或120°　(2)解析　(1)S＝bcsinA＝，∴·2··sinA＝，∴sinA＝，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝60°或120°.(2)由正弦定理＝，∴sinC＝＝＝1，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝90°，∴b＝＝＝.【精品文档】\n【精品文档】∴S△ABC＝×1×＝.知识点二　多边形的面积对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决．题型一　三角形的面积公式及其应用例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解　(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，所以C＝－A，sinA＝.于是sinC＝sin＝cosA＋sinA＝.(2)由(1)知sinA＝，sinC＝，又因为B＝，b＝，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.于是△ABC的面积S＝absinC＝×××＝.反思与感悟　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根．【精品文档】\n【精品文档】跟踪训练1　如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．解　连接BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，∴S＝(AB·AD＋BC·CD)sinA＝(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝52－48cosC.∴20－16cosA＝52－48cosC.∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，∴cosA＝－，【精品文档】\n【精品文档】又A∈(0°，180°)，∴A＝120°，∴S＝16sin120°＝8.题型二　三角形面积的最值问题例2　已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sinB，求△ABC面积的最大值．解　由正弦定理得a2－c2＝(a－b)b，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理得cosC＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.∴S＝absinC＝×2RsinA·2RsinB·＝R2sinAsinB＝R2sinAsin(π－A)＝R2sinA(cosA＋sinA)＝R2(sinAcosA＋sin2A)＝R2(sin2A＋)＝R2[sin(2A－)＋]∵A∈(0，π)．∴2A－∈(－，π)∴sin(2A－)∈(－，1]，∴S∈(0，R2]，【精品文档】\n【精品文档】∴面积S的最大值为R2.反思与感悟　求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系或(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值．跟踪训练2　若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，求面积S的最大值．解　S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－(a2＋b2－c2)，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，∴c2－(a－b)2＝2ab(1－cosC)，即S＝2ab(1－cosC)，∵S＝absinC，∴sinC＝4(1－cosC)．又∵sin2C＋cos2C＝1，∴17cos2C－32cosC＋15＝0，解得cosC＝或cosC＝1(舍去)．∴sinC＝，∴S＝absinC＝a(2－a)＝－(a－1)2＋.∵a＋b＝2，∴00，B∈(0°，90°)，所以sinB＝.由正弦定理＝可得＝，所以a＝.(2)因为△ABC的面积S＝ac·sinB，sinB＝，所以ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.因为a＋c>0，所以a＋c＝2.12．在△ABC中，c＝2，a>b，tanA＋tanB＝5，tanA·tanB＝6，试求a，b及△ABC的面积．解　∵tanA＋tanB＝5，tanA·tanB＝6，且a>b，∴A>B，tanA>tanB，∴tanA＝3，tanB＝2，A，B都是锐角．∴sinA＝，cosA＝，cosB＝，sinB＝，【精品文档】\n【精品文档】∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.由正弦定理＝＝得，a＝，b＝，∴S△ABC＝absinC＝×××＝.13．某城市有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，如图所示，测得AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，C＝D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用较低，请说明理由．解　(1)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2×16×10cosC，①在△ABD中，由余弦定理及C＝D易得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC，②由①②得142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10cosC,解得cosC＝.【精品文档】\n【精品文档】因为C为三角形的内角，又cosC>0，所以0AC·BC，C＝D，所以S△ABD>S△ABC，因为建造环境标志的费用与用地面积成正比，所以小李的设计建造费用较低．【精品文档】