高中数学分类讨论课件 41页

分类讨论思想\n思想方法概述1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.2\n2.分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.\n(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.\n(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.\n3.分类讨论的原则(1)不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明.(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.\n4.解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论.(2)对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.\n\n\n在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。\n\n\n\n\n(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.思维升华\n1.设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A，B∩∁UA；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．试题解析（1）利用已知条件求出A的补集，然后直接求解即可．（2）分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可．本题考查集合的基本运算，补集以及并集的求法，考查分类讨论思想的应用.\n2.已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）=f（x）-2tx在区间[-1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围； （3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（-1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范围（注：相等的实数根算一个）．\n\n\n4．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)解析若a＞0，则log2a＞loga，即2log2a＞0，所以a＞1；若a＜0，则log(－a)＞log2(－a)，即2log2(－a)＜0，所以0＜－a＜1，－1＜a＜0.所以实数a的取值范围是a＞1或－1＜a＜0，即a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．答案Clog2xx＞0，log1/2(－x)x＜0，{\n5.设直线l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【分析】解题时注意对直线是否过原点进行分情况讨论，否则会漏解．\n6.已知直线l经过点P(－4，－3)且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．【分析】解决本题需要先设出直线方程，解决问题时应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论．\n\n\n8．在△ABC中，已知a＝5，b＝5，A＝30°，解三角形．\n变式训练1\n答案C\n(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对\n解析∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.答案D\n\n\n\n5.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公差为d，故an＝3－(n－1)＝4－n.\n(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解由(1)可得bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.若q≠1，将上式两边同乘q，得qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.\n两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1\n\n分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.本讲规律总结\n常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅的讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a>1和01的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论.\n(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.\n(8)排列、组合、概率中的分类计数问题.(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.\n