[初中数学]实数教案16-人教版 15页

科目：数学年级：初二教师：张立平第一学期第四周第二章实数（2.4—2.6）一、本周学习目标1.能估计无理数的大至范围，能通过估算比较两个无理数的大小.2.能用计算器求一个非负数的平方根和一个数的立方根.3.了解实数的意义，会按要求对实数进行分类.4.会求一个实数的相反数、绝对值、会对简单实数比较大小.5.能进行实数的简单的四则运算.二、重难点分析重点：1.对无理数近似值的估算.2.解实数的意义，会按要求对实数进行分类.3.能进行实数的简单的四则运算.难点：1.对无理数近似值的估算.2.进行实数的简单的四则运算.三、主要知识介绍1.实数的有关概念和分类我们已经知道整数和分数统称为有理数.并规定无限不循环小数是无理数，这样我们把有理数和无理数统称为实数，即实数这个大家庭里有有理数和无理数两大成员.学习时应注意分清有理数和无理数是两类完全不同的数，就是说如果一个数是有理数，那么它一定不是无理数，反之，如果一个数是无理数，那么它一定不是有理数.   实数的分类可从两个角度去思考，即（1）按定义来分类；（2）按正、负数来分类.具体地如下表：        \n由此可见，0在实数里也扮演着重要角色，我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.2.实数与数轴的关系   （1）实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.   （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等.实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.   （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大.3.实数的有关性质   实数和有理数一样也有许多的重要性质.具体地讲可从以下几方面去思考：   （1）相反数：实数a的相反数是－a，0的相反数是0，具体地，若a与b互为相反数，则a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，则a与b互为相反数.   （2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.   实数a的绝对值可表示为就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即∣a∣≥0.并且有若∣x∣＝a（a≥0），则x＝±a，或x=0.   （3）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数.这里应特别注意的是0没有倒数.   （4）实数大小的比较：任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.4、实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.   另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.\n5、确定无理数近似值的方法：（1）当被开方数在1~1000以内时，可以利用乘方与开方互为为逆运算来确定无理数的整数部分，然后再根据所要求的误差大小确定其小数部分.例如：要估算的值（误差小于1），因为，192＜385＜202，所以19＜＜20，所以的整数部分是19，由于误差小于1，则的估算值为19或20.即约等于19或20.若要确定十分位上的数字，则可以采用试验的方法，即19.12=364.81，19.22=368.64，…，19.52=380.25，19.62=384.16，19.72=388.09，，所以，19.62＜385＜19.72，所以，19.619.7，此时的误差小于0.1.（2）当被开方数是正的纯小数或比1000大时，利用方根与被开方数的小数点间的规律，移动小数点的位置，将其转化成被开方数在1~1000以内的数进行估算，即方根中的被开方数的小数点向左（或向右）每移动2n位，其结果的小数点向左（或向右）移动n位；立方根中的被开方数的小数点向左（或向右）每移动3n位，其结果的小数点向左（或向右）移动n位.例如：要确定的整数部分，因为1.111，把中的被开方数的小数点向右移动4位，得，所以，其算术平方根1.111的小数点相应地向右移动2位，得111.1，所以，得整数部分是111.6、科学计算器的基本操作步骤：（1）开机清零键ON/C.按该键后，显示器右下方显示字符“0”，表示计算器与进入工作状态.（2）2ndF键为第二功能转换键.按该键后，显示器左上方出现字符“2ndF”，以后再按某键，则为启用其第二功能.（3）关机键OFF.按此键后，显示器上的字符、算式及运算结果全部消失，计算器停止工作.四、典型例题与分析【例1】有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－是17的平方根，其中正确的有（    ）.   A．0个     B．1个   C．2个  \nD．3个   【分析】本题考查实数基本概念，实数和数轴上的点是一一对应的关系：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点.因此①错误，有理数是指有限小数或无限循环小数，因此②错误，由立方根的性质可知全体实数都有立方根，一个正数有两个平方根可知③错④对.   解：B【例2】判断下列说法是否正确？并简述理由.　（1）数轴上任意一个点都表示一个实数.　（2）任意一个实数总可以在数轴上找到一个相对应的点.　（3）所有的有理数都可以在数轴上找到一个相对应的点.　（4）数轴上任意一个点都表示惟一的一个有理数.　（5）所有的无理数都可以在数轴上找到对应的点.　（6）数轴上任意一个点都表示惟一的一个无理数.　（7）π不能在数轴上找到对应的点.　【解析】（1）正确.数轴上的点与实数一一对应.　（2）正确.实数与数轴上的点一一对应.　（3）正确.有理数是实数的一部分，任何一个实数能在数轴上找到一个对应点，则任意一个有理数都能在数轴上找到对应点.　（4）错.数轴上的点可以表示有理数，也可以表示无理数.　（5）正确.无理数是实数的一部分，任何一个实数能在数轴上找到一个对应点，则任何一个无理数当然也能在数轴上找到对应点.　（6）错.数轴上的点总表示一个实数，不一定是无理数，也许这个点表示的是有理数.　（7）错.π能在数轴上找到对应的点，可理解为：以数轴上单位长为直径做圆，以原点为圆心，圆周长为半径画弧，与数轴的正半轴相交，交点就是表示数π的点.【例4】“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（     ）.　　A.代入法　　    B.换元法　C.数形结合　            D.分类讨论\n　【分析】 本题是结合几何图形，形象直观地解答数字问题，这就是数学中一种重要的思想方法——数形结合.　解：C【例4】已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（    ）.      【分析】本题考查数轴的性质及读图能力，由a、b在数轴上的位置得出0＜a＜1,b＜－1,且∣a∣＜∣b∣，从而得a－b是正数－负数＝正数＋正数＞0.a＋b是异号两数相加，符号应取绝对值大的加数的符号，即b的符号，故a＋b＜0.   解：C.【例5】下列计算正确的是（   ）.　　．　解：A.【例6】把下列实数化成最简形式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）=（2）=；（3）=（4）=（5）=\n【例7】计算:(1).(2)（3）(4)(-)(2)解：(1)原式=(2)=(3)(4)(-)(2)【点拨】形如多项式的实数乘法，可以按多项式乘法进行.形如多项式乘法的实数运算，如果符合乘法公式的，可以用乘法公式计算.【例8】观察下列各式及其验证过程：　　验证：　　\n　　　　通过对上述两个等式及其验证过程的分析研究，你发现了什么规律？证明你的发现.　　解：规律是　　　　【点拨】遇到问题我们不能停留在题目表面，我们要发现其内在的规律，这也是我们学习数学需要掌握的技能，即由特殊规律推广出一般规律来.五、双基训练A组\n一、选择题　1.已知：（a－3）2＋|b－4|＝0，那么的平方根是（    ）.　　2.下列等式正确的是（    ）.　　3.下列各组数中互为相反数的是（    ）.　　4.估算的大小，其大致范围是（    ）.　A.1＜＜2                         B.2＜＜3　C.3＜＜4                          D.4＜＜5　5.数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，已知A在B的右侧，C在B的左侧，D在B、C之间，则下列式子成立的是（    ）.　A.a＜b＜c＜d                                B.b＜c＜d＜a　C.c＜d＜a＜b                                  D.c＜d＜b＜a　6.的平方根和立方根分别为（    ）.　　二、填空题　1.若x－4是16的算术平方根，则x的立方根是           .　2.一个正数的算术平方根是a，用带a的式子表示比这个数大1的数的立方根为            .　3.绝对值小于的整数是                ，绝对值不大于的非负整数是                .　4.实数-与-2，其中比较小的数是    　　　 .　5.若是正整数，则最小正整数a＝　　   .　6.当m<0时，则|m|++m可化简为  　       \n.　7.的平方根的倒数是         .　8.0到之间的实数有       个，0到之间的有理数有       个.　9.|3-|+|-4|＝         .　三、解答题　1.计算：　2.当0≤a＜1时，化简：|a|+|a－1|.　3.已知互为相反数，求ab的算术平方根.　4.一个底为正方形的长方体水池的容积是2.592米3，池深0.8米，求水池底面各边的长度是多少米？B组一、选择题　1.下列语句正确的是（     ）　A.16的平方根是4　B.－16的平方根是±3　C.一个数的平方等于25，则这个数一定是5D.－8是一个数的平方根，这个数一定是64　2.若成立，则a是一个（     ）　A.有理数　　　　　B.正实数　C.负实数　　　　　D.非正实数　3.下列各组数的比较，错误的是（      ）　　4.若=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（   ）.　A.原点左侧           B.原点右侧　C.原点或原点左侧  D.原点或原点右侧　5.在实数范围内，下列判断正确的是（      ）\n　　6.若a<0，b>0，化简等于（      ）　　7.下列各式运算结果正确的是（　　）　　8.若a、b、c是△ABC的三边，则化简得（    ）　A.2a＋2b    B.2b－2a     C.－2c      D.0　9.下列命题正确的是（     ）.　A.在实数中没有绝对值最小的数　B.最小的实数是0　C.64的立方根是±4　D.当a－|a|＝0时，a为非负数10.对于任何一个实数，总可以进行（    ）.　A.开平方运算         B.开立方运算　C.取倒数运算         D.以上答案都不对　11.m为实数，则m等于（    ）.　A.3     B.2    C.3或－2     D.以上都不对　12.一个自然数a的算术平方根为x，则a＋1的立方根是（    ）.　　二、填空　1.的相反数是                  ，绝对值是           \n.　2.点A在数轴上和原点距离个单位，点B在数轴上和原点距离2个单位，则A、B两点之间的距离为             .　3.化简：　　　　　　4.大于－而小于－的整数有              .　5.写出两个你比较喜欢的无理数，使它们的和为0：                     .　6.若矩形的长，宽分别为则矩形的面积为        .　7.在实数范围内a   　 时，有意义；a   　  时，有意义；当a   　  时，+有意义，它的值是          .　8.在数轴上与表示－5的点距离3个单位长度点所表示的数是               .9.写出一个无理数，使它与的积是一个有理数：             .　10.若12+x是225的算术平方根的相反数，则x的立方根是           .　11.数轴上表示的点与表示-的点间的线段长等于           .　三、解答题　1. 化简　　　2. 计算下列各题　　　　\n（保留三个有效数字）　3. 如图，在图中填上适当的数，使每一行，每一列，每一对角线上的三个数的和为0.　　　4. 根据爱因斯坦的相对论，当地球上过去1s时，宇宙飞船内只经过s（公式内的c指光速：3×105km/s，v指宇宙飞船的速度）.假定有一对25岁和28岁的亲兄弟，哥哥乘坐以光速98％的速度飞行的宇宙飞船，做了5年科学考察后回到地球，这个5年指地面上的5年，所以弟弟的年龄已是30岁.请你用上述公式推导一下，哥哥在这段时间内长了几岁？此时哥哥的年龄是多少？　5.如图，由4个图2中的小正方形拼成了图1中的大正方形，根据拼图的启示解决下列问题.　　　　　6.某位老师在讲“实数”时，画了一个图，即以“数轴的单位长线段为边作一个正方形，然后以O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交x轴上一点A”，作这样的图是用来说明                                  .　（1）A点表示的数x是           　　　　　    ，x2－4＝        　                     .　（2）试比较x与1.4的大小.　（3）动手试一试，你能用类似的方法在数轴上找出表示的点吗？　　　\n【参考答案】A组　　一、选择题　1.B　　2.A　　3.A　　4.C　　5.D　　6.D　二、填空题　1.2    　　2.   　　3.±4、±3、±2、±1、0，1、2、3、0　4.-2   　　5.3  　6.0 　　　　　　　　　　7.±6 　　　8.无数，无数 　     9.1　三、解答题　1.-18   2.1   3.3    4.1.8B组一1.D　　2.D　　3.C　　4.C　　5.D　　6.C　7.B　　8.B　　9.D　　10.B　　　　11.C　　　　　　12.D　二、　　5.这是一道开放性试题，我们要选择两个互为相反数的无理数，如6\n　7.≤1；≥1；＝1，0　8.-8或-2       9.（符合题意即可）　10.-3           11.2　三、　1.解：　2.解：（1）180　　（2）－8　           （3）0.2　　　　   （4）-0.577.　3.解：　　　　4.解：地球上经过1s时，宇宙飞船内只经过了≈0.2s.因此地球上经过5年，宇宙飞船上只经过了0.2×5＝1年.　因此哥哥在这段时间内长了1岁，此时哥哥的年龄为29岁.　5解：（1）小正方形的边长为，大正方形的边长为，而大正方形的边长等于小正方形边长的2倍，因此＋＝3；　（2）按照以上思路，面积为8的正方形的边长为，面积为32的正方形的边长为，因此＋＝3＝6；　　6.解：实数与数轴上的点一一对应　（1），－2　　　（2）x>1.4　（3）可以利用类似的方法在数轴上找出表示、\n的点，方法如下：