高中数学课件直线与方程 35页

阶段复习课第三章\n请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，把各序号代表的含义填到对应的横线上，并构建出清晰的知识网络.\n题型一直线的倾斜角与斜率【典例1】(2013·晋江高一检测)过点A(2，b)和点B(3，-2)的直线的倾斜角为,则b的值是()A.-1B.1C.-5D.5【解析】选A.因为且所以-2-b=-1,所以b=-1.\n【典例2】若直线l：y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()\n【解析】选B.直线l：y=kx-恒过定点C(0,-).直线2x+3y-6=0与x轴和y轴的交点设为A,B,如图所示，\n则A,B两点的坐标分别为(3,0)，(0,2).直线CA的斜率为对应的倾斜角为，直线CB与x轴垂直，对应的倾斜角为，故直线l的倾斜角的取值范围是\n【技法点拨】1.倾斜角与斜率的联系(1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率,直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.(2)当α=90°时,直线l垂直于x轴,它的斜率k不存在.2.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：\n题型二求直线的方程【典例3】求与直线3x+4y+1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线l的方程.\n【解析】方法一：设直线l的方程为3x+4y+m=0,令x=0得y轴上的截距令y=0得x轴上的截距所以解得m=-4,所以所求直线l的方程为3x+4y-4=0.\n方法二：易知直线l在两坐标轴上的截距不为0，设直线l的方程为所以解得所以所求直线的方程为即3x+4y-4=0.\n【技法点拨】1.直线方程的几种形式及确定(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线，直线方程的一般式则可以表示所有直线.(2)在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式.\n2.确定直线方程的两种方法(1)待定系数法，在设直线方程的时候，要注意对斜率不存在的直线讨论.(2)从直线的几何性质出发，建立方程.\n题型三平行与垂直的性质及判定【典例4】已知直线l1：mx+8y+n=0,l2：2x+my-1=0,分别满足下列情况：(1)两直线平行.(2)两直线垂直,且l1在y轴上的截距为-1.试分别确定m,n的值.\n【解析】(1)①当m=0时,显然l1不平行于l2.②当m≠0时,l1,l2斜率都存在,因为l1∥l2,故所以m=±4.又当m=4,n=-2时,两直线重合,当m=-4,n=2时,两直线重合,所以当m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,两直线平行.(2)当2×m+m×8=0时,两直线垂直,即m=0,又-=-1,所以n=8.\n【技法点拨】1.两直线平行(1)斜率存在且不重合的两条直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2,b1≠b2.(2)两条不重合直线l1,l2的倾斜角为α1,α2,则l1∥l2⇔α1=α2.(3)两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1,B1,C1不同时为0),l2：A2x+B2y+C2=0(A2,B2,C2不同时为0),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).\n2.两直线垂直(1)斜率存在的两条直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1.(2)两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1,B1,C1不同时为0),l2：A2x+B2y+C2=0(A2,B2,C2不同时为0),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.\n题型四距离问题【典例5】已知直线l经过直线2x+y-5＝0与x-2y＝0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.\n【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x+y-5+λ(x-2y)＝0，即(2+λ)x+(1-2λ)y-5＝0，所以即2λ2-5λ+2＝0，所以λ＝或λ＝2.所以l方程为x＝2或4x-3y-5＝0.\n(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以\n【技法点拨】1.点到直线的距离公式已知一点P(x0,y0)及一条直线l：Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离2.两平行直线之间的距离已知两平行直线l1：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离提醒：在应用此公式时,应将两条直线方程中x,y的系数化成对应相同的形式.\n方法一分类讨论思想的应用【典例1】过点P(-1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.\n【解析】(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x=-1,x=0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意.(2)当两条直线的斜率存在时，设其斜率为k.因为k=0时，不符合题意，所以k≠0,则设两条直线的方程分别为y=k(x+1),y-2=kx.令y=0，得x=-1,x=.由题意，得|-1+|=1,即k=1.所以所求直线的方程为y=x+1,y=x+2,即x-y+1=0,x-y+2=0.综上可知，所求的直线方程为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.\n【技法点拨】1.分类讨论思想的划分标准分类讨论思想是根据研究对象本质属性的异同，确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，并综合得出答案的一种数学思想.在划分中要求始终使用同一个标准，这个标准应该是科学的、合理的，它要满足互斥、无漏、最简的原则.\n2.分类讨论的一般步骤分类讨论的一般步骤是：①确定分类标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论.3.求直线方程中的分类讨论直线方程的几种形式都有一定的限制条件，因此在涉及求直线方程时要考虑斜率存在不存在，截距为零不为零等情况.提醒：分类时要注意分类标准的确定及分类的准确性.\n方法二转化思想与数形结合思想【典例2】(1)已知直线5x-12y-60=0,求x2+y2的最小值.(2)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),求的最大值与最小值.\n【解析】(1)因为所以x2+y2可以看成是直线上的动点到原点的距离的平方.当且仅当动点与原点的连线垂直于直线时，取最小值，原点到直线的距离所以x2+y2的最小值为\n(2)由的几何意义可知，它表示经过定点P(-2，-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k，如图，则kPA≤k≤kPB,由已知，得A(1,1),B(-1,5),所以所以≤k≤8,所以的最大值是8，最小值是.\n【技法点拨】1.利用转化思想与数形结合思想可解决的问题(1)已知点P(x,y)在直线Ax+By+C=0(A，B，C不同时为0)上，求形如(x-a)2+(y-b)2的最小值.(2)求形如的最大值与最小值问题.\n2.利用数形结合思想处理最值问题的策略(1)转化：把所求解的问题转化为点到直线的最短距离问题或直线的斜率的最大值与最小值问题.(2)作图：在定义域内依据函数的性质，作出涉及函数的图象.(3)识图：观察作出的图象，分析所作的图象的特点及图象间的关系，把图象的问题转化为所求解的问题.提醒：利用数形结合解决问题时要注意图形的准确性.\n1.(2013·合肥高一检测)直线x=1的倾斜角和斜率分别是()A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在【解析】选C.直线x=1垂直于x轴，因此倾斜角为90°,斜率不存在.\n2.已知A(1，2)，B(-1，4)，C(5，2)，则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为()A.x+5y-15=0B.x=3C.x-y+1=0D.y-3=0【解析】选A.设AB的中点为D，则点D的坐标为(0,3)，CD的方程为即x+5y-15=0.\n3.若两条直线3ax-y-2=0和(2b-1)x+5by-1=0分别过定点A，B，则|AB|等于()【解析】选C.因为直线3ax-y-2=0可化为y=3ax-2,过定点A(0，-2).直线(2b-1)x+5by-1=0可化为(2x+5y)b-(x+1)=0过定点B(-1,),所以\n4.已知直线l1：(m+1)x+y=2-m和l2：4x+2my=-16,若l1∥l2,则m的值为.【解析】当m=0时,l1：x+y=2,l2：x=-4,两直线不平行.当m≠0时，由得解得m=1.答案：1\n5.已知直线方程l1：2x+3y-5=0与l2：3x+2y-5=0,(1)求两直线的交点.(2)求经过交点,且与直线x+4y+3=0平行的直线方程.\n【解析】(1)故两直线交点为(1,1).(2)因为所求直线与直线x+4y+3=0平行,所以可设所求直线方程为x+4y+c=0,由题意知点(1,1)在直线x+4y+c=0上.所以1+4+c=0,所以c=-5,所以所求直线方程为x+4y-5=0.